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第四章 数学规划模型

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数学建模——数学规划模型

数学建模——数学规划模型


0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price
1单位时“效益”的增 量
影子价格
1 3360.000 MILK 0.000000
1.000000 48.00000 原料增加1单位, 利润增长48
TIME 0.000000 2.000000 时间增加1单位, 利润增长2
CPCT 40.00000
X3 19.20000
0.000000
2) 4x1 3x2 4x5 3x6 600
X4 0.000000 X5 24.00000
0.000000 0.000000
3) 4(x1 x5 ) 2(x2 x6 )
X6 0.000000
1.520000
Row Slack or Surplus Dual Price
x1系数范围(64,96) x2系数范围(48,72)
Row Current Allowable Allowable
MILK TIME CPCT
RHS 50.00000 480.0000 100.0000
Increase Decrease 10.00000 6.666667 53.33333 80.00000 INFINITY 40.00000
软件实现 LINGO
Objective value: Total solver iterations:
3460.800 2
2) x1 x5 x2 x6 50
3
4
Variable X1 X2
Value Reduced Cost
0.000000
1.6800001Leabharlann 8.00000.000000
第四章 数学规划(线性规划)

第四章 数学规划(线性规划)


lzb8401552@
数学模型与实验
二、线性规划
目标函数与约束条件涉及的都是线性函数的规划问题称 为线性规划。 例1：（任务分配问题）某车间有甲、乙两台机床，可用 于加工三种工件。假定这两台车床的可用台时数分别为 800 和900，三种工件的数量分别为 400、600 和500，且已知用 三种不同车床加工单位数量不同工件所需的台时数和加工费 用如下表。问怎样分配车床的加工任务，才能既满足加工工 件的要求，又使加工费用最低？
数学模型与实验
三、整数线性规划
当决策变量要求是整数值时，对应的规划问题成为整数 规划问题。 例3：钢管下料问题 某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割 后售出。从钢管厂进货时得到的原料钢管都是 19 米长。现有 一客户需要 50 根4米长、20 根6 米长和15根 8 米长的钢管。 应如何下料最节省？
决策目标：总利润的最大化，目标函数为 3100 (x11+x12+x13)+3800(x21+x22+x23) +3500(x31+x32+x33)+ 2850(x41+x42+x43)
lzb8401552@
前舱 重量限制（吨） 体积限制（立方米） 重量（吨） 货物 1 货物 2 货物 3 货物 4 18 15 23 12 10 6800
lzb8401552@
问题分析 首先，应当确定哪些切割模式是可行的。所谓一个切割模 式，是指按照客户需要在原料钢管上安排切割的一种组合。 例如，我们可以将 19 米长的钢管切割成 3 根4 米长的钢管， 余料为 7 米；或者将 19米长的钢管切割成 4 米、6 米和 8 米 长的钢管各 1 根，余料为 1 米。显然，可行的切割模式是很 多的。 其次，应当确定哪些切割模式是合理的。通常假设一个 合理的切割模式的余料不应该大于或等于客户需要的钢管的 最小尺寸。例如，将 19 米长的钢管切割成 3 根4 米的钢管是 可行的，但余料为 7 米，可以进一步将 7 米的余料切割成 4 米钢管（余料为 3 米），或者将 7米的余料切割成 6 米钢管 （余料为 1 米）。在这种合理性假设下，切割模式一共有 7 种，如表 1 所示。
数学规划模型的建立

数学规划模型的建立


50 60 50
∑a ai
i
j
i
= 160
30 70 10 10 bj 50 70 20 40
∑b
j
= 300
问题分析： 可看成是 产小于销”的运输问题。 可看成是“ 问题分析：…可看成是“产小于销”的运输问题。
模型建立 分别表示水库A,B,C(i=1,2,3)向居民区甲千吨水须 向居民区甲,乙 设 xij 分别表示水库 向居民区甲 乙, 因160千吨水须 全部输出 丙,丁(j=1,2,3,4)的供水量。其中X34=0. 丁 的供水量。其中 的供水量 由题意目标函数为： 由题意目标函数为： 3 4 max z1 = 900 × 160 − 450 × 160 − ∑ ∑ cij xij 可转化为： 可转化为：
一、运输问题 例1
运 产地 价 销地
B1
B2 L Bn
产量
A1 A2 M Am
需求量
c11 c21 M cm 1 b1
c12 c22 M
L c1n L c2 n M M
a1 a2 M am
cm 2 L cmn b2 L bn
求使总运费最少的调运方案。试建模。 求使总运费最少的调运方案。试建模。
42
例1
的圆木锯成矩形横梁。 把一根直径为 d 的圆木锯成矩形横梁。已知 成正比， 横梁强度 z 与宽度 x 成正比，与高度 y 的平 方成正比。求宽、高各为多少时强度最大？ 方成正比。求宽、高各为多少时强度最大？
该问题的数学模型为： 该问题的数学模型为： z = kxy 2 ( k > 0)
x2 + y2 = d 2 ,
出发的车流量， 的车流量， 设 v 为从 1 出发的车流量， xij 为 i 到 j 的车流量， max ( x12 + x13 ) max v 则 s .t . x12 + x13 = v 去掉 x12 = x24 + x25 流量守恒条件 LL x47 + x57 + x67 = v x12 + x13 = x47 + x57 + x67
目标规划数学模型讲义

目标规划数学模型讲义


4.1目标规划的数学模型 Mathematical Model of GP
（5）由目标构成的约束称为目标约束，目标约束具有更大的弹 性，允许结果与所制定的目标值存在正或负的偏差，如例4.1中 的5个等式约束；如果决策者要求结果一定不能有正或负的偏差， 这种约束称为系统约束，如例4.1的材料约束；
（6）目标的排序问题。多个目标之间有相互冲突时，决策者 首先必须对目标排序。排序的方法有两两比较法、专家评分等 方法，构造各目标的权系数，依据权系数的大小确定目标顺序；
4.1目标规划的数学模型 Mathematical Model of GP
设d－为未达到目标值的差值，称为负偏差变量（negative deviation
variable）
d+为超过目标值的差值，称为正偏差变量（positive deviation variable）, d－≥0、d＋≥0．
设d1-未达到利润目标的差值, d1+ 为超过目标的差值
3
d
3
30
4.1目标规划的数学模型 Mathematical Model of GP
（4） 设d4ˉ 、d4+为设备A的使用时间偏差变量, d5ˉ、d5+为设备
B的使用时间偏差变量，最好不加班的含义是 d4+ 和d5+同时取最 小值，等价 于d4+ + d5+取最小值，则设备的目标函数和约束为：
20 6.56 6.24 4.08 3.24 5.03
4.1目标规划的数学模型 Mathematical Model of GP
【解】设xj（j=1,2,…,5）为集团对第 j 个企业投资的单位数． （1）总投资约束：
12x1 10x2 15x3 13x4 20x5 d1 d1 1000
数学规划模型

数学规划模型

数学规划模型
数学规划模型是一种数学建模方法，它使用数学方法来解决决策问题。

数学规划模型可以用来优化资源的利用，最大化或最小化某个目标函数。

首先，数学规划模型需要明确目标函数和约束条件。

目标函数是我们希望优化的指标，约束条件则是限制我们优化的条件。

例如，如果我们要找到一种最佳的生产计划，那么目标函数可以是产量的最大化，约束条件可以是原料的限制、生产设备的限制等。

接下来，数学规划模型需要定义决策变量。

决策变量是我们可以调整的变量，通过调整决策变量的值，我们可以达到最优解。

例如，对于生产计划问题，决策变量可以是每种产品的生产数量。

然后，将目标函数和约束条件用数学公式表示出来。

例如，如果我们的目标是最大化产量，那么目标函数可以表示为一个关于决策变量的函数。

同时，约束条件也可以用一组不等式来表示。

接下来，我们需要使用数学方法来求解这个数学规划模型。

常用的数学方法包括线性规划、整数规划、非线性规划等。

具体的求解方法取决于模型的特点和目标函数的形式。

最后，我们需要把数学模型的结果解释给决策者，帮助他们做出更明智的决策。

这个过程通常包括分析和解释模型的结果，
以及提供关于如何操作和调整决策变量的建议。

总结来说，数学规划模型是一种解决决策问题的数学方法。

通过明确目标函数和约束条件，定义决策变量，使用数学方法求解，并将结果解释给决策者，我们可以通过数学规划模型得到最优的决策方案。

这种方法在供应链管理、生产计划、资源分配等领域有着广泛的应用。

第4章线性规划

第4章线性规划


f ( X ) 5 x1 4 x 2 4 x1 x 2 60 x1 x 2 24 x1 0 x2 0
(1) ( 2) ( 3) ( 4) ( 5)
例题21： • 首先由(4)，(5)二式（x1≥ 0、x2 ≥ 0）知， 其解
在第一象限所在的范围，所以在画图时将第二、
产品Ⅰ 产品Ⅱ 资源总量
设 备（台时）
原料A（公斤） 原料B（公斤）
1
4 0
2
0 4
8
16 12
利 润（百元）
2
3
线性规划范例
• 例B. 任务分配问题
表2
产品
1 23
2 21
3 19
4 17
某公司拟生产4种产品， 可分配给下属的3个工厂 生产，由于工厂的地理位 置和设备不同，每个工厂 生产每种产品的成本不相 同，加工能力也不相同。 有关数据分别由表2和表3 给出。公司应如何给下属 各工厂分配任务，才能在 保证完成每种产品的任务 的条件下，使得公司所花 费的成本最少？
例 : x2 0 y 0, y x2
对于无限制变量的处理：同时引进两个非负变量， 然后用它们的差代替无限制变量。
例 : x2无限制 x2 y1 y2 y1 , y2 0
例题20： 将下述线性规划问题化为标准形
m i n s .t . f ( X ) x1 2 x 2 3 x 3 2 x1 x 2 x 3 9 3 x1 x 2 2 x 3 4 3 x1 2 x 2 3 x 3 6 x1 0, x 2 0, x 3无限制
含量限制 原 A B C 加工费（元/kg） 料 纱线1 ≥60% 无 ≤20% 1.5 纱线2 ≥15% ≥10% ≤60% 1.2 纱线3 无 无 50% 0.9 （元/kg） 6 4.5 3 （kg/月） 2000 2500 1200 原料成本 原料限量
数学建模-数学规划模型

数学建模-数学规划模型

建立数学模型
将决策变量、目标函数和约束条件用数学方程表示出来，形成线性规划模型。
线性规划的求解方法
单纯形法
单纯形法是线性规划最常用的求解方法，它通过不断迭代和调整决策 变量的值，逐步逼近最优解。
对偶法
对偶法是利用线性规划的对偶性质，通过求解对偶问题来得到原问题 的最优解。
分解法
分解法是将一个复杂的线性规划问题分解为若干个子问题，分别求解 子问题，最终得到原问题的最优解。
混合法
将优先级法和权重法结合起来，既考虑目标的优先级又考虑目标的 权重，以获得更全面的优化解。
多目标规划的求解方法
约束法
通过引入约束条件，将多目标问题转化为单目标问题求解。常用的约束法包括线性约束 、非线性约束等。
分解法
将多目标问题分解为若干个单目标问题，分别求解各个单目标问题，然后综合各个单目 标问题的解得到多目标问题的最优解。
特点
多目标规划问题通常具有多个冲突的目标， 需要权衡和折衷不同目标之间的矛盾，因此 求解难度较大。多目标规划广泛应用于经济 、管理、工程等领域。
多目标规划的建模方法
优先级法
根据各个目标的重要程度，给定不同的优先级，然后结合优先级 对目标进行优化。
权重法
给定各个目标的权重，将多目标问题转化为加权单目标问题，通过 求解加权单目标问题得到多目标问题的最优解。
数学建模-数学规划 模型
目录
• 数学规划模型概述 • 线性规划模型 • 非线性规划模型 • 整数规划模型 • 多目标规划模型
01
CATALOGUE
数学规划模型概述
定义与分类
定义
数学规划是数学建模的一种方法，通 过建立数学模型描述和解决优化问题 。
分类
chap4-数学规划模型-接力队的选拔与选课策略

chap4-数学规划模型-接力队的选拔与选课策略


多目标规划 归一化处理方法
Min Y 1 Z 2W
通常在将两个目标加权时， 应该将两个目标的系数归 一化处理，以使两个目标 的量纲一致。
对于线性情况，将Z变为
1 9 Z xi 9 i 1
1
将W变为 W
然后再对Z与W作加权和，
ci
i 1
9
c x
i 1
9
i i
MODEL: sets: person/1..5/; position/1..4/; link(person,position): c, x; endsets data: c= 66.8, 75.6, 87, 58.6, 57.2, 66, 66.4, 53, 78, 67.8, 84.6, 59.4, 70, 74.2, 69.6, 57.2, 67.4, 71, 83.8, 62.4; enddata
s.t.
x
j 1 5
4
ij
1, i 1, , 5 1, j 1, , 4
x
i 1
ij
xij {0, 1}
min=@sum(link: c*x); @for(person(i): @sum(position(j):x(i,j))<=1;); @for(position(j): @sum(person(i):x(i,j))=1;); @for(link: @bin(x)); END
第四章
数学规划模型
4.1 奶制品的生产与销售 4.2 接力队选拔和选课策略
4.3 钢管和易拉罐下料
4.2
接力队选拔和选课策略
分派问题
• 若干项任务分给一些候选人来完成，每人的专长不同, 完成每项任务取得的效益或需要的资源不同，如何分派 任务使获得的总效益最大，或付出的总资源最少? • 若干种策略供选择，不同的策略得到的收益或付出 的成本不同，各个策略之间有相互制约关系，如何在 满足一定条件下作出抉择，使得收益最大或成本最小?
《数学规划模型 》课件

《数学规划模型 》课件

。
非线性规划问题通常具有多个局 部最优解，寻找全局最优解是一
个挑战。
非线性规划的解法
梯度法
通过迭代计算，逐步逼近 最优解。每次迭代需要计 算目标函数的梯度和约束 条件的海森矩阵。
牛顿法
利用泰勒级数展开，构造 一个二次函数近似原函数 ，然后求解该二次函数的 极值点。
拟牛顿法
在牛顿法的基础上，通过 迭代更新海森矩阵的近似 值，提高算法的收敛速度 。
多目标规划的解法
总结词
多目标规划的解法包括层次分析法、权重法、主要目标法等 。
详细描述
多目标规划的解法有多种，其中较为常用的包括层次分析法 、权重法、主要目标法等。这些方法通过一定的数学手段和 计算技术，将多目标问题转化为单目标问题，以便进行求解 。
多目标规划的应用实例
总结词
多目标规划的应用非常广泛，包括经济、交通、能源 、环境等多个领域。
线性规划问题通常表示为在给定一组线性约束条件下，最小化或最大化一组线性目 标函数。
线性规划问题具有明确的目标函数和约束条件，且这些条件都是线性的，因此称为 线性规划。
线性规划的解法
线性规划问题可以通过多种方法求解， 其中最常用的是单纯形法。
单纯形法是一种迭代算法，通过不断迭 代寻找最优解。在每一步迭代中，算法 会检查当前解是否满足所有约束条件， 并尝试通过移动到相邻解来改进目标函
非线性规划的应用实例
投资组合优化
在给定风险和收益目标下，通过 非线性规划模型优化投资组合的
配置。
生产计划优化
在生产过程中，通过非线性规划 模型优化资源分配、生产计划等
。
物流优化
在物流配送中，通过非线性规划 模型优化运输路线、车辆调度等
。
数学规划模型 2

数学规划模型 2

与送水方案无关！ 与送水方案无关！ 450×160=72,000(元)与送水方案无关！ 与送水方案无关！ 与送水方案无关
引水管理费+ 引水管理费+其他费用
其他费用: 元 千吨 其他费用:450元/千吨
确定送水方案使利润最大 确定送水方案使利润最大
使引水管理费最小ห้องสมุดไป่ตู้
模型建立
决策变量
确定3个水库向 个小区的供水量 确定 个水库向4个小区的供水量 个水库向 水库i 水库 向j 区的日供水量为 xij（x34=0） ）
求解
A(100) 100 30 B(120) 40 30 50 C(100) 50 甲(30;50) 乙(70;70) 丙(10;20) 丁(10;40)
Global optimal solution found. Objective value: Total solver iterations: Variable X11 X12 X13 X14 X21 X22 X23 X24 X31 X32 X33 Value 0.000000 100.0000 0.000000 0.000000 30.00000 40.00000 0.000000 50.00000 50.00000 0.000000 30.00000
货机装运
模型建立
x11 + x21 + x31 + x41 10 x12 + x22 + x32 + x42 = 16 x13 + x23 + x33 + x43 = 8
xij--第i 种货物装入第 个货舱的重量 --第 种货物装入第j 平衡 要求 约束 条件 货物 供应
10； ； 6800 16； ； 8700 8； ； 5300
数学规划模型2014

数学规划模型2014


j 1
x j 0, j 1,2,,n
LP模型的向量形式
或
min z CX
s.t. AX b 等约束的LP模型的矩阵形式
X O
注： 1. 与
2. 与
min z CX M
s.t. AX b
X O
M是常数
min z CX s.t. AX b
X O
有相同的最优解
min z CX s.t. AX b
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2 （或 ， b2）
am1 x1 am2 x2 amn xn bm（或 ， bm） xj 0, j 1,2,,n 线性规划模型（LP）
n
或
min z c j x j
n j1
s.t. aij x j (,)bi ,i 1,2,,m
设 xij 为产地 Ai 到销地 Bj 的运量。 mn
则
min z
cij xij
i1 j1
线
n
s.t. xij ai , i 1,2,,m
性 规
mj 1
xij bj , j 1,2,, n
划 模
i 1
型
xij 0, i 1,2,,m; j 1,2,,n
n
注：若产大于销，则
xij ai , i 1,2,,m
数学规划模型
I 引言
一个复杂系统往往要受诸多因素的影响，而这 些因素又要受到一定的限制。最优化就是研究在一 定约束下，如何选取这些因素的值，使某项（或某 些）指标达到最优的一门学科。
数学规划是最优化中的重要部分。它包括线性规划、 整数规划、目标规划、动态规划、非线性规划等。
数学规划方法在经济、军事、科技等领域内都有广 泛的应用。

第4章--数学规划模型-姜启源

第4章 数学规划模型在上一章中我们看到，建立优化模型要确定优化的目标和寻求的决策。

用x 表示决策变量，)(x f 表示目标函数。

实际问题一般对决策变量x 的取值范围有限制，不妨记作x ∈Ω，Ω称为可行域。

优化问题的数学模型可表示为∈x x f Max Min ),()(或Ω在第3章x 通常是1维或2维变量，Ω通常是1维或2维的非负域。

实际中的优化问题通常有多个决策变量，用n 维向量T n x x x x ),,,(21 =表示，目标函数)(x f 是多元函数，可行域Ω比较复杂，常用一组不等式（也可以有等式）)(x g i ≤0 (i =1,2, …,m )来界定，称为约束条件。

一般地，这类模型可表述成如下形式=z Min x)(x f s.t.)(x g i ≤m i ,,2,1,0 =这里的s. t. (subject to)是“受约束于”的意思。

显然，上述模型属于多元函数的条件极值问题的范围，然而许多实际问题归结出的这种形式的优化模型，其决策变量个数n 和约束条件个数m 一般较大，并且最优解往往在可行域的边界上取得，这样就不能简单地用微分法求解，数学规划是解决这类问题的有效方法。

需要指出的是，本章无意涉及数学规划（或运筹学）的具体计算方法，仍然着重于从数学建模的角度，介绍如何建立若干实际优化问题的模型，并且在用现成的数学软件求解后，对结果作一些分析。

4．1 奶制品的生产和销售企业内部的生产计划有各种不同的情况。

从空间层次来看，在工厂级要根据外部需求和内部设备、人力、原料等条件，以最大利润为目标制订产品的生产计划，在车间级则要根据产品生产计划、工艺流程、资源约束及费用参数等，以最小成本为目标制订生产批量计划。

从时间层次看，若在短时间内认为外部需求和内部资源等不随时间变化，可制订单阶段生产计划，否则就要制订多阶段生产计划。

本节选择几个单阶段生产计划的实例，说明如何建立这类问题的数学规划模型，并利用软件求解的输出对结果作一些分析。

第四章数学规划模型

1100吨, 分别供给 A地1700吨, B 地11吨, C 地200吨和 D
100吨, 已知每吨运费如表所示, 试建立一个使运费达到 最小的调拨计划.
销地
产地
A
B
C
D
甲
21
25
7
15
乙
51
51
37
15
单位路程运费表
分析 设从第 i个产地到第 j个销地的运输量为 xij , 运
输成本为cij ,则问题的目标函数为
⑶由于市场需求变化, 每公斤 A1的利润增加到30元,
应否改变生产计划?
解 设 x1, x2 表示这两种产品每天所消耗牛奶的数量 （单位：桶）. 则用于生产A1的牛奶可获利 3 24 x1, 用于生产A2 的牛奶可获利 4 16 x2 , 则目标函数为
z 72x1 64x2.
min 0.1* x2 0.2* x3 0.3* x4 0.8* x5; x1 2* x2 x4 100; 2* x3 2* x4 x5 100; 3* x1 x2 2* x3 3* x5 100;
End
运行后得到该问题的解为
X2 25.00000 X3 0.000000 X4 25.00000 X5 0.000000 X1 25.00000
非负性 xi 0,i 1, 2, ,5.
从分析中可以看出, 此问题的关键是确定每种方案下 的余料数.
设 xi i 1, 2, ,5 表示第i 种方案中使用的原料钢
筋数, 则余料数为
z 0.1x2 0.2x3 0.3x4 0.8x5.
而相应的限制条件为
故原问题的数学关系式为
x
x 该问题即是从 的每一个顶点, w12

chap4-数学规划模型-思考题


问题：某公司有6个建筑工地要开工，工地的位置和水泥日用量用平面 坐标(a, b)（长度单位：km）和d（吨）表示，由表2给出。目前有两个 临时料场分别位于A(5, 1)和B(2, 7)，日储量各有20吨。假设从料场到工 地之间均有直线道路相连，试制定每天的供应计划，即从A，B两料场分 别向各工地运送多少吨水泥，使总的吨公里数最小。为了进一步减少吨 公里数，打算舍弃两个临时料场，改建两个新的，日储量仍各为20吨， 问应建在何处？节省的吨公里数有多大？
问如何确定投资策略使第五年末本息总额最大。
问题（2013年试题）：某游泳队拟选甲、乙、丙、丁四名游泳队员组
成一个4×100m混合泳接力队，参加今年的锦标赛。他们的100m自 由泳、蛙泳、蝶泳、仰泳的成绩如下表所示。问甲、乙、丙、丁四
名队员各自游什么姿势，才最有可能取得最好成绩。请建立数学模
型，并写出用LINGO软件的求解程序. 表：四名队员的百米成绩 成绩 甲 自由泳/s 56 蛙泳/s 74 蝶泳/s 61 仰泳/s 63
Hale Waihona Puke 问题（2013年试题）：设某种规格的钢筋原材料每根长10m，
求解如下优化问题： 1）现需要该种钢筋长度为4m的28根，长度为1.8m的33根，问
至少需要购买原材料几根？如何切割？
2）如需要该种钢筋长度为4m的28根，长度为1.8m的33根，长 度为3.6m的79根，长度为2.4m的46根，问至少需要购买原材 料几根？如何切割（切割模式不超过3种）？ 请建立数学模型，并写出用LINGO软件的求解程序。
乙
丙 丁
63
57 55
69
77 76
65
63 62
71
67 62
提示: 选择队员i参加泳姿j 的比赛，记 xij=1, 否则记 xij=0

数学模型之数学规划模型


多目标规划模型的应用案例
资源分配问题
投资组合优化
在有限的资源条件下，如何分配资源 以达到多个目标的优化，如成本、质 量、时间等。
在风险和收益的权衡下，如何选择投 资组合以达到多个目标的优化，如回 报率、风险分散等。
生产计划问题
在满足市场需求和生产能力限制的条件 下，如何制定生产计划以达到多个目标 的优化，如利润、成本、交货期等。
整数规划模型的应用案例
总结词
整数规划模型在生产计划、资源分配、物流优化等领域有广泛应用。
详细描述
在生产计划领域，整数规划模型可以用于安排生产计划、优化资源配置和提高生产效率。在资源分配 领域，整数规划模型可以用于解决资源分配问题，例如人员分配、物资调度等。在物流优化领域，整 数规划模型可以用于车辆路径规划、货物配载等问题，提高物流效率和降低运输成本。
数学规划模型可以分为线性规划、非线性规划、整数规划、动态 规划等类型，根据问题的特性选择合适的数学规划模型进行建模 。
数学规划模型的应用领域
01
02
03
04
生产计划
数学规划模型可以用于制定生 产计划，优化资源配置，提高 生产效率。
物流运输
通过建立数学规划模型，可以 优化物流运输路线和运输方式 ，降低运输成本。
80%
金融投资组合优化
通过建立线性规划模型，可以优 化投资组合，实现风险和收益的 平衡。
03
非线性规划模型
非线性规划模型的定义
非线性规划模型是一种数学优化模型 ，用于解决目标函数和约束条件均为 非线性函数的问题。
它通过寻找一组变量的最优解，使得 目标函数达到最小或最大值，同时满 足一系列约束条件。
• 整数规划与混合整数规划的拓展：整数规划模型解决了离散变量的优化问题，混合整数规划则进一步扩展了整数规划的适 用范围。

规划模型 《数学模型》(第三版)电子课件姜启源谢金星叶 俊编制.


每天 50桶牛奶 时间480小时
获利24元/公斤 获利16元/公斤 至多加工100公斤A1
决策变量 目标函数
约束条件
x1桶牛奶生产A1 x2桶牛奶生产A2
获利 24×3x1
获利 16×4 x2
每天获利 Max z 72 x1 64 x2
原料供应
x1 x2 50
线性 规划
劳动时间
12 x1 8x2 480
每天： 50桶牛奶 时间480小时 至多加工100公斤A1
制订生产计划，使每天获利最大
• 35元可买到1桶牛奶，买吗？若买，每天最多买多少? • 可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元? • A1的获利增加到 30元/公斤，应否改变生产计划？
1桶 牛奶 或
12小时 8小时
3公斤A1 4公斤A2
NO. ITERATIONS= 2
2.000000 0.000000
时间增加1单位, 利润增长2 加工能力增长不影响利润
• 35元可买到1桶牛奶，要买吗？ 35 <48, 应该买！
• 聘用临时工人付出的工资最多每小时几元？ 2元！
DO RANGE(SENSITIVITY) ANALYSIS? Yes 最优解不变时目标函
模型
加工能力 非负约束
3x1 100
x1, x2 0
(LP)
模型分析与假设
比 xi对目标函数的
例 “贡献”与xi取值
性 成 xi对正约比束条件的
“贡献”与xi取值
可 加
成 xi对正目比标函数的 “贡献”与xj取值
性 无 xi对关约束条件的“贡献”与xj来自值连续性无关xi取值连续
线性规划模型
DO RANGE (SENSITIVITY) ANALYSIS? No

数学建模实验答案__数学规划模型二.

实验05 数学规划模型㈡（2学时）（第4章数学规划模型）1.（求解）汽车厂生产计划（LP，整数规划IP）p101~102(1) (LP)在模型窗口中输入以下线性规划模型max z = 2x1 + 3x2 + 4x3s.t. 1.5x1 + 3x2 + 5x3≤ 600280x1 + 250x2 + 400x3≤ 60000x1, x2, x3≥ 0并求解模型。

★(1) 给出输入模型和求解结果（见[101]）：(2) (IP)在模型窗口中输入以下整数规划模型max z = 2x1 + 3x2 + 4x3s.t. 1.5x1 + 3x2 + 5x3≤ 600280x1 + 250x2 + 400x3≤ 60000x1, x2, x3均为非负整数并求解模型。

LINGO函数@gin见提示。

★(2) 给出输入模型和求解结果（见[102]模型、结果）：2.（求解）原油采购与加工（非线性规划NLP ，LP 且IP ）p104~107模型：已知 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+≤≤+≤≤=)15001000(63000)1000500(81000)5000(10)(x x x x x xx c注：当500 ≤ x ≤ 1000时，c (x ) = 10 × 500 + 8( x – 500 ) = (10 – 8 ) × 500 + 8x112112221112212211112112122211122122max 4.8() 5.6()()500100015000.50.6,,,,0z x x x x c x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++-+≤++≤≤≥+≥+≥2.1解法1（NLP ）p104~106将模型变换为以下的非线性规划模型：1121122212311122122111121121222123122312311122122max4.8()5.6()(1086)50010000.50.6(500)0(500)00,,500,,,,0z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++-+++≤++≤≥+≥+=++-=-=≤≤≥LINGO 软件设置：局部最优解，全局最优解，见提示。

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第四章 数学规划模型【教学目的】：深刻理解线性规划，非线性规划，动态规划方法建模的基本特点，并能熟练建立一些实际问题的数学规划模型；熟练掌握用数学软件（Matlab ，Lindo ，Lingo 等）求解优化问题的方法。

【教学重点难点】：教学重点：线性规划和非线性规划的基本概念和算法，解决数学规划问题的一般思路和方法，线性规划模型、整数规划模型、非线性规划模型的构建及其Matlab 与Lingo 实现。

教学难点：区分线性规划模型和非线性模型适用的实际问题，以及何时采用线性模型，何时采用非线性模型，线性模型与非线性模型的转化。

【课时安排】：10学时【教学方法】：采用多媒体教学手段，配合实例教学法，通过对典型例题的讲解启发学生思维，并给与学生适当的课后思考讨论的时间，加深知识掌握的程度。

安排一定课时的上机操作。

【教学内容】：在众多实际问题中，常常要求决策（确定）一些可控制量的值，使得相关的量（目标）达到最佳（最大或最小）。

这些问题就叫优化问题，通常需要建立规划模型进行求解。

称这些可控制量为决策变量，相关的目标量为目标函数；一般情况下，决策变量x 的取值是受限制的，不妨记为x ∈Ω，Ω称为可行域，优化问题的数学模型可表示为Max(或Min)f(x), x ∈Ω一般情况下，x 是一个多元变量，f(x)为多元函数，可行域比较复杂，一般可用一组不等式组来表示，这样规划问题的一般形式为()xMin f x .()0,1,2,,i st g x i m≤=虽然，该问题属于多元函数极值问题，但变量个数和约束条件比较多，一般不能用微分法进行解决，而通过规划方法来求解；这里讨论的不是规划问题的具体算法，主要是讨论如何将一个实际问题建立优化模型，并利用优化软件包进行求解。

根据目标函数和约束函数是否为线性，将规划模型分为线性规划和非线性规划。

4.1线性规划线性规划(LP)研究的实际问题多种多样的，它在工农业生产、经济管理、优化设计与控制等领域都有广泛应用。

如资源分配问题、生产计划问题、物资运输问题、合理下料问题、库存问题、劳动力安排问题、最优设计问题等等。

线性规划模型的求解方法目前仍以单纯形法为主要方法，该方法于1947年由美国数学家丹茨格（G .B.Dantzig ）提出，经过60多年的发展完善，已经形成比较成熟的算法，同时配合计算机技术的广泛应用使得该方法得到空前的普及应用。

目前，大多数数学软件都可以求解一般线性规划模型，这一节主要采用Matlab 和Lindo 软件。

4.1.1奶制品的生产与销售 例1 加工奶制品的生产计划【问题描述】一奶制品加工厂用牛奶生产1A ，2A 两种奶制品，1桶牛奶可以在设备甲上用12小时加工成3公斤1A ，或者在设备乙上用8小时加工成4公斤2A ．根据市场需求，生产的1A ，2A 全部能售出，且每公斤1A 获利24元，每公斤2A 获利16元．现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间为480小时，并且设备甲每天至多能加工100公斤1A ，设备乙的加工能力没有限制．试为该厂制订一个生产计划，使每天获利最大，并进一步讨论以下3个附加问题：1)若用35元可以买到1桶牛奶，应否作这项投资？若投资，每天最多购买多少桶牛奶？ 2)若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小时几元? 3)由于市场需求变化，每公斤1A 的获利增加到30元，应否改变生产计划?【问题分析】这个优化问题的目标是使每天的获利最大，要作的决策是生产计划，即每天用多少桶牛奶生产1A ，用多少桶牛奶生产2A (也可以是每天生产多少公斤1A ，多少公斤2A )，决策受到3个条件的限制：原料(牛奶)供应、劳动时间、设备甲的加工能力。

【模型假设】1) 1A ，2A 两种奶制品每公斤的获利是与它们各自产量无关的常数，每桶牛奶加工出1A ，2A 的数量和所需的时间是与它们各自的产量无关的常数；2) 1A ，2A 每公斤的获利是与它们相互间产量无关的常数，每桶牛奶加工出1A ，2A 的数量和所需的时间是与它们相互间产量无关的常数；3)加工1A ，2A 的牛奶的桶数可以是任意实数．【模型建立】设每天用1x 桶牛奶生产1A ，用2x 桶牛奶生产2A ． 设每天获利为z 元．1x 桶牛奶可生产31x 公斤1A ，获利 24⨯31x ，2x 桶牛奶可生产42x 公斤2A ，获利16⨯42x ，故目标函数为：z=721x +642x ．由题目可以得到如下约束条件：原料供应： 生产1A ，2A 的原料(牛奶)总量不得超过每天的供应，即1x +2x ≤50桶； 劳动时间： 生产1A ，2A 的总加工时间不得超过每天正式工人总的劳动时间，即121x +82x ≤480小时；设备能力： 1A 的产量不得超过设备甲每天的加工能力，即31x ≤100； 非负约束： 1x +2x 均不能为负值，即1x ≥0，2x ≥0． 综上可得该问题的数学模型为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤≤+≤++0x 0,x 1003x 4808x 12x 50x x s.t.64x 72x max 211212121 由于目标函数和约束条件对于决策变量而言都是线性的，所以称为线性规划(LinearProgramming ，简记作LP)。

【模型求解】(图解法)：这个线性规划模型的决策变量为2维，用图解法既简单，又便于直观地把握线性规划的基本性质．将约束条件中的不等号改为等号，可知它们是1Ox ，2x 平面上的5条直线，依次记为1L ～5L ，如图1．其中4L ，5L 分别是工2x 轴和1x 轴，并且不难判断，(2)～(5)式界定的可行域是5条直线上的线段所围成的5边形OABCD ．容易算出，5个顶点的坐标为：O(0，0)，A(0，50)，B(20，30)，C(100/3，10)，D(100/3，0)．目标函数中的z 取不同数值时，在图1中表示一组平行直线(虚线)，称等值线族．如z=0是过O 点的直线，z=2400是过D 点的直线，z=3040是过C 点的直线，…．可以看出，当这族平行线向右上方移动到过B 点时，z=3360，达到最大值，所1,5[B 点的坐标(20，30)即为最优解：1x =20，2x =30．图1 图解法示意图我们直观地看到，由于目标函数和约束条件都是线性函数，在2维情形，可行域为直线段围成的凸多边形，目标函数的等值线为直线，于是最优解一定在凸多边形的某个顶点取得．推广到n 维情形，可以猜想，最优解会在约束条件所界定的一个凸多面体 (可行域)的某个顶点取得．(软件求解)在LINDO 软件中输入如下程序：max 72x1+64x2 st2）x1+x2<503）12x1+8x2<480 4）3x1<100 end运行后结果显示：OBJECTIVE FUNCTION V ALUE 1) 3360.000VARIABLE V ALUE REDUCED COST X1 20.000000 0.000000 X2 30.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES2) 0.000000 48.000000 3) 0.000000 2.000000 4) 40.000000 0.000000 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGESV ARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLECOEF INCREASE DECREASE X1 72.000000 24.000000 8.000000 X2 64.000000 8.000000 16.000000 RIGHTHAND SIDE RANGESROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLERHS INCREASE DECREASE 2 50.000000 10.000000 6.666667 3 480.000000 53.333332 80.000000 4 100.000000 INFINITY 40.000000 即：20桶牛奶生产1A , 30桶生产2A ，最大利润为3360元。

结果分析：从上述输出结果中可以看出：将3个约束条件有段不放看作三种“资源”：原料、劳动时间、甲类设备的加工能力。

输出低7~10行“SLACK OR SURPLUS”给吃这三种资源在最优解下是否剩余：原料无剩余，时间无剩余，加工能力剩余40；“资源”剩余为零的约束为紧约束（有效约束）。

目标函数可以看做 “效益”。

最优解下“资源”增加1单位时“效益”的增量：原料增加1单位, 利润增长48 ；时间增加1单位, 利润增长2；加工能力增长不影响利润。

效益的增量可以看作“资源”的潜在价值，经济学上称为影子价格：即1桶牛奶的影子价格为48元；1小时劳动的影子价格为2元；甲类设备的影子价格为0。

对于附加问题1）：35元可买到1桶牛奶，要买吗？ 由于35 <48, 应该买！对于附加问题2）：聘用临时工人付出的工资最多每小时几元？ 2元！从上述输出结果的第13-17行可以得出最优解不变时目标函数系数允许变化范围：1x 系数范围(64,96)，2x 系数范围(48,72)，1A 获利增加到 30元/千克，应否改变生产计划 1x 系数由24×3=72增加为30×3=90，在允许范围内不变！影子价格有意义时约束右端的允许变化范围：原料最多增加10，时间最多增加53。

对于附加问题3）：35元可买到1桶牛奶，每天最多买多少？最多买10桶!例2 奶制品的生产销售计划【问题描述】例1给出的1A ，2A 两种奶制品的生产条件、利润，及工厂的“资源”限制全都不变．为增加工厂的获利，开发了奶制品的深加工技术：用2小时和3元加工费，可将1公斤1A 加工成0．8公斤高级奶制品1B ，也可将1公斤2A 加工成0.75公斤高级奶制品2B ；每公斤1B 能获利44元，每公斤2B 能获利32元．试为该厂制订一个生产销售计划，使每天的净利润最大，并讨论以下问题：1)若投资30元可以增加供应1桶牛奶，投资3元可以增加1小时劳动时间，应否作这些投资?若每天投资150元，可赚回多少?2)每公斤高级奶制品1B ，2B 的获利经常有10％的波动，对制订的生产销售计划有无影响?若每公斤1B 的获利下降10％，计划应该变化吗?【问题分析】要求制订生产销售计划，决策变量可以像例l 那样，取作每天用多少桶牛奶生产1A ，2A ，再添上用多少公斤1A 加工1B ，用多少公斤2A 加工2B ，但是由于问题要分析1B ，2B 的获利对生产销售计划的影响，所以决策变量取作1A ，2A ，1B ，2B 每天的销售量更方便．目标函数是工厂每天的净利润——1A ，2A ，1B ，2B 的获利之和扣除深加工费用．约束条件基本不变，只是要添上1A ，2A 深加工时间的约束．在与例1类似的假定下用线性规划模型解决这个问题．【模型建立】设每天销售1x 公斤1A ，2x 公斤2A ，3x 公斤1B ，4x 公斤2B ，用5x 公斤1A 加工1B ，6x 公斤2A 加工2B (增设5x ，6x 可使下面的模型简单)． 设每天净利润为z ，容易写出目标函数为：6543213332441624x x x x x x z --+++=，由题设可以得到如下约束条件：原料供应 ：1A 每天生产1x +5x 公斤，用牛奶(1x +5x )／3桶， 2A 每天生产2x +6x 公斤，用牛奶(2x +6x )／4桶，二者之和不得超过每天的供应量50桶；劳动时间 ：每天生产1A ，2A 的时间分别为4(1x +5x )和2(2x +6x )，加工1B ，2B 的时间分别为25x 和26x ，二者之和不得超过总的劳动时间480小时； 设备能力 ：1A 的产量1x +5x 不得超过设备甲每天的加工能力100公斤；非负约束 ：1x ，2x ，…，6x 均为非负． 附加约束 ：l 公斤1A 加工成0．8公斤1B ，故3x = 0．85x ，类似地4x =0．756x ．综上可得该问题的数学模型为：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥==≤+≤+++++≤++++++0,,,,x ,x 0.75x x 0.8x x 100x x 480x 2x 2)x 2(x )x 4(x 504x x 3x x s.t.3x -3x -32x 4416x 24x max 6543216453515262516251654321x x x x x 这仍然是一个线性规划模型．求解过程与上面软件求解部分类似。