平面直角坐标系找规律题型解析
1、如图，正方形ABCD 的顶点分别为A(1,1) B(1，-1) C(-1，-1) D(-1，1)，y 轴上有
一点P(0，2)。作点P 关于点A 的对称点p1，作p1关于点B 的对称点p2，作点p2关于点C
的对称点p3，作p3关于点D 的对称点p4，作点p4关于点A 的对称点p5，作p5关于点B 的
对称点p6┅，按如此操作下去，则点p2011的坐标是多少？
解法1：对称点P1、P2、P3、P4每4个点，图形为一个循环周期。
设每个周期均由点P1，P2，P3，P4组成。
第1周期点的坐标为：P1(2,0)，P2(0,-2)，P3(-2,0)，P4(0,2)
第2周期点的坐标为：P1(2,0)，P2(0,-2)，P3(-2,0)，P4(0,2)
第3周期点的坐标为：P1(2,0)，P2(0,-2)，P3(-2,0)，P4(0,2)
第n 周期点的坐标为：P1(2,0)，P2(0,-2)，P3(-2,0)，P4(0,2)
2011÷4=502…3，所以点P2011的坐标与P3坐标相同，为（－2，0）
解法2：根据题意，P1（2，0） P2（0，－2） P3（－2，0） P4（0，2）。
根据p1-pn 每四个一循环的规律，可以得出：
P4n （0，2），P4n+1（2，0），P4n+2（0，－2），P4n+3（－2，0）。
2011÷4=502…3，所以点P2011的坐标与P3坐标相同，为（－2，0）
总结：此题是循环问题，关键是找出每几个一循环，及循环的起始点。此题是每四个点
一循环，起始点是p 点。
2、在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O 出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次
不断移动，每次移动1个单位．其行走路线如下图所示．
（1）填写下列各点的坐标：A4（ ， ），A8（ ， ），A10（ ， ），A12（ ）；
（2）写出点A4n 的坐标（n 是正整数）；
（3）按此移动规律，若点Am 在x 轴上，请用含n 的代数式表示m （n 是正整数）
（4）指出蚂蚁从点A2011到点A2012的移动方向．
（5）指出蚂蚁从点A100到点A101的移动方向．（6）指出A106，A201的的坐标及方向。
解法：（1）由图可知，A4，A12，A8都在x 轴上，
∵小蚂蚁每次移动1个单位， ∴OA4=2，OA8=4，OA12=6，
∴A4（2，0），A8（4，0），A12（6，0）；同理可得出：A10（5，1）
（2）根据（1）OA4n=4n÷2=2n，∴点A4n 的坐标（2n ，0）；
（3）∵只有下标为4的倍数或比4n 小1的数在x 轴上，
∴点Am 在x 轴上，用含n 的代数式表示为：m=4n 或m=4n-1；
（4）∵2011÷4=502…3，
O 1 A 1 A 2 A 3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A 10 A 11 A 12 x
y
∴从点A2011到点A2012的移动方向与从点A3到A4的方向一致，为向右．
（5）点A100中的n正好是4的倍数，所以点A100和A101的坐标分别是A100（50，0）和A101（50，1），所以蚂蚁从点A100到A101的移动方向是从下向上。
（6）方法1：点A1、A2、A3、A4每4个点，图形为一个循环周期。
设每个周期均由点A1，A2，A3，A4组成。
第1周期点的坐标为：A1(0,1)， A2(1,1)， A3(1,0)， A4(2,0)
第2周期点的坐标为：A1(2,1)， A2(3,1)， A3(3,0)， A4(4,0)
第3周期点的坐标为：A1(4,1)， A2(5,1)， A3(5,0)， A4(6,0)
第n周期点的坐标为：A1(2n-2,1)，A2(2n-1,1)，A3(2n-1,0)，A4(2n,0)
106÷4=26…2，所以点A106坐标与第27周期点A2坐标相同,(2×27-1,1)，即(53,1)方向朝下。
201÷4=50…1，所以点A201坐标与第51周期点A1坐标相同,(2×51-2,1)，即(100,1)方向朝右。
方法2：由图示可知，在x轴上的点A的下标为奇数时，箭头朝下，下标为偶数时，箭头朝上。106=104+2，即点A104再移动两个单位后到达点A106，A104的坐标为（52，0）且移动的方向朝上，所以A106的坐标为（53，1），方向朝下。
同理：201=200+1，即点A200再移动一个单位后到达点A201，A200的坐标为（100，0）且移动的方向朝上，所以A201的坐标为（100，1），方向朝右。
3、一只跳蚤在第一象限及x轴、y轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到(0，1)，然后接着按图中箭头所示方向跳动[即(0，0)→(0，1) →(1，1) →（1，0）→…]，且每秒跳动一个单位，那么第35秒时跳蚤所在位置的坐标是多少？第42、49、2011秒所在点的坐标及方向？
解法1：到达（1，1）点需要2秒
到达（2，2）点需要2+4秒
到达（3，3）点需要2+4+6秒
到达（n，n）点需要2+4+6+...+2n秒＝n(n+1)秒
当横坐标为奇数时，箭头朝下，再指向右，当横坐标为偶数时，箭头朝上，再指向左。
35=5×6+5，所以第5*6=30秒在（5，5）处，此后要指向下方，再过5秒正好到（5,0）即第35秒在（5，0）处，方向向右。
42=6×7，所以第6×7=42秒在（6，6）处，方向向左
49=6×7+7，所以第6×7=42秒在（6，6）处，再向左移动6秒，向上移动一秒到（0，7）即第49秒在（0，7）处，方向向右
解法2：根据图形可以找到如下规律，当n为奇数是n2秒处在（0，n）处，且方向指向右；当n为偶数时n2秒处在（n，0）处，且方向指向上。
35=62-1，即点（6，0）倒退一秒到达所得点的坐标为（5，0），即第35秒处的坐标为（5，0）方向向右。用同样的方法可以得到第42、49、2011处的坐标及方向。
4、如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行．从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用A1，A2，A3，A4，…表示，顶点A55的坐标是（）
解法1：观察图象，每四个点一圈进行循环，根据点的脚标与坐标寻找规律。
观察图象，点A1、A2、A3、A4每4个点，图形为一个循环周期。
设每个周期均由点A1，A2，A3，A4组成。
第1周期点的坐标为：A1(-1,-1)， A2(-1,1)， A3(1,1)， A4(1,-1)
第2周期点的坐标为：A1(-2,-2)， A2(-2,2)， A3(2,2)， A4(2,-2)
第3周期点的坐标为：A1(-3,-3)， A2(-3,3)， A3(3,3)， A4(3,-3)
第n周期点的坐标为：A1(-n,-n)， A2(-n,n)， A3(n,n)， A4(n,-n)
∵55÷4=13…3，∴A55坐标与第14周期点A3坐标相同,(14,14)，在同一象限
解法2：∵55=4×13+3，∴A55与A3在同一象限，即都在第一象限，
根据题中图形中的规律可得：
3=4×1-1，A3的坐标为（1，1），7=4×2-1，A7的坐标为（2，2），
11=4×3-1，A11的坐标为（3，3）；55=4×14-1，A55（14，14）
5、在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（m，n），规定以下两种变换：
（1）f（m，n）=（m，﹣n），如f（2，1）=（2，﹣1）；
（2）g（m，n）=（﹣m，﹣n），如g（2，1）=（﹣2，﹣1）．
按照以上变换有：f[g（3，4）]=f(﹣3,﹣4)=（﹣3，4），那么g[f（﹣3，2）]等于（）解：∵f（﹣3，2）=（﹣3，﹣2），∴g[f（﹣3，2）]=g（﹣3，﹣2）=（3，2），
6、在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（a，b），若规定以下三种变换：
1、f（a，b）=（﹣a，b）．如：f（1，3）=（﹣1，3）；
2、g（a，b）=（b，a）．如：g（1，3）=（3，1）；
3、h（a，b）=（﹣a，﹣b）．如：h（1，3）=（﹣1，﹣3）．
按照以上变换有：f(g(2,﹣3))=f(-3，2）=(3,2)，那么f(h(5,-3))等于（）（5，3）
7、一质点P从距原点1个单位的M点处向原点方向跳动，第一次跳动到OM的中点M3处，第二次从M3跳到OM3的中点M2处，第三次从点M2跳到OM2的中点M1处，如此不断跳动下去，则第n次跳动后，该质点到原点O的距离为（）
解：由于OM=1，所有第一次跳动到OM的中点M3处时，OM3=OM=，同理第二次从M3
点跳动到M2处，即在离原点的2处，同理跳动n次后，即跳到了离原点的处
8、如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2）…根据这个规律，第2012个点的横坐标为（）45 ．
解：根据图形，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上横坐标的平方，例如：右下角的点的横坐标为1，共有1个，1=12，
右下角的点的横坐标为2时，共有4个，4=22，
右下角的点的横坐标为3时，共有9个，9=32，
右下角的点的横坐标为4时，共有16个，16=42，
右下角的点的横坐标为n时，共有n2个，
∵452=2025，45是奇数，∴第2025个点是（45，0），第2012个点是（45，13），
9、（2007?遂宁）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0）…根据这个规律探究可得，第88个点的坐标为（）．
解：由图形可知：点的横坐标是偶数时，箭头朝上，点的横坐标是奇数时，箭头朝下。
坐标系中的点有规律的按列排列，第1列有1个点，第2列有2个点，第3列有3个点…第n列有n个点。
∵1+2+3+4+…+12=78，∴第78个点在第12列上，箭头常上。
∵88=78+10，∴从第78个点开始再经过10个点，就是第88个点的坐标在第13列上，
坐标为（13，13-10），即第88个点的坐标是（13，3）
10、如图，已知Al（1，0），A2（1，1），A3（﹣1，1），A4（﹣1，﹣1），A5（2，﹣1），…．则点A2007的坐标为（）．
解法1：观察图象，点A1、A2、A3、A4每4个点，图形为一个循环周期。
设每个周期均由点A1，A2，A3，A4组成。
第1周期点的坐标为：A1(1,0)， A2(1,1)， A3(-1,1)， A4(-1,-1)
第2周期点的坐标为：A1(2,-1)， A2(2,2)， A3(-2,2)， A4(-2,-2)
第3周期点的坐标为：A1(3,-2)， A2(3,3)， A3(-3,3)， A4(-3,-3)
第n周期点的坐标为：A1(n,-(n-1))， A2(n,n)， A3(-n,n)， A4(-n,-n)
因为2007÷4=501…3，所以A2007的坐标与第502周期的点A3的坐标相同，即(-502,502) 解法2：由图形以可知各个点（除A1点和第四象限内的点外）都位于象限的角平分线上，位于第一象限点的坐标依次为A2（1，1） A6（2，2） A10（3，3）…A4n﹣2（n，n）。
因为第一象限角平分线的点对应的字母的下标是2，6，10，14，即4n﹣2（n是自然数，n是点的横坐标的绝对值）；
同理第二象限内点的下标是4n﹣1（n是自然数，n是点的横坐标的绝对值）；
第三象限是4n（n是自然数，n是点的横坐标的绝对值）；
第四象限是1+4n（n是自然数，n是点的横坐标的绝对值）；
因为2007÷4=501…3，所以A2007位于第二象限。2007=4n﹣1则n=502，
故点A2007在第二象限的角平分线上，即坐标为（﹣502，502）．
11、如图，一个机器人从O点出发，向正东方向走3米到达A1点，再向正北方向走6米
到达A2点，再向正西方向走9米到达A3点，再向正南方向走12米到达A4点，再向正东方
向走15米到达A5点、按如此规律走下去，当机器人走到A6，A108点D的坐标各是多少。
解法1：观察图象，点A1、A2、A3、A4每4个点，图形为一个循环周期。
设每个周期均由点A1，A2，A3，A4组成。
第1周期点的坐标为：A1(3,0)， A2(3,6)， A3(-6,6)， A4(-6,-6) 第2周期点的坐标为：A1(9,-6)， A2(9,12)， A3(-12,12)， A4(-12,-12) 第3周期点的坐标为：A1(15,-12)， A2(15,18)， A3(-18,18)， A4(-18,-18) 第n周期点的坐标为：A1(6n-3,-(6n-6))，A2(6n-3,6n)， A3(-6n,6n)， A4(-6n,-6n) 因为6÷4=1…2，所以A6的坐标，与第2周期的点A2的坐标相同，即(9,12)
因为108÷4=27，所以A108的坐标与第27周期的点A4的坐标相同，(-6×27, -6×27) 解法2：根据题意可知，A1A2=3,A2A3=6,A3A4=8,A4A5=15,当机器人走到A6点时，A5A6=18米，点A6的坐标是（9，12）；
12、（2013?兰州）如图，在直角坐标系中，已知点A（﹣3，0）、B（0，4），对△OAB 连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、△4…，则△2013的直角顶点的坐标为（）．
解：∵点A（﹣3，0）、B（0，4），∴AB==5，
由图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为：4+5+3=12，∵2013÷3=671，∴△2013的直角顶点是第671个循环组的最后一个三角形的直角顶点，∵671×12=8052，∴△2013的直角顶点的坐标为（8052，0）．
12．（2013?聊城）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），…那么点A4n+1（n为自然数）的坐标为（）
解：由图可知，n=1时，4×1+1=5，点A5（2，1），
n=2时，4×2+1=9，点A9（4，1），
n=3时，4×3+1=13，点A13（6，1），所以，点A4n+1（2n，1）．
13．（2013?湛江）如图，所有正三角形的一边平行于x轴，一顶点在y轴上．从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用A1、A2、A3、A4…表示，其中A1A2与x轴、底边A1A2与A4A5、A4A5与A7A8、…均相距一个单位，求点A3和 A92的坐标分别是多少，．
解法1：观察图象，点A1、A2、A3、每3个点，图形为一个循环周期。
根据计算A3的坐标是（0，﹣1）
设每个周期均由点A1，A2，A3，组成。
第1周期点的坐标为：A1(-1,-1)， A2(1,-1)， A3(0, ﹣1)
第2周期点的坐标为：A1(-2,-2)， A2(2,-2)， A3(0, )
第3周期点的坐标为：A1(-3,-3)， A2(3,-3)， A3(0, +1)
第n周期点的坐标为：A1(-n,-n)， A2(n,-n)， A3(0, +n-2)，
因为3÷3=1，所以A3的坐标与第1周期的点A3的坐标相同，即(0, ﹣1)
因为92÷3=30…2，所以A92的坐标与第31周期的点A2的坐标相同，即(31, -31) 解法2：∵△A1A2A3的边长为2，∴△A1A2A3的高线为2×=，
∵A1A2与x轴相距1个单位，∴A3O=﹣1，∴A3的坐标是（0，﹣1）；
∵92÷3=30…2，∴A92是第31个等边三角形的初中第四象限的顶点，
第31个等边三角形边长为2×31=62，
∴点A92的横坐标为×62=31，∵边A1A2与A4A5、A4A5与A7A8、…均相距一个单位，∴点A92的纵坐标为﹣31，∴点A92的坐标为（31，﹣31）．
14、如图是某同学在课外设计的一款软件，蓝精灵从O点第一跳落到A1（1，0），第二跳落到A2（1，2），第三跳落到A3（4，2），第四跳落到A4（4，6），第五跳落到A5 ___ ．到达A2n后，要向____方向跳____个单位落到A2n+1．
解：∵蓝精灵从O点第一跳落到A1（1，0），第二跳落到A2（1，2），第三跳落到
A3（4，2），第四跳落到A4（4，6），
∴蓝精灵先向右跳动，再向上跳动，每次跳动距离为次数+1，即可得出：
第五跳落到A5（9，6），到达A2n后，要向右方向跳（2n+1）个单位落到A2n+1．
17．（2012?莱芜）将正方形ABCD的各边按如图所示延长，从射线AB开始，分别在各射线上标记点A1、A2、A3、…，按此规律，点A2012在那条射线上．
解：如图所示：
点名称射线名称
AB A1 A3 A10 A12 A17 A19 A26 A28 …
CD A2 A4 A9 A11 A18 A20 A25 A27 …
BC A5 A7 A14 A16 A21 A23 A30 A32 …
DA A6 A8 A13 A15 A22 A24 A29 A31 …
根据表格中点的排列规律，可以得到点的坐标是每16个点排列的位置一循环，
因为2012=16×125+12，所以点A2012所在的射线和点 A12所在的直线一样．
因为点A2012所在的射线是射线AB，所以点A2012在射线AB上，故答案为：AB．
18、（2011?钦州）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），…，按这样的运动规律，经过第2011次运动后，动点P的坐标是_________ ．
解法1：观察图象，每4个点，图形为一个循环周期。
设每个周期均由点P1，P2，P3，P4组成。
第1周期点的坐标为：P1(1,1)， P2(2,0)， P3(3, 2)， P4(4,0)
第2周期点的坐标为：P1(5,1)， P2(6,0)， P3(7, 2)， P4(8,0)
第3周期点的坐标为：P1(9,1)， P2(10,0)， P3(11, 2)， P4(12,0)
第n周期点的坐标为：P1(4n-3,1)， P2(4n-2,0)， P3(4n-1, 2)，P4(4n,0)
因为2011÷4=502…3，所以P2011的坐标与第503周期的点P3的坐标相同(503×4-1, 2)，即（2011，2）
解法2、根据动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动
到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），
∴第4次运动到点（4，0），第5次接着运动到点（5，1），…，
∴横坐标为运动次数，经过第2011次运动后，动点P的横坐标为2011，纵坐标为1，0，
2，0，每4次一轮，
∴经过第2011次运动后，动点P的纵坐标为：2011÷4=502余3，故纵坐标为四个数中
第三个，即为2，∴经过第2011次运动后，动点P的坐标是：（2011，2）
19、将正整数按如图所示的规律排列下去．若用有序实数对（n，m）表示第n排，从左到右第m个数，如（4，3）表示实数9，则（7，2）表示的实数是_________ ．
解：第1排的第一个数为1，
第2排的第一个数为2，即2=1+1
第3排的第一个数为4，即4=1+1+2
第4排的第一个数为7，即7=1+1+2+3
第n排的第一个数为1+1+2+3+…+n-1=1+n（n-1）/2
将7带入上式得1+n（n-1）/2=1+7×3=22，所以第七排的第二个数是23，即（7，2）
表示的实数是23.
20、（2011?锦州）如图，在平面直角坐标系上有点A（1，0），点A第一次跳动至点A1
（﹣1，1），第四次向右跳动5个单位至点A4（3，2），…，依此规律跳动下去，点A第100
次跳动至点A100的坐标是（）。点A第103次跳动至点A103的坐标是（）
解法1：观察图象，点A1、A2每2个点，图形为一个循环周期。
设每个周期均由点A1，A2组成。
第1周期点的坐标为：A1(-1,1)， A2(2,1)
第2周期点的坐标为：A1(-2,2)， A2(3,2)
第3周期点的坐标为：A1(-3,3)， A2(4,3)
第n周期点的坐标为：A1(-n,n)， A2(n+1,n)，
因为103÷2=51…1，所以P2011的坐标与第52周期的点A1的坐标相同，即（-52，52）
解法2
：（1）观察发现，第偶数次跳动至点的坐标，横坐标是次数的一半加上1，纵坐
标是次数的一半，即第n次跳至点的坐标为
1,
22
n n
??
+
?
??．第2次跳动至点的坐标是A2（2，1），
第4次跳动至点的坐标是A4（3，2），第6次跳动至点的坐标是A6（4，3），第8次跳动至点的坐标是A8（5，4），
第n次跳动至点的坐标是An
1,
22
n n
??
+
?
??，∴第100次跳动至点的坐标是（51，50）．
（2）观察发现，第奇数次跳动至点的坐标，横坐标是次数加上1的一半，纵坐标是横坐
标的相反数，即第n次跳动至点A n的坐标为
11
,
22
n n
++??-
???
第1次跳动至点的坐标是A1（-1，1），第3次跳动至点的坐标是A3（-2，2），第5次跳动至点的坐标是A5（-3，3），第7次跳动至点的坐标是A7（-4，4），
…
第n次跳动至点的坐标是
11
,
22
n n
++
??
-
?
??，
∴第103次跳动至点的坐标是（-52，52）．
21、（2008?泰安）如图，将边长为1的正三角形OAP沿x轴正方向连续翻转2008次，点P依次落在点P1，P2，P3…P2008的位置，则点P2008, P2007的横坐标分别为为( )（）
解法1：观察图象，点P1、P2、P3每3个点，图形为一个循环周期。
设每个周期均由点P1、P2、P3组成。
第1周期点的坐标为：P1(1,0)， P2(1,0), P3(2.5,y)
第2周期点的坐标为：P1(4,0)， P2(4,0), P3(5.5,y)
第3周期点的坐标为：P1(7,0)， P2(7,0), P3(8.5,y)
第n周期点的坐标为：P1(3n-2,0)， P2(3n-2,0)， P3(3n-1+0.5,y)
因为2008÷3=669…1，所以P208的坐标与第670周期的点P1的坐标相同，
(3×670-2，0)，即（2008，0）所以横坐标为2008
因为2007÷3=669，所以P2007的坐标与第669周期的点P3的坐标相同，
(3×669-1+0.5，y)，即（2006.5，y）所以横坐标为2006.5
解法2：观察图形结合翻转的方法可以得出
P1、P2的横坐标是1，P3的横坐标是2.5，
P4、P5的横坐标是4，P6的横坐标是5.5
…依此类推下去，能被3整除的数的坐标是概数减去0.5即为该点的横坐标。
P2005、P2006的横坐标是2005，P2007的横坐标是2006.5，
P2008、P2009的横坐标就是2008．故答案为2008．
2007÷3=667，能被3整除，所以P2007的横坐标为2006.5
其实，关键是确定P2008对应的是P4这样的偶数点还是对应的P8这样的偶数点，可以先观察P3、P6、P9的可以发现3个一循环。由2008÷3=669…1即在第669个循环后面，所以应该是类似P4这样的偶数点，它们的特点是点P4对应的横坐标是4，所以点P2008对应的横坐标是2008
22、（2006?绍兴）如图，将边长为1的正方形OAPB沿z轴正方向连续翻转2006次，点P依次落在点P1，P2，P3，P4，…，P2006的位置，则P2006的横坐标x2006是多少？P2012的横坐标又是多少
解法1：观察图象，点P1、P2、P3、P4每4个点，图形为一个循环周期。
设每个周期均由点P1、P2、P3、P4组成。
第1周期点的坐标为：P1(1,1)， P2(2,0), P3(2,0), P4(3,1)
第2周期点的坐标为：P1(5,1)， P2(6,0), P3(6,0), P4(7,1)
第3周期点的坐标为：P1(9,1)， P2(10,0), P3(10,0), P4(11,1)
第n周期点的坐标为：P1(4n-3,0)，P2(4n-2,0)， P3(4n-2,0), P4(4n-1,1)
因为2006÷4=501…2，所以P2006的坐标与第502周期的点P2的坐标相同，
(4×502-2，0)，即（2006，0）所以横坐标为2006.
因为2012÷4=503，所以P2012的坐标与第503周期的点P4的坐标相同，
(4×503-1，1)，即（2011，1）所以横坐标为2011
解法2：从P到P4要翻转4次，横坐标刚好加4，
∵2006÷4=501…2，
∴501×4﹣1=2003，（之所以减1，是因为p点的起始点的横坐标为-1）
由上式可知，P2006的位置是正方形完成了501次翻转后，还要再翻两次，即完成类似从P到P2的过程，横坐标加3，即2003+3=2006
则P2006的横坐标x2006=2006．故答案为：2006
∵2012÷4=503，即正方形刚好完成了503次翻转
因为每4个一循环，可以判断P2012在503次循环后与P4的一致，坐标应该是2012-1=2011∴P2012的横坐标x2012=2011．
23、(2012山东德州中考,16,4,)如图，在一单位为
1的方格纸上，△123
A A A，△
345
A A A，△
567
A A A，……，
都是斜边在x轴上、斜边长分别为2，4，6，……的等
腰直角三角形．若△123
A A A的顶点坐标分别为
1
A (2，
0)，2A (1，-1)，3A (0，0)，则依图中所示规律，2012
A
的坐标为（）
解法1：观察图象，点A1、A2、A3、A4每4个点，
图形为一个循环周期。
设每个周期均由点A1、A2、A3、A4组成。
第1周期点的坐标为：A1(2,0)， A2(1,-1), A3(0,0), A4(2,2)
第2周期点的坐标为：A1(4,0)， A2(1,-3), A3(-2,0), A4(2,4)
第3周期点的坐标为：A1(6,0)， A2(1,-5), A3(-4,0), A4(2,6)
第n周期点的坐标为：A1(2n,0)， A2(1,-(2n-1)), A3(-(2n-2),0), A4(2,2n)
因为2012÷4=503,所以P2012的坐标与第503周期的点P4的坐标相同，(2,2x503)
即（2，1006）
解法2：画出图像可找到规律，下标为4n(n为非负整数)的A点横坐标为2，纵坐标为
2n,则2012
A的坐标为（2，1006）．
24、如图，在平面直角坐标系上有个点P（1，0），点P第1次向上跳动1个单位至点
P1（1，1），紧接着第2次向左跳动2个单位至点P2（﹣1，1），第3次向上跳动1个单位，
第4次向右跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向左跳动4个单位，…，依
此规律跳动下去，点P第100次跳动至点P99，P100，P2009的坐标分别是多少．
解法1：观察图象，点P1、P2、P3、P4每4个点，图形为一个循环周期。
设每个周期均由点P1、P2、P3、P4组成。
第1周期点的坐标为：P1(1,1)， P2(-1,1), P3(-1,2), P4(2,2)
第2周期点的坐标为：P1(2,3)， P2(-2,3), P3(-2,4), P4(3,4)
第3周期点的坐标为：P1(3,5)， P2(-3,5), P3(-3,6), P4(4,6)
第n周期点的坐标为：P1(n,2n-1)，P2(-n,2n-1)， P3(-n,2n), P4(n+1,2n)
因为99÷4=24…3，所以P99坐标与第25周期点P3的坐标相同(-25,2×25)即(-25，50)
A8
A7
A6
A4
A2
A1
A5
A3x
y
O
100÷4=25，所以P100的坐标与第25周期的点P4的坐标相同(25+1,2×25)即（26，50）2009÷4=502…1，所以P2009坐标与第503周期点P1的坐标相同(503,2×503-1)即(503，1005)
解法2：经过观察可得：以奇数开头的相邻两个坐标的纵坐标是相同的，所以第100次跳动后，纵坐标为100÷2=50；
其中4的倍数的跳动都在y轴的右侧，那么第100次跳动得到的横坐标也在y轴右侧．P1横坐标为1，P4横坐标为2，P8横坐标为3，依次类推可得到：Pn的横坐标为n÷4+1．故点P100的横坐标为：100÷4+1=26，纵坐标为：100÷2=50，点P第100次跳动至点P100的坐标是（26，50）．
25．在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是A(-2,5），B(﹣3,﹣1)，C(1,﹣1)，在第一象限内找一点D，使四边形ABCD是平行四边形，那么点D的坐标是多少。
解：由平行四边形的性质，可知D点的纵坐标一定是5；
又由C点相对于B点横坐标移动了1﹣（﹣3）=4，故可得点D横坐标为﹣2+4=2，
即顶点C的坐标（2，5）．
26．（2005?济宁）如图，在直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2变换成△OA3B3…
已知：A（1，3），A1（2，3），A2（4，3），A3（8，3）；B（2，0），B1（4，0），B2（8，0），B3（16，0）．观察每次变换前后的三角形有何变化，按照变换规律，第五次变换后得到的三角形A5，B5的坐标分别是多少．
解：A、A1、A2…An都在平行于X轴的直线上，纵坐标都相等，所以A5的纵坐标是3；这些点的横坐标有一定的规律：An=2n．因而点A5的横坐标是25=32；
B、B1、B2…Bn都在x轴上，B5的纵坐标是0；
这些点的横坐标也有一定的规律：Bn=2n+1，因而点B5的横坐标是B5=25+1=64．
∴点A5的坐标是（32，3），点B5的坐标是（64，0）．
27、（2013?湖州一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点A（0，3），点B是x轴正半轴上的整点，记△AOB内部（不包括边界）的整点个数为m．当点B的横坐标为3n（n为正整数）时，m= （用含n的代数式表示）．
根据题意，分别找出n=1、2、3、4时的整点的个数，不难发现n增加1，整点的个数增加3，然后写出横坐标为3n时的表达式即可．
解：如图，n=1，即点B的横坐标为3时，整点个数为1，
n=2，即点B的横坐标为6时，整点个数为4，
n=3，即点B的横坐标为9时，整点个数为7，
n=4，即点B的横坐标为12时，整点个数为10，
所以，点B的坐标为3n时，整点个数为3n-2．
28、（2013?抚顺）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是（-1，-1）、（0，2）、（2，0），点P在y轴上，且坐标为（0，-2）．点P关于点A的对称点为P1，点P1关于点B的对称点为P2，点P2关于点C的对称点为P3，点P3关于点A的对称点为P4，点P4关于点B的对称点为P5，点P5关于点C的对称点为P6，点P6关于点A的对称点为P7…，按此规律进行下去，则点P2013的坐标是
分析：根据对称依次作出对称点，便不难发现，点P6与点P重合，也就是每6次对称为一个循环组循环，用2013除以6，根据商和余数的情况确定点P2013的位置，然后写出坐标即可．
解：如图所示，点P6与点P重合，∵2013÷6=335…3，
∴点P2013是第336循环组的第3个点，与点P3重合，∴点P2013的坐标为（2，
-4）．
29、如图，在平面直角坐标系中，A（1，1），B（-1，1），C（-1，-2），D（1，-2）．把
一条长为2013个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，
并按A-B-C-D-A-…的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是
解：∵A（1，1），B（-1，1），C（-1，-2），D（1，-2），
∴AB=1-（-1）=2，BC=1-（-2）=3，CD=1-（-1）=2，DA=1-（-2）=3，
∴绕四边形ABCD一周的细线长度为2+3+2+3=10，
2013÷10=201…3，
∴细线另一端在绕四边形第202圈的第3个单位长度的位置，
14．（2013?东营）如图，已知直线l：y=x，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l
于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过
点B1作直线l的垂线交y轴于点A2；…按此作法继续下去，则点A2013的坐标为（0，42013）
或（0，24026）（注：以上两答案任选一个都对）．
分析：根据所给直线解析式可得l与x轴的夹角，进而根据所给条件依次得到点A1，A2的坐标，通过相应规律得到A2013坐标即可．
解答：
解：∵直线l的解析式为；y=x，∴l与x轴的夹角为30°，
∵AB∥x轴，∴∠ABO=30°，
∵OA=1，∴AB=，
∵A1B⊥l，∴∠ABA1=60°，
∴AA1=3，∴A1O（0，4），
同理可得A2（0，16），
…
∴A2013纵坐标为：42013，
∴A2013（0，42013）．
故答案为：（0，42013）．
点评：本题考查的是一次函数综合题，先根据所给一次函数判断出一次函数与x轴夹角是解决本题的突破点；根据含30°的直角三角形的特点依次得到A、A1、A2、A3…的点的坐标是解决本题的关键．16．（2012?威海）如图，在平面直角坐标系中，线段OA1=1，OA1与x轴的夹角为30°，线段A1A2=1，
A2A1⊥OA1，垂足为A1；线段A2A3=1，A3A2⊥A1A2，垂足为A2；线段A3A4=1，A4A3⊥A2A3，垂足为A3；…
按此规律，点A2012的坐标为（503﹣503，503+503）．
分析：过点A1作A1B⊥x轴，作A1C∥x轴A2C∥y轴，相交于点C，然后求出点A1的坐标，以及A1C、A2C的长度，并出A2、A3、A4、A5、A6的坐标，然后总结出点的坐标的变化规律，
再把2012代入规律进行计算即可得解．
解答：解：如图，过点A1作A1B⊥x轴，作A1C∥x轴A2C∥y轴，相交于点C，
∵OA1=1，OA1与x轴的夹角为30°，
∴OB=OA1?cos30°=1×=，
A1B=OA1?sin30°=1×=，
∴点A1的坐标为（，），
∵A2A1⊥OA1，OA1与x轴的夹角为30°，
∴∠OA1C=30°，∠A2A1C=90°﹣30°=60°，
∴∠A1A2C=90°﹣60°=30°，
同理可求：A2C=OB=，A1C=A1B=，
所以，点A2的坐标为（﹣，+），
点A3的坐标为（﹣+，++），即（﹣，+1），
点A4的坐标为（﹣﹣，+1+），即（﹣1，+1），
点A5的坐标为（﹣1+，+1+），即（﹣1，+），
点A6的坐标为（﹣1﹣，++），即（﹣，+），
…，
当n为奇数时，点An的坐标为（﹣，+），
当n为偶数时，点An的坐标为（﹣，+），
所以，当n=2012时，﹣=503﹣503，+=503+503，
点A2012的坐标为（503﹣503，503+503）．
故答案为：（503﹣503，503+503）．
21．（2011?鞍山）如图，从内到外，边长依次为2，4，6，8，…的所有正六边形的中心均在坐
标原点，且一组对边与x轴平行，它们的顶点依次用A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8、A9、A10、A11、
A12…表示，那么顶点A62的坐标是（﹣11，﹣11）．
分析：
=10余2，顶点A62所在的正六边形的边长为（10+1）×2=22，顶点A62在第三象限，继而即可得出答案．
解答：
解：∵=10余2，
∴顶点A62所在的正六边形的边长为（10+1）×2=22，
且顶点A62在第三象限，
其横坐标为﹣=﹣11，纵坐标为﹣=﹣11，
故顶点A62的坐标是（﹣11，﹣11）．
故答案为：（﹣11，﹣11）．
22．（2009?德州）正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图所示的方式放置．点A1，A2，A3，…
和点C1，C2，C3，…分别在直线y=kx+b（k＞0）和x轴上，已知点B1（1，1），B2（3，2），则Bn的坐
标是（2n﹣1，2n﹣1）．
分析：先求出直线解析式，再寻找规律求解．
解答：解：把A1（0，1），A2（1，2）代入y=kx+b可得y=x+1．可知An的纵坐标总比横坐标多1．由图易知图中所有的三角形的等腰直角三角形，所以B1（1，1），B2（1+2，2），B3（1+2+4，4），
Bn纵坐标为2n﹣1．
观察图可知Bn的横坐标为An+1的横坐标，纵坐标为An的纵坐标．
∴Bn+1纵坐标为2n，则An+1的纵坐标为2n，An+1的横坐标为2n﹣1，则Bn的横坐标为2n﹣1．
则Bn的坐标是（2n﹣1，2n﹣1）．
24．（2008?内江）如图，当四边形PABN的周长最小时，a= ．
分析：因为AB，PN的长度都是固定的，所以求出PA+NB的长度就行了．问题就是PA+NB什么时候最短．把B点向左平移2个单位到B′点；作B′关于x轴的对称点B″，连接AB″，交x轴于P，从而确
定N点位置，此时PA+NB最短．
设直线AB″的解析式为y=kx+b，待定系数法求直线解析式．即可求得a的值．
解答：解：将N点向左平移2单位与P重合，点B向左平移2单位到B′（2，﹣1），
作B′关于x轴的对称点B″，根据作法知点B″（2，1），
设直线AB″的解析式为y=kx+b，
则，解得k=4，b=﹣7．
∴y=4x﹣7．当y=0时，x=，即P（，0），a=．
故答案填：．
第一章 集合与简易逻辑 第一节 集 合 ? 基础知识 1. 集合的有关概念 1.1.集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性． 1. 2.集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． 1.3.元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为?. 1.4.五个特定的集合及其关系图： N *或N ＋表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集． 2. 集合间的基本关系 2.1.子集：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称A 是B 的子集，记作A ?B(或B ?A)． 2.2.真子集：如果集合A 是集合B 的子集，但集合B 中至少有一个元素不属于A ，则称A 是B 的真子集，记作AB 或B A. A B ?? ???? A ? B ，A≠B.既要说明A 中任何一个元素都属于B ，也要说明B 中存在一个元素不属于A. 2.3.集合相等：如果A ?B ，并且B ?A ，则A ＝B. 两集合相等：A ＝B ?? ??? ? A ? B ，A ?B.A 中任意一个元素都符合B 中元素的特性，B 中任意一个元素也符合A 中元素的特性． 2.4.空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A 的子集，是任何非空集合B 的真子集．记作?. ?∈{?}，??{?}，0??，0?{?},0∈{0}，??{0}．
3. 集合间的基本运算 (1)交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记作A∩B ，即A∩B ＝{x|x ∈A ，且x ∈B}． (2)并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为A 与B 的并集，记作A ∪B ，即A ∪B ＝{x|x ∈A ，或x ∈B}． (3)补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作?U A ，即?U A ＝{x |x ∈U ，且x ?A }． 求集合A 的补集的前提是“A 是全集U 的子集”，集合A 其实是给定的条件.从全集U 中取出集合A 的全部元素，剩下的元素构成的集合即为?U A . ? 常用结论 (1)子集的性质：A ?A ，??A ，A ∩B ?A ，A ∩B ?B . (2)交集的性质：A ∩A ＝A ，A ∩?＝?，A ∩B ＝B ∩A . (3)并集的性质：A ∪B ＝B ∪A ，A ∪B ?A ，A ∪B ?B ，A ∪A ＝A ，A ∪?＝?∪A ＝A . (4)补集的性质：A ∪?U A ＝U ，A ∩?U A ＝?，?U (?U A )＝A ，?A A ＝?，?A ?＝A . (5)含有n 个元素的集合共有2n 个子集，其中有2n －1个真子集，2n －1个非空子集． (6)等价关系：A ∩B ＝A ?A ?B ；A ∪B ＝A ?A ?B . 考点一 集合的基本概念 [典例] 1. (2017·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 2. 已知a ，b ∈R ，若? ?? ? ??a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 019＋b 2 019的值为( ) A ．1 B ．0 C ．－1 D ．±1 [解析] (1)因为A 表示圆x 2＋y 2＝1上的点的集合，B 表示直线y ＝x 上的点的集合，直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1有两个交点，所以A ∩B 中元素的个数为2. (2)由已知得a ≠0，则b a ＝0，所以 b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1.又根据集合中元素的互异性可 知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a 2 019＋b 2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1. [答案] (1)B (2)C [提醒] 集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意． [题组训练]
因式分解练习题(提取公因式) 专项训练一：确定下列各多项式的公因式。 1、ay ax + 2、36mx my - 3、2410a ab + 4、2155a a + 5、22x y xy - 6、22129xyz x y - 7、()()m x y n x y -+- 8、()()2 x m n y m n +++ 9、3()()abc m n ab m n --- 10、2312()9()x a b m b a --- 专项训练二：利用乘法分配律的逆运算填空。 1、22____()R r R r ππ+=+ 2、222(______)R r πππ+= 3、2222121211 ___()22 gt gt t t +=+ 4、2215255(_______)a ab a += 专项训练三、在下列各式左边的括号前填上“+”或“－”，使等式成立。 1、__()x y x y +=+ 2、__()b a a b -=- 3、__()z y y z -+=- 4、()2 2___()y x x y -=- 5、33()__()y x x y -=- 6、44()__()x y y x --=- 7、22()___()()n n a b b a n -=-为自然数 8、2121()___()()n n a b b a n ++-=-为自然数 9、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 10、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 11、23()()___()a b b a a b --=- 12、246()()___()a b b a a b --=- 专项训练四、把下列各式分解因式。 1、nx ny - 2、2a ab + 3、3246x x - 4、282m n mn + 5、23222515x y x y - 6、22129xyz x y - 7、2336a y ay y -+ 8、259a b ab b -+ 9、2x xy xz -+- 10、223241228x y xy y --+ 11、323612ma ma ma -+- 12、32222561421x yz x y z xy z +- 13、3222315520x y x y x y +- 14、432163256x x x --+ 专项训练五：把下列各式分解因式。 1、()()x a b y a b +-+ 2、5()2()x x y y x y -+- 3、6()4()q p q p p q +-+ 4、()()()()m n P q m n p q ++-+- 5、2()()a a b a b -+- 6、2()()x x y y x y --- 7、(2)(23)3(2)a b a b a a b +--+ 8、2()()()x x y x y x x y +--+ 9、()()p x y q y x --- 10、(3)2(3)m a a -+- 11、()()()a b a b b a +--+ 12、()()()a x a b a x c x a -+---
集合基础知识及题型归纳总结 1、集合概念与特征： 例：1．下列各项中，不可以组成集合的是（ ） A ．所有的正数 B ．等于2的数 C ．接近于0的数 D ．不等于0的偶数 例：下列命题正确的有（ ） （1）很小的实数可以构成集合； （2）集合{}1|2-=x y y 与集合(){} 1|,2-=x y y x 是同一个集合； （3）36 11,,,,0.5242 -这些数组成的集合有5个元素； （4）集合(){}R y x xy y x ∈≤,,0|,是指第二和第四象限内的点集。 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 2、元素与集合、集合与集合间的关系 元素集合的关系：∈?或 集合与集合的关系=?或 例：下列式子中，正确的是（ ） A ．R R ∈+ B ．{}Z x x x Z ∈≤?-,0| C ．空集是任何集合的真子集 D ．{}φφ∈ 3、集合的子集：（必须会写出一个集合的所有子集） 例：若集合}8,7,6{=A ，则满足A B A =?的集合B 的个数是 4、集合的运算:(交集、并集、补集) 例1：已知全集}{5,4,3,2,1,0=U ,集合}{5,3,0=M ,}{5,4,1=N ,则=N C M U I 例2：已知 {}{}=|3217,|2A x x B x x -<-≤=< （1）求A ∩B ； （2）求（C U A ）∪B 例3：已知{25}A x x =-≤≤，{121}B x m x m =+≤≤-，B A ?,求m 的取值范围 例4：某班有学生55人，其中体育爱好者43人，音乐爱好者34人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为 人 例5：方程组? ??=-=+9122y x y x 的解集是（ ） A ．()5,4 B ．()4,5- C ．(){}4,5- D ．(){}4,5-
整式的加减、乘除及因式分解 整式加减 一、知识点回顾 1、单项式：由数与字母的乘积组成的代数式称为单项式。补充：单独一个数或一个字母也是单项式，如a ，5……单项式系数和次数：系数：次数： 2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。在多项式中每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫常数项。多项式里次数最高项的次数，就是这个多项式的次数。例如，多项式3x-2最高的项就是一次项3x ，这个多项式的次数是1，它是一次二项式 4、整式的概念：单项式与多项式统称整式 二、整式的加减 1、同类项：所含字母相同，相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项，所有的常数项都是同类项。 合并同类项：把多项式中同类项合并在一起，叫做合并同类项。合并同类项时，把同类 项的系数相加，字母和字母的指数保持不变。 2、去括号的法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号； 如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号． 3、整式加减的运算法则 （1）如果有括号，那么先去括号。 （2）如果有同类项，再合并同类项。 整式乘除及因式分解 一、幂的运算： 1、同底数幂的乘法法则：n m n m a a a +=?（n m ,都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。 2、幂的乘方法则：mn n m a a =)(（n m ,都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。如：10253)3(=- 幂的乘方法则可以逆用：即m n n m m n a a a )()(== 如：23326)4()4(4== 3、积的乘方法则：n n n b a ab =)(（n 是正整数）。积的乘方，等于各因数乘方的积。 4、同底数幂的除法法则：n m n m a a a -=÷（n m a ,,0≠都是正整数，且)n m 同底数幂相除，底数不变，指数相减。 5、零指数；10=a ，即任何不等于零的数的零次方等于1。 二、单项式、多项式的乘法运算：
因式分解专题培优 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下： 因式分解的一般方法及考虑顺序： 1、基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法． 2、常用方法与技巧：换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法． 3、考虑顺序：（1）提公因式法；（2）公式法；（3）十字相乘法；（4）分组分解法． 一、运用公式法 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1)a2－b2=(a+b)(a－b)； (2)a2±2ab+b2=(a±b)2； (3)a3+b3=(a+b)(a2－ab+b2)； (4)a3－b3=(a－b)(a2+ab+b2)． 下面再补充几个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3－3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－bc－ca)； (7)a n－b n=(a－b)(a n－1+a n－2b+a n－3b2+…+ab n－2+b n－1)，其中n为正整数； (8)a n－b n=(a+b)(a n－1－a n－2b+a n－3b2－…+ab n－2－b n－1)，其中n为偶数； (9)a n+b n=(a+b)(a n－1－a n－2b+a n－3b2－…－ab n－2+b n－1)，其中n为奇数． 运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式． 例题1 分解因式： (1)－2x5n－1y n+4x3n－1y n+2－2x n－1y n+4； (2)x3－8y3－z3－6xyz； (3)a2+b2+c2－2bc+2ca－2ab； (4)a7－a5b2+a2b5－b7．
第一章集合与常用逻辑用语 第一节集合 题型1-1 集合的基本概念 题型1-2 集合间的基本关系 题型1-3 集合的运算 第二节命题及其关系、充分条件与必要条件 题型1-4 四种命题及关系 题型1-5 充分条件、必要条件、充要条件的判断与证明 题型1-6 求解充分条件、必要条件、充要条件中的参数取值范围 第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 题型1-7 判断命题的真假 题型1-8 含有一个量词的命题的否定 题型1-9 结合命题真假求参数的取值范围 第二章函数 第一节映射与函数 题型2-1 映射与函数的概念 题型2-2 同一函数的判断 题型2-3 函数解析式的求法 第二节函数的定义域与值域（最值） 题型2-4 函数定义域的求解 题型2-5 函数定义域的应用 题型2-6 函数值域的求解 第三节函数的性质——奇偶性、单调性、周期性题型2-7 函数奇偶性的判断 题型2-8 函数单调性（区间）的判 断 题型2-9 函数周期性的判断 题型2-10 函数性质的综合应用 第四节二次函数 题型2-11 二次函数、一元二次方程、 二次不等式的关系 题型2-12 二次方程的实根分布及 条件 题型2-13 二次函数“动轴定区间” “定轴动区间”问题 第五节指数与指数函数 题型2-14 指数运算及指数方程、指 数不等式 题型2-15 指数函数的图象及性质 题型2-16 指数函数中恒成立问题 第六节对数与对数函数 题型2-17 对数运算及对数方程、对 数不等式 题型2-18 对数函数的图象与性质 题型2-19 对数函数中恒成立问题 第七节幂函数 题型2-20 求幂函数的定义域 题型2-21 幂函数性质的综合应用 第八节函数的图象 题型2-22 判断函数的图象 题型2-23 函数图象的应用 第九节函数与方程 题型2-24 求函数的零点或零点所 在区间 题型2-25 利用函数的零点确定参 数的取值范围 题型2-26 方程根的个数与函数零 点的存在性问题 第十节函数综合 题型2-27 函数与数列的综合 题型2-28 函数与不等式的综合 题型2-29 函数中的信息题 第三章导数与定积分 第一节导数的概念与运算 题型3-1 导数的定义 题型3-2 求函数的导数 第二节导数的应用 题型3-3 利用原函数与导函数的关 系判断图像 题型3-4 利用导数求函数的单调性 和单调区间 题型3-5 函数的极值与最值的求解 题型3-6 已知函数在区间上单调或 不单调，求参数的取值范围 题型3-7 讨论含参函数的单调区间 题型3-8 利用导数研究函数图象的
因式分解 一、因式分解的概念： 因式分解（分解因式）：把一个多项式化为几个整式（）的形式。 二、因式分解的方法： 1、提公因式法： （1）公因式的构成一般情况下有三部分： ①系数一各项系数的最大公约数； ②字母——各项含有的相同字母； ③指数——相同字母的最低次数； （2）提公因式法的步骤： 第一步是找出公因式； 第二步是提取公因式并确定另一因式。 （3）注意：①提取完公因式后，看另一个因式的项数与原多项式的项数是否一致，可用来检验是否漏项； ②提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”； ③如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的。 2、公式法： 运用公式法分解因式的实质是：把整式中的乘法公式反过来使用； 常用的公式： ①平方差公式： a2－b2＝ ②完全平方公式： a2＋2ab＋b2＝ a2－2ab＋b2＝ 3、十字相乘法：x2+(a+b)x+ab= 特点：（1）二次项系数是1； （2）常数项是两个数的乘积； （3）一次项系数是常数项的两因数的和。
一、按知识点： 题型一: 概念的理解： 例1、下列由左到右的变形，哪些是因式分解？哪些不是？请说出理由。 （1）、()ay ax y x a +=+ （2）、()()()1121222-+++=-++y y y x x y xy x (3)、)3)(3(92-+=-x x a a ax （4）、2 22 )1(12x x x x +=++ （5）、a a a a ??=223 例3、下列各式中能用平方差公式分解因式的是（ ） ①2 2 b a -- ②2 242b a - ③42 2--y x ④192 2+-b a ⑤ 22)()(x y y x -+- ⑥14-x
复数高考题型归类解析 一、基本运算型 二、基本概念型 三、复数相等型 四、复数的几何意义型 练习： 1.如果复数z=1+ai满足条件|z|＜2，那么实数a的取值 范围是[ ] A.() 22,22 - B.（-2，2） C.（-1，1） D.(3,3 - 2.在平行四边形OABC中，顶点O，A，C分别表示0,3 ＋2i，－2＋4i.则对角线CA → 所表示的复数的模为； 3.已知复数z1＝i(1－i)2，|z|＝1|z－z1|的取值范围 是；
五、技巧运算型 六、知识交汇型 七、轨迹方程型 练习： 1.已知复数z 满足|z |2－2|z |－3＝0，则复数z 对应点的轨迹是( ) A .1个圆 B.线段 C.2个点 D.2个圆 2.如果复数z 满足|z ＋2i|＋|z －2i|＝4，那么|z ＋i ＋1|的最小值是( ) A.1 B. 2 C.2 D. 5 3.若|z －2|＝|z ＋2|，则|z －1|的最小值是 .
复数高考题型归类解析 一、基本运算型 二、基本概念型 三、复数相等型 四、复数的几何意义型 练习： 1.如果复数z=1+ai满足条件|z|＜2，那么实数a的取值 范围是[ ] A.() 22,22 - B.（-2，2） C.（-1，1） D.(3,3 - 2.在平行四边形OABC中，顶点O，A，C分别表示0,3 ＋2i，－2＋4i.则对角线CA → 所表示的复数的模为； 3.已知复数z1＝i(1－i)2，|z|＝1，则|z－z1|的最大值. 五、技巧运算型 六、知识交汇型
七、轨迹方程型 已知复数z 满足|z |2－2|z |－3＝0，则复数z 对应点的轨迹是( ) A.1个圆 B.线段 C.2个点 D.2个圆 答案 A 解析 由题意可知(|z |－3)(|z |＋1)＝0， 即|z |＝3或|z |＝－1. ∵|z |≥0，∴|z |＝3. ∴复数z 对应的轨迹是1个圆. 5.如果复数z 满足|z ＋2i|＋|z －2i|＝4，那么|z ＋i ＋1|的最 小值是( ) A.1 B. 2 C.2 D. 5 答案 A 解析 设复数－2i,2i ，－(1＋i)在复平面内对应的点分别为Z 1，Z 2，Z 3，因为|z ＋2i|＋|z －2i|＝4，Z 1Z 2＝4，所以复数z 的几何意义为线段Z 1Z 2，如图所示，问题转化为：动点Z 在线段Z 1Z 2上移动，求ZZ 3的最小值. 因此作Z 3Z 0⊥Z 1Z 2于Z 0，则Z 3与Z 0的距离即为所求的最小值，Z 0Z 3＝1.故选A. 8.若|z －2|＝|z ＋2|，则|z －1|的最小值是 . 答案 1 解析 由|z －2|＝|z ＋2|，知z 对应点的轨迹是到(2,0)与到(－2,0)距离相等的点，即虚轴.|z －1|表示z 对应的点与(1,0)的距离.∴|z －1|min ＝1. 12.集合M ＝{z ||z －1|≤1，z ∈C }，N ＝{z ||z －1－i|＝|z －2|，z ∈C }，集合P ＝M ∩N . (1)指出集合P 在复平面上所表示的图形； (2)求集合P 中复数模的最大值和最小值. 解 (1)由|z －1|≤1可知，集合M 在复平面内所对应的点集是以点E (1,0)为圆心，以1为半径的圆的内部及边界；由|z －1－i|＝|z －2|可知，集合N 在复平面内所对应点集是以点(1,1)和(2,0)为端点的线段的垂直平分线l ，因此集合P 是圆面截直线l 所得的一条线段AB ，如 图所示.
2021年高考文科数学《集合与简易逻辑》题型归纳与训练 【题型归纳】 题型一 集合的交并补运算 例1 ：已知集合{0,2}=A ，{21012}=--， ，，，B ，则A B =（ ） A ．{0,2} B ．{1,2} C ．{0} D ．{21012}--， ，，， 【答案】A 【解析】由题意{0,2}A B =，故选A ． 【易错点】交并不分 【思维点拨】概念的应用 例2已知集合{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =，则A B =（ ） A ．{3} B ．{5} C ．{3,5} D ．{}1,2,3,4,5,7 【答案】C 【解析】因为{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =，所以{3,5}A B =，故选C ． 【易错点】交并不分 【思维点拨】概念的应用 题型二 集合的交并补与不等式结合 例3：已知集合{|2}A x x =<，{320}B x =->，则（ ） A ．3{|}2A B x x =< B ．A B =? C ．3 {|}2 A B x x =< D ．A B =R 【答案】A 【解析】∵3{|}2 B x x =<，∴3 {|}2 A B x x =<， 选A ． 【易错点】不等式解错 【思维点拨】掌握常规不等式的解答 例4：设集合2 {|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则M N =( ) A ．[0，1] B ．(0，1] C ．[0，1) D ．(－∞，1]
2 【答案】A 【解析】∵{0,1}M =，{|01}N x x ≤=<，∴M N =[0,1]． 【易错点】方程解错，对数不等式不会解答 【思维点拨】基本函数和方程思想的掌握 题型三 四种命题的基本考查 例5：设m R ∈，命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实根”的逆否命题是 A ．若方程20x x m +-=有实根，则0m > B ．若方程20x x m +-=有实根，则 0m ≤ C ．若方程20x x m +-=没有实根，则0m > D ．若方程20x x m +-=没有实根，则0m ≤ 【答案】D 【解析】一个命题的逆否命题，要将原命题的条件、结论加以否定，并且加以互换，故选D ． 【易错点】概念混淆 【思维点拨】加强对四种命题的强化 题型四 充要条件的判断 例6：设x ∈R ，则“38x >”是“||2x >” 的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由38x >，得2x >，由||2x >，得2x >或2x <-，故“3 8x >”是“||2x >” 的充分而不必要条件，故选A ． 【易错点】解不等式 【思维点拨】加强部分不等式的解答 例7：设a ，b ，c ，d 是非零实数，则“ad bc =”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B
因式分解练习题(提取公因式) 平昌县得胜中学 任 璟(编) 专项训练一：确定下列各多项式的公因式。 1、ay ax + 2、36mx my - 3、2410a ab + 4、2 155a a + 5、2 2 x y xy - 6、2 2 129xyz x y - 7、()()m x y n x y -+- 8、()()2 x m n y m n +++ 9、3()()abc m n ab m n --- 10、2312()9()x a b m b a --- 专项训练二：利用乘法分配律的逆运算填空。 1、22____()R r R r ππ+=+ 2、222(______)R r πππ+= 3、2222121211 ___()22 gt gt t t +=+ 4、2215255(_______)a ab a += 专项训练三、在下列各式左边的括号前填上“+”或“－”，使等式成立。 1、__()x y x y +=+ 2、__()b a a b -=- 3、__()z y y z -+=- 4、()2 2___()y x x y -=- 5、33()__()y x x y -=- 6、44()__()x y y x --=- 7、22()___()()n n a b b a n -=-为自然数 8、2121 () ___() ()n n a b b a n ++-=-为自然数 9、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 10、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 11、23()()___()a b b a a b --=- 12、246()()___()a b b a a b --=- 专项训练四、把下列各式分解因式。 1、nx ny - 2、2a ab + 3、3246x x - 4、282m n mn + 5、23222515x y x y - 6、22129xyz x y - 7、2336a y ay y -+ 8、259a b ab b -+ 9、2x xy xz -+- 10、223241228x y xy y --+ 11、323612ma ma ma -+- 12、32222561421x yz x y z xy z +- 13、3222315520x y x y x y +- 14、432163256x x x --+ 专项训练五：把下列各式分解因式。 1、()()x a b y a b +-+ 2、5()2()x x y y x y -+- 3、6()4()q p q p p q +-+ 4、()()()()m n P q m n p q ++-+- 5、2()()a a b a b -+- 6、2()()x x y y x y --- 7、(2)(23)3(2)a b a b a a b +--+ 8、2()()()x x y x y x x y +--+ 9、()()p x y q y x --- 10、(3)2(3)m a a -+- 11、()()()a b a b b a +--+ 12、()()()a x a b a x c x a -+---
集合 【知识清单】 1.性质：确定性、互易性、无序性. 2.元素和集合的关系：属于“∈”、不属于“?”. 3.集合和集合的关系：子集（包含于“?”）、真子集（真包含于“≠ ?”）. 4.集合子集个数=n 2；真子集个数=12-n . 5.交集：{}B x A x x B A ∈∈=且| 并集：{}B x A x x B A ∈∈=或| 补集：{}A x U x x A C U ?∈=且| 6.空集是任何非空集合的真子集；是任何集合的子集. 题型一、集合概念 解决此类型题要注意以下两点： ①要时刻不忘运用集合的性质，用的最多的就是互易性； ②元素与集合的对应，如数对应数集，点对应点集. 【No.1 定义&性质】 1.下列命题中正确的个数是（ ） ①方程022=++-y x 的解集为{}2,2- ②集合{} R x x y y ∈-=,1|2 与{}R x x y y ∈-=,1|的公共元素所组成的集合是{}1,0 ③集合{}01|<-x x 与集合{}R a a x x ∈>,|没有公共元素 A.0 B.1 C.2 D.3 分析：①中的式子是方程但不是一个函数，所以我们要求的解集不是x 的值所构 成的集合，而是x 和y 的值的集合，也就是一个点. 答案：A
详解：在①中方程022=++-y x 等价于? ??=+=-020 2y x ，即???-==22y x 。因此解集应为 (){}2,2-，错误； 在②中，由于集合{} R x x y y ∈-=,1|2的元素是y ，所以当R x ∈时，112-≥-=x y .同理， {}R x x y y ∈-=,1|中R y ∈，错误； 在③中，集合{}01|<-x x 即1
《因式分解》知识演练 分解因式【考点演练】 1、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为 1、bx ax b a x -=-)( 2、222)1)(1(1y x x y x ++-=+- 3、)1)(1(12-+=-x x x 4、c b a x c bx ax ++=++)( 5、12a 2b =3a ·4ab 6、(x +3）（x －3）=x 2－9 7、4x 2+8x －1=4x (x +2)－1 8、2 1ax －2 1ay =21a (x －y ) 9、(a +3)(a -3)=a 2-9 10、x 2+x -5=(x -2)(x +3)+1 11、x 2+1=x (x +x 1 ) 12、z yz z y z z y yz +-=+-)2(2242 2、一个多项式分解因式的结果是)2)(2(33b b -+，那么这个多项式是（ ） A 、46-b B 、64b - C 、46+b D 、46--b 3、已知多项式c bx x ++22分解因式为)1)(3(2+-x x ，则c b ,的值为（ ） A 、1,3-==c b B 、2,6=-=c b C 、4,6-=-=c b D 、6,4-=-=c b 4、若 , ),4)(3(2==-+=++b a x x b ax x 则 5、若x+5,x-3都是多项式152--kx x 的因式，则k=_________. 提公因式法【考点演练】 1、322236129xy y x y x -+中各项的公因式是__________。 2、将多项式3222231236b a b a b a +--分解因式时，应提取的公因式是（ ） A 、ab 3- B 、223b a - C 、b a 23- D 、333b a - 3、下列各式分解正确的是（ ） A 、)34(391222xy xyz y x xyz -=- B 、)1(333322+-=+-a a y y ay y a C 、)(2z y x x xz xy x -+-=-+- D 、)5(522a a b b ab b a +=-+ 4、下列各式的因式分解中正确的是（ ） A 、 -a 2+ab -ac = -a (a +b -c ) B 、9xyz -6x 2y 2=3xyz (3-2xy ) C 、3a 2x -6bx +3x =3x (a 2-2b ) D 、 21xy 2+21x 2y =2 1 xy (x +y ) 5、下列各式从左到右的变形错误的是（ ） A 、 22)()(y x x y -=- B 、)(b a b a +-=-- C 、33)()(a b b a --=- D 、)(n m n m +-=+- 6、m 2(a -2)+m (2-a )分解因式等于（ ） A 、(a -2)(m 2+m ) B 、(a -2)(m 2-m ) C 、 m (a -2)(m -1) D 、m (a -2)(m+1)
高中数学重点题型与思维方法归纳 一、集合、逻辑、函数、导数、定积分 1.集合的运算——①图示法P1 9；②验证法P111；③空集分类法P2 14；④转化法P14 2.子集（元素）个数——①列举法；②2n法P1 6；③转化法P125 8 3.充分必要条件——①大小法(小充分，大必要)P3 1；②推导法(推出充分被推必要互推充要)P3 3 4.命题的否定——①结论否定法；②全特互化法)P3 4 5.求定义域——①有意义法（具体函数或实际问题）P6 12；②整体不变法(抽象函数)P5 5 6.求值域——①图象法；②单调性法P5 8、P7 8；③反函数法；④分离常数法P12 13（1）； ⑤配方法P10 13；⑥最值法 7.求最值——①函数值域法P7 8、P21 8、P86 13；②均值不等式法P11 4；③线性规划法； ④导数法P103 6；⑤转化法（立体与平面、同侧与异侧P67 5、P73 7、相离与相切P101 11） 8.求解析式——①换元法；②待定系数法P10 13（1）；③构造方程法P6 13；④化归法P22 13 9.画图——①特殊点法P15 9；②变换图象法P15 8、P27 7；③假设验证法P15 6； ④奇偶分析法P15 9；⑤导数法（原增导在上，原减导在下）P103 3 10.零点或交点——①图象法P9 8；②零点交点转化法P18 11；③韦达定理法P17 8； ④解方程法P17 1、P17 10；⑤估算法P17 5；⑥导数法 11.一元二次方程根的分布——①图象法P67 9；②判别韦达法P9 9 12.单调性问题——①图象法P7 9；②复合法（同增异减）P9 11；③定义法； ④导数法P12 13、P101 10、P103 5、P103 9；⑤性质法 13.奇偶性问题——①特殊值法P7 6；②定义法P16 14（1）；③化半法P8 13；④图象法P21 12 14.周期性问题——①图象法；②定义法P7 7；③三角公式法 15.对数计算——①逆运算转化法P13 3、P21 9；②化同法P13 5；③换底法 16.函数的应用——①列式法P19 4；②建模法P20 14、P64 14；图表法 17.求导数——①定义法P103 1；②公式法P101 2 18.求切线方程——①△=0法；②导数法P102 13、P104 11；③距离法（适用于圆） 19.求极值——①图象法P103 2；②导数法（左正右负极大值，左负右正极小值）P104 10、P104 13 20.求定积分或曲线围成面积——①图象法P105 11；②积分公式法P105 5；③概率法 二、三角函数、平面向量 1.三角函数符号（或角的象限）——①单位圆法P23 7；②πk2法P23 5 Rt法P25 2；②同角公式法 2.三角函数知一求余——①? 3.三角化简求值——①化切法P25 9；②化弦法；③1的代换P24 13；④和积互化P25 4； ⑤公式法P29 10；⑥换角法P30 13；⑦转化法（化同角、化同名、化同次）P25 8、P28 14 4.对称问题——①图象P21 12；②整体不变法；③公式法；④验证法P28 12 5.解三角形——①正弦定理P33 8；②余弦定理P33 9；③化边法P34 13；④化角法 6.平面向量的运算——①图解法P35 10、P97 9；②公式法P41 3；③坐标法P37 1、P41 10 7.向量平行（共线）问题——①成比例法P37 2；②公式法P35 2、P73 11、P99 7、12 8.向量垂直问题——①几何法P39 10；②公式法P39 7、P96 14 9.求夹角——①几何法P37 5；②公式法P41 11 10.求长度（模）——①平方法P37 9；②解三角形法P41 2
初中因式分解典型例题汇总 例 1 多项式x +ax+b因式分解为(x+1)(x-2)，求a+b的值． 分析 根据因式分解的概念可知因式分解是一种恒等变形，而恒等式 中的对应项系数是相等的，从而可以求出 a 和 b，于是问题便得到解 决． 解
2 2
由题意得：x +ax+b=(x+1)(x-2)，所以
2
2
x +ax+b=x -x-2， 从而得出 a=-1，b=-2， 所以 a+b=(-1)+(-2)=-3． 点评 “恒等式中的对应项系数相等”这一知识是求待定系数的一种 重要方法． 例2 分析 解 点评 因式分解 6a b+4ab -2ab． 此多项式的各项都有因式 2ab，提取 2ab 即可． 6a b+4ab -2ab=2ab(3a+2b-1)． 用“提公因式法”分解因式，操作时应注意这样几个问题：首
2 2 2 2
先， 所提公因式应是各项系数的最大公约数与相同字母最低次幂的乘 积，即提取的公因式应是多项式各项的最高公因式，否则达不到因式 分解的要求；其次，用“提公因式法”分解因式，所得结果应是：最 高公因式与原多项式各项分别除以最高公因式所得商式的乘积． 如果 原多项式中的某一项恰是最高公因式，则商式为 1，这个 1 千万不能
丢掉． 本例题中，各项的公因式有 2，a，b，2a，2b，ab，2ab等．其中 2ab 是它们的最高公因式，故提取 2ab．作为因式分解后的一个因式，另 一个因式则是分别用 6a b，4ab 和-2ab除以 2ab所得的商式代数和， 其中-2ab÷2ab=-1，这个-1 不能丢． 例3 分析 因式分解 m(x+y)+n(x+y)-x-y． 将-x-y 变形为-(x+y)，于是多项式中各项都有公因式 x+y，提
2 2
取 x+y 即可． 解 m(x+y)+n(x+y)-x-y
=m(x+y)+n(x+y)-(x+y) =(x+y)(m+n-1)． 点评 例4 分析
3
注意添、去括号法则． 因式分解 64x -1． 64x 可变形为(8x ) ，或变形为(4x ) ，而 1 既可看作 1 ，也可
6 3 2 2 3 2 6
看作 1 ，这样，本题可先用平方差公式分解，也可先用立方差公式分 解． 解
6
方法一
3 2
64x -1=(8x ) -1 =(8x +1)(8x -1) =[(2x) +1][(2x) -1] =(2x+1)(4x -2x+1)(2x-1)(4x +2x+1) 方法二
2 2 3 3 3 3
高中数学《集合》知识点归纳及题型练习 【知识点】 1.集合的三个特性：确定性，互异性，无序性 2.自然数集N ，正整数集*N 或N +，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R 。 3.集合的三种表示方法：列举法，描述法，文氏图。 4.集合的分类：有限集，无限集，空集 5.子集：若a A ∈，则a B ∈，称为A 是B 的子集，记作：A B ?或B A ?， 读作：“集合A 包含于集合B ”或“集合B 包含集合A ”。 6.真子集：若A B ?且B A ?，则称集合A 与集合B 相等，记作：A B =； 若A B ?且A B ≠,则称集合A 是集合B 的真子集，记作： 【注意】空集φ是任何集合的真子集。 一个集合的子集个数为2n ，真子集个数为21n -，非空真子集个数为22n -。 7.补集：已知A U ?，由所有属于U 但不属于A 中的元素组成的集合称为A 的补 集，记作:U A e, 读作：A 在U 中的补集。即：{|,}U A x x U x A =∈?且e 8.交集：由两个集合中的公共元素组成的集合，即：{|}A B x x A x B =∈∈，且 9.并集：由两个集合中的所有元素组成的集合，即：{|}A B x x A x B =∈∈，或 10.集合的包含关系：A B ??A B A A B B =?= 题型1.集合性质的应用 1.判断能否构成集合：【根据集合的确定性】 （1）我国的所有直辖市； （2）我校的所有大树； （3）深圳机场学校的所有优秀学生； （4）深圳市的全体中学生； （5）不等式220x x ->的所有实数解； （6）所有的正三角形。 2.用,∈?填空：2 N ， ， -3 Z ， ， R ； 已知2{|20}A x x x =--=，则1 A ，2 A ，-1 A ，-2 A 。
《因式分解》常见题型例析 因式分解是中学数学的重要内容之一，是学习分式、根式、和一元二次方程的重要基础，是解决许多数学问题的重要“工具”，也是各级考试的一个热点，现将关于这部分知识的常见题型介绍如下。 题型一：分解因式的意义 例1 下列从左到右的变形是分解因式的是（ ） （A ）(x －4)(x+4)=x 2－16 (B)x 2－y 2+2=(x+y)(x －y)+2 (C)2ab+2ac=2a(b+c) (D)(x －1)(x －2)=(x －2)(x －1). 练习:下面由左边到右边的变形中,是分解因式的是（ ）. (A)a(x －y)=ax －ay (B)x 2－2x+4=(x －1)2+3 (C)8x 2－4x=4x·2x (D)y 2－y+41=(y －2 1)2 题型二、直接提公因式分解 例2 分解因式2a(b －c)－3c(b －c). 练习:分解因式: (2x －3y)(a+b)+(a+b)(3x －2y). 题型三、直接利用公式因式分解 例3、分解因式:a 2－1=_______. 练习：分解因式：224x y =________. 题型四、提公因式后再用公式 例4、把a 3－ab 2分解因式的正确结果是（ ） A 、(a+ab)(a －ab) B 、a (a 2－b 2) C 、a(a+b)(a －b) D 、a(a －b)2
练习∶分解因式：244x y xy y -+=_________. 题型五、利用因式分解进行数字计算 例5、计算：2－22－23－……－218－219+220, 练习：算式22222222+++可化为（ ） A ．42 B ．28 C ．82 D ．162 题型六、利用因式分解求值 例6、若非零实数a 、b 满足4a 2+b 2=4ab ，则b a =___________. 练习：已知：x 2+4y 2－4x －4y+5=0,求：x －y 的值。 例7、已知：x+y=1,求222 121y xy x ++的值。 练习：已知a+b=13,ab=40,求a 2b+ab 2的值。 例8、已知：多项式222541y mxy x ++是一个完全平方式，求m 的值。 练习：已知：x 2+2（m －3）x+16是一个完全平方式，求m 的值。 题型七、利用因式分解求解整除问题 例9、设n 为整数．求证：（2n+1）2－25能被4整除。 练习：证明：817－279－913能被45整除。（提示：原式=（34）7－ （33）9－（32）13=326（32－3－1）=45×324）。 题型八、利用因式分解求解矩形、正方形问题 例10、已知矩形的面积为6m 2+60m+150（m>0），长与宽的比为3：2，求这个矩形的周长。 练习：已知：一正方形的面积为：9x 2+12xy+4y 2，且x>0,y>0,求该正方形的周长。