第二节 正项级数及其审敛法

l 3l 即 0 v n un v n 2 2
由比较审敛法的推论, 得证.
例4 判定下列级数的敛散性 1 1 ( 2) n (1) sin n n 1 3 n n 1
1 sin n 解 (1) lim 1 比较审敛法的极限形式, 发散 n 1 n 1 n 1 3 n ( 2) lim lim 1 n n n 1 1 n n 3 3
n
1 1 1 1 (3) 调和级数 1 发散 2 3 n n 1 n

正 项 级 数 及 其 审 敛 法
常数项级数的审敛法
定理2 若0 un vn , 则

v n 收敛 un 收敛 n 1 n 1 un 发散 v n 发散 n 1
(1) 2 sin
n n 1


3
n
( 2) 3
n 1
n

1 n( n 1)
n
解 (1) 0 un 2 sin

3n 3 n 2 而等比级数 收敛. n 1 3
2 2 n
n
3
由比较审敛法
所以, 原级数收敛.
( 2) 3
n 1

1 推论2 若 un ,如果有 p 1, 使un p ( n 1,2,). n 1 n

则 un收 敛;
n 1
1 如 果un ( n 1,2, ), 则 un发 散. n n 1

正 项 级 数 及 其 审 敛 法
例3 讨论下列正项级数的敛散性.

6. 根值审敛法 (柯西判别法) 定理5 设 un , ( un 0) n 1 1

9.2 常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法
1、正项级数收敛的充要条件

(1)定义:如果级数 un中各项均有un 0， n1
这种级数称为正项级数.
(2)正项级数收敛的充要条件:

如果级数 un为正项级数，则
部分和数列n1{sn}为单调增加数列.
正项级数收敛 部分和所成的数列sn有界.
n
(n

1) n
lim n (1
1 )n

e
1
n
则级数收敛。
5、根值审敛法（柯西判别法）

定理
对于正项级数
n1
un
,
若
lim
n
n
un

，
则当ρ<1时级数收敛， 当ρ>1时级数发散，
ρ=1时级数可能收敛也可能发散。
例8 判别下列级数的敛散性
1
(1) n1 (ln n)n
234
n

更一般的结论：交错级数
(1)n当P 0时收敛。
n2 n p
三、条件收敛与绝对收敛
下面讨论一般项级数 u1+u2 + u3+…+ un + …
其中un为任意实数。
1、定理


对于级数 un , 若级数 | un |收敛，
n1
n1
则级数 un也收敛。
n1


当 | un |收敛时，我们称任意项级数 un绝对收敛。
n2 1
n
1

而
1 收敛，
n2
n1

所以
n2 1
ln(1

正项级数及其审敛法
1、正项级数的概念 2、(1)比较判别法
比较判别法的极限形式 (2)比值判别法(达朗贝尔判别法） (3)根值判别法（柯西判别法）
一、正项级数及其审敛法
1.定义:
正项级数
2.基本定理
un ,un 0，
n1
Th1 正项级数收敛 sn有上界.
3. Th2.比较判别法: 设 un和vn均为正项级数，
0,s
0);
解 lim un1 lim an1 ns a n un n (n 1)s an
当a 1时,收敛
当a 1时,发散
当a 1时,
原级数 1 n1 ns
收敛 发散
当s 1时 当s 1时
(3)
1
n1 2n (2n - 1)
解 lim un1 lim (2n 1) 2n 1,
3, 2
lim un1 u n
n
lim
n
an
不存在.
例 4 判别下列级数的收敛性:
nn
(1)
;
n1 n!
(n 1)n1
解
(1) lim un1 lim
n un
n
(n 1)! nn
n!
lim(1 1)n e 1
n
n
故级数 nn 发散. n1 n!
(2)
n1
an ns
(a
1时， 级数敛散性不定。 果记载于《宇宙体系的几个要点研究》中。 达朗 贝尔生前为人类的进步与文明做出了巨大的贡献， 也得到了许多荣誉。但在他临终时，却因教会的阻 挠没有举行任何形式的葬礼。
1717年—1783年
比值判别法的优点: 不必找参考级数.
两点注意:
1.当 1时比值判别法失效，需它法判定。

但
级数收敛 ;
级数发散 .
从而
例5. 讨论级数
的敛散性 .
解:
根据定理4可知:
级数收敛 ;
级数发散 ;
对任意给定的正数
*定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别法)
设
为正项
则
证明提示:
即
分别利用上述不等式的左,右部分, 可推出结论正确.
级数, 且
时 , 级数可能收敛也可能发散 .
例如 , p – 级数
(2) 当 且 收敛时,
(3) 当 且 发散时,
也收敛 ;
也发散 .
注:
1) un , vn均为无穷小时, l 的值反映了它们不同阶的比较.
的敛散性.
～
例3. 判别级数
的敛散性 .
解:
根据比较审敛法的极限形式知
例4. 判别级数
备用题
1. 判别级数的敛散性:
解: (1)
发散 ,
故原级数发散 .
不是 p–级数
(2)
发散 ,
故原级数发散 .
2.
则级数
(A) 发散 ; (B) 绝对收敛;
(C) 条件收敛 ; (D) 收敛性根据条件不能确定.
分析:
∴ (B) 错 ;
又
C
胞体的直径相差很大，4-150μm， 细胞体是神经元营养、代谢的中心。
则级数
收敛 , 且其和
其余项满足
证:
是单调递增有界数列,
又
故级数收敛于S, 且
故
收敛
收敛
用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:
收敛
上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?

2)
∞
n→ ∞
lim un = 0,
( )n−1 则级数 ∑ −1 un收敛 , 且其和 S ≤u , 其余项满足 1
n= 1
rn ≤un+1 .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
证: QS2n = (u −u2) +(u3 −u4) +L (u2n−1 −u2n) + 1
S2n =u −(u2 −u3) −(u4 −u5) −L (u2n−2 −u2n−1) − 1
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结束
1 1 1 (常数 p > 0) + 例1. 讨论 p 级数 1+ p + p +L p +L 2 3 n 的敛散性.
解: 1) 若 p ≤1, 因为对一切
1 而调和级数 ∑ 发散 , 由比较审敛法可知 p 级数 n= n 1
发散 .
∞
1 ≥ n
机动
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结束
2) 若 p >1,因为当 n 1 1 = dx p ∫n− p 1n n n 1 1 1 1 − p− ≤∫ dx = 1 n− xp p −1 (n−1 p− n 1 ) 1
例13. 设 . （A） （B） （C） （D）
则级数（ ）。
C
提示： 提示： 据莱布尼茨判别法， 原级数收敛；
机动
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结束例14. 证明级数 Nhomakorabea是条件收敛的。
(−)n 1 ~ 解: ① Q 显然非绝对收敛 . n n−(−1 ) n
(−)n ②由 效 于 非 调 减 所 L iz 失 ； 单 递 ， 以 eibn n n−(−1 (− ) n n n (−1 ) (−1 (n+(−1 ) ) ) 1 n n 而 = = (−1 2 + 2 ) n 2 n−(−1 ) n −1 n −1 n −1 1 n n 对 敛 件 敛 ∑ ∑(−1) n2 −1条 收 ， n2 −1绝 收 ，

n1
解: lim un1 lim(n1)xn x
n un
n n x n1
根据定理4可知:
当 0x1时 ,级数收敛 ;
当x1时,级数发散 ;
当x1时,级数n发散.
n1
2020/4/30
1 xp
,
故
1
np
nn1n1pdx
n1 n1xp
dx
p1 1(n1 1)p1np 11
考 1 虑 强2 p 1 级 1 数 n 22 p 1 ( n1 113 )pp 1 11 n p11 n 的p 1 部 1 分 ( 和n 1 1 )p 1
n
kn1k1p1(k11)p11
n1
n1
(3) 当 l =∞ 且vn 发散时, un 也发散.
n1
n1
2020/4/30
例3. 判别级数 sin
n 1
1 n
的敛散性 .
解: lim nsin 1 lim n 1 1
sin
1 n
～
1 n
n
n n n
根据比较审敛法的极限形式知
n1sin1n 发散.
例4.
判别级数 ln
n1
1
1 n2
的敛散性.
ln(
1 n2
)
～
1 n2
解:
lim n 2
n
ln
1
1 n2
limn2
n
1 n2
1
根据比较审敛法的极限形式知 n1ln1n12 收敛.
2020/4/30
定理4 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法)
设(1) 当un为正1项时级, 级数数, 且收敛nl im; uunn1 , 则

2021/4/21
(3) p 0 时，级数发散．
28
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绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质. *定理8 绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和. *定理9 ( 绝对收敛级数的乘法 ) 设级数 与 都绝对收敛, 其和分别为 则对所有乘积 按任意顺序排列得到的级数 也绝对收敛, 其和为
（1）
n1
n3 2n3 n
；
（2）
1；
n n1
1 1 n
（3）
n1
1 n
ln
1
1 n
；
n3
（4） n2en ． n1
解：（1）因为
lim
2n3
n
n3 lim
3n2
1，
n 1
n 2n3 n 2
n2
而
1 收敛，所以级数
n 3 收敛．
n2
n 1
1 n1 2n3 n
（2）因为
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n
n
un
lim n
2
ln n
2 1，因此所给级数发散．
3n
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20
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二、交错级数及其审敛法
(Interrogate of staggered series)
则各项符号正负相间的级数
称为交错级数 . 定理6 ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件:
则级数
.
收敛
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23
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三、绝对收敛与条件收敛
(Absolute convergence and conditional convergence)

即 s ≤ s1 = a1 .其余项
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rn = (−1) an+1 + (−1) an+2 +L= (−1) (an+1 − an+2 + L)
n n
n= ( −1) a n +1 − a n + 2 + L ≤ a n +1 ;
n
因为an+1 ≥ 0, 所以 rn ≤ an+1 上述交错级数的审敛法也称为莱布尼兹审敛法 上述交错级数的审敛法也称为莱布尼兹审敛法
因此, 级数 ∑ ( −1)
n =1
∞
n −1
1 收敛. n
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三、绝对收敛与条件收敛
以上讨论了正项级数与交错级数的敛散性, 以上讨论了正项级数与交错级数的敛散性 下面简单地讨论一下任意项级数的敛散性. 下面简单地讨论一下任意项级数的敛散性 形如
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类似地还可得到： 类似地还可得到： 一个正项级数(6-1), 如果对每一个 都有 如果对每一个n都有 一个正项级数
an+1 ≥ g > 1, an
那么这个正项级数是发散的. 那么这个正项级数是发散的
an+1 如果在正项级数(6-1)中,比值 a 的极限存 如果在正项级数 中 比值 n
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1 1 1 n−1 1 +L 例6-13 判别级数 1 − + − +L+ (−1) 2 3 4 n
的敛散性. 的敛散性.
1 1 1 解 因为 a n = , 所以a n + 1 = n + 1 < n = a n , 且有 n

例2. 证明级数
发散 .
证: 因为
11 n (n 1) (n 1)2
而级数
k 2
1 k
发散
根据比较审敛法可知, 所给级数发散 .
定理3. (比较审敛法的极限形式) 设两正项级数
满足 lim un l, 则有 n vn
(1) 当 0 < l <∞ 时, 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 l = 0
n
n2
1 n2
1
根据比较审敛法的极限形式知 ln1
n1
1 n2
收敛 .
定理4 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法)
设
为正项级数, 且 lim un1 , 则
n
(1) 当 1 时, 级数收敛 ;
un
(2) 当 1 或 时, 级数发散 .
(3) 当 1 时, 级数可能收敛可能发散 ;
n2 en
绝对收敛.
内容小结
1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2. 利用正项级数审敛法
必要条件
lim
n
un
0
满足
比值审敛法 nlimuunn1
根值审敛法
lim n
n
un
1
1
收敛
发散
不满足 发 散
比较审敛法
1
不定
部分和极限
用它法判别
3. 任意项级数审敛法
概念:
为收敛级数
绝对收敛
也收敛.
定理2 (比较审敛法) 设
是两个正项级数,
且
(n=1,2,3…)
则有
(1) 若级数
收敛 , 则级数
也收敛 ;
(2) 若级数

k 1
k 1
这就证明了两者同时收敛的情形.
同理可证明两者同时发散的情形.
例7
证明级数
1
n2 n ln n
发散；而级数
1 n2 n ln2 n
收敛。
解 对第一个级数，考察函数 f ( x) 1 ( x 2)
x ln x
由于
1
2
dx ln(ln x) x ln x
2
由积分审敛法可知，级数
证明级数
n1
1 n!
收敛。
证明 由于 n! 1 2 2
2 2n1 ,
所以有
1 n!
1 2n1 ,
1 2n1
n1
收敛，根据比较审敛法知，级数 1 收敛。
n1 n!
例3 判断级数的收敛性.
4
1
(1) ln(1 ); (2)
.
n1
nn
n1 n n n
解 (1) 级数
1
n1 n n
是 p 32的p-级数，收敛。
取0
l 2
，存在N，
当n>N时, un l l , 即
vn
2
l
3l
2 vn un 2 vn
由推论1知， un , vn有相同的收敛性.
n1
n1
(2) 由 lim un 0,
v n n
当n充分大时，有
un vn
1,即
2
un
vn 2
，
若
vn 收敛，则
vn 收敛，从而 un
收敛。
n1
n2
n
1 ln
n
发散。
对第二个级数，取函数
1 f ( x) x ln2 x