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生活中函数的例子一、函数的传统定义：设有两个变量x、y,如果对于x在某一范围内的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与它对应,那么就称y是x的函数,x叫做自变量.我们将自变量x取值的集合叫做函数的定义域,和x对应的y的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域.函数的近代定义：设A,B都是非空集合,f：x→y是从A到B的一个对应法则,那么从A到B的映射f：A→B就叫做函数,记作y=f(x),其中x∈A,y∈B,集合A叫做函数f(x)的定义域.若集合C是函数f(x)的值域,显然有C⊆B.符号y=f(x)即是“y是x的函数”的数学表示,应理解为：x是自变量,它是法则所施加的对象；f是对应法则,它可以是一个或几个解析式,可以是图象、表格,也可以是文字描述；y是自变量的函数值,当x为允许的某一具体值时,相应的y值为与该自变量值对应的函数值,当f用解析式表示时,则解析式为函数解析式.y=f(x)仅仅是函数符号,不是表示“y等于f与x的乘积”,f(x)也不一定是解析式. 对函数概念的理解函数的两个定义本质是相同的,只是叙述概念的出发点不同,传统定义是从运动变化的观点出发,而近代定义是从集合、映射的观点出发。
二、实际生活中的应用问题1、商品定价问题例1 某种品牌的彩电降价30%以后,每台售价为a元,则该品牌的彩电每台原价为多少？2、商品降价问题例2 某商品进价是1000元,售价是1500元.由于销售情况不好,商店决定降价出售,但又要保证利润为5% ,求商店应降价多少元出售. 3、存款利率问题例3 国家规定存款利息的纳税办法是：利息税＝利息×20% ,储户取款时由银行代扣代收.若银行一年定期储蓄的年利率为2.25% ,某储户取出一年到期的本金及利息时,扣除了利息税36元,则银行向该储户支付的现金是多少元?4、支付稿酬问题例4 国家规定个人发表文章或出书获得稿费的纳税计算方法是：（1）稿费不高于800元的,不纳税；（2）稿费高于800元又不高于4000元的应交超过800元那一部分稿费的14% 的税；（3）稿费高于4000元的应交全部稿费的11% 的税.王老师曾获得一笔稿费,并交税280元,算一算王老师这笔稿费是________ 元.5、股票问题例5 下表是某一周甲、乙两种股票每天的收盘价（每天交易结束时的价格）星期一星期二星期三星期四星期五甲12 12.5 12.9 12.45 12.75乙13.5 13.3 13.9 13.4 13.75某人在该周内持有若干甲、乙两种股票,若按两种股票每天的收盘价计算（不计手续费、税费等）,该人帐户上星期二比星期一多获利200元,星期三比星期二多获利1300元,试问该人持有甲、乙两种股票各多少股?6、人员考核问题例6 某企业对应聘人员进行英语考试,试题由50道选择题组成,评分标准规定：每道题的答案选对得3分,不选得0分,选错倒扣1分.已知某人有5道题未作,得了103分,问这人选错了多少道题?7、货物运费问题例7 一批货物要运往某地,货主准备租用运输公司得甲、乙两种货车,已知过去两次租用这两种货车的情况如下表：第一次第二次甲种货车辆数 2 5乙种货车辆数 3 6累计运货吨数15.5 35现租用该公司3辆甲种货车和5辆乙种货车,一次刚好运完这批货物.如果按每吨付运费30元计算,问货主应付运费多少元?8、小康生活问题例8 改革开放以来,某镇通过多种途径发展地方经济.1995年该镇国民生产总值2亿元.根据测算,该镇年国民生产总值为5亿元,可达到小康水平.若从1996年开始,该镇年国民生产总值每年比上一年增加0.6亿元,该镇经过几年可达到小康水平?9、校舍建设问题例9 光明中学现有校舍面积20000平方米,为改善办学条件,计划拆除部分旧校舍,建造新校舍,使新建校舍的面积是拆除旧校舍的3倍还多1000平方米.这样,计划完成后的校舍总面积可比现有校舍面积增加20% .已知拆除旧校舍每平方米需费用80元,建造新校舍每平方米需费用700元,问完成该计划需多少费用?10、水资源问题例10 某地现有人口500万,水资源120亿米 .若该地人口每年增加4万,水资源每年减少1.2亿米 .试问：经过多少年后,每万人拥有的水资源是0.2亿米?11、水土流失问题例11 目前,包括长江、黄河等七大流域在内,全国水土流失面积达到367万平方千米,其中长江与黄河流域的水土流失总面积占全国的32.4% ,而长江流域的水土流失问题更为严重,它的水土流失面积比黄河流域的水土流失面积还要多29万平方千米,问长江流域的水土流失面积是多少?12、飞机票价问题例12 有一旅客携带了30千克行李从南京禄口国际机场乘飞机去天津,按民航规定,旅客最多可免费携带20千克行李,超重部分每千克按飞机票价的1.5% 购买行李票.现该旅客购了120元的行李票,则他的飞机票价应是多少元?三、其他实例1、《中华人民共和国所得税法》规定,公民全月工资,薪金所得不超过800元的部分不纳税,超过800元的为全月应纳税所得额,此项税款按下表分段累计计算:全月应纳税所得额税率不超过500的部分5%超过500元至2000元的部分10%超过2000元至5000元的部分15%…………某人一月份应交纳此项款26.78元,则他们当月工资,薪金所得等于( )A、800～900元 B 、900～1200元C、1200～1500元 D 、1500～2800元分析:本题的关键词语为"全月应纳税所得额解:由表格可知全月应纳税所得额为500元时应纳税500×5%=25(元) 由题可知某人一月份纳税26.78元,26.78-25=1.78(元)为超过500元的全月应纳税所得额所上交纳款,依表格这部分薪金所得为1.78÷10%=17.8元,故此月份工资为800+500+17.8=1317.8元故选C。
数学中的函数与变量数学是一门抽象而又精确的学科，而函数和变量是数学中非常重要的概念。
函数可以理解为输入和输出之间的关系，而变量则是描述这种关系的元素。
在本文中，我们将深入探讨函数和变量在数学中的应用和意义。
一、函数的定义与表示函数是数学中一个非常基础的概念，它描述了两个集合之间的依赖关系。
一个函数通常被表示为f(x)，其中x是自变量，f(x)是对应的函数值，也称为因变量。
函数可以用各种形式进行表示，例如：1.显式表达式：y = f(x)这是最常见也是最直观的函数表示形式。
y表示因变量，x表示自变量，f(x)表示函数关系。
例如，y = 2x表示一个线性函数，y的值是x的两倍。
2.隐式表达式：F(x, y) = 0对于某些函数关系，不能通过显式表达式表示。
在这种情况下，我们可以使用隐式函数来描述关系。
例如，对于一个圆的方程x^2 + y^2= 1，无法通过y = f(x)来表示，但可以通过F(x, y) = 0的形式来描述。
3.参数方程：x = f(t)，y = g(t)有时，函数的自变量和因变量都可以用另外一个变量来表示。
例如，一个圆可以通过参数方程x = cos(t)，y = sin(t)来表示，其中t为参数。
二、函数的特性与分类函数在数学中具有一些重要的特性，它们可以帮助我们理解和分析函数的性质。
下面是一些常见的函数特性：1.定义域与值域函数的定义域是自变量可以取的值的集合，值域是函数所有可能的输出值的集合。
例如，对于函数y = 2x，定义域为实数集，值域为所有的实数。
2.单调性单调性描述了函数的增减性质。
一个函数可以是递增的（对于所有x1 < x2，f(x1) < f(x2)），也可以是递减的（对于所有x1 < x2，f(x1) > f(x2)）。
3.奇偶性奇偶性描述了函数的对称性质。
一个函数如果满足f(-x) = f(x)，则该函数是偶函数；如果满足f(-x) = -f(x)，则该函数是奇函数。
北师大版必修1高一数学课件:生活中的变量关系
导读：本文北师大版必修1高一数学课件:生活中的变量关系，仅供参考，如果觉得很不错，欢迎点评和分享。
§1生活中的变量关系
§2对函数的进一步认识
2.1函数概念
1.初中时你学过哪些函数？y＝kx＋b，(k≠0)，y＝ax2＋bx＋c，(a≠0)，
(k≠0)分别叫，，.
2.函数y＝kx＋b，已知kb＜0，则函数的图象经过第
象限.
3.函数y＝2x2＋3x＋1.当x＝－1时的函数值为.
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数学的变量与函数数学作为一门精确的科学，扮演着解决问题、推导规律的重要角色。
在数学的世界中，变量和函数是两个基本概念，它们的关系和应用广泛存在于数学的各个领域。
本文将详细介绍数学中的变量与函数，探讨它们的定义、特性及其在数学中的应用。
1. 变量在数学中，变量是指可以取不同值的量。
它是数学中用来表示未知数或可变因素的一个符号。
通常用字母表示变量，如x、y、z等。
变量的值可以随着问题或条件的变化而改变，可以是实数、整数、分数等。
在数学中，我们经常遇到需要利用变量来表示和解决问题的情况。
变量的特性有以下几个方面：首先，变量具有可变性。
它的值没有固定的限制，可以随着问题的不同而取不同的值。
其次，变量的值可以通过计算、观察或实验来确定。
一般来说，变量的值可以通过解方程、代入等方法来求解。
最后，变量可以进行运算。
我们可以对变量进行加减乘除等基本运算，通过这些运算可以得到新的变量或确定变量的取值范围。
2. 函数函数是数学中一个重要的概念，它描述了两个量之间的依赖关系。
函数可以看作是一种特殊的关联，将一个变量的值映射到另一个变量的值。
数学上，函数通常用f(x)或y来表示，其中x是自变量，y是因变量。
函数可以看作是一个规则，它给出了自变量和因变量之间的关系。
函数有以下几个要素：首先，函数有定义域和值域。
定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。
其次，函数可以用图像来表示。
通过绘制函数的图像，可以更直观地理解函数的性质和关系。
最后，函数可以进行运算和组合。
我们可以对函数进行加减乘除、求导等运算，也可以通过组合两个或多个函数来构造新的函数。
函数在数学中的应用非常广泛。
例如，它可以用来描述物体的运动规律、计算数列的通项公式、解决最优化问题等。
函数的概念在数学分析、微积分、代数等学科中都有重要的应用。
3. 变量与函数的关系变量和函数是数学中密切相关的两个概念。
变量可以看作是函数中的自变量，它决定了函数的取值范围和性质。
变量与函数【学习目标】 1．知道现实生活中存在变量和常量，变量在变化的过程中有其固有的范围（即变量的取值范围）；2．能初步理解函数的概念；能初步掌握确定常见简单函数的自变量取值范围的基本方法；给出自变量的一个值，会求出相应的函数值．3. 理解函数图象上的点的坐标与其解析式之间的关系，会判断一个点是否在函数的图象上，明确交点坐标反映到函数上的含义.4. 初步理解函数的图象的概念，掌握用“描点法”画一个函数的图象的一般步骤，对已知图象能读图、识图，从图象解释函数变化的关系．【要点梳理】要点一、变量、常量的概念在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.数值保持不变的量叫做常量.要点诠释：一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的.例如，60s t ，速度60千米/时是常量，时间t 和里程s 为变量.要点二、函数的定义一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量x 与y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是x 的函数.要点诠释：对于函数的定义，应从以下几个方面去理解：（1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系；（2）对于自变量x 的取值，必须要使代数式有实际意义；（3）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于x 允许取的每一个值，y 是否都有唯一确定的值与它相对应.（4）两个函数是同一函数至少具备两个条件：①函数关系式相同（或变形后相同）；②自变量x 的取值范围相同.否则，就不是相同的函数.而其中函数关系式相同与否比较容易注意到，自变量x 的取值范围有时容易忽视，这点应注意.要点三、函数的定义域与函数值函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域.要点诠释：考虑自变量的取值必须使解析式有意义。
（1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数；（2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数；（3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数；（4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数不为零；（5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义.y 是x 的函数，如果当x ＝a 时y ＝b ，那么b 叫做当自变量为a 时的函数值.在函数用记号()y f x =表示时，()f a 表示当x a =时的函数值.要点诠释：对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个.比如：2y x =中，当函数值为4时，自变量x 的值为±2.要点四、函数的图象对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.要点诠释：由函数解析式画出图象的一般步骤：列表、描点、连线.列表时，自变量的取值范围应注意兼顾原则，既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量或对应的函数值太大或太小，以便于描点和全面反映图象情况.【典型例题】类型一、变量与函数1、下列等式中，y 是x 的函数有（ ）A .1个 B.2个 C. 3个 D.4个【答案】C ；【解析】要判断是否函数，需判断两个变量是否满足函数的定义.对于221,x y -= 当x 取2，y 和它对应，对于||x y =，当x 取2，y 有两个值±2和它对应，所以这两个式子不满足函数的定义的要求：y 都有唯一确定的值与x 对应，所以不是函数，其余三个式子满足函数的定义，故选C.【总结升华】在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量，y 是x 的函数.抓住函数定义中的关键词语“y 都有唯一确定的值”，x 与y 之间的对应，可以是“一对一”，也可以是“多对一”，不能是“一对多”.举一反三：【变式】下列函数中与x y =表示同一函数的是（ ） A.x y = B.xx y 2= C.2)(x y = D.33x y = 【答案】D ；提示：表示同一函数，自变量的取值要相同，化简后的解析式要相同.2、如图所示，下列各曲线中表示y 是x 的函数的有( )．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】 C ；【解析】这是一道函数识别题，从函数概念出发，领悟其内涵，此题不难得到答案，④不构成函数关系．【总结升华】在函数概念中注意两点：有两个变量，其中一个变量每取一个确定的值，另一个变量就有唯一的一个值与其对应．类型二、函数解析式3、求出下列函数的定义域.（1）．52+-=x x y （2）．423x y x =- （3）．y =（4）．y =（5）．y =（6）．2y x =+ 【答案与解析】解：（1）．52+-=x x y ，x 为任何实数，函数都有意义； （2）．423x y x =-，要使函数有意义，需2x －3≠0，即x ≠32；（3）．y =2x ＋3≥0，即32x ≥-； （4）．y =2x －1＞0，即12x >；（5）．y =x 为任何实数，函数都有意义；（6）．y =，要使函数有意义，需3020x x +≥⎧⎨+≠⎩，即x ≥－3且x ≠－2. 【总结升华】自变量的取值范围必须使整个解析式有意义.4、如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝10，设P 为BC 上任一点，点P 不与点B 、C 重合，且CP ＝x ．若y 表示△APB 的面积．(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)求自变量x 的取值范围．【答案与解析】解： (1)因为AC ＝6，∠C ＝90°，BC ＝10， 所以116103022ABC S AC BC ∆==⨯⨯=． 又116322APC S AC PC x x ∆==⨯⨯=， 所以303APB ABC APC y S S S x ∆∆∆==-=-，即303y x =-．(2)因为点P 不与点B 、C 重合，BC ＝10，所以0＜x ＜10．【总结升华】利用三角形面积公式找到函数关系式，要把握点P 是一动点这个规律，结合图形观察到点P 移动到特殊点，便可求出自变量的取值范围．举一反三：【变式】 小明在劳动技术课中要制作一个周长为80cm 的等腰三角形．请你写出底边长y (cm )与腰长x (cm )的函数关系式，并求自变量x 的取值范围．【答案】解：由题意得，2x y +＝80,所以802y x =-，由于三角形两边之和大于第三边，且边长大于0，所以080202802x y x x x >⎧⎪=->⎨⎪>-⎩，解得2040x << 所以802,2040y x x =-<<.类型三、函数值5、 若y 与x 的关系式为306y x =-，当x ＝13时，y 的值为（ ） A ．5 B ．10 C ．4 D ．－4【答案】C ； 【解析】130610643y =⨯-=-=.【总结升华】把13x =代入关系式可求得函数值. 类型四、函数的图象6、星期日晚饭后，小红从家里出去散步，如图所示，描述了她散步过程中离家的距离s （m ）与散步所用的时间t （min ）之间的函数关系，该图象反映的过程是：小红从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会报后，继续向前走了一段，在邮亭买了一本杂志，然后回家了．依据图象回答下列问题（1）公共阅报栏离小红家有______米，小红从家走到公共阅报栏用了______分钟；（2）小红在公共阅报栏看新闻一共用了______分钟；（3）邮亭离公共阅报栏有______米，小红从公共阅报栏到邮亭用了______分钟；（4）小红从邮亭走回家用了______分钟，平均速度是______米／分钟．【答案】（1）300，4；（2）6；（3）200，3；（4）5，100.【解析】由图象可知，0到4分钟，小红从家走到离家300米的报栏，4到10分钟，在公共报栏看新闻，10到13分钟从报栏走到200米外的邮亭，13到18分钟，从离家500米的邮亭返回家里.【总结升华】这个函数图象是由几条线段组成的折线，其中每条线段代表一个阶段的活动.这条线段左右端点的横坐标的差，对应相应活动所用的时间.举一反三：【变式】一列货运火车从南京站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下一个车站停下，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次开始匀速行驶，可以近似地刻画出火车在这段时间内的速度变化情况的是( )．【答案】B ；。
变量与函数的概念这节课，我们学习变量与函数的概念。
在初中我们学习过函数的一些知识，请同学们回忆一下什么是函数。
（学生回答：在一个变化过程中，有两个变量x、y，如果给定一个x值，相应地就确定唯一的一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量）初中的时候学习了函数的概念，而生活中我们会经常遇到一些函数问题。
比如：问题一：在加油站为汽车加油，油价为每升4.16元，启动加油机开关后表示加油量和金额的两个窗口的数字不停地跳动直到加油量为12升时停下，若加油量是x升、金额为y元。
那么：1）在加油过程中过，有两个变量x、y，若给定一个x 值，相应地就确定唯一的一个y 值，则称y是x的函数。
2）金额y元与加油量x升之间的关系式是什么？y=4.16x，0≤x≤12。
用变量的观点来描述函数，虽然生动形象，但有一定的局限性。
我们在现实生活中遇到的函数问题是不是能用更准确的语言来描述它呢？现在我们看课本的第31-32页的实例（1）-（3），回答下列问题：1）你从例题中了解到哪些信息？2）自变量的取值范围是什么？3）自变量与因变量之间有何关系？4）因变量的取值范围是什么？好了，我们一起来看这几个例题。
例（1）：从例题中了解到好奇心指标随年龄的变化而变化，自变量的取值范围为10、11、12、13、14、15组成的集合，自变量与因变量的关系是自变量通过一个对应法则确定因变量，因变量的取值范围为图中各点纵坐标所组成的集合。
例（2）：从例2里了解到植株高度随着增长时间的增加而增加，自变量的取值范围为1-32整数所组成的集合，自变量与因变量的关系是自变量通过一个对应法则确定因变量，因变量的取值范围为图中各点纵坐标所组成的集合。
例（3）：从例3里了解到国内生产总值随年份的变化而变化，自变量的取值范围为1998-2002所组成的集合，自变量与因变量的关系是自变量通过一个对应法则确定因变量，因变量的取值范围为五个生产总值构成的集合。
生活中的变量关系及函数的概念【学习目标】(1)了解函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。
(2)理解函数的概念，会用集合与对应的语言刻画函数，了解构成函数的要素，在学会运用区间表示数集的基础上，会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用.【要点梳理】要点一：函数关系与依赖关系的联系(1)具有依赖关系的两个变量，不一定具有函数关系；(2)当且仅当对于其中一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一确定的值时，才称这两个变量之间有函数关系；(3)运用图形语言说明变量x，y间的关系：结合依赖关系及函数（初中）的定义可知，图2-1中变量x，y间具有依赖关系，但不具有函数关系；而图2-2中变量x，y间具有函数关系和依赖关系．要点二：函数的定义设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.要点诠释：（1）A、B集合的非空性；（2）对应关系的存在性、唯一性、确定性；（3）A中元素的无剩余性；（4）B中元素的可剩余性。
要点三：构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域（1）构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)；（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关.要点四：区间的概念(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；(2)无穷区间；(3)区间的数轴表示．区间表示：x a x b a b<<= {x|a≤x≤b}=[a，b]；{|}(,);(]x a x b a b≤<=；{|},{|},x a x b a b<≤=；[)(][)≤=∞≤=+∞.x x b b x a x a{|}-,; {|},要点五：函数定义域的求法(1)当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件.(2)当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义.(3)求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示.要点六：函数值域的求法实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有：观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域；配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域；判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域.求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等.总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约.【典型例题】类型一：函数关系与依赖关系例1．某宾馆有相同标准的床位100张，根据经验，该宾馆的床价(即每张床每天的租金)不超过10元时，床位可以全部租出；当床价高于10元时，每提高1元，将有3张床位空闲．为了获得较好的效益，该宾馆需给床位定一个合适的价格，条件是：(1)要方便结账，床价应为1元的整数倍．(2)该宾馆每日的费用支出为575元，床位出租的收入必须高于支出，而且高出得越多越好．若用x表示床价，y表示该宾馆一天出租床位的净收入(即除去每日的支出费用后的收入)．则净收入y是否是床价x的函数？若是，写出y与x的函数关系；若不是，请说明理由．举一反三：【变式1】由于环境气候的原因，夏季高山上的温度要比山下低．著名风景旅游区泰山夏季山脚平均温度为26℃，从山脚起每升高100 m，气温就降低0.7℃，则温度y是否是爬山高度x的函数？若是，写出y与x之间的函数关系；若不是，请说明理由．类型二：函数的概念例2.已知集合{}1,2,3A =，{}4,5B =，则从A 到B 的函数()f x 有 个.举一反三：【变式1】下列各问的对应关系是否是给出的实数集R 上的一个函数？为什么？（1）:f x →2,0,x x R x≠∈； （2）:g x →y ，2,,y x x N y R =∈∈；（3）:h *A B N ==，对任意的,x A ∈|3|x x →-.例3．下列函数f （x ）与g （x ）是否表示同一个函数，为什么？ （1）0)1x ()x (f -=；1)x (g = （2）x )x (f =；2x )x (g =（3）2x )x (f =；2)1x ()x (g += （4）|x |)x (f =；2x )x (g =举一反三：【变式】设x R ∈，定义符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩则（ ）A. sgn x x x =B. sgn x x x =C. sgn x x x =D. sgn x x x =类型三：函数定义域的求法例4.求下列函数的定义域(用区间表示).(1)2-1()-3x f x x =； (2)()f x = (3)()f x =.举一反三：【变式1】求下列函数的定义域（用区间表示）：(1)3f (x)|x 1|2=--；(2)1f (x)x 1=-；（3）()f x =例4.（1）已知函数()f x 的定义域为[1，2]，求函数(21)y f x =+的定义域； （2）已知函数(21)y f x =+的定义域[1，2]，求函数()f x 的定义域；（3）已知函数(21)y f x =+的定义域[1，2]，求函数(21)y f x =-的定义域.举一反三：【变式1】已知(1)f x +的定义域为[)2,3-，求1(2)f x+的定义域.例5.已知函数()f x x =，()4g x x m =--+ (1)解关于x 的不等式()20g f x m +->⎡⎤⎣⎦；(2)若函数()f x 的图象恒在()g x 图像的上方，求实数m 的取值范围.类型四：求函数的值及值域例6. 已知f(x)=2x 2-3x-25，g(x)=2x-5，求： (1)f(2)，g(2)； (2)f(g(2))，g(f(2))； (3)f(g(x))，g(f(x))例7. 求值域(用区间表示)：(1)y=x 2-2x+4，①[]4,1x ∈--；②[]2,3x ∈-；-2(2)()()3x f x f x x ==+.举一反三：【变式1】 求下列函数的值域：（1）1y =；（2）213x y x +=-；（3）2211x y x -=+；（4）y =【巩固练习】1.若函数()f x =） A. [)0,1 B. ()0,1 C. (](),01,-∞+∞ D. ()(),01,-∞+∞2．函数2y =的值域是( )A ．[2,2]-B ．[1,2]C ．[0,2]D ．[2,2]-3．如图所示，垂直于x 轴的直线EF 从坐标原点O 向右移动，若E 是EF 与x 轴的交点，设OE ＝x (0≤x ≤a )，EF 在移动过程中扫过平行四边形OABC 的面积为y (图中阴影部分)，则函数y ＝f (x )的图像大致是( )．4．设{}{}|02,|12M x x N y y =≤≤=≤≤，给出下列四个图形，如下图所示，其中能表示从集合M 到N 的函数关系的有 ( )个．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．已知函数2,0(),()(1)0,1,0x x f x f a f x x >⎧=+=⎨+≤⎩若则实数a 的值等于（ ）A ．－3B ．－1C ．1D ．3 6．已知函数)2(+=x f y 定义域是]21[，-，则的定义域是( ) A ．]251[， B ． [14]-， C ． D ．7．定义域为R 的函数()y f x =值域为[],a b ，则()f x a +的值域为（ ） A ．[2]a a b +， B ． [0]，b-a C ． []a ，b D ． []a -，a+b8．已知函数22()1x f x x=+，则1111(1)(2)()(3)()(4)()(2010)()2342010f f f f f f f f f +++++++⋅⋅⋅++的值是（ ）A ．2008B ．2009C ． 120092D ． 20109.函数()f x =的定义域是 . 10．若函数()y f x =的定义域是[]0,1，则函数()()()(2)01F x f x a f x a a =+++<<的定义域是 ．11．已知⎩⎨⎧<-≥=0,10,1)(x x x f ，则不等式(2)(2)5x x f x ++⋅+≤的解集是 ．12．已知*,a b N ∈，()()(),(1)2,f a b f a f b f +==则(2)(3)(4)(2011)(1)(2)(3)(2010)f f f f f f f f +++⋅⋅⋅+= ．13．当m 为何值时，方程24||5,x x m -+=（1）无解；（2）有两个实数解；（3）有三个实数解；（4）有四个实数解．14．已知函数2()f x ax bx c =++，且满足(0)0,(1)()1,f f x f x x =+-=+求()f x 的值域．15.设()211f x x x =--+， (1)求()0f x <的解集；(2)当1x <-时，()()f x f a >，求实数a 的取值范围.16．已知函数对任意的实数,a b ，都有()()()f ab f a f b =+成立． （1）求(0),(1)f f 的值；（2）求证：1()()0(0)f f x x x+=≠；（3）若(2),(3)(,)f m f n m n ==均为常数，求(36)f 的值．。
