浙教版-数学-七年级上册-6.9.1 对顶角 同步练习

A .对顶角相等B .同角的余角相等6 . 9 直线的相交 第1课时对顶角知识要点分类练辱岂基琥知识点1对顶角的意义 1.下列图形中，/ 1与/ 2是对顶角的是（CF 相交于点O , 0A , OD 是射线，其中构成对顶角的角是 £_\ Z__1OA图 6- 9-2知识点2对顶角的性质3.如图 6 — 9 — 3,直线 a , b 相交于点 0, / 1 + Z 3 = _______ , / 2+Z 3 = _________ 所以/ 1 ________ /2（同角的补角相等）•由此可知对顶角 ___________ .4 .如图6 — 9- 4，要测量两堵围墙形成的/ A0B 的度数，先分别延长A0,B0得到/ C0D , 然后通过测量/ C0D 的度数从而得到/ A0B 的度数,其中运用的原理是（ ）2.如图6-9-2所示,BE , B DC.等角的余角相等 D .两点确定一条直线5. 如图6- 9-5,直线AC和直线BD相交于点0,若/ 1 + Z 2 = 90° ,则/ 1的度数是（）A . 80°B . 65°C . 45°D . 35°6. [2018深圳南山区期末]如图6 —9- 6,直线AB, CD相交于点0, / A0E= 90° , /E0D = 50° ,则/ B0C的度数为 _________7. 如图6-9 —7,已知直线AB, CD , EF相交于点0, / 1 = 95° , / 2= 53的度数为_________ ,则/ B0E图6- 9-48. 如图 6— 9 — 8 所示，/ 1= 120° , / 2 + Z 3= 180° ,则/ 4 =9. 如图 6 — 9 — 9,直线 AB ,CD 相交于点 0, / 1= 40° ,求/ 2, / 3,求/ B0D 的度数.图 6— 9— 10 11 .如图 6— 9 — 11,直线 AB ,CD , EF 相交于点 0, / A0D = 150° , 10.如图6 — 9 — 10所示，直线AB , CD 相交于点0, 0E 平分/ / E0C = 35° , / E0D = 80° ,求/ A0F的度数.规律方法综合练12.如图6 —9 —12,直线AB, CD相交于点0, / B0D与/ B0E互为余角，/ B0E =18° ,则/ A0C= __________ ° .1且/ E0D =汙C0E ,13.如图6 —9 —13,直线AB, CD相交于点0, / A0E = 90°图6—9—12则/ B0C = __________图6—9—1314. 如图6 —9 —14,直线AB 与CD 相交于点0, / B0E = Z C0F = 90° ,且/ B0F =32° ,求/ A0C与/ E0D的度数.图6-9- 1415. 已知：如图6-9 —15所示,直线AB, CD , EF相交于点0, / 1 :/ 3= 3 ：1, / 2 =30° ,求/ B0E的度数.图6—9—15U*拓广探究创新练沖划膚事16. 观察图6 —9 —16,回答下列各题.⑴图①中，共有对对顶角，可以看做_____________________ = ________ X _______(2) 图②中，共有对对顶角，可以看做 ____________________ = ________ X _______(3) 图③中，共有对对顶角，可以看做 ____________________ = ________ X _______，说明n(n》2)条直线相交于一点(4) 通过(1)〜(3)题中直线条数与对顶角对数之间的关系可以形成几对对顶角.①③图6—9—16教师详解详析1. C 2•/EOF 和/BOC, / COE 和/ BOF3. 180°180 °=相等4. A5. C ［解析］•••/ 1 = 7 2, / 1 + Z 2= 90° ,.•./ 1 = 7 2= 45° •故选C.6. 140°［解析］T7 AOE= 90° , 7 EOD = 50° ,•••7 AOD = 7 AOE+7 EOD = 90°+ 50°= 140°.•••7 BOC = 7 AOD（对顶角相等）,•7 BOC= 140° •故答案为140°7. 32°［解析］•••/ BOE与7 AOF是对顶角，•7 BOE = 7 AOF.•7 1 = 95° , 7 2 = 53° , 7 COD 是平角，•7 AOF = 180° -7 1 -7 2 = 180°—95°—53°= 32° ,即7 BOE = 32 故答案为32° .8. 609. 解：v7 1 = 40° , 7 1 = 7 2, •7 2= 40°.•7 1 = 40° , 7 1 + 7 3= 180° , •7 3= 140°.又T7 3=7 4, •/ 4= 140°.10. 解：•/ OE 平分7 AOC, 7 EOC= 35° ,•7 AOC = 27 EOC= 35°X 2= 70°.由对顶角相等可知7 BOD = 7 AOC = 70°/ EOC = 90°-/ COB = 3211. 解：•••/ AOD = 150° , / AOD + Z BOD = 180° ,•••/ BOD = 30° .又•••/ EOD = 80° , EOB= 80° - 30°= 50° ,•••/ AOF = Z EOB = 50° .12. 72 ［解析］•••/ BOD与/ BOE互为余角，•••/ BOD + Z BOE= 90° .•••/ BOE = 18° ,BOD = 90°- 18°= 72° ,•••/ AOC = Z BOD = 72° •故答案为72.113. 126 ［解析］•••/ EOD = 4/ COE , / EOD + Z COE= 180° ,•••/ EOD + 4/ EOD = 180° ,解得/ EOD = 36° .又•••/ AOE= 90° ,•••/ AOD = Z AOE+Z EOD = 126 ° .•••/ BOC与/ AOD是对顶角，•••/ BOC = 126 ° .故答案为126.14. 解：•••/ COF = 90° , / BOF = 32° ,•••/ COB = 90°- 32°= 58°=/ AOD.•••/ BOE = 90° ,•••/ EOA = 180 ° - 90°= 90° ,•••/ AOC = Z EOA +Z EOC = 122° ,/ EOD =Z EOA + Z AOD = 14815. 解：•••/ 1 + Z 2+/ 3 = 180° , 且/ 1 :/ 3= 3 : 1 , / 2= 30° ,•••/ 1= 112.5° , / 3 = 37.5° ,•••/ BOE = / 1 = 112.5° .16. 解：(1)共有2对对顶角，可以看做2 = 2X 1.(2) 单个角的对顶角有3对，两个角组成复合角的对顶角有3对，共有6对对顶角，可以看做6= 3X 2.(3) 单个角的对顶角有4对，两个角组成复合角的对顶角有4对，三个角组成复合角的对顶角有4对，共有12对，可以看做12= 4X 3.(4) n(n》2)条直线相交于一点，可以形成n(n —1)对对顶角./ EOC = 90°-/ COB = 32。

浙教新版七年级上学期《6.9 直线的相交》同步练习卷一．填空题（共20小题）1．在同一平面内，两条相交直线公共点的个数是；两条平行直线的公共点的个数是；两条直线重合，公共点有个．2．观察如图图形，并阅读图形下面的相关文字．像这样的十条直线相交最多的交点个数有．3．如图所示，直线AB、CD相交于O，∠BOC＝135°，则直线AB与直线CD 的夹角是°．4．当光线从空气中射入水中时，光线的传播方向发生了变化，在物理学中这种现象叫做光的折射，如图，AB与CD相交于水平面点F，一束光线沿CD射入水面，在点F处发生折射，沿FE射入水内．如果∠1＝50°，∠2＝36°，则光的传播方向改变了度．5．如图，已知直线AB、CD交于点E，EF⊥CD，∠AEF＝50°，那么∠BED＝°．6．如图，直线AB，CD，EF相交于点O，且AB⊥CD，∠1＝30°，则∠2＝．7．如图，把水渠中的水引到水池C，先过C点向渠岸AB画垂线，垂足为D，再沿垂线CD开沟才能使沟最短，其依据是．8．如图，点P在直线l外，PB⊥l于B，A为l上任意一点，则P A与PB的大小关系是P A PB．9．在△ABC中∠B＝90°，BC＝5，AB＝12，AC＝13，则点B到斜边AC的距离是．10．如图，BC⊥AC，BC＝8，AC＝6，AB＝10，则点C到线段AB的距离是．11．平面内有10条直线两两相交，交点个数最多有m个，最少有n个，则m+n 的值为．12．平面内有n条直线，任意两条直线都相交，则最多有个交点．13．已知，直线AB和直线CD交于点O，∠BOD是它的邻补角的3倍，则直线AB与直线CD的夹角是度．14．如图，直线SN与直线WE相交于点O，射线ON表示正北方向，射线OE 表示正东方向，已知射线OB的方向是南偏东60°，射线OC在∠NOE内，且∠NOC与∠BOS互余，射线OA平分∠BON，图中与∠COA互余的角是．15．如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠CON＝2∠COM，则∠BOD的度数为．16．如图，已知AO⊥BC于O，∠AOD＝30°，那么∠DOC＝°．17．如图，体育课上老师测量跳远成绩是这样操作的：用一块直角三角板的一边附在踏跳板上，另一边与拉直的皮尺重合，并且使皮尺经过被测试同学的落点，这样做的理由是．18．如图，点A，B，C，D，E在直线l上，点P在直线l外，PC⊥l于点C，在线段P A，PB，PC，PD，PE中，最短的一条线段是，理由是19．如图，CD⊥AB，点E、F在AB上，且CE＝10cm，CD＝8cm，CF＝12cm，则点C到AB的距离是．20．如图，点B到直线DC的距离是指线段的长度．二．解答题（共15小题）21．在同一平面内有四条直线（1）这四条直线的交点个数可能有哪些？（2）请你画出两种交点个数是4的图形．22．如图，直线AB，CD相交于点O，OF平分∠AOC，∠COE＝90°，∠DOF ＝160°．（1）求∠COF的度数；（2）求∠BOE的度数．23．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD于点0，OD平分∠BOF，∠BOE ＝50°，求∠AOC，∠AOF，∠EOF的度数．24．如图，在直线MN的异侧有A、B两点，按要求画图取点，并注明画图取点的依据．（1）在直线MN上取一点C，使线段AC最短．依据是．（2）在直线MN上取一点D，使线段AD+BD最短．依据是．25．如图，点A表示小雨家，点B表示小樱家，点C表示小丽家，她们三家恰好组成一个直角三角形，其中AC⊥BC，AC＝900米，BC＝1200米，AB＝1500米．（1）试说出小雨家到街道BC的距离以及小樱家到街道AC的距离．（2）画出表示小丽家到街道AB距离的线段．26．观察下列图形，阅读下面的相关文字并回答以下问题：两条直线相交三条直线相交四条直线相交只有一个交点最多的3个交点最多有6个交；猜想：①5条直线相交最多有几个交点？②6条直线相交最多有几个交点？③n条直线相交最多有n个交点？27．如图，有两堵围墙，有人想测量地面上两堵围墙内所形成的∠AOB的度数，但人又不能进入围墙，只能站在墙外，请问该如何测量？28．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC．若∠EOC＝68°，求∠BOD的度数．29．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC．（1）若∠EOC＝80°，求∠BOD的度数；（2）若∠EOC＝∠EOD，求∠BOD的度数．30．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，O为垂足，如果∠EOD＝38°，求∠AOC和∠COB的大小．31．如图，AOB为一直线，∠AOD：∠DOB＝3：1，OD平分∠COB．请判断AB与OC的位置关系．32．已知：点P是直线MN外一点，点A、B、C是直线MN上三点，分别连接P A、PB、PC．（1）通过测量的方法，比较P A、PB、PC的大小，直接用“＞”连接；（2）在直线MN上能否找到一点D，使PD的长度最短？如果有，请在图中作出线段PD，并说明它的理论依据；如果没有，请说明理由．33．如图，点P，点Q分别代表两个村庄，直线l代表两个村庄中间的一条公路．根据居民出行的需要，计划在公路l上的某处设置一个公交站．（1）若考虑到村庄P居住的老年人较多，计划建一个离村庄P最近的车站，请在公路l上画出车站的位置（用点M表示），依据是；（2）若考虑到修路的费用问题，希望车站的位置到村庄P和村庄Q的距离之和最小，请在公路l上画出车站的位置（用点N表示），依据是．34．如图，点M，N分别在直线AB，CD上．（1）请在图中作出表示M，N两点间的距离的线段a，和表示点N到直线AB的距离的线段b；（2）请比较（1）中线段a，b的大小，并说明理由．35．如图，点P是∠AOB的边OB上的一点，过点P画OB的垂线，交OA于点C；（1）过点P画OA的垂线，垂足为H；（2）线段PH的长度是点P到的距离，是点C到直线OB的距离．线段PC、PH、OC这三条线段大小关系是（用“＜”号连接）浙教新版七年级上学期《6.9 直线的相交》同步练习卷参考答案与试题解析一．填空题（共20小题）1．在同一平面内，两条相交直线公共点的个数是1个；两条平行直线的公共点的个数是0个；两条直线重合，公共点有无数个．【分析】先画出两条直线平行、相交及重合的图示，再由其交点情况进行解答．【解答】解：如图所示：由（1）可知同一平面内，两条相交直线公共点的个数是1个；由（2）可知两条平行直线的公共点的个数是0个；由（3）可知两条直线重合，公共点有无数个．故答案为：一个、0个、无数．【点评】本题考查的是两条直线的位置关系，即相交、平行、重合．2．观察如图图形，并阅读图形下面的相关文字．像这样的十条直线相交最多的交点个数有45．【分析】根据直线两两相交且不交于同一点，可得答案．【解答】解：十条直线相交最多的交点个数有＝45，故答案为：45．【点评】本题考查了相交线，n每条直线都与其它直线有一个交点，可有（n﹣1）个交点，n条直线用n（n﹣1）个交点，每个交点都重复了一次，n条直线最多有个交点．3．如图所示，直线AB、CD相交于O，∠BOC＝135°，则直线AB与直线CD 的夹角是45°．【分析】先根据邻补角的定义求出∠AOC，再根据直线的夹角为锐角解答．【解答】解：∵∠BOC＝135°，∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣135°＝45°，∴直线AB与直线CD的夹角是45°．故答案为：45．【点评】本题考查了邻补角的定义，要注意直线的夹角是锐角．4．当光线从空气中射入水中时，光线的传播方向发生了变化，在物理学中这种现象叫做光的折射，如图，AB与CD相交于水平面点F，一束光线沿CD射入水面，在点F处发生折射，沿FE射入水内．如果∠1＝50°，∠2＝36°，则光的传播方向改变了14度．【分析】根据对顶角相等得出∠DFB＝∠1，进而解答即可．【解答】解：∵∠1＝50°，∴∠DFB＝∠1＝50°，∵∠2＝36°，∴∠DFE＝50°﹣36°＝14°，故答案为：14【点评】此题考查对顶角问题，关键是根据对顶角相等得出∠DFB＝∠1．5．如图，已知直线AB、CD交于点E，EF⊥CD，∠AEF＝50°，那么∠BED＝40°．【分析】根据垂直的定义可得∠CEF＝90°，然后求出∠AEC，再根据对顶角相等解答．【解答】解：∵EF⊥CD，∴∠CEF＝90°，∴∠AEC＝∠CEF﹣∠AEF＝90°﹣50°＝40°，∴∠BED＝∠AEC＝40°．故答案为：40．【点评】本题考查了垂线的定义，对顶角相等的性质，是基础题，准确识图是解题的关键．6．如图，直线AB，CD，EF相交于点O，且AB⊥CD，∠1＝30°，则∠2＝60°．【分析】根据对顶角相等求出∠EOD，继而得出∠2．【解答】解：∵∠EOD与∠1互为对顶角，∴∠EOD＝∠1＝30°，又∵AB⊥CD，∴∠AOD＝∠BOD＝90°，∴∠2＝90°﹣∠EOD＝60°．故答案为：60°．【点评】本题考查了垂线的定义，用到的知识点为：对顶角相等，垂线产生直角．7．如图，把水渠中的水引到水池C，先过C点向渠岸AB画垂线，垂足为D，再沿垂线CD开沟才能使沟最短，其依据是垂线段最短．【分析】过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．据此作答．【解答】解：其依据是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．故答案为：垂线段最短．【点评】本题考查了垂线的性质在实际生活中的运用，关键是掌握垂线段的性质：垂线段最短．8．如图，点P在直线l外，PB⊥l于B，A为l上任意一点，则P A与PB的大小关系是P A≥PB．【分析】由垂线段的定义可知，线段PB为垂线段，再根据垂线段的性质判断．【解答】解：∵PB⊥l于B，∴线段PB为点P到直线l的垂线段．根据从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短．可知P A≥PB．故答案为：≥．【点评】此题主要考查了从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短的性质．9．在△ABC中∠B＝90°，BC＝5，AB＝12，AC＝13，则点B到斜边AC的距离是．【分析】设AC边上的高为h，再根据三角形的面积公式即可得出结论．【解答】解：设AC边上的高为h，∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝5，BC＝12，AC＝13，∴AB•BC＝AC•h，∴h＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查的是三角形的面积，熟知三角形的面积公式是解答此题的关键．10．如图，BC⊥AC，BC＝8，AC＝6，AB＝10，则点C到线段AB的距离是 4.8．【分析】设点C到线段AB的距离是x，然后根据△ABC的面积列方程求解即可．【解答】解：设点C到线段AB的距离是x，∵BC⊥AC，＝AB•x＝AC•BC，∴S△ABC即×10•x＝×6×8，解得x＝4.8，即点C到线段AB的距离是4.8．故答案为：4.8．【点评】本题考查了点到直线的距离，解题的关键在于利用三角形的面积列出方程．11．平面内有10条直线两两相交，交点个数最多有m个，最少有n个，则m+n 的值为46．【分析】由题意可得10条直线相交于一点时交点最少，任意两直线相交都产生一个交点时交点最多，由此可得出m，n的值，从而得出答案．【解答】解：根据题意可得：10条直线相交于一点时交点最少，此时交点为1个，即n＝1；任意两直线相交都产生一个交点时，交点最多，∴此时交点为：10×（10﹣1）÷2＝45，即m＝45；则m+n＝45+1＝46．故答案为：46．【点评】本题考查直线的交点问题，注意掌握直线相交于一点时交点最少，任意n条直线两两相交时交点最多为n（n﹣1）个．12．平面内有n条直线，任意两条直线都相交，则最多有个交点．【分析】分别求出2条、3条、4条、5条、6条直线相交时最多的交点个数，找出规律即可解答．【解答】解：2条直线相交最多有1个交点；3条直线相交最多有1+2个交点；4条直线相交最多有1+2+3个交点；5条直线相交最多有1+2+3+4个交点；6条直线相交最多有1+2+3+4+5个交点；…n条直线相交最多有1+2+3+4+5+…+（n﹣1）＝个交点．故答案为：．【点评】本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是根据2条、3条、4条、5条、6条直线相交时最多的交点个数发现规律．13．已知，直线AB和直线CD交于点O，∠BOD是它的邻补角的3倍，则直线AB与直线CD的夹角是45度．【分析】设∠BOD＝x°，则它的补角为3x°，根据邻补角互补可得x+3x＝180，再解方程即可．【解答】解：设∠BOD＝x°，则它的补角为3x°，x+3x＝180，x＝45，故答案为：45°．【点评】此题主要考查了邻补角，关键是掌握邻补角互补．14．如图，直线SN与直线WE相交于点O，射线ON表示正北方向，射线OE表示正东方向，已知射线OB的方向是南偏东60°，射线OC在∠NOE内，且∠NOC与∠BOS互余，射线OA平分∠BON，图中与∠COA互余的角是∠BOC、∠NOA、∠AOB、∠COE．【分析】根据方位角的定义及角平分线的定义、余角的概念分别求出∠BOS、∠NOC、∠NOA、∠AOB的度数可得答案．【解答】解：∵∠BOS＝60°、∠NOC与∠BOS互余，∴∠NOC＝30°，∠BON＝120°，又∵OA平分∠BON，∴∠NOA＝∠AOB＝60°，则∠AOC＝∠NOA﹣∠NOC＝30°，∵∠NOE＝90°、∠NOC＝30°，∴∠COE＝60°，综上，∠COA互余的角有∠BOS、∠NOA、∠AOB、∠COE，故答案为：∠BOS、∠NOA、∠AOB、∠COE．【点评】本题主要考查方位角、余角和补角，解题的关键是掌握方位角的定义及角平分线的定义、余角的概念．15．如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠CON＝2∠COM，则∠BOD的度数为60°．【分析】根据垂直得出∠NOM＝90°，根据角平分线定义得出∠AOM＝∠COM，再利用∠CON＝2∠COM，即可得出答案．【解答】解：∵ON⊥OM，∴∠NOM＝90°，∵∠CON＝2∠COM，∴设∠COM＝x，则∠CON＝2x，故x+2x＝90°，解得：x＝30°，∵射线OM平分∠AOC，∴∠AOM＝∠COM＝30°，∴∠AOC＝∠BOD＝2∠COM＝60°，故答案为：60°．【点评】本题考查了垂直定义，角平分线定义等知识点，能求出∠COM的度数是解此题的关键．16．如图，已知AO⊥BC于O，∠AOD＝30°，那么∠DOC＝60°．【分析】根据垂直的定义得到∠AOC＝90°，结合图形找到相关角间的和差关系进行解答即可．【解答】解：如图，∵AO⊥BC，∴∠AOC＝90°，又∠AOD＝30°，∴∠DOC＝90°﹣∠AOD＝60°．故答案是：60．【点评】本题考查了垂直的定义，如果两个角的和等于90°，两个角互为余角．17．如图，体育课上老师测量跳远成绩是这样操作的：用一块直角三角板的一边附在踏跳板上，另一边与拉直的皮尺重合，并且使皮尺经过被测试同学的落点，这样做的理由是垂线段最短．【分析】根据垂线段的性质，可得答案．【解答】解：用一块直角三角板的一边附在踏跳板上，另一边与拉直的皮尺重合，并且使皮尺经过被测试同学的落点，这样做的理由是垂线段最短，故答案为：垂线段最短．【点评】本题考查了垂线段，利用垂线段的性质是解题关键．18．如图，点A，B，C，D，E在直线l上，点P在直线l外，PC⊥l于点C，在线段P A，PB，PC，PD，PE中，最短的一条线段是PC，理由是垂线段最短【分析】点到直线的距离是指该点到直线的垂线段的长，根据定义即可选出答案．【解答】解：根据点到直线的距离的定义得出线段PC的长是点P到直线l的距离，从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．故答案是：PC；垂线段最短．【点评】本题考查了对点到直线的距离的应用，注意：点到直线的距离是指该点到直线的垂线段的长．19．如图，CD⊥AB，点E、F在AB上，且CE＝10cm，CD＝8cm，CF＝12cm，则点C到AB的距离是8cm．【分析】根据点到直线的距离是垂线段的长度，可得答案．【解答】解：∵CD⊥AB，点E、F在AB上，CD＝8cm，∴点C到AB的距离是CD＝8cm，故答案为：8cm．【点评】本题考查了点到直线的距离，利用点到直线的距离是垂线段的长度是解题关键．20．如图，点B到直线DC的距离是指线段BC的长度．【分析】直接利用直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，进而得出答案．【解答】解：点B到直线DC的距离是指线段BC的长度．故答案为：BC．【点评】此题主要考查了点到直线的距离，正确把握相关定义是解题关键．二．解答题（共15小题）21．在同一平面内有四条直线（1）这四条直线的交点个数可能有哪些？（2）请你画出两种交点个数是4的图形．【分析】（1）根据两直线的位置即确定；（2）四条直线两两相交有6个交点，交点的个数是4，即6个中的三个重合．【解答】解：（1）这四条直线的交点个数可能是：0，1，4，5，6；（2）作图如下：【点评】本题考查了相交线的应用，主要考查学生的画图能力和理解能力．22．如图，直线AB，CD相交于点O，OF平分∠AOC，∠COE＝90°，∠DOF ＝160°．（1）求∠COF的度数；（2）求∠BOE的度数．【分析】（1）根据∠COF＝∠DOC﹣∠DOF求出即可；（2）先根据角平分线定义求出∠AOC，根据对顶角求出∠BOD，求出∠DOE，即可求出答案．【解答】解：（1）∵∠DOC＝180°，∠DOF＝160°，∴∠COF＝∠DOC﹣∠DOF＝20°；（2）∵∠COF＝20°，OF平分∠AOC，∴∠AOC＝2∠COF＝40°，∴∠DOB＝∠AOC＝40°，∵∠COE＝90°，∴∠DOE＝180°﹣90°＝90°，∴∠BOE＝∠BOD+∠DOE＝40°+90°＝130°．【点评】本题考查了对顶角、邻补角、角平分线定义等知识点，能求出各个角的度数是解此题的关键．23．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD于点0，OD平分∠BOF，∠BOE ＝50°，求∠AOC，∠AOF，∠EOF的度数．【分析】根据题意即可推出∠EOD＝90°，∠BOD＝40°，既而得，∠AOC＝40°，∠BOF＝80°，得：∠EOF＝130°，∠AOF＝100°．【解答】解：∵OE⊥CD于点O，∴∠EOD＝90°（垂直的定义）∵∠BOE＝50°，∴∠BOD＝90°﹣50°＝40°，∴∠AOC＝∠BOD＝40°（对顶角相等）．∵OD平分∠BOF，∴∠BOF＝2∠BOD＝80°（角平分线的定义），∴∠AOF＝180°﹣80°＝100°，（平角的定义）∴∠EOF＝∠EOB+∠BOF＝130°．答：∠AOC＝40°，∠AOF＝100°，∠EOF＝130°．【点评】本题主要考查垂线的定义、角平分线的定义、对顶角的性质、邻补角的性质，关键在于熟练运用各性质定理，推出相关角的度数．24．如图，在直线MN的异侧有A、B两点，按要求画图取点，并注明画图取点的依据．（1）在直线MN上取一点C，使线段AC最短．依据是垂线段最短．（2）在直线MN上取一点D，使线段AD+BD最短．依据是两点之间线段最短．【分析】（1）过A作AC⊥MN，AC最短；（2）连接AB交MN于D，这时线段AD+BD最短．【解答】解：（1）过A作AC⊥MN，根据：垂线段最短．（2）连接AB交MN于D，根据是：两点之间线段最短．【点评】此题主要考查了垂线段的性质和线段的性质，关键是掌握垂线段最短；两点之间线段最短．25．如图，点A表示小雨家，点B表示小樱家，点C表示小丽家，她们三家恰好组成一个直角三角形，其中AC⊥BC，AC＝900米，BC＝1200米，AB＝1500米．（1）试说出小雨家到街道BC的距离以及小樱家到街道AC的距离．（2）画出表示小丽家到街道AB距离的线段．【分析】（1）利用点到直线的距离定义分别得出答案；（2）过点C作CD⊥AB进而得出答案．【解答】解：（1）∵AC＝900米，BC＝1200米，AB＝1500米，∴AC⊥BC，∴小雨家到街道BC的距离为：900m，小樱家到街道AC的距离为：1200m；（2）如图所示：CD即为小丽家到街道AB距离．【点评】此题主要考查了点到直线的距离定义，正确把握定义是解题关键．26．观察下列图形，阅读下面的相关文字并回答以下问题：两条直线相交三条直线相交四条直线相交只有一个交点最多的3个交点最多有6个交；猜想：①5条直线相交最多有几个交点？②6条直线相交最多有几个交点？③n条直线相交最多有n个交点？【分析】先观察图形，找出交点的个数与直线的条数之间的关系，然后进行计算即可．【解答】解：①5条直线相交最多有＝10个交点；②6条直线相交最多有＝15个交点；③n条直线相交最多有个交点．【点评】此题考查了相交线，关键是观察图形，找出规律，用到的知识点是同一平面内内n条直线相交最多有个交点．27．如图，有两堵围墙，有人想测量地面上两堵围墙内所形成的∠AOB的度数，但人又不能进入围墙，只能站在墙外，请问该如何测量？【分析】延长∠AOB的一边，然后根据邻补角的和等于180°即可求解．【解答】解：如图，延长AO，先测量出∠BOC的度数，然后根据∠AOB与∠BOC是邻补角即可求解，∠AOB＝180°﹣∠BOC．【点评】本题考查了相交线的性质，主要利用了邻补角的和等于180°的性质．28．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC．若∠EOC＝68°，求∠BOD的度数．【分析】根据角平分线定义得到∠AOC＝∠EOC＝×68°＝34°，然后根据对顶角相等得到∠BOD＝∠AOC＝34°．【解答】解：∵OA平分∠EOC，∴∠AOC＝∠EOC＝×68°＝34°，∴∠BOD＝∠AOC＝34°．【点评】本题考查了角的计算：1直角＝90°；1平角＝180°．也考查了角平分线的定义和对顶角的性质．解决本题的关键是熟记对顶角相等．29．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC．（1）若∠EOC＝80°，求∠BOD的度数；（2）若∠EOC＝∠EOD，求∠BOD的度数．【分析】（1）根据角平分线定义得到∠AOC＝∠EOC＝×80°＝40°，然后根据对顶角相等得到∠BOD＝∠AOC＝40°；（2）先设∠EOC＝x，∠EOD＝x，根据平角的定义得x+x＝180°，解得x＝90°，则∠EOC＝x＝90°，然后与（1）的计算方法一样．【解答】解：（1）∵OA平分∠EOC，∴∠AOC＝∠EOC＝×80°＝40°，∴∠BOD＝∠AOC＝40°；（2）设∠EOC＝x，∠EOD＝x，根据题意得x+x＝180°，解得x＝90°，∴∠EOC＝x＝90°，∴∠AOC＝∠EOC＝×90°＝45°，∴∠BOD＝∠AOC＝45°．【点评】考查了角的计算：1直角＝90°；1平角＝180°．也考查了角平分线的定义和对顶角的性质．30．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，O为垂足，如果∠EOD＝38°，求∠AOC和∠COB的大小．【分析】由OE⊥AB，可得出∠EOB＝90°，结合∠EOD＝38°可求出∠DOB 的度数，根据对顶角相等即可求出∠AOC的度数，再由∠COB与∠AOC互补可求出∠COB的大小．【解答】解：∵OE⊥AB，∴∠EOB＝90°，又∠EOD＝38°，∴∠DOB＝90°﹣38°＝52°，∵∠AOC＝∠DOB，∴∠AOC＝52°．∵∠COB与∠AOC互补，∴∠COB＝180°﹣52°＝128°．【点评】本题考查了垂线、对顶角以及邻补角，牢记“对顶角相等、邻补角互补”是解题的关键．31．如图，AOB为一直线，∠AOD：∠DOB＝3：1，OD平分∠COB．请判断AB与OC的位置关系．【分析】由已知条件和观察图形可知∠AOD与∠DOB互补，利用∠AOD：∠DOB ＝3：1及角平分线的定义这些关系，得出∠AOC＝90°，可证垂直．【解答】解：AB⊥OC．∵∠AOD：∠DOB＝3：1∴∠AOD＝3∠DOB∵∠AOB＝180°∴∠AOD+∠DOB＝180°即3∠DOB+∠DOB＝180°∴∠DOB＝45°又∵OD平分∠COB，有∠COD＝∠DOB＝45°，∴∠BOC＝∠DOB+∠COD＝45°+45°＝90°．由∠BOC＝90°，可知AB⊥OC．【点评】利用垂直的定义除了由垂直得直角外，还能由直角判定垂直，判断两直线的夹角是否为90°是判断两直线是否垂直的基本方法．32．已知：点P是直线MN外一点，点A、B、C是直线MN上三点，分别连接P A、PB、PC．（1）通过测量的方法，比较P A、PB、PC的大小，直接用“＞”连接；（2）在直线MN上能否找到一点D，使PD的长度最短？如果有，请在图中作出线段PD，并说明它的理论依据；如果没有，请说明理由．【分析】（1）根据测量可直接得出结论；（2）过点P作PD⊥MN，根据点到直线距离的定义可得出结论．【解答】解：（1）通过测量可知，P A＞PB＞PC；（2）过点P作PD⊥MN，则PD最短（垂线段最短）．【点评】本题考查的是垂线段最短，熟知从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短是解答此题的关键．33．如图，点P，点Q分别代表两个村庄，直线l代表两个村庄中间的一条公路．根据居民出行的需要，计划在公路l上的某处设置一个公交站．（1）若考虑到村庄P居住的老年人较多，计划建一个离村庄P最近的车站，请在公路l上画出车站的位置（用点M表示），依据是直线外一点与直线上各点连接的所有线段中垂线段最短；（2）若考虑到修路的费用问题，希望车站的位置到村庄P和村庄Q的距离之和最小，请在公路l上画出车站的位置（用点N表示），依据是两点之间线段最短．【分析】（1）直接利用点到直线的距离的定义得出答案；（2）利用线段的性质得出答案．【解答】解：（1）如图，点M即为所示．依据是直线外一点与直线上各点连接的所有线段中垂线段最短（2）如图，点N即为所示．依据是两点之间线段最短；故答案为：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中垂线段最短；两点之间线段最短．【点评】此题主要考查了应用设计与作图，正确理解线段的性质是解题关键．34．如图，点M，N分别在直线AB，CD上．（1）请在图中作出表示M，N两点间的距离的线段a，和表示点N到直线AB 的距离的线段b；（2）请比较（1）中线段a，b的大小，并说明理由．【分析】（1）根据线段的意义，点到直线的距离，可得答案；（2）根据垂线段的性质，可得答案．【解答】解：（1）连接MN，过N作NE⊥AB，如图，（2）由垂线段最短，得MN＞NE，即a＞b，理由是垂线段最短．【点评】本题考查了点到直线的距离，利用垂线段的性质是解题关键35．如图，点P是∠AOB的边OB上的一点，过点P画OB的垂线，交OA于点C；（1）过点P画OA的垂线，垂足为H；（2）线段PH的长度是点P到OA的距离，线段CP的长度是点C到直线OB的距离．线段PC、PH、OC这三条线段大小关系是PH＜PC＜OC（用“＜”号连接）【分析】（1）过点P画OA的垂线，即过点P画∠PHO＝90°即可，（2）利用点到直线的距离可以判断线段PH的长度是点P到OA的距离，PC是点C到直线OB的距离，线段PC、PH、OC这三条线段大小关系是PH＜PC ＜OC．【解答】解：（1）如图：（2）线段PH的长度是点P到直线OA的距离，线段CP的长度是点C到直线OB的距离，根据垂线段最短可得：PH＜PC＜OC，故答案为：OA，线段CP，PH＜PC＜OC．【点评】本题主要考查了基本作图﹣﹣﹣﹣作已知直线的垂线，另外还需利用点到直线的距离才可解决问题．。

第1课时 对顶角[学生用书B58]叼基础保分练1 •下列图形中，/ 1与/2是对顶角的是（C ）2. [2018贺州]如图6- 9- 1,下列各组角中，互为对顶角的是（A ）3. [2018邵阳]如图6-9-2,直线AB , CD 相交于点 0,已知Z A0D = 160°则Z BOC 的大小为（ D ) c —° 图 6-9-2 A . 20° B . 60°C . 70°D . 160°【解析】 vZ A0D = 160°, •••/ BOC = Z AOD = 160°. 4. 如图6-9-3,直线AB , CD 相交于点O , OE , OF 是过点O 的两条射线,6.9 直线的相交A . Z 1和/2C .Z 2 和Z 4 B .Z 1 和Z 3D . Z 2 和Z 5图 6-9- 1其中构成对顶角的是（ C )A. / AOF 与/ DOEB. Z EOF 与/ BOEC. Z BOC 与/AODD. Z COF 与/ BOD5. 如图6-9-4,直线AB,CD ,EF 相交于O,则/ 1 + Z 2+Z 3的度数等于（C ） 角共有（D ）B. 6对 A . 90° B. 150°C . 180°D . 210° 6. 如图6-9-5所示，直线AB ，CD ， EF ,MN ,B图 6-9-3图 6-9-5C. 12 对D. 20 对【解析】2条直线交于一点，对顶角有2对，2= 2X 1；3条直线交于一点，对顶角有6对，6= 3X2;4条直线交于一点，对顶角有12对，12= 4X 3;由规律可得，n条不同的直线相交于一点，可以得到n(n—1)对对顶角，•••直线AB, CD，EF, MN，GH相交于点0,对顶角共有5X 4= 20对，故选D.7•图6—9 —6中是对顶角量角器，用它测量角的原理是―对顶角相等8. 如图6—9—7,直线AB,CD 相交于点0,若/ A0D = 28° 则/ B0C= 28°/ AOC= _152°_ .r9. 如图6 —9—8,直线AB, CD相交于点O,贝图 6 —9 —8(1) 若/ 1 + Z 3= 68° 则/ 1= _34_;(2) 若/2 :/ 3= 4 : 1，则/ 2 = __144__;(3) 若/2—Z 1= 100° 则/3 = __40一.其中构成对顶角的是（ C )【解析】(1)：/ 1 = 7 3, / 1+Z 3= 68°••• 27 1 = 68°•••/ 1= 34°(2)设7 3 = x,则7 2= 4x,于是x+ 4x= 180° 则x= 36° 二/2 = 4X 36°= 144°(3)设/ 1= x,贝U/ 2= 100°+ x.vZ 1 + /2= 180°,二x+ 100°+ x= 180°,••• x= 40°, •••/3=Z 1 = x= 40°.10. 如图6- 9- 9,已知直线AB , CD , MN相交于点O,若Z 1= 22° Z 2 = 46° ° 则Z 3= _112°_ .图6-9-9【解析】vZ AOM = Z 1= 22° , •••/ 3= 180°—Z AOM-Z 2= 180°- 22°—46°=112 .°11. [2018春娄星区期末]如图6-9- 10 ,直线AB , CD相交于点O, OA平分Z EOC.图6- 9- 10(1) 若Z EOC = 80° ° 求Z BOD 的度数；(2) 若Z EOC=Z EOD ,求Z BOD 的度数.解：(1)v OA 平分Z EOC ,1 1•••Z AOC = 2Z EOC= 2^ 80°= 40°°•••Z BOD=Z AOC = 40°(2)设Z EOC = x, Z EOD = x ,根据题意，得x+ x= 180 °解得x= 90 °• Z EOC = x= 90° ,1 1•••/ AOC = 2/EOC =十 90° = 45° ° •••/ BOD =/AOC = 45°.它技能提升练a ,b ,c 相交于点 O ,若/ 1 = 2/ 2,/ 3-/ 1= 30°, 则/4等于（A ）A. 30°C. 20° 【解析】I / 1 + Z 2+Z 3= 180°, 又/ 1= 2/2, / 3-/ 1= 30 °•••/3 = 30°+/ 1= 30° + 2/2,••• 2/ 2+ / 2 + 30° + 2/2= 180°,即 5/2= 150°,二/2 = 30°,二/4=/ 2= 30°.故选A.13. 如图6- 9- 12 ,直线EF 分别交/ AOB 的两边于C , D 两点,图中有哪几对 对顶角？ 解：图中的对顶角有 / OCE 与/ ACD , / ACE 与/ OCD , / CDO 与/ BDF , / CDB 与/ ODF ,共4对对顶角.12.如图6-9- 11,直线 B .60° D .15°E14. [2017秋越城区期末]如图6-9- 13 ,直线AB , CD相交于点O, / BOM =90° / DON = 90°(1) 若/COM = / AOC，求/ AOD 的度数；1(2) 若/COM = 4/ BOC，求/ AOC 和/ MOD.解：⑴COM = / AOC,，./ COM = 2/AOM ,•••/ BOM = 90° 二/ AOM = 90°•••/ AOC = 45° •••/ BOD= 45°•••/ AOD= 180°— / BOD = 135°;(2)设/ COM = x,贝U/ BOC = 4x,•••/ BOM = 3x, T/ BOM = 90°二3x= 90°,即x= 30°•••/ AOC = 60° / MOD = 90°+/ BOD=90 0+ / AOC= 150 °15. [2017秋拱墅区期末]如图6 —9—14，直线AE与CD相交于点B,射线BF 平分/ ABC，射线BG在/ ABD内，r AD 75 c图6—9—14(1) 若/DBE的补角是它的余角的3倍，求/ FBC的度数；⑵在⑴的件下，若/ DBG = /ABG—33°求/ ABG的度数；(3) 若/ FBG = 100°求/ ABG和/ DBG的度数的差.解：⑴设/ DBE= a则/ DBE的补角是180°—a它的余角是90°—a依题意, 得180°—3(90 °—a),解得45°1•••/ ABC= 45°, •••/ FBC =㊁/ABC = 22.5 ；(2) 设/ABG = x, / DBG = x—33° 依题意得x + x—33° 135°解得x= 84 ° / DBG = x—33 = 51 °•••/ ABG= / ABD —Z DBG = 84°;⑶T射线BF平分Z ABC,•••可设Z ABF=Z CBF = B,又T Z FBG= 100°,•••Z ABG= 100°— B Z DBG = 180°—100°—80°— B•••Z ABG— Z DBG = (100。

6.9直线的相交同步测试【浙教版】参考答案与试题解析一．选择题1．（2020秋•香坊区校级期中）在下列图中，∠1与∠2属于对顶角的是（）A．B．C．D．【思路点拨】根据对顶角的定义：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，可得结论．【答案】解：在选项A、C、D中，∠1与∠2的两边都不互为反向延长线，所以不是对顶角，是对顶角的只有选项B．故选：B．【点睛】本题主要考查了对顶角的定义，熟记有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角是解答此题的关键．2．（2020春•老城区校级月考）如图，AC⊥BC，CD⊥AB，下列结论中，正确的结论有（）①线段CD的长度是C点到AB的距离；②线段AC是A点到BC的距离；③AB＞AC＞CD．A．0个B．1个C．2个D．3个【思路点拨】根据垂直的定义，点到直线距离的定义对各选项进行逐一分析即可．【答案】解：①线段CD的长度是C点到AB的距离，故结论正确；②应该是线段AC的长度是A点到BC的距离，结论错误，；③在同一直角三角形中，斜边大于直角边，所以AB＞AC＞CD，故结论正确；故选：C．【点睛】本题考查的是点到直线的距离、垂直的定义，熟记定义并准确识图是解题的关键．特别注意点到直线的距离指的是点到直线的垂线段的长度，互相垂直指夹角为90°．3．（2020春•荥阳市期中）如图，下列工具的图片中，有对顶角的是（）A．B．C．D．【思路点拨】利用对顶角的定义解答即可．【答案】解：根据对顶角的定义可知，选项B是对顶角，其它都不是，故选：B．【点睛】本题主要考查了对顶角的定义，熟练掌握定义是解答此题的关键．4．（2020春•长安区校级月考）下列说法：①两点之间的所有连线中，线段最短；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离，其中正确的个数有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【思路点拨】根据线段、点到直线的距离，垂线的概念或性质逐项分析即可．【答案】解：①两点之间的所有连线中，线段最短，说法正确；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，说法正确；③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，说法正确；④直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，说法错误．故选：B．【点睛】本题主要考查了线段、点到直线的距离，垂线的概念及性质，理解概念是解答此题的关键．5．（2020春•新乡期末）如图，田地A的旁边有一条小河l，要想把小河里的水引到田地A处，为了省时省力需要作AB⊥l，垂足为B，沿AB挖水沟，则水沟最短，理由是（）A．点到直线的距离B．两点确定一条直线C．垂线段最短D．两点之间，线段最短【思路点拨】根据垂线段的性质：垂线段最短，可得答案．【答案】解：把小河里的水引到田地A处，则作AB⊥l，垂足为点B，沿AB挖水沟，依据为：垂线段最短．故选：C．【点睛】此题主要考查了垂线段的性质，关键是熟练掌握从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．6．（2020春•夏邑县期末）如图所示，已知AB和CD相交于点O，OE⊥AB于点O，如果∠COE＝70°，则∠AOD＝（）A．30°B．20°C．25°D．15°【思路点拨】由垂直的性质可得∠BOE＝90°，易得∠BOC＝20°，利用对顶角的定义可得结果．【答案】解：∵OE⊥AB，∴∠BOE＝90°，∵∠COE＝70°，∴∠BOC＝∠BOE﹣∠COE＝90°﹣70°＝20°，∴∠AOD＝∠BOC＝20°，故选：B．【点睛】本题主要考查了垂直的性质，对顶角的性质，熟练掌握性质定理是解答此题的关键．7．（2020春•禅城区期末）平面上4条不重合的直线两两相交，交点最多的个数是（）A．4个B．3个C．6个D．5个【思路点拨】4条直线相交，有3种位置关系，画出图形，进行解答．【答案】解：若4条直线相交，其位置关系有3种，如图所示：则交点的个数有1个或4个或6个．所以最多有6个交点．故选：C．【点睛】本题主要考查了直线相交时交点的情况，关键是画出图形．8．（2019秋•海口期末）如图，AO⊥BO于点O，CO⊥DO，若∠AOD＝152°40'，则∠BOC等于（）A．62°40'B．31°20'C．28°20'D．27°20'【思路点拨】根据垂直的定义，得∠AOB＝∠COD＝90°，再结合图形的重叠特点求∠BOC的度数．【答案】解：∵AO⊥BO，CO⊥DO，∴∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠BOC＝∠AOB+∠COD﹣∠AOD＝180°﹣152°40'＝27°20'．故选：D．【点睛】本题考查了垂直的定义以及角的计算，要注意领会由垂直得直角这一要点．9．（2019秋•嘉兴期末）如图，直线AB与直线CD相交于点O，∠BOD＝40°，若过点O作OE⊥AB，则∠COE的度数为（）A．50°B．130°C．50°或90°D．50°或130°【思路点拨】根据题意画出图形，根据垂直定义可得∠AOE＝90°，根据对顶角相等可得∠AOC＝40°，然后可得答案．【答案】解：如图1，∵OE⊥AB，∴∠AOE＝90°，∵∠BOD＝40°，∴∠AOC＝40°，∴∠EOC＝130°；如图2，∵OE⊥AB，∴∠AOE＝90°，∵∠BOD＝40°，∴∠AOC＝40°，∴∠EOC＝50°，综上所述：∠COE的度数为50°或130°．故选：D．【点睛】此题主要考查了垂线，关键是正确画出图形，分情况讨论，不要漏解．10．（2019秋•克东县期末）下列结论：①平面内3条直线两两相交，共有3个交点；②在平面内，若∠AOB ＝40°，∠AOC＝∠BOC，则∠AOC的度数为20°；③若线段AB＝3，BC＝2，则线段AC的长为1或5；④若∠α+∠β＝180°，且∠α＜∠β，则∠α的余角为（∠β﹣∠α）．其中正确结论的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【思路点拨】根据线段的和差，相交线的定义，角平分线的定义，余角和补角的定义进行判断找到正确的答案即可．【答案】解：①平面内3条直线两两相交，有1个或3个交点；故错误；②在平面内，若∠AOB＝40°，∠AOC＝∠BOC，则∠AOC的度数为20°或160°；故错误；③若线段AB＝3，BC＝2，则线段AC的长为1或5；点C不一定在直线AB上，故错误；④若∠α+∠β＝180°，且∠α＜∠β，则∠α的余角为（∠β﹣∠α），故正确．故选：A．【点睛】本题考查了基本的几何定义，比较简单，属于基础题．二．填空题11．（2020秋•香坊区校级期中）如图，直线a、b相交，∠1＝36°，则∠2﹣∠3＝108°．【思路点拨】根据对顶角、邻补角的性质及∠1＝36°可求出∠2和∠3的度数，进而能得出∠2﹣∠3的值．【答案】解：∵直线a、b相交，∠1＝36°，∴∠3＝∠1＝36°，∠2＝180°﹣∠1＝144°，∴∠2﹣∠3＝144°﹣36°＝108°．故答案为：108°．【点睛】本题考查了对顶角、邻补角．解题的关键是掌握对顶角、邻补角的性质．对顶角的性质：对顶角相等．邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．12．（2020春•沙河口区期末）如图，在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，并要求所挖的渠道最短．小明画线段PM，他的根据是垂线段最短．【思路点拨】根据垂线段的性质，可得答案．【答案】解：要把河中的水引到水池P处，小明画线段PM垂直河岸，使挖的水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是垂线段最短，故答案为：垂线段最短．【点睛】本题考查了垂线段最短，利用了垂线段的性质：直线外的点与直线上所有点的连线：垂线段最短．13．（2019春•和平区期中）如图，在线段AB，AD，AE，AF，AC中，AE最短．张明同学说：“垂线段最短，因此线段AE的长是点A到线段BC的距离．”对张明同学说法，你认为不对．（选填“对”或“不对”）．【思路点拨】点到直线的距离是指垂线段的长度．【答案】解：虽然在线段AB，AD，AE，AF，AC中，AE最短，但AE不是垂线段，故张明的说法不对．故答案为：不对．【点睛】本题考查了点到直线的距离的定义，注意是垂线段最短，但在已知的一些线段中，最短的线段不一定是垂线段．14．（2019秋•建湖县期末）如图，直线AB和直线CD相交于点O，∠BOE＝90°，有下列结论：①∠AOC 与∠COE互为余角；②∠AOC＝∠BOD；③∠AOC＝∠COE；④∠COE与∠DOE互为补角；⑤∠AOC 与∠DOE互为补角；⑥∠BOD与∠COE互为余角．其中错误的有③⑤．（填序号）【思路点拨】根据对顶角相等、邻补角、垂直的意义、等量代换等知识，逐个进行判断即可．【答案】解：∵∠BOE＝90°，∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝180°﹣90°＝90°＝∠AOC+∠COE，因此①不符合题意；由对顶角相等可得②不符合题意；∵∠AOE＝90°＝∠AOC+∠COE，但∠AOC与∠COE不一定相等，因此③符合题意；∠COE+∠DOE＝180°，因此④不符合题意；∠EOC+∠DOE＝180°，但∠AOC与∠COE不一定相等，因此⑤符合题意；∠BOD＝∠AOC，且∠COE+∠AOC＝90°，因此⑥不符合题意；故答案为：③⑤【点睛】考查对顶角、邻补角、垂直的意义等知识，等量代换在寻找各个角之间关系时起到十分重要的重要．15．（2019春•诸城市期中）已知∠α与∠1是对顶角，∠1的余角是55°18′36″，则∠α＝34°41′24″．【思路点拨】直接利用对顶角的性质结合度分秒的换算法则计算得出答案．【答案】解：∵∠α与∠1是对顶角，∴∠α＝∠1，∵∠1的余角是55°18′36″，∴∠α＝90°﹣55°18′36″＝34°41′24″，故答案为：34°41′24″．【点睛】此题主要考查了对顶角和度分秒换算，正确掌握相关运算法则是解题关键．16．（2019春•望花区校级月考）点O在直线AB上，射线OC⊥射线OD，若∠AOC＝35°，则∠BOD的度数是55°或125°．【思路点拨】此题可分两种情况，即OC，OD在AB的一边时和在AB的两边，分别求解．【答案】解：①当OC、OD在AB的一旁时，如图1，∵OC⊥OD，∴∠COD＝90°，∵∠AOC＝35°，∴∠BOD＝180°﹣∠COD﹣∠AOC＝55°；②当OC、OD在AB的两旁时，如图2，∵OC⊥OD，∠AOC＝35°，∴∠AOD＝55°，∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝125°．故答案为：55°或125°【点睛】此题主要考查了垂线的定义，利用数形结合分析是解题关键．同时，值得注意的是，要记得分类讨论，不要漏掉其中一种情况．三．解答题17．各图中，用三角板分别过点C画线段AB的垂线．【思路点拨】根据垂直的定义，借助三角板的直角可画出垂线段．【答案】解：【点睛】本题主要考查了垂线段的画法．18．（2019秋•姜堰区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OM⊥AB．（1）若∠1＝∠2，求∠NOD的度数；（2）若∠AOD＝3∠1，求∠AOC和∠MOD的度数．【思路点拨】（1）利用垂直的定义得出∠2+∠AOC＝90°，进而得出答案；（2）根据题意得出∠1的度数，即可得出AOC和∠MOD的度数．【答案】证明：（1）∵OM⊥AB，∴∠AOM＝∠BOM＝90°，∴∠1+∠AOC＝90°，∵∠1＝∠2，∴∠2+∠AOC＝90°，即∠CON＝90°，∴∠NOD＝180°﹣∠CON＝180°﹣90°＝90°；（2）∵∠AOD＝3∠1，∴∠NOD＝2∠1＝90°，解得：∠1＝45°，∴∠AOC＝∠AOM﹣∠1＝90°﹣45°＝45°；∴∠BOD＝90°﹣45°＝45°，∴∠MOD＝∠BOD+∠BOM＝45°+90°＝135°．故答案为：（1）90°；（2）45°，135°．【点睛】此题主要考查了垂直的定义以及邻补角、对顶角等知识，正确把握垂直的定义是解题关键．19．如图，直线AB，CD，EF相交于点O，∠AOE：∠AOD＝1：3，∠COB：∠DOF＝3：4，求证，CD⊥EF．【思路点拨】设∠AOE＝x，则∠AOD＝3x，得出∠COE＝DOF＝4x，列出方程4x+x+3x＝180°，解方程即可得出结论．【答案】证明：设∠AOE＝x，则∠AOD＝3x，∴∠COB＝∠AOD＝3x，∴∠DOF＝4x，∵∠COE＝DOF＝4x，∠COE+∠AOE+∠AOD＝180°，∴4x+x+3x＝180°，∴x＝22.5°，∴∠COE＝4×22.5°＝90°，∴CD⊥EF．【点睛】本题考查了垂线．对顶角、邻补角的定义；弄清各个角之间的数量关系是解决问题的关键．20．（2019秋•句容市期末）已知如图，直线AB、CD相交于点O，∠COE＝90°．（1）若∠AOC＝36°，求∠BOE的度数；（2）若∠BOD：∠BOC＝1：5，求∠AOE的度数；（3）在（2）的条件下，过点O作OF⊥AB，请直接写出∠EOF的度数．【思路点拨】（1）根据平角的定义求解即可；（2）根据平角的定义可求∠BOD，根据对顶角的定义可求∠AOC，根据角的和差关系可求∠AOE的度数；（3）先过点O作OF⊥AB，再分两种情况根据角的和差关系可求∠EOF的度数．【答案】解：（1）∵∠AOC＝36°，∠COE＝90°，∴∠BOE＝180°﹣∠AOC﹣∠COE＝54°；（2）∵∠BOD：∠BOC＝1：5，∴∠BOD＝180°×＝30°，∴∠AOC＝30°，∴∠AOE＝30°+90°＝120°；（3）如图1，∠EOF＝120°﹣90°＝30°，或如图2，∠EOF＝360°﹣120°﹣90°＝150°．故∠EOF的度数是30°或150°．【点睛】本题主要考查了角的计算，涉及到的角有平角、直角；熟练掌握平角等于180度，直角等于90度，是解答本题的关键．21．探究型问题如图所示，在同一平面内，两条直线相交时最多有1个交点，三条直线相交时最多有3个交点，四条直线相交时最多有6个交点．（1）当五条直线相交时交点最多会有多少个？（2）猜想n条直线相交时最多有几个交点？（用含n的代数式表示）（3）算一算，同一平面内10条直线最多有多少个？（4）平面上有10条直线，无任何3条交于一点（3条以上交于一点也无），也无重合，它们会出现31个交点吗？如果能给出一个画法；如果不能请说明理由．【思路点拨】（1）要探求相交直线的交点的最多个数，则应尽量让每两条直线产生不同的交点．根据两条直线相交有一个交点，画第五条直线时，应尽量和前面四条直线都产生交点，即增加4个交点，则有6+4＝10个交点；（2）根据已知条件，求得n条直线相交，最多有1+2+3+…+（n﹣1）＝个交点；（3）将n＝10代入上式即可求解；（4）可使5条直线平行，另3条直线平行且都与这5条相交，再有2条直线平行且都与这5条直线相交，且3条和2条也有相交．【答案】解：（1）如图，∵两条直线相交，最多有1个交点，三条直线相交，最多有1+2＝3个交点，四条直线相交，最多有1+2+3＝6个交点．∴五条直线相交，最多有1+2+3+4＝10个交点；（2）n条直线相交，最多有1+2+3+…+（n﹣1）＝个交点；（3）10条直线相交，最多有＝45个交点；（4）会出现31个交点，如下图所示：【点睛】此题考查平面内不重合直线的位置关系，是寻找规律的题型，找到n条直线相交，最多有个交点是解题的关键．22．（2019秋•市中区期末）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点O按如图方式叠放在一起．（1）如图（1），若∠BOD＝35°，则∠AOC＝145°；若∠AOC＝135°，则∠BOD＝45°；（直接写出结论即可）（2）如图（2），若∠AOC＝140°，则∠BOD＝40°；（直接写出结论即可）（3）猜想∠AOC与∠BOD的大小关系，并结合图（1）说明理由；（4）三角尺AOB不动，将三角尺COD的OD边与OA边重合，然后绕点O按顺时针或逆时针方向任意转动一个角度，当锐角∠AOD等于多少度时，这两块三角尺各有一条边互相垂直，直接写出∠AOD角度所有可能的值，不用说明理由．【思路点拨】（1）由于是两直角三角形板重叠，根据∠AOC＝∠AOB+∠COD﹣∠BOD可分别计算出∠AOC、∠BOD的度数；（2）根据∠BOD＝360°﹣∠AOC﹣∠AOB﹣∠COD计算可得；（3）由∠AOD+∠BOD+∠BOD+∠BOC＝180°且∠AOD+∠BOD+∠BOC＝∠AOC可知两角互补；（4）分别利用OD⊥AB、CD⊥OB、CD⊥AB、OC⊥AB分别求出即可．【答案】解：（1）若∠BOD＝35°，∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOC＝∠AOB+∠COD﹣∠BOD＝90°+90°﹣35°＝145°，若∠AOC＝135°，则∠BOD＝∠AOB+∠COD﹣∠AOC＝90°+90°﹣135°＝45°；故答案为：145°；45°；（2）如图2，若∠AOC＝140°，则∠BOD＝360°﹣∠AOC﹣∠AOB﹣∠COD＝360°﹣140°﹣90°﹣90°＝40°；故答案为：40°；（3）∠AOC与∠BOD互补．∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOD+∠BOD+∠BOD+∠BOC＝180°．∵∠AOD+∠BOD+∠BOC＝∠AOC，∴∠AOC+∠BOD＝180°，即∠AOC与∠BOD互补．（4）OD⊥AB时，∠AOD＝30°，CD⊥OB时，∠AOD＝45°，CD⊥AB时，∠AOD＝75°，OC⊥AB时，∠AOD＝60°，即∠AOD角度所有可能的值为：30°、45°、60°、75°．【点睛】本题主要考查了互补、互余的定义，垂直的定义以及三角形内角和定理等知识的综合运用，解决本题的关键是掌握：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，其中一个角是另一个角的补角．。

初中数学浙教版七年级上册6.9直线的相交同步练习一、单选题（共10题；共20分）1.如图，点P为直线m外一点，点P到直线m上的三点A，B，C的距离分别为PA＝4cm，PB＝6cm，PC ＝3cm，则点P到直线m的距离为( )A. 3cmB. 4cmC. 6cmD. 不大于3cm2.如图，把河中的水引到村庄C拟修水渠中最短的是（）A. B. C. D.3.如图,测量运动员跳远成绩选取的是AB的长度,其依据是（）A. 两点确定一条直线B. 垂线段最短C. 两点之间线段最短D. 两点之间直线最短4.如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，若∠EOC︰∠EOD=2︰3，则∠BOD的度数为（）A. 36°B. 40°C. 35°D. 45°5.如图，已知直线AB，CD 相交于点O，EF⊥AB 于点O，若∠BOC=55°，则∠DOF=（）A. 35°B. 45°C. 55°D. 90°6.如图，在平面内作已知直线m的垂线，可作垂线的条数有（）A. 0条B. 1条C. 2条D. 无数条7.下列各图中，过直线外的点画直线的垂线，三角尺操作正确的是（）A. B.C. D.8.下列说法中不正确的是( )A. 在同一平面内，经过一点能画一条且只能画一条直线与已知直线垂直B. 从直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离C. 一条直线的垂线可以画无数条D. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短9.三条共点直线都与第四条直线相交，一共有（）对对顶角.A. 12B. 24C. 7D. 1110.下列语句中，正确的是（）A. 相等的角一定是对顶角B. 互为补角的两个角不相等C. 有一个公共顶点，两边互为反向延长线的两个角是对顶角D. 交于一点的三条直线形成3对对顶角二、填空题（共5题；共6分）11.经过一点________一条直线垂直于已知直线．12.如图，AC⊥BC, 且BC=6，AC=8，AB=10，则点A到BC的距离是________点B到点A的距离是________．13.如图所示，其中共有________对对顶角．14.如图，CD⊥AB，垂足是点D，AC＝7，BC＝5，CD＝4，点E是线段AB上的一个动点（包括端点），连接CE，那么CE长的范围是________．15.如图，直线AB，CD相交于点O，若∠AOC=20°，则∠BOD的大小为________（度）．三、解答题（共3题；共20分）16.画一条线段的垂线，就是画它所在直线的垂线．如图，请你过点P画出线段的垂线，垂足分别为点．17.如图，∠1=28°，AB⊥CD，垂足为O，EF经过点O.求∠2、∠3的度数.18.如图，直线与相交于点O，平分，．（1）若，求的度数；（2）在的内部作射线，探究与之间有怎样的关系？并说明理由．答案解析部分一、单选题1.【答案】D【解析】【解答】解：∵点P到直线m上的三点A，B，C的距离分别为PA＝4cm，PB＝6cm，PC＝3cm，∴点P到直线m的距离为不大于3cm.故答案为：D.【分析】根据垂线段最短，可得点P到直线m的距离的取值范围。

浙教版七年级数学上册第6章图形的初步知识 6.9 直线的相交6.9.1 对顶角同步练习1．如图，直线a，b相交于点O，若∠1等于50°，则∠2等于( )A．50° B．40° C．140° D．130°2. 如图，直线AB，CD相交于点O，OE，OF是过点O的两条射线，其中构成对顶角的是( )A．∠AOF与∠DOE B．∠EOF与∠BOEC．∠BOC与∠AOD D．∠COF与∠BOD3. 如图，直线AB，CD相交于点O.若∠1＋∠3＝60°，则∠2，∠3的度数分别为( )A．120°，60° B．130°，50°C．140°，40° D．150°，30°4. 如图，直线l1，l2，l3相交于点O，则∠1，∠2，∠3的度数和为( )A．90° B．120° C．180° D．30°5. ∠1的对顶角是∠2，∠2的补角是∠3.若∠3＝45°，则∠1的度数是( ) A．45° B．135° C．45°或135° D．90°6. 如图，直线MN和∠AOB的两边分别相交于点C，D.已知∠1＋∠2＝180°，则图中与∠1相等的角(不含∠1)有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7. 如图是一个对顶角量角器，用它测量角的原理是____________．8. 如图，直线AB与CD相交于点O，ON平分∠DOB，若∠BOC＝110°，则∠AON 的度数为________°.9. 如图，直线AB和CD相交于点O，∠EOB＝90°，∠AOD＝128°，则∠COE 的度数是_______度．10. 如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠COD，∠BOE＝68°，则∠AOC＝_________．11. 如图，直线a，b，c相交于点O，若∠1＝2∠2，∠3－∠1＝30°，则∠4的度数是_______．12. 如图，直线AB，CD，EF相交于点O，OG是∠AOF的平分线，∠BOD＝35°，∠COE＝18°，则∠COG的度数是________．13. 如图，直线AB，CD，EF相交于点O，∠BOD＝45°，∠COF＝80°.(1)图中有多少对对顶角(不含平角)?(2)每一对对顶角中，各角的度数是多少？14. 如图，直线AB，CD，EF相交于点O，∠1与∠2互余，∠2与∠3互余．若∠DOF＝32°，求∠1，∠2，∠3的度数．15. 如图，直线AB，CD，EF相交于点O，∠AOF＝3∠FOB，∠AOC＝90°，求∠EOC的度数．16. 如图，直线a，b相交于点O，∠1＝∠2.(1)指出∠3的对顶角；(2)指出∠5的补角；(3)若∠1与∠4的度数之比为1∶4，求∠3的度数．17. 如图，两条笔直的街道AB，CD相交于点O，街道OE，OF分别平分∠AOC，∠BOD，比较∠1与∠2的关系，并说明街道EOF是笔直的．18. 观察下列图形，寻找对顶角(不含平角)．(1)如图①，图中共有______对对顶角；(2)如图②，图中共有______对对顶角；(3)如图③，图中共有______对对顶角；(4)研究(1)～(3)小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成__________对对顶角；(5)若20条直线相交于一点，则可形成对顶角多少对？参考答案：1---6 ACDCB C7. 对顶角相等8. 1459. 3810. 22°11. 30°12. 98.5°13. 解：(1)6对(2)∠AOC＝∠BOD＝45°，∠AOE＝∠BOF＝55°，∠EOD＝∠COF＝80°，∠AOD ＝∠BOC＝135°，∠BOE＝∠AOF＝125°，∠EOC＝∠DOF＝100°14. 解：因为直线CD与EF相交于点O，所以∠1＝∠DOF＝32°.因为∠1与∠2互余，所以∠1＋∠2＝90°，所以∠2＝90°－∠1＝90°－32°＝58°.因为∠1与∠2互余，∠2与∠3互余，所以∠1＝∠3，所以∠3＝32°15. 解：因为∠FOB＋∠AOF＝180°，∠AOF＝3∠FOB，所以∠FOB＋3∠FOB ＝180°，所以∠FOB＝45°，所以∠AOE＝∠FOB＝45°，所以∠EOC＝∠AOC －∠AOE＝90°－45°＝45°16. 解：(1)∠2(2)∠2，∠3，∠1(3)因为∠1∶∠4＝1∶4，所以∠4＝4∠1，因为∠1＝∠2，∠1＋∠2＋∠4＝180°，所以∠2＋∠2＋4∠2＝180°，解得∠2＝30°，因为∠2与∠3是对顶角，所以∠3＝∠2＝30°17. 解：因为∠AOC 与∠BOD 是对顶角，所以∠AOC＝∠BOD，又因为∠1＝12∠AOC，∠2＝12∠BOD，所以∠1＝∠2，因为∠2＋∠AOF＝180°，所以∠1＋∠AOF＝180°，所以∠EOF＝180°，所以EOF 是一条直线，即街道EOF 是笔直的 18. (1) 2 (2) 6 (3) 12 (4) n(n －1)(5)当n ＝20时，n(n －1)＝20×19＝380(对)。

6.9 直线的相交一、选择题（共15小题；共75分）1. 下列图形中，线段PQ的长表示点P到直线MN的距离的是 ( )A. B.C. D.2. 下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是 ( )A. B.C. D.3. 如图，A是直线l外一点，点B、C、E、D在直线l上，且AD⊥l，D为垂足，如果量得AC=8 cm，AD=6 cm，AE=7 cm，AB=13 cm，那么，点A到直线l的距离是 ( )A. 13 cmB. 8 cmC. 7 cmD. 6 cm4. 如图，直线AB，CD相交于点O．OE平分∠AOD，若∠BOC=80∘，则∠AOE的度数是 ( )A. 40∘B. 50∘C. 80∘D. 100∘5. 下列说法：①两点确定一条直线；②射线AB和射线BA是同一条射线；③相等的角是对顶角；④三角形任意两边和大于第三边的理由是两点之间线段最短．正确的是 ( )A. ①③④B. ①②④C. ①④D. ②③④6. 下列说法中错误的是 ( )A. 一个锐角的补角一定是钝角；B. 同角或等角的余角相等；C. 两点间的距离是连接这两点的线段的长度；D. 过直线l上的一点有且只有一条直线垂直于l．7. 下列说法正确的个数有 ( )①若AB=BC，则点B是线段AC的中点；②从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；③若AB=MA+MB，AB<NA+NB，则点M在线段AB上，点N在线段AB外；④在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线．A. 0B. 1C. 2D. 38. 挑游戏棒是一种好玩的游戏，游戏规则：当一根棒条没有被其它棒条压着时，就可以把它往上拿走．如图中，按照这一规则，第1次应拿走⑨号棒，第2次应拿走⑤号棒，⋯，则第6次应拿走 ( )A. ②号棒B. ⑦号棒C. ⑧号棒D. ⑩号棒9. 如图，直线AB，CD，EF相交于点O，AB⊥CD，OG平分∠AOE，∠FOD=28∘，则∠AOG为 ( )A. 56∘B. 59∘C. 60∘D. 62∘10. 已知如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC=70∘，OE把∠BOD分成两部分，且∠BOE:∠EOD=2:3，则∠AOE= ( )A. 162∘B. 152∘C. 142∘D. 132∘11. 如图所示，已知AB⊥BD，BC⊥CD，AD=6 cm，BC=4 cm，则线段BD的范围是 ( )A. 大于4 cmB. 小于4 cmC. 大于4 cm且小于6 cmD. 小于6 cm或大于4 cm12. 用3根火柴棒最多能拼出 ( )A. 4个直角B. 8个直角C. 12个直角D. 16个直角13. 三条直线两两相交于同一点时，对顶角有m对，交于不同三点时，对顶角有n对，则m与n的关系 ( )A. m=nB. m>nC. m<nD. m+n=1014. 观察下列图形，并阅读图形下面的相关文字：两条直线相交，三条直线相交，四条直线相交，⋯⋯最多有1个交点；最多有3个交点；最多有6个交点⋯⋯像这样，十条直线相交，最多交点的个数是 ( )．A. 40个B. 45个C. 50个D. 55个15. 如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O，OF平分∠AOE，∠1=15∘30’，则下列结论中不正确的是 ( )．A. ∠2=45∘B. ∠1=∠3C. ∠AOD与∠1互为补角D. ∠1的余角等于75∘30ʹ二、填空题（共15小题；共75分）16. A是直线l外的一点，A到l的距离为10 cm，P是l上任意一点，则PA的最小值是cm．17. 如图所示，直线a、b相交于点O，∠1=50∘，则∠2=度．18. 如图，直线AB，CD相交于点O．若∠BOD=40∘，OA平分∠COE，则∠AOE=．∠B，那么∠B=．19. 若∠A与∠B互为邻补角，且∠A=1320. 如图，直线AB和CD相交于点O，OE平分∠DOB，∠AOC=40∘，则∠DOE=度．21. 如图所示，点P是∠AOB的边OB上的一点．①过点P作OB的垂线，交OA于点C．②过点P作OA的垂线，垂足为H．③线段PH的长度是点P到的距离，线段的长度是点C到直线OB的距离．④因为直线外一点与直线上各点所连的所有线中，垂线段最短，所以PC，PH，OC这三条线段的大小关系是（用“ <”连接）．22. 在同一平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点，那么4条直线两两相交，最多有个交点，8条直线两两相交，最多有个交点．23. 下列说法正确的是．（写出正确的序号）① 三条直线两两相交有三个交点；② 两条直线相交不可能有两个交点；③在同一平面内的三条直线的交点个数可能为0，1，2，3；n(n−1)个交点；④同一平面内的n条直线两两相交，其中无三线共点，则可得12⑤ 同一平面内的n条直线经过同一点可得2n(n−1)个角（平角除外）．24. O为平面上一点，过O在这个平面上引2005条不同的直线l1，l2，l3，⋯，l2005，则可形成对以O为顶点的对顶角．25. 如图，AB与CD相交于点O，若∠DOE=90∘，∠BOE=52∘，则∠AOC=．26. 如图，AB、CD、EF相交于O点，EF⊥AB，OG为∠COF的平分线，OH为∠DOG的平分线．若∠AOC:∠COG=4:7，则∠DOH=度.27. 如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，O为垂足，如果∠EOD=35∘，则∠COB= .28. 如图，直线AB，CD相交于点O，已知∠AOC=70∘，OE把∠BOD分成两部分，且∠BOE:∠EOD=3:2．则∠EOD=．29. 已知OA⊥OB，∠AOC：∠AOB=2：3，则∠BOC=．30. 如图所示，两条直线相交，有对对顶角，三条直线相交于同一点，有对顶角；四条直线相交于同一点，有对对顶角，⋯，n条直线相交于同一点有对对顶角．三、解答题（共5小题；共65分）31. 如图，建筑工人经常要测量两堵围墙所成的∠AOB，但人不能进入围墙，聪明的你帮助工人师傅想想办法吧．要求：画出两种不同测量方案示意图，直接给出求∠AOB的表达式．32. 如图：点C是∠AOB的边OB上的一点，按下列要求画图并回答问题．Ⅰ过C点画OB的垂线，交OA于点D；Ⅱ过C点画OA的垂线，垂足为E；Ⅲ比较线段CE，OD，CD的大小（请直接写出结论）；Ⅳ请写出第（3）小题图中与∠AOB互余的角（不增添其它字母）．33. 如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD，OF平分∠BOD，若∠AOE=26∘，求∠COF的度数．34. 根据下列条件画图如图示点A、B、C分别代表三个村庄Ⅰ画射线ACⅡ画线段ABⅢ若线段AB是连接A村和B村的一条公路，现C村庄也要修一条公路与A、B两村庄之间的公路连通，为了减少修路开支，C村庄应该如何修路?请在同一图上用三角板画出示意图，并说明画图理由．35. 两条直线相交，四个交角中的一个锐角或一个直角称为这两条直线的“夹角”（如图）．如果在平面上画L条直线，要求它们两两相交，并且“夹角”只能是15∘，30∘，45∘，60∘，75∘，90∘之一，问：ⅠL的最大值是多少?Ⅱ当L取最大值时，问所有的“夹角”的和是多少?答案第一部分1. A2. C3. D4. A5. C6. D7. C8. D9. B 10. B11. C 12. C 13. A 14. B 15. D第二部分16. 1017. 5018. 40∘19. 135∘20. 2021. ①②如图所示．③ OA，PC．④ PH<PC<OC．22. 6；2823. ② ③ ④ ⑤24. 401802025. 38∘26. 72.5∘27. 125∘28. 28∘．29. 150∘或30∘30. 两；六；十二；n(n−1)第三部分31. 方案1图：∠AOB=∠DOC．方案2图：∠AOB=180∘−∠BOC．32. （1）如图：（2）如图：（3）CE<CD<OD．（4）∵CE⊥OA，∴∠AOB+∠OCE=90∘．∵CD⊥OB，∴∠AOB+∠ODC=90∘．∴与∠AOB互余的角是∠OCE与∠ODC．33. ∵OE⊥CD，∴∠EOD=90∘．∵∠AOE=26∘，∴∠DOB=180∘−∠AOE−∠EOD=64∘．∵OF平分∠BOD，∠DOB=32∘．∴∠DOF=12∴∠COF=180∘−∠DOF=148∘．34. （1）（2）（3）如图所示，过点C作CD⊥AB，垂足为D．理由：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．35. （1）固定平面上一条直线，其它直线与此条固定直线的交角自这条固定直线起逆时针计算，只能是15∘，30∘，45∘，60∘，75∘，90∘，105∘，120∘，135∘，150∘，165∘十一种角度之一，所以，平面上最多有12条直线．否则，必有两条直线平行．（2）如图，将所有直线做平行移动，使它们交于同一个点，这样的平行移动显然不改变两条直线的“夹角”．无妨设其中一条直线水平，从水平直线开始，逆时针将12条直线分别记为第一条、第二条、⋯和第十二条直线．（1）如图：第二条至第十二条直线与第一条直线的“夹角”和是：15+30+45+60+75+90+75+60+45+30+15=540（度）；（2）第三条至第十二条直线与第二条直线相交的“夹角”和是：15+30+45+60+75+90+75+60+45+30=(540−15)（度）；（3）第四条至第十二条直线与第三条直线相交的“夹角”和是：15+30+45+60+75+90+75+60+45=(540−15−30)（度）；⋯；（10）第十一条和第十二条直线与第十条直线相交的“夹角”和是(30+15)（度），（11）第十二条直线与第十一条直线相交的“夹角”和是15（度）；将（2）和（11）、（3）和（10）、（4）和（9）、（5）和（8）、（6）和（7）配对，得到所有的“夹角”之和是6×540=3240（度）．。

6．9 直线的相交第1课时对顶角知识点一对顶角的概念对顶角的定义有两种叙述：一是两条直线相交成四个角，其中不相邻的两个角是对顶角；二是一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角．1．下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是( )图6－9－1知识点二对顶角的性质对顶角的性质：对顶角______．2．如图6－9－2，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠AOC，若∠EOC＝25°，则∠BOD 的度数为________．图6－9－2类型有关对顶角的计算例1 教材补充例题已知：如图6－9－3所示，直线AB，CD，EF相交于点O，∠1∶∠3＝3∶1，∠2＝30°，求∠BOE的度数．图6－9－3例2 教材例2拓展题如图6－9－4所示，已知直线AB，CD，EF相交于点O，OG是∠AOF 的平分线，∠BOD＝35°，∠COE＝18°.求∠COG的度数．图6－9－4【归纳总结】在相交直线中，利用对顶角进行角的转换是常用的方法，这体现了转化思想的运用．小结◆◆◆)反思◆◆◆)我们已经知道“对顶角相等”，而相等的角一定是对顶角吗？详解详析【学知识】知识点一1．[答案]C知识点二 相等2．[答案] 50°【筑方法】例1 解：∵∠1＋∠2＋∠3＝180°，且∠1∶∠3＝3∶1，∠2＝30°，∴∠1＝112.5°，∴∠BOE ＝∠1＝112.5°.例2 [解析] 根据图形易知，∠COG ＝∠AOC ＋∠AOG ＝∠BOD＋12∠AOF ，因此只需求出∠AOF 即可．解：∵∠DOF＝∠COE＝18°，∴∠BOF ＝∠BOD＋∠DOF＝35°＋18°＝53°.又∵∠AOF＋∠BOF＝180°，∴∠AOF ＝180°－∠BOF＝127°.∵OG 是∠AOF 的平分线，∴∠AOG ＝12∠AOF ＝12×127°＝63.5°. 因此∠COG＝∠AOC＋∠AOG＝∠BOD＋∠AOG＝35°＋63.5°＝98.5°.【勤反思】[小结] 对顶角相等[反思] 相等的角不一定是对顶角．。

章节测试题1.【答题】如图，在所标识的角中，互为对顶角的两个角是（）A.∠2和∠3B.∠1和∠3C.∠1和∠4D.∠1和∠2【答案】A【分析】两条直线相交后，所得的只有一个公共顶点，且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做互为对顶角．【解答】解：根据同位角、同旁内角、邻补角、对顶角的定义进行判断，A、∠2和∠3是对顶角，正确；B、∠1和∠3是同旁内角，错误；C、∠1和∠4是同位角，错误；D、∠1和∠2的邻补角是内错角，错误．选A.2.【答题】如图，直线a、b相交于点O，若∠1等于40°，则∠2等于（）A.50°B.60°C.140°D.160°【答案】C【分析】因∠1和∠2是邻补角，且∠1=40°，由邻补角的定义可得∠2=180°﹣∠1=180°﹣40°=140°．【解答】解：∵∠1+∠2=180°又∠1=40°∴∠2=140°．选C.3.【答题】如图，某同学在课桌上随意将一块三角板的直角叠放在直尺上，则∠1+∠2的度数是（）A.45°B.60°C.90°D.180°【答案】C【分析】由图可知，直角三角形的两个锐角正好是∠1和∠2的对顶角，而直角三角形的两个锐角之和是90°，那么就可得知∠1+∠2的度数．【解答】解：由图可知，∠1和∠2的对顶角互余，所以∠1+∠2=90°．选C.4.【答题】如图，已知直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC=110°，则∠BOD的度数是（）A.25°B.35°C.45°D.55°【答案】D【分析】根据角平分线的定义求出∠AOC的度数，再根据对顶角相等即可求解．【解答】解：∵OA平分∠EOC，∠EOC=110°，∴∠AOC=∠COE=55°，∴∠BOD=∠AOC=55°．选D.5.【答题】如图，已知直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC=100°，则∠BOD的度数是（）A.20°B.40°C.50°D.80°【答案】C【分析】利用角平分线的性质和对顶角相等即可求得．【解答】解：∵∠EOC=100°且OA平分∠EOC，∴∠BOD=∠AOC=×100°=50°．选C.6.【答题】如图，直线AB，CD相交于O点，若∠1=30°，则∠2，∠3的度数分别为（）A.120°，60°B.130°，50°C.140°，40°D.150°，30°【答案】D【分析】首先判断所求角与∠1的关系，然后利用对顶角、邻补角的性质求解．【解答】解：∵∠1与∠3是对顶角，∴∠3=∠1=30°，∵∠1与∠2是邻补角，即∠1+∠2=180°，∴∠2=180°﹣30°=150°．选D.7.【答题】如图，已知直线AB、CD相交于点O，OE平分∠COB，若∠BOD=70°，则∠COE的度数是（）A.45°B.70°C.55°D.110°【答案】C【分析】根据邻补角的性质可得∠COB=110°，再根据角平分线的性质课可得∠COE=∠COB，进而得到答案．【解答】解：∵∠BOD=70°，∴∠COB=110°，∵OE平分∠COB，∴∠COE=∠COB=55°，选：C.8.【答题】如图，直线AB和CD相交于点O，若∠AOD=55°，则∠AOC=（）A.115°B.120°C.125°D.130°【答案】C【分析】根据互为邻补角的两个角的和等于180°列式计算即可得解．【解答】解：∵∠AOD=55°，∴∠AOC=180°﹣55°=125°．选C.9.【答题】如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，若∠COE=160°，则∠AOC等于（）A.20°C.60°D.80°【答案】B【分析】根据邻补角的定义求出∠DOE，再根据角平分线的定义求出∠BOD，然后根据对顶角相等求解即可．【解答】解：∵∠COE=160°，∴∠DOE=180°﹣∠COE=180°﹣160°=20°，∵OE平分∠BOD，∴∠BOD=2∠DOE=2×20°=40°，∴∠AOC=∠BOD=40°．选B.10.【答题】如图，直线AB与直线CD相交于点O，OE平分∠AOD，已知∠BOD=30°，则∠AOE的度数是（）A.75°C.120°D.150°【答案】A【分析】先求得∠AOD的度数，再根据角平分线的性质，求出∠AOE的度数．【解答】解：∵∠BOD=30°，∴∠AOE=150°，∵OE平分∠AOD，∴∠AOE=∠AOD=×150°=75°，选A.11.【答题】如图，AB是一条直线，OC是∠AOD的平分线，OE在∠BOD内，∠DOE=∠BOD，∠COE=72°，则∠EOB=（）A.36°B.72°C.108°D.120°【答案】B【分析】设∠DOE=x，根据题意得到∠BOE=2x，∠AOC=∠COD=72°﹣x，再根据平角为180度，得到2×（72°﹣x）+3x=180°，解得x=36°，即可得到∠BOE的度数．【解答】解：如图，设∠DOE=x，∵∠DOE=∠BOD，∴∠BOE=2x，又∵OC是∠AOD的平分线，∠COE=72°，∴∠AOC=∠COD=72°﹣x；∴2×（72°﹣x）+3x=180°，解得x=36°，∴∠BOE=2x=2×36°=72°．选B.12.【答题】下列说法正确的是（）A.相等的两个角是对顶角B.和等于90°的两个锐角互为余角C.如果∠1+∠2+∠3=180°，那么∠1、/2、∠3互为补角D.一个角的补角一定大于这个角【答案】B【分析】根据余角、补角、对顶角的定义进行判断即可．【解答】解：A、两个对顶角相等，但相等的两个角不一定是对顶角；故A错误；B、如果两个角的和是一个直角，那么这两个角互为余角；故B正确；C、余、补角是两个角的关系，故C错误；D、锐角的补角都大于这个角，而直角和钝角不符合这样的条件，故D错误．选B.13.【答题】下列说法错误的是（）A.53°38′角与36°22′角互为余角B.如果∠1+∠2=180°，那么∠1与∠2是邻补角C.两个角互补，如果其中一个是锐角，那么另一个一定是钝角D.一个角的补角比这个角的余角大90°【答案】B【分析】根据（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．（3）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．由此即可作出判断．【解答】解：A、53°38′+36°22′=90°，故53°38′角与36°22′角互为余角是正确的，不符合题意；B、如果∠1+∠2=180°，那么∠1与∠2互为补角，故如果∠1+∠2=180°，那么∠1与∠2是邻补角是错误的，符合题意；C、两个角互补，如果其中一个是锐角，那么另一个一定是钝角是正确的，不符合题意；D、由于180°﹣90°=90°，故一个角的补角比这个角的余角大90°是正确的，不符合题意．选B.14.【答题】如图，直线AB、CD、EF相交于O，图中对顶角共有（）A.3对B.4对C.5对D.6对【答案】D【分析】根据对顶角的定义，对顶角的两边互为反向延长线，可以判断．【解答】解：图中对顶角有：∠AOF与∠BOE、∠AOD与∠BOC、∠FOD与∠EOC、∠FOB与∠AOE、∠DOB与∠AOC、∠DOE与∠COF，共6对．选D.15.【答题】如图，直线AB、CD相交于O点，∠AOD+∠BOC=236°，则∠AOC=（）A.72°B.62°C.124°D.144°【答案】B【分析】由两直线相交，对顶角相等，可得∠AOD=∠BOC，已知∠AOD+∠BOC=236°，可求∠AOD；又∠AOC与∠AOD互为邻补角，即∠AOC+∠AOD=180°，将∠AOD的度数代入，可求∠AOC.【解答】解：∵∠AOD与∠BOC是对顶角，∴∠AOD=∠BOC，又已知∠AOD+∠BOC=236°，∴∠AOD=118°．∵∠AOC与∠AOD互为邻补角，∴∠AOC=180°﹣∠AOD=180°﹣118°=62°．选B.16.【答题】两条直线相交，有______对对顶角，三条直线两两相交，有______对对顶角.【答案】两六【分析】根据对顶角的定义解答即可。

6.9 直线的相交第1课时对顶角知识点1 对顶角的意义1．下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是( )图6－9－12．如图6－9－2所示，BE，CF相交于点O，OA，OD是射线，其中构成对顶角的角是____________．图6－9－2知识点2 对顶角的性质3．如图6－9－3，直线a，b相交于点O，∠1＋∠3＝________，∠2＋∠3＝________(邻补角的定义)，所以∠1________∠2(同角的补角相等)．由此可知对顶角________．图6－9－34．已知∠α和∠β是对顶角，∠α＝30°，则∠β的度数为( )A．30° B．60° C．70° D．150°5．如图6－9－4，图中是对顶角量角器，用它测量角的原理是______________.图6－9－46．如图6－9－5，直线AB，CD，EF交于一点O.图6－9－5(1)∠EOB的对顶角是________；(2)________是∠AOE的对顶角；(3)若∠AOC＝76°，则∠BOD的度数为________．7．如图6－9－6所示，直线AB与CD相交于点O，若∠AOC＋∠BOD＝90°，则∠BOC＝________°.图6－9－68．如图6－9－7所示，∠1＝120°，∠2＋∠3＝180°，则∠4＝________°.图6－9－79. 如图6－9－8，直线AB，CD相交于点O，∠1＝40°，求∠2，∠3，∠4的度数．图6－9－810．如图6－9－9所示，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOC，∠EOC＝35°，求∠BOD 的度数．图6－9－911．如图6－9－10，直线AB，CD，EF相交于点O，∠AOD＝150°，∠EOD＝80°，求∠AOF 的度数．图6－9－1012．如图6－9－11，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOC，OF平分∠DOB，则点E，O，F在同一直线上，请说明理由．(补全解答过程)图6－9－11解：∵直线AB，CD相交于点O，∴∠AOC＝________(对顶角相等)．∵OE平分∠AOC，OF平分∠DOB，∴∠AOE＝______∠AOC，∠BOF＝______∠DOB，∴∠AOE＝________．∵∠AOF＋∠BOF＝∠AOB＝180°，∴∠AOF＋∠AOE＝∠EOF＝180°，∴点E，O，F在同一直线上．13．如图6－9－12，直线AB与CD相交于点O，∠BOE＝∠COF＝90°，且∠BOF＝32°，求∠AOC与∠EOD的度数．图6－9－1214．已知：如图6－9－13所示，直线AB，CD，EF相交于点O，∠1∶∠3＝3∶1，∠2＝30°，求∠BOE的度数．图6－9－1315．观察图6－9－14，回答下列各题．(1)图①中，共有________对对顶角，可以看作________＝________×________；(2)图②中，共有________对对顶角，可以看作________＝________×________；(3)图③中，共有________对对顶角，可以看作________＝________×________；(4)通过(1)～(3)各题中直线条数与对顶角对数之间的关系，若有n(n≥2)条直线相交于一点，则可形成几对对顶角？图6－9－141．C 2.∠EOF和∠BOC，∠COE和∠BOF3．180°180°＝相等4．A 5.对顶角相等6．(1)∠AOF(2)∠BOF(3)76°7．135 8.609．解：∵∠1＝40°，∠1＝∠2，∴∠2＝40°. ∵∠1＝40°，∠1＋∠3＝180°，∴∠3＝140°. 又∵∠3＝∠4，∴∠4＝140°.10. 解：∵OE平分∠AOC，∠EOC＝35°，∴∠AOC＝2∠EOC＝35°×2＝70°.由对顶角相等可知：∠BOD＝∠AOC＝70°. 11．解：∵∠AOD＝150°，∠AOD＋∠BOD＝180°，∴∠BOD＝30°.又∵∠EOD＝80°，∴∠EOB＝80°－30°＝50°，∴∠AOF＝∠EOB＝50°.12．∠DOB 1212∠BOF13．解：∵∠COF＝90°，∠BOF＝32°，∴∠COB＝90°－32°＝58°＝∠AOD.∵∠BOE＝90°，∴∠EOA＝180°－90°＝90°，∠EOC＝90°－∠COB＝32°，∴∠AOC＝∠EOA＋∠EOC＝122°，∠EOD＝∠EOA＋∠AOD＝148°.14．解：∵∠1＋∠2＋∠3＝180°，且∠1∶∠3＝3∶1，∠2＝30°，∴∠1＝112.5°，∠3＝37.5°，∴∠BOE＝∠1＝112.5°.15．解：(1)共有2对对顶角，可以看作2＝2×1.(2)单个角是对顶角的有3对，两个角组成复合角的对顶角有3对，共有6对，可以看作6＝3×2.(3)单个角是对顶角的有4对，两个角组成复合角的对顶角有4对，三个角组成复合角的对顶角有4对，共有12对，可以看作12＝4×3.(4)n(n≥2)条直线相交于一点，可形成n(n－1)对对顶角．。