平面直角坐标系常见题型
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初中数学函数之平面直角坐标系经典测试题附答案一、选择题1.如果点P (m +3,m +1)在x 轴上,则点P 的坐标为( )A .(0,2)B .(2,0)C .(4,0)D .(0,﹣4)【答案】B【解析】【分析】根据点P 在x 轴上,即y =0,可得出m 的值,从而得出点P 的坐标.【详解】根据点P 在x 轴上,即y =0,可得出m 的值,从而得出点P 的坐标.解:∵点P (m +3,m +1)在x 轴上,∴y =0,∴m +1=0,解得:m =﹣1,∴m +3=﹣1+3=2,∴点P 的坐标为(2,0).故选:B .【点睛】本题考查了点的坐标,注意平面直角坐标系中,点在x 轴上时纵坐标为0,得出m 的值是解题关键.2.在平面直角坐标系中,长方形ABCD 的三个顶点()(32),(12),1,1,A B C ---,,则第四个顶点D 的坐标是( ).A .()2,1-B .(3,1)-C .()2,3-D .(3,1)-【答案】B【解析】【分析】根据矩形的性质(对边相等且每个角都是直角),由矩形ABCD 点的顺序得到CD ⊥AD ,可以把D 点坐标求解出来.【详解】解:根据矩形ABCD 点的顺序可得到CD ⊥AD , 又∵()(32),(12),1,1,A B C ---,, ∴A 、B 纵坐标相等,B 、C 横坐标相等,∴A 、D 横坐标相等,即3;D 、C 纵坐标相等,即-1,因此(31)D -,【点睛】本题主要考查了矩形的性质和直角坐标系的基本概念,利用矩形四个角都是直角、对边相等是解题的关键.3.若点A (a+1,b ﹣2)在第二象限,则点B (﹣a ,1﹣b )在( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限 【答案】D【解析】分析:直接利用第二象限横纵坐标的关系得出a ,b 的符号,进而得出答案.详解:∵点A (a+1,b-2)在第二象限,∴a+1<0,b-2>0,解得:a <-1,b >2,则-a >1,1-b <-1,故点B (-a ,1-b )在第四象限.故选D .点睛:此题主要考查了点的坐标,正确记忆各象限内点的坐标符号是解题关键.4.如果点P (),3m 在第二象限,那么点Q ()3,m -在( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限【答案】C【解析】【分析】根据第二象限的横坐标小于零可得m 的取值范围,进而判定Q 点象限.【详解】解:由点P (),3m 在第二象限可得m <0,再由-3<0和m <0可知Q 点在第三象限, 故选择C.【点睛】本题考查了各象限内坐标的符号特征.5.如图,在平面直角坐标系中,以O 为圆心,适当长为半径画弧,交x 轴于点M ,交y轴于点N ,再分别以点M 、N 为圆心,大于12MN 的长为半径画弧,两弧在第二象限交于点P .若点P 的坐标为(2a ,b+1),则a 与b 的数量关系为( )A .a=bB .2a+b=﹣1C .2a ﹣b=1D .2a+b=1【答案】B【解析】试题分析:根据作图方法可得点P 在第二象限角平分线上,则P 点横纵坐标的和为0,即2a+b+1=0,∴2a+b=﹣1.故选B .6.如图,动点P 从()0,3出发,沿箭头所示方向运动,每当碰到矩形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角.当点P 第2018次碰到矩形的边时,点P 的坐标为( )A .()1,4B .()5,0C .()7,4D .()8,3【答案】C【解析】【分析】 理解题意,由反射角与入射角的定义作出图形,观察出反弹6次为一个循环的规律,解答即可.【详解】如图,经过6次反弹后动点回到出发点(0,3),∵2018÷6=336…2,∴当点P 第2018次碰到矩形的边时为第336个循环组的第2次反弹,点P 的坐标为(7,4).故选C .【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标规律,首先作图,然后观察出每6次反弹为一个循环,据此解答即可.7.在平面直角坐标系中,点P(x ﹣3,x+3)是x 轴上一点,则点P 的坐标是( )A.(0,6) B.(0,﹣6) C.(﹣6,0) D.(6,0)【答案】C【解析】【分析】根据x轴上的点的纵坐标为0列式计算即可得解.【详解】∵点P(x﹣3,x+3)是x轴上一点,∴x+3=0,∴x=﹣3,∴点P的坐标是(﹣6,0),故选:C.【点睛】本题考查了点的坐标,是基础题,熟记x轴上的点的纵坐标为0是解题的关键.8.平面直角坐标系中,P(-2a-6,a-5)在第三象限,则a的取值范围是()A.a>5 B.a<-3 C.-3≤a≤5D.-3<a<5【答案】D【解析】【分析】根据第三象限的点的坐标特点:x<0,y<0,列不等式组,求出a的取值范围即可.【详解】∵点P在第三象限,∴26050aa--<⎧⎨-<⎩,解得:-3<a<5,故选D.【点睛】本题考查了象限点的坐标的符号特征以及解不等式,该知识点是中考的常考点,常与不等式、方程结合起来求一些字母的取值范围,比如本题中求a的取值范围.9.如图,正方形ABCD的顶点A(1,1),B(3,1),规定把正方形ABCD“先沿x轴翻折,再向左平移1个单位”为一次变换,这样连续经过2019次变换后,正方形ABCD的顶点C的坐标为()A.(﹣2018,3)B.(﹣2018,﹣3)C .(﹣2016,3)D .(﹣2016,﹣3)【答案】D【解析】【分析】 首先由正方形ABCD ,顶点A (1,1)、B (3,1)、C (3,3),然后根据题意求得第1次、2次、3次变换后的点C 的对应点的坐标,即可得规律:第n 次变换后的点C 的对应点的为:当n 为奇数时为(3-n ,-3),当n 为偶数时为(3-n ,3),继而求得把正方形ABCD 连续经过2019次这样的变换得到正方形ABCD 的点C 的坐标.【详解】∵正方形ABCD ,顶点A (1,1)、B (3,1),∴C (3,3).根据题意得:第1次变换后的点C 的对应点的坐标为(3﹣1,﹣3),即(2,﹣3), 第2次变换后的点C 的对应点的坐标为:(3﹣2,3),即(1,3),第3次变换后的点C 的对应点的坐标为(3﹣3,﹣3),即(0,﹣3),第n 次变换后的点C 的对应点的为:当n 为奇数时为(3﹣n ,﹣3),当n 为偶数时为(3﹣n ,3),∴连续经过2019次变换后,正方形ABCD 的点C 的坐标变为(﹣2016,﹣3). 故选D .【点睛】此题考查了对称与平移的性质.此题难度较大,属于规律性题目,注意得到规律:第n 次变换后的点C 的对应点的坐标为:当n 为奇数时为(3-n ,-3),当n 为偶数时为(3-n ,3)是解此题的关键.10.在平面直角坐标系中,以原点为中心,把点()2,3A 逆时针旋转180︒,得到点B ,则点B 的坐标为( )A .()2,3-B .()2,3--C .(2,3)-D .(3,2)--【答案】B【解析】【分析】根据中心对称的性质解决问题即可.【详解】由题意A ,B 关于O 中心对称,∵A (2,3),∴B (-2,-3),故选:B .【点睛】此题考查中心对称,坐标与图形的变化,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.11.象棋在中国有着三千多年的历史,由于用具简单,趣味性强,成为流行极为广泛的益智游戏.如图,是一局象棋残局,已知表示棋子“炮”和“車”的点的坐标分别为(1,2),(2,0)-,则表示棋子“馬”的点的坐标为( )A .(4,2)B .(2,4)C .(3,2)D .(2, 1)【答案】A【解析】【分析】 根据棋子“炮”和“車”的点坐标,推断出原点位置,进而可得出“馬”的点的坐标.【详解】如图所示,根据“車”的点坐标为()2,0-,可知x 轴在“車”所在的横线上,又根据“炮”的点坐标()1,2,可推出原点坐标如图所示,进而可知“馬”的点的坐标为()4,2,故选:A .【点睛】本题综合考查点的坐标位置的确定.解答本题的关键是由“炮”和“車”的点坐标确定出原点的坐标.12.如果点P 在第三象限内,点P 到x 轴的距离是4,到y 轴的距离是5,那么点P 的坐标是( )A .(﹣4,﹣5)B .(﹣4,5)C .(﹣5,4)D .(﹣5,﹣4)【答案】D【解析】【分析】根据第三象限内点的横坐标是负数,纵坐标是负数以及点到x 轴的距离等于纵坐标的绝对值,到y 轴的距离等于横坐标的绝对值解答.解:∵第三象限的点P 到x 轴的距离是4,到y 轴的距离是5,∴点P 的横坐标是﹣5,纵坐标是﹣4,∴点P 的坐标为(﹣5,﹣4).故选:D.【点睛】本题考查了点的坐标,熟记点到x 轴的距离等于纵坐标的绝对值,到y 轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键.13.若点(24,24)P m m -+在y 轴上,那么m 的值为( )A .2B .2-C .2±D .0【答案】A【解析】【分析】依据点P (2m-4,2m+4)在y 轴上,其横坐标为0,列式可得m 的值.【详解】∵P (2m-4,2m+4)在y 轴上,∴2m-4=0,解得m=2,故选:A .【点睛】此题考查点的坐标,解题关键在于掌握y 轴上点的横坐标为0.14.如图,在平面直角坐标系中.四边形OABC 是平行四边形,其中()()2,03,1,A B 、将ABCD Y 在x 轴上顺时针翻滚.如:第一次翻滚得到111,AB C O Y 第二次翻滚得到1122B AO C Y ,···则第五次翻滚后,C 点的对应点坐标为( )A .(622,2+B .2,622+ C .2,622- D .(622,2- 【答案】A【解析】ABCD Y 在x 轴上顺时针翻滚,四次一个循环,推出第五次翻滚后,点A 的坐标,再利用平移的性质求出C 的对应点坐标即可.【详解】连接AC ,过点C 作CH ⊥OA 于点H ,∵四边形OABC 是平行四边形,A(2,0)、B(3,1),∴C(1,1),∴∠COA=45°,OC=AB=2, ∴OH= OC÷2=1,∴AH=2-1=1,∴OA=AH ,∴OC=AC ,∴∆OAC 是等腰直角三角形,∴AC ⊥OC ,∵ABCD Y 在x 轴上顺时针翻滚,四次一个循环,∴第五次翻滚后点,A 的坐标为(6+22,0),把点A 向上平移2个单位得到点C , ∴第五次翻滚后,C 点的对应点坐标为()622,2+.故选:A .【点睛】本题主要考查图形与坐标,涉及平行四边形的性质,等腰直角三角形的性质以及平移的性质,找到点的坐标的变化规律,是解的关键.15.如图所示,长方形BCDE 的各边分别平行于x 轴或y 轴,物体甲和物体乙分别由点A(2, 0)同时出发,沿长方形BCDE 的边作环绕运动,物体甲按逆时针方向以1个单位长度秒匀速运动,物体乙按顺时针方向以2个单位长度秒匀速运动,则两个物体运动后的第2020次相遇点的坐标是( )A .(2,0)B .(-1,-1)C .( -2,1)D .(-1, 1)【答案】D【解析】【分析】 利用行程问题中的相遇问题,由于长方形的边长为4和2,物体乙是物体甲的速度的2倍,求得每一次相遇的地点,找出规律即可解答;【详解】∵A (2,0),四边形BCDE 是长方形,∴B (2,1),C (-2,1),D (-2,-1),E (2,-1),∴BC=4,CD=2,∴长方形BCDE 的周长为()2422612⨯+=⨯=,∵甲的速度为1,乙的速度为2,∴第一次相遇需要的时间为12÷(1+2)=4(秒),此时甲的路程为1×4=4,甲乙在(-1,1)相遇,以此类推,第二次甲乙相遇时的地点为(-1,-1),第三次为(2,0),第四次为(-1,1),第五次为(-1,-1),第六次为(2,0),L L ,∴甲乙相遇时的地点是每三个点为一个循环,∵202036733÷=L ,∴第2020次相遇地点的坐标为(-1,1);故选D.【点睛】本题主要考查了规律型:点的坐标,掌握甲乙运动相遇时点坐标的规律是解题的关键.16.如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC 是菱形,点C 的坐标为()2,3,则菱形OABC 的面积是( )A .6B .13C .3132D .313【答案】D【解析】【分析】 作CH ⊥x 轴于点H ,利用勾股定理求出OC 的长,根据菱形的性质可得OA =OC ,即可求解.【详解】如图所示,作CH ⊥x 轴于点H ,∵四边形OABC 是菱形,∴OA =OC ,∵点C 的坐标为()2,3,∴OH =2,CH =3,∴OC =22OH CH +=2223+=13∴菱形OABC 的面积=OA·CH =313 故选:D【点睛】本题考查菱形的性质、勾股定理、坐标与图形的性质、菱形的面积公式,解题的关键是学会添加辅助线,构造直角三角形.17.在平面直角坐标系中,对于平面内任一点(a ,b ),若规定以下三种变换:①f (a ,b )=(-a ,b ),如f (1,2)=(-1,2);②g (a ,b )=(b ,a ),如g (1,2)=(2,1);③h (a ,b )=(-a ,-b ),如h (1,2)=(-1,-2);按照以上变换有:g (h (f (1,2)))=g (h (-1,2))=g (1,-2)=(-2,1),那么h (f (g (3,-4)))等于A .(4,-3)B .(-4,3)C .(-4,-3)D .(4,3)【答案】C【解析】【分析】根据f (a ,b )=(-a ,b ).g (a ,b )=(b ,a ).h (a ,b )=(-a ,-b ),可得答案.【详解】由已知条件可得h (f (g (3,-4)))= h (f (-4,3))= h (4,3)=(-4,-3) 故选:C【点睛】本题考查了点的坐标,利用f (a ,b )=(-a ,b ).g (a ,b )=(b ,a ).h (a ,b )=(-a ,-b )是解题关键.18.预备知识:线段中点坐标公式:在平面直角坐标系中,已知A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),设点M 为线段AB 的中点,则点M 的坐标为(122x x +,122y y +)应用:设线段CD 的中点为点N ,其坐标为(3,2),若端点C 的坐标为(7,3),则端点D 的坐标为( )A .(﹣1,1)B .(﹣2,4)C .(﹣2,1)D .(﹣1,4) 【答案】A【解析】【分析】根据线段的中点坐标公式即可得到结论.【详解】设D (x ,y ), 由中点坐标公式得:7+x 2=3,3+y 2=2, ∴x =﹣1,y =1,∴D (﹣1,1),故选A .【点睛】此题考查坐标与图形性质,关键是根据线段的中点坐标公式解答.19.在直角坐标系中,若点P(2x -6,x -5)在第四象限,则x 的取值范围是( )A .3<x <5B .-5<x <3C .-3<x <5D .-5<x <-3【答案】A【解析】【分析】点在第四象限的条件是:横坐标是正数,纵坐标是负数.解:∵点P(2x-6,x-5)在第四象限,∴260 {50xx->-<,解得:3<x<5.故选:A.【点睛】主要考查了平面直角坐标系中第四象限的点的坐标的符号特点.20.已知平面内不同的两点A(a+2,4)和B(3,2a+2)到x轴的距离相等,则a的值为( )A.﹣3 B.﹣5 C.1或﹣3 D.1或﹣5【答案】A【解析】分析:根据点A(a+2,4)和B(3,2a+2)到x轴的距离相等,得到4=|2a+2|,即可解答.详解:∵点A(a+2,4)和B(3,2a+2)到x轴的距离相等,∴4=|2a+2|,a+2≠3,解得:a=−3,故选A.点睛:考查点的坐标的相关知识;用到的知识点为:到x轴和y轴的距离相等的点的横纵坐标相等或互为相反数.。
专题05 平面直角坐标系重难点题型(四大题型)【题型1 两点间距离】【题型2 求平面直角坐标系中动点问题的面积】【题型3 平面直角坐标系中规律题探究】【题型4 等腰三角形个数讨论问题】【题型1 两点间距离】1.在平面直角坐标系中,有A(﹣2,a+1),B(a﹣1,4),C(b﹣2,b)三点.(1)当AB∥x轴时,求A、B两点间的距离;(2)当CD⊥x轴于点D,且CD=1时,求点C的坐标.2.已知平面直角坐标系内的三点:A(a﹣1,﹣2),B(﹣3,a+2),C(b﹣6,2b).(1)当直线AB∥x轴时,求A,B两点间的距离;(2)当直线AC⊥x轴,点C在第二、四象限的角平分线上时,求点A和点C 的坐标.3.先阅读一段文字,再回答下列问题:已知在平面内两点坐标P1(x1,y1),P2(x2,y2),其两点间距离公式为P1P2=,同时,当两点所在的直线在坐标轴上或平行于x轴或垂直于x轴时,两点距离公式可简化成|x1﹣x2|或|y2﹣y1|.(1)已知A(3,5),B(﹣2,﹣1),试求A,B两点的距离;(2)已知A,B在平行于y轴的直线上,点A的纵坐标为6,点B的纵坐标为﹣4,试求A,B两点的距离;(3)已知一个三角形各顶点坐标为A(0,6),B(﹣3,2),C(3,2),找出三角形中相等的边?说明理由.4.先阅读一段文字,再回答下列问题:已知在平面内两点坐标P1(x1,y1),P2(x2,y2),其两点间距离公式为:p1p2=,例如:点(3,2)和(4,0)的距离为.同时,当两点所在的直线在坐标轴上或平行于x轴或平行于y轴距离公式可简化成:p1p2=|x1﹣x2|或p1p2=|y1﹣y2|.(1)已知A、B在平行于y轴的直线上,点A的纵坐标为5,点B的纵坐标为2,则A,B两点的距离为;(2)线段AB平行于x轴,且AB=3,若点B的坐标为(2,4),则点A的坐标是;(3)已知A(3,5),B(﹣4,4),A,B两点的距离为;(4)已知△ABC三个顶点坐标为A(3,4),B(0,5),C(﹣1,2),请判断此三角形的形状,并说明理由.5.先阅读下列一段文字,再解答问题:已知在平面内有两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),其两点间的距离公式为;同时,当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时,两点距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|.(1)已知点A(2,4),B(﹣2,1),则AB=;(2)已知点C,D在平行于y的直线上,点C的纵坐标为3,点D的纵坐标为﹣2,则CD=;(3)已知点M和(1)中的点A有MA∥x轴,且MA=3,则点M的坐标为;(4)已知点P(3,1)和(1)中的点A,B,则线段P A,PB,AB中相等的两条线段是.6.先阅读下列一段文字,再回答后面的问题:已知在平面直角坐标系内两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),其两点间的距离P1P2=,同时,当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时,两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|.(1)已知A(1,3),B(﹣3,﹣5),试求A,B两点间的距离;(2)已知线段MN∥y轴,MN=4,若点M的坐标为(2,﹣1),试求点N 的坐标.7.先阅读下列一段文字,再回答后面的问题.已知在平面内两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),这两点间的距离P1P2=,同时,当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时,两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|.(1)已知A(2,4),B(﹣3,﹣8),试求A,B两点间的距离;(2)已知A,B在平行于y轴的直线上,点A的纵坐标为5,点B的纵坐标为﹣1,试求A,B两点间的距离.8.阅读材料:两点间的距离公式:如果平面直角坐标系内有两点A(x1,y1)、B(x2,y2),那么A、B两点的距离AB=,则AB2=(x1﹣x2)2+(y1﹣y2)2.例如:若点A(4,1),B(3,2),则AB=,若点A(a,1),B(3,2),且AB=,则.根据实数章节所学的开方运算即可求出满足条件的a的值.根据上面材料完成下列各题:(1)若点A(﹣2,3),B(1,2),则A、B两点间的距离是.(2)若点A(﹣2,3),点B在x轴上,且A、B两点间的距离是5,求B 点坐标.9.在平面直角坐标系中,有A(﹣2,a+1),B(a﹣1,4),C(b﹣2,b)三点.(1)当点C在y轴上时,求点C的坐标;(2)当AB∥x轴时,求A,B两点间的距离;(3)当CD⊥x轴于点D,且CD=1时,求点C的坐标.10.先阅读下列一段文字,在回答后面的问题.已知在平面内两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2),其两点间的距离公式,同时,当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时,两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|.(1)已知A(2,4)、B(﹣3,﹣8),试求A、B两点间的距离;(2)已知A、B在平行于y轴的直线上,点A的纵坐标为5,点B的纵坐标为﹣1,试求A、B两点间的距离.(3)已知一个三角形各顶点坐标为A(0,6)、B(﹣3,2)、C(3,2),你能判定此三角形的形状吗?说明理由.【题型2 求平面直角坐标系中动点问题的面积】11.如图所示,在平面直角坐标系中,已知A(0,1),B(2,0),C(4,3).(1)在平面直角坐标系中画出△ABC,则△ABC的面积是;(2)若点D与点C关于原点对称,则点D的坐标为;(3)已知P为x轴上一点,若△ABP的面积为4,求点P的坐标.12.如图,在平面直角坐标系中,已知A(a,0),B(b,0),其中a,b满足.(1)填空:a=,b=;(2)若在第三象限内有一点M(﹣2,m),用含m的式子表示△ABM的面积;(3)在(2)条件下,线段BM与y轴相交于C(0,﹣),当时,点P是y轴上的动点,当满足△PBM的面积是△ABM的面积的2倍时,求点P的坐标.13.如图,在平面直角坐标系内,已知点A的坐标为(3,2),点B的坐标为(3,﹣4),点P为直线AB上任意一点(不与A、B重合),点Q是点P 关于x轴的对称点.(1)在方格纸中标出A、B,并求出△ABO的面积;(2)设点P的纵坐标为a,求点Q的坐标;(3)设△OP A和△OPQ的面积相等,且点P在点Q的上方,求出此时P点坐标.14.如图,在平面直角坐标系中,已知A(a,0),B(b,0),其中a,b满足a2+2a+1+|3a+b|=0.(1)填空:a=,b=;(2)若存在一点M(﹣2,m)(m<0),点M到x轴距离,到y轴距离,求△ABM的面积(用含m的式子表示);(3)在(2)条件下,当m=﹣1.5时,在y轴上有一点P,使得△MOP的面积与△ABM的面积相等,请求出点P的坐标.15.如图,在平面直角坐标系中,已知A(0,a),B(b,0),C(3,c)三点,其中a、b、c满足关系式:|a﹣2|+(b﹣3)2+=0.(1)求a、b、c的值;(2)如果在第二象限内有一点P(m,),请用含m的式子表示四边形ABOP 的面积;(3)在(2)的条件下,是否存在负整数m,使四边形ABOP的面积不小于△AOP面积的两倍?若存在,求出所有满足条件的点P的坐标,若不存在,请说明理由.16.如图,已知在平面直角坐标系中,点A在y轴上,点B、C在x轴上,S△ABO =8,OA=OB,BC=10,点P的坐标是(﹣6,a),(1)求△ABC三个顶点A、B、C的坐标;(2)连接P A、PB,并用含字母a的式子表示△P AB的面积(a≠2);(3)在(2)问的条件下,是否存在点P,使△P AB的面积等于△ABC的面积?如果存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.17.如图,在平面直角坐标系中,A(a,0),B(b,0),C(﹣1,2),且|a+2|+=0.(1)求a,b的值;(2)①在x轴的正半轴上存在一点M,使△COM的面积=△ABC的面积,求出点M的坐标;②在坐标轴的其它位置是否存在点M,使△COM的面积=△ABC的面积恒成立?若存在,请直接写出符合条件的点M的坐标.18.如图,直线AB与x轴,y轴分别相交于点A(6,0),B(0,8),M是OB上一点,若将△ABM沿AM折叠,则点B恰好落在x轴上的点B'处.求:(1)点B'的坐标;(2)△ABM的面积.19.如图在直角坐标系中,已知A(0,a),B(b,0)C(3,c)三点,若a,b,c满足关系式:|a﹣2|+(b﹣3)2+=0.(1)求a,b,c的值.(2)求四边形AOBC的面积.(3)是否存在点P(x,﹣x),使△AOP的面积为四边形AOBC的面积的两倍?若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.20.已知:在平面直角坐标系中,A(0,1),B(2,0),C(4,3)(1)求△ABC的面积;(2)设点P在x轴上,且△ABP与△ABC的面积相等,求点P的坐标.21.如图,在平面直角坐标系中,A(2,2),B(﹣1,0),C(3,0)(1)求△ABC面积;(2)在y轴上存在一点D,使得△AOD的面积是△ABC面积的2倍,求出点D的坐标;(3)在平面内有点P(3,m),是否存在m值,使△AOP的面积等于△ABC 面积的2倍?若存在,直接写出m的值;若不存在,请说明理由.22.在平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标分别为A(2,0),B(0,4),C(﹣3,2).(1)如图1,求△ABC的面积.(2)若点P的坐标为(m,0),①请直接写出线段AP的长为(用含m的式子表示);②当S△P AB =2S△ABC时,求m的值.(3)如图2,若AC交y轴于点D,直接写出点D的坐标为.23.如图,在平面直角坐标系中,点A(﹣3b,0)为x轴负半轴上一点,点B (0,4b)为y轴正半轴上一点,其中b满足方程:3(b+1)=6.(1)求点A、B的坐标;(2)点C为y轴负半轴上一点,且△ABC的面积为12,求点C的坐标;(3)在(2)的条件下,在x轴上是否存在点P,使得△PBC的面积等于△ABC的面积的一半?若存在,求出相应的点P的坐标;若不存在,请说明理由.【题型3 平面直角坐标系中规律题探究】24.如图,动点P按图中箭头所示方向运动,第1次从原点运动到点(1,1),第2次运动到点(2,0),第3次运动到点(3,2),…,按这样的运动规律,则第2021次运动到点()A.(2021,1)B.(2021,2)C.(2020,1)D.(2021,0)25.有一组数,按照下列规律排列:1,2,3,6,5,4,7,8,9,10,15,14,13,12,11,16,17,18,19,20,21,……数字5在第三行左数第二个,我们用(3,2)点示5的位置,那点这组成数里的数字100的位置可以表示为()A.(14,9)B.(14,10)C.(14,11)D.(14,12)26.如图,在平面直角坐标系中,A(1,1),B(﹣1,1),C(﹣1,﹣2),D(1,﹣2).把一条长为2012个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点A处,并按A﹣B﹣C﹣D﹣A﹣…的规律紧绕在四边形ABCD的边上,则细线另一端所在位置的点的坐标是()A.(1,﹣1)B.(﹣1,1)C.(﹣1,﹣2)D.(1,﹣2)27.如图,在平面直角坐标系上有个点P(1,0),点P第一次向上跳动1个单位至P1(1,1),紧接着第二次向左跳动2个单位至点P2(﹣1,1),第3次向上跳动1个单位,第4次向右跳动3个单位,第5次又向上跳动1个单位,第6次向左跳动4个单位,…,依此规律跳动下去,点P第100次跳动至点P100的坐标是()A.(﹣24,49)B.(﹣25,50)C.(26,50)D.(26,51)28.如图,一个机器人从O点出发,向正东方向走3m到达A1点,再向正北方向走6m到达A2点,再向正西方向走9m到达A3点,再向正南方向走12m到达A4点,再向正东方向走15m到达A5点.按如此规律走下去,当机器人走到A6点时,离O点的距离是()A.10m B.12m C.15m D.20m29.如图,将正整数按有图所示规律排列下去,若用有序数对(n,m)表示n 排从左到右第m个数.如(4,3)表示9,则(10,3)表示.30.如图,在平面直角坐标系中,有若干个整数点,其顺序按图中“→”方向排列,如(0,1),(0,2),(1,2),(1,3),(0,3),(﹣1,3)…,根据这个规律探索可得,第90个点的坐标为.31.如图所示点A0(0,0),A1(1,2),A2(2,0),A3(3,﹣2),A4(4,0),…根据这个规律,探究可得点A2017坐标是.32.如图所示,一个机器人从O点出发,向正东方向走3m到达A1点,再向正北方向走6m到达A2点,再向正西方向走9m到达A3点,再向正南方向走12m 到达A4点,再向正东方向走15m到达A5点,按如此规律走下去,相对于点O,机器人走到A6时是位置.33.如图,在平面直角坐标系上有点A(1,0),点A第一次跳动至点A1(﹣1,1),第四次向右跳动5个单位至点A4(3,2),…,依此规律跳动下去,点A第100次跳动至点A100的坐标是.【题型4 等腰三角形个数讨论问题】34.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标是(6,6),点B在坐标轴上,且△OAB是等腰直角三角形,则点B的坐标不可能是()A.(0,6)B.(6,0)C.(12,0)D.(0,﹣6)35.如图,在平面直角坐标系中,A,B两点的坐标分别为(﹣4,0),(0,3),连接AB,点P在第二象限,以点P,A,B为顶点的等腰直角三角形有个,任意写出其中一个点P坐标为.36.如图,在平面直角坐标系中,第一次将△OAB变换成△OA1B1,第二次将△OA1B1变换成△OA2B2,第三次将△OA2B2变换成△OA3B3.(1)观察每次变换前后的三角形的变化规律,若将△OA3B3变换成△OA4B4,则A4的坐标是,B4的坐标是.(2)若按第(1)题找到的规律将△OAB进行n次变换,得到△OA n B n,比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化,找出规律,推测A n的坐标是,B n的坐标是.(3)若按第(1)题找到的规律将△OAB进行n次变换,得到△OA n B n,则△OA n B n的面积S为37.如图,方格纸中小正方形的边长均为1个单位长度,A、B均为格点.(1)在图中建立直角坐标系,使点A、B的坐标分别为(3,3)和(﹣1,0);(2)在(1)中x轴上是否存在点C,使△ABC为等腰三角形(其中AB为腰)?若存在,请直接写出所有满足条件的点C的坐标.38.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(﹣2,0),B(2,0).(1)画出等腰三角形ABC(画一个即可);(2)写出(1)中画出的三角形ABC的顶点C的坐标.。
题型一 各个象限点的符号特征1、如果a -b <0,且ab <0,那么点(a ,b)在( )A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限,D 、第四象限.2、如果xy <0,那么点P (x ,y )在( ) (A) 第二象限 (B) 第四象限 (C) 第四象限或第二象限 (D) 第一象限或第三象限3、若点P(m -1, m )在第二象限,则下列关系正确的是 ( )A.10<<mB.0<mC.0>mD.1>m4、点(x ,1-x )不可能在 ( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5、已知点P(102-x ,x -3)在第三象限,则x 的取值范围是 ( )A .53<<x B.3≤x ≤5 C.5>x 或3<x D.x ≥5或x ≤36、点P (x ,y )在第四象限,且|x|=3,|y|=2,则P 点的坐标是 。
7、点 A 在第二象限 ,它到 x 轴 、y 轴的距离分别是 3 、2,则坐标是 ;8、若点P(x ,y )的坐标满足xy ﹥0,则点P在第 象限;若点P(x ,y )的坐标满足xy ﹤0,且在x 轴上方,则点P在第 象限.若点P (a ,b )在第三象限,则点P '(-a ,-b +1)在第 象限;9、已知点A (m ,n )在第四象限,那么点B (n ,m )在第 象限10、若点P(3a-9,1-a)是第三象限的整数点(横、纵坐标都是整数),那么a=11、已知点P (2a -1 , 3+a ),若P 点在x 轴上方,则a 的范围是 ;若P点在x 轴下方,则a 的范围是 ;若P 点在y 轴左侧,则a 的范围是 ;若P 点在y 轴右侧,则a 的范围是 ;12、已知m 为实数,则点P +1 , ︱-m ︱+1)只可能在第 象限。
13、如果点M (a+b,ab )在第二象限,那么点N(a,b)在第 象限。
14、已知点P (3a -9 , 1-a )是第三象限的点,且横坐标、纵坐标均为整数,若P 、Q 关于原点对称,求Q 点坐标。
平面直角坐标系(易错必刷30题6种题型专项训练)➢平面直角坐标系➢点的坐标➢用坐标表示地理位置➢点的坐标变化规律➢图形平移规律➢求图形面积一.平面直角坐标系(共3小题)1.(2024·山东临沂·模拟预测)已知a +b <0,ab >0,则在如图所示的平面直角坐标系中,小手盖住的点的坐标可能是( )A .(a,b )B .(―a,b )C .(―a,―b )D .(a,―b )2.(2024八年级上·全国·专题练习)如下所示的图形中,平面直角坐标系的画法正确的有( ).3.(22-23八年级下·山西临汾·期末)笛卡尔是法国著名数学家,他于1637年发明了现代数学的基础工具——平面直角坐标系.平面直角坐标系的引入,使得我们可以用代数的方法研究几何问题,又可以用几何的方法研究代数问题.这种研究方法体现的数学思想是( )A .类比思想B .分类讨论思想C .建模思想D .数形结合思想二.点的坐标(共8小题)4.(23-24七年级下·全国·单元测试)在平面直角坐标系中,点P (―3,2)位于( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限5.(23-24七年级下·全国·期中)已知点(),N a b 位于第四象限,则点M (b,a )位于( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限6.(23-24八年级下·云南昆明·阶段练习)已知两点A (3,5),()1,B b -且直线AB ∥x 轴,则( )A .1b =-B .b 可取任意实数C .b =5D .b ≠57.(22-23八年级下·山东青岛·开学考试)在平面直角坐标系中,第一象限内的点P (a +3,a )到y 轴的距离是5,则a 的值为( )A .―4B .2或―8C .2D .88.(23-24八年级上·广东佛山·期中)已知A 点的坐标为(3,a +3),B 点的坐标为(a,a ―4),AB ∥y 轴,则线段AB = .9.(23-24七年级下·广东汕头·期末)已知点A(m,n)在第二象限, 则点(2,)--+在第象限.B n m n m10.(24-25八年级上·湖南长沙·开学考试)己知平面直角坐标系中有一点M(3―2m,3m+2).(1)存在点N(2,―3),当MN平行于y轴时,求点M的坐标:(2)当点M在x轴下方,且到x轴的距离是到y轴距离的两倍时,求点M的坐标.11.(22-23七年级下·山东临沂·期中)在平面直角坐标系中,已知点P(6―3m,m+1).(1)若P到y轴的距离为2,求m的值;(2)若点P的横纵坐标相等,求点P的坐标;(3)在(2)的条件下,在第二象限内有一点Q,使PQ//x轴,且PQ=3,求点Q的坐标.三.用坐标表示地理位置(共412.(23-24七年级下·贵州黔东南·期中)如图是某学校的平面示意图,已知旗杆的位置是(―2,2),实验室的位置是(1,3).(1)根据所给条件在图中建立适当的平面直角坐标系;(2)用坐标表示位置:食堂是______,图书馆是______;(3)已知办公楼的位置是(0,2),教学楼的位置是(2,1),在图中标出办公楼和教学楼的位置;(4)如果1个单位长度表示30m,那么宿舍楼到教学楼的实际距离为______m.13.(2024七年级上·全国·专题练习)如图,一只甲虫在5×5的方格(每小格边长为1)上沿着网格线运动,它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫,规定:向上向右走为正,向下向左走为负.例如从A到B记为A→B(+1,+4),从D到C记为:D→C(―1,+2),其中第一个数表示左右方向,第二个数表示上下方向.(1)图中A→C(,),B C®(,),D→(―4,―2);(2)若这只甲虫从A处去P处的行走路线依次为+2,+2,+2,―1,―2,+3,―1,―2,请在图中标出P的位置;(3)若这只甲虫的行走路线为A→B→C→D,请计算该甲虫走过的路程.14.(23-24七年级下·浙江台州·期末)如图1是路桥区地图的一部分,其示意图如图2.分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系,已知黄石公园A的坐标为(2,1).(1)分别写出路桥区政府B,街心公园C的坐标;(2)连接AC,平移线段AC,使点A和点B重合,在图2中画出点C的对应点D,并写出点D的坐标.15.(23-24七年级下·云南玉溪·期末)平面直角坐标系是数轴的拓展,是沟通几何与代数的桥梁,为发展大家的几何直观,感悟数形结合的思想,数学社团的同学们对校园进行了实地调查,作出了如图的平面示意图,已知旗杆的位置是(―2,3),实验室的位置是(1,4).(1)作出校园平面示意图所在的坐标系;(2)写出宿舍楼、食堂、图书馆的坐标.四.点的坐标变化规律(共5小题)16.(22-23七年级下·云南怒江·期中)将点A (―3,―2)向右平移5个单位长度,得到点A 1,再把点A 1向上平移4个单位长度得到点2A ,则点2A 的坐标为( )A .(―2,―2)B .(2,2)C .(―3,2)D .(3,2)17.(22-23七年级下·河北石家庄·期中)若m <0,在平面直角坐标系中,将点(m,―3)分别向左、向上平移5个单位,可以得到的对应点的位置在( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限18.(2024·海南·中考真题)平面直角坐标系中,将点A 向右平移3个单位长度得到点A ′(2,1),则点A 的坐标是( )A .(5,1)B .(2,4)C .(1,1)-D .(2,―2)19.(23-24七年级上·四川南充·期中)将点P (m +2,3)向左平移4个单位长度到P ′,且P ′在y 轴上,那m 的值为 .20.(23-24八年级下·广东茂名·单元测试)已知点M (3a ―9,1―a ),将M 点向左平移6个单位长度后落在y 轴上,则M 的坐标是 .五.图形平移规律(共6小题)21.(24-25八年级上·福建福州·开学考试)△ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示.(1)点C的坐标是__________;(2)将△ABC先向左平移4个单位,再向下平移2个单位,得到△A′B′C′,画出平移后的△A′B′C′;(3)若△ABC内一点P经过上述平移后的对应点为Q(m,n),直接写出点P的坐标__________:(用含m,n的式子表示)22.(23-24七年级下·全国·单元测试)已知:如图,把△ABC向上平移3个单位长度,再向右平移2个单位长度,得到△A′B′C′.(1)写出A′(,)、B′(,)、C′(,)的坐标;(2)求出△ABC的面积= ;(3)点P在y轴上,且△BCP是△ABC的面积的2倍,求点P的坐标.23.(23-24八年级下·全国·期末)在平面直角坐标系中,A、B、C三点的坐标分别为(―6,7)、(―3,0)、(0,3).(1)画出△ABC;(2)在△ABC中,点C经过平移后的对应点为C′(5,4),将△ABC作同样的平移得到△A′B′C′,画出平移后的¢¢的坐标;△A′B′C′,并写出点,A B(3)P(―3,m)为△ABC中一点,将点P向右平移4个单位后,再向下平移6个单位得到点Q(n,―3),则m=,n=______.24.(24-25八年级上·全国·单元测试)三角形ABC与三角形A′B′C′在平面直角坐标系中的位置如图所示,三角形A′B′C′是由三角形ABC平移得到的.(1)分别写出点A′、B′、C′的坐标;(2)说明三角形A′B′C′是由三角形ABC经过怎样的平移得到的?(3)若点P a,b是三角形ABC内的一点,则平移后三角形A′B′C′内的对应点为P′,写出点P′的坐标.25.(23-24八年级上·江苏镇江·期末)如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC的三个顶点坐标分别是A (2,―1)、B(1,―2)、C(3,―3)(1)将△ABC向上平移4个单位长度得到△A1B1C1,请画出△A1B1C1;(2)请画出与△ABC关于y轴对称的△A2B2C2;(3)点A1的坐标为,点2A的坐标为;(4)若P(a,―b)是△ABC内一点,按照(1)(2)操作后点P1的坐标为,点P2的坐标为.26.(21-22七年级下·吉林松原·阶段练习)在平面直角坐标系中,点P的坐标为(2m+5,3m+3).(1)若点P在x轴上时,求点P的坐标;(2)若点P在过点A(―5,1)且与y轴平行的直线上时,求点P的坐标;(3)将点P向右平移2个单位,再向上平移3个单位后得到点M,若点M在第三象限,且点M到y轴的距离为7,求点M的坐标.六.求图形面积(共4小题)27.(22-23七年级下·全国·期末)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(0,4),点B的坐标为(4,0),过点C(3,0)作直线CD x^轴,垂足为C,交线段AB于点D,过点A作AE⊥CD,垂足为E,连接BE.(1)求△ABE的面积;(2)点P为直线CD上一动点,当S△PAB=S△AOB时,求点P的坐标.28.(22-23七年级上·甘肃定西·开学考试)已知:在平面直角坐标系中,A(0,1),B(2,0),C(4,3).(1)求△ABC的面积;(2)设点P在x轴上,且△ABP与△ABC的面积相等,求点P的坐标.29.(23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习)如图,长方形OABC在平面直角坐标系中,其中A(4,0),C(0,3),---运动,最终到达点E.若点P运动的点E是BC的中点,动点P从O点出发,以每秒1cm的速度沿O A B E时间为x秒,(1)当x=2秒时,求△OPE的面积;(2)当△OPE的面积等于25cm时,求P点坐标.30.(23-24七年级下·辽宁盘锦·期中)如图,已知A(―4,0),B(4,0),C(3,2),D(―2,4).(1)求四边形ABCD的面积;(2)在y轴上存在一点P,使三角形APB的面积等于四边形ABCD面积的一半,求P点的坐标.。
人教版七年级下册数学第七章平面直角坐标系含答案一、单选题(共15题,共计45分)1、下列命题中:①若mn=0,则点A(m,n)在原点处;②点(2,-m2)一定在第四象限;③已知点A(m,n)与点B(-m,n),m,n均不为0,则直线AB平行x轴;④已知点A(2,-3),AB//y轴,且AB=5,则B点的坐标为(2,4);是真命题的有()A.1个B.2个C.3个D.4个2、如图,已知棋子“车”的坐标为(﹣2,﹣1),棋子“马”的坐标为(1,﹣1),则棋子“炮”的坐标为()A.(3,2)B.(﹣3,2)C.(3,﹣2)D.(﹣3,﹣2)3、如果m是任意实数,则点P(m-4,m+1)一定不在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4、以下是甲、乙、丙三人看地图时对四个坐标的描述:甲:从学校向北直走500米,再向东直走100米可到图书馆.乙:从学校向西直走300米,再向北直走200米可到邮局.丙:邮局在火车站西200米处.根据三人的描述,若从图书馆出发,判断下列哪一种走法,其终点是火车站()A.向南直走300米,再向西直走200米B.向南直走300米,再向西直走100米C.向南直走700米,再向西直走200米D.向南直走700米,再向西直走600米5、安徽省蒙城县板桥中学办学特色好,“校园文化”建设,主体鲜明新颖:“国学引领,教老敬亲,家校一体,爱满乡村”.如图所示,若用“C4”表示“孝”,则“A5﹣B4﹣C3﹣C5”表示()A.爱满乡村B.教老敬亲C.国学引领D.板桥中学6、下列哪个点位于平面直角坐标系的第二象限()A.(2,3)B.(2,﹣3)C.(﹣2,3)D.(﹣2,﹣3)7、在平面直角坐标系中,已知线段AB的两个端点分别是A(4,﹣1),B (1,1)将线段AB平移后得到线段A′B′,若点A的坐标为(﹣2,2),则点B′的坐标为()A.(﹣5,4)B.(4,3)C.(﹣1,﹣2)D.(﹣2,﹣1)8、已知点在第三象限,则点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限9、平面直角坐标系中,将点A(﹣3,﹣5)向上平移4个单位,再向左平移3个单位到点B,则点B的坐标为()A.(1,﹣8)B.(1,﹣2)C.(﹣6,﹣1)D.(0,﹣1)10、如右图,⊙M与x轴相切于原点,平行于y轴的直线交圆于P、Q两点,P 点在Q点的下方,若P点的坐标是(2,1),则圆心M的坐标是()A.(0,3)B.(0,)C.(0,2)D.(0,)11、线段CD是由线段AB平移得到的,点A(﹣1,5)的对应点为C(4,8),则点B(﹣4,﹣2)的对应点D的坐标为()A.(﹣9,﹣5)B.(﹣9,1)C.(1,﹣5)D.(1,1)12、直线y=﹣2x+m与直线y=2x﹣1的交点在第四象限,则m的取值范围是A.m>﹣1B.m<1C.﹣1<m<1D.﹣1≤m≤113、在平面直角坐标系xOy中,对于点P(x,y),我们把P1(y-1,-x-1)叫做点P的友好点,已知点A1的友好点为A2,点A2的友好点为A3,点A3的友好点为A4,,这样依次得到各点.若A2020的坐标为(-3,2),设A1(x,y),则x+y 的值是()A.-5B.-1C.3D.514、如图,一个粒子在第一象限内及x轴,y轴上运动,第一分钟内从原点运动到(1,0),第二分钟从(1,0)运动到(1,1),而后它接着按图中箭头所示的与x轴,y轴平行的方向来回运动,且每分钟移动1个长度单位.在第2020分钟时,这个粒子所在位置的坐标是( )A.(4,45)B.(45,4)C.(44,4)D.(4,44)15、如图,矩形OABC与矩形ODEF是位似图形,点O为位似中心,相似比为1:1.2,点B的坐标为(﹣3,2),则点E的坐标是()A.(3.6,2.4)B.(﹣3,2.4)C.(﹣3.6,2)D.(﹣3.6,2.4)二、填空题(共10题,共计30分)16、已知直角坐标系内有四个点O(0,0),A(3,0),B(1,1),C(x,1),若以O,A,B,C 为顶点的四边形是平行四边形,则x=________.17、如图,直线y=2x+4与x,y轴分别交于A,B两点,以OB为边在y轴右侧作等边三角形OBC,将点C向左平移,使其对应点C′恰好落在直线AB上,则点C′的坐标为________18、在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点的位置如图所示,点A′的坐标是(﹣1,1),现将△ABC平移,使点A变换为A′,点B′、C′分别是B、C的对应点,请画出平移后的△A′B′C′,并直接写出点B′、C′的坐标:B′(________)、C′(________).19、如图,一甲虫从原点出发按图示方向作折线运动,第1次从原点到A1(1,0),第2次运动到A2(1,1),第3次运动到A3(-1,1),第4次运动到A4(-1,-1),第5次运动到A5(2,-1)……则第2020次运动到的点A2020的坐标是________.20、如图,在平面直角坐标系中有一菱形OABC且∠A=120°,点O、B在y轴上,OA=1,现在把菱形向右无滑动翻转,每次翻转60°,点B的落点依次为B 1、B2、B3…,连续翻转2017次,则B2017的坐标为________.21、已知点A(3a+5,a﹣3)在二、四象限的角平分线上,则a=________.22、已知点是直线上的一个动点,若点到两坐标轴的距离相等,则点的坐标是________.23、如图,在平面直角坐标系中,函数和的图象分别为直线,过上的点A1(1,)作x轴的垂线交于点A2,过点A2作y轴的垂线交于点A3,过点A3作x轴的垂线交于点A4…,一次进行下去,则点的横坐标为________ .24、在平面直角坐标系中,如果一个图形向右平移1个单位,再向上平移3个单位,称为一个变换,已知点A(1,-2),经过一个变换后对应点为A1,经过2个变换后对应点为A2,…经过n个变换后对应点为An,则用含n的代数式表示点An的坐标为________。
平面直角坐标系常见题型1.数轴上表示5 的点与表示–1 的点之间的距离是;2.已知数轴上的点A 、B 所对应的实数分别是1.2 和 3,那么 A B =.x43.经过点 ( 2, 0)且垂直于轴的直线可以表示为直线.Q4. 经过点 P (- 1, 5)且垂直于y 轴的直线可以表示为直线.5.点 P ( 2 , 3 ) 在第 ___________ 象限.6.如果点 A ( a , b )在第三象限,那么ab _____0 ( 填“<”,“=”或“>” ) .7.如果点 A ( 2, n )在 x 轴上,那么点 B ( n 2 , n 1 )在第 _________象限.8. 在平面直角坐标系中, 点 P ( 3 a ,2)到两坐标轴的距离相等, 那么 a 的值是 .9 P 在第二象限,且点 P到 x 轴的距离是 3 y 轴的距离是 5 P 的坐标.如果点 ,到 ,那么点 是.10.点 A ( –2, 3)关于 x 轴的对称点 B 的坐标为;11.点 P ( – 1,0 ) 关于 y 轴的对称点 P ′的坐标是 _____________.12.点 A ( –3, 2)关于原点的对称点 A ′的坐标为 ; .已知点 P ( m 1 , )与点 Q ( , 2 )关于 y 轴对称 , 那么 m =____________ .13 2 1 14 .在直角坐标平面内,将点 A (3 , 2) 向下平移4 个单位后,所得的点的坐标是________________ .15 在平面直角坐标系中, 点 M ( 2, 6 )向下平移 3 个单位到达点 N ,点 N 在第 ______象限.16.已知△ ABC 的顶点坐标是 A ( -1,5)、yB (-5, 5)、C ( -6, 2).(1)分别写出与点A 、B 、C 关于原点A 6BO 对称的点 A 、 B 、 C 的坐标;54A ____________ ,3 B ____________ , C21C ____________;-6 -5-4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 6x(2)在坐标平面内画出 -1-2 △ A B C ;(写结论)-3-4(3)△ A B C 的面积的-5 值等于 ____________.-617.在直角坐标平面内,描出点A(0,5)和点 B(–2,–4),已知 BC= 4,且 BC//x 轴.(1)写出点C的坐标;(2)联结AB、AC、BC,判断△ABC的形8y 6状,并求出它的面积.42 -5O5x10-2-4-6-818.在直角坐标平面内,已点A( 3, 0)、B(― 5, 3),将点 A 向左平移 6 个单位到达 C 点,将点 B 向下平移 6 个单位到达 D 点.(1)写出 C 点、 D 点的坐标:C____________,D____________ ;(2)把这些点按 A- B―C― D― A 顺次联结起来,这个图形的面积是____________ .19. 如图,在平面直角坐标系中,已知OA= 5 .y 4( 1)点 A 的坐标是;3( 2)点 A 关于原点 O 的对称点A的坐标是,并在平面直角坐标系中画出点 A ;2 1( 3)如果点 B 在 x 轴上,且△ A BO是等腰三角形,请写出两个符合条件的点 B 的坐标:-4-3 -2-1O 1 2 3 4xB1, B2,那么-1A-2SA B1O________ , S A B2O _______ .-3-4第 19 题图20.如图,在直角坐标平面内,已知点A 的坐标(-5,0),(1)图中 B 点的坐标是;(2)点 B 关于原点对称的点C的坐标是;点 A 关于 y 轴对称的点 D的坐标是;(3)△ABC的面积是;(4)在直角坐标平面上找一点,能满足SADE =SABCE的点 E 有个;(5)在 y 轴上找一点F,使 S ADF= S ABC,第 20 题图那么点 F 的所有可能位置是;(用坐标y表示,并在图中画出)21 .如图7 ,在直角坐标平面内,已知点BA2, 3 与点 B ,将点 A 向右平移 7 个单位到达点 C .(1)点B的坐标是;A、B两点之间距离等于;( 2)点C的坐标是;△ ABC的形状是;1O 1x( 3 )画出△ABC关于原点O对称的△A1 B1C1.23.已知点 A 的坐标是( 3, 0),点 B 的坐标是(- 1, 0),△ ABC 是等腰三角形,且一边上的高为 4,写出所有满足条件的点 C 的坐标.(提示:先画图,再求解)24.如图,在△ ABC 中,已知AB = AC = 2 ,点 A 的坐标是(1, 0),点 B、 C 在 y 轴上.试判断在 x 轴上是否存在点P,使△ PAB、△ PAC 和△ PBC 都是等腰三角形.如果存在这样的点 P 有几个?写出点P 的坐标;如果不存在,请说明理由.yB1A-1O1x-1C25.如图 11,在直角坐标平面内有两点 A 0,2 、 B 2,0 ,且 A 、 B 两点之间的距离等于 a ( a 为大于0的已知数),在不计算 a 的数值条件下,完成下列两题:(1)以学过的知识用一句话说出 a >2的理由;(2)在 x 轴上是否存在点P ,使△ PAB 是等腰三角形,如果存在,请写出点Py的坐标,并求△PAB 的面积;如果不存在,请说明理由.解:AB Ox图 11。
初中平面直角坐标系经典题型【最新版】目录1.初中平面直角坐标系的概念和基本元素2.经典题型一:坐标与图形的转换3.经典题型二:两点间距离的计算4.经典题型三:直线与坐标轴的交点问题5.经典题型四:坐标轴上的动点问题6.总结与拓展正文一、初中平面直角坐标系的概念和基本元素初中平面直角坐标系是由两条互相垂直的数轴(x 轴和 y 轴)组成的平面。
在这个坐标系中,每个点都具有唯一的坐标,即它在 x 轴和 y 轴上的数值。
x 轴上的数值称为点的横坐标,y 轴上的数值称为点的纵坐标。
二、经典题型一:坐标与图形的转换这类题型要求根据给定的坐标,绘制出相应的图形,或者根据给定的图形,求出其中特定点的坐标。
解决这类问题的关键是理解坐标与图形的关系,熟练掌握坐标的表示方法。
三、经典题型二:两点间距离的计算这类题型要求计算平面上两个点之间的距离。
根据勾股定理,两点间的距离等于它们横纵坐标差的平方和的平方根。
在计算过程中,要注意距离的正值性质。
四、经典题型三:直线与坐标轴的交点问题这类题型要求求一条直线与坐标轴的交点坐标。
首先需要找到直线的解析式,然后分别将 x 轴和 y 轴的坐标代入解析式,求出交点坐标。
五、经典题型四:坐标轴上的动点问题这类题型要求在坐标轴上寻找满足特定条件的点。
通常需要利用代数方法,将问题转化为方程或不等式,然后求解得到点的坐标。
六、总结与拓展初中平面直角坐标系是数学中的基本知识,掌握好相关题型对于提高数学能力具有重要意义。
在解决这类问题时,要注重培养数形结合的思维方式,熟练运用坐标与图形的转换关系。
八年级数学上册《平面直角坐标系常考题型总结》这份文档旨在总结八年级数学上册中与平面直角坐标系相关的常考题型。
以下是各个题型的简要介绍和解题方法:1. 点的坐标给定平面直角坐标系中的一个点,要求确定它的坐标。
通常可以通过观察点在坐标轴上的位置来确定其坐标。
2. 坐标的表示给定一个点的坐标,要求用数学式子表示该点所在的位置。
可以利用坐标系中点的性质和表示方法,以及数学运算的规则来表示坐标。
3. 点的对称给定一个点,要求确定它关于坐标轴或原点的对称点的坐标。
可以利用对称性的性质和对称公式来确定对称点的坐标。
4. 线段长度给定平面直角坐标系中两点的坐标,要求计算它们之间的距离,即线段的长度。
可以利用勾股定理或利用坐标系中两点之间的距离公式来计算。
5. 线段中点给定线段的两个端点的坐标,要求确定线段的中点坐标。
可以利用中点的性质和计算中点坐标的公式来确定。
6. 直线方程给定直线上的一个点或直线的斜率和截距,要求确定直线的方程。
可以利用直线的性质和表示方法,以及直线方程的一般形式来确定。
7. 直线与坐标轴的交点给定直线的方程,要求确定它与坐标轴的交点的坐标。
可以将直线与坐标轴相交点的坐标分别代入直线的方程来求解。
8. 图形坐标给定一个图形的坐标,要求根据图形的性质和坐标系的特点,确定图形的名称和性质。
可以利用图形坐标的特点进行判断。
以上是八年级数学上册《平面直角坐标系常考题型总结》的简要介绍。
通过掌握这些题型的解题方法,可以更好地应对相关的数学题目。
希望这份总结对你有所帮助!。
专题7.1 平面直角坐标系【八大题型】【人教版】【题型1 判断点所在的象限】 (1)【题型2 坐标轴上点的坐标特征】 (3)【题型3 点到坐标轴的距离】 (4)【题型4 平行与坐标轴点的坐标特征】 (6)【题型5 坐标确定位置】 (8)【题型6 点在坐标系中的平移】 (11)【题型7 图形在坐标系中的平移】 (13)【题型8 图形在格点中的平移变换】 (15)【题型1 判断点所在的象限】【例1】(2022春•洪山区期末)已知点P(x,y)在第四象限,则点Q(﹣x﹣3,﹣y)在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【分析】根据第四象限的横纵坐标范围,可求得x,y的取值范围,再确定Q点横纵坐标的取值范围即可解答.【解答】解:点P(x,y)在第四象限,∴x>0,y<0,∴﹣x﹣3<0,﹣y>0,∴点Q(﹣x﹣3,﹣y)在第二象限.故选:B.【变式1-1】(2022春•长沙期末)已知点P(﹣a,b),ab>0,a+b<0,则点P在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【分析】根据有理数的乘法、有理数的加法,可得a、b的符号,根据第一象限内点的横坐标大于零,纵坐标大于零,可得答案.【解答】解:因为ab>0,a+b<0,所以a<0,b<0,所以﹣a>0,所以点P(﹣a,b)在第四象限,故选:D.【变式1-2】(2022春•青山区期末)已知,点A的坐标为(m﹣1,2m﹣3),则点A一定不会在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【分析】根据每个象限点的坐标的符号特征列出不等式组,解不等式组,不等式组无解的选项符合题意.【解答】解:A选项,{m―1>02m―3>0,解得:m>32,故该选项不符合题意;B选项,{m―1<02m―3>0,不等式组无解,故该选项符合题意;C选项,{m―1<02m―3<0,解得:m<1,故该选项不符合题意;D选项,{m―1>02m―3<0,解得:1<m<32,故该选项不符合题意;故选:B.【变式1-3】(2022春•晋州市期中)对任意实数x,点P(x,x2+3x)一定不在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【分析】利用各象限内点的坐标性质分析得出答案.【解答】解:当x>0,则x2+3x>0,故点P(x,x2+3x)可能在第一象限;当x<0,则x2+3x>0或x2+3x<0,故点P(x,x2+3x)可能在第二、三象限;当x=0时,点P(x,x2+3x)在原点.故点P(x,x2+3x)一定不在第四象限.故选:D.均为0.【题型2 坐标轴上点的坐标特征】【例2】(2022春•陇县期中)在平面直角坐标系中,点M(m﹣3,m+1)在x轴上,则点P (m﹣1,1﹣m)在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【分析】根据x轴上的点纵坐标为0,可得m+1=0,从而求出m的值,进而求出点P的坐标,最后根据平面直角坐标系中每一象限点的坐标特征,即可解答.【解答】解:由题意得:m+1=0,∴m=﹣1,当m=﹣1时,m﹣1=﹣2,1﹣m=2,∴点P(﹣2,2)在第二象限,故选:B.【变式2-1】(2022春•海淀区校级期中)在平面直角坐标系中,点P的坐标为(2m﹣4,m+1),若点P在y轴上,则m的值为( )A.﹣1B.1C.2D.3【分析】根据y轴上的点横坐标为0,可得2m﹣4=0,然后进行计算即可解答.【解答】解:由题意得:2m﹣4=0,解得:m=2,故选:C.【变式2-2】(2022春•仓山区校级期中)已知点A(﹣3,2m+3)在x轴上,点B(n﹣4,4)在y轴上,则点C(m,n)在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【分析】直接利用x轴以及y轴上点的坐标得出m,n的值,进而得出答案.【解答】解:∵点A(﹣3,2m+3)在x轴上,点B(n﹣4,4)在y轴上,∴2m+3=0,n﹣4=0,解得:m=―32,n=4,则点C(m,n)在第二象限.故选:B.【变式2-3】(2022春•东莞市期中)已知点P(2a﹣4,a+1),若点P在坐标轴上,则点P 的坐标为 .【分析】分两种情况:当点P在x轴上,当点P在y轴上,分别进行计算即可解答.【解答】解:分两种情况:当点P在x轴上,a+1=0,∴a=﹣1,当a=﹣1时,2a﹣4=﹣6,∴点P的坐标为:(﹣6,0),当点P在y轴上,2a﹣4=0,∴a=2,当a=2时,a+1=3,∴点P的坐标为:(0,3),综上所述,点P的坐标为:(﹣6,0)或(0,3),故答案为:(﹣6,0)或(0,3).【题型3 点到坐标轴的距离】【例3】(2022春•巴南区期末)已知点P在x轴的下方,若点P到x轴的距离是3,到y 轴的距离是4,则点P的横坐标与纵坐标的和为 .【分析】根据题意可得点P在第三象限或第四象限,再根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值,到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答.【解答】解:∵点P在x轴下方,点P到x轴的距离是3,到y轴的距离是4,∴点P的横坐标为±4,纵坐标为﹣3,∴点P的坐标为(4,﹣3)或(﹣4,﹣3),点P的横坐标与纵坐标的和为4﹣3=1或﹣4﹣3=﹣7.故答案为:1或﹣7.【变式3-1】(2021秋•城固县期末)已知点M(a,b)在第一象限,点M到x轴的距离等于它到y轴距离的2倍,且点M到两坐标轴的距离之和为6,则点M的坐标为 .【分析】根据点到x轴的距离是纵坐标的绝对值,点到y轴的距离是点的横坐标的绝对值,可得答案.【解答】解:因为点M(a,b)在第一象限,所以a>0,b>0,又因为点M(a,b)在第一象限,点M到x轴的距离等于它到y轴距离的2倍,且点M 到两坐标轴的距离之和为6,所以{b=2aa+b=6,解得{a=2b=4,所以点M的坐标为(2,4).故答案为:(2,4).【变式3-2】(2022春•云阳县期中)坐标平面内有一点A(x,y),且点A到x轴的距离为3,到y轴的距离恰为到x轴距离的2倍.若xy<0,则点A的坐标为( )A.(6,﹣3)B.(﹣6,3)C.(3,﹣6)或(﹣3,6)D.(6,﹣3)或(﹣6,3)【分析】根据题意可得x,y异号,然后再利用点到x的距离等于纵坐标的绝对值,点到y 的距离等于横坐标的绝对值,即可解答.【解答】解:∵xy<0,∴x,y异号,∵点A到x轴的距离为3,到y轴的距离恰为到x轴距离的2倍,∴点A(6,﹣3)或(﹣6,3),故选:D.【变式3-3】(2021秋•阳山县期末)在平面直角坐标系中,点A的坐标是(3a﹣5,a+1).若点A到x轴的距离与到y轴的距离相等,且点A在y轴的右侧,则a的值为( )A.1B.2C.3D.1 或3【分析】根据点A到x轴的距离与到y轴的距离相等可得3a﹣5=a+1或3a﹣5=﹣(a+1),解出a的值,再由点A在y轴的右侧可得3a﹣5>0,进而可确定a的值.【解答】解:∵点A到x轴的距离与到y轴的距离相等,∴3a﹣5=a+1或3a﹣5=﹣(a+1),解得:a=3或1,∵点A在y轴的右侧,∴点A的横坐标为正数,∴3a﹣5>0,∴a>5 3,∴a=3.故选:C.【题型4 平行与坐标轴点的坐标特征】【例4】(2022春•东莞市期末)在平面直角坐标系中,点A的坐标为(3,2),AB平行于x轴,若AB=4,则点B的坐标为( )A.(7,2)B.(1,5)C.(1,5)或(1,﹣1)D.(7,2)或(﹣1,2)【分析】线段AB∥x轴,A、B两点纵坐标相等,又AB=4,B点可能在A点左边或者右边,根据距离确定B点坐标.【解答】解:∵AB∥x轴,∴A、B两点纵坐标都为2,又∵AB=4,∴当B点在A点左边时,B(﹣1,2),当B点在A点右边时,B(7,2);故选:D.【变式4-1】(2022春•延津县期中)在平面直角坐标系中,点A(﹣2,1),B(2,3),C (a,b),若BC∥x轴,AC∥y轴,则点C的坐标为( )A.(﹣2,1)B.(2,﹣3)C.(2,1)D.(﹣2,3)【分析】根据已知条件即可得到结论.【解答】解:∵点A(﹣2,1),B(2,3),C(a,b),BC∥x轴,AC∥y轴,∴b=3,a=﹣2,∴点C的坐标为(﹣2,3),故选:D.【变式4-2】(2022春•涪陵区期末)在平面直角坐标系中,若点P和点Q的坐标分别为P (﹣2,m),Q(﹣2,1),点P在点Q的上方,线段PQ=5,则m的值为( )A.6B.5C.4D.7【分析】借助图形,采用数形结合的思想求解.【解答】解:∵P(﹣2,m),Q(﹣2,1),点P在点Q的上方,线段PQ=5,∴m=1+5=6.故选:A.【变式4-3】(2022春•硚口区期中)如图,已知点A(4,0),B(0,2),C(﹣5,0),CD∥AB交y轴于点D.点P(m,n)为线段CD上(端点除外)一点,则m与n满足的等量关系式是( )A.m+2n=﹣5B.2m+n=﹣10C.m﹣n=﹣5D.2m﹣n=﹣6【分析】利用平移的性质可得点B与C对应时,点A的对应点为(﹣1,﹣2),由此可确定点P满足的等量关系式.【解答】解:∵AB∥CD,A(4,0),B(0,2),C(﹣5,0),当B与C对应时,点A平移后对应的点是(﹣1,﹣2),∵点P(m,n)为线段CD上(端点除外)一点,将点C(﹣5,0)和(﹣1,﹣2)分别代入m+2n=﹣5,2m+n=﹣10,m﹣n=﹣5,2m﹣n=﹣6中,只有m+2n=﹣5满足条件.故选:A.【题型5 坐标确定位置】【例5】(2022春•中山市期中)中国象棋具有悠久的历史,战国时期,就有了关于象棋的正式记载,如图是中国象棋棋局的一部分,如果用(2,﹣1)表示“炮”的位置,(﹣2,0)表示“士”的位置,那么“将”的位置应表示为( )A.(﹣2,3)B.(0,﹣5)C.(﹣3,1)D.(﹣4,2)【分析】直接利用已知点坐标建立平面直角坐标系,进而得出答案.【解答】解:如图所示:“将”的位置应表示为(﹣3,1).故选:C.【变式5-1】(2021秋•渠县校级期中)在大型爱国主义电影《长津湖》中,我军缴获了敌人防御工程的坐标地图碎片(如图),若一号暗堡坐标为(1,2),四号暗堡坐标为(﹣3,2),指挥部坐标为(0,0),则敌人指挥部可能在( )A.A处B.B处C.C处D.D处【分析】根据一号暗堡和四号暗堡的横纵坐标分别确定x轴和y轴的大致位置,然后画出直角坐标系即可得到答案.【解答】解:∵一号暗堡的坐标为(1,2),四号暗堡的坐标为(﹣3,2),∴它们的连线平行于x轴,∵一号暗堡和四号暗堡的纵坐标为正数,四号暗堡离y轴要远,如图,∴B点可能为坐标原点,∴敌军指挥部的位置大约是B处.故选:B.【变式5-2】(2022春•朝阳区期末)为更好的开展古树名木的系统保护工作,某公园对园内的6棵百年古树都利用坐标确定了位置,并且定期巡视.(1)在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系xOy,使得古树A、B的位置分别表示为A(1,2),B(0,﹣1);(2)在(1)建立的平面直角坐标系xOy中,①表示古树C的位置的坐标为 ;②标出另外三棵古树D(﹣1,﹣2),E(1,0),F(1,1)的位置;③如果“(﹣2,﹣2)→(﹣2,﹣1)→(﹣2,0)→(﹣2,1)→(﹣1,2)→(0,2)→(1,2)→(1,1)→(1,0)→(1,﹣1)→(0,﹣1)→(0,﹣2)→(﹣1,﹣2)”表示园林工人巡视古树的一种路线,请你用这种形式画出园林工人从原点O出发巡视6棵古树的路线(画出一条即可).【分析】(1)根据A(1,2),B(0,﹣1)建立坐标系即可;(2)①根据坐标系中C的位置即可求得;②直接根据点的坐标描出各点;③根据6棵古树的位置得出运动路线即可.【解答】解:(1)如图:(2)①古树C的位置的坐标为(﹣1,2);故答案为:(﹣1,2);②标出D(﹣1,﹣2),E(1,0),F(1,1)的位置如上图;③园林工人从原点O出发巡视6棵古树的路线:(0,0)→(1,0)→(1,1)→(1,3)→(﹣1,2)→(﹣1,2)→(0,1).【变式5-3】(2022春•海淀区校级期中)如图1,将射线OX按逆时针方向旋转β角(0°≤β<360°),得到射线OY,如果点P为射线OY上的一点,且OP=m,那么我们规定用(m,β)表示点P在平面内的位置,并记为P(m,β).例如,图2中,如果OM=5,∠XOM=110,那么点M在平面内的位置,记为M(5,110°),根据图形,解答下列问题:(1)如图3,点N在平面内的位置记为N(6,30°),那么ON= ,∠XON= .(2)如果点A、B在平面内的位置分别记为A(4,30°),B(3,210°),则A、B 两点间的距离为 .【分析】(1)由题意得第一个坐标表示此点距离原点的距离,第二个坐标表示此点与原点的连线与x 轴所夹的角的度数;(2)根据相应的度数判断出AB 是一条线段,从而得出AB 的长为4+3=7.【解答】解:(1)根据点N 在平面内的位置记为N (6,30°)可知,ON =6,∠XON =30°.故答案为:6,30°;(2)如图所示:∵A (4,30°),B (3,210°),∴∠AOX =30°,∠BOX =210°,∴∠AOB =180°,∵OA =4,OB =3,∴AB =4+3=7.故答案为:7.) 【例6】(2022春•洪湖市期中)在平面直角坐标系中,将点(1,﹣4)平移到点(﹣3,﹣2),经过的平移变换为( )A .先向左平移4个单位长度,再向下平移6个单位长度B .先向右平移4个单位长度,再向上平移6个单位长度C .先向左平移4个单位长度,再向上平移2个单位长度)向左平移a 个单位再向上平移b 个单向下平移b 个单位D.先向右平移4个单位长度,再向下平移2个单位长度【分析】根据点向左平移,纵坐标不变的特点即可求解.【解答】解:∵点(1,﹣4)平移到点(﹣3,﹣2),∴﹣3﹣1=﹣4,∴﹣2﹣(﹣4)=2,∴先向左平移4个单位长度,再向上平移2个单位长度故选:C.【变式6-1】(2022春•武侯区期末)在平面直角坐标系中,将点M(3m﹣1,m﹣3)向上平移2个单位长度得到点M',若点M'在x轴上,则点M的坐标是( )A.(2,﹣2)B.(14,2)C.(﹣2,―103)D.(8,0)【分析】让点M的纵坐标加2后等于0,求得m的值,进而得到点M的坐标.【解答】解:∵将点M(3m﹣1,m﹣3)向上平移2个单位长度得到点M',若点M'在x 轴上,∴m﹣3+2=0,解得:m=1,∴3m﹣1=2,m﹣3=﹣2,∴M(2,﹣2).故选:A.【变式6-2】(2022春•碑林区校级期中)在平面直角坐标系中,将点P(a,b)向右平移3个单位,再向下平移2个单位,得到点Q.若点Q位于第四象限,则a,b的取值范围是( )A.a>0,b<0B.a>1,b<2C.a>1,b<0D.a>﹣3,b<2【分析】利用平移中点的变化规律:横坐标右移加,左移减;纵坐标上移加,下移减求解即可.【解答】解:P(a,b)向右平移3个单位,再向下平移2个单位得到(a+3,b﹣2),∵Q位于第四象限,∴a+3>0,b﹣2<0,∴a>﹣3,b<2.故选D.【变式6-3】(2021秋•苏州期末)在平面直角坐标系中,把点P(a﹣1,5)向左平移3个单位得到点Q(2﹣2b,5),则2a+4b+3的值为 .【分析】根据横坐标,右移加,左移减;纵坐标,上移加,下移减可得答案.【解答】解:将点P(a﹣1,5)向左平移3个单位,得到点Q,点Q的坐标为(2﹣2b,5),∴a﹣1﹣3=2﹣2b,∴a+2b=6,∴2a+4b+3=2(a+2b)+3=2×6+3=15,故答案为:15.【例7】(2022春•胶州市期末)如图,△ABC的顶点坐标A(2,3),B(1,1),C(4,2),将△ABC先向左平移3个单位,再向下平移1个单位,得到△A'B'C',则BC边上一点D(m,n)的对应点D'的坐标是( )A.(m+3,n+1)B.(m﹣3,n﹣1)C.(﹣1,2)D.(3﹣m,1﹣n)【分析】根据坐标平移规律解答即可.【解答】解:∵将△ABC先向左平移3个单位,再向下平移1个单位,得到△A'B'C',∴BC边上一点D(m,n)的对应点D'的坐标是(m﹣3,n﹣1).故选:B.【变式7-1】(2022•青岛二模)如图,线段AB经过平移得到线段A'B',其中点A,B的对应点分别为点A',B',这四个点都在格点上.若线段A'B'有一个点P'(a,b),则点P'在AB上的对应点P的坐标为( )A.(a﹣2,b+3)B.(a﹣2,b﹣3)C.(a+2,b+3)D.(a+2,b﹣3)【分析】先利用点A它的对应点A′的坐标特征得到线段AB先向右平移2个单位,再向下平移3个单位得到线段A′B′,然后利用点平移的坐标规律写出点P(a,b)平移后的对应点P′的坐标.【解答】解:由图知,线段A'B'向右平移2个单位,再向下平移3个单位即可得到线段AB,所以点P'(a,b)在AB上的对应点P的坐标为(a+2,b﹣3),故选:D.【变式7-2】(2022春•滨城区期中)如图,第一象限内有两点P(m﹣4,n),Q(m,n﹣3),将线段PQ平移,使点P、Q分别落在两条坐标轴上,则点P平移后的对应点的坐标是( )A.(﹣2,0)B.(0,3)C.(0,3)或(﹣4,0)D.(0,3)或(﹣2,0)【分析】设平移后点P、Q的对应点分别是P′、Q′.分两种情况进行讨论:①P′在y 轴上,Q′在x轴上;②P′在x轴上,Q′在y轴上.【解答】解:设平移后点P、Q的对应点分别是P′、Q′.分两种情况:①P′在y轴上,Q′在x轴上,则P′横坐标为0,Q′纵坐标为0,∵0﹣(n﹣3)=﹣n+3,∴n﹣n+3=3,∴点P平移后的对应点的坐标是(0,3);②P′在x轴上,Q′在y轴上,则P′纵坐标为0,Q′横坐标为0,∵0﹣m=﹣m,∴m﹣4﹣m=﹣4,∴点P平移后的对应点的坐标是(﹣4,0);综上可知,点P平移后的对应点的坐标是(0,3)或(﹣4,0).故选:C.【变式7-3】(2022春•如东县期中)三角形ABC在经过某次平移后,顶点A(﹣1,m+2)的对应点为A(2,m﹣3),若此三角形内任意一点P(a,b)经过此次平移后对应点P1(c,d).则a+b﹣c﹣d的值为( )A.8+m B.﹣8+m C.2D.﹣2【分析】由A(﹣1,2+m)在经过此次平移后对应点A1(3,m﹣3),可得△ABC的平移规律为:向右平移3个单位,向下平移5个单位,由此得到结论.【解答】解:∵A(﹣1,2+m)在经过此次平移后对应点A1(2,m﹣3),∴△ABC的平移规律为:向右平移3个单位,向下平移5个单位,∵点P(a,b)经过平移后对应点P1(c,d),∴a+3=c,b﹣5=d,∴a﹣c=﹣3,b﹣d=5,∴a+b﹣c﹣d=﹣3+5=2,故选:C.【题型8 图形在格点中的平移变换】【例8】(2021春•抚远市期末)在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(0,4),线段MN的位置如图所示,其中点M的坐标为(﹣3,﹣1),点N的坐标为(3,﹣2).(1)将线段MN平移得到线段AB,其中点M的对应点为A,点N的对应点为B.①点M平移到点A的过程可以是:先向 平移 个单位长度,再向 平移 个单位长度;②点B的坐标为 ;(2)在(1)的条件下,若点C的坐标为(4,0),连接AC,BC,求△ABC的面积.【分析】(1)由点M及其对应点的A的坐标可得平移的方向和距离,据此可得点N的对应点B的坐标;(2)割补法求解可得.【解答】解:(1)如图,①点M平移到点A的过程可以是:先向右平移3个单位长度,再向上平移5个单位长度;②点B的坐标为(6,3),故答案为:右、3、上、5、(6,3);(2)如图,S△ABC=6×4―12×4×4―12×2×3―12×6×1=10.【变式8-1】(2022春•长沙期末)如图,△ABC的顶点A(﹣1,4),B(﹣4,﹣1),C (1,1).若△ABC向右平移4个单位长度,再向下平移3个单位长度得到△A'B'C',且点C的对应点坐标是C'.(1)画出△A'B'C',并直接写出点C'的坐标;(2)若△ABC内有一点P(a,b)经过以上平移后的对应点为P',直接写出点P'的坐标;(3)求△ABC的面积.【分析】(1)首先确定A、B、C三点平移后的对应点位置,然后再连接即可;(2)由平移的性质可求解;(3)利用面积的和差关系可求解.【解答】解:(1)如图所示:∴点C(5,﹣2);(2)∵△ABC向右平移4个单位长度,再向下平移3个单位长度得到△A'B'C',∴点P'(a+4,b﹣3);(3)S△ABC=5×5―12×3×5―12×2×3―12×5×2=25﹣7.5﹣3﹣5=9.5.【变式8-2】(2022春•江岸区校级月考)如图,三角形A′B′C′是由三角形ABC经过某种平移得到的,点A与点A′,点B与点B′,点C与点C′分别对应,且这六个点都在格点上,观察各点以及各点坐标之间的关系,解答下列问题:(1)分别写出点B和点B′的坐标,并说明三角形A′B′C′是由三角形ABC经过怎样的平移得到的;(2)连接BC′,直接写出∠CBC′与∠B′C′O之间的数量关系 ;(3)若点M(a﹣1,2b﹣5)是三角形ABC内一点,它随三角形ABC按(1)中方式平移后得到的对应点为点N(2a﹣7,4﹣b),求a和b的值.【分析】(1)由图形可得出点的坐标和平移方向及距离;(2)根据平移的性质和平角的定义和平行线的性质即可求解;(3)根据以上所得平移方式,利用“横坐标,右移加,左移减;纵坐标,上移加,下移减”的规律列出关于a、b的方程,解之求得a、b的值.【解答】解:(1)由图知,B(2,1),B′(﹣1,﹣2),三角形A′B′C′是由三角形ABC向左平移3个单位,向下平移3个单位得到的;(2)∠CBC′与∠B′C′O之间的数量关系∠CBC′﹣∠B′C′O=90°.故答案为:∠CBC′﹣∠B′C′O=90°;(3)由(1)中的平移变换得a﹣1﹣3=2a﹣7,2b﹣5﹣3=4﹣b,解得a=3,b=4.故a的值是3,b的值是4.【变式8-3】(2021春•安阳县期中)在平面直角坐标系中,三角形ABC经过平移得到三角形A'B'C',位置如图所示.(1)分别写出点A,A'的坐标:A ,A' .(2)请说明三角形A'B'C'是由三角形ABC经过怎样的平移得到的.(3)若点M(m,4﹣n)是三角形ABC内部一点,则平移后对应点M'的坐标为(2m﹣8,n﹣4),求m和n的值.【分析】(1)根据已知图形可得答案;(2)由A(1,0)的对应点A′(﹣4,4)得平移规律,即可得到答案;(3)由(2)平移规律得出m、n的方程.【解答】解:(1)由图知A(1,0),A'(﹣4,4),故答案为:(1,0),(﹣4,4);(2)A(1,0)对应点的对应点A′(﹣4,4)得A向左平移5个单位,向上平移4个单位得到A′,三角形A'B'C'是由三角形ABC向左平移5个单位,向上平移4个单位得到.(3)△ABC内M(m,4﹣n)平移后对应点M'的坐标为(m﹣5,4﹣n+4),∵M'的坐标为(2m﹣8,n﹣4),∴m﹣5=2m﹣8,4﹣n+4=n﹣4,∴m=3,n=6.。
平面直角坐标系常考题型一选择题1.若点P(x,y)在第三象限,且点P到x轴的距离为3,到y轴的距离为2,则点P的坐标是( )A.(-2,-3)B.(-2,3)C.(2,-3)D.(2,3)2.若点A(2,m)在x轴上,则点B(m﹣1,m+1)在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.一个长方形在平面直角坐标系中,三个顶点的坐标分别是(-1,-1)、(-1,2)、(3,-1),则第四个顶点的坐标是( )A.(2,2)B.(3,2)C.(3,3)D.(2,3)4.若点A(m,n)在第二象限,那么点B(-m,│n│)在( )A.第一象限B.第二象限;C.第三象限D.第四象限5.已知点P(x,y),且,则点P在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限7.如图,在5×4的方格纸中,每个小正方形边长为1,点O,A,B在方格纸的交点(格点)上,在第四象限内的格点上找点C,使三角形ABC的面积为3,则这样的点C共有( )A.2个B.3个C.4个D.5个填空题1.已知点A(0,1),B(0 ,2),点C在x轴上,且S三角形ABC=2,则点C的坐2.在平面直角坐标系中,点C(3,5),先向右平移了5个单位,再向下平移了33.若A(a,b)在第二、四象限的角平分线上,a与b的关系是_________.解题技巧专题:平面直角坐标系中的图形面积——代几结合,突破面积及点的存在性问题◆类型一直接利用面积公式求图形的面积1.如图,在平面直角坐标系中,三角形ABC的面积是( )A.2 B.4 C.8 D.6第1题图第2题图2.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知A(-1,5),B(-1,0),C(-4,3),则三角形ABC的面积为________.◆类型二利用分割法求图形的面积3.如图,在平面直角坐标系中,点A(4,0),B(3,4),C(0,2),则四边形ABCO的面积为________.4.观察下图,图中每个小正方形的边长均为1,回答以下问题:【方法14】(1)写出多边形ABCDEF各个顶点的坐标;(2)线段BC,CE的位置各有什么特点?(3)求多边形ABCDEF的面积.◆类型三利用补形法求图形的面积5.在如图所示的正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,三角形ABC 的三个顶点恰好是正方形网格的格点.【方法14】(1)写出三角形ABC各顶点的坐标;(2)求出此三角形的面积.◆类型四与图形面积相关的点的存在性问题6.(2017·定州市期中)如图,A(-1,0),C(1,4),点B在x轴上,且AB =3.(1)求点B的坐标;(2)求三角形ABC的面积;(3)在y轴上是否存在点P,使以A,B,P三点为顶点的三角形的面积为10?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.难点探究专题:平面直角坐标系中动点问题——掌握不同规律,以不变应万变◆类型一沿坐标轴方向运动的点的坐标规律探究1.如图,动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动,第1次从原点运动到点(1,1),第2次接着运动到点(2,0),第3次接着运动到点(3,2)……按这样的运动规律,经过第2016次运动后,动点P的坐标是________.2.(2017·阿坝州中考)如图,在平面直角坐标系中,一动点从原点O出发,沿着箭头所示方向,每次移动1个单位,依次得到点P1(0,1),P2(1,1),P3(1,0),P4(1,-1),P5(2,-1),P6(2,0),…,则点P2017的坐标是________.3.如图,在直角坐标系中,第一次将三角形OAB变换成三角形OA1B1,第二次将三角形OA1B1变换成三角形OA2B2,第三次将三角形OA2B2变换成三角形OA3B3……已知A(1,3),A1(2,3),A2(3,3),A3(4,3),B(2,0),B1(4,0),B2(8,0),B3(16,0).(1)仔细观察每次变换前后的三角形有何变化,找出规律,按此变换规律将三角形OA3B3变换成三角形OA4B4,则A4的坐标是_________,B4的坐标是_________ ;(2)若按第(1)题的规律将三角形OAB进行了n次变换,得到三角形OAn Bn,比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化,找出规律,请推测:An的坐标是_________,Bn的坐标是_________.◆类型二绕原点呈“回”字形运动的点的坐标规律探究1.如图,一个质点在第一象限及x轴、y轴上运动,在第一秒时,它从原点(0,0)运动到(0,1),然后接着按图中箭头所示方向运动,即(0,0)→(0,1)→(1,1)→(1,0)•••,且每秒移动一个单位,那么第80秒时质点所在位置的坐标是( )A.(0,9)B.(9,0)C.(0,8)D.(8,0)2.将自然数按以下规律排列:第一列第二列第三列第四列第五列表中数2在第二行,第一列,与有序数对(2,1)对应;数5与(1,3)对应;数14与(3,4)对应;根据这一规律,数2014对应的有序数对为.。
平面直角坐标系常见题型
1.数轴上表示5的点与表示 – 1的点之间的距离是 ; 2.已知数轴上的点A 、B 所对应的实数分别是2.1-和
4
3
,那么A B = . 3.经过点Q (2,0)且垂直于x 轴的直线可以表示为直线 . 4.经过点P (-1,5)且垂直于y 轴的直线可以表示为直线 . 5.点(2,3)P -在第___________象限.
6.如果点A (a ,b )在第三象限,那么ab _____0 (填“<”,“=”或“>”) . 7.如果点A (2,n )在x 轴上,那么点B (2-n ,1+n )在第_________象限. 8. 在平面直角坐标系中,点P (3a -,2)到两坐标轴的距离相等,那么a 的值是 . 9.如果点P 在第二象限,且点P 到x 轴的距离是3,到y 轴的距离是5,那么点P 的坐标是 .
10.点A (–2,3)关于x 轴的对称点B 的坐标为 ; 11.点P (–1,0 )关于y 轴的对称点P ′的坐标是_____________. 12.点A (–3,2)关于原点的对称点A ′的坐标为 ;
13.已知点P (1-m ,2)与点Q (1,2)关于y 轴对称,那么m =____________. 14.在直角坐标平面内,将点(3,2)A -向下平移4个单位后,所得的点的坐标是
________________.
15在平面直角坐标系中,点M (-2,6)向下平移3个单位到达点N ,点N 在第______象限.
16.已知△ABC 的顶点坐标是A (-1,5)、
B (-5,5)、
C (-6,2).
(1)分别写出与点A 、B 、C 关于原点O 对称的点A ' 、B '、C '的坐标; A '____________, B '____________,
C ' ____________; (2)在坐标平面内画出 △C B A ''';(写结论) (3)△C B A '''的面积的 值等于____________.
B
A C 6
5 4 3
2
1
O 1 -6 2 3 4 5 6
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5 -6
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-5
5
10
x
y
O
17.在直角坐标平面内,描出点A (0,5)和点B (–2,–4),已知BC = 4,且BC //x 轴. (1)写出点C 的坐标;
(2)联结AB 、AC 、BC ,判断△ABC 的形
状,并求出它的面积.
18.在直角坐标平面内,已点A (3,0)、B (―5,3),
将点A 向左平移6个单位到达C 点, 将点B 向下平移6个单位到达D 点. (1)写出C 点、D 点的坐标:
C ____________,
D ____________;
(2)把这些点按A -B ―C ―D ―A 顺
次联结起来,这个图形的面积是 ____________.
19.如图,在平面直角坐标系中,已知OA =5.
(1)点
A 的坐标是 ;
(2)点A 关于原点O 的对称点A '的坐标是 ,
并在平面直角坐标系中画出点A ';
(3)如果点B 在x 轴上,且△A BO '是等腰三角
形,请写出两个符合条件的点B 的坐标: 1B ,2B ,那么
1
________A B O S '∆=,2
_______A B O S '∆=.
y
x
4-4
-2
-3123-4-34
21
3-2
-1-1A
O 第19题图
20.如图,在直角坐标平面内,已知点A 的坐标(-5,0), (1) 图中B 点的坐标是 ;
(2) 点B 关于原点对称的点C 的坐标是 ;
点A 关于y 轴对称的点D 的坐标是 ;
(3) △ABC 的面积是 ; (4) 在直角坐标平面上找一点E ,能满足ADE S ∆=ABC
S ∆的点E 有 个;
(5) 在y 轴上找一点F ,使ADF S ∆=ABC S ∆,
那么点F 的所有可能位置是 ;(用坐标表示,并在图中画出)
21.如图7,在直角坐标平面内,已知点
()2,3A --与点B ,将点A 向右
平移7个单位到达点C .
(1)点B 的坐标是 ;A 、B 两点之间距离等于 ;
(2)点C 的坐标是 ;△ABC 的形状是 ;
(3)画出△ABC 关于原点O 对称的△
111A B C .
23.已知点A 的坐标是(3,0),点B 的坐标是(-1,0),△ABC 是等腰三角形,且一边上的高为4,写出所有满足条件的点C 的坐标.(提示:先画图,再求解)
B
11
O
y
x
第20题图
24.如图,在△ABC 中,已知AB = AC = 2,点A 的坐标是(1,0),点B 、C 在y 轴上.试
判断在x 轴上是否存在点P ,使△P AB 、△P AC 和△PBC 都是等腰三角形.如果存在这样的点P 有几个?写出点P 的坐标;如果不存在,请说明理由.
25.如图11,在直角坐标平面内有两点()0,2A 、()2,0B -,且A 、B 两点 之间的距离等于a (a 为大于0的已知数),在不计算a 的数值条件下,完成下 列两题:
(1)以学过的知识用一句话说出a >2的理由;
(2)在x 轴上是否存在点P ,使△PAB 是等腰三角形,如果存在,请写出点P 的坐标,并求△PAB 的面积;如果不存在,请说明理由. 解:
B A
y
x
O
图11
x
y O 1
B C
A
-1
-1 1。