数学规划模型

线性规划的数学模型引言线性规划（Linear Programming, LP）是数学规划的一种方法，用于解决一类特殊的优化问题。

线性规划的数学模型可以表示为一个线性的目标函数和一系列线性约束条件。

本文将介绍线性规划的数学模型及其应用。

数学模型线性规划的数学模型可以用以下形式表示：最大化：$$ \\max_{x_1,x_2,...,x_n} Z=c_1x_1+c_2x_2+...+c_nx_n $$约束条件：$$ \\begin{align*} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n&\\leq b_1 \\\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n &\\leq b_2 \\\\ &\\vdots \\\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+...+a_{mn}x_n&\\leq b_m \\\\ x_1,x_2,...,x_n &\\geq 0 \\end{align*} $$其中，Z为目标函数的值，Z1,Z2,...,Z Z为目标函数的系数，Z1,Z2,...,Z Z为决策变量，Z ZZ为约束条件的系数，Z1,Z2,...,Z Z为约束条件的右侧常数。

线性规划的应用线性规划在实际问题中有广泛的应用，其应用领域包括但不限于以下几个方面：生产计划线性规划在生产计划中的应用是最为常见的。

通过建立适当的数学模型，可以最大化生产线的产能，同时满足客户需求和资源限制。

例如，一个工厂需要决定每个月生产的产品数量，以最大化利润。

这个问题可以通过线性规划来解决。

运输问题线性规划在运输问题中的应用也非常广泛。

运输问题涉及到将特定产品从供应地点运送到需求地点，以满足需求并尽量降低运输成本。

线性规划可以用来决定每个供应地点到每个需求地点的运输量，以最小化总运输成本。

资源分配在资源有限的情况下，线性规划可以用于优化资源的分配。

常见数学建模模型一、线性规划模型线性规划是一种常用的数学建模方法，它通过建立线性函数和约束条件，寻找最优解。

线性规划可以应用于各种实际问题，如生产调度、资源分配、运输问题等。

通过确定决策变量、目标函数和约束条件，可以建立数学模型，并利用线性规划算法求解最优解。

二、整数规划模型整数规划是线性规划的一种扩展形式，它要求决策变量为整数。

整数规划模型常用于一些离散决策问题，如旅行商问题、装箱问题等。

通过引入整数变量和相应的约束条件，可以将问题转化为整数规划模型，并利用整数规划算法求解最优解。

三、非线性规划模型非线性规划是一类目标函数或约束条件中存在非线性项的优化问题。

非线性规划模型常见于工程设计、经济优化等领域。

通过建立非线性函数和约束条件，可以将问题转化为非线性规划模型，并利用非线性规划算法求解最优解。

四、动态规划模型动态规划是一种通过将问题分解为子问题并以递归方式求解的数学建模方法。

动态规划常用于求解具有最优子结构性质的问题，如背包问题、最短路径问题等。

通过定义状态变量、状态转移方程和边界条件，可以建立动态规划模型，并利用动态规划算法求解最优解。

五、排队论模型排队论是一种研究队列系统的数学理论，可以用于描述和优化各种排队系统，如交通流、生产线、客户服务等。

排队论模型通常包括到达过程、服务过程、队列长度等要素，并通过概率和统计方法分析系统性能，如平均等待时间、系统利用率等。

六、图论模型图论是一种研究图结构和图算法的数学理论，可以用于描述和优化各种实际问题，如网络优化、路径规划、社交网络等。

图论模型通过定义节点、边和权重，以及相应的约束条件，可以建立图论模型，并利用图算法求解最优解。

七、随机模型随机模型是一种考虑不确定性因素的数学建模方法，常用于风险评估、金融建模等领域。

随机模型通过引入随机变量和概率分布，描述不确定性因素，并利用概率和统计方法分析系统行为和性能。

八、模糊模型模糊模型是一种用于处理模糊信息的数学建模方法，常用于模糊推理、模糊控制等领域。

数学规划模型
数学规划模型是一种数学建模方法，它使用数学方法来解决决策问题。

数学规划模型可以用来优化资源的利用，最大化或最小化某个目标函数。

首先，数学规划模型需要明确目标函数和约束条件。

目标函数是我们希望优化的指标，约束条件则是限制我们优化的条件。

例如，如果我们要找到一种最佳的生产计划，那么目标函数可以是产量的最大化，约束条件可以是原料的限制、生产设备的限制等。

接下来，数学规划模型需要定义决策变量。

决策变量是我们可以调整的变量，通过调整决策变量的值，我们可以达到最优解。

例如，对于生产计划问题，决策变量可以是每种产品的生产数量。

然后，将目标函数和约束条件用数学公式表示出来。

例如，如果我们的目标是最大化产量，那么目标函数可以表示为一个关于决策变量的函数。

同时，约束条件也可以用一组不等式来表示。

接下来，我们需要使用数学方法来求解这个数学规划模型。

常用的数学方法包括线性规划、整数规划、非线性规划等。

具体的求解方法取决于模型的特点和目标函数的形式。

最后，我们需要把数学模型的结果解释给决策者，帮助他们做出更明智的决策。

这个过程通常包括分析和解释模型的结果，
以及提供关于如何操作和调整决策变量的建议。

总结来说，数学规划模型是一种解决决策问题的数学方法。

通过明确目标函数和约束条件，定义决策变量，使用数学方法求解，并将结果解释给决策者，我们可以通过数学规划模型得到最优的决策方案。

这种方法在供应链管理、生产计划、资源分配等领域有着广泛的应用。

四类基本模型1 优化模型1.1 数学规划模型线性规划、整数线性规划、非线性规划、多目标规划、动态规划。

1.2 微分方程组模型阻滞增长模型、SARS 传播模型。

1.3 图论与网络优化问题最短路径问题、网络最大流问题、最小费用最大流问题、最小生成树问题(MST)、旅行商问题(TSP)、图的着色问题。

1.4 概率模型决策模型、随机存储模型、随机人口模型、报童问题、Markov 链模型。

1.5 组合优化经典问题● 多维背包问题(MKP)背包问题：n 个物品，对物品i ，体积为i w ，背包容量为W 。

如何将尽可能多的物品装入背包。

多维背包问题：n 个物品，对物品i ，价值为i p ，体积为i w ，背包容量为W 。

如何选取物品装入背包，是背包中物品的总价值最大。

多维背包问题在实际中的应用有：资源分配、货物装载和存储分配等问题。

该问题属于NP 难问题。

● 二维指派问题(QAP)工作指派问题：n 个工作可以由n 个工人分别完成。

工人i 完成工作j 的时间为ij d 。

如何安排使总工作时间最小。

二维指派问题（常以机器布局问题为例）：n 台机器要布置在n 个地方，机器i 与k 之间的物流量为ik f ，位置j 与l 之间的距离为jl d ，如何布置使费用最小。

二维指派问题在实际中的应用有：校园建筑物的布局、医院科室的安排、成组技术中加工中心的组成问题等。

● 旅行商问题(TSP)旅行商问题：有n 个城市，城市i 与j 之间的距离为ij d ，找一条经过n 个城市的巡回（每个城市经过且只经过一次，最后回到出发点），使得总路程最小。

● 车辆路径问题(VRP)车辆路径问题（也称车辆计划）：已知n 个客户的位置坐标和货物需求，在可供使用车辆数量及运载能力条件的约束下，每辆车都从起点出发，完成若干客户点的运送任务后再回到起点，要求以最少的车辆数、最小的车辆总行程完成货物的派送任务。

TSP 问题是VRP 问题的特例。

● 车间作业调度问题(JSP)车间调度问题：存在j 个工作和m 台机器，每个工作由一系列操作组成，操作的执行次序遵循严格的串行顺序，在特定的时间每个操作需要一台特定的机器完成，每台机器在同一时刻不能同时完成不同的工作，同一时刻同一工作的各个操作不能并发执行。

数学规划模型——整数规划问题title: 数学规划模型——整数规划问题date: 2020-02-27 00:37:35categories: 数学建模tags: [MATLAB, 数学规划模型]整数规划整数规划：线性整数规划 - Matlab可进⾏求解（线性的意思在线性规划的基础上 , 加⼊决策变量取整数的条件)⾮线性整数规划→⽆特定算法, 只能⽤近似算法 , 如蒙特卡罗模拟、智能算法 ( 后续会讲到)特例： 特殊的整数规划 , Matlab中也只能求解线性01规划, 对于⾮线性 0-1规划也只能近似求解 。

(数模⽐赛中常出现)Matlab整数规划求解线性整数规划求解[x ,fval] = linprog [ c, A, b, Aeq, beq, lb, ub, X0] -> 线性规划的函数[x ,fval] = intlinprog [ c, intconA, b, Aeq, beq, lb, ub]→ 线性整数规划的求解注 :intlinpng 不能指定初始值 ;加⼊了 inton 参数可以指定哪些决策变量是整数。

例如决策变量有三个 : x1,x2,x3 ; 若x1和x3,是整数 , 则 intcon= [1 , 3] 。

线性 0-1规划求解仍然使⽤intlinprog 函数 , 只不过在 lb和ub上作⽂章 。

例如决策变量有三个 : x1,x2,x3 ; 若x1和x3是0-1变量，x2不限制, 则 intcon= [1 , 3] ，lb=[0 -inf 0]',ub=[1,+inf,1]。

⼩例题%% 线性整数规划问题%% 例1c=[-20,-10]';intcon=[1,2]; % x1和x2限定为整数A=[5,4;2,5];b=[24;13];lb=zeros(2,1);[x,fval]=intlinprog(c,intcon,A,b,[],[],lb)fval = -fval%% 例2c=[18,23,5]';intcon=3; % x3限定为整数A=[107,500,0;72,121,65;-107,-500,0;-72,-121,-65];b=[50000;2250;-500;-2000];lb=zeros(3,1);[x,fval]=intlinprog(c,intcon,A,b,[],[],lb)%% 例3c=[-3;-2;-1]; intcon=3; % x3限定为整数A=ones(1,3); b=7;Aeq=[4 2 1]; beq=12;lb=zeros(3,1); ub=[+inf;+inf;1]; %x(3)为0-1变量[x,fval]=intlinprog(c,intcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub)整数规划的典型例题背包问题%% 背包问题（货车运送货物的问题）c = -[540 200 180 350 60 150 280 450 320 120]; % ⽬标函数的系数矩阵(最⼤化问题记得加负号)intcon=[1:10]; % 整数变量的位置(⼀共10个决策变量，均为0-1整数变量)A = [6 3 4 5 1 2 3 5 4 2]; b = 30; % 线性不等式约束的系数矩阵和常数项向量（物品的重量不能超过30）Aeq = []; beq =[]; % 不存在线性等式约束lb = zeros(10,1); % 约束变量的范围下限ub = ones(10,1); % 约束变量的范围上限%最后调⽤intlinprog()函数[x,fval]=intlinprog(c,intcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub)fval = -fval指派问题%% 指派问题（选择队员去进⾏游泳接⼒⽐赛）clear;clcc = [66.8 75.6 87 58.6 57.2 66 66.4 53 78 67.8 84.6 59.4 70 74.2 69.6 57.2 67.4 71 83.8 62.4]'; % ⽬标函数的系数矩阵（先列后⾏的写法）intcon = [1:20]; % 整数变量的位置(⼀共20个决策变量，均为0-1整数变量)% 线性不等式约束的系数矩阵和常数项向量（每个⼈只能⼊选四种泳姿之⼀，⼀共五个约束）A = [1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1];% A = zeros(5,20);% for i = 1:5% A(i, (4*i-3): 4*i) = 1;% endb = [1;1;1;1;1];% 线性等式约束的系数矩阵和常数项向量（每种泳姿有且仅有⼀⼈参加，⼀共四个约束）Aeq = [1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0;0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0;0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0;0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1];% Aeq = [eye(4),eye(4),eye(4),eye(4),eye(4)]; % 或者写成 repmat(eye(4),1,5)% Aeq=zeros(4,20);% for i = 1:4% for j =1:20% if mod(j,4)==i% Aeq(i,j)=1;% end% if i==4% if mod(j,4)==0% Aeq(i,j)=1;% end% end% end% endbeq = [1;1;1;1];lb = zeros(20,1); % 约束变量的范围下限ub = ones(20,1); % 约束变量的范围上限%最后调⽤intlinprog()函数[x,fval] = intlinprog(c,intcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub)% reshape(x,4,5)'% 0 0 0 1 甲⾃由泳% 1 0 0 0 ⼄蝶泳% 0 1 0 0 丙仰泳% 0 0 1 0 丁蛙泳% 0 0 0 0 戊不参加钢管切割问题%% 钢管切割问题%% (1)枚举法找出同⼀个原材料上所有的切割⽅法for i = 0: 2 % 2.9m长的圆钢的数量for j = 0: 3 % 2.1m长的圆钢的数量for k = 0:6 % 1m长的圆钢的数量if 2.9*i+2.1*j+1*k >= 6 & 2.9*i+2.1*j+1*k <= 6.9disp([i, j, k])endendendend%% (2) 线性整数规划问题的求解c = ones(7,1); % ⽬标函数的系数矩阵intcon=[1:7]; % 整数变量的位置(⼀共7个决策变量，均为整数变量)A = -[1 2 0 0 0 0 1;0 0 3 2 1 0 1;4 1 0 2 4 6 1]; % 线性不等式约束的系数矩阵b = -[100 100 100]'; % 线性不等式约束的常数项向量lb = zeros(7,1); % 约束变量的范围下限[x,fval]=intlinprog(c,intcon,A,b,[],[],lb)。

优化问题中的数学规划模型优化问题中的数学规划模型1．优化问题及其一般模型优化问题是人们在工程技术、经济管理和科学研究等领域中最常遇到的问题之一。

例如：设计师要在满足强度要求等条件下选择材料的尺寸，使结构总重量最轻；公司经理要根据生产成本和市场需求确定产品价格，使所获利润最高；调度人员要在满足物质需求和装载条件下安排从各供应点到需求点的运量和路线，使运输总费用最低；投资者要选择一些股票、债券下注，使收益最大，而风险最小等等。

一般地，优化模型可以表述如下：minz?f(x)s.t.gi(x)?0，i=1,2,?,m (1.1)这是一个多元函数的条件极值问题，但是许多实际问题归结出的这种优化模型，其决策变量个数n和约束条件个数m一般较大，并且最优解往往在可行域的边界上取得，这样就不能简单地用微分法求解，数学规划就是解决这类问题的有效方法。

2．数学规划模型分类“数学规划是运筹学和管理科学中应用及其广泛的分支。

在许多情况下，应用数学规划取得的如此成功，以致它的用途已超出了运筹学的范畴，成为人们日常的规划工具。

”[H.P.Williams.数学规划模型的建立]。

数学规划包括线性规划、非线性规划、整数规划、几何规划、多目标规划等，用数学规划方法解决实际问题，就要将实际问题经过抽象、简化、假设，确定变量与参数，建立适当层次上的数学模型，并求解。

3．建立数学规划模型的步骤当你打算用数学建模的方法来处理一个优化问题的时候，首先要确定寻求的决策是什么，优化的目标是什么，决策受到那些条件的限制（如果有限制的话），然后用数学工具（变量、常数、函数等）表示它们，最后用合适的方法求解它们并对结果作出一些定性、定量的分析和必要的检验。

Step 1. 寻求决策，即回答什么？必须清楚，无歧义。

阅读完题目的第一步不是寻找答案或者解法，而是…… Step 2. 确定决策变量第一来源：Step 1的结果，用变量固定需要回答的决策第二来源：由决策导出的变量（具有派生结构）其它来源：辅助变量（联合完成更清楚的回答） Step 3. 确定优化目标用决策变量表示的利润、成本等。

整数规划模型整数规划模型是一种数学模型，用于解决优化问题。

在整数规划中，决策变量必须是整数。

这种模型广泛应用于工程、科学、运筹学和管理等领域。

整数规划模型的一般形式如下：\[\text{maximize} \quad c^Tx\]\[\text{subject to} \quad Ax \leq b\]\[x_j \text{整数} , j = 1,2,...,n\]其中，c是一个n维向量，表示目标函数的系数；x是n维向量，表示决策变量；A是m×n维矩阵，表示约束条件的系数矩阵；b是一个m维向量，表示约束条件的上界。

整数规划模型的目标是找到一个满足约束条件的决策变量向量x，使得目标函数值最大或最小。

由于决策变量必须是整数，所以整数规划模型要比普通的线性规划模型更复杂。

整数规划模型可以应用于许多实际问题。

例如，一个公司要决定生产哪种产品以最大化利润，但每种产品有一定的生产限制，需要整数规划模型来确定生产量；一个配送中心要决定如何分配物流资源以最小化成本，但每个分配决策都必须是整数，需要整数规划模型来求解。

求解整数规划模型可以使用多种算法。

例如，分支定界算法通过将问题分解为一个个子问题，并通过剪枝策略来减少搜索空间，最终找到最优解；约简与延迟约束算法通过线性松弛将整数规划转化为一个松弛线性规划问题，并通过迭代加入约束条件来逼近整数解。

整数规划模型的求解过程需要注意一些问题。

首先，由于整数规划是一个NP难问题，没有通用的多项式时间算法可以解决所有情况。

其次，整数规划模型可能有多个最优解，求解算法可能只能找到其中一个最优解。

最后，整数规划模型的求解过程可能需要大量的计算资源和时间。

总之，整数规划模型是一种重要的数学模型，可以用于解决各种实际优化问题。

但由于其复杂性和求解困难，需要合理选择算法和求解策略来获得满意的结果。

第三章数学规划模型第三章数学规划模型数学规划论起始20世纪30年代末，50年代与60年代发展成为⼀个完整的分⽀并受到数学界和社会各界的重视。

七⼋⼗年代是数学规划飞速发展时期，⽆论是从理论上还是算法⽅⾯都得到了进⼀步完善。

时⾄今⽇数学规划仍然是运筹学领域中热点研究问题。

从国内外的数学建模竞赛的试题中看，有近1/4的问题可⽤数学规划进⾏求解。

数学规划模型的⼀般表达式：),,(..),,(min(max)≤βαβαx g t s x ff 为⽬标函数，g 为约束函数，x 为可控变量，α为已知参数，β为随机参数。

本章主要介绍线性规划、整数规划、⾮线性规划的基本概念与基本原理、⽆约束问题的最优化⽅法、约束问题的最优化⽅法、动态规划。

3.1线性规划线性规划模型是运筹学的重要分⽀，是20世纪三四⼗年代初兴起的⼀门学科。

1947年美国数学家丹齐格G.B.Dantzig 及其同事提出的求解线性规划的单纯形法及有关理论具有划时代的意义。

他们的⼯作为线性规划这⼀学科的建⽴奠定了理论基础。

随着1979年前苏联数学家哈奇扬的椭球算法和1984年美籍印度数学家卡玛卡尔H.Karmarkar 算法的相继问世，线性规划的理论更加完备成熟，实⽤领域更加宽⼴。

线性规划研究的实际问题多种多样，如⽣产计划问题、物资运输问题、合理下料问题、库存问题、劳动⼒问题、最优设计问题等。

就模型⽽⾔，线形规划模型类似于⾼等数学中的条件极值问题，只是其⽬标函数和约束条件都限定为线性函数。

线性规划模型的求解⽅法⽬前仍以单纯形法为主要⽅法。

本节介绍的主要内容有：线性规划模型的建⽴以及求解，线性规划的matlab 解法，线性规划问题的建模实例。

3.1.1 线性规划模型的建⽴以及求解⼀、线性规划模型的建⽴例1、某机床⼚⽣产甲、⼄两种机床，每台销售后的利润分别为4000元与3000元。

⽣产甲机床需⽤B A 、机器加⼯，加⼯时间分别为每台2⼩时和1⼩时；⽣产⼄机床需⽤C B A 、、三种机器加⼯，加⼯时间为每台各⼀⼩时。

线性规划模型线性规划（Linear Programming，LP）是一种用于求解线性优化问题的数学建模方法。

线性规划模型是在一组线性约束条件下，通过线性目标函数来寻找最优解的数学模型。

其基本形式如下：最大化或最小化：Z = c₁x₁ + c₂x₂ + … + cₙxₙ（目标函数）约束条件为：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a₂ₙxₙ ≤ b₂…aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + … + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, …, xₙ ≥ 0其中，c₁, c₂, …, cₙ为目标函数中各项的系数；a₁₁,a₁₂, …, aₙₙ为约束条件中各项的系数；b₁, b₂, …, bₙ为约束条件中的常数项；x₁, x₂, …, xₙ为决策变量。

线性规划模型的求解过程分为以下几个步骤：1. 建立数学模型：根据问题的描述，确定决策变量，确定最优化目标，建立目标函数和约束条件。

2. 确定可行解区域：根据约束条件，画出约束条件所确定的可行解区域。

3. 求解最优解：在可行解区域内寻找目标函数最大化或最小化的解。

常用的求解方法有单纯形法和对偶单纯形法。

4. 解释结果：根据最优解，给出对决策变量和目标函数的解释，进一步分析结果的意义。

线性规划模型适用于许多实际问题的求解，如生产计划、资源分配、物流调度等。

通过构建适当的数学模型，可以帮助管理者做出理性决策，最大化或最小化目标函数。

然而，线性规划模型也有其局限性。

首先，线性规划只能处理线性约束条件和线性目标函数，对于非线性问题无法求解。

其次，线性规划假设决策变量是连续的，对于离散的决策问题，线性规划无法适用。

此外，线性规划模型还需要求解算法的支持，对于复杂问题需要较高的计算资源。

总之，线性规划模型是一种常用的数学建模方法，通过线性约束条件和线性目标函数，求解最优解，帮助解决实际问题。

但线性规划模型也有其适用范围和局限性，需要根据具体问题来选择合适的求解方法。