第四章 流体运动学和流体动力学基础
【4-2】 已知平面流动的速度分布规律为
j y
x x
i y x y v 2
22222 式中Γ为常数。求流线方程并画出若干条流线。
【解】 由题设， 222,y x y y x v x ， 2
22,y x x
y x v y
代入流线的微分方程
t z y x v y
t z y x v x y x ,,,d ,,,d
得
2
22
22d 2d y x x y y x y
x
x
y y x d d y
y x x d d y y x x d d
C y x 222
1
21'22C y x
【4-4】 已知流场的速度分布为
k xy j y i xy v 32
3
1
（1）问属于几维流动？（2）求（x , y , z ）=（1, 2, 3）点的加速度。
【解】 （1）由于速度分布可以写为
k y x v j y x v i y x v v z y x
,,, (1) 流动参量是两个坐标的函数，因此属于二维流动。
（2）由题设，
2,xy y x v x (2)
33
1
,y y x v y (3)
xy y x v z , (4)
43222232223
10
23
1
031d d xy xy y y xy xy z
xy xy y y xy x xy xy t z v
v y v v x v v t v t v a x z x y x x x x x
(5)
5233333233
10
31
003131313131d d y y
y y z xy y y y y x xy y t z
v v y
v v x
v v t
v t
v a y z
y y
y x
y y y
(6)
3
32323
20
3
1
031d d xy x y y xy xy z
xy xy y y xy x xy xy t z v
v y v v x v v t v t v a z z z y z x z z z
(7)
将x =1，y=2，z =3代入式(5)(6)(7)，得
31621313144
xy a x 332
2313155
y a y 31621323233 xy a z
【4-15】 图4-28所示为一文丘里管和压强计，试推导体积流量和压强计读数之间的关系
式。
图4-28 习题4-15示意图
【解】 列1-1、2-2断面的能量方程：
w a a h g
p z g v g p z g v 222
2
21121
122 (1) 不计损失，h w =0，取α1=α2=1，则
g
p z g v g p z g v 222
2112122 (2)
g v g v g p z g p z 22212
22211
(3) 设液体ρm 左侧界面的坐标为z 3，由流体静力学基本方程，得
gH H z z g p z z g p m 322311 (4)
g
gH H z z g p
z z g p m 322311 (5) H H z g p
z g p m 2211 (6) H z g p z g p m
12211 (7) 由式(3)(7)，得
g v g v H m 221212
2
(8) 由于连续方程
2211v A v A (9)
2114
d A
2
2
24
d A
(10) 22
2121v d v d (11)
22
2
112d d v v (12)
由式(8)，得
2
12212v v H g m
(13) 将式(12)代入式(13)，得
112424121212
22211d d v v d d v H g m (14)
11242
4
1
2
1
d d gH v m (15) 2
14
24
11112
d d gH v m (16)
流量为
2
141422
14
24
121111241124
d d gH d d gH d q m m V (17) 即
2
1414
211124
d d gH q m V (18)
【4-16】 按图4-29所示的条件求当H =30cm 时的流速v 。 [1．085m ／s]
图4-29 习题4-16示意图
【解】 设皮托管入口前方未受扰动处为点1，皮托管入口处为点2，水与测量液体左侧界面处为点3，水与测量液体右侧界面处压强为点4，水与测量液体左侧界面与静压管入口处距离为x 。
由于在同一流线上，
g
p z g v g p z g v O H 2
22
2O H 11212222 (1) 根据静压强分布
x d g p p 2O H 312 (2)
H x d g p p 2O H 422 (3)
gH p p R 43 (4)
在方程(1)中v 1=v ，z 1=z 2，v 2=0，则
212
O H 2
2
p p v (5)
方程(3)减去方程(2)，得
gH p p p p O H 34122 (6)
将方程(4)(5)带入(6)，得
gH gH v O H R 2
1O H 22
2
(7)
则
1 2
3 4
