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【哈工大 结构动力学】SD 第10章 多自由度体系2020

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结构力学课后答案第10章结构动力学

结构力学课后答案第10章结构动力学
\
解：
若 为静力荷载，弹簧中反力为 。
已知图示体系为静定结构，具有一个自由度。设为B点处顺时针方向转角 为坐标。建立动力方程：
则弹簧支座的最大动反力为 。
10-21设图a所示排架在横梁处受图b所示水平脉冲荷载作用，试求各柱所受的最大动剪力。已知EI=6×106Nm2，t1＝，FP0＝8×104N。
(a)
则同样有： 。
10-9图示结构AD和DF杆具有无限刚性和均布质量 ，A处转动弹簧铰的刚度系数为kθ，C、E处弹簧的刚度系数为k，B处阻尼器的阻尼系数为c，试建立体系自由振动时的运动方程。
*
解：
取DF隔离体， ：
取AE隔离体：
将R代入，整理得：
/
10-10试建立图示各体系的运动方程。
(a)
解：（1）以支座B处转角作为坐标，绘出梁的位移和受力图如下所示。图中惯性力为三角形分布，方向与运动方向相反。
图 图
（1）求结构运动方程
如所示弯矩图，图乘后，
其中 ，稳态解：
所示结构的运动方程为 ，C点最大动位移幅值为
（2）求B点的动位移反应
，
！
B点的动位移幅值为
（3）绘制最大动力弯矩图
图 图
最大动力弯矩图
10-20试求图示集中质量体系在均布简谐荷载作用下弹簧支座的最大动反力。设杆件为无限刚性，弹簧的刚度系数为k。
（2）画出 和 图（在B点处作用一附加约束）
…
（3）列出刚度法方程
， ，
代入 、 的值，整理得：
(b)
解：
图 图
】
试用柔度法解题
此体系自由度为1 。设质量集中处的竖向位移y为坐标。
y是由动力荷载 和惯性力矩 共同引起的。

多自由度体系自由振动

多自由度体系自由振动
KN

振动方程
y2 (t )
y1 (t )
质点在任何时刻要受力平衡
竖向
1 (t ) m y
FEK1
水平方向：
2 (t ) FEK 2 m y
问题转化为求质点在任意时刻 t 在2 个方向上受到的 恢复力

恢复力的求法
B
D
y2 (t )
y1 (t )
竖向
VDB
FEK1
A
C
弹簧反力
y1 (t )
1 (t )11 m2 212 y1 (t ) m1 y y
1 (t ) 21 m2 2 22 y2 (t ) m1 y y
y2 (t )

方程中各个系数意义如下：
P=1 L/4 L L/4 L/2 L/2 L/4
P=1
L/4
M1
L/4
A1 A11
与A1的比值，记为
A21
T
同理，把λ=λ2 代入振型方程中的任意一个方程，得到A2
A22 2 m1 11 A12 m2 12
y1(t)= A12sin（ω2t + φ） y2(t)= A22sin（ω2t + φ） 同样，称 A2 A 12
A22 为第二振型
-----频率方程
3. 柔度矩阵与刚度矩阵的关系
K 1

[计算举例]
，杆长都是L，列振动方程
m EI EI EI1=∞
13 EI 图示结构弹簧的刚度 KN= 3 2L
解：1）2个动力自由度，质点的 水平位移和竖向位移，如图
并求振动频率和振型，作出振型图
y 2 (t )
y1 (t )

1005多自由度体系自由振动(力学)

1005多自由度体系自由振动(力学)
FI 2 (t ) FS 2 (t ) FE 2 (t ) 0
其中
FIi mi i y
FSi kij y j
j 1
2
( i 1,2)
m1 1 k11 y1 k12 y2 FE1 (t ) y
m2 2 k 21 y1 k 22 y2 FE2 (t ) y
主振型的位移幅值等于 主振型惯性力幅值作用下产 生的静力位移。
（2）振型方程
( 11 m1 2 ) A1 12 m2 A2 0 1 21 m1 A1 ( 22 m2 2 ) A2 0 1
A1=A2= 0 ？
（3）频率方程
D
11m1
y 11 12 m1 0 1 y1 Δ1P (t ) 0 m y Δ (t ) 2 y2 21 22 2 2P
m1 0 0 1 k11 y k m2 y 2 21 k12 y1 FE1 (t ) y F ( t ) k 22 2 E 2
1

2
12m2 22m2
1
21m1
0
令
1
2
2
2 (11m1 22 m2 ) (11 22 m1m2 12 21m1m2 ) 0
1 1 ( 11m1 22 m2 ) ( 11m1 22 m2 ) 2 4( 11 22 12 21 )m1m2 2 2
y2 (t ) m1 1 (t ) 21 m2 2 (t ) 22 y y
设解为 y1 (t ) A1 sin(t )

结构动力学多自由度

结构动力学多自由度

▪ 振型方程：
(K i2M)ji 0 (i 1, 2, 3, n)
▪∵
K 2i M 0
▪ ∴ 第i 个振型方程中的n 个方程中只有n-1个是独立的！ ▪ ——无法得到j1i、 j2i、 … 、 jni 的确定值， ▪ 但可以确定各质点振幅之间的相对比值： ▪ —— 振型的幅值是任意的，但形状是惟一的。
一致质量矩阵：
L
pava m13v1 0 fI ( x)v( x)dx
L
0
m( x) 3( x)v3
L
1( x)v1dx
mij 0 EI ( x)i ( x) j ( x)dx
L
cij 0 c( x) i ( x) j ( x)dx
其中，c(x)表示分布的粘滞阻尼特性。
一致节点荷载
L
vˆ 表示体系的形状，不随时间变化。
v 2vˆ sin(t ) 2v 2mvˆ sin(t ) kvˆ sin(t ) 0
k 2m vˆ 0
k 2m vˆ 0
即： k 2m 0
上式的N个根，表述体系可能存在的N个振型的频率。
1
2
3
N
2)
2
)
y32
(t
)
jˆ
32
s
in
(
2
t
2
)
1
jˆ
2i
yi
(t
)
jˆ3i
s
in(i
t
i
)
jˆ ni
1
jˆ 21
jˆ 31
jˆ 32
1
jˆ 22
将N个振型中的每一振型形式，用F表示N个振型所组成的方阵。
11 12 13 1N

结构动力学多自由度体系的自由振动

结构动力学多自由度体系的自由振动
l/3 l/3 l/3 1
11
21
1
Y 1
1 1
Y
2
1 1
12
22
对称体系的振型分 成两组: 一组为对称振型
一组为反对称振型
按对称振型振动
m
l/3 l/6
=1 l/3
11
5 162
l3 EI
2 1 m11
5.692 EI / ml3
按反对称振型振动
m1 m m2 m EI
l/3 l/3 l/3 1
三.求多自由度体系频率、振型例题
例1.求图示体系的频率、振型
解
11
22
4 243
l3 EI
12
21
7 486
l3 EI
I 2 m 0
m1 m m2 m EI
l/3 l/3 l/3 1
11
21
1
11m1 1/ 2
m212
0
m1 21
22m2 1/ 2
令
1
11m1
2
1 12 / 11 0 21 / 11 1
(I 2 m)Y 0
频率方程
I 2 m 0
6。求振型、频率可列幅值方程.
按振型振动时
y1 y2
Y1 sin( t ) Y2 sin( t )
yy21
Y1 2 Y2 2
sin( t sin( t
) )
FI
1
(t
)
FI 2 (t)
m1Y12 sin( t ) m2Y22 sin( t )
YY1222
s
in(2t
2)
通解
yy12((tt))
A1
YY1211

计算结构动力学 多自由度体系的振动

计算结构动力学 多自由度体系的振动

tgi=2i/i(1-i2)
(36)
将式(34)代回
{u}=ii(t){A}i ， 得
{u(t)}=[iisin(it-i)/i2]{A}i
(37)
无阻尼情况自然可以当作有阻尼情况的特例，在上
述结果中令i=0得到。
4.3 多自由度的受迫振动
4.3.3 简谐荷载受迫振动反应分析步骤
左乘{A}jT、后一式左乘{A}iT，再将两式相减，由于质 量、刚度的对称性，可得
由此可得
(i2-j2){A}jT[M]{A}i=0
(11)
{A}jT[M]{A}i=0
(12)
上式乘j2，考虑到j2[M]{A}j物理意义是第j振型对应
的惯性力幅值，因此式（12）表明第j振型对应的惯性
力在第i振型位移上不做功，反之亦然。
(e)
方程两边同时左乘{A}jT，根据正交性则有
Mj*ÿj(t)+Kj*yi(t)=0
(20)
从式(20)可得(根据单自由度自由振动结果)
yi(t)=aisin(it+ci)
(f)
代回多自由度所假设的解，即可得
{u(t)}=aisin(it+ci){A}i
(21)
5）式(21)中的待定常数ai、ci可由初始条件确定。如何
22求无阻尼自由振动的振型求无阻尼自由振动的振型aaii频率频率ii33用阻尼比用阻尼比1122和频率和频率1122求瑞利阻尼的求瑞利阻尼的00和和44求求ii振型振型参与系数振型振型参与系数iiaaiittppaaiittmmaa55求求ii振型阻尼比振型阻尼比12120066求求ii振型动力系数振型动力系数iiii222244ii22ii22121277求求ii振型相位角振型相位角iiarctg2arctg2iiii2288求求ii振型广义位移振型广义位移iittiisinsiniittiiii2299将各振型广义位移代回将各振型广义位移代回uuiittaaii则得最终则得最终结果结果uuttiisinsiniittiiii2237374444441441基本原理基本原理对动力问题设单元位移场仍表示成对动力问题设单元位移场仍表示成ddnnddee只是现在只是现在ddddxtddee设杆单元的密度为设杆单元的密度为将微段惯性力将微段惯性力aaaaddxx作为作为体积力则这一单元荷载的总虚功为体积力则这一单元荷载的总虚功为dxdx3838引入单元一致质量矩阵引入单元一致质量矩阵mmeedx39394444由式3939代入形函数并积分对质量均匀分布的平代入形函数并积分对质量均匀分布的平面弯曲单元其单元一致质量矩阵面弯曲单元其单元一致质量矩阵mmee13221561354221354221564204040作业

【结构动力学】第10章 多自由度体系2020

【结构动力学】第10章 多自由度体系2020

0
0
N
其中，ωn— 第n阶自振频率，{φ}n—第 n阶振型。
[Φ]和[Ω]也分别称为振型矩阵和谱矩阵。
13
5 DOF with uniform mass and stiffness
5 DOF Base Isolated 14
15
5 DOF with uniform mass and stiffness
k22 2m22 k2N 2m2n 0
k N1 2mN1 k N 2 2mN 2 k NN 2mNN
10
对于N个自由度的稳定结构体系，频率方程是关于ω2的 N次方程，
a N ( 2 ) N a N 1 ( 2 ) N 1 a1 2 a 0 0
由此可以解得N个正实根（ω12<ω22<ω32…<ωN2）。 ωn(n=1, 2, …, N)即为体系的自振频率。其中量值最小的 频率ω1叫基本频率(相应的周期T1=2π/ω1叫基本周期)。 从以上分析可知，多自由度体系只能按一些特定的频 率即按自振频率做自由振动。按某一自振频率振动时，结 构将保持一固定的形状，称为自振振型，或简称振型。
上述齐次方程组有非零解条件为：系数行列式为零
A [I ] 0
N×N矩阵[A]一般将有N个特征值，对应N个特征向量
6
§10-2 多自由度体系的自由振动
多自由度体系无阻尼自由振动的方程为：
M u K u 0
其中：[M]、[K]为N×N阶的质量和刚度矩阵 {u}和{ü}是N阶位移和加速度向量 {0}是N阶零向量
11
把相应的自振频率ωn代入运动方程的特征方程得到振型
K n 2 M n 0
{φ}n={φ1n, φ2n , …, φNn }T—体系的第n阶振型 。 ➢ 由于特征方程的齐次性(线性方程组是线性相关的)，振型向量 是不定的，只有人为给定向量中的某一值，例如令φ1n=1，才能确 定其余的值。 ➢ 实际求解时就是令振型向量中的某一分量取定值后才能求解。 虽然令不同的分量等于不同的量，得到的振型在量值上会不一样， 但其比例关系是不变的。

结构力学结构动力计算基础

结构力学结构动力计算基础

解：自振频率是系统的固有特性，与荷载无关。可先求出柔度
系数11 ，再求固有频率
。由结构的 M
图, ，则 1
11E1IM12dx3E 4I
1 3EI m11 4m
当静荷载撤除后，梁的运动为单自由度体系的无阻尼自由
振动。初始时刻质点速度为零，即 y&0 0，y 0 可由图乘法计算得到，
y0E 1IM1MPdx1 E1I ，则质点m的位移
§10-1 概述
3）结构的振动自由度
⑴概念：结构振动时，确定某一时刻全部质量的位置所需要的
独立几何参数的数目，称为结构的振动自由度。
⑵集中质量法：这种方法是将连续分布的质量集中到结构的
若干点上，即结构动力计算简图为有限质点体系。
(a)
(b)
(a) 一个质量点 (b) 若干质量点
§10-1 概述
3）结构的振动自由度
将荷载幅值F作用在结构上，其跨中弯矩和位移为
M sF t 1 4F l1 410410kN m
结构的自振频率为
ysFt
F11
10 103 43 48 1.848 107
0.722 103 m
1 g g m11 mg11 yQ
9.8 2.53 103
62.2S1
动荷载的频率为
2πn 2 3.14 400 41.9S1
对于无阻尼自由振动，质点在惯性力FI和弹性恢复力FS作用下处于 动力平衡状态，则有 FI +Fs =0,即m & y & (t)+k11y(t)=0，此式可改写为
& y&(t)+k11 y(t)=0 m
此式为单自由度体系无阻尼自由振动的运动方程，这种由力系平 衡条件建立运动微分方程的方法称为刚度法。

多自由度体系

多自由度体系
最后求第三主振型。将将3和3代入式（a),得
-6.054
K
32M
=
k 15
5
0
5 -5.027
3
0
3
-10.027
代入式（4-3-4），后两个方程为
-5Y13 5.027Y23 +3Y33 0 3Y23 +10.027Y33 0
令Y33 1，故式（f）的解为
Y (3) = Y13，Y23，Y33 T 2.760, 3.342,1T
M
M
kn1
kn2
L
k1n
k2n
0
M
knn -2mn
（4-3-3b）
n个根12，22， n2
Y (i)表示与频率i相应的主振型：
Y (i)T =（Y1i Y2i Yni )
将i和Y (i)代入式（4-3-2）得
（K i2M）Y (i) 0
（4-3-4）
令，i 1, 2,, n，可得n个向量方程，由此可求的n个主振型向量 Y (1)，Y (2)，，Y (n)
（1）验算正交关系式（4-3-8）
2 0 0 0.924
Y (1)T MY (2) =(0.163, 0.569,1) 0 1 0 1.227 m
0 0 1 1
m0.163 2 (0.924) 0.5691 (1.227) 111
0.0006m 0
同理，
Y (1)T MY (3) 0.002m 0，Y (2)T MY (3) 0.002m 0
3
0
3
1.707
代入式（4-3-4）中并展开，保留后两个方程，得
-5Y11 6.707Y21 3Y31 3Y21 1.707Y31 0

哈尔滨工业大学结构动力学PPT课件

哈尔滨工业大学结构动力学PPT课件

x0 x0 ， x0 x0 xt c1n cosnt c2n sinnt
c1 x0 n ， c2 x0
第36页/共42页
x
t
x0
n
sin nt
x0
cos nt
令
x0 cos n
， x0 sin
则可化为
其中：
xt sinnt
2
x02
x0
n
tg x0n arctg x0n
T1
1 2
l 0
d
l
2
x2
1 2
(1 3
l)x2
1 m1 23
x2TΒιβλιοθήκη T1Tm1 2
m1 3
m
x2
1 2
meq x2
又因为: 弹簧的势能与弹簧质量无关, 则
V 1 kx2 2
由能量法，可得
meq x kx 0 弹性元件质量不能忽略时，利用等
效质量，将质量折算到质量块上， 弹性元件仍看作无质量的。
• 18世纪线性振动理论成熟期。
第11页/共42页
• 19世纪非线性振动理论，各种工程实际结构振动的近似 求解方法。
• 20世纪50年代初由于航空航天工程的发展，原本确定性 理论无法解释包含随机变化的工程问题，发展了随机振 动理论。
• 20世纪后期计算机技术的飞速发展，数值计算方法和理 论成为主要研究方法之一。
第7页/共42页
三、结构动力学研究的内容
结构动力学就是研究结构系统在激励力作用下产生的响 应规律的科学，研究激励力、结构和响应三者关系的科 学。
现代结构动力学主要研究以下三个方面的内容 第一类问题：响应分析（结构动力计算）
输入 （动力荷载）

哈工大结构动力学连续体

哈工大结构动力学连续体

纵向刚性位移。 纵向刚性位移。
4.2 圆轴扭转 假设: ） 每一横截面， 通过截面形心的轴线转动 假设 1） 每一横截面， 通过截面形心的轴线转动 绕 一个角度， 截面保持平面; ） 保持平面 截面上每一个点都转 一个角度， 截面保持平面 2） 截面上每一个点都转 动相同的角度。 表示。 动相同的角度。 扭转振动位移用 θ 表示。 由材料力学可知
4.1 直杆的纵向自由振动 4.1.1 直杆纵向振动微分方程 假设： 假设： 1） ） 杆的任一横截面在作纵向振动过程中始终保持为 平面， 横截面上各点， 在轴向上以相同的位移运动。 平面， 横截面上各点， 在轴向上以相同的位移运动。 2） 纵向运动过程中， ） 纵向运动过程中， 略去杆的纵向伸缩而引起的横 向变形。 向变形。 对任一横截面的纵向位移 u 都可写成关于 x 和 t 的函数 u ( x, t )
= 0, π , 2π , 3π ,... = nπ ( n = 1, 2, 3...)
nπ a x nπ ' U n ( x ) = A sin x = A sin ⋅ = An sin x a l a l
' n ' n
ωn
画出振型图，就是各点的振幅。 画出振型图，就是各点的振幅。 1阶
ω1 → U 1 ( x ) = A sin
扭矩为零
（3）弹性支承 ）
∂ϑ kϑ ( ℓ, t ) = −GJp ( ℓ, t ) ∂X
(4) 右端有一惯性圆盘，则有 右端有一惯性圆盘，
∂ϑ ∂ϑ J o 2 ( ℓ, t ) = − Jpd ( ℓ, t ) ∂t ∂x J 圆盘对称轴转动惯量
2
o
4.3 梁的弯曲振动
4.3.1 梁的横向振动微分方程 研究对象：匀质细长梁（一般假定长细比>10） 研究对象：匀质细长梁（一般假定长细比 ） ， 有纵向对称平面。振动运动过程中，假设： 有纵向对称平面。振动运动过程中，假设： 1）梁的轴向位移可以忽略 ）梁的轴向位移可以忽略 2）截面绕中性轴（梁几何中心线）转动可忽略 中性轴（ 几何中心线） ） 3） 变形时满足平面假设， ） 变形时满足平面假设， 并忽略剪力引起的变形

哈工大课件机械系统动力学DynamicsofMechanicalSyst

哈工大课件机械系统动力学DynamicsofMechanicalSyst

Rewriting:
x(t) a1(cosnt j sin nt) +a2 (cosnt j sin nt)
(a1 a2 ) cosnt j(a1 - a2 ) sin nt
Giving:
x(t) A1 cosnt A2 sin nt
Further manipulation
Solution we have: x(t) A1 cosnt A2 sin nt
system. That is why it is called the natural frequency of
vibration.
n
k m
Natural frequency
natural frequency from static deflection.
n
g
st
natural frequency from energy method.
Damping element
Damping force
Undamped Free Vibration
➢Differential equation
x(0) x0, x(0) v0
➢Solving ODE
Proposed solution:
x(t) aet
Into ODE you get the characteristic equation:
that is most observed In this course, we will use the viscous
damping model; i.e. damping proportional to velocity
Spring-mass-damper systems

结构动力学多自由度

结构动力学多自由度


pbT
~ fpa
paT ~fpb paT ~fpb T pbT ~f T pa pbT ~fpa
故 ~f 、 k 均为对称矩阵。
单元刚度矩阵
单元刚度系数表示由单位节点位移所引起的节点力。
单元刚度系数由虚位移法求得。
例如，课本P106图11-5所示简支梁中，令a端发生单位转角， 并给该处一竖向虚位移，零外力所做的功，等于内力所做的 功。
表示一个自由度发生相应单位位移而其他节点不动时在结构中所 产生的的力。
弹性特性
柔度的定义：
~ fij —在j坐标施加单位荷载而引起的i坐标的挠度。
则任意荷载组合下： vi ~fi1 p1 ~fi2 p2 ~fiN pN
用矩阵表示：
v1



vi
v N

略去阻尼矩阵和施加的荷载向量的影响： mv kv 0
假定以上多自由度体系的振动是简谐振动：
v(t) vˆ sin(t )
vˆ 表示体系的形状，不随时间变化。
v 2vˆ sin(t ) 2v 2mvˆ sin(t ) kvˆ sin(t ) 0
k 2m vˆ 0
无阻尼自由振动—振动频率分析
k 2m vˆ 0
即： k 2m 0
上式的N个根，表述体系可能存在的N个振型的频率。
1

2




3


WE va pa v1 k13
Lபைடு நூலகம்
WI v1 0 EI ( x) 1''( x) 3''( x)dx

哈工大结构动力学多自由度

哈工大结构动力学多自由度
T
i
称为第 i 阶主振动
x
(i )
t x
(i ) 1
, x ,..., x
(i ) 2
(i ) T n

这里的 i 称为第 i 阶主振型，也称第 i 阶模态 （modal） 。由于没有重根所以， i 回代后仅有一 个方程不独立
k11 m11i2 1i k12 m12i2 2i ... k1n m1ni2 ni 0 . . . kn1 mn1i2 1i kn 2 mn 2i2 2i ... knn mnni2 ni 0
K M 2 0
K M2 0
2 的 n 次代数方程 ，关于
i）由 M 正定，K 正半定，由矩阵理论可知，特征 根均为正数或零， 即有实数的 i ， 称为固有频率。 ii) i 有不等实根（多数情况下，多数的实际工程 系统） 。
1 2 ... n
但可能 1 0 ，对应系统有刚性运动（在振动同 时伴随有刚体运动） iii） 有重根，称为亏损系统
7 l 13 31 12 EI
作用单位力后在 mi 上产生的位移，用 ij 表示。
.. .. .. y1 F1 m1 y1 11 F2 m2 y 2 12 F3 m3 y3 13
.. .. .. y2 F1 m1 y1 21 F2 m2 y 2 22 F3 m3 y3 23
所以C是正半定的
代入拉格拉日方程， L T U ，
d L L Qi dt qi qi
通常情况下，势能与广义速度无关

结构动力学2

结构动力学2
A jT k Ai A jT k Ai T A iT k T A j AiT k A j
k 是对称矩阵，k kT
M 也是对称矩阵，同理，有 A jT M Ai A iT M A j
2

A1

m212 A2

0
m121 A1


m2
22

1
2

A2

0
由A1 、A2不全为零，建立频率方程：
刚度法
k11 2m1 A1 k12 A2 0
k21 A1 k22 2m2 A2 0
柔度法
m111

y1 y2

A1 1sin 1t 1 A2 1sin 1t 1
和

y1 y2

A1 2sin 2t 2 A2 2sin 2t 2
是方程的两个特解，方程的通解是两个特解的
线性组合，即

单位矩阵
A 2 M A 0
即


M


1
2
I

A

0
(2)
因为A 0，所以
M

1
2
I

0
振型方程
频率方程（或特征方程）

频率方程是关于 1
2
的n次代数方程，由此可求的n个 的正实根，即为结构的n个自振频率，通常由
§10-6 多自由度体系的自由振动
用柔度法可建立n个自由度体系的运动方程如下
y1 m1 y111 m2 y212 y2 m1 y121 m2 y222

结构动力学哈工大版课后习题解答

结构动力学哈工大版课后习题解答

第一章 单自由度系统1.1 总结求单自由度系统固有频率的方法和步骤。

单自由度系统固有频率求法有：牛顿第二定律法、动量距定理法、拉格朗日方程法和能量守恒定理法。

1、 牛顿第二定律法适用范围：所有的单自由度系统的振动。

解题步骤：（1） 对系统进行受力分析,得到系统所受的合力；（2） 利用牛顿第二定律∑=F x m,得到系统的运动微分方程；（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。

2、 动量距定理法适用范围：绕定轴转动的单自由度系统的振动。

解题步骤：（1） 对系统进行受力分析和动量距分析；（2） 利用动量距定理J ∑=M θ,得到系统的运动微分方程；（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。

3、 拉格朗日方程法：适用范围：所有的单自由度系统的振动。

解题步骤：（1）设系统的广义坐标为θ，写出系统对于坐标θ的动能T 和势能U 的表达式；进一步写求出拉格朗日函数的表达式：L=T-U ； （2）由格朗日方程θθ∂∂-∂∂∂LL dt )( =0，得到系统的运动微分方程； （3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。

4、 能量守恒定理法适用范围：所有无阻尼的单自由度保守系统的振动。

解题步骤：（1）对系统进行运动分析、选广义坐标、写出在该坐标下系统的动能T 和势能U 的表达式；进一步写出机械能守恒定理的表达式 T+U=Const （2）将能量守恒定理T+U=Const 对时间求导得零,即0)(=+dtU T d ，进一步得到系统的运动微分方程；（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。

1.2 叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。

用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法有两个：衰减曲线法和共振法。

方法一：衰减曲线法。

求解步骤：（1）利用试验测得单自由度系统的衰减振动曲线，并测得周期和相邻波峰和波谷的幅值i A 、1+i A 。

【哈工大 结构动力学】SD 第10章 多自由度体系2020

【哈工大 结构动力学】SD 第10章 多自由度体系2020
➢ 所谓振型就是结构不同点(自由度)变化时的比例关系。
11
以上分析方法就是代数方程中的特征值分析，自振频率相应 于特征值，而振型即是特征向量。
得到体系的N 个自振频率和振型后，可以把振型和自振频率
分别写成矩阵的形式，
1 2 N
1 0 0
0
2
0
或
1,2,3
T
n
jqj(t)
j
2.0jjqj(t )
j
2 j
qj(t
)
T j
M
Mj
I
ug(t )
振型分解法仅需知道各振型阻尼比 ξ，不需要知道阻尼矩阵[C]
定义振型参与系数γj
j
jT M I
Mj
jT M I jT M j
基本性质
[] 1
两边同时除以振型参与系数γj ，得到：（j＝1，2，…N）
得到三个根 ：
B1 0.3515, B2 1.6066, B3 3.5420
利用关系式
Bn n2 600
可得结构的三个自振频率：
12 210.88
1 14.522
22 963.96 2 31.048 (rad / s)
32 2125.20
3 46.100
19
算例10-1
求振型 ： (K n 2 M ) n 0
7
将位移向量{u}和加速度向量{ü}代入无阻尼自由振动方程：
u 2 sin( t ) u s in ( t )
M u K u 0
( 2 M K ) sin( t ) 0
因为sin(ωt+θ)为任意的，可以消去，因此，
(K 2 M ) 0
上式是关于{φ}的N阶齐次线性方程组，表征了振型和自振

【结构动力学】SD 第2章 自由振动反应 2020(待结合北方工大完善)

【结构动力学】SD 第2章 自由振动反应 2020(待结合北方工大完善)

s2 c s 2 0
m s i v(t) G1eit G2 eit
▪ 引入Euler方程： eit cost i sint
得无阻尼自由振动的位移反应：
v(t) Asint B cost
▪ A和B是由初始条件决定的常数。
（2-2） （2-7）
（2-9） （2-10）
13
▪ 位移反应： v(t) Asint B cost
[解] 确定梁的有效质量:
T 2 2 m 1.40s
k
m
T
2
2
k
1.4
2
2
90 0.005
894t
5 mm
EI
35
T 1.40s m 894t
确定体系的自振频率:
f 1 1 0.714Hz T 1.4
2f 4.48rad/s
阻尼特性:
1 ln v0 1 ln 5 0.0355 2π v1 2 4
▪ 自由振动方程： mv&& cv& kv 0
（2-2）
▪ 特征方程：
s c 2m
c 2m
2
2
▪ 如果体系的阻尼比临界阻尼大，则显然有c/2m>ω ，这时，特
征方程根式中的值为正值，则s 值成为：
s ()2 2 ˆ
ˆ 2 1
v(t ) et ( Asinhˆt B coshˆt ) （2-38）
（2-3）
▪ 其特征方程为： 或：
(ms 2 cs k) 0
s2 c s 2 0
m
（2-4）
▪ 式中ω2=k/m，ω是体系振动的圆频率。 ▪ 根据阻尼系数c 值的不同，解出的特征参数s 值将具有不同
的特性。

结构动力学—多自由度系统振动例子

结构动力学—多自由度系统振动例子

多自由度系统的振动【习题】图示伸臂梁上面有两个集中质量1m =2m =m ，梁的抗弯刚度为EI ，不计梁的质量。

（1）试建立系统的自由振动微分方程，并求系统的固有频率。

（2）在1m 和2m 处分别施加竖向集中力p F ，然后突然释放，求系统的自由振动响应； （3）在1m 和2m 同时施加竖向集中力p F ，然后突然释放，求系统的自由振动响应； （4）分别在1m 和2m 处作用一个脉冲力使之产生初速度，求系统的自由振动响应； （5） 假定系统具有瑞利阻尼，并设各阶振型阻尼比i ξ均为0.1，分别计算（2）～（4）情况下系统的自由振动响应。

解：（1）系统有两个自由度，采用柔度法建立系统的自由振动微分方程，为此，分别在两质点处施加单位荷载，作出单位弯矩图，求出诸柔度系数如下：321111=ds=48l M EI EI⎰δ 322221=ds=8l M EI EI⎰δ 31221211==d s =-32l M M EI EI⎰δδ 则系统的自由振动微分方程为：..311..22230312096y y l m y EI y ⎧⎫-⎧⎫⎡⎤⎧⎫⎪⎪+=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎢⎥-⎣⎦⎩⎭⎩⎭⎪⎪⎩⎭为求系统的固有频率，设自由振动的解： 1122sin(y A t y A ωϕ⎧⎫⎧⎫=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭+)令3296l m EIωλ=，代入运动方程，得特征方程：12123031120A A λλλλ-⎧⎫⎡⎤⎧⎫=⎨⎬⎨⎬⎢⎥-⎣⎦⎩⎭⎩⎭根据齐次方程非零解的条件，得频率方程： 12303112λλλλ-=-，即：2151410λλ-+=解得方程两根分别为：10.07794λ= ，20.85540λ= 由此可算得固有频率如下：1ω=, 2ω= 将1λ和2λ代入特征方程得相应的阵型，结果如下：{}1-0.27698=1ϕ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ ， {}2 3.61032=1ϕ⎡⎤⎢⎥⎣⎦两阶阵型如图所示：1ϕ： 2ϕ：结构振型图（2）在（1）中已求得柔度矩阵：{}323=31296l EIδ-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦对该矩阵求逆可得刚度矩阵： {}312332=325EIK l ⎡⎤⎢⎥⎣⎦固有频率： 振型矩阵：12 2.735319.06190ωω⎧⎫⎤⎨⎬⎥⎦⎩⎭{}-0.27698 3.61032=11ϕ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 质量矩阵：10=01M m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦关于M 的归一化振型：{}1-0.27698=1ϕ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ ， {}2 3.61032=1ϕ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ ， {}10=01M m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦由振型的质量公式得： {}[]{}Tnn n MM ϕϕ= {}{}=/n ϕϕ 所以{}[]{}()11110-0.27698=-0.276981 1.0767179011TM M m m ϕϕ⎡⎤⎛⎫=⋅⋅= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭={}{}11-0.27698-0.26693=/10.96372ϕϕ⎡⎤⎤==⎢⎥⎥⎣⎦⎦同理可求得： {}20.963720.26693⎡⎤⎢⎥⎣⎦则归一化以后的振型为：{}{}0.266930.96372=/0.963720.26693n ϕϕ-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦采用模态分析法求系统的动力响应，采用模态变换，并得到两种坐标初始条件之间的关系： (){}{}()y t Y t ϕ= ， (){}{}0(0)y Y ϕ=于是有： {}{}{}()(0)0TY M y ϕ=，(){}{}{}()..00TY M y ϕ= ()a各模态坐标的响应为：()()()().00cos sin sin +i i i i i i i i iY Y t Y t t A t ωωωϕω=+= ()b其中：i A = ()()()1.0tan 1,20i i i i Y i Y ωϕ-== 系统自由振动的响应可表为各模态坐标的叠加： (){}{}()y t Y t ϕ= ，即 ：()()()()11220.266930.963720.963720.26693y t Y t y t Y t ⎧⎫⎧⎫-⎤⎪⎪⎪⎪=⎨⎬⎨⎬⎥⎪⎪⎪⎪⎦⎩⎭⎩⎭()c()i 在1m 处施加竖向集中力p F 引起的两质块的初始变形，初始条件为：()()331202320312039696p pF l y F l y EI EI ⎧⎫-⎡⎤⎧⎫⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎢⎥--⎪⎪⎣⎦⎩⎭⎩⎭⎩⎭ ， ()().1.20000y y ⎧⎫⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭由式（a ）转化为模态坐标的初始条件：()()1200.0356800.01174p F l Y Y EI ⎧⎫-⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭ ， ()().1.20000Y Y ⎧⎫⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭由式（b ）得模态坐标的响应：()()()()111122220c o s 0.03568c o s 0c o s 0.01174c o s p F l Y t Y t t Y t Y t t EI ωωωω⎧⎫⎧⎫-⎧⎫⎪⎪⎪⎪==⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭⎩⎭ 由式（c ）得系统自由振动的响应：()()3111221120.009524cos +0.01131cos -0.03439cos +0.003134cos p F l y t t t y t t t EIωωωω⎧⎫⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭ ()ii 在2m 处施加竖向集中力p F 引起的两质块的初始变形，初始条件为：()()3312002330312129696pp F l y l F y EI EI ⎧⎫--⎧⎫⎡⎤⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎢⎥-⎪⎪⎣⎦⎩⎭⎩⎭⎩⎭ ， ()().1.20000y y ⎧⎫⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭由式（a ）转化为模态坐标的初始条件：()()1200.1288100.00325p F l Y Y EI ⎧⎫⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭ ， ()().1.20000Y Y ⎧⎫⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭由式（b ）得模态坐标的响应：()()()()111122220c o s 0.12881c o s 0c o s 0.00325c o s p F l Y t Y t t Y t Yt t EI ωωωω⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪==⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭⎩⎭由式（c ）得系统自由振动的响应：()()312122212-0.034383cos +0.003132cos 0.12424cos +0.000868cos p F l y t t t y t t t EI ωωωω⎧⎫⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭（3）在1m 和2m 同时施加竖向集中力p F ，然后突然释放，所引起的自由振动响应是上述（2）两种情况的叠加，所以可以求得此时的系统的自由振动响应如下：()()()()()()311112122212212-0.024859cos +0.01444cos =+0.08985cos +0.004cos p F l y t y t y t t t y t y t y t t t EI ωωωω⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭ （4）()i 在1m 处作用一个脉冲力使之产生初速度0v ，则初始条件为()()120000y y ⎧⎫⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭ ，()().10.2000y v y ⎧⎫⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭由式（a ）转化为模态坐标的初始条件：()()120000Y Y ⎧⎫⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭ ， ()().1.200.266930.963720Y v Y ⎧⎫-⎫⎪⎪=⎨⎬⎬⎭⎪⎪⎩⎭由式（b ）得模态坐标的响应：()()()()()().11111111.222222220sin /0cos 0.26693sin /0cos 0.96372sin /0sin /Y t Y t Y t t v Y t Y t t Y t ωωωωωωωωωω⎧⎫⎧⎫⎧⎫-⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪===⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎬⎪⎪⎪⎪⎭⎩⎭⎩⎭⎪⎪⎩⎭由式（c ）得系统自由振动的响应：()()11112202111220.071252sin /+0.928756sin /0.257246sin /+0.257246sin /y t t t v y t t t ωωωωωωωω⎧⎫⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎨⎬-⎪⎪⎩⎭⎩⎭()ii 在2m 处作用一个脉冲力使之产生初速度0v，则初始条件为()()120000y y ⎧⎫⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭ ，()().1.02000y v y ⎧⎫⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭由式（a ）转化为模态坐标的初始条件：()()120000Y Y ⎧⎫⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭ ， ()().1.200.963720.266930Y v Y ⎧⎫⎫⎪⎪=⎨⎬⎬⎭⎪⎪⎩⎭由式（b ）得模态坐标的响应：()()()()()().11111111.222222220sin /0cos 0.96372sin /0cos 0.26693sin /0sin /Y t Y t Y t t v Y t Y t t Y t ωωωωωωωωωω⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪===⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎬⎪⎪⎪⎪⎭⎩⎭⎩⎭⎪⎪⎩⎭由式（c ）得系统自由振动的响应：()()12112202211220.257246sin /+0.257246sin /0.928756sin /+0.071252sin /y t t t v y t t t ωωωωωωωω⎧⎫-⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭（5） 假定系统具有瑞利阻尼，并设各阶振型阻尼比i ξ均为0.1在上述计算中，已求得相关结果如下： 固有频率：关于M 的归一化振型：12 2.735319.06190ωω⎧⎫⎤⎨⎬⎥⎦⎩⎭{}0.266930.963730.963720.26693ϕ-⎡⎤⎢⎥⎣⎦ ②()i 在1m 处施加竖向集中力p F 引起的两质块的初始变形应用模态分析法求系统的动力响应，求得模态坐标的初始条件为：()()1200.0356800.01174pF l Y Y EI ⎧⎫-⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭ ， ()().1.20000Y Y ⎧⎫⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭考虑阻尼时，模态坐标的运动方程为：...220i i i i i i Y Y Y ξωω++=求得模态坐标的解为： ()()s i n i ti i i diY t A et ξωωϕ-=+ 其中i A =idi ω=)arctani ϕξ=将0.1ξ=代入上式得：()1.0050380i i A Y =，0.994987id i ωω=，()1.47064i ϕ≈弧度故可得()()()()()()11220.1111110.122222sin 0.03586sin 1.47064sin 0.011799sin 1.47064t t p d d t td d F l Y t Ae t e t Y t A e t e t EI ξωωξωωωϕωωϕω----⎧⎫⎧⎫⎧⎫+-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪==⎨⎬⎨⎬⎨⎬++⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭⎩⎭当力p F 撤去后，引起各质点的自由振动响应为：(){}{}()y t Y t ϕ=()()()()1230.11110.12120.0095720.011371sin 1.470640.0345590.00315sin 1.47064t p d t d F l y t e t y t e t EI ωωωω--⎧⎫⎧⎫+⎡⎤⎪⎪⎪⎪=⎨⎬⎨⎬⎢⎥-+⎪⎪⎪⎪⎣⎦⎩⎭⎩⎭()ii 在2m 处施加竖向集中力p F 引起的两质块的初始变形应用模态分析法求系统的动力响应，求得模态坐标的初始条件为：()()1200.1288100.00325p F l Y Y EI ⎧⎫⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭ ， ()().1.20000Y Y ⎧⎫⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭已求得模态坐标的解为： ()()s i n i ti i i diY t A et ξωωϕ-=+ ()1.0050380i i A Y =，0.994987id i ωω=，()1.47064i ϕ≈弧度故可得()()()()()()11220.1111110.122222sin 0.129459sin 1.47064sin 0.003266sin 1.47064t t p d d t td d F l Y t Ae t e t Y t A e t e t EI ξωωξωωωϕωωϕω----⎧⎫⎧⎫⎧⎫++⎪⎪⎪⎪⎪⎪==⎨⎬⎨⎬⎨⎬++⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭⎩⎭ 当力p F 撤去后，引起各质点的自由振动响应为：(){}{}()y t Y t ϕ=()()()()1230.11210.1222-0.0345560.003148sin 1.470640.1247620.000872sin 1.47064tp d t d F l y t e t y t e t EI ωωωω--⎧⎫⎧⎫+⎡⎤⎪⎪⎪⎪=⎨⎬⎨⎬⎢⎥+⎪⎪⎪⎪⎣⎦⎩⎭⎩⎭③在1m 和2m 同时施加竖向集中力p F ，然后突然释放，所引起的自由振动响应是上述②两种情况的叠加，所以可以求得此时的系统的自由振动响应如下：()()()()()()()()1230.11111210.1221222-0.0249840.014519sin 1.47064=+0.0902030.004022sin 1.47064t p d t d F l y t y t y t e t y t y t y t e t EI ωωωω--⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫+⎡⎤⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎢⎥+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎣⎦⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭④()i 在1m 处作用一个脉冲力使之产生初速度0v ，则求得模态坐标的初始条件为()()120000Y Y ⎧⎫⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭ ， ()().1.200.266930.963730Y v Y ⎧⎫-⎫⎪⎪=⎨⎬⎬⎭⎪⎪⎩⎭已求得模态坐标的解为： ()()s i n i ti i i diY t A e t ξωωϕ-=+ 当0.1ξ=，此时()()...0001.005038i i i idiY Y Y A ωω===0.994987id i ωω=， ()1.47064i ϕ≈弧度故可得：()()()()()()()()()111222.0.111111111110.1.2222222221.0050380sin /cos -0.268275sin 1.47064/=cos 0.968575sin 11.0050380sin /t ttd d d t t t d d d Ye t Y t Ae t e t v Y t A e t e t Y e t ξωξωωξωωξωωϕωωϕωωωϕωωϕω------⎧⎫+⎧⎫⎧⎫++⎪⎪⎪⎪⎪⎪==⎨⎬⎨⎬⎨⎬++⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭⎪⎪+⎩⎭()2.47064/ω⎫⎪⎬⎪⎭ 可求得系统自由振动的响应为： (){}{}()y t Y t ϕ=()()()()120.1111100.121220.0716110.933435sin 1.47064/-0.2585420.258542sin 1.47064/t d t d y t e t v y t e t ωωωωωω--⎧⎫⎧⎫+⎡⎤⎪⎪⎪⎪=⎨⎬⎨⎬⎢⎥+⎪⎪⎪⎪⎣⎦⎩⎭⎩⎭()ii 在2m 处作用一个脉冲力使之产生初速度0v，则求得模态坐标的初始条件为()()120000Y Y ⎧⎫⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭ ， ()().1.200.963720.266930Y v Y ⎧⎫⎫⎪⎪=⎨⎬⎬⎭⎪⎪⎩⎭已求得模态坐标的解为： ()()s i n i ti i i diY t A e t ξωωϕ-=+ 当0.1ξ=，此时()()...0001.005038i i i idiY Y Y A ωω===0.994987id i ωω=， ()1.47064i ϕ≈弧度故可得：()()()()()()()()()111222.0.111111111110.1.2222222221.0050380sin /cos 0.968575sin 1.47064/=cos 0.268275sin 1.1.0050380sin /t ttd d d t t t d d d Ye t Y t Ae t e t v Y t A e t e t Y e t ξωξωωξωωξωωϕωωϕωωωϕωωϕω------⎧⎫+⎧⎫⎧⎫++⎪⎪⎪⎪⎪⎪==⎨⎬⎨⎬⎨⎬++⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭⎪⎪+⎩⎭()247064/ω⎫⎪⎬⎪⎭ 故可求得系统自由振动的响应：(){}{}()y t Y t ϕ=()()()()120.1121100.122220.2585420.258542sin 1.47064/0.9334350.071611sin 1.47064/t d t d y t e t v y t e t ωωωωωω--⎧⎫⎧⎫+⎡⎤⎪⎪⎪⎪=⎨⎬⎨⎬⎢⎥+⎪⎪⎪⎪⎣⎦⎩⎭⎩⎭。

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➢ 所谓振型就是结构不同点(自由度)变化时的比例关系。
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以上分析方法就是代数方程中的特征值分析，自振频率相应 于特征值，而振型即是特征向量。
得到体系的N 个自振频率和振型后，可以把振型和自振频率
分别写成矩阵的形式，
1 2 N
1 0 0
0
2
0
或
1,2,3
T
n
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算例10-1 如图(a)所示三层框架结构，各楼层的质量和层 间刚度示于图中，确定结构的自振频率和振型。
(统一单位制：质量：吨，力：千牛，长度：米） 结构模型及各刚度元素：
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算例10-1 结构的质量阵、刚度阵：
2.0 0 0
M
0
1.5
0
0 0 1.0
k11 k12 k13 3000 1200 0
多自由度体系：
{惯性力}＋{阻尼力}＋{恢复力}＝{外荷载}
f I f D fs p(t)
M u C u K u p (t )
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预备知识
若矩阵[A]存在常数λ满足：
[A]x x
则称λ为矩阵[A]的特征值，{x}为矩阵对应特征值λ 的特征向量。
问题求解：转化为线性代数方程
([A] [I ])x 0
得到三个根 ：
B1 0.3515, B2 1.6066, B3 3.5420
k22 2m22 k2N 2m2n 0
k N1 2mN1 k N 2 2mN 2 k NN 2mNN
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对于N个自由度的稳定结构体系，频率方程是关于ω2的 N次方程，
a N ( 2 ) N a N 1 ( 2 ) N 1 a1 2 a 0 0
由此可以解得N个正实根（ω12<ω22<ω32…<ωN2）。 ωn(n=1, 2, …, N)即为体系的自振频率。其中量值最小的 频率ω1叫基本频率(相应的周期T1=2π/ω1叫基本周期)。 从以上分析可知，多自由度体系只能按一些特定的频 率即按自振频率做自由振动。按某一自振频率振动时，结 构将保持一固定的形状，称为自振振型，或简称振型。
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将位移向量{u}和加速度向量{ü}代入无阻尼自由振动方程：
u 2 sin( t ) u s in ( t )
M u K u 0
( 2 M K ) sin( t ) 0
因为sin(ωt+θ)为任意的，可以消去，因此，
(K 2 M ) 0
上式是关于{φ}的N阶齐次线性方程组，表征了振型和自振
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设多自由度体系在进行自由振动时也是在作简谐振 动，多自由度体系的振动形式可写为：
u u (t ) s in ( t )
{φ}—表示体系位移形状向量，它仅与坐标位置有关， 不随时间变化，称为振型。
ω —简谐振动的频率， θ —相位角。
上式对时间求两次导数可得：
u u(t ) 2 sin( t )
(K
2
M
)
1200
0
1200
1800 1.5 2
600
0
600
600
2
5 2B
600 2
频率方程：
0
B 2 600
2 3 1.5B
1
0 0
1 0
1 B 0
K 2 M 0
B 3 5.5B 2 7.5B 2 0
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算例10-1 由频率方程
B 3 5.5 B 2 7.5 B 2 0
上述齐次方程组有非零解条件为：系数行列式为零
A [I ] 0
N×N矩阵[A]一般将有N个特征值，对应N个特征向量
5
§10-2 多自由度体系的自由振动
多自由度体系无阻尼自由振动的方程为：
M u K u 0
其中：[M]、[K]为N×N阶的质量和刚度矩阵 {u}和{ü}是N阶位移和加速度向量 {0}是N阶零向量
K k 21
k 22
k
23
1200
1800
600
k 31 k 32 k 33 0
600 600
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算例10-1 运动方程的广义特征值问题：
2.0 0 0
M
0
1.5
0
0 0 1.0
3000 1200 0
K 1200
1800
600
0 600 600
什么是多自由度体系？
工程中所涉及的结构一般都是多自由度的，例如多层建筑结 构、大跨桥梁结构、空间网架结构等等。
为合理反映振动过程中惯性力的影响，需要采用更多的自由 度描述结构体系的质量分布并确定体系的变形。
3
单自由度体系：
惯性力＋阻尼力＋恢复力＝外荷载
m u c u k u p ( t )
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把相应的自振频率ωn代入运动方程的特征方程得到振型
K n 2 M n 0
{φ}n={φ1n, φ2n , …, φNn }T—体系的第n阶振型 。 ➢ 由于特征方程的齐次性(线性方程组是线性相关的)，振型向量 是不定的，只有人为给定向量中的某一值，例如令φ1n=1，才能确 定其余的值。 ➢ 实际求解时就是令振型向量中的某一分量取定值后才能求解。 虽然令不同的分量等于不同的量，得到的振型在量值上会不一样， 但其比例关系是不变的。
结构动力学
第10章 多自由度运动方程
wo
Chapter10 Formulation of the MDOF Equations of Motion
本章提要
➢ §10-1 多自由度体系运动方程 ➢ §10-2 多自由度体系自由振动 ➢ §10-3 多自由度体系动力特性 ➢ §10-4 模态分析注意事项
0
0
N
其中，ωn— 第n阶自振频率，{φ}n—第 n阶振型。
[Φ]和[Ω]也分别称为振型矩阵和谱矩阵。
12
5 DOF with uniform mass and stiffness
5 DOF Base Isolated 13
14
5 DOF with uniform mass and stiffness
频率的关系 ，称为运动方程广义特征值问题。
由广义特征值可解得ω和{φ}。
8
(K 2 M ) 0
方程存在非零解的充分必要条件是系数行列式等
于零 ：
K 2 M 0
是一关于ω的多项式，称为频率方程。
将刚度阵和质量阵代入得频率方程的具体形式：
k11 2m11 k21 2m21
k12 2m12 k1N 2m1N