2015年高考理科数学试题全国卷2及解析word完美版

2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标II）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）3．（5分）根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）∴=35．（5分）设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（），=12×=66．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）B正方体切掉部分的体积为1==．7．（5分）过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圆交y轴于M，N两点，则|MN|= 2，则2．8．（5分）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=（）9．（5分）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥=10．（5分）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则y=f （x）的图象大致为（）B时，AP==，+tanx≤≤≤≠时，PA+PB=2≤﹣x=对称，）＞）时的解析式是解决本11．（5分）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶B在双曲线﹣，a在双曲线=1﹣=1，==．12．（5分）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′=，则=====0或，二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设向量，不平行，向量λ+与+2平行，则实数λ=．λ+与+2，不平行，向量λ+与+2λ++2），解得；故答案为：．，使得14．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．）；故答案为：．15．（5分）（a+x）（1+x）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a=3．16．（5分）设S n是数列{a n}的前n项和，且a1=﹣1，a n+1=S n S n+1，则S n=﹣．{∴﹣=，即={∴，．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．B=C=从而得解∵=2=，∴B==，∴C=；∴=．×．∴=2由余弦定理可得：=的长为18．（12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的频率，求C的概率．，发生的频率为，，，，，=，=×+×=0.4819．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；（2）求直线AF与平面α所成角的正弦值．，根据即可求出法向量，坐标可以求出，可设直线即可求得直线∴∴，则=所成角的正弦值为20．（12分）已知椭圆C：9x2+y2=m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（2）若l过点（，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．==+b==过点（，即，b=，=2×，﹣，或时，四边形21．（12分）设函数f（x）=e mx+x2﹣mx．（1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；（2）若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m的取值范围．四、选做题.选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．（1）证明：EF∥BC；（2）若AG等于⊙O的半径，且AE=MN=2，求四边形EBCF的面积．DM=MN=，∴AB=的面积为×××=选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ．（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．cos=2．可得直角坐标方程：，，．：（B选修4-5：不等式选讲24．设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：（1）若ab＞cd，则+＞+；（2）+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．++++）由于（）=a+b+2+=c+d+2＞+）+++若＞+，则（）＞（）a+b+2c+d+2，+）+综上可得，++。

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷( 非选择题)两部分，共150 分，考试时间120 分钟．第Ⅰ卷(选择题共60 分)2014·新课标Ⅱ卷第1页一、选择题(本大题共12 小题，每小题5分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合M＝{0,1,2} ，N＝{ x| x2－3x＋2≤0} ，则M∩N＝( )A．{1} B．{2} C．{0,1} D．{1,2} 2．设复数z1，z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i ，则z1z2＝( )A．－5 B ．5 C ．－4＋i D ．－4－i3．设向量a，b满足| a＋b| ＝10，| a－b| ＝6，则a·b＝( )A．1 B ．2 C ．3 D ．54．钝角三角形ABC的面积是12，AB＝1，BC＝2，则A C＝( )A．5 B. 5 C ．2 D ．15．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75 ，连续两天为优良的概率是0.6 ，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )A．0.8 B ．0.75 C ．0.6 D ．0.456．如图，网格纸上正方形小格的边长为1( 表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm，高为6 cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )A. 1727B.59C.1027D.137．执行如图所示的程序框图，如果输入的x，t 均为2，则输出的S＝( )A．4 B ．5 C ．6 D ．78．设曲线y＝ax－ln( x＋1) 在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝( ) A．0 B ．1 C ．2 D ．3专业技术参考资料x ＋y －7≤ 0， x －3y ＋ 1≤ 0，9．设x ，y 满足约束条件则z ＝2x －y 的最大值为()3x －y － 5≥ 0，A ．10B ．8C ． 3D ．2210．设F 为抛物线C ：y ＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交 C 于 A ，B 两点， O 为坐标原点，则△ OAB 的面积为( )A. 3 3 4B. 9 3 8C. 63 32D. 9 411．直三棱柱 ABC －A 1B 1C 1 中，∠ BCA ＝90°，M ，N 分别是 A 1B 1，A 1C 1 的中点， BC ＝ C A ＝C C 1， 则B M 与 AN 所成角的余弦值为( )A. 1 10B. 2 5C. 30 10D. 2 22014· 新课标Ⅱ卷第 2页12.设函数 f ( x ) ＝ 3sinπx 2m . 若存在 f ( x ) 的极值点 x 0满足 x＋[ f ( x 0)] 22<m ，则m 的取值范围是 ( )A ．( －∞，－ 6) ∪ (6 ，＋∞ )B ． ( －∞，－ 4) ∪(4 ，＋∞)C ．( －∞，－ 2) ∪ (2 ，＋∞ )D ． ( －∞，－ 1) ∪(1 ，＋∞)第Ⅱ卷 ( 非选择题共 90 分)二、填空题( 本大题共 4 小题，每小题5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上 )13． ( x ＋a )10 的展开式中， x 7 的系数为15，则a ＝________.( 用数字填写答案 ) 14．函数 f ( x ) ＝sin( x ＋2φ) －2sin φcos( x ＋φ) 的最大值为________． 15．已知偶函数 f ( x ) 在[0 ，＋∞)单调递减， f (2) ＝0. 若 f ( x －1)>0 ，则x 的取值范围是 ________．16．设点 M ( x 0, 1) ，若在圆O ：x2＋y 2＝1 上存在点 N ，使得∠ OM ＝N 45°，则x的取值范围是________． 三、解答题( 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17． ( 本小题满分 12 分) 已知数列 { a n }满足 a 1＝ 1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明 a n ＋ 1 2是等比数列，并求 { a n } 的通项公式；11 (2)证明 ＋＋⋯＋13 < . a n 2a1 a2参考资料专业技术2014·新课标Ⅱ卷第3页18．(本小题满分12分)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为P D的中点．(1)证明：PB∥平面AEC；(2)设二面角D-AE-C为60°，AP＝1，AD＝3，求三棱锥E－ACD的体积．19．(本小题满分12分)某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元)的数据如下表：专业技术参考资料年份2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份代号t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 (1) 求y 关于t 的线性回归方程；2014·新课标Ⅱ卷第4页(2) 利用(1) 中的回归方程，分析2007 年至2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015 年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：n－y －i ＝1 t i －y∑i －t^b＝n－ 2i ＝1 t∑i－t^－，a＝y^－－b t .20.( 本小题满分12 分)设F1，F2 分别是椭圆C：2x2＋a2y2＝1( a>b>0)的左、右焦点，M是C上一b点且M F2 与x轴垂直，直线M F1 与C的另一个交点为N.3(1) 若直线M N的斜率为，求C的离心率；42014·新课标Ⅱ卷第5页(2) 若直线M N在y轴上的截距为2，且| MN| ＝5| F1N| ，求a，b.专业技术参考资料x －x21．( 本小题满分12 分) 已知函数 f ( x) ＝e －e －2x.(1) 讨论 f ( x) 的单调性；(2) 设g( x) ＝f (2 x) －4bf( x) ，当x>0 时，g( x)>0 ，求b 的最大值；(3) 已知1.414 2< 2<1.414 3 ，估计ln 2 的近似值( 精确到0.001) ．2014·新课标Ⅱ卷第6 页请考生在第22、23、24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22．( 本小题满分10 分)选修4－1：几何证明选讲如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2PA，D为P C的中点，AD的延长线交⊙O于点E. 证明：(1) BE＝EC；专业技术参考资料2(2) AD·D E＝2PB.23．( 本小题满分10 分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈0，(1) 求C的参数方程；π2.(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝3x＋2 垂直，根据(1) 中你得到的参数方程，确定D的坐标．24．( 本小题满分10 分)选修4－5：不等式选讲设函数 f ( x) ＝x＋1a ＋| x－a|( a>0) ．(1)证明：f( x) ≥2；(2) 若f (3)<5 ，求a的取值范围．专业技术参考资料。

2015年普通高等学校招生全国统一考试试题及答案理科数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知集合{}21012，，，，--=A ,()(){}021<+-=x x x B ,则=B A A、{}0,1-B、{}1,0C、{}101，，-D、{}210，，2、若a 为实数，且()()i i a ai 422-=-+，则=a A、-1B、0C、1D、23、根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是A、逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最明显B、2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C、2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D、2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4、已知等比数列{}n a 满足31=a ，21531=++a a a ，则=++753a a aA、21B、42C、63D、845、设函数()()⎩⎨⎧-+=-1222log 1x x x f ,11≥<x x ,则()()=+-12log 22f f A、3B、6C、9D、126、一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则截去部分体积与所剩部分体积的比值为A、81B、71C、61D、517、过三点()31，A ，()24，B ，()7,1-C 的圆与y 轴交于M 、N 两点，则=MN A、62B、8C、64D、108、右边程序框图的算法思路源于我国古代算术名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14,18，则输出的=a A、0B、2C、4D、149、已知A ，B 是球O 的球面上两点， 90=∠AOB ，C 为该球面上的动点。

2015年高考全国卷2理科数学试题1．已知集合{2,1,0,1,2}A =--，{|(1)(2)0}B x x x =-+<，则A B =IA ．{1,0}-B ．{0,1}C ．{1,0,1}-D ．{0,1,2}2．若a 为实数，且(2)(2)4ai a i i +-=-，则a =A ．-1B ．0C ．1D ．23．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论不正确的是A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势2004年 2005年 2006年 2007年 2008年 2009年 2010年 2011年 2012年 2013年190020002100220023002400250026002700D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4．已知等比数列{}na满足a1 = 3，a1 + a3 + a5 = 21，则a3 + a5 + a7 = A．21 B．42 C．63 D．845．设函数211log(2),1()2,1xx xf xx-+-<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，则2(2)(log12)f f-+=A．3 B．6 C．9 D．12 6．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为A．18B．17C．16D．157．过三点(1,3)A，(4,2)B，(1,7)C-的圆交y轴于M，N两点，则||MN= A．B．8 C．D．10 8．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。

执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14，18，则输出的a =A ．0B ．2C ．4D ．149．已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB = 90°，C 为该球面上的动点。

2015年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅱ)理 数本卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={-2,-1,0,1,2},B={x|(x-1)(x+2)<0},则A∩B=( ) A.{-1,0}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{0,1,2}2.若a 为实数,且(2+ai)(a-2i)=-4i,则a=( ) A.-1B.0C.1D.23.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论中不正确的是( )A.逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4.已知等比数列{a n }满足a 1=3,a 1+a 3+a 5=21,则a 3+a 5+a 7=( ) A.21B.42C.63D.845.设函数f(x)={1+log 2(2-x ), x <1,2x -1,x ≥1,则f(-2)+f(log 212)=( )A.3B.6C.9D.126.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如图所示,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.18B.17C.16D.157.过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=( )A.2√6B.8C.4√6D.108.下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入的a,b分别为14,18,则输出的a=( )A.0B.2C.4D.149.已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为( )A.36πB.64πC.144πD.256π10.如图,长方形ABCD的边AB=2,BC=1,O是AB的中点.点P沿着边BC,CD与DA运动,记∠BOP=x.将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数f(x),则y=f(x)的图象大致为( )11.已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则E的离心率为( )A.√5B.2C.√3D.√212.设函数f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf'(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x 的取值范围是( ) A.(-∞,-1)∪(0,1)B.(-1,0)∪(1,+∞)C.(-∞,-1)∪(-1,0)D.(0,1)∪(1,+∞)第Ⅱ卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.设向量a,b 不平行,向量λa+b 与a+2b 平行,则实数λ= . 14.若x,y 满足约束条件{x -y +1≥0,x -2y ≤0,x +2y -2≤0,则z=x+y 的最大值为 .15.(a+x)(1+x)4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32,则a= . 16.设S n 是数列{a n }的前n 项和,且a 1=-1,a n+1=S n S n+1,则S n = .三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)△ABC 中,D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC,△ABD 面积是△ADC 面积的2倍. (Ⅰ)求sin∠Bsin∠C; (Ⅱ)若AD=1,DC=√22,求BD 和AC 的长.18.(本小题满分12分)某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下:A地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区: 73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79(Ⅰ)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可);A地区B地区456789(Ⅱ)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级:满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记事件C:“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的评价结果相互独立.根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求C的概率.19.(本小题满分12分)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4.过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);(Ⅱ)求直线AF与平面α所成角的正弦值.20.(本小题满分12分)已知椭圆C:9x2+y2=m2(m>0),直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.(Ⅰ)证明:直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值;,m),延长线段OM与C交于点P,四边形OAPB能否为平行四边形?若能,求此(Ⅱ)若l过点(m3时l的斜率;若不能,说明理由.21.(本小题满分12分)设函数f(x)=e mx+x2-mx.(Ⅰ)证明:f(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增;(Ⅱ)若对于任意x1,x2∈[-1,1],都有|f(x1)-f(x2)|≤e-1,求m的取值范围.请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,O为等腰三角形ABC内一点,☉O与△ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高AD交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点.(Ⅰ)证明:EF∥BC;(Ⅱ)若AG等于☉O的半径,且AE=MN=2√3,求四边形EBCF的面积.23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线C 1:{x =tcosα,y =tsinα(t 为参数,t≠0),其中0≤α<π.在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ=2sinθ,C 3:ρ=2√3cosθ. (Ⅰ)求C 2与C 3交点的直角坐标;(Ⅱ)若C 1与C 2相交于点A,C 1与C 3相交于点B,求|AB|的最大值.24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲 设a,b,c,d 均为正数,且a+b=c+d,证明: (Ⅰ)若ab>cd,则√a +√b >√c +√d ;(Ⅱ)√a +√b >√c +√d 是|a-b|<|c-d|的充要条件.2015年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅱ)一、选择题1.A 因为B={x|(x-1)(x+2)<0}={x|-2<x<1},A={-2,-1,0,1,2},故A ∩B={-1,0}.选A.2.B ∵(2+ai)(a -2i)=-4i ⇒4a+(a 2-4)i=-4i, ∴{4a =0,a 2-4=-4,解得a=0. 3.D 由柱形图可知:A 、B 、C 均正确,2006年以来我国二氧化硫年排放量在逐渐减少,所以排放量与年份负相关,∴D 不正确.4.B 设{a n }的公比为q,由a 1=3,a 1+a 3+a 5=21得1+q 2+q 4=7,解得q 2=2(负值舍去).∴a 3+a 5+a 7=a 1q 2+a 3q 2+a 5q 2=(a 1+a 3+a 5)q 2=21×2=42.5.C ∵-2<1,∴f(-2)=1+log 2[2-(-2)]=3;∵log 212>1, ∴f(log 212)=2log 212-1=2log 26=6.∴f(-2)+f(log 212)=9.6.D 如图,由已知条件可知,截去部分是以△ABC 为底面且三条侧棱两两垂直的正三棱锥D-ABC.设正方体的棱长为a,则截去部分的体积为16a 3,剩余部分的体积为a 3-16a 3=56a 3.它们的体积之比为15.故选D.评析 本题主要考查几何体的三视图和体积的计算,考查空间想象能力. 7.C 设圆心为P(a,b),由点A(1,3),C(1,-7)在圆上,知b=3-72=-2.再由|PA|=|PB|,得a=1.则P(1,-2),|PA|=√(1-1)2+(3+2)2=5,于是圆P 的方程为(x-1)2+(y+2)2=25.令x=0,得y=-2±2√6,则|MN|=|(-2+2√6)-(-2-2√6)|=4√6. 8.B 开始:a=14,b=18,第一次循环:a=14,b=4; 第二次循环:a=10,b=4; 第三次循环:a=6,b=4; 第四次循环:a=2,b=4; 第五次循环:a=2,b=2. 此时,a=b,退出循环,输出a=2.评析 熟悉“更相减损术”对理解框图所确定的算法有帮助. 9.C ∵S △OAB 是定值,且V O-ABC =V C-OAB ,∴当OC ⊥平面OAB 时,V C-OAB 最大,即V O-ABC 最大.设球O 的半径为R,则(V O-ABC )max =13×12R 2×R=16R 3=36,∴R=6,∴球O 的表面积S=4πR 2=4π×62=144π.评析 点C 是动点,如果以△ABC 为底面,则底面面积与高都是变量,因此转化成以△OAB 为底面(S △OAB 为定值),这样高越大,体积越大.10.B 当点P 与C 、D 重合时,易求得PA+PB=1+√5;当点P 为DC 的中点时,有OP ⊥AB,则x=π2,易求得PA+PB=2PA=2√2.显然1+√5>2√2,故当x=π2时, f(x)没有取到最大值,则C 、D 选项错误.当x ∈[0,π4)时, f(x)=tan x+√4+tan 2x ,不是一次函数,排除A,故选B.11.D 设双曲线E 的标准方程为x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0),则A(-a,0),B(a,0),不妨设点M 在第一象限内,则易得M(2a,√3a),又M 点在双曲线E 上,于是(2a)2a 2-(√3a)2b2=1,解得b 2=a 2,∴e=√1+b 2a 2=√2.12.A 令g(x)=f(x)x,则g'(x)=xf '(x)-f(x)x 2,由题意知,当x>0时,g'(x)<0,∴g(x)在(0,+∞)上是减函数.∵f(x)是奇函数, f(-1)=0,∴f(1)=-f(-1)=0, ∴g(1)=f(1)1=0,∴当x ∈(0,1)时,g(x)>0,从而f(x)>0; 当x ∈(1,+∞)时,g(x)<0,从而f(x)<0.又∵g(-x)=f(-x)-x=-f(x)-x=f(x)x=g(x),∴g(x)是偶函数,∴当x ∈(-∞,-1)时,g(x)<0,从而f(x)>0; 当x ∈(-1,0)时,g(x)>0,从而f(x)<0. 综上,所求x 的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1).评析 出现xf '(x)+f(x)>0(<0)时,考虑构造函数F(x)=xf(x),出现xf '(x)-f(x)>0(<0)时,考虑构造函数g(x)=f(x)x.二、填空题 13.答案12解析 由于a,b 不平行,所以可以以a,b 作为一组基底,于是λa+b 与a +2b 平行等价于λ1=12,即λ=12.14.答案32解析 作出可行域,如图:由z=x+y 得y=-x+z,当直线y=-x+z 过点A (1,12)时,z 取得最大值,z max =1+12=32.15.答案 3解析 设f(x)=(a+x)(1+x)4,则其所有项的系数和为f(1)=(a+1)·(1+1)4=(a+1)×16,又奇数次幂项的系数和为12[f(1)-f(-1)],∴12×(a+1)×16=32,∴a=3.评析 二项展开式问题中,涉及系数和的问题,通常采用赋值法. 16.答案 -1n解析∵a n+1=S n+1-S n,∴S n+1-S n=S n+1S n,又由a1=-1,知S n≠0,∴1S n -1S n+1=1,∴{1S n}是等差数列,且公差为-1,而1S1=1a1=-1,∴1S n=-1+(n-1)×(-1)=-n,∴S n=-1n.三、解答题17.解析(Ⅰ)S△ABD=12AB·ADsin∠BAD,S△ADC=12AC·ADsin∠CAD.因为S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD,所以AB=2AC.由正弦定理可得sin∠Bsin∠C =ACAB=12.(Ⅱ)因为S△ABD∶S△ADC=BD∶DC,所以BD=√2.在△ABD和△ADC中,由余弦定理知AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB,AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC.故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由(Ⅰ)知AB=2AC,所以AC=1.评析本题考查正弦定理,余弦定理的应用,以及三角形的面积公式.属常规题,中等偏易.18.解析(Ⅰ)两地区用户满意度评分的茎叶图如下:A地区B地区4 6 83 5 1 3 6 46 4 2 6 2 4 5 56 8 8 64 3 73 34 699 2 8 65 18 3 2 17 5 5 2 9 1 3通过茎叶图可以看出,A 地区用户满意度评分的平均值高于B 地区用户满意度评分的平均值;A 地区用户满意度评分比较集中,B 地区用户满意度评分比较分散.(Ⅱ)记C A1表示事件:“A 地区用户的满意度等级为满意或非常满意”;C A2表示事件:“A 地区用户的满意度等级为非常满意”;C B1表示事件:“B 地区用户的满意度等级为不满意”;C B2表示事件:“B 地区用户的满意度等级为满意”,则C A1与C B1独立,C A2与C B2独立,C B1与C B2互斥,C=C B1C A1∪C B2C A2.P(C)=P(C B1C A1∪C B2C A2)=P(C B1C A1)+P(C B2C A2)=P(C B1)P(C A1)+P(C B2)P(C A2).由所给数据得C A1,C A2,C B1,C B2发生的频率分别为1620,420,1020,820,故P(C A1)=1620,P(C A2)=420,P(C B1)=1020,P(C B2)=820,P(C)=1020×1620+820×420=0.48.19.解析 (Ⅰ)交线围成的正方形EHGF 如图:(Ⅱ)作EM ⊥AB,垂足为M,则AM=A 1E=4,EM=AA 1=8.因为EHGF 为正方形,所以EH=EF=BC=10.于是MH=√EH 2-EM 2=6,所以AH=10.以D 为坐标原点,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则A(10,0,0),H(10,10,0),E(10,4,8),F(0,4,8),FE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(10,0,0),HE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-6,8). 设n =(x,y,z)是平面EHGF 的法向量,则{n ·FE ⃗⃗⃗⃗ =0,n ·HE⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{10x =0,-6y +8z =0, 所以可取n =(0,4,3).又AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-10,4,8),故|cos<n ,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|n ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗||n||AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4√515. 所以AF 与平面EHGF 所成角的正弦值为4√515. 评析 本题背景常规,设问新颖,鼓励动手试验、创新尝试、独立思考.对空间想象力有较高要求.20.解析 (Ⅰ)设直线l:y=kx+b(k ≠0,b ≠0),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),M(x M ,y M ).将y=kx+b 代入9x 2+y 2=m 2得(k 2+9)x 2+2kbx+b 2-m 2=0,故x M =x 1+x 22=-kb k 2+9,y M =kx M +b=9b k 2+9.于是直线OM 的斜率k OM =y M x M =-9k ,即k OM ·k=-9.所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值.(Ⅱ)四边形OAPB 能为平行四边形.因为直线l 过点(m 3,m),所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是k>0,k ≠3. 由(Ⅰ)得OM 的方程为y=-9k x.设点P 的横坐标为x P .由{y =-9k x,9x 2+y 2=m 2得x P 2=k 2m 29k 2+81,即x P =3√k 2+9. 将点(m 3,m)的坐标代入l 的方程得b=m(3-k)3,因此x M =k(k -3)m 3(k 2+9). 四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分,即x P =2x M .于是3√k 2+9=2×k(k -3)m3(k 2+9),解得k 1=4-√7,k 2=4+√7. 因为k i >0,k i ≠3,i=1,2,所以当l 的斜率为4-√7或4+√7时,四边形OAPB 为平行四边形.评析 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系,设问常规,但对运算能力要求较高,考查学生的思维能力.21.解析 (Ⅰ)f '(x)=m(e mx -1)+2x.若m ≥0,则当x ∈(-∞,0)时,e mx -1≤0, f '(x)<0;当x ∈(0,+∞)时,e mx -1≥0, f '(x)>0.若m<0,则当x ∈(-∞,0)时,e mx -1>0, f '(x)<0;当x ∈(0,+∞)时,e mx -1<0, f '(x)>0.所以, f(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,对任意的m, f(x)在[-1,0]单调递减,在[0,1]单调递增,故f(x)在x=0处取得最小值.所以对于任意x 1,x 2∈[-1,1],|f(x 1)-f(x 2)|≤e-1的充要条件是{f(1)-f(0)≤e -1,f(-1)-f(0)≤e -1,即{e m -m ≤e -1,e -m +m ≤e -1.① 设函数g(t)=e t -t-e+1,则g'(t)=e t -1.当t<0时,g'(t)<0;当t>0时,g'(t)>0.故g(t)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增.又g(1)=0,g(-1)=e -1+2-e<0,故当t ∈[-1,1]时,g(t)≤0.当m ∈[-1,1]时,g(m)≤0,g(-m)≤0,即①式成立;当m>1时,由g(t)的单调性,g(m)>0,即e m -m>e-1;当m<-1时,g(-m)>0,即e -m +m>e-1.综上,m 的取值范围是[-1,1].22.解析 (Ⅰ)由于△ABC 是等腰三角形,AD ⊥BC,所以AD 是∠CAB 的平分线.又因为☉O 分别与AB,AC 相切于点E,F,所以AE=AF,故AD ⊥EF.从而EF ∥BC.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,AE=AF,AD ⊥EF,故AD 是EF 的垂直平分线.又EF 为☉O 的弦,所以O 在AD 上. 连结OE,OM,则OE ⊥AE.由AG 等于☉O 的半径得AO=2OE,所以∠OAE=30°.因此△ABC 和△AEF 都是等边三角形.因为AE=2√3,所以AO=4,OE=2.因为OM=OE=2,DM=12MN=√3,所以OD=1.于是AD=5,AB=10√33.所以四边形EBCF 的面积为12×(10√33)2×√32-12×(2√3)2×√32=16√33.23.解析 (Ⅰ)曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2-2y=0,曲线C 3的直角坐标方程为x 2+y 2-2√3x=0. 联立{x 2+y 2-2y =0,x 2+y 2-2√3x =0,解得{x =0,y =0,或{x =√32,y =32. 所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和(√32,32). (Ⅱ)曲线C 1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R ,ρ≠0),其中0≤α<π.因此A 的极坐标为(2sin α,α),B 的极坐标为(2√3cos α,α).所以|AB|=|2sin α-2√3cos α|=4|sin (α-π3)|.当α=5π6时,|AB|取得最大值,最大值为4.24.解析 (Ⅰ)因为(√a +√b )2=a+b+2√ab ,(√c +√d )2=c+d+2√cd ,由题设a+b=c+d,ab>cd得(√a+√b)2>(√c+√d)2. 因此√a+√b>√c+√d.(Ⅱ)(i)若|a-b|<|c-d|,则(a-b)2<(c-d)2,即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd.因为a+b=c+d,所以ab>cd.由(Ⅰ)得√a+√b>√c+√d.(ii)若√a+√b>√c+√d,则(√a+√b)2>(√c+√d)2,即a+b+2√ab>c+d+2√cd.因为a+b=c+d,所以ab>cd.于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2.因此|a-b|<|c-d|.综上,√a+√b>√c+√d是|a-b|<|c-d|的充要条件.。

CA1A 2015年高考理科数学试卷全国卷Ⅱ(3)参考答案1．A【解析】由已知得{}21B x x =-<<，故{}1,0A B =-,故选A ．考点：集合的运算． 2．B【解析】由已知得24(4)4a a i i +-=-，所以240,44a a =-=-,解得0a =,故选B ． 考点：复数的运算． 3．D【解析】由柱形图得,从2006年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年份负相关,故选D ． 考点：正、负相关． 4．B【解析】设等比数列公比为q ，则2411121a a q a q ++=，又因为13a =,所以4260q q +-=,解得22q =，所以2357135()42a a a a a a q ++=++=,故选B ．考点:等比数列通项公式和性质． 5．C【解析】由已知得2(2)1log 43f -=+=，又2log 121>,所以22log 121log 62(log 12)226f -===，故2(2)(log 12)9f f -+=，故选C ．考点:分段函数． 6．D【解析】由三视图得,在正方体1111ABCD A B C D -中，截去四面体111A A B D -，如图所示，，设正方体棱长为a ,则11133111326A AB D V a a -=⨯=，故剩余几何体体积为3331566a a a -=,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为51，故选D ．考点:三视图． 7．C【解析】由已知得321143AB k -==--，27341CB k +==--，所以1AB CB k k =-，所以AB CB ⊥,即ABC ∆为直角三角形，其外接圆圆心为(1,2)-,半径为5，所以外接圆方程为22(1)(2)25x y -++=,令0x =，得2y =±-，所以MN =C ．考点:圆的方程．8．B【解析】程序在执行过程中,a ，b 的值依次为14a =，18b =;4b =；10a =;6a =;2a =;2b =,此时2a b ==程序结束，输出a 的值为2，故选B ． 考点:程序框图． 9．C【解析】如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最大，设球O 的半径为R ，此时2311136326O ABC C AOB V V R R R --==⨯⨯==，故6R =,则球O 的表面积为24144S R ππ==，故选C ．考点：外接球表面积和椎体的体积．10．B【解析】由已知得，当点P 在BC 边上运动时，即04x π≤≤时，tan PA PB x +=；当点P 在CD 边上运动时，即3,442x x πππ≤≤≠时，PA PB +=，当2x π=时，PA PB +=;当点P 在AD 边上运动时，即34x ππ≤≤时，tan PA PB x +=,从点P 的运动过程可以看出，轨迹关于直线2x π=对称，且()()42f f ππ>，且轨迹非线型,故选B ．考点：函数的图象和性质．【解析】设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，如图所示，AB BM =，0120ABM ∠=,过点M 作MN x ⊥轴，垂足为N ，在Rt BMN ∆中，BN a =，3MN a =，故点M 的坐标为(2,3)M a a ，代入双曲线方程得2222a b a c ==-，即222c a =,所以2e =，故选D ．考点：双曲线的标准方程和简单几何性质．12．A【解析】记函数()()f x g x x=,则''2()()()xf x f x g x x -=,因为当0x >时,'()()0xf x f x -<，故当0x >时,'()0g x <，所以()g x 在(0,)+∞单调递减；又因为函数()()f x x R ∈是奇函数，故函数()g x 是偶函数，所以()g x 在(,0)-∞单调递减，且(1)(1)0g g -==．当01x <<时,()0g x >，则()0f x >；当1x <-时，()0g x <，则()0f x >，综上所述,使得()0f x >成立的x 的取值范围是(,1)(0,1)-∞-，故选A ．考点：导数的应用、函数的图象与性质． 13．12【解析】因为向量a b λ+与2a b +平行,所以2a b k a b λ+=+（），则12,k k λ=⎧⎨=⎩，所以12λ=．考点:向量共线． 14．32【解析】画出可行域，如图所示，将目标函数变形为y x z =-+，当z 取到最大时,直线y x z =-+的纵截距最大，故将直线尽可能地向上平移到1(1,)2D ，则z x y =+的最大值为32． 考点：线性规划．xy–1–2–3–41234–1–2–3–41234DCBO【解析】试题分析：由已知得4234(1)1464x x x x x +=++++，故4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项分别为4ax ，34ax ,x ，36x ，5x ，其系数之和为441+6+1=32a a ++，解得3a =． 考点：二项式定理． 16．1n-【解析】由已知得111n n n n n a S S S S +++=-=⋅，两边同时除以1n n S S +⋅，得1111n nS S +=--，故数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1-为首项，1-为公差的等差数列，则11(1)n S n n =---=-，所以1n S n=-． 考点：等差数列和递推关系． 17．【解析】（Ⅰ）1sin 2ABD S AB AD BAD ∆=⋅∠,1sin 2ADC S AC AD CAD ∆=⋅∠,因为2ABDADC S S ∆∆=，BAD CAD ∠=∠,所以2AB AC =．由正弦定理可得sin 1sin 2B AC C AB ∠==∠．（Ⅱ)因为::ABD ADC S S BD DC ∆∆=，所以2BD =．在ABD ∆和ADC ∆中,由余弦定理得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠，2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠． 222222326AB AC AD BD DC +=++=．由（Ⅰ)知2AB AC =,所以1AC =．18．【解析】（Ⅰ）两地区用户满意度评分的茎叶图如下通过茎叶图可以看出，A 地区用户满意度评分的平均值高于B 地区用户满意度评分的平均值；A 地区用户满意度评分比较集中，B 地区用户满意度评分比较分散． （Ⅱ）记1A C 表示事件：“A 地区用户满意度等级为满意或非常满意”;2A C 表示事件：“A 地区用户满意度等级为非常满意”； 1B C 表示事件：“B 地区用户满意度等级为不满意”； 2B C 表示事件：“B 地区用户满意度等级为满意"．则1A C 与1B C 独立，2A C 与2B C 独立，1B C 与2B C 互斥，1122B A B A C C C C C =．1122()()B A B A PC P C C C C =1122()()B A B A P C C P C C =+1122()()()()B A B A P C P C P C P C =+．由所给数据得1A C ,2A C ,1B C ，2B C 发生的概率分别为1620，420，1020，820．故1()A P C 16=20， 2()=A P C 420，1()=B P C 1020，2()B P C 8=20，故101684()=+0.4820202020P C ⨯⨯=．19．【解析】（Ⅰ）交线围成的正方形EHGF 如图：（Ⅱ)作EM AB ⊥，垂足为M ，则14AM A E ==，18EM AA ==，因为EHGF 为正方形，所以10EH EF BC ===．于是6MH ==,所以10AH =．以D 为坐标原点，DA 的方向为x 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则(10,0,0)A ，(10,10,0)H ，(10,4,8)E ,(0,4,8)F ，(10,0,0)FE =，(0,6,8)HE =-．设(,,)n x y z =是平面EHGF 的法向量，则0,0,n FE n HE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即100,680,x y z =⎧⎨-+=⎩所以可取(0,4,3)n =．又(10,4,8)AF =-，故45cos ,15n AF n AF n AF⋅<>==⋅．所以直线AF 与平面α A 1AB 1BD 1DC 1CFE HGM20．【解析】(Ⅰ）设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠，11(,)A x y ,22(,)B x y ,(,)M M M x y ． 将y kx b =+代入2229x y m +=得2222(9)20k x kbx b m +++-=，故12229M x x kbx k +==-+, 299M M by kx b k =+=+．于是直线OM 的斜率9M OM M y k x k ==-,即9OM k k ⋅=-．所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值．（Ⅱ）四边形OAPB 能为平行四边形． 因为直线l 过点(,)3mm ，所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >,3k ≠． 由（Ⅰ）得OM 的方程为9y x k =-．设点P 的横坐标为P x ．由2229,9,y x kx y m ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩得2222981Pk m x k =+，即P x =．将点(,)3m m 的坐标代入直线l 的方程得(3)3m k b -=,因此2(3)3(9)M mk k x k -=+．四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即2P M x x ==2(3)23(9)mk k k -⨯+．解得14k =24k =因为0,3i i k k >≠,1i =，2，所以当l 的斜率为4-4+OAPB 为平行四边形．21．【解析】（Ⅰ）'()(e 1)2mxf x m x =-+．若0m ≥，则当(,0)x ∈-∞时，e 10mx -≤,'()0f x <；当(0,)x ∈+∞时，e 10mx -≥，'()0f x >．若0m <,则当(,0)x ∈-∞时，e 10mx ->，'()0f x <；当(0,)x ∈+∞时，e 10mx -<,'()0f x >．所以,()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增．（Ⅱ）由(Ⅰ）知，对任意的m ，()f x 在[1,0]-单调递减，在[0,1]单调递增，故()f x 在0x =处取得最小值．所以对于任意12,[1,1]x x ∈-，12()()e 1f x f x -≤-的充要条件是：(1)(0)e 1,(1)(0)e 1,f f f f -≤-⎧⎨--≤-⎩即e e 1,e e 1,m mm m -⎧-≤-⎪⎨+≤-⎪⎩①，设函数()e e 1t g t t =--+，则'()e 1t g t =-．当0t <时，'()0g t <；当0t >时，'()0g t >．故()g t 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增．又(1)0g =，1(1)e 2e 0g --=+-<，故当[1,1]t ∈-时,()0g t ≤．当[1,1]m ∈-时,()0g m ≤,()0g m -≤，即①式成立．当1m >时，由()g t 的单调性，()0g m >，即e e 1m m ->-；当1m <-时，()0g m ->，即e e 1m m -+>-．综上，m 的取值范围是[1,1]-．22．【解析】（Ⅰ）由于ABC ∆是等腰三角形，AD BC ⊥,所以AD 是CAB ∠的平分线．又因为O 分别与AB 、AC 相切于E 、F 两点，所以AE AF =，故AD EF ⊥．从而//EF BC ．（Ⅱ)由(Ⅰ）知，AE AF =，AD EF ⊥，故AD 是EF 的垂直平分线,又EF 是O 的弦，所以O 在AD 上．连接OE ，OM ，则OE AE ⊥．由AG 等于O 的半径得2AO OE =，所以030OAE ∠=．所以ABC ∆和AEF ∆都是等边三角形．因为23AE =,所以4AO =，2OE =．因为2OM OE ==，132DM MN ==，所以1OD =．于是5AD =，1033AB =．所以四边形EBCF 的面积221103313163()(23)232223⨯⨯-⨯⨯=．23．【解析】（Ⅰ）曲线2C 的直角坐标方程为2220x y y +-=，曲线3C 的直角坐标方程为2230x y x +-=．联立222220,230,x y y x y x ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩解得0,0,x y =⎧⎨=⎩或33,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以2C 与1C 交点的直角坐标为(0,0)和3)2． (Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为(,0)R θαρρ=∈≠，其中0απ≤<．因此A 得到极坐标为(2sin ,)αα，B 的极坐标为,)αα．所以2sin AB αα=-4in()3s πα=-,当56πα=时,AB 取得最大值，最大值为4．24．【解析】（Ⅰ)因为2a b =++,2c d =++a b c d +=+，ab cd >,得22>>（Ⅱ）（ⅰ）若a b c d -<-,则22()()a b c d -<-．即22()4()4a b ab c d cd +-<+-．因为a b c d +=+,所以ab cd >>（ⅱ)若>，则22>，即a b ++>c d ++．因为a b c d +=+,所以ab cd >,于是22()()4a b a b ab -=+-2()4c d cd <+-2()c d =-．因此a b c d -<-，综上，>a b c d -<-的充要条件．。

2014年普通高等学校招生全国统一考试理科(新课标卷二H)第I 卷一. 选择题：本大题共 12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的.1.设集合 M={0,1,2 }, N= x|x 2 3x 2<0，则 M N =() A. {1}B. {2}C. {0, 1}D. { 1, 2}【答案】D 【解析】把M= {0,1,2}中的数,代入不等式x2-3x+ 2 <0,经检验x=1,2满足。

所以选 D.A. - 5B. 5C. - 4+【答案】B 【解析】乙=2+匕乙与z 2关于虚轴对称,^z 2= -2+ i, •••砂2 = -1- 4= -5,故选 B.3.设向量 a,b 满足 | a+b |= , 10 , | a-b |= . 6，贝U a b =() A. 1B. 2C. 3D. 5【答案】A 【解析】2 2 2 2| a + b |= -J 10, | a - b =6,, - - a + b + 2ab = 10,a + b - 2ab = 6, 联立方程解得ab = 1,故选A.【答案】B2.设复数乙,z 在复平面内的对应点关于虚轴对称, Z 1 2 i ，贝V g ()iD. - 4 - i4.钝角三角形 ABC 的面积是, AB=1, BC=_ 2 ，则 AC=()A. 5 C. 2 D. 1【解】1 1S A ABC = acsin B = —？ 2 ?1 ?sin B =2 2B=丄,或匕.当B=丄时，经计算A ABC 为等腰直角三角形，不 符合题意，舍去 4 4 4 B= 3n ,使用余弦定理，b 2 = a 2 + c 2-2accosB,解得 b= V5.故选B. 4A17B.5C.10 D.1 279273【答案】 C【解析】加工前的零件半径为 3,高6, •••体积v 1= 9 n ?6= 54 n加工后的零件，左半部 为小圆柱，半径2,高4,右半部为大圆柱，半 径为3,高为2. 二体积 v 2 = 4冗?4+ 9n ?2= 34 n..••削掉部分的体积与原体 积之比二54 n-34n= 10故选C. 54 n 277.执行右图程序框图，如果输入的x,t 均为2，则输出的S=（A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】 C【解析】sinB=^2工 /输入Ji. t / 工壯心3H E*1/输出宮/TJ-k 二k ・L5.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两为优良的概率是6.如图，网格纸上正方形小格的边长为 1 （表示1cm ）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为 3cm,高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的 比值为（ ）x= 2,t= 2,变量变化情况如下: M S K1 3 12 5 22 73 故选C.8.设曲线y=a x-ln( x+1) 在点（0,0）处的切线方程为y=2x，则a=A. 0B. 1C.2D. 3【答案】D【解析】f(x)=ax-ln(x+1),二f'(x)=a- x+ 1二f⑼二0,且f(0) = 2•联立解得a = 3故选D.x y 7W 09.设x,y 满足约束条件x 3y 1< 0，则z 2x y的最大值为（)3x y 5> 0A.10 B. 8 C. 3 D. 2【答案】 B【解析】画出区域，可知区域为三角形，经比较斜率，可知目标函数z= 2x- y在两条直线x-3y+1 = 0与x+ y-7= C的交点（5,2）处，取得最大值z= 8.故选B.10.设F为抛物线C: y23x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点，O为坐标原点,则A OAB的面积为（）A.建B. 9方C63 D. 94 8 . 32 4D【答案】【解析】设点A 、B 分别在第一和第四象限，AF = 2m,BF=2n ,则由抛物线的定义和 直角三角形知识可得, 2m= 2?3+ 3m,2n = 2?3 - 3n ，解得 m= 3（2+ 一 3）,n =号（2- 3）, /-m+ n= 6. /•S A °AB = 2?3?（m+n ）= 9.故选 D.△2 4 42 【答案】 C【解析】如图，分别以GB, GA, C 1C 为X,Y,Z 轴，建立坐标系。

2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷2)理科数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】A【解析】由已知得{|21}B x x =-<<，故,}10{AB -=，故选A ．【提示】解一元二次不等式，求出集合B ，然后进行交集的运算即可． 【考点】集合的交集运算和一元二次方程求根． 2.【答案】B【解析】由已知得24+(4)i 4i a -=-，所以40a =，244a -=-，解得0a =，故选B ．【提示】首先将坐标展开，然后利用复数相等解之． 【考点】复数的四则运算． 3.【答案】D【解析】解：A ．从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明显减少，且减少的最多，故A 正确；B ．2004~2006年二氧化硫排放量越来越多，从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B 正确；C ．从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C 正确；D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，而不是与年份正相关，故D 错误． 故选：D【提示】A ．从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量减少的最多，故A 正确； B ．从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B 正确；C ．从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C 正确；D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，与年份负相关，故D 错误． 【考点】柱形图信息的获得． 4.【答案】B【解析】设等比数列公比为q ，则24111++21a a q a q =，又因为13a =，所以42+60q q -=，解得22q =，所以2357135++(++)42a a a a a a q ==，故选B ．【提示】由已知，13a =，135++21a a a =，利用等比数列的通项公式可求q ，然后在代入等比数列通项公式53261)(0,1)，故选())f x x=为减函数，,0)(0,+)∞上的偶函数，根据函数0等价于x g【解析】（Ⅰ）两地区用户满意度评分的茎叶图如下：122B A C C ，12212))+()B A A B C C P C 1，2A C ，C 108【解析】（Ⅰ）交线围成的正方形EHGF 如图：uuu r 即可求出法向量n，AF。

数学试卷 第1页（共21页）数学试卷 第2页（共21页）数学试卷 第3页（共21页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷2)数学（理科）使用地区：海南、宁夏、黑龙江、吉林、辽宁、新疆、云南、内蒙古、青海、贵州、甘肃、广西、西藏本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共24题,共150分,共6页.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项:1．答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内.2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚.3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效.4．作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5．保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{2,1,0,1,2}A =--，{|(1)(2)0}B x x x =-+<，则AB =（ ）A ．{1,0}A =-B ．{0,1}C ．{1,0,1}-D ．{0,1,2} 2．若a 为实数，且(2i)(2i)4i a a +-=-，则a =（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．23．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（ ）A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4．已知等比数列{}n a 满足13a =，135a a a ++=21，则357a a a ++=（ ）A ．21B ．42C ．63D ．845．设函数211log (2),1,()2, 1,x x x f x x -+-⎧=⎨⎩＜≥则2(2)(log 12)f f -+=（ ）A ．3B ．6C ．9D ．126．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）A．18B ．17C ．16D ．157．过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交y 轴于M ，N 两点，则||MN =（ ）A ．26B ．8C ．46D ．108．如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14，18，则输出的a =（ ）A ．0B ．2C ．4D ．149．已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB =90°， C 为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC 体积的 最大值为36，则球O 的表面积为（ ）A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π10．如图，长方形ABCD 的边2AB =，1BC =，O 是AB 的中点.点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记BOP x ∠=.将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()y f x =的图象大致为（ ）ABCD11．已知A ，B 为双曲线E 的左、右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（ ）A ．5B ．2C ．3D ．2 12．设函数'()f x 是奇函数()()f x x ∈R 的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围（ ）A ．(,1)(0,1)-∞-B ．(1,0)(1,)-+∞C ．(,1)(1,0)-∞--D ．(0,1)(1,)+∞--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共21页）数学试卷 第5页（共21页）数学试卷 第6页（共21页）第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上. 13．设向量a ，b 不平行，向量λa +b 与a +2b 平行，则实数λ=________.14．若x ，y 满足约束条件10,20,220,x y x y x y -+⎧⎪-⎨⎪+-⎩≥≤≤则z x y =+的最大值为________.15．4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a =________. 16．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =________. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）ABC △中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD △面积是ADC △面积的2倍.（Ⅰ）求sin sin BC∠∠；（Ⅱ）若1AD =，22DC =，求BD 和AC 的长. 18．（本小题满分12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 （Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意记事件C ：“A 地区用户的满意度等级高于B 地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C 的概率.19．（本小题满分12分）如图，长方体1111ABCD A B C D -中，=16AB ，=10BC ，18AA =，点E ，F 分别在11A B ，11D C 上，114A E D F ==.过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （Ⅱ）求直线AF 与平面α所成角的正弦值.20．（本小题满分12分）已知椭圆222 9(0)C x y m m +=>：,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，请说明理由.21．（本小题满分12分）设函数2()mx f x e x mx =+-.（Ⅰ）证明：()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增；（Ⅱ）若对于任意12,[1,1]x x ∈-，都有12()()1f x f x e --≤，求m 的取值范围.请考生在第22～24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，⊙O 与ABC △的底边BC 交于M ，N 两点，与底边上的高AD 交于点G ，且与AB ，AC 分别相切于E ，F 两点. （Ⅰ）证明：EF BC ∥；（Ⅱ）若AG 等于⊙O 的半径，且23AE MN ==，求四边形EBCF 的面积.23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0t ≠），其中0πα≤＜.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:2sin C ρθ=，3:23cos C ρθ=. （Ⅰ）求2C 与3C 交点的直角坐标；（Ⅱ）若1C 与2C 相交于点A ，1C 与3C 相交于点B ，求||AB 最大值.24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设a ，b ，c ，d 均为正数，且a b c d +=+，证明： （Ⅰ）若ab cd >，则a b c d +>+； （Ⅱ）a b c d +>+是||||a b c d -<-的充要条件.数学试卷 第7页（共21页）数学试卷 第8页（共21页）数学试卷 第9页（共21页）2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷2)理科数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】A【解析】由已知得{|21}B x x =-<<，故,}10{AB -=，故选A ．【提示】解一元二次不等式，求出集合B ，然后进行交集的运算即可． 【考点】集合的交集运算和一元二次方程求根． 2.【答案】B【解析】由已知得24+(4)i 4i a -=-，所以40a =，244a -=-，解得0a =，故选B ．【提示】首先将坐标展开，然后利用复数相等解之． 【考点】复数的四则运算． 3.【答案】D【解析】解：A ．从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明显减少，且减少的最多，故A 正确；B ．2004~2006年二氧化硫排放量越来越多，从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B 正确；C ．从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C 正确；D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，而不是与年份正相关，故D 错误． 故选：D【提示】A ．从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量减少的最多，故A 正确；B ．从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B 正确；C ．从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C 正确；D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，与年份负相关，故D 错误． 【考点】柱形图信息的获得． 4.【答案】B51AB CB k =-，所以径为5，所以面积为：4π144πS R ==，选C ．。

绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国Ⅱ卷）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1) 已知集合A=｛-2，-1，0，2｝，B=｛x|（x-1）（x+2）＜0｝，则A∩B=【A】（A）｛-1，0｝（B）｛0，1｝（C）｛-1，0，1｝（D）｛0，1，2｝(2) 若a为实数且（2+ai）（a-2i）=-4i,则a=【B】（A）-1 （B）0 （C）1 （D）2(3) 根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论不正确的是【D】（A）逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著.（B）2007年我国治理二氧化硫排放显现成效.（C）2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势.（D）2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关.（4）等比数列｛a n ｝满足a 1=3，a 1+ a 3+ a 5=21，则a 3+ a 5+ a 7 =【B 】（A ）21 （B ）42 （C ）63 （D ）84（5）设函数则【C 】（A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）12（6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为【D 】 （A ）（B ） （C ） （D ） （7）过三点A （1,3），B （4,2），C （1,-7）的圆交于y 轴于M 、N 两点，则=【C 】（A ）2 （B ）8 （C ）4 （D ）10（8）右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入a ,b 分别为14,18，则输出的a =【B 】（A ）0 （B ）2 （C ）4（D ）14（9）已知A ,B 是球O 的球面上两点，∠AOB =90°，C 为该球面上的动点，若三棱锥O -ABC 体积的最大值为36，则球O的表面积为【C 】A ．36πB .64πC .144πD .256π211log (2),1(),2,1x x x f x x -+-⎧=⎨≥⎩2(2)(og 12)f f l -+=81716151MN 66(10).如图，长方形ABCD 的边AB =2，BC =1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，∠BOP =x.将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f （x ），则f （x ）的图像大致为【B 】（11）已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为【D 】AB ．2C D （12）设函数是奇函数的导函数，，当x >0时，＜0，则使得f (x ) >0成立的x 的取值范围是【A 】 A ． B ． C ．D ．第Ⅱ卷二、填空题本大题共四个小题，每小题5分。

⎩2015 年高考理科数学试卷全国卷Ⅱ一、选择题：本大题共 12 道小题，每小题 5 分1．已知集合 A =｛- 2，-1, 0，1, 2｝， B = {x (x-1)(x + 2 < 0},则 A B = （）A ． A = {-1, 0}B ．{0,1}C ．{-1, 0,1}D ．{0,1, 2}2．若a 为实数且(2 + ai )(a - 2i ) = -4i ，则a = （）A. -1B. 0 C ．1 D ． 2 3. 根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。

以下结论不正确的是（ ）A ．逐年比较，2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著B ．2007 年我国治理二氧化硫排放显现C ．2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D ．2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4. 已知等比数列{a n } 满足 a 1=3，a 1 + a 3 + a 5 =21，则 a 3 + a 5 + a 7 = （）A ．21B ．42C ．63D ．845．设函数 f (x ) = ⎧1+ log 2 (2 - x ), x < 1,, f (-2) + f (log 12) = （）⎨2x -1, x ≥ 1, 2 A ．3 B ．6 C ．9 D ．126．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）1 1 1 1 A ．B ．C ．D ．87656653 7．过三点 A (1, 3) ， B (4, 2) ， C (1, -7) 的圆交 y 轴于 M ，N 两点，则| MN |= （ ）A ．2B ．8C ．4D ．108. 右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入 a , b 分别为 14,18，则输出的a = （）A ．0B ．2C ．4D ．149. 已知 A , B 是球 O 的球面上两点， ∠AOB = 90 , C 为该球面上的动点，若三棱锥O - ABC 体积的最大值为 36，则球O 的表面积为（ ）A ． 36 B. 64 C.144 D. 25610. 如图，长方形 ABCD 的边 AB = 2 ， BC = 1， O 是 AB 的中点，点 P 沿着边 BC ，CD 与 DA 运动，记∠BOP = x ．将动 P 到 A 、 B 两点距离之和表示为 x 的函数 f (x ) ，则 y = （）f (x ) 的图像大致为11. 已知 A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点 M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为 120°，则 E 的离心率为（）A ．B ． 2C ．D ．12. 设函数 f' (x ) 是奇函数f (x )(x ∈ R ) 的导函数， f (-1) = 0 ， 当 x > 0 时，xf ' (x ) - f (x ) < 0 ，则使得 f (x ) > 0成立的x 的取值范围是（）2⎨ ⎩ A． (-∞, -1) (0,1) C ． (-∞, -1) (-1, 0)B． (-1, 0) (1, +∞) D ． (0,1) (1, +∞)二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13.设向量a ， b 不平行，向量a + b 与 a + 2b 平行，则实数=．⎧x - y +1 ≥ 0，14.若 x ，y 满足约束条件⎪x - 2 y ≤ 0, ，则 z = x + y 的最大值为．⎪x + 2 y - 2 ≤ 0,15. (a + x )(1+ x )4 的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32，则a =． 16. 设S n 是数列{a n } 的前n 项和，且 a 1 = -1 ， a n +1 = S n S n +1 ，则 S n = ．三、解答题17．（本题满分 12 分） ∆ABC 中， D 是 BC 上的点， AD 平分∠BAC ， ∆ABD 面积是 ∆ADC 面积的 2 倍． sin ∠B（Ⅰ） 求；sin ∠C（Ⅱ）若 AD = 1 ， DC =2 ，求 BD 和 AC 的长．218．（本题满分 12 分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从 A ， B 两地区分别随机调查了 20 个用户，得到用户对产品的满意度评分如下： A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；E B 1D（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级： 满意度评分 低于 70 分 70 分到 89 分 不低于 90 分 满意度等级不满意满意非常满意记时间 C ：“A 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级”．假设两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率， 求 C 的概率．19．（本题满分 12 分）如图，长方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中, AB =16 ， BC =10 ， AA 1 = 8 ，点 E ， F 分别在 A 1B 1 ， C 1D 1 上， A 1E = D 1F = 4 ．过点 E ， F 的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．D 1F C 1A 1CAB（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）； （Ⅱ）求直线 AF 与平面所成角的正弦值．20．（本题满分 12 分）已知椭圆C : 9x 2 + y 2 = m 2 (m > 0) ,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴， l 与C 有两个交点 A ， B ，线段 AB 的中点为 M ． （Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（Ⅱ）若l 过点 m( , m ) 3，延长线段OM 与C 交于点 P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由．21．（本题满分 12 分）设函数 f (x ) = e mx + x 2 - mx ．（Ⅰ）证明： f (x ) 在(-∞, 0) 单调递减，在(0, +∞) 单调递增；（Ⅱ）若对于任意 x 1 , x 2 ∈[-1,1] ，都有 f (x 1 ) - f (x 2 ) ≤ e -1，求m 的取值范围．22．（本小题满分 10 分）选修 4—1：几何证明选讲如图， O 为等腰三角形 ABC 内一点，圆O 与∆ABC 的底边 BC 交于 M 、 N 两点与底边上的高 AD 交于点G ，与 AB 、 AC 分别相切于 E 、 F 两点．a b c d b c ⎨y = t sin ,AGEFOB MD NC（Ⅰ）证明： EF / / BC ；（Ⅱ） 若 AG 等于 O 的半径，且 AE = MN =2，求四边形 EBCF 的面积．23．（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xoy 中，曲线C 1 : ⎧x = t cos ,（ t 为参数， t ≠ 0 ），其中0 ≤< ，在 ⎩以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中， 曲线 C 2 : = 2 sin ， 曲线C 3 : = 2 3 cos．（Ⅰ）．求C 2 与C 1 交点的直角坐标；（Ⅱ）．若C 2 与C 1 相交于点 A ， C 3 与C 1 相交于点 B ，求 AB 的最大值．24．（本小题满分 10 分）选修 4-5 不等式选讲设a ,b ,c ,d 均为正数，且 a + b = c + d ，证明：（Ⅰ）若 ab > cd ，则 + > + ；（Ⅱ） + > + 是 a - b < c - d 的充要条件．3 a d2 2参考答案1．A【解析】由已知得 B = {x - 2 < x < 1}，故 A B = {-1, 0} ，故选 A ． 考点：集合的运算． 2．B【解析】由已知得4a + (a 2 - 4)i = -4i ，所以4a = 0, a 2 - 4 = -4 ，解得 a = 0 ，故选 B ．考点：复数的运算． 3．D【解析】由柱形图得，从 2006 年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年份负相关，故选 D ． 考点：正、负相关． 4．B【解析】设等比数列公比为q ，则 a + a q 2 + a q 4 = 21，又因为 a = 3，所以 q 4 + q 2 - 6 = 0 ，1111解得 q 2 = 2 ，所以 a + a + a = (a + a + a )q 2 = 42 ，故选 B ．357135考点：等比数列通项公式和性质． 5．C【 解 析 】 由 已 知 得f (-2) = 1+ log 2 4 = 3 ， 又 log 2 12 > 1， 所 以f (log 12) = 2log 2 12-1= 2log 2 6 = 6 ，故 f (-2) + f (log 12) = 9 ，故选 C ． 考点：分段函数． 6．D【解析】由三视图得，在正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中，截去四面体 A - A 1B 1D 1 ，如图所示，，设正方体棱长为aD 1C 1，则VA - A 1B 1D 1= 1 ⨯ 1 a 3 = 1 a 3，故剩余几何体体积为 A 1B 13 2 6Da 3 - 1 a 3 = 5 a 3 ，所以截去部分体积与剩余部分体积C6 61的比值为 ，故选 D ．5考点：三视图．AB7．C【解析】由已知得 k3 - 21 = = - ， k= 2 + 7 = -3 ，所以 k k = -1 ，所以 AB ⊥ CB AB 1- 4 3 CB 4 -1AB CB， 即 ∆ABC 为直角三角形， 其外接圆圆心为 (1, -2) ， 半径为 5 ， 所以外接圆方程为(x -1)2 + ( y + 2)2 = 25 ，令 x = 0 ，得 y = ±2 - 2 ，所以 MN = 4 ，故选 C ．6 6( 1 tan x -1)2 +1 , x - = > > 考点：圆的方程． 8．B【解析】程序在执行过程中， a ， b 的值依次为 a = 14 ， b = 18 ； b = 4 ； a = 10 ； a = 6 ； a = 2 ； b = 2 ，此时 a = b = 2 程序结束，输出a 的值为 2，故选 B ． 考点：程序框图． 9．C【解析】如图所示，当点 C 位于垂直于面 AOB 的直径端点时，三棱锥O - ABC 的体积最大， 设球O 的半径为 R ，此时V= V= 1 ⨯ 1 R 2 ⨯ R = 1R 3 = 36 ，故 R = 6 ，则球O O - ABCC - AOB的表面积为 S = 4R 2 = 144，故选 C ．3 2 6考点：外接球表面积和椎体的体积．C10．B【 解 析 】 由 已 知 得 ， 当 点 P 在 BC 边 上 运 动 时 ， 即0 ≤ x ≤ 时 ，4PA + PB = + tan x ；当点 P 在 CD 边上运动时，即 ≤ x ≤ 3≠ 时，4 4 2PA + PB = + ，当 x = 时， PA + PB = 2 2；当点 P在 AD 边上运动时，即 3≤ x ≤ 时， PA + PB = 4- tan x ，从点 P 的运动过程可以看出，轨迹关于直线 x = 对称，且 f ( ) > f ( ) ，且轨迹非线型，故选 B ．2 4 2考点：函数的图象和性质．11．Dx 2 【解析】设双曲线方程为 a 2 y 2b 21(a 0, b 0) ，如图所示， AB = BM ， ∠ABM = 1200 ，过点 M 作MN ⊥ x 轴，垂足为 N ，在 Rt ∆BMN 中， BN = a ，OABtan 2 x + 4 ( 1tan x +1)2 +1 2 tan 2 x + 4MN = 3 a ，故点 M 的坐标为 M (2a , 3a ) ，代入双曲线方程得 a 2 = b 2 = a 2 - c 2 ，即c 2 = 2a 2 ，所以e = ，故选 D ．考点：双曲线的标准方程和简单几何性质．12．A【 解 析 】 记 函 数g (x ) =f (x )， 则 xg '(x ) =xf ' (x ) - f (x ) x 2， 因 为 当x > 0 时 ，xf ' (x ) - f (x ) < 0 ，故当 x > 0 时， g ' (x ) < 0，所以 g (x ) 在(0, +∞) 单调递减；又因为函数f (x )(x ∈ R ) 是奇函数， 故函数g (x ) 是偶函数， 所以 g (x ) 在 (-∞, 0) 单调递减， 且g (-1) = g (1) = 0 ．当0 < x < 1时， g (x ) > 0 ，则 f (x ) > 0 ；当 x < -1时， g (x ) < 0 ，则 f (x ) > 0 ，综上所述，使得 f (x ) > 0 成立的 x 的取值范围是(-∞, -1) (0,1) ，故选A ． 考点：导数的应用、函数的图象与性质． 1 13．2⎧= k ，1【解析】因为向量考点：向量共线． 3 14．2a +b 与 a + 2b 平行，所以a + b = （k a + 2b ），则⎨ ⎩1 = 2k , 所以= ．2【解析】画出可行域，如图所示，将目标函数变形为 y = -x + z ， 当 z 取到最大时， 直线y = -x + z 的纵截距最大，故将直线尽可能地向上平移到1D (1, ) 2 ，则 z = x + y 的最大值为 3 ． 2考点：线性规划．15． 3 【解析】试题分析：由已知得(1+ x )4 = 1+ 4x + 6x 2 + 4x 3 + x 4 ，故(a + x )(1+ x )4 的展开式中 x 的奇数次幂项分别为 4ax ， 4ax 3 ， x ， 6x 3 ， x 5 ，其系数之和为 4a + 4a +1+6+1=32 ，解得2 4 y 32 B1Dx–4–3–2–1O–1 1234C–2–3–4a = 3 ．考点：二项式定理．1 16． -n11 【解析】由已知得 a n +1 = S n +1 - S n = S n +1 ⋅ S n ，两边同时除以 S n +1 ⋅ S n ，得 S-n +1S n= -1，⎧ 1 ⎫ 1故数列 ⎨ ⎩ 1 ⎬ 是以 -1为首项， -1为公差的等差数列， 则 n ⎭= -1- (n -1) = -n ， 所以n S n = - n．考点：等差数列和递推关系．1 117. 【解析】（Ⅰ） S ∆ABD = 2 AB ⋅ AD sin ∠BAD ， S ∆ADC = 2AC ⋅ AD sin ∠CAD ，因为S = 2S， ∠BAD = ∠CAD ，所以 AB = 2 A C ．由正弦定理可得 sin ∠B = AC = 1∆ABD．∆ADCsin ∠C AB 2（Ⅱ）因为 S ∆ABD : S ∆ADC = BD : DC ，所以 BD = 理得．在∆ABD 和∆ADC 中，由余弦定AB 2 = AD 2 + BD 2 - 2 AD ⋅ BD cos ∠ADB ， AC 2 = AD 2 + DC 2 - 2 AD ⋅ DC cos ∠ADC．AB 2 + 2 AC 2 = 3AD 2 + BD 2 + 2DC 2 = 6 ．由（Ⅰ）知 AB = 2 AC ，所以 AC = 1 ．18. 【解析】（Ⅰ）两地区用户满意度评分的茎叶图如下通过茎叶图可以看出，A 地区用户满意度评分的平均值高于 B 地区用户满意度评分的平均值； A 地区用户满意度评分比较集中，B 地区用户满意度评分比较分散．2 S SEH 2 - EM 2 A 2 B 1 B 2⨯ ⨯ = DA = ⎩ ⋅（Ⅱ）记C A 1 表示事件：“A 地区用户满意度等级为满意或非常满意”；C A 2 表示事件：“A 地区用户满意度等级为非常满意”；C B 1 表示事件：“B 地区用户满意度等级为不满意”；C B 2 表示事件：“B 地区用户满意度等级为满意”．则C A 1 与C B 1 独立， C A 2 与C B 2 独立， C B 1 与C B 2 互斥， C = C B 1C A 1 C B 2C A 2 ．P (C ) = P (C B 1C A 1 C B 2C A 2 ) = P (C B 1C A 1 ) + P (C B 2C A 2 )= P (C B 1 )P (C A 1 ) + P (C B 2 )P (C A 2 ) ．由所给数据得C A 1 ， C A 2 ， C B 1 ， C B 2 发生的概164 10 8 率分别为20，20，20，20．故 P (C A 1 )16 = ， 20P (C )= 4 ， P (C )= 10 ， P (C ) = 820 20 20 10 16 8 4，故 P (C )= + 0.48 ．20 20 20 2019. 【解析】（Ⅰ）交线围成的正方形 EHGF如图：（ Ⅱ ） 作 EM ⊥ AB ， 垂 足 为 M ， 则AM = A 1E = 4 ， EM = AA 1 = 8 ， 因 为EHGF 为正方形， 所以 EH = EF = BC = 10 ． 于是 MH = = 6 ， 所以AH = 10 ．以 D 为坐标原点，的方向为 x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D - xyz ， 则 A (10, 0, 0) ，H (10,10, 0) ， E (10, 4,8) ，F (0, 4,8) ， ⎧FE (10, 0, 0) ，HE = (0, -6,8) ．设 n = (x , y , z ) 是平面 EHGF 的法向量，则⎪n ⋅ FE = 0, 即⎧10x = 0,⎨ ⎪⎩n ⋅ HE = 0,⎨-6 y + 8z = 0, n ⋅ AF 4 5所以可取 n = (0, 4, 3) ．又 AF = (-10, 4,8) ，故 cos < n , AF > =线 AF 与平面所成角的正弦值为4 5 ．15= n AF ．所以直D 1 F C 1A 1E B 1 CAM HBG D157 7 9 OM20．【解析】（Ⅰ）设直线l : y = kx + b (k ≠ 0, b ≠ 0) ， A (x 1 , y 1 ) ， B (x 2 , y 2 ) ， M (x M , y M ) ．将 y = kx + b 代 入9x 2 + y 2 = m 2 得 (k 2 + 9)x 2 + 2kbx + b 2 - m 2 = 0 ， 故x =x 1 + x 2= - M2kb，k 2+ 9y = kx + b =9b ．于是直线OM 的斜率 k= y M= - ，即 k⋅ k = -9 ．所以直MMk 2+ 9x k M线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值．（Ⅱ）四边形OAPB 能为平行四边形．因为直线l 过点 m( , m ) 3，所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是 k > 0 ， k ≠ 3 ．9 ⎧ y = - 9 x , 由（ Ⅰ ） 得 OM 的方程为 y = - k x ． 设点 P 的横坐标为 x P ⎪． 由 ⎨ k得2k 2m2±km m ⎪⎩9x 2 + y 2 = m 2 ,m (3 - k ) x P= 9k 2 + 81 ， 即 x P = ．将点( , m ) 的坐标代入直线l 的方程得b = ，3 k 2 + 93 3 因此 x M =mk (k - 3) ．四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段 AB 与线段OP 互相平分，3(k 2 + 9)±km即 x P = 2x M ．于是=3 k 2+ 92 ⨯ mk (k - 3) ．解得 k = 4 - ， k = 4 + ．因为 k > 0, k ≠3 ， i = 1 ， 2 ，所以当l3(k 2 + 9) 1 2 i i的斜率为4 - 或4 + 时，四边形OAPB 为平行四边形．21．【解析】（Ⅰ） f ' (x ) = m (e mx -1) + 2x ．若 m ≥ 0 ，则当 x ∈(-∞, 0) 时， e mx -1 ≤ 0 ， f ' (x ) < 0；当 x ∈(0, +∞) 时， e mx-1 ≥ 0 ，f ' (x ) > 0 ．若 m < 0 ，则当 x ∈(-∞, 0) 时， e mx -1 > 0 ， f ' (x ) < 0；当 x ∈(0, +∞) 时， e mx-1 < 0 ，f ' (x ) > 0 ．所以， f (x ) 在(-∞, 0) 单调递减，在(0, +∞) 单调递增．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，对任意的m ， f (x ) 在[-1, 0] 单调递减，在[0,1] 单调递增，故 f (x ) 在7 7 OM3 3 16 3⎩ ⎩10 3 2 1 22 3⎩x = 0 处取得最小值．所以对于任意x1, x2∈[-1,1] ，f (x1) -f (x2) ≤ e -1的充要条件是：⎧f (1) -f (0) ≤ e -1,⎨f (-1) -f (0) ≤ e -1,⎧⎪e m-m ≤ e -1,即⎨⎪e-m+m ≤ e -1,①，设函数g(t) = e t-t - e +1 ，则g ' (t) = e t-1 ．当t < 0 时，g ' (t) <0；当t >0 时，g ' (t) >0．故g(t) 在(-∞,0) 单调递减，在(0,+∞)单调递增．又g(1) = 0 ，g(-1) = e-1+ 2 -e < 0 ，故当t ∈[-1,1] 时，g(t) ≤ 0 ．当m ∈[-1,1] 时，g(m) ≤ 0 ，g(-m) ≤ 0 ，即①式成立．当m > 1时，由g(t) 的单调性，g(m) > 0 ，即e m-m > e -1 ；当m <-1时，g(-m) > 0 ，即e-m+m > e -1．综上，m 的取值范围是[-1,1] ．2.【解析】（Ⅰ）由于∆ABC 是等腰三角形，AD ⊥BC ，所以AD 是∠CAB 的平分线．又因为 O 分别与AB 、AC 相切于E 、F 两点，所以AE =AF ，故AD ⊥EF ．从而EF / / BC ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AE =AF , AD ⊥EF ，故AD 是EF 的垂直平分线，又EF 是 O 的弦，所以O 在AD 上．连接OE ，OM ，则OE ⊥AE ．由AG 等于 O 的半径得AO = 2OE ，所以∠OAE = 300．所以∆ABC 和∆AEF 都是等边三角形．因为AE = 2，OE = 2 ．，所以AO = 4 因为OM =OE = 2 ，DM =1MN =2，所以OD = 1 ．于是AD = 5 ，AB =10 33 ．所以四边形EBCF 的面积1⨯( ) ⨯-⨯(2 3) ⨯=．2 3 2 2 2 323.【解析】（Ⅰ）曲线C 的直角坐标方程为x2+y2- 2 y = 0 ，曲线C 的直角坐标方程为⎧⎧⎪x2+y2- 2 y = 0,x2+y2- 2 3x = 0 ．联立⎨ ⎪⎩x2+y2- 2 3x = 0,⎧x = 0,解得⎨y = 0,⎪x =或⎨⎪ 3,所以C2与C1 交⎪⎩y =2,33323 cb c d a b c d b c ab b c d3点的直角坐标为(0, 0) 和( , ) ．2 2（Ⅱ）曲线C 1 的极坐标方程为=(∈ R ,≠ 0) ，其中0 ≤< ．因此 A 得到极坐标为(2 s in ,) ， B 的 极 坐 标 为 (2 3 cos,) ． 所 以 AB = 2 sin - 2 3 cos= 4 s in(- 3，当=5时， AB 取得最大值，最大值为4 ．624.【解析】（Ⅰ）因为(+ b )2 = a + b + 2， (+ d )2 = c + d + 2 ，由题设a +b =c +d ， ab > cd ，得( + b )2 > ( + d )2 ．因此 + > + ．（Ⅱ）（ⅰ）若 a - b < c - d ，则(a - b )2 < (c - d )2 ．即(a + b )2 - 4ab < (c + d )2 - 4cd．因为 a + b = c + d ，所以 ab > cd ，由（Ⅰ）得 + > + ．（ ⅱ ） 若 + > + ， 则 ( + b )2 > (+ d )2 ， 即 a + b + 2 >c +d + 2 ． 因 为 a + b = c + d ， 所 以 ab > cd ， 于 是 (a - b )2 = (a + b )2 - 4ab< (c + d )2 - 4cd = (c - d )2 ． 因 此 a - b < c - d ， 综 上 ， + > + 是a -b <c -d 的充要条件．a abcda c a a d a c cd a )。

2015年普通高等学校招生全国统一考试全国Ⅱ卷理科数学解析一、 选择题1. 解析 对于B 集合，由已知得，{}21B x x =-<<，由数轴可得{}1,0A B =-I . 故选A .评注 常规考题，比较容易.考查不等式解集和集合的交运算，注意A 集合中的元素是数，B 集合是数的范围，用数轴较直观.2. 解析 由复数的运算律将左边直接展开可得.因为24(4)i 4i a a +-=-， 所以240,44a a =-=-，解得0a =.故选B .评注 考察复数的基本运算及复数相等的概念，本题也可在等式两边乘以“i ”， 得2(2i)4a -=-快速求解.3. 解析 由柱形图可以看出，2006年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年份是负相关关系，依题意，需选不正确的.故选D .评注 本题考查统计的基本知识，要注意读懂题意和图表，理解相关性有正相关和负相关. 4. 解析 由题意可设等比数列的公比为q ，则由13521a a a ++=得，2411121a a q a q ++=.又因为13a =，所以4260q q +-=.解得22q =或23q =-（舍去），所以()235713521242a a a a a a q ++=++=⨯=.故选B .评注 等差数列与等比数列的基本概念和性质是考查的重点.本题考查了等比数列的通项公式及一元二次方程的解法，注意最后一步要能将“357a a a ++”写成“222135a q a q a q ++”的形式，再提出“2q ”.5. 解析 由题意可得，2(2)1log 4123f -=+=+=.又由22log 12log 21>=， 故有2222212log log 121log 12log 2log 622(log 12)22226f --=====，所以有2(2)(log 12)369f f -+=+=.故选C .评注 本题是一个涉及指数、对数和分段函数的综合题，考察面很广，但运算难度不大， 需要考生熟知基本的概念、性质和运算.6. 解析 由三视图得，在正方体中，截去四面体，1111ABCD A B C D -111A A B D -如图所示，设正方体棱长为，则，故剩余几何体体积为，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为．故选D .评注 三视图是新课标的增加内容，也是高考的必考知识，主要考察空间想象能力.本题在读懂题意基础上画图，然后进行体积的计算，难度不大. 7. 解析 由题意得321143AB k -==--， 27341CB k +==-，所以1AB CB k k =-，所以AB CB ⊥，即ABC △为直角三角形，则外接圆的圆心为AC 的中点(1,2)-，半径为5，所以外接圆方程为22(1)(2)25x y -++=，令0x =，则有2y =±，所以MN =C ．评注 直线、圆及距离是基本的命题点.该题几个知识点综合在一起考查学生应用基本知识解决问题的能力.要求中等，体现多想少算的思想.8. 解析 根据程序框图可知，在执行程序过程中，a ，b 的值依次为14a =，18b =；4b =；10a =；6a =；2a =；2b =，到此有2a b ==，程序运行结束，输出a 的值为2，故选B ．评注 算法中的程序框图是高考必考内容，也是新课标的新增内容.在命题中，多以框图与其它知识综合，本题就是将古代数学中的“更相减损术”用程序框图来展现. 9. 解析 根据题意，可得图如右，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最大，则可设球O 的半径为R ，此时2311136326O ABC C AOBV V R R R --==⨯⨯==，故6R =，则球O 的表面积为24π144πS R ==，故选C ．评注 立体几何中对球的考查是命题的热点，要求能根据题意和球的特殊性来找基本量.解答中抓住球心及半径，结合圆的特点，用球的体积及表面积来求解. 10. 解析 由已知可得，当P 点在BC 边上运动时，a 11133111326A A B D V a a -=⨯=3331566a a a -=51A C 1A即π04x 剟时，tan PA PB x +； 当P 点在CD 边上运动时，即π3π44x 剎?，π2x ≠时，PA PB +=；当π2x =时，PA PB +=；当P 点在AD 边上运动时，即3ππ4x 剎?时，tan PA PB x +=. 从点P 的运动过程可以看出，轨迹关于直线π2x =对称，ππ42f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 且轨迹非直线型，故由此知选B.评注 本题以几何图形为背景考查了函数图像的识别与作法，特别是体现了分类讨论和数形结合的思想.11. 解析 设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，如图所示，由2AB BM a ==，120ABM ︒∠=，则过点M 作MN x ⊥轴，垂足为N ，在Rt BMN △中，BN a =，MN =， 故点M的坐标为(2)M a ，代入双曲线方程可得2222431,a a a b-=所以2222a b c a ==-，即有222c a =，所以ce a==D ． 评注 在圆锥曲线的考查中，双曲线经常以选择或填空题的形式出现.一般抓住其定义和性质便可以求解.本题中要充分利用顶角为120︒的等腰三角形的性质来求解.12. 解析 由题意，设函数()()f x g x x =，则''2()()()xf x f x g x x -=，因为当0x >时，'()()0xf x f x -<，故当0x >时，'()0g x <，所以()g x 在(0,)+∞单调递减；又因为函数()()f x x ∈R 是奇函数，故函数()g x 是偶函数，所以()g x 在(,0)-∞上单调递增，且有(1)(1)0g g -==．当01x <<时，()0g x >，则()0f x >；当1x <-时，()0g x <，则()0f x >. 综上所述，使得()0f x >成立的x 的取值范围是(,1)(0,1)-∞-U ，故选A ． 评注 本题用导数来研究函数的性质，注意构造函数()g x ，然后用其对称性和奇偶性对单调性的影响，必要时可以用图像来辅助说明.二、 填空题13. 解析 根据向量平行的条件，因为向量λ+a b 与2+a b 平行，所以()2=k λ++a b a b ，则有12,k k λ=⎧⎨=⎩，解得1212k λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以12λ=．评注 本题考查了平面向量平行的充要条件,内容单一，计算简单，知识也比较明确.在向量的考查中，平行与垂直、数量积是命题的热点.14. 解析 根据题意，画出可行域，如图所示，将目标函数z x y =+变形为y x z =-+，当z 取到最大值时，直线y x z =-+的纵截距最大，故将直线尽可能地向上平移到点1(1,)2C 处，则z x y =+有最大值32．评注 线性规划的考查是历年考查的重点，主要体现了不等式组在生活中的应用,并融合了数形结合这一重要的数学思想方法.本题立意简单，能用通性通法直接求解，也可先求出交点，代入检验.15. 解析 由题意知，4234(1)1464x x x x x +=++++，故4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂分别为4ax ，34ax ，x ，36x ，5x 这五项，其系数之和为441+6+1=32a a ++，解得3a =．评注 二项式定理的考查主要体现在展开式的项及系数上.本题要注意是两项积，展开列举可求.x +2=016. 解析 根据题意，由数列的项与前n 项和关系得，11n n n a S S ++=-， 由已知得111n n n n n a S S S S +++=-=⋅，由题意知，0n S ≠，则有1111n nS S +=--， 故数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1-为首项，1-为公差的等差数列， 则11(1)n S n n =---=-，所以1n S n=-． 评注 数列的项与前n 项和之间存在着固定关系1n n n S S a --=.本题隐含0n S ≠，可用反证法说明.然后两边同除1n n S S +⋅即可得等差数列的形式，然后进一步求解. 三、 解答题17. 分析 （1）用正弦定理求面积的方法写出面积，然后根据已知条件中面积为2倍关系、角相等进行代换；（2）由（1）的结论得高相同，面积比等于边长比，再由余弦定理建立等式来求解.解析 （1）根据题意可得右图，由正弦定理得，1sin ,2ABD S AB AD BAD =⋅∠△ 1sin ,2ADCS AC AD CAD =⋅∠△又因为2ABD ADC S S =△△， ,BAD CAD ∠=∠ 所以得2AB AC =. 由正弦定理得sin 1sin 2B AC C AB ==. （2）由题意知，21ABD ADC S BD S DC ==△△，所以2BD DC =.又因为2DC =，所以BD =在ABD △和ADC △中，由余弦定理得，2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠，2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠．故222222326AB AC AD BD DC +=++=．由(Ⅰ)知2AB AC =，所以1AC =．即所求为BD =1AC =.评注 考查了解三角形的相关知识，应用了正弦定理和余弦定理.注意三角形面积的计算方法的应用.ACD B18. 分析（1）根据题意直接列出茎叶图，写出结论即可；（2）根据事件的互斥及独立，用列举法写出符合条件的事件个数，计算概率即可．解析 （1）由题意知，两地区用户满意度评分的茎叶图如下.通过茎叶图可以看出，A 地区用户满意度评分的平均值高于B 地区用户满意度评分的平均值；A 地区用户满意度评分比较集中，B 地区用户满意度评分比较分散. （2）记1A C 为事件：“A 地区用户的满意度等级为满意或非常满意”；记2A C 为事件：“A 地区用户的满意度等级为非常满意”； 记1B C 为事件：“B 地区用户的满意度等级为不满意”； 记2B C 为事件：“B 地区用户的满意度等级为满意”.则可得1A C 与1B C 相互独立，2A C 与2B C 相互独立，1B C 与2B C 互斥， 则可得1122B A B A C C C C C =U ．所以1122()()B A B A P C P C C C C =U 1122()()B A B A PC C P C C =+1122()()()()B A B A P C P C P C P C =+．由题意及所给数据可得1A C ，2A C ，1B C ，2B C 发生的频率分别为1620，420，1020，820． 故可得1()A P C 16=20，2()=A P C 420，1()=B P C 1020，2()B P C 8=20，故101684()=+0.4820202020P C ⨯⨯=．即C 的概率为0.48.评注 对数据的阅读、理解和分析是数学的一项重要任务.在解题中，关键在于对众多数据的理解分析，并用统计与概率的思想方法进行分析求解.19. 分析（1）根据题意要求，直接在图中作图即可；（2）空间中角的问题，若方便建立空间直角坐标系，则用空间向量法来解. 将几何问题算法化，用代数计算的方法解决几何问题. 解析 （1）根据题意，交线围成的正方形EHGF 如图（1）所示：（2）如图（2）所示，过点E 作EM AB ⊥，垂足为M ，则14AM A E ==，18EM AA ==，因为EHGF 为正方形，所以10EH EF BC ===．于是有6MH ==，所以10AH =．以D 为坐标原点，1,,DA DC DD u u u r u u u r u u u u r的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图（2）所示的空间直角坐标系D xyz -，则(10,0,0)A ，(10,10,0)H ，(10,4,8)E ，(0,4,8)F ，则(10,0,0)FE =u u u r ，(0,6,8)HE =-u u u r．设(,,)x y z =n 是平面EHGF 的法向量，则有0,0,FE HE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u rn n 即100,680,x y z =⎧⎨-+=⎩所以可取(0,4,3)=n ． 又(10,4,8)AF =-u u u r，故cos ,AF AF AF⋅<>==⋅u u u r u u u r u u u r n n n 所以直线AF 与平面EHGF图（1） 图（2）评注 立体几何的命题主要是考查学生的空间观念和空间想象能力.并结合对空间关系、空间角的计算，特别是应用空间坐标和向量这一工具来进行求解，并注意与推理论证相结合. 20. 分析（1）求解斜率的有关问题时，要注意斜率是否存在，然后用斜率的求解方法及直线与圆锥曲线的关系来进行求解.（2）存在性探究问题的解答不妨设存在，然后进行计算求解.注意分类讨论思想的应用和计AB 1C 1D 1A 1BCDE FGH算的正确性.解析 （1）根据题意，因为直线不平行于坐标轴，则斜率k 必然存在，故设直线l 为y kx b=+(0,0)k b ≠≠，则11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M M M x y ．将y kx b =+代入2229x y m +=得，2222(9)20k x kbx b m +++-=，故12229M x x kb x k +==-+，299M M by kx b k =+=+． 于是直线OM 的斜率9M OM M y k x k==-，即9OM k k ⋅=-． 所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值． （2）不妨设四边形OAPB 能为平行四边形．因为直线l 过点(,)3mm ，所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >，且3k ≠． 由（1）得OM 的方程为9y x k=-．设点P 的横坐标为P x ．由2229,9,y x k x y m ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩得2222981P k m x k =+，即P x =． 将点(,)3m m 的坐标代入直线l 的方程得(3)3m k b -=，因此2(3)3(9)M k k m x k -=+． 四边形OAPB 为平行四边形，当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即2P M x x =．=2(3)23(9)k k mk -⨯+．解得14k =24k =．因为0,3i i k k >≠，1i =，2，所以当l的斜率为44OAPB 为平行四边形．评注 解析几何的考查的方向主要体现在对直线和圆锥曲线方程的计算上，特别是对存在性问题的探究和计算能力的考查，在方法上相对固定，计算难度比较大.21. 分析（1）先对函数进行求导，然后再应用单调性和函数的导数的关系进行求解； （2）注意构造新函数的思想及恒成立问题的解决方法，理解最值的含义. 解析（1）证明：因为()2e mxf x x mx =+-，则求导得，()'e2mxf x m x m =+-()e 12mx m x =-+.若0m …，则当(),0x ∈-∞时，e 10mx-„，()'0f x <；当()0,x ∈+∞时，e10mx-…，()'0f x >.若0m <，则当(),0x ∈-∞时，e 10mx ->>，()'0f x <； 当()0,x ∈+∞时，e 10mx -<<，()'0f x >.所以()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增.（2）由（1）知，对任意的m ，()f x 在[]1,0-上单调递减，在[]0,1上单调递增， 故()f x 在0x =处取得最小值.所以对于任意的[]12,1,1x x ∈-，()()12e 1f x f x --„的充要条件为()()()()10e 110e 1f f f f ⎧--⎪⎨---⎪⎩„„，即e e 1e e 1m mm m -⎧--⎪⎨+-⎪⎩-?-?①. 设函数()e e 1tg t t =--+，则()'e 1tg t =-.当0t <时，()'0g t <；当0t >时，()'0g t >. 故()g t 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增.又()10g =，()11e 2e<0g --=+-，故当[]1,1t ∈-时，()0g t „.当[]1,1m ∈-时，()()0,0,g m g m -剟,即上式①成立； 当1m >时，由()g t 的单调性，()0g m >>，即有e e 1m m ->-. 当1m <-<时，()0,g m ->>，即e e 1m m -+>-. 综上所述，m 的取值范围是[]1,1-.评注 函数与导数是高考的必考内容，也是高等数学在初等数学中的一个应用的体现. 导数是数学的基础，用数学分析的思想来体现数学的应用，在命题中特别重视分类讨论思想的应用.22. 分析（1）根据等腰三角形的性质可快速求解；.（2）由（1）的结论可得AD EF ⊥和ABC △及AEF △都是等边三角形，则所求四边形面积为两个三角形面积之差.解析 （1）证明：由于ABC △是等腰三角形，AD BC ⊥，所以AD 是CAB ∠的平分线．又因为O e 分别与AB ，AC 相切于E ，F 两点，所以AE AF =，故AD EF ⊥． 从而//EF BC ．（2）由（1）知，AE AF =,AD EF ⊥，故AD 是EF 的垂直平分线.又EF 是O e 的弦，所以O 在AD 上．连接OE ，OM ，则OE AE ⊥．由AG 等于O e 的半径得2AO OE =，所以30OAE ∠=︒．所以ABC △和AEF △都是等边三角形．因为AE =4AO =，2OE =．因为2OM OE ==，12DM MN ==所以1OD =．于是5AD =，3AB =． 所以四边形EBCF 的面积为221122⨯-⨯=． 评注 几何证明选讲的考查主要是有关圆与直线、圆与三角形、圆与多边形的推理与计算，解题中特别要注意特殊图形的性质.23. 分析（1）将参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程，联立即可求解；.（2）先确定曲线1C 的极坐标方程()0θαρρ=∈≠R,，进一步求出点A 的极坐标为()2sin ,αα，点B的极坐标为(),αα，由此可得2sin AB αα=-π4sin 43α⎛⎫=- ⎪⎝⎭„．解析 （1）曲线2C 的直角坐标方程为2220x y y +-=，曲线3C的直角坐标方程为220x y +-=．联立222220,0,x y y x y ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩解得0,0,x y =⎧⎨=⎩或232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． 所以2C 与1C 交点的直角坐标为(0,0)和3)2． （2）曲线1C 的极坐标方程为(,0)θαρρ=∈≠R ，其中0πα<„．因此A 的极坐标为(2sin ,)αα，B的极坐标为,)αα．所以2sin AB αα=-π4sin()43α=-…． 当5π6α=时，AB 取得最大值，最大值为4． 评注 考查了参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化，并能求出距离的最值.24. 分析（1）由a b c d +=+，及ab cd > ，可证明22> ，两边开>+（2）由第（1）问的结论来证明.在证明中要注意分别证明充分性和必要性.解析（1）证明：因为2a b =++2c d =++由题设a b c d +=+，ab cd >，得22>，> （2）证明：( i)若a b c d -<-，则()()22a b c d -<-，即()()2244a b ab c d cd +-<+-.因为a b c d +=+，所以ab cd >>( ii)>22>，即a b ++c d >++因为a b c d +=+，所以ab cd >， 于是()()()()222244a b a b ab c d cd c d -=+-<+-=-，因此a b c d -<-.>a b c d -<-的充要条件.评注 不等式的证明要紧抓不等式的性质，结合其正负性来证明.充要条件的证明体现了数学推理的严谨性，要分充分性和必要性两个方面来证明.。

2015 年高考理科数学试卷全国卷 Ⅱ(3)参考答案1． A【解析】由已知得 B x 2 x 1 ，故 A B 1,0 ，故选 A ．考点：集合的运算． 2． B【解析】由已知得4a (a 2 4)i 4i ，所以 4a 0,a 2 44 ，解得 a 0 ，故选 B ．考点：复数的运算． 3． D【解析】由柱形图得，从 2006 年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年份负相关，故选 D ． 考点：正、负相关． 4． B【解析】设等比数列公比为q ，则2 4，又因为 a 13，所以 q4q260 ，a 1 qa 1q21a解得 q 22 ，所以 a a5a(aa a ) q 2 42 ，故选 B ．37135考点：等比数列通项公式和性质．5． C【 解析 】 由 已 知 得f ( 2) 1 log 2 4 3 ， 又l o 2 g1 ，2 所1以f (log 2 12)2log 212 1 2log266，故D 1C 1f (f 2 2 ) ，故选 C ．(lo g12 )9考点：分段函数．6． DA 1【解析】由三视图得， 在正方体 ABCDA 1B 1C 1D 1 中，B 1D截去四面体 AA 1B 1 D 1 ，如图所示，，设正方体棱长为Ca ，则VA A 1B 1D 11 1 a 3 1a 3 ，故剩余几何体体积3 2 6为 a31a 3 5 a 3，所以截去部分体积与剩余部分体66积的比值为1，故选D ．AB5考点：三视图．7． C【解析】由已知得 k AB3 2 1，k CB2 7 3，所以k AB k CB 1 ，所以 AB CB ， 1 43 4 1即 ABC 为直角三角形，其外接圆圆心为 (1, 2) ，半径为 5，所以外接圆方程为( x 1)2 ( y 2)2 25，令 x0 ，得 y 2 6 2 ，所以 MN 4 6 ，故选 C ．考点：圆的方程． 8． B【解析】程序在执行过程中，a ，b 的值依次为 a 14 ， b 18 ； b 4 ； a 10 ； a 6 ； a 2； b 2 ，此时 a b2 程序结束，输出 a 的值为 2，故选 B ．考点：程序框图．9． C【解析】如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥 O ABC 的体积最大，设球 O 的半径为 R ，此时 V O ABC V C AOB1 1 R2 R 1 R3 36，故 R6 ，则3 26球 O 的表面积为 S 4 R 2144 ，故选 C ．考点：外接球表面积和椎体的体积．COAB10． B【解析】由已知得，当点P 在BC 边上运动时，即0x时 ，3 4P AP B t a 2nx 4t ；a 当nx 点 P 在 CD 边上运动时，即 x, x 时，442PA PB(11)21(11)2 1 ，当 x时， PAPB2 2；当点 P 在tan xtan x2AD 边上运动时，即3x时， PA PBtan 24x 4 tan x ，从点 P 的运动过程可以看出，轨迹关于直线x对称，且 f () f ( ) ，且轨迹非线型，故选 B ．24 2考点：函数的图象和性质．11． D【 解 析 】 设 双 曲 线 方 程 为x 2y 2 1(a 0, b 0) ， 如 图 所 示 ， AB BM ，a 2b 2 ABM1200，过点 M 作 MNx 轴 ， 垂 足 为 N ， 在 R tBMN 中， BNa ，MN3a ，故点 M 的坐标为 M (2a, 3a) ，代入双曲线方程得a 2b 2a 2 c 2 ，即c 22a 2 ，所以e 2，故选．D考点：双曲线的标准方程和简单几何性质．12． A【 解 析 】 记 函 数 g( x)f ( x) ， 则 'xf ' ( x ) f x( )0 时 ，xg (x)， 因 为 当 xx 2'( x)f( x) ，故当 x 0 时，g '( x) 0 ，所以 g( x) 在 (0,) 单调递减；又因为函数x f 0f ( x)( x R) 是 奇 函 数 ， 故函 数 g( x) 是 偶 函 数 ， 所 以 g( x) 在 ( ,0) 单调递减，且g( 1) g(1) 0 ．当 0 x 1时， g( x)0 ，则 f (x) 0 ；当 x1时， g(x) 0，则f ( x)0 ，综上所述，使得f ( x) 0 成立的 x 的取值范围是 (, 1)(0,1) ，故选 A ．考点：导数的应用、函数的图象与性质．13．14y23a b 与 a 2b【解析】因为向量平行，所以2，B1a b （ka 2b ），则k1D所以．x1 2k,2–4 –3 –2 –1O123 4考点：向量共线．C–114．32【解析】 画出可行域， 如图所示， 将目标函数变 形 为 y x z ， 当 z 取 到 最 大 时 ， 直 线y x z 的纵截距最大，故将直线尽可能地向上平移到 D (1,1) ，则 z x y 的最大值为3 ． 22考点：线性规划．–2–3–415．3【解析】试题分析：由已知得 (1x) 414x6x24x3x4，故 (a x)(1x)4的展开式中 x 的奇数次幂项分别为4ax ，4ax3，x，6x3，x5，其系数之和为 4a4a1+6+1=32 ，解得 a 3 ．考点：二项式定理．16．1 n【解析】由已知得a n1S n1S n Sn 1S n，两边同时除以Sn 1S n，得111，Sn 1S n故数列11 为首项， 1 为公差的等差数列，则11(n1)n ，所以是以S nS nS n 1．n考点：等差数列和递推关系．17．【解析】（Ⅰ）S ABD 1AB AD sin BAD ， S ADC1AC AD sin CAD ，因为22SABD2S ADC，BAD CAD ，所以 AB 2 AC ．由正弦定理可得sin B AC 1 ．sin C AB2（Ⅱ）因为 S ABD : S ADC BD : DC ，所以 BD 2 ．在ABD 和ADC 中，由余弦定理得AB2AD 2BD 22AD BD cos ADB ，AC 2AD 2DC 22AD DC cos ADC ．AB22AC 23AD 2BD 22DC 26．由（Ⅰ）知 AB2AC ，所以 AC1．18．【解析】（Ⅰ）两地区用户满意度评分的茎叶图如下通过茎叶图可以看出， A 地区用户满意度评分的平均值高于 B 地区用户满意度评分的平均值；A 地区用户满意度评分比较集中，B 地区用户满意度评分比较分散．（Ⅱ）记 C A1 表示事件：“ A 地区用户满意度等级为满意或非常满意” ；C A 2 表示事件：“ A 地区用户满意度等级为非常满意” ； C B1 表示事件：“ B 地区用户满意度等级为不满意” ； C B 2 表示事件：“ B 地区用户满意度等级为满意” ．则 C A1 与 C B1 独立， C A2 与 C B2 独立， C B1 与 C B 2 互斥， CC B1CA1C B 2CA2．P(C) P(C B1C A1 C B 2C A2 ) P(C B1C A1 ) P(C B 2C A2 )P(C B1 )P(C A1 ) P(C B2 )P(C A2 ) ．由所给数据得 C A1 ， C A2 ， C B1 ， C B 2 发生的概D 1 FC 1率分别为16 ，4 ，10 ，8．故 P(C A1) =16 ，20 2020 2020P(C A2 )=4，P(C B1)=10， P(C B2) = 8，A 1E B1 2020 20D10 16+840.48 ．C故 P(C)=20 20 20G20EHGF 如19．【解析】（Ⅰ）交线围成的正方形图：AM HB（Ⅱ）作EMAB，垂足为M ，则AM 1A E4，EMAA 18 ，因为 EHGF为正方形， 所以 EHEFBC 10 ．于是 MHEH 2 EM 2 6，所以 AH10 ．以D 为坐标原点， DA 的方向为 x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz ，则A(10,0,0) ， H (10,10,0) ， E (10,4,8) ， F (0,4,8) ， FE (10,0,0) ， HE (0, 6,8) ．设n(x, y,z)是平面 EHGF 的法向量，则n FE 0, 10x 0, n HE0, 即6 y 8z 所以可取0,n (0,4,3) ．又 AF( 10,4,8) ，故 cos n, AFn AF 4 5．所以直线 AF 与 n AF15平面所成角的正弦值为 4 5 ．1520．【解析】（Ⅰ） 设直线 l : y kx b ( k 0, b 0) ， A( x 1 , y 1) ， B(x 2 , y 2 ) ， M ( x M , y M ) ．将代入222222ykxb9xy得(k9)x2kbx b m， 故mx Mx 1 x 2 kb ，2 k 2 9y Mkx Mb9b．于是直线 OM 的斜率y M9 k 9 ．所以直2kOM，即 kk 9x MOMk线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值．（Ⅱ）四边形 OAPB 能为平行四边形． 因为直线 l 过点 (m,m) ，所以 l 不过原点且与 C 有两个交点的充要条件是k 0 ， k3 ．3OMy9x ．设点 P 的横坐标为x P ．由 y9x,由（Ⅰ）得的方程为k得k9x 2y 2 m 2,2k 2 m 2km．将点mm(3 k)x P，即 x P(ml 的方程得b，9k 2 k 2813 933因此 x Mmk( k3)．四边形 OAPB 为平行四边形当且仅当线段 AB 与线段 OP 互相平分，3(k 2 9)即 x P2 x M ．于是km3 k 292 mk (k3)．解得k14 7 ， k 247 ．因为 k i 0,k i 3 ， i 1 ， 2 ，所以当 l3( k 29)的斜率为4 7 或 4 7 时，四边形 OAPB 为平行四边形．21．【解析】（Ⅰ） f ' (x) m(e mx 1) 2x ．若 m0 ，则当 x (,0) 时， e mx1 0 ， f ' (x) 0 ；当 x (0,) 时， e mx1 0 ，f ' (x) 0 ．若 m0 ，则当 x (,0) 时， e mx1 0 ， f ' (x) 0 ；当 x (0,) 时， e mx1 0 ，f ' (x) 0 ．所以， f ( x) 在 (,0) 单调递减，在 (0, ) 单调递增．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，对任意的m ， f ( x)在 [1,0] 单调递减，在[0,1] 单调递增，故 f (x) 在x0 处取得最小值．所以对于任意x1, x2[ 1,1] ， f (x1) f (x2 ) e 1的充要条件是：f (1) f (0)e1,即e m m e 1,tt e 1 ，则f (1) f (0)e1, e m m e①，设函数 g(t )e 1,' (t)te．当 t0 时，'(t )0；当 t0 时，'(t)0．故 g(t ) 在 (,0) 单调递减，g1g g在 (0,) 单调递增．又 g 1)(0， g(1) e 1 2e0 ，故当t[ 1,1]时， g (t)0 ．当m[ 1,1]时， g( m)0， g (m)0 ，即①式成立．当m1时，由 g(t ) 的单调性，g( m)0，即 e m m e 1 ；当 m1时， g ( m)0 ，即 e m m e 1 ．综上，m的取值范围是 [1,1]．22．【解析】（Ⅰ）由于ABC 是等腰三角形， AD BC ，所以AD是CAB 的平分线．又因为O 分别与AB、 AC 相切于E、F两点，所以AE AF ，故 AD EF ．从而EF//BC．O 的（Ⅱ）由（Ⅰ）知， AE AF , AD EF ，故 AD 是 EF 的垂直平分线，又EF 是弦，所以 O 在AD上．连接 OE ，OM ，则 OE AE．由 AG 等于O 的半径得 AO2OE ，所以OAE300．所以ABC 和AEF 都是等边三角形．因为AE23，所以AO 4，OE2．因为 OM OE2， DM 1MN 3 ，所以 OD1．于是 AD5， AB103．所23以四边形 EBCF 的面积1(10 3 )231(23) 2316 3．23222323．【解析】（Ⅰ）曲线C2的直角坐标方程为x2y2 2 y0，曲线 C3的直角坐标方程为x 2y22y0,x0,x 3 ,x2y2 2 3x 0 ．联立22解得或2所以 C2与C1交x y 2 3x 0,y0,y 3 ,2点的直角坐标为(0,0) 和 (3,3)．22（Ⅱ）曲线 C1的极坐标方程为(R,0) ，其中 0．因此 A 得到极坐标为(2sin,)，B的极坐标为(23 cos , ) ．所以AB2s i n24 s 3i cn o，(当s 5时， AB 取得最大值，最大值为)364．24．【解析】（Ⅰ）因为(a b )2a b 2 ab ， ( c d )2c d 2 cd ，由题设a b c d ， ab cd ，得(a b )2(c d ) 2．因此a b c d ．（Ⅱ）（ⅰ）若 a b c d ，则 (a b)2(c d )2．即 (a b)24ab(c d) 24cd ．因为 a b c d ，所以 ab cd ，由（Ⅰ）得a b c d ．（ⅱ）若a b c， d 则( a b ) 2( c d )2，即a b2 a cb d2．c 因d 为a b c ，d 所以 a b c ，d 于是(a b) 2(a b)24ab(c d )24cd(c d)2．因此 a b c d ，综上，a b c d 是 a b c d 的充要条件．。

2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国卷Ⅱ）(青海、西藏、甘肃、贵州、内蒙古、新疆、宁夏、吉林、黑龙江、云南、辽宁、广西、海南等)注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={-2,-1,0,1,2}，B={X|（X-1）（X+2）<0}，则A B=（）A．{-1,0} B．{0,1} C．{-1,0,1}D．{0,1,2}2.若a为实数，且（2+ai）（a-2i）= - 4i，则a=（）A．-1 B．0 C．1 D．23.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫排放量与年份正相关4.已知等比数列{错误!未找到引用源。

} 满足错误!未找到引用源。

=3，错误!未找到引用源。

+错误!未找到引用源。

=21，则错误!未找到引用源。

+错误!未找到引用源。

+错误!未找到引用源。

=（）A．21 B．42 C．63 D．845.设函数f（x）=错误!未找到引用源。

则f（-2）+f（错误!未找到引用源。

）=（）A．3 B．6 C．9 D．126.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．错误!未找到引用源。

B．错误!未找到引用源。

C．错误!未找到引用源。

D．错误!未找到引用源。

7.过三点A（1,3），B（4,2），C（1，-7）的圆交y轴于M，N两点，则IMNI=（）A．2错误!未找到引用源。

2015年高考全国新课标卷Ⅱ理科数学真题一、选择题1、已知集合A={–2,–1,0,1,2}，B={x|(x –1)(x+2)<0}，则A∩B=() A ．{–1,0} B ．{0,1} C ．{–1,0,1} D ．{0,1,2}2、若a 为实数，且(2+ai)(a –2i)=–4i ，则a=() A ．–1 B ．0 C ．1 D ．23、根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论中不正确的是()A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显着B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C ．2006年以来我国二氧化硫排放量呈减少趋势D ．20064、已知等比数列{a n }满足a 1=3，a 1+a 3+a 5=21，则A ．21 B ．42 C ．63 D ．84 5、设函数f(x)=，则f(–2)+f(log 212)=() A ．3 B ．6 C ．9 D ．12 6.一个正方体被一个平面截去一部分后，分体积的比值为()A ．B ．C ．D ．7、过三点A ．2 8、如上左2a=() A ．0 9、已知A ，C 为该球上的动点，若三棱锥O –ABC 的体积最大值为36A ．36π．256π10、如上左O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP=x x 的函数，则y=f(x)的图像大致为()A ．B ．C ．D ． 11、已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为()A ．B ．2C ．D ．12、设函数f’(x)是奇函数f(x)(x R)的导函数，f(–1)=0，当x>0时，xf’(x)–f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x 的取值范围是() A ．(–∞,–1)∪(0,1) B ．(,0)∪(1,+∞)C ．(–∞,–1)∪(–1,0) D ．(,1)∪(1,+∞) 二、填空题13、设向量a,b 不平行，向量λa+b 与a+2b 平行，则实数λ=． 14、若x ，y 满足约束条件，则z=x+y 的最大值为．15、(a+x)(1+x)4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a=．16、设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1=–1，a n+1=S n S n+1，则S n =________________． 三、解答题17、△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍． (1)求．(2)若AD=1，DC=，求BD 和AC 的长．18.某公司为了了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机抽查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下： A 地区：62738192958574645376 78869566977888827689B 地区：73836251914653736482 93486581745654766579(1)均值及分散程度(记事件C ：“A 地区用户的满意等级高于B 19、如图，长方形ABCD –A 1B 1C 1D 1中，AB=16，BC=101F=4．过点E ，F 的平面α(1)在途中画出这个正方形(不必说明画法和理由(2)求直线AF 与α平面所成角的正弦值．20、已知椭圆C ：9x 2+y 2=M 2(m>0)．直线l A ，B ，线段AB 的中点为M ．(1)(2)若l l 的21、设函数(1)证明：(2)2)|≤e –1，求m 的取值范围．22、[选修4ABC 内一点，⊙O 与△ABC 的底边BC 交于M ，N E ，F 两点． (1)(2)若AG EBCF 的面积． 23、[选修4xOy 中，曲线C 1：(t 为参数，t≠0)，其中0≤α<π． 在以O C 2：ρ=2sinθ，C 3：ρ=2cosθ． (1)求C 2与C (2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB|的最大值24、[选修4–5：不等式选讲]设a ，b ，c ，d 均为正数，且a+b=c+d ，证明： (1)若ab>cd ，则+>+；(2)+>+是|a –b|<|c –d|的充要条件． 2015年高考全国新课标卷Ⅱ理科数学真题 一、选择题1、答案：A ．∵(x–1)(x+2)<0，解得–2<x<1，∴B={x|–2<x<1}，∴A∩B={–1,0}．2、答案：B ．∵(2+ai)(a–2i)=(2a+2a)+(a 2–4)i=–4i ，∴a 2–4=–4，解得a=0．3、答案：D ．由柱形图得，从2006年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年份负相关．4、答案：B ．∵a 1+a 3+a 5=a 1+a 1q 2+a1q 4=3(1+q 2+q 4)=21，∴1+q 2+q 4=7，整理得(q 2+3)(q 2–2)=0．解得q 2=2，∴a 3+a 5+a 7=a 1q 2+a 1q 4+a 1q 6=a 1q 2(1+q 2+q 4)=3×2×7=42． 5、答案：C ．∵f(–2)=1+log 2(2+2)=3，()222log 121log 3log 412log 1222f -+-==222log 3log 2log 6226+===，∴f(–2)+f(log 212)=9．6、答案：D ．如图所示截面为ABC ，设边长为a ，则截取部分体积为S △ADC ·|DB|=a 3， 所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为=．7、答案：C ．由题可得，解得，所以圆方程为x 2+y 2–2x+4y –20=0，令x=0，解得y=–2±2， 所以|MN|=|–2+2–(–2–2)|=4． 8、答案：B ．输入a=14，b=18．第一步a≠b 成立，执行a>b ，不成立执行b=b –a=18–14=4； 第二步a≠b第三步a≠b 第四步a≠b 第四步a≠b 第五步a≠b 9、答案：C 点C 到平面10、答案：当点P 在CD 当x=时，从点P B ． 11、答案：过点M 作， 12、答案：因为当x>0 又因为函数且g(–， 二、填空题131415、答案：所以Ca+Ca+C+C+C=32，解得a=3．16、答案：–．∵a n+1=S n+1–S n =S n S n+1，∴–=1．即–=–1，∴{}是等差数列， ∴=–(n –1)=–1–n+1=–n ，即S n =–． 三、解答题17、答案：(1)；(2)|BD|=，|AC|=1．(1)如图，由题意可得S △ABD =|AB||AD|sin ∠BAD，S △ADC =|AC||AD|sin ∠CAD， ∵S △ABD =2S △ADC ，∠BAD=∠DAC，∴|AB |=2|AC|，∴==． (2)设BC 边上的高为h ，则S △ABD =|BD|·h=2S △ADC =2××h ，解得|BD|=，设|AC|=x ，|AB|=2x ，则cos ∠BAD=，cos ∠DAC=．∵cos∠DAC=cos ∠BAD ，∴=，解得x=1或x=–1(舍去)．∴|AC|=1． 18、(1)如图所示．通过茎叶图可知A 地区的平均值比B 地区的高，A地区的分散程度大于B地区．(2)记事件不满意为事件A1，B1，满意为事件A2，B2，非常满意为事件A3，B3．则由题意可得P(A1)=，P(A2)=，P(A3)=，P(B1)=，P(B2)=，P(B3)=，则P(C)=P(A2)P(B1)+P(A3)(P(B1)+P(B2))=×+×(+)=．19、(1)如图所示(2)建立空间直角坐标系．由题意和(1)可得A(10,0,0)，F(0,4,8)，E(10,4,8)，G(10,10,0)，则向量AF=(–10,4,8)，EF=(–10,0,0)，EG=(0,6,–8)．设平面EFHG的一个法向量为n=(x,y,z)，则，即，解得x=0，令y=4，z=3，则n=(0,4,3)．所以直线AF与α平面所成角的正弦值为sinθ=|cos<AF,n>|===．20、(1)设直线l的方程为y=kx+b(k≠0)，点A(x1,y1)，B(x2,y2)，则M(,)，联立方程，消去y整理得(9+k2)x2+2kbx+b2–m2=0(*)，∴x1+x2=–，y1+y2=k(–)+2b=，∴kOM ·kAB=·k=·(–)·k=–9．k=4±，有21∴∴，所以此时当令e–m–2m 在而．当当22则∵．在在Rt△AEO中，sin∠OAE===．∴∠OAE=60°，∵∠OAE=∠OAF=∠EAF，AE=AF，∴∠EAF=2∠OAE=60°，∴△AEF、△ABC是等边三角形．连接OM，∴OM=2．∵OD⊥MN，∴MD=ND=MN=．在Rt△ODM中，OD===1，∴AD=OA+AD=4+1=5．在Rt△ADB中，AB===．∴四边形EBCF的面积为S△ABC –S△AEF=×()2–×(2)2=．23、(1)将曲线C2，C3化为直角坐标系方程C2：x2+y2–2y=0，C3：x2+y2–2x=0．联立，解得或．所以交点坐标为(0,0)，(,)．(2)曲线C1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α<π．∵A的极坐标为(2sinα,α)，B的极坐标为(2cosα,α)．∴|AB|=|2sinα–2 cosα|=4|sin(α–)|．当α=时，|AB|取得最大值，最大值为4．24、(1)由题意可得(+)2=a+b+2，(+)2=c+d+2，∵ab>cd，∴>，而a+b=c+d，∴(+)2>(+)2，即+>+．(2)+>+，即a+b+2>c+d+2，∴>，∴ab>cd，∴–4ab<–4cd，∴(a+b)2–4ab<(c+d)2–4cd，∴(a–b)2<(c–d)2，∴|a–b|<|c–d|．。

2015年高考理科数学全国2卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

（1）已知集合}2,1,0,1,2{-=A ，}0)2)(1/({<+-=x x x B ，则=⋂B A}0,1){(-A }1,0){(B }1,0,1){(-C }2,1,0){(D（2）若a 为实数且i i a ai 4)2)(2(-=-+则a =)(A -1 )(B 0 )(C 1 )(D 2（3）根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。

以下结论不正确的是)(A 逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 )(B 2007年我国治理二氧化硫排放显现)(C 2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势)(D 2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关（4）等比数列}{n a 满足,21,35311=++=a a a a ，则=++753a a a)(A 21 )(B 42 )(C 63 )(D 84（5）设函数⎩⎨⎧≥<-+=-1,2,1),2(log 1)(12x x x x f x 则=+-)12(log )2(2f f)(A 3 )(B 6 )(C 9 )(D 12（6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为)(A 81 )(B 71)(C 61 )(D 51（7）过三点A （1,3），B （4,2），C （1,7）的圆交于y 轴于M 、N 两点，则MN =)(A 26 )(B 8 )(C 46 )(D 10（8）右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。

执行该程序框图，若输入b a ,分别为14,18)(A 0 )(B 2 )(C 4 )(D 14（9）已知B A ,是球O 的球面上两点，C AOB ,90︒=∠为该球面上的动点，若三棱锥ABC O -体积的最大值为36，则球O 的表面积为)(A 36π )(B B.64π )(C 144π )(D 256π（10）如图，长方形ABCD 的边1,2==BC AB ,O 是AB 的中点，点P 沿着边CD BC ,与DA 运动，x BOP =∠，将动点P 到AB 两点距离之和表示为x 的函数)(x f ，则)(x f 的图像大致为Ox D C BA(D)(C)(B)(A)2xyO424π2xyO424π2xyO424ππ424Oyx2（11）已知B A ,为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，ABM ∆为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为)(A 5 )(B 2 )(C 3 )(D 2（12）设函数)('x f 是奇函数))((R x x f ∈的导函数，0)1(=-f ，当0>x 时，0)()(,<-x f x xf ，则使得0)(>x f 成立的x 的取值范围是)(A )1,0()1,(⋃--∞ )(B ),1()0,1(+∞⋃- )(C )0,1()1,(-⋃--∞ )(D ),1()1,0(+∞⋃二、填空题（13）设向量b a ,不平行，向量b a +λ与b a 2+平行，则实数=λ___________.（14）若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥+-,022,02,01y x y x y x ，则y x z +=的最大值为____________.（15）4)1)((x x a ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则=a __________. (16)n S 是数列}{n a 的前n 项和，且11-=a ，11+=+n n n S S a ，则n S =__________. 三．解答题（17）（本小题满分12分）ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD ∆是ADC ∆面积的2倍。