哈工大研究生课程-高等结构动力学-第五章解析

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哈工大研究生课程-高等结构动力学-第五章

④Vb实现
x a pq

1 y (a pp aqq ) 2 x
x2 y 2
x tan 2 y
2
sin 2
sin

2(1 1 )
2
cos 1 sin
第p列 1 S
设系统作j阶主振动 ,则有： 2 {x} j {A}( j ) sin j t 2 j {x} 代入得特征方程： 1
([ ][ M ]
有
11m11
1

2 j
12 m12 22 m22
1
2 j
[ I ]){x} 0
1n m1n 2 n m2 n
1 1 1 1 1 [ ] [ K ] 1 2 2 k 1 2 3
1 1 1 m [ D ] [ ][ M ] 1 2 2 k 1 2 3
1 1 1 1 1 m 3m A1{}1 [ D]{}0 1 2 2 1 1.66 k k 1 2 3 1 2
响应数值分析：
1.中心差分法
2.Wilson-θ法 3.Newmark法
响应求解方法的选择取决的因素有：载荷、结构、精度要求、非线性影响程度、方法的稳定性等。
对结构过于复杂的情况，宜采用直接积分法，结构较简单的情况可采用模态迭加法。对精度要求较低的初步设计阶段，可采用取少数模态的模态迭加法。对精度要求较高的最后设计阶段，宜采用直接积分法综合各方面的因素，比较、权衡，才能判定所应采取的方法；有时为了互相验证，也可以同时采取两种以上的方法来处理动响应分析

哈尔滨工业大学结构动力学第五次课

m cx kx f ( t ) 当 f ( t ) 是一个简单函数时，有解析解。 x
当 f ( t ) 为非函数表达时，应求助于数值解。
一、力插值法
1、分段常数插值将力作用时间的间隔 T 分成n等分
t t i 1 t i
f i ( f i f i 1 ) 2
上次课程回顾

单位脉冲响应函数
1 ( t ) e n sin ( d ( t )) m d h (t ) 0
t t

单位阶跃响应冲击响应谱
1 x t 1 k
e
nt 2
1
sin d t
i
i 1
m i cx i kx i f i x
m i 1 cx i 1 kx i 1 f i 1 x
将两式相减｝
i i 1 i x x x
x i x i 1 x i
x i x i 1 x i
2
ac 2
1
2

ac ac c a b 2 2
2
—— , 分别称为一阶固有频率和二阶固有频率。将两阶固有频率分别回代特征方程，得
A1
1 1

b a 1
b a 2
2
A2
2

c 1 c
2

1

1
,
A 1 1 1 A1 1 A2
*
k i xi f i
*
2
2c t

4m t
fi fi [

哈工大研究生课程-高等结构动力学-第一章

用偏微分方程得到弦线振动的波动方程，并求出行波解。
四、结构动力学的发展史
◇伯努利（D.Bernoulli)：用无穷多个模态叠加的方法得到了弦线振动的驻波解，1759 年拉格朗日（grange):从驻波解推得行波解 ◇傅里叶（J.B.Fourier): 1811年提出函数的阶数展开理论，完成了严格的数学证明，欧拉和伯努利分别与1744和1751年研究了梁的横向振动
EI
W=1
三. 自由度的确定
8) 平面上的一个刚体 y2
11) W=1 12)

y1
W=3
9)弹性地面上的平面刚体 W=3 10)
m
EI
W=13
自由度为1的体系称作单自由度体系；自由度大于1的体系称作多（有限）自由度体系; 自由度无限多的体系为无限自由度体系。 W=2
§1.3 建立结构运动方程的一般方法
静荷载。静荷只与作用位置有关，而动荷是坐标和时间的函数。
简谐荷载周期非简谐荷载确定冲击荷载非周期阶跃荷载动荷载其他确定规律的动荷载风荷载地震荷载不确定其他无法确定变化规律的荷载
四、结构动力学的发展史
▼公元前6世纪古希腊毕达哥拉斯（Pythagoras):试验测得：弦线振动的性质； ▼我国战国时期《庄子》明确记载了共振现象； ▼伽利略（G.Galileo）:对动力学进行了开创性研究，他发现了单摆的等时性，并利用自由落体公式计算单摆的周期．
§1.4 建立振动微分方程举例
例-1 图示单自由度振动系统设静平衡位置为坐标原点,则在静平衡位置弹簧的伸长量为
st
mg k
f e k ( x st )
f d c x ; f I m x

结构动力学哈工大结构动力学

m ?y?(t)
P(t )
m?y?(t) ? P(t) 运动方程
m P(t) ? m?y?(t)
P(t) ? [ ? m?y?(t)] ? 0
形式上的平衡方程，实质上的运动方程
惯性力
一、柔度法
P(t) m ? m?y?(t) =1 ?11
y(t )
l EI
? [11 P(t) ? m?y?(t)]
结构动力学
哈尔滨工业大学土木工程学院结构力学教研室张金生 2004年7月
结构动力学
目录
第一章绪论第二章单自由度体系的振动分析第三章有限自由度体系的振动分析第四章实用计算方法第五章无限自由度体系的振动分析第六章动力有限元分析第七章分析动力学
主要参考书
《结构动力学》克劳夫王光远等译科学出版社《结构动力学》赵光恒主编水利水电出版社《建筑结构振动计算》郭长城主编建工出版社《建筑结构振动计算续编》郭长城编著建工出版社《结构动力学》邹经湘主编哈工大出版社《应用分析动力学》王光远编著科学出版社《DYNAMICS OF STRUCTURES 》Anil K.Chopra
W
? m?y?(t)
?1
? 11
? st
y(t )
Y (t) ? y(t) ? ? st
加速度为
Y??(t) ? ?y?(t)
y(t) ? ? st ? ?11[P(t) ? W ? m?y?(t)]
? st ? W?11
y(t) ? ?11[P(t) ? m?y?(t)]
? 11
?
l3 48EI
列运动方程时可不考虑重力影响
?
?m1 ?? 0
0 ???y?1? m2?????y?2??

结构动力学-5z

π
T
t
荷载离开后 ( t > t1 ) 令 t = t − t1
ɺ t = 0 时 y 0 = y ( t1 ) = y st (1 − cos ω t1 ) v 0 = y ( t1 ) = y st ω sin ω t1 v0 y ( t ) = y 0 cos ω t + sin ω t = A sin( ω t + ε )
∆τ
t
t
---杜哈美积分 ---杜哈美积分
P(t ) P
τ
∆τ
t
4
t
计阻尼时
P(τ ) −ξω (t −τ ) y(t) = ∫ e sinωD (t −τ )dτ 0m ωD
t
=
∫
t
0
h ( t − τ ) P (τ ) d τ
1 −ξω (t −τ ) h(t −τ ) = e sin ωD (t −τ ) mωD
§3.8 单自由度体系对任意荷载的反应
Fourier变换法一.频域分析方法—Fourier变换法频域分析方法 Fourier
合称傅氏变换对
+∞
P(t )
P(θ ) = ∫ p(t)e−iθ t dt −∞ 1 +∞ p(t) = P(θ )eiθ t dθ 2π ∫−∞
Y (θ ) =
TP / 2
π
T
t1
t1/T
µ
0 0
0.01 0.063
0.02 0.126
0.05
0.10
1/6 1.0
0.2
0.3
0.4
≥ 0 .5
2
0.313 0.618
1.176 1.618 1.902

结构动力学课件PPT

地震作用
200 0 -200
t(sec)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
结构在确定性荷载作用下的响应分析通常称为结构振动分析。结构在随机荷载作用下的响应分析，被称为结构的随机振动分析。本课程主要学习确定性荷载作用下的结构振动分析。
§1-3 动力问题的基本特性
§2-5 广义单自由度体系：刚体集合
刚体的集合（弹性变形局限于局部弹性
元件中）分布弹性（弹性变形在整个结构或某些元件上连续形成）只要可假定只有单一形式的位移，使得结构按照单自由度体系运动，就可以按照单自由度体系进行分析。
E2-1
A
x
x p( x,t ) = p a ( t )
1
令：
5l FE (t ) q(t ) 8

y FE (t )
FE(t) 定义为体系的等效动荷载或等效干扰力。其通用表达式
P FE (t )
含义：等效动荷载直接作用在质量自由度上产生的动位移与
实际动荷载产生的位移相等！
已经知道柔度和刚度k 之间的关系为： k 表达式成为：
简支梁：比较：刚架：基本质量弹簧体系：
大型桥梁结构的有限元模型
§1-5 运动方程的建立
定义
在结构动力分析中，描述体系质量运动规律的数学方程，称为体系的运动微分方程，简称运动方程。运动方程的解揭示了体系在各自由度方向的位移随时间变化的规律。建立运动方程是求解结构振动问题的重要基础。常用方法：直接平衡法、虚功法、变分法。
（2-3）
刚度法: 取每一运动质量为隔离体，通过分析所受的全部外力，建立质量各自由度的瞬时力平衡方程，得到体系的运动方程。

理论力学第五章

∑ Fx = 0 ， F = FsE + FsA ， FsE = f s FNE ， FsA = f s FNA FsE = FsA ， F = 2 FsA 2h ∑ME = 0，F − FsA h − FNA ⋅ bmin = 0 3
综上化得
b 4h − h − min = 0 3 fs
56
理论力学（第七版）课后题答案哈工大.高等教育出版社
2 R = O1O2 = KD = CD = O1 A = KL = O2 L = 0.5 m ， O1 B = 0.75 m ，AC = O1 D = 1 m ， ED = 0.25 m ，求作用于鼓轮上的制动力矩。
′ FEK K FN 2 FO2 x
θ
FEK θ ′ FDx FOy FOx
E FDy
5-5 门高为 h 。若在门上不计自重的拉门与上下滑道之间的静摩擦因数均为 f s ，
2 h处 3
用水平力 F 拉门而不会卡住，求门宽 b 的最小值。问门的自重对不被卡住的门宽最小值是否有影 (b)
E
Fs E FN E
解（1）不计自重时受力如图 5-5b 所示 ∑ Fy = 0 ， FNE = FNA
F 较大时，滑块 B 滑动趋势与图 c 相反，即摩擦力 Fs 与图 c 所示相反，则此时式（1），（4）不变，式（2）变为
' FAB sin θ − F cos β + Fs = 0
式（1），（4）代入上式，得
M M sin θ − F cos β + f s + f s F sin β ) = 0 l cosθ l M (tan θ + f s ) = F (cos β − f s sin β ) l M (tan θ + f s ) F= l (cos β − f s sin β ) 同样令 f s = tan ϕ ，则 M sin(θ + ϕ ) F= l cosθ cos( β + ϕ ) M sin(θ − ϕ ) M sin(θ + ϕ ) ≤F≤ l cos θ cos( β − ϕ ) l cos θ cos( β + ϕ ) 5-7 轧压机由两轮构成，两轮的直径均为 d = 500 mm ，轮间的间隙为 a = 5 mm ，两轮反向转动，如图 5-7a 上箭头所示。已知烧红的铁板与铸铁轮间的摩擦因数 f s = 0.1 ，问

哈工大研究生培养方案

哈工大研究生培养方案一、总体思路土木工程一级学科硕士研究生分学术研究型和应用研究型两类进行分类培养。

学术研究型学生的培养方案适当增加理论性课程比例，基础理论课程学时适度增加，在学位论文阶段应重点培养学生从事本学科基础性科学研究工作的能力。

应用研究型学生的培养方案适当增加应用性课程比例，增加工程实践课程学时，增设实践环节。

在学位论文阶段应重点培养学生的工程实践能力，以及解决实际技术问题的能力。

全日制工程硕士研究生培养方案与应用研究型相同。

二、培养方案、课程体系设置学术研究型：硕士研究生攻读学位期间所修学分总和不少于32学分，其中学位课不少于19学分，选修课不少于7学分，课程学习阶段应完成29学分。

课程体系框架如下：1、学位课（19学分）（1）马克思主义理论课程（3学分）（课程讲授2学分，社会实践1学分）（2）第一外国语（2学分）（3）数学基础课或基础理论课（4学分）（4）学科基础课（不少于6学分）（5）学科专业课（不少于2学分）学科基础课和学科专业课的总学分不少于10学分。

2、选修课（不少于7学分）3、专题课程（2学分）专题课程在研究生学位论文阶段完成，结合学科的前沿和热点研究内容，以若干个教师开设系列专题讲座的方式进行。

4、学术活动（1学分）研究生在攻读学位期间应在土木工程一级学科范围内参加5次以上学术研讨活动，参加学术活动应有书面记录，并交导师签字认可，方得1学分。

应用研究型：硕士研究生攻读学位期间所修学分总和不少于31学分，其中学位课不少于16学分，选修课不少于11学分，课程学习阶段应完成29学分。

课程体系框架如下：1、学位课（16学分）（1）马克思主义理论课程（3学分）（课程讲授2学分，社会实践1学分）（2）第一外国语（2学分）（3）数学基础课或基础理论课（2学分）（4）应用基础课（不少于6学分）（5）应用技术课（不少于2学分）应用基础课和应用技术课的总学分不少于9学分。

2、选修课（不少于11学分）3、实践课程（1学分）实践课程在研究生学位论文阶段完成，结合专业特点，到实习基地学习实践1周。

哈尔滨工业大学结构动力学PPT课件

x0 x0 ， x0 x0 xt c1n cosnt c2n sinnt
c1 x0 n ， c2 x0
第36页/共42页
x
t
x0
n
sin nt
x0
cos nt
令
x0 cos n
， x0 sin
则可化为
其中：
xt sinnt
2
x02
x0
n
tg x0n arctg x0n
T1
1 2
l 0
d
l
2
x2
1 2
(1 3
l)x2
1 m1 23
x2TΒιβλιοθήκη T1Tm1 2
m1 3
m
x2
1 2
meq x2
又因为: 弹簧的势能与弹簧质量无关, 则
V 1 kx2 2
由能量法，可得
meq x kx 0 弹性元件质量不能忽略时，利用等
效质量，将质量折算到质量块上，弹性元件仍看作无质量的。
• 18世纪线性振动理论成熟期。
第11页/共42页
• 19世纪非线性振动理论，各种工程实际结构振动的近似求解方法。
• 20世纪50年代初由于航空航天工程的发展，原本确定性理论无法解释包含随机变化的工程问题，发展了随机振动理论。
• 20世纪后期计算机技术的飞速发展，数值计算方法和理论成为主要研究方法之一。
第7页/共42页
三、结构动力学研究的内容
结构动力学就是研究结构系统在激励力作用下产生的响应规律的科学，研究激励力、结构和响应三者关系的科学。
现代结构动力学主要研究以下三个方面的内容第一类问题：响应分析（结构动力计算）
输入（动力荷载）

高等结构动力学讲义

52
第 4 章结构特征问题求解 4-4 矩阵变换法
53
第 4 章结构特征问题求解 4-5 矢量正迭代法
54
第 4 章结构特征问题求解 4-6 矢量逆迭代法
55
第 4 章结构特征问题求解 4-6 矢量逆迭代法
56
第 4 章结构特征问题求解 4-6 矢量逆迭代法
57
第 4 章结构特征问题求解 4-6 矢量逆迭代法
20
第 2 章离散体动力方程 2-1 动力分析中离散方法
直接法
21
第 2 章离散体动力方程 2-1 动力分析中离散方法
差分法
22
第 2 章离散体动力方程 2-1 动力分析中离散方法
加权残值法
23
第 2 章离散体动力方程 2-1 动力分析中离散方法
24
第 2 章离散体动力方程 2-1 动力分析中离散方法
41
第 3 章有限元法 3-10 平面刚架振动
42
第 3 章有限元法 3-10 平面刚架振动
43
第 3 章有限元法 3-10 船舶板架振动
44
第 3 章有限元法 3-10 船舶板架振动
45
第 3 章有限元法 3-11 船体总振动
船体总振动

一维模型二维模型三维模型
46
34
第 3 章有限元法 3-8 杆纵向振动
35
第 3 章有限元法 3-8 杆纵向振动
36
第 3 章有限元法 3-9 杆横向振动
37
第 3 章有限元法 3-9 杆横向振动
38
第 3 章有限元法 3-9 杆横向振动
39
第 3 章有限元法 3-9 杆横向振动

哈工大结构动力学连续体

纵向刚性位移。纵向刚性位移。
4.2 圆轴扭转假设: ）每一横截面，通过截面形心的轴线转动假设 1）每一横截面，通过截面形心的轴线转动绕一个角度，截面保持平面; ）保持平面截面上每一个点都转一个角度，截面保持平面 2）截面上每一个点都转动相同的角度。表示。动相同的角度。扭转振动位移用 θ 表示。由材料力学可知
4.1 直杆的纵向自由振动 4.1.1 直杆纵向振动微分方程假设：假设： 1））杆的任一横截面在作纵向振动过程中始终保持为平面，横截面上各点，在轴向上以相同的位移运动。平面，横截面上各点，在轴向上以相同的位移运动。 2）纵向运动过程中，）纵向运动过程中，略去杆的纵向伸缩而引起的横向变形。向变形。对任一横截面的纵向位移 u 都可写成关于 x 和 t 的函数 u ( x, t )
= 0, π , 2π , 3π ,... = nπ ( n = 1, 2, 3...)
nπ a x nπ ' U n ( x ) = A sin x = A sin ⋅ = An sin x a l a l
' n ' n
ωn
画出振型图，就是各点的振幅。画出振型图，就是各点的振幅。 1阶
ω1 → U 1 ( x ) = A sin
扭矩为零
（3）弹性支承）
∂ϑ kϑ ( ℓ, t ) = −GJp ( ℓ, t ) ∂X
(4) 右端有一惯性圆盘，则有右端有一惯性圆盘，
∂ϑ ∂ϑ J o 2 ( ℓ, t ) = − Jpd ( ℓ, t ) ∂t ∂x J 圆盘对称轴转动惯量
2
o
4.3 梁的弯曲振动
4.3.1 梁的横向振动微分方程研究对象：匀质细长梁（一般假定长细比>10）研究对象：匀质细长梁（一般假定长细比），有纵向对称平面。振动运动过程中，假设：有纵向对称平面。振动运动过程中，假设： 1）梁的轴向位移可以忽略）梁的轴向位移可以忽略 2）截面绕中性轴（梁几何中心线）转动可忽略中性轴（几何中心线）） 3）变形时满足平面假设，）变形时满足平面假设，并忽略剪力引起的变形

(完整版)哈工大结构力学题库五章.docx

第五章位移法一判断题1.图a为对称结构，用位移法求解时可取半边结构如图 b 所示。

答：（×）题 1 图2.图示结构，用位移法求解，有三个结点角位移和二个结点线位移未知数。

（×）。

题2图题3图3.以下两个单跨梁左端产生 1 所施加的弯矩相同。

（×）4.用位移法计算刚架，常引入轴向刚度条件，即“受弯直杆在变形后两端距离保持不变”。

此结论是由下述假定导出的：（ D）A忽略受弯直杆的轴向变形和剪切变形；B弯曲变形是微小的；C变形后杆件截面仍与变形曲线相垂直；D假定 A 与 B 同时成立。

5.用位移法计算图示结构时，独立的基本未知数数目是 4 。

（×）题 5 图题 6 图6.图示结构用位移法计算时，其基本未知量的数目为 3 个（√）。

7.在位移法典型方程的系数和自由项中，数值范围可为正、负实数的有：（ D）A主系数；B主系数和副系数；C主系数和自由项D负系数和自由项。

8.用位移法计算超静定结构时考虑了到的条件是：（A）A物理条件、几何条件、和平衡条件；B平衡条件C平衡条件与物理条件D平衡条件与几何条件9.规定位移法的杆端弯矩正负时，对杆端而言，以顺时针为正，对结点则以逆时针为正，这一规定也适合于杆端剪力的符号规定。

（×）10.图 a 对称结构可简化为图（ b）来计算。

（×）题10图题11图11.图示结构用位移法求解时，基本未知量个数是相同的（√）12.图示结构用位移法求解时，只有一个未知数（√）题12图题13 图题14图13. 图示结构横梁无弯曲变形，故其上无弯矩。

（×）14.图ａ对称结构可简化为图ｂ来计算，EI 均为常数。

（×）15.图示结构用位移法求解的基本未知量数目最少为3。

（√）题15图题16图16.图示结构EI＝常数，用位移法求解时有一个基本未知量。

（√）。

17.位移法中固端弯矩是当其基本未知量为零时由外界因数所产生的杆端弯矩（√）18.位移法的典型方程与力法的典型方程一样，都是变形协调方程。

结构力学(I)-05 结构静力分析篇5(影响线)

a
ab l
xa xa

b
I.L.MC

9 / 81
哈工大土木工程学院
第五章
FP=1
移动荷载作用下结构计算
MC MC B FBy
A x FAy a
FQC FQC
b
反力影响线是基本的。弯矩、剪力影响线可由反力影响线导出。
FQC FBy FQC影响线 FQC FAy
1
图形相似含义不同简支梁弯矩影响线与弯矩图的区别abilm弯矩图哈工大土木工程学院1481简支梁弯矩图与弯矩影响线的区别固定荷载作用下截面弯矩值截面位置不变弯矩图荷载移到此位置时指定截面的弯矩影响量值荷载位置不变影响线量纲纵座标横座标截面位置荷载位置哈工大土木工程学院15结点传递荷载作用下的主梁影响线结点传递荷载作用下的主梁影响线由桥梁结构的计算简图由桥梁结构的计算简图看出无论荷载作用于看出无论荷载作用于纵梁何处主梁承受的纵梁何处主梁承受的总是经过横梁传递的结总是经过横梁传递的结点力这种荷载传递方点力这种荷载传递方式称结点传荷结点传荷
1
x
哈工大土木工程学院
I.L.FAy

11 / 81
第五章
移动荷载作用下结构计算
( x 在全梁适用)
x FBy影响线 FBy l
x
1
xa xa
I.L.FBy
M C FBy b MC影响线 M C FAy a
x
ab l
I.L.MC
xa xa
FQC FBy FQC影响线 C FAy FQb
l
x

a l
I.L.FQC

哈工大土木工程学院
12 / 81

哈工大理论力学课件第五章.ppt

F1
sin cos
fs cos fs sin
P
sin cos
fs cos fs sin
P
F1
sin cos
fs cos fs sin
P
几个新特点
1 画受力图时，必须考虑摩擦力； 2 除平衡方程外，还需增加补充方程 Fs fs FN
3 因 0 Fs ，F问ma题x 的解存在一个范围．
挺杆不被卡住时 a b
2 fs
用几何法求解
解：
b
(a极限
d 2
)
tan
(a极限
d 2
)
tan
2a极限 tan 2a极限 fs
b a极限 2 fs a b
2 fs
例5-4
已知：物块重 P,鼓轮重心位于 O处1 ，闸杆重量不
计，，fs 各尺寸如图所示. 求：制动鼓轮所需铅直力 F.
解：分别取闸杆与鼓轮设鼓轮被制动处于平衡状态
用几何法求解解: 物块有向上滑动趋势时
F1max P tan( )
物块有向下滑动趋势时
F1min P tan( )
P tan( ) F P tan( )
利用三角公式与 tan fs ,
P sin fs cos cos fs sin
F1
P sin cos
fs cos fs sin
第五章
摩擦
摩擦
滑动摩擦滚动摩擦
静滑动摩擦动滑动摩擦
静滚动摩擦动滚动摩擦
干摩擦
摩擦湿摩擦
§5-1 滑动摩擦
1.摩擦力的变化规律
2. 库仑定律
Fmax fs FN
F f FN
f s 静滑动摩擦系数

高等结构动力学

2、系统特点 ①惯性元件为质点
②弹性元件为无质量弹簧
③不计次要自由度
2.1.2 系统数学模型——二阶常系数线性微分方程
f (t ) kx mx
kx f (t ) mx
k m
f (t )
x
f (t ) k ( x 0 ) mg mx
mg k 0
cos(t ) 0
代入得：
max 0
max 0
1 2 2 2 2 2 2 2 m1l m2 l 0 k1l1 k2 l2 0 3

ke 1 2 me m1l m2l 2 3
k1l12 k2l22
——系统固有频率
x 2x 0
f
2
1 2 f
(Hz)
T
(s)
——系统固有周期
2.1.4 固有频率计算
1、直接法
kx 0 mx

k m
(1)简支梁固有频率计算
k
1
k 48EI l3
m
l
l3 48 EI

48EI ml 3
(2)悬臂梁固有频率计算 ①弯曲变形
x Cet sin(Dt D )
4、振幅C和初相位
x0 C sin D
D
0 C sin D DCcosD x
x x0 2 C x0 0 D
2
——振幅 ——初相位
D arctan
D x0 0 x0 x

ln
1 (4 2 2 ) 2
Ai 2 k k Ai k 1 2

哈工大理论力学课件第五章11

例5-1 已知：P 1500N , f s 0.2 , f d 0.18 , F 400N 。
求：物块是否静止？摩擦力的大小和方向．
解：
x
取物块为研究对象，建立图示坐标系, 画受力图，设物块平衡。
F 0 F 0
y
F cos30 P sin30 Fs 0
物体相对滑动时，接触处仍有阻碍相对滑动的阻力，称为动滑动摩擦力（动摩擦力） Fd
动滑动摩擦力的特点方向：沿接触处的公切线，与相对速度反向；大小：
Fd f d FN
动滑动摩擦系数
无量纲,与材质、粗糙度、湿度、温度等因素有关。此外还与相对滑动速度有关。
fd fs
（对多数材料，通常情况下）
例5-3 凸轮挺杆机构滑道尺寸为d，宽度为b，挺杆与滑道间静滑动摩擦系数为fs，不计凸轮与挺杆处摩擦，不计挺杆质量；
求：挺杆不被卡住之尺寸a值.
取挺杆为研究对象，设挺杆处于刚好卡住位置. 解：画受力图
Fx 0
Fy 0
FNA FNB 0
FA FB F 0
M A 0 d F ( a ) FB d FNB b 0 2
FA fs FNA
FB fs FNB
b a 2 fs
b 挺杆不被卡住时 a 2 f s
例5-4 制动器如图所示，制动块C与鼓轮表面的静滑动摩
擦系数为fs，鼓轮中心位于转轴O1处，物块重为P。
求：制动鼓轮所需铅直力F .
r
解：
分别取闸杆与鼓轮为研究对象
设鼓轮被制动处于平衡状态
对鼓轮，画受力图，列方程 MO1 0 rP RFs 0 对闸杆， M 0 Fa F b F 0 c

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m1 m2 m3
11
9l 3 768EI
22
16l 3 768EI
33
9l 3 768EI
1
2 22
9
1
m 22
2l3m 16l
768EI 16l 3m
3m 34l
2 11
1
m 11
3m1 4.752
2 33
768EI 9l 3m
EI
ml 3 1 4.933
EI 精确解 ml 3
12 768EI 768EI 768EI
设质量矩阵 M ，柔度矩阵为
则有 x M x 0
设系统作j阶主振动,则有：
{x} 2j {A}( j) sinjt 2j {x}
代入得特征方程：
([ ][M
有
11m11
1
2 j
12m12
]
1
2 j
[
I
]){ห้องสมุดไป่ตู้} 0
1n m1n
m 21 21
m 22 22
1
2 j
2 n m2 n
0
m n1 n1
n 2 mn 2
nn mnn
1
2 j
假设质量矩阵为对角阵，展开得：
1
2n j
(11m11
22m22
nn
mnn
)
1
2(n j
1)
0
根据多项式的根与系数之间的关系
1
2 j
的n个根
1
12
，122
1 之和为
n2
1
12
1
22
1
n2
11m11 22m22
nnmnn
由于二阶频率往往比基频高得多
sii 1i p,q
[S ] [S ](1)[S ](2) [S ](n)
用雅可比法求n阶对称矩阵[A]的特征值和特征向量的步骤
①设S In 为单位矩阵
②在A中选取非对角线元素中绝对值最大的元素 apq
③ apq
④Vb实现
x apq
x
1 y 2 (app aqq )
x2 y2
tan 2 x
T 1 {x}T [M ]{x} 2
V 1 {x}T [K ]{x} 2
系统作j阶主振动时 {x}( j) {A}( j) sin(jt )
速度及加速度
{x}(
j)
{A}(
j) j
cos(jt
)
{x}( j)
{A}(
j
)
2 j
sin(jt
)
Tmax
1 2
2 j
{
A}(
j
)T
[
M
]{
A}(
j
得 ([K ] 2[M ]){a} 0
问题又归结为矩阵的本征值问题，但与原系统的本征值比，矩阵的阶数r小于原系统的阶数n.
1
11
忽略 1 22
1得
n2
n2
22 12
1
12
11m11 22m22
n
nnmnn iimii i 1
1
1
n
ii mii
i 1
设
ii
kii mii
1
ii mii
ii表示仅有质量mii单独存在时（原多自由度系统变成单
自由度系统）的固有频率
如例题
1
12
1
2 11
1
2 22
1
2 nn
2.雅可比（Jacobi）法求特征方程设[A]为对称阵， [A]{x} {x}
[S ]T [ A][S ] [D] diag(d1, d2, dn )
即可断定[D]的n个对角元素就是[A]的n个特征值，而[S]
的第i列就是[D]中第i个对角元素所对应的特征向量，
[S]为坐标变换矩阵。在[A]中非对角线元素中选取一个绝对值最大的元素，设
综合各方面的因素，比较、权衡，才能判定所应采取的方法；有时为了互相验证，也可以同时采取两种以上的方法来处理动响应分析
§5.2 求解系统固有频率主振型的近似解法
1.邓克利法：是邓克利首先通过实验方法建立起来的一个计
算公式，后来才得到完整的数学证明。
1894年邓克利：提出一种近似计算多圆盘轴横向振动基频的实用方法（偏小）
y
sin 2
sin
2(1 1 2 )
cos 1sin2
1
S
第p列
1
cos
1
sin
第q列
sin
1
cos
1
第p行
第q行
1
作业：5-1（2）
3.瑞利（Rayleigh）法和里兹法
已知系统的刚度[K]，质量[M]，并设定系统的j阶主振型为
{A( j)}
对于作简谐运动的多自由度系统，其动能T与势能V
响应数值分析：
1.中心差分法 2.Wilson-θ法 3.Newmark法
响应求解方法的选择取决的因素有：载荷、结构、精度要求、非线性影响程度、方法的稳定性等。
对结构过于复杂的情况，宜采用直接积分法，结构较简单的情况可采用模态迭加法。
对精度要求较低的初步设计阶段，可采用取少数模态的模态迭加法。对精度要求较高的最后设计阶段，宜采用直接积分法
为 apq ，利用平面旋转矩阵[S( p, q, )]
对 A进行正交变换：[ A]i1 [S( p, q, )](i)[ A](i)[S( p, q, )](i)
其中 spp cos sqq cos spq sin
sqp sin sij 0
tg2 2apq
app aqq
i, j p, q
第五章结构动力学中常用的数值解法
§5.1概述
数值分析技术为结构的动态分析提供了有力的保障，为工程结构在各种复杂的动力学环境下的模拟和仿真提供了有效工具。
工程结构的动态分析主要包括两个方面：结构的动态特性分析和结构动态响应分析
标准特征值问题
1 雅可比方法（Jacobi）、 2.Rayleigh-Ritz 3.子空间迭代法 4. 行列式搜索法
行列式搜索法是求解大型特征值问题的另一种方法。它的特点是综合运用多项式加速割线迭代，移轴向量逆迭代，Sturm序列的性质以及Gram－Schmidt正交化过程，直接计算所需要的任意特征对，通常是计算最小的部分特征值及相应的特征向量。
因此，它是一种计算部分特征对的特殊求解方法。此方法具有
计算速度快，精度高，灵活等优点。
)
Vmax
1 {A}( j)T [K ]{A}( j) 2
2 j
{A}( j)T [K ]{A}( j) {A}( j)T [M ]{A}( j)
2 j
K j T M j T
j j
里兹法：是瑞利法的改进
将瑞利法使用的单个假设模态改进为若干个独立的假设
模态 ( j) ( j 1, 2 r)的线性组合 r {A} aj ( j) [ ]{a}
{a} {a1 a2
a } j1
T
r
R(
a)
{A}T [K]{A} {A}T [M ]{A}
{a}T [K]{a} {a}T [M ]{a}
[K ] [ ]T [K ][ ]
[M ] [ ]T [M ][ ]
瑞利商在真实模态处取驻值 R 0 ( j 1, 2 r)
a j
（参见刘延柱振动力学 107页和谢官模振动力学244页）

哈工大研究生课程-高等结构动力学-第五章解析

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