高考数学总复习教案：7.3数学归纳法

数学归纳法精品教案一、教学内容本节课选自高中数学教材《数学选修22》第二章“数学归纳法”。

具体内容包括数学归纳法的概念、原理以及应用。

重点讲解数学归纳法的两个基本步骤：基础步骤和归纳步骤，并通过典型例题，让学生掌握数学归纳法的证明方法。

二、教学目标1. 理解数学归纳法的概念和原理，能熟练运用数学归纳法证明问题；2. 掌握数学归纳法的证明步骤，提高逻辑推理能力和解决问题的能力；3. 能够运用数学归纳法解决实际问题，培养数学应用意识。

三、教学难点与重点教学难点：数学归纳法证明过程中，归纳假设的运用和归纳步骤的推理。

教学重点：数学归纳法的概念、原理和证明步骤。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔；2. 学具：教材、练习本、笔。

五、教学过程1. 实践情景引入通过一个简单的数学问题，如“计算1+2+3++n的和”，让学生思考如何证明其结论。

2. 新课导入讲解数学归纳法的概念和原理，阐述其两个基本步骤：基础步骤和归纳步骤。

3. 例题讲解选取一道典型例题，如“证明对于任意正整数n，都有1+3+5++(2n1)=n^2”，详细讲解数学归纳法的证明过程。

4. 随堂练习让学生独立完成一道类似例题的练习，巩固所学知识。

5. 知识拓展引导学生思考数学归纳法在实际问题中的应用，如等差数列求和、二项式定理等。

6. 课堂小结七、作业设计1. 作业题目：（1）利用数学归纳法证明：1^3+2^3+3^3++n^3=(1+2++n)^2；（2）已知数列{a_n}，a_1=1，a_{n+1}=2a_n+1，证明对于任意正整数n，a_n都是奇数。

2. 答案：（1）证明过程略；（2）证明过程略。

八、课后反思及拓展延伸1. 课后反思2. 拓展延伸引导学生深入研究数学归纳法在其他数学分支中的应用，如数列、组合数学等。

同时，鼓励学生参加数学竞赛，提高数学素养。

重点和难点解析1. 教学难点与重点的确定；2. 例题讲解的详细程度；3. 随堂练习的设计与实施；4. 作业设计中的题目难度和答案的详细性；5. 课后反思及拓展延伸的实际操作。

数学归纳法教案完整版课件一、教学内容本节课选自高中数学教材《数学》（必修三）第二章“数学归纳法”。

具体内容包括数学归纳法的概念、原理和应用，以及数学归纳法在实际问题中的运用。

二、教学目标1. 理解数学归纳法的概念和原理，掌握数学归纳法的基本步骤。

2. 能够运用数学归纳法证明一些简单的数学命题。

3. 了解数学归纳法在实际问题中的应用，培养解决问题的能力。

三、教学难点与重点教学难点：数学归纳法证明过程中的逻辑推理。

教学重点：数学归纳法的概念、原理和基本步骤。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。

2. 学具：课本、练习本、笔。

五、教学过程1. 实践情景引入通过一个简单的数学问题，引导学生思考如何证明一个与自然数有关的命题。

问题：如何证明1+2+3++n = n(n+1)/2？2. 数学归纳法概念与原理（1）概念：数学归纳法是一种证明与自然数有关的命题的方法。

（2）原理：数学归纳法包含两个基本步骤：基础步骤和归纳步骤。

3. 数学归纳法例题讲解以证明1+2+3++n = n(n+1)/2为例，详细讲解数学归纳法的证明过程。

4. 随堂练习（1）1^3 + 2^3 + 3^3 + + n^3 = (1+2++n)^2（2）对于任意自然数n，n(n+1)(n+2)能被6整除。

5. 数学归纳法在实际问题中的应用介绍数学归纳法在实际问题中的应用，如求解递推公式、求解数列的通项公式等。

六、板书设计1. 数学归纳法的概念和原理。

2. 数学归纳法证明1+2+3++n = n(n+1)/2的过程。

3. 随堂练习的命题及证明过程。

七、作业设计1. 作业题目：（1）运用数学归纳法证明1^3 + 2^3 + 3^3 + + n^3 =(1+2++n)^2。

（2）运用数学归纳法证明对于任意自然数n，n(n+1)(n+2)能被6整除。

2. 答案：（1）证明过程同课堂讲解。

（2）证明过程同课堂讲解。

八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对数学归纳法的概念、原理和基本步骤掌握情况，以及对实际问题的应用能力。

数学归纳法及其应用举例(教案)章节一：数学归纳法的概念与步骤教学目标：1. 了解数学归纳法的定义与基本步骤。

2. 掌握数学归纳法的一般形式。

教学内容：1. 引入数学归纳法的概念。

2. 讲解数学归纳法的基本步骤。

3. 示例说明数学归纳法的应用。

教学活动：1. 引导学生思考数学归纳法的定义。

2. 通过具体例子讲解数学归纳法的步骤。

3. 让学生尝试使用数学归纳法解决简单问题。

作业与练习：1. 完成课后练习，巩固数学归纳法的概念与步骤。

2. 选取一些简单的数学问题，尝试使用数学归纳法解决。

章节二：数学归纳法的证明步骤教学目标：1. 掌握数学归纳法的证明步骤。

2. 能够运用数学归纳法证明简单的不等式或定理。

教学内容：1. 讲解数学归纳法的证明步骤。

2. 示例说明数学归纳法在证明不等式和定理中的应用。

教学活动：1. 引导学生理解数学归纳法的证明步骤。

2. 通过具体例子讲解数学归纳法在证明不等式和定理中的应用。

3. 让学生尝试使用数学归纳法证明简单的不等式或定理。

作业与练习：1. 完成课后练习，巩固数学归纳法的证明步骤。

2. 选取一些简单的不等式或定理，尝试使用数学归纳法进行证明。

章节三：数学归纳法的扩展与应用教学目标：1. 了解数学归纳法的扩展形式。

2. 掌握数学归纳法在解决实际问题中的应用。

教学内容：1. 讲解数学归纳法的扩展形式。

2. 示例说明数学归纳法在解决实际问题中的应用。

教学活动：1. 引导学生思考数学归纳法的扩展形式。

2. 通过具体例子讲解数学归纳法在解决实际问题中的应用。

3. 让学生尝试使用数学归纳法解决实际问题。

作业与练习：1. 完成课后练习，巩固数学归纳法的扩展形式。

2. 选取一些实际问题，尝试使用数学归纳法解决。

章节四：数学归纳法的局限性与改进教学目标：1. 了解数学归纳法的局限性。

2. 学会改进数学归纳法的证明过程。

教学内容：1. 讲解数学归纳法的局限性。

2. 示例说明如何改进数学归纳法的证明过程。

第七章 推理与证明第3课时 数学归纳法(对应学生用书(理)97～98页)1. 若f(n)＝1＋12＋13＋…＋12n ＋1(n ∈N)，则n ＝1时，f(n)＝________.答案：1＋12＋13解析：当n ＝1时，f(1)＝1＋12＋13.2. (选修22P88练习题3改编)用数学归纳法证明不等式“2n>n2＋1对于n≥n 0的自然数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取为________． 答案：5解析：当n≤4时，2n ≤n2＋1；当n ＝5时，25＝32>52＋1＝26，所以n0应取为5.3. 设f(n)＝1＋12＋13＋14＋…＋13n －1(n ∈N*)，则f(k ＋1)－f(k)＝________.答案：13k ＋13k ＋1＋13k ＋2解析：f(k ＋1)－f(k)＝1＋12＋13＋14＋…＋13（k ＋1）－1－⎝⎛⎭⎫1＋12＋13＋14＋…＋13k －1＝13k ＋13k ＋1＋13k ＋2. 4. 用数学归纳法证明“当n 为正偶数时xn －yn 能被x ＋y 整除”第一步应验证n ＝________时，命题成立；第二步归纳假设成立应写成____． 答案：2 当n ＝2k(k ∈N*)时结论成立，x2k －y2k 能被x ＋y 整除解析：因为n 为正偶数，故取第一个值n ＝2，第二步假设n 取第k 个正偶数成立，即n ＝2k ，故假设当n ＝2k(k ∈N*)时结论成立，x2k －y2k 能被x ＋y 整除． 5. 已知a1＝12，an ＋1＝3an an ＋3，则a2，a3，a4，a5的值分别为________________，由此猜想an ＝________．答案：37、38、39、310 3n ＋5解析：a2＝3a1a1＋3＝3×1212＋3＝37＝32＋5，同理a3＝3a2a2＋3＝38＝33＋5，a4＝39＝34＋5，a5＝310＝35＋5，猜想an ＝3n ＋5.1. 由一系列有限的特殊现象得出一般性的结论的推理方法，通常叫做归纳法．2. 对某些与正整数有关的数学命题常采用下面的方法来证明它们的正确性：先证明当n 取第1个值n0时，命题成立；然后假设当n ＝k(k ∈N k ≥n0)时命题成立；证明当n ＝k ＋1时，命题也成立，这种证明方法叫做数学归纳法．3. 用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，其步骤为： (1) 归纳奠基：证明凡取第一个自然数n0时命题成立； (2) 归纳递推：假设n ＝k(k ∈N k ≥n0)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时，命题成立； (3) 由(1)(2)得出结论． [备课札记]题型1 证明等式例1 用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ∈N)．证明：① 当n ＝1时，等式左边＝1－12＝12＝右边，等式成立． ② 假设当n ＝k(k ∈N)时，等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，那么，当n ＝k ＋1时，有1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12k ＋2，上式表明当n ＝k ＋1时，等式也成立． 由①②知，等式对任何n ∈N 均成立． 变式训练当n≥1，n ∈N*时， (1) 求证：C1n ＋2C2n x ＋3C3n x2＋…＋(n －1)Cn －1n xn －2＋nCn n xn －1＝n(1＋x)n －1； (2) 求和：12C1n ＋22C2n ＋32C3n ＋…＋(n －1)2Cn －1n ＋n2Cn n . (1) 证明：设f(x)＝(1＋x)n ＝C0n ＋C1n x ＋C2n x2＋…＋Cn －1n xn －1＋Cn n xn ，① ①式两边求导得 n(1＋x)n －1＝C1n ＋2C2n x ＋3C3n x2＋…＋(n －1)Cn －1n xn －2＋nCn n xn －1.② ①式等于②式，故等式成立． (2) 解：②两边同乘x 得nx(1＋x)n －1＝C1n x ＋2C2n x2＋3C3n x3＋…＋(n －1)Cn －1n xn －1＋nCn n xn.③ ③式两边求导得n(1＋x)n －1＋n(n －1)x(1＋x)n －2＝C1n ＋22C2n x ＋32C3n x2＋…＋(n －1)2Cn －1n xn －2＋n2Cn n xn －1.④ 在④中令x ＝1，则12C1n ＋22C2n ＋32C3n ＋…＋(n －1)2Cn －1n ＋n2Cn n ＝n·2n －1＋n(n －1)2n －2＝2n －2(2n ＋n2－n)＝2n －2·n(n ＋1)． 题型2 证明不等式例2 (选修2-2P91习题6改编)设n ∈N*，f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n ，试比较f(n)与n ＋1的大小．解：当n ＝1，2时f(n)<n ＋1；当n≥3时f(n)>n ＋1. 下面用数学归纳法证明： ① 当n ＝3时，显然成立； ② 假设当n ＝k(k≥3，k ∈N )时，即f(k)>k ＋1，那么，当n ＝k ＋1时，f(k ＋1)>k ＋1＋1k ＋1＝k ＋2k ＋1>k ＋2k ＋2＝k ＋2，即n ＝k ＋1时，不等式也成立． 由①②知，对任何n≥3，n ∈N 不等式成立． 备选变式（教师专享）用数学归纳法证明an ＋1＋(a ＋1)2n －1能被a2＋a ＋1整除(n ∈N*)． 证明：① 当n ＝1时，a2＋(a ＋1)＝a2＋a ＋1可被a2＋a ＋1整除． ② 假设n ＝k(k ∈N*)时，ak ＋1＋(a ＋1)2k －1能被a2＋a ＋1整除，则当n ＝k ＋1时，ak ＋2＋(a ＋1)2k ＋1＝a·ak ＋1＋(a ＋1)2(a ＋1)2k －1＝a·ak ＋1＋a·(a ＋1)2k －1＋(a2＋a ＋1)(a ＋1)2k －1＝a[ak ＋1＋(a ＋1)2k －1]＋(a2＋a ＋1)(a ＋1)2k －1，由假设可知a[ak ＋1＋(a ＋1)2k －1]能被a2＋a ＋1整除，(a2＋a ＋1)(a ＋1)2k －1也能被a2＋a ＋1整除，∴ ak ＋2＋(a ＋1)2k ＋1能被a2＋a ＋1整除，即n ＝k ＋1时命题也成立， ∴ 对任意n ∈N*原命题成立． 题型3 证明整除例3 用数学归纳法证明：f(n)＝(2n ＋7)·3n ＋9(n ∈N*)能被36整除． 证明：① 当n ＝1时，f(1)＝(2×1＋7)×3＋9＝36，能被36整除．② 假设n ＝k 时，f(k)能被36整除，则当n ＝k ＋1时，f(k ＋1)＝[2(k ＋1)＋7]·3k ＋1＋9＝3[(2k ＋7)·3k ＋9]＋18(3k －1－1)，由归纳假设3[(2k ＋7)·3k ＋9]能被36整除，而3k －1－1是偶数，所以18(3k －1－1)能被36整除．所以n ＝k ＋1时，f(n)能被36整除． 由①②知，对任何n ∈N f(n)能被36整除． 备选变式（教师专享）已知数列{bn}是等差数列，b1＝1，b1＋b2＋…＋b10＝145. (1) 求数列{bn}的通项公式bn ；(2) 设数列{an}的通项an ＝loga⎝⎛⎭⎫1＋1bn (其中a ＞0且a≠1)．记Sn 是数列{an}的前n 项和，试比较Sn 与13logabn ＋1的大小，并证明你的结论. 解：(1) 设数列{bn}的公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b1＝1，10b1＋10（10－1）2d ＝145Þ⎩⎪⎨⎪⎧b1＝1，d ＝3， ∴ bn ＝3n －2.(2) 由bn ＝3n －2，知Sn ＝loga(1＋1)＋loga ⎝⎛⎭⎫1＋14＋…＋loga ⎝⎛⎭⎫1＋13n －2＝loga ⎣⎡⎦⎤（1＋1）⎝⎛⎭⎫1＋14…⎝⎛⎭⎫1＋13n －2 而13logabn ＋1＝loga 33n ＋1，于是，比较Sn 与13logabn ＋1的大小比较(1＋1)⎝⎛⎭⎫1＋14…⎝⎛⎭⎫1＋13n －2与33n ＋1的大小 . 取n ＝1，有1＋1＝38>34＝33×1＋1， 取n ＝2，有(1＋1)⎝⎛⎭⎫1＋14>38>37＝33×2＋1.推测 (1＋1)⎝⎛⎭⎫1＋14…⎝⎛⎭⎫1＋13n －2＞33n ＋1，(*) ① 当n ＝1时，已验证(*)式成立；② 假设n ＝k(k≥1)时(*)式成立，即(1＋1)⎝⎛⎭⎫1＋14…⎝⎛⎭⎫1＋13k －2＞33k ＋1，则当n ＝k ＋1时，(1＋1)⎝⎛⎭⎫1＋14…⎝⎛⎭⎫1＋13k －2⎣⎡⎦⎤1＋13（k ＋1）－2>33k ＋1⎝⎛⎭⎫1＋13k ＋1＝3k ＋23k ＋133k ＋1.∵ ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k ＋23k ＋133k ＋13－(33k ＋4)3＝（3k ＋2）3－（3k ＋4）（3k ＋1）2（3k ＋1）2＝9k ＋4（3k ＋1）2>0，∴ 33k ＋13k ＋1(3k ＋2)>33k ＋4＝33（k ＋1）＋1， 从而(1＋1)⎝⎛⎭⎫1＋14…⎝⎛⎭⎫1＋13k －2⎝⎛⎭⎫1＋13k ＋1>33（k ＋1）＋1，即当n ＝k ＋1时，(*)式成立．由①②知(*)式对任意正整数n 都成立．于是，当a ＞1时，Sn ＞13logabn ＋1，当 0＜a ＜1时，Sn ＜13logabn ＋1.题型4 归纳、猜想与证明例4 已知数列{an}满足a1＝1，且4an ＋1－anan ＋1＋2an ＝9(n ∈N )．(1) 求a2，a3，a4的值；(2) 由(1) 猜想{an}的通项公式，并给出证明．解：(1) 由4an ＋1－anan ＋1＋2an ＝9，得an ＋1＝9－2an 4－an ＝2－1an －4，求得a2＝73，a3＝135，a4＝197.(2) 猜想an ＝6n －52n －1.证明：①当n ＝1时，猜想成立．②设当n ＝k 时(k ∈N*)时，猜想成立，即ak ＝6k －52k －1，则当n ＝k ＋1时，有ak ＋1＝2－1ak －4＝2－16k －52k －1－4＝6k ＋12k ＋1＝6（k ＋1）－52（k ＋1）－1，所以当n ＝k＋1时猜想也成立． 综合①②，猜想对任何n ∈N*都成立． 备选变式（教师专享）已知f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n(n ∈N)，g(n)＝2(n ＋1－1)(n ∈N )．(1) 当n ＝1，2，3时，分别比较f(n)与g(n)的大小(直接给出结论)；(2) 由(1)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并证明你的结论． 解：(1) 当n ＝1时，f(1)>g(1)； 当n ＝2时，f(2)>g(2)； 当n ＝3时，f(3)>g(3)．(2) 猜想：f(n)>g(n)(n ∈N*)，即1＋12＋13＋…＋1n >2(n ＋1－1)(n ∈N*)．下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，f(1)＝1，g(1)＝2(2－1)，f(1)>g(1)． ②假设当n ＝k 时，猜想成立，即1＋12＋13＋…＋1k >2(k ＋1－1)．则当n ＝k ＋1时，f(k ＋1)＝1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1>2(k ＋1－1)＋1k ＋1＝2k ＋1＋1k ＋1－2， 而g(k ＋1)＝2(k ＋2－1)＝2k ＋2－2，下面转化为证明：2k ＋1＋1k ＋1>2k ＋2.只要证：2(k ＋1)＋1＝2k ＋3>2（k ＋2）（k ＋1）， 需证：(2k ＋3)2>4(k ＋2)(k ＋1)，即证：4k2＋12k ＋9>4k2＋12k ＋8，此式显然成立． 所以，当n ＝k ＋1时猜想也成立． 综上可知：对n ∈N*，猜想都成立，即1＋12＋13＋…＋1n>2(n ＋1－1)(n ∈N*)成立．1. 用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n ，其中n>1且n ∈N*，在验证n ＝2时，式子的左边等于________．答案：1＋12＋13⎝⎛⎭⎫或116解析：当n ＝2时，式子的左边等于1＋12＋122－1＝1＋12＋13.2. 用数学归纳法证明“2n ＋1≥n2＋n ＋2(n ∈N*)”时，第一步验证的表达式为________． 答案：21＋1≥12＋1＋2(或22≥4或4≥4也算对) 解析：当n ＝1时，21＋1≥12＋1＋2.3. 用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，xn ＋yn 能被x ＋y 整除”的第二步是____． 答案：假设n ＝2k －1(k ∈N*)时正确，再推n ＝2k ＋1(k ∈N*)正确解析：因为n 为正奇数，根据数学归纳法证题的步骤，第二步应先假设第k 个正奇数也成立，本题先假设n ＝2k －1(k ∈N*)正确，再推第k ＋1个正奇数，即n ＝2k ＋1(k ∈N*)正确． 4. (2013·广东理)设数列{an}的前n 项和为Sn.已知a1＝1，2Sn n ＝an ＋1－13n2－n －23，n ∈N*. (1) 求a2的值；(2) 求数列{an}的通项公式；(3) 证明：对一切正整数n ，有1a1＋1a2＋…＋1an <74. (1) 解：∵ 2Sn n ＝an ＋1－13n2－n －23，n ∈N*. ∴ 当n ＝1时，2a1＝2S1＝a2－13－1－23＝a2－2. 又a1＝1，∴ a2＝4.(2) 解：∵ 2Sn n ＝an ＋1－13n2－n －23，n ∈N*. ∴ 2Sn ＝nan ＋1－13n3－n2－23n ＝nan ＋1－n （n ＋1）（n ＋2）3， ① ∴ 当n≥2时，2Sn －1＝(n －1)an －（n －1）n （n ＋1）3， ② 由①－②，得 2Sn －2Sn －1＝nan ＋1－(n －1)an －n(n ＋1)． ∵ 2an ＝2Sn －2Sn －1，∴ 2an ＝nan ＋1－(n －1)an －n(n ＋1)， ∴an ＋1n ＋1－ann＝1. ∴ 数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫an n 是以首项为a11＝1，公差为1的等差数列.∴ ann ＝1＋1×(n －1)＝n ，∴an ＝n2(n≥2)， 当n ＝1时，上式显然成立．∴ an ＝n2，n ∈N* .(3) 证明：由(2)知，an ＝n2，n ∈N* ， ① 当n ＝1时，1a1＝1<74， ∴ 原不等式成立.② 当n ＝2时， 1a1＋1a2＝1＋14<74， ∴ 原不等式亦成立.③ 当n≥3时， ∵ n2>(n －1)·(n ＋1)，∴ 1n2<1（n －1）·（n ＋1） ，∴ 1a1＋1a2＋…＋1an ＝112＋122＋…＋1n2<1＋11×3＋12×4＋…＋1（n －2）·n ＋1（n －1）·（n ＋1）＝1＋12⎝⎛⎭⎫11－13＋12⎝⎛⎭⎫12－14＋12(13－15)＋…＋12⎝⎛⎭⎫1n －2－1n ＋12⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＋1＝1＋12(11－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －2－1n ＋1n －1－1n ＋1)＝1＋12⎝⎛⎭⎫11＋12－1n －1n ＋1＝74＋12·⎝⎛⎭⎫－1n －1n ＋1<74， ∴ 当n≥3时，原不等式亦成立.综上，对一切正整数n ，有1a1＋1a2＋…＋1an <74.1. 用数学归纳法证明“12＋22＋32＋…＋n2＝16n(n ＋1)(2n ＋1)(n ∈N*)”，当n ＝k ＋1时，应在n ＝k 时的等式左边添加的项是________． 答案：(k ＋1)2解析：[12＋22＋…＋k2＋(k ＋1)2]－(12＋22＋…＋k2)＝(k ＋1)2.2. 用数学归纳法证明不等式：1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n2＞1(n ∈N*且n ＞1)．证明：①当n ＝2时，左边＝12＋13＋14＝1312＞1， ∴n ＝2时不等式成立；②假设当n ＝k(k≥2)时不等式成立， 即1k ＋1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k2＞1，那么当n ＝k ＋1时，左边＝1k ＋1＋…＋1k2＋⎝⎛⎭⎫1k2＋1＋…＋1（k ＋1）2＝1k ＋1k ＋1＋…＋1k2＋⎝⎛⎭⎫1k2＋1＋…＋1（k ＋1）2－1k ＞1＋(2k ＋1)·1k2＋1－1k ＝1＋k2＋k －1k （k2＋1）＞1.综上，对于任意n ∈N*，n>1不等式均成立，原命题得证．3. 设函数f(x)＝x －xlnx ，数列{an}满足0＜a1＜1，an ＋1＝f(an)．求证： (1) 函数f(x)在区间(0，1)是增函数； (2) an ＜an ＋1＜1.证明：(1) f(x)＝x －xlnx ，f ′(x)＝－lnx ，当x ∈(0，1)时，f ′(x)＝－lnx ＞0，故函数f(x)在区间(0，1)上是增函数． (2) (用数学归纳法)①当n ＝1时，0＜a1＜1，a1ln a1＜0，a2＝f(a1)＝a1－a1lna1＞a1.由函数f(x)在区间(0，1)是增函数，且f(1)＝1，得f(x)在区间(0，1)是增函数，a2＝f(a1)＝a1－a1lna1＜f(1)＝1，即a1＜a2＜1成立． ②假设当n ＝k(k ∈N*)时，ak ＜ak ＋1＜1成立， 即0＜a1≤ak ≤ak ＋1＜1，那么当n ＝k ＋1时，由f(x)在区间(0，1]上是增函数，得0＜a1≤ak ≤ak ＋1＜1，得f(ak)＜f(ak ＋1)＜f(1)，而an ＋1＝f(an)，则ak ＋1＝f(ak)，ak ＋2＝f(ak ＋1)，即ak ＋1＜ak ＋2＜1，也就是说当n ＝k ＋1时，an ＜an ＋1＜1也成立． 由①②可得对任意的正整数n ，an ＜an ＋1＜1恒成立． 4. (2013·江苏改编)设数列{an}：1，－2，－2，3，3，3，－4，－4，－4，－4，…，(－1)k －1k ，…，(－1)k －1k k 个，即当（k －1）k 2<n ≤k （k ＋1）2(k ∈N*)时，an ＝(－1)k －1k ，记Sn ＝a1＋a2＋…＋an(n ∈N*)，用数学归纳法证明Si(2i ＋1)＝－i(2i ＋1)(i ∈N*)． 证明：①当i ＝1时，Si(2i ＋1)＝S3＝－1·(2＋1)＝－3， 故原式成立．②假设当i ＝m 时，等式成立，即Sm(2m ＋1)＝－m·(2m ＋1)． 则当i ＝m ＋1时，S(m ＋1)[2(m ＋1)＋1]＝S(m ＋1)(2m ＋3)＝Sm(2m ＋1)＋(2m ＋1)2－(2m ＋2)2＝－m(2m ＋1)＋(2m ＋1)2－(2m ＋2)2 ＝－(2m2＋5m ＋3)＝－(m ＋1)(2m ＋3)，故原式成立． 综合①②得：Si(2i ＋1)＝－i(2i ＋1)．1. 数学归纳法是专门证明与整数有关命题的一种方法，他分两步，第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，两步缺一不可．2. 运用数学归纳法时易犯的错误①对项数估算的错误，特别是寻找n ＝k 与n ＝k ＋1的关系时，项数发生什么变化被弄错；②没有利用归纳假设；③关键步骤含糊不清，“假设n ＝k 时结论成立，利用此假设证明n ＝k ＋1时结论也成立”，是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，对推导的过程要把步骤写完整，注意证明过程的严谨性和规范性．[备课札记]。