2014年北京高考数学（理科）试题一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1. 已知集合2{|20},{0,1,2}A x x x B =-==，则AB =( ).{0}A .{0,1}B .{0,2}C .{0,1,2}D2. 下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）.1A y x =+ 2.(1)B y x =- .2x C y -= 0.5.log (1)D y x =+3. 曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的对称中心（ ）.A 在直线2y x =上 .B 在直线2y x =-上 .C 在直线1y x =-上 .D 在直线1y x =+上4. 当7,3m n ==时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）.7A .42B .210C .840D5. 设{}n a 是公比为q 的等比数列，则"1"q >是"{}"n a 为递增数列的（ ）.A 充分且不必要条件 .B 必要且不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件6. 若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x =-的最小值为-4，则k 的值为（ ）.2A .2B - 1.2C 1.2D -7. 在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，()1,1,2D ，若 1S ，2S ，3S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ）A. 123S S S ==B. 12S S =且 31S S ≠C. 13S S =且 32S S ≠D. 23S S =且 13S S ≠8. 有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若A 同学每科成绩不低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好.”现有若干同学，他们之间没有一个人比另一个成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样的。
2014年北京高考数学（理科）试题一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.已知集合2{|20},{0,1,2}A x x x B =-==，则AB =( ).{0}A .{0,1}B .{0,2}C .{0,1,2}D2.下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）.1A y x =+ 2.(1)B y x =- .2x C y -= 0.5.log (1)D y x =+3.曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的对称中心（ ）.A 在直线2y x =上 .B 在直线2y x =-上.C 在直线1y x =-上 .D 在直线1y x =+上4.当7,3m n ==时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）.7A .42B .210C .840D5.设{}n a 是公比为q 的等比数列，则"1"q >是"{}"n a 为递增数列的（ ）.A 充分且不必要条件 .B 必要且不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件6.若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x =-的最小值为-4，则k 的值为（ ）.2A .2B - 1.2C 1.2D -7.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，(2D ，若1S ，2S ，3S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的 面积，则（ ）（A ）123S S S == （B ）12S S =且 31S S ≠ （C ）13S S =且 32S S ≠ （D ）23S S =且 13S S ≠8.有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若A 同学每科成绩不 低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好.”现有若干同学，他们之间没有一个人比另一个成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样 的.问满足条件的最多有多少学生（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9.复数211i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭________.10.已知向量a 、b 满足1a =，()2,1b =，且()0a b R λλ+=∈，则λ=________.11.设双曲线C 经过点()2,2，且与2214y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________； 渐近线方程为________.12.若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时{}n a 的前n 项和最大.13. 把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有_______种. 14. 设函数)sin()(ϕω+=x x f ，0,0>>ωA ，若)(x f 在区间]2,6[ππ上具有单调性，且 ⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛6322πππf f f ，则)(x f 的最小正周期为________.三．解答题（共6题，满分80分）15. （本小题13分）如图，在ABC ∆中，8,3==∠AB B π，点D 在BC 边上，且71cos ,2=∠=ADC CD （1）求BAD ∠sin（2）求AC BD ,的长16. （本小题13分）.李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛互相独立）：（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过6.0的概率. （2）从上述比赛中选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过6.0，一 场不超过6.0的概率.（3）记x 是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明 在这比赛中的命中次数，比较)(X E 与x 的大小（只需写出结论）17.（本小题14分）如图，正方形AMDE 的边长为2，C B ,分别为MD AM ,的中点，在五棱锥ABCDE P -中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PC PD ,分别交于点H G ,. （1）求证：FG AB //；（2）若⊥PA 底面ABCDE ，且PE AF ⊥，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，并 求线段PH 的长.18.（本小题13分）已知函数()cos sin ,[0,]2f x x x x x π=-∈，（1）求证：()0f x ≤； （2）若sin xa b x<<在(0,)2π上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值.19.（本小题14分） 已知椭圆22:24C xy +=，（1）求椭圆C 的离心率. （2）设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥，求直线AB 与圆222x y +=的位置关系，并证明你的结论.20.（本小题13分）对于数对序列1122(,),(,),,(,)n n P a b a b a b ，记111()T P a b =+，112()max{(),}(2)k k k k T P b T P a a a k n -=++++≤≤，其中112max{(),}k k T P a a a -+++表示1()k T P -和12k a a a +++两个数中最大的数，（1）对于数对序列(2,5),(4,1)P P ，求12(),()T P T P 的值.（2）记m 为,,,a b c d 四个数中最小值，对于由两个数对(,),(,)a b c d 组成的数对序列(,),(,)P a b c d 和'(,),(,)P a b c d ，试分别对m a =和m d =的两种情况比较2()T P 和2(')T P 的大小.（3）在由5个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P 使5()T P 最小，并写出5()T P 的值.（只需写出结论）.2014北京高考（理科）数学题解析1．集合{}{}2|2002A x x x =-==，．故{}02AB =，，选C ．2． A ．1y x =+[)1-+∞，上为增函数，符合题意． B ．2(1)y x =-在(01)，上为减函数，不合题意． C ．2x y -=为()-∞+∞，上的减函数，不合题意． D ．0.5log (1)y x =+为(1)-+∞，上的减函数，不合题意． 故选A ．3． 参数方程1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩所表示的曲线为圆心在(12)-，，半径为1的圆．其对称中心为圆心(12)-，．逐个代入选项可知，(12)-，在直线2y x =-上，即选项B ．4． 当m 输入的7m =，3n =时，判断框内的判断条件为5k <．故能进入循环的k 依次为7，6，5．顺次执行S S k =⋅，则有765210S =⋅⋅=，故选C ． 5．D对于等比数列{}n a ，若1q >，则当10a <时有{}n a 为递减数列． 故“1q >”不能推出“{}n a 为递增数列”．若{}n a 为递增数列，则{}n a 有可能满足10a <且01q <<，推不出1q >． 综上，“1q >”为“{}n a 为递增数列”的既不充分也不必要条件，即选D ． 6．D若0k ≥，z y x =-没有最小值，不合题意． 若0k <，则不等式组所表示的平面区域如图所示．由图可知，z y x =-在点20k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，处取最小值．故204k ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，解得12k =-，即选项D 正确．7．D （23S S =且13S S ≠）D ABC -在xOy 平面上的投影为ABC △，故12S =，设D 在yOz 和zOx 平面上的投影分别为2D 和3D ，则D ABC -在yOz 和zOx 平面上的投影分别为2OCD △和3OAD △．∵(2012D ，，，(3102D ，，．D 1O D 3D 2DCB A zyx +y -2=0-2kkx -y +2=022O y x故232S S == 综上，选项D 正确． 8．B用ABC 分别表示优秀、及格和不及格。
2014年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学(理科)第一部分(选择题 共40分)一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1.已知集合A ＝{x|x 2﹣2x ＝0}，B ＝{0，1，2}，则A ∩B ＝( ). A ．{0} B ．{0，1} C ．{0，2} D ．{0，1，2} 答案：C解析：解x 2﹣2x ＝0，得x ＝0，x ＝2，故A ＝{0，2}，所以A ∩B ＝{0，2}，故选C ． 2.下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ). A ．y ＝√x ＋1 B ．y ＝(x ﹣1)2 C ．y ＝2﹣x D ．y ＝log 0.5(x ＋1)答案：A解析：A 项，y ＝√x ＋1为(﹣1，＋∞)上的增函数，故在(0，＋∞)上递增;B 项，y ＝(x ﹣1)2在(﹣∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增;C 项，y ＝2﹣x ＝(12)x为R 上的减函数;D 项，y ＝log 0.5(x ＋1)为(﹣1，＋∞)上的减函数. 故选A ．3.曲线{x ＝﹣1＋cosθ，y ＝2＋sinθ(θ为参数)的对称中心( ).A ．在直线y ＝2x 上B ．在直线y ＝﹣2x 上C ．在直线y ＝x ﹣1上D ．在直线y ＝x ＋1上 答案：B解析：由已知得{cosθ＝x ＋1，sinθ＝y ﹣2，消参得(x ＋1)2＋(y ﹣2)2＝1. 所以其对称中心为(﹣1，2).显然该点在直线y ＝﹣2x 上.故选B ．4.当m ＝7，n ＝3时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为( ).A ．7B ．42C ．210D ．840 答案：C解析：开始：m ＝7，n ＝3.计算：k ＝7，S ＝1.第一次循环，此时m ﹣n ＋1＝7﹣3＋1＝5，显然k<5不成立，所以S ＝1×7＝7，k ＝7﹣1＝6. 第二次循环，6<5不成立，所以S ＝7×6＝42，k ＝6﹣1＝5. 第三次循环，5<5不成立，所以S ＝42×5＝210，k ＝5﹣1＝4. 显然4<5成立，输出S 的值，即输出210，故选C ．5.设{a n }是公比为q 的等比数列，则“q>1”是“{a n }为递增数列”的( ). A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：D解析：等比数列{a n }为递增数列的充要条件为{a 1>0，q >1或{a 1<0，0<q <1.故“q>1”是“{a n }为递增数列”的既不充分也不必要条件.故选D ．6.若x ，y 满足{x ＋y ﹣2≥0，kx ﹣y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y ﹣x 的最小值为﹣4，则k 的值为( ).A ．2B ．﹣2C ．12D ．﹣12答案：D 解析：如图，作出{x ＋y ﹣2≥0，y ≥0所表示的平面区域，作出目标函数取得最小值﹣4时对应的直线y ﹣x ＝﹣4，即x ﹣y ﹣4＝0.显然z 的几何意义为目标函数对应直线x ﹣y ＋z ＝0在x 轴上的截距的相反数，故该直线与x 轴的交点(4，0)必为可行域的顶点，又kx ﹣y ＋2＝0恒过点(0，2)，故k ＝2﹣00﹣4＝﹣12.故选D ．7.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知A (2，0，0)，B (2，2，0)，C (0，2，0)，D (1，1，√2).若S 1，S 2，S 3分别是三棱锥D ﹣ABC 在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则( ). A ．S 1＝S 2＝S 3 B ．S 2＝S 1且S 2≠S 3 C ．S 3＝S 1且S 3≠S 2 D ．S 3＝S 2且S 3≠S 1 答案：D解析：三棱锥的各顶点在xOy 坐标平面上的正投影分别为A 1(2，0，0)，B 1(2，2，0)，C 1(0，2，0)，D 1(1，1，0).显然D 1点为A 1C 1的中点，如图(1)，正投影为Rt △A 1B 1C 1，其面积S 1＝12×2×2＝2.三棱锥的各顶点在yOz 坐标平面上的正投影分别为A 2(0，0，0)，B 2(0，2，0)，C 2(0，2，0)，D 2(0，1，√2).显然B 2，C 2重合，如图(2)，正投影为△A 2B 2D 2，其面积S 2＝12×2×√2＝√2.三棱锥的各顶点在zOx 坐标平面上的正投影分别为A 3(2，0，0)，B 3(2，0，0)，C 3(0，0，0)，D 3(1，0，√2)，由图(3)可知，正投影为△A 3D 3C 3，其面积S 3＝12×2×√2＝√2.综上，S 2＝S 3，S 3≠S 1.故选D ．图(1) 图(2) 图(3)8.学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有( ). A ．2人 B ．3人 C ．4人 D ．5人 答案：B解析：用A ，B ，C 分别表示优秀、及格和不及格.显然，语文成绩得A 的学生最多只有一人，语文成绩得B 的也最多只有1人，得C 的也最多只有1人，所以这组学生的成绩为(AC)，(BB)，(CA)满足条件，故学生最多为3人.第二部分(非选择题 共110分)二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 9.复数(1＋i 1﹣i)2＝__________.答案：﹣1 解析：1＋i 1﹣i＝(1＋i )2(1﹣i )(1＋i )＝2i 2＝i ，所以(1＋i 1﹣i)2＝i 2＝﹣1.10.已知向量a ，b 满足|a|＝1，b ＝(2，1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R)，则|λ|＝__________. 答案：√5解析：|b|＝√22＋12＝√5，由λa ＋b ＝0，得b ＝﹣λa ，故|b|＝|﹣λa|＝|λ||a|，所以|λ|＝|b ||a |＝√51＝√5. 11.设双曲线C 经过点(2，2)，且与y 24﹣x 2＝1具有相同渐近线，则C 的方程为__________;渐近线方程为__________. 答案：x 23−y 212＝1 y ＝±2x解析：双曲线y 24﹣x 2＝1的渐近线方程为y ＝±2x.设与双曲线y 24﹣x 2＝1有共同渐近线的方程为y 24﹣x 2＝λ，又(2，2)在双曲线上，故224﹣22＝λ，解得λ＝﹣3. 故所求双曲线方程为y 24﹣x 2＝﹣3，即x 23−y 212＝1. 所求双曲线的渐近线方程为y ＝±2x.12.若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝__________时，{a n }的前n 项和最大. 答案：8解析：由等差数列的性质可得a 7＋a 8＋a 9＝3a 8>0，即a 8>0;而a 7＋a 10＝a 8＋a 9<0，故a 9<0.所以数列{a n }的前8项和最大.13.把5件不同产品摆成一排.若产品A 与产品B 相邻，且产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有__________种. 答案：36解析：产品A ，B 相邻时，不同的摆法有A 22A 44＝48种.而A ，B 相邻，A ，C 也相邻时的摆法为A 在中间，C ，B 在A 的两侧，不同的摆法共有A 22A 33＝12(种).故产品A 与产品B 相邻，且产品A 与产品C 不相邻的不同摆法有48﹣12＝36(种). 14.设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A>0，ω>0).若f (x )在区间[π6，π2]上具有单调性，且f (π2)＝f (2π3)＝﹣f (π6)，则f (x )的最小正周期为__________. 答案：π解析：由f (x )在区间[π6，π2]上具有单调性，且f (π2)＝﹣f (π6)知，f (x )有对称中心(π3，0)，由f (π2)＝f (23π)知f (x )有对称轴x ＝12(π2＋23π)＝712π.记f (x )的最小正周期为T ，则12T ≥π2−π6，即T ≥23π.故712π﹣π3＝π4＝T4，解得T ＝π.三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15.(本小题13分)如图，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17. (1)求sin ∠BAD ; (2)求BD ，AC 的长.分析：(1)先利用三角形中角之间的关系可得∠BAD ＝∠ADC ﹣∠B ，然后即可利用两角差的正弦公式求解;(2)在△ABD 中，根据正弦定理，结合(1)即可求得BD ，然后在△ABC 中，直接利用余弦定理求AC 即可. 解：(1)在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝4√37. 所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC ﹣∠B ) ＝sin ∠ADC cos B ﹣cos ∠ADC sin B＝4√37×12−17×√32＝3√314. (2)在△ABD 中，由正弦定理得 BD ＝AB ·sin∠BAD sin∠ADB8×3√3144√37＝3.在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2﹣2AB ·BC ·cos B ＝82＋52﹣2×8×5×12＝49. 所以AC ＝7.16.(本小题13分))：(1)(2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率;(3)记x 为表中10个命中次数的平均数.从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明在这场比赛中的命中次数.比较EX 与x 的大小.(只需写出结论)分析：(1)先根据统计表格求出投篮命中率，确定投篮命中率超过0.6的场数，然后除以总场数10即可得所求;(2)先根据统计表格分别求出主场、客场的投篮命中率超过0.6的概率，然后根据主场、客场将所求事件分为两个互斥事件，即可利用相互独立事件同时成立的概率求解;(3)根据数学期望的计算公式即可得到EX 与x 的大小关系.解：(1)根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的场次有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4.所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.(2)设事件A 为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件B 为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件C 为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”，则C ＝A ∪，A ，B 独立.根据投篮统计数据，P (A )＝35，P (B )＝25.P (C )＝P (A B )＋P (A B )＝35×35＋25×25＝1325.所以，在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为1325.(3)EX ＝x .17.(本小题14分)如图，正方形AMDE 的边长为2，B ，C 分别为AM ，MD 的中点.在五棱锥P ﹣ABCDE 中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PD ，PC 分别交于点G ，H. (1)求证：AB ∥FG ;(2)若P A ⊥底面ABCDE ，且P A ＝AE ，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，并求线段PH 的长.分析：(1)首先利用AM ∥ED 得到AB ∥平面PDE ，然后利用直线和平面平行的性质定理证明结论;(2)首先根据几何体的结构特征建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，然后求出直线BC 的方向向量和平面ABF 的法向量，利用这两个向量的夹角表示所求，再根据H 在PC 上，设出H 的坐标，然后利用平面ABF 的法向量与AH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 垂直确定参数取值，进而求出H 点的坐标，最后利用坐标公式求得线段长度. (1)证明：在正方形AMDE 中，因为B 是AM 的中点，所以AB ∥DE.又因为AB ⊄平面PDE ，所以AB ∥平面PDE.因为AB ⊂平面ABF ，且平面ABF ∩平面PDE ＝FG ， 所以AB ∥FG.(2)解：因为P A ⊥底面ABCDE ，所以P A ⊥AB ，P A ⊥AE.如图建立空间直角坐标系A ﹣xyz ，则A (0，0，0)，B (1，0，0)，C (2，1，0)，P (0，0，2)，F (0，1，1)，BC⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1，1，0). 设平面ABF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则{n ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，n ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，即{x ＝0，y ＋z ＝0.令z ＝1，则y ＝﹣1.所以n ＝(0，﹣1，1).设直线BC 与平面ABF 所成角为α，则 sinα＝|cos <n ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >|＝|n ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗|n ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||＝12. 因此直线BC 与平面ABF 所成角的大小为π6.设点H 的坐标为(u ，v ，w ).因为点H 在棱PC 上，所以可设PH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝λPC ⃗⃗⃗⃗⃗ (0<λ<1)， 即(u ，v ，w ﹣2)＝λ(2，1，﹣2)， 所以u ＝2λ，v ＝λ，w ＝2﹣2λ. 因为n 是平面ABF 的法向量，所以n ·AH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，即(0，﹣1，1)·(2λ，λ，2﹣2λ)＝0，解得λ＝23， 所以点H 的坐标为(43，23，23).所以PH ＝√(43)2＋(23)2＋(﹣43)2＝2.18.(本小题13分)已知函数f (x )＝x cos x ﹣sin x ，x ∈[0，π2].(1)求证：f (x )≤0; (2)若a<sinx x<b 对x ∈(0，π2)恒成立，求a 的最大值与b 的最小值.分析：(1)先求出导函数f'(x )，利用导函数在(0，π2)上的符号判断f (x )在[0，π2]上的单调性，并求出其最大值，即可证得结论;(2)根据x>0，将不等式转化为整式不等式，进而转化为g (x )＝sin x ﹣cx (x ∈(0，π2))与0的大小关系，注意对参数c 的取值要分c ≤0，c ≥1和0<c<1三种情况进行分类讨论，然后利用边界值求出a 的最大值与b 的最小值.(1)证明：由f (x )＝x cos x ﹣sin x 得f'(x )＝cos x ﹣x sin x ﹣cos x ＝﹣x sin x.因为在区间(0，π2)上f'(x )＝﹣x sin x<0， 所以f (x )在区间[0，π2]上单调递减. 从而f (x )≤f (0)＝0. (2)解：当x>0时，“sinx x>a”等价于“sin x ﹣ax>0”;“sinx x<b”等价于“sin x ﹣bx<0”.令g (x )＝sin x ﹣cx ，则g'(x )＝cos x ﹣C ． 当c ≤0时，g (x )>0对任意x ∈(0，π2)恒成立.当c ≥1时，因为对任意x ∈(0，π2)，g'(x )＝cos x ﹣c<0，所以g (x )在区间[0，π2]上单调递减.从而g (x )<g (0)＝0对任意x ∈(0，π2)恒成立.当0<c<1时，存在唯一的x 0∈(0，π2)使得g'(x 0)＝cos x 0﹣c ＝0. g (x )与g'(x )在区间(0，π2)上的情况如下：因为g (x )在区间[0，x 0]所以g (x 0)>g (0)＝0.进一步，“g (x )>0对任意x ∈(0，π2)恒成立”当且仅当g (π2)＝1﹣π2c ≥0，即0<c ≤2π.综上所述，当且仅当c ≤2π时，g (x )>0对任意x ∈(0，π2)恒成立;当且仅当c ≥1时，g (x )<0对任意x ∈(0，π2)恒成立.所以，若a<sinx x<b 对任意x ∈(0，π2)恒成立，则a 的最大值为2π，b 的最小值为1.19.(本小题14分)已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4. (1)求椭圆C 的离心率;(2)设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线y ＝2上，且OA ⊥OB ，试判断直线AB 与圆x 2＋y 2＝2的位置关系，并证明你的结论.分析：(1)先把方程化为标准方程，分别求出a ，c ，即可求得离心率e ;(2)分别设出A ，B 两点的坐标，先利用OA ⊥OB 求出两点坐标之间的关系，然后根据A ，B 两点横坐标是否相等分类，分别求出原点O 到直线AB 的距离，将其与圆的半径√2进行比较，即可判断直线与圆的位置关系. 解：(1)由题意，椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1.所以a 2＝4，b 2＝2，从而c 2＝a 2﹣b 2＝2. 因此a ＝2，c ＝√2. 故椭圆C 的离心率e ＝ca ＝√22. (2)直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切.证明如下：设点A ，B 的坐标分别为(x 0，y 0)，(t ，2)，其中x 0≠0.因为OA ⊥OB ，所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，即tx 0＋2y 0＝0，解得t ＝﹣2y0x 0.当x 0＝t 时，y 0＝﹣t 22，代入椭圆C 的方程，得t ＝±√2，故直线AB 的方程为x ＝±√2，圆心O 到直线AB 的距离d ＝√2，此时直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切. 当x 0≠t 时，直线AB 的方程为y ﹣2＝y 0﹣2x 0﹣t(x ﹣t )，即(y 0﹣2)x ﹣(x 0﹣t )y ＋2x 0﹣ty 0＝0. 圆心O 到直线AB 的距离d ＝00√(y 0﹣2)＋(x 0﹣t ).又x 02＋2y 02＝4，t ＝﹣2y0x 0，故d ＝|2x 0＋2y02x 0|√x 02＋y 02＋4y 0x 02＋4|4＋x 02x 0|√x 0＋8x 0＋162x 02√2.此时直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切.20.(本小题13分)对于数对序列P ：(a 1，b 1)，(a 2，b 2)，…，(a n ，b n )，记T 1(P )＝a 1＋b 1，T k (P )＝b k ＋max{T k﹣1(P )，a 1＋a 2＋…＋a k }(2≤k ≤n )，其中max{T k ﹣1(P )，a 1＋a 2＋…＋a k }表示T k ﹣1(P )和a 1＋a 2＋…＋a k 两个数中最大的数.(1)对于数对序列P ：(2，5)，(4，1)，求T 1(P )，T 2(P )的值;(2)记m 为a ，b ，c ，d 四个数中最小的数，对于由两个数对(a ，b )，(c ，d )组成的数对序列P ：(a ，b )，(c ，d )和P'：(c ，d )，(a ，b )，试分别对m ＝a 和m ＝d 两种情况比较T 2(P )和T 2(P')的大小;(3)在由五个数对(11，8)，(5，2)，(16，11)，(11，11)，(4，6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P 使T 5(P )最小，并写出T 5(P )的值.(只需写出结论)分析：(1)直接根据定义式即可求出T 1(P )和T 2(P )的值;(2)先根据定义式分别写出T 2(P )和T 2(P')，然后根据a ，b ，c ，d 中最小数的不同比较对应两个代数式的大小，即可求得T 2(P )和T 2(P')的大小关系;(3)先比较已知数据大小，然后根据定义式写出使T 5(P )最小的数对序列，依次求出T 1(P )，T 2(P )，T 3(P )，T 4(P )，T 5(P )即可.解：(1)T 1(P )＝2＋5＝7，T 2(P )＝1＋max{T 1(P )，2＋4}＝1＋max{7，6}＝8. (2)T 2(P )＝max{a ＋b ＋d ，a ＋c ＋d }， T 2(P')＝max{c ＋d ＋b ，c ＋a ＋b }.当m ＝a 时，T 2(P')＝max{c ＋d ＋b ，c ＋a ＋b }＝c ＋d ＋B ．因为a ＋b ＋d ≤c ＋b ＋d ，且a ＋c ＋d ≤c ＋b ＋d ，所以T 2(P )≤T 2(P'). 当m ＝d 时，T 2(P')＝max{c ＋d ＋b ，c ＋a ＋b }＝c ＋a ＋B ．因为a ＋b ＋d ≤c ＋a ＋b ，且a ＋c ＋d ≤c ＋a ＋b ，所以T 2(P )≤T 2(P'). 所以无论m ＝a 还是m ＝d ，T 2(P )≤T 2(P')都成立.(3)数对序列P ：(4，6)，(11，11)，(16，11)，(11，8)，(5，2)的T 5(P )值最小，T1(P)＝10，T2(P)＝26，T3(P)＝42，T4(P)＝50，T5(P)＝52.。
