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数项级数的审敛法方法分别有根据级数性质判断、比较审敛法、比值审敛法、根值审敛法、交错级数审敛法（莱布尼茨定律）、判断绝对收敛和条件收敛。
方法一 根据级数性质判断等比级数Sn =a +aq +⋯+aq n−1=a(1−q n ) 当|q|<1时，级数收敛当|q|>1时，级数发散当|q|=1时，讨论P 级数1+1p +1p +⋯+1p 当P>1时，级数收敛当P<=1时，级数发散调和级数级数∑1n ∞n=1发散 例题：根据级数性质判断级数收敛性1、 ∑(12n +13n )∞n=1解：由∑12∞n=1为首项为12，q=12的等比级数 因为|12|<1,所以级数收敛由∑13∞n=1为首项为13，q=13的等比级数 因为|13|<1,所以级数收敛由收敛+收敛=收敛，所以原级数收敛 2、 ∑1n 2∞n=1解：由∑1n 2∞n=1为p=2的P 级数因为p>1,所以原级数收敛3、 ∑3n ∞n=1 解：由∑3n ∞n=1，知级数为调和级数，所以收敛 方法二 比较审敛法如果级数∑Un ∞n=1=U 1+U 2+⋯+U n +⋯满足条件Un ≥0(n =1、2、…),则称为正项级数如果∑Un ∞n=1和∑Vn ∞n=1满足正项级数，在0≤Un ≤Vn 的情况下，若级数∑Vn ∞n=1收敛，则级数∑Un ∞n=1收敛，若级数∑Un ∞n=1发散，则级数∑Vn ∞n=1发散。
比较审敛法步骤（1） 如果还需写通项公式写出通项公式（2） 找出小于谁或大于谁（3） 比较大小例题：根据比较收敛法求其收敛性 1、12+15+110+1n+⋯+1n +1 解：通项公式为1n +1 由0≤1n +1≤1n因为∑1n ∞n=1为p=2>1的P 级数，所以级数收敛 所以原级数收敛2、∑(n 2n+1)n ∞n=1解：由0≤(n 2n+1)n ≤(12)n 因为∑(12)n ∞n=1是q= 1 2<1的等比级数，所以级数收敛 所以原级数收敛方法三 比值审敛法设∑Un ∞n=1为正项级数，如果lim n→∞U n+1Un =ρ 当ρ<1时，级数收敛当ρ>1时，级数发散当ρ=1时，级数可能收敛可能发散 例题：用比值审敛法判断其收敛性 1、 ∑n 33n ∞n=1解：lim n→∞U n+1Un =lim n→∞(n+1)33∗3n n =13<1 所以级数收敛2、 ∑1n!∞n=1 解：lim n→∞U n+1Un =lim n→∞1(n+1)!∗n!=lim n→∞1n+1→0<1所以级数收敛方法四 根植审敛法（柯西判别法）设设∑Un ∞n=1为正项级数，如果lim n→∞√U n n =ρ 当ρ<1时，级数收敛当ρ>1时，级数发散当ρ=1时，级数可能收敛可能发散 例题：用根值审敛法判断其收敛性1、 ∑(2n+13n+1)n ∞n=1 解: lim n→∞√U n n =lim n→∞√(2n+13n+1)n n = lim n→∞2n+13n+1=23<1 所以该级数收敛方法五 交错级数审敛法可以表示为∑(−1)n−1∞n=1U n 、∑(−1)n ∞n=1U n其中U n >0,n =1,2…(莱布尼茨定律)如果级数∑(−1)n−1∞n=1U n 满足 (1)、U n ≥U n+1(2)、lim n→∞U n =0 那么级数收敛例题用交错级数审敛法求其收敛性1、∑(−1)n−1∞n=112n−1解：满足交错级数由U n =12n−1≥U n+1=12n+1且lim n→∞12n−1=0所以该级数收敛2、、∑(−1)n−1∞n=11n∗3解：满足交错级数由U n =1n∗3≥U n+1=1(n+1)∗3且lim n→∞1n∗3=0所以该级数收敛判断级数绝对收敛还是条件收敛如果正项级数∑|Un|∞n=1收敛，那么得级数∑Un ∞n=1绝对收敛如果正项级数∑|Un|∞n=1发散，那么得级数∑Un ∞n=1条件收敛1、：∑(−1)n−1∞n=112解：由∑|12∞n=1|发散所以原级数不是绝对收敛 由莱布尼茨定律U n =12n ≥U n+1=12n+1 lim n→∞12n=0 所以该级数条件收敛2、 ∑sin na(n+1)2∞n=1 解：由0≤|sin na (n+1)2|≤1n 2 由级数∑1n ∞n=1为p=2>1的P 级数 所以∑|∞n=1sin na(n+1)|收敛 所以原级数绝对收敛。
