1.2 布喇菲格子 原胞和晶胞 1.3 密堆积

a a = ( j k) [k j i ] 2 4 3 a = Ω a1 4
2
1 3 a2 a3 a 4
(c)体心立方(body-centered cubic,简称：bcc)
a a1 i j k 2 a a2 i j k 2 a a3 i j k 2
简单晶格
复式晶格
氯化钠
氯化铯
Cl
Cs
注意：即使是由同一种原子 组成的晶格，它也不一定是 简单晶格。如：金刚石结构 就是复式格子 金刚石
四、 原胞(primitive cell)
1. 定义 原胞是晶体中体积最小的周期性重复单元。整个 晶格可看成是由无限多个原胞无间隙地紧密排列而成。
a2 a1
ak
所以面心立方的致密度为： v 致 密 度: V
4 2 4 π 3 4
3
aj
ai
V a3 4 v N πR 3 3
4 R 2a
2 π 6
体心立方：
3 8
六角密积：
2 π 6
简立方：
π 6
3 金刚石晶体： 16
a4
a3 a6
a8 a5 a7
维格纳--塞茨原胞
对于三维晶格，以一个节点为顶点，以三个不 同方向的周期为边长的平行六面体可以做为晶格的 一个重复单元。体积最小的重复单元就是原胞。 这个平行六面体沿三个不同的方向进行周期性 平移，就可以充满整个晶格，形成晶体。
a3 a 2 a1
a3 a 2 a1
如图:对于三维晶格


原胞的格点一般只出现在平行六面体的顶角上；晶胞不 仅在平行六面体顶角上有格点，面上及内部也可有格点。
5.几种晶格的实例 立方晶系(cubic)
a b b c c a
a b c a
取 i , j , k 为坐标轴的单位矢量, 则有 a ai , b aj , c ak c b 3 晶胞的体积: V a a 对于立方晶系又可以分为以下几种情况(简单、体 心、面心)： (a)简立方(simple cubic,简称SC)
Rn n1a1 n2a2 n3a3
则以 a1 , a2 , a3 为棱的平行六面体是晶格体积的最 小重复单元，即原胞 原胞的体积为 a1 (a2 a3 )
2.说明： 1). 对于同一晶格，原胞的取法不唯一，但无论如 何选取，原胞均有相同的体积，每个原胞平均只包 含一个格点。 2). 格点对应基元，如果基元由n个原子组成，则每 个原胞包含n个原子。 3). 原胞反映了晶格的周期性，如：平移对称性。
(r Rn ) (r )
4). 由于原胞取法的随意性，因而原胞通常只反映晶 格的周期性，而不能反映晶格的对称性。
3.维格纳-塞茨(Wigner-Seitz)原胞 选取：以晶格中某一个格点为中心，作这一格点与所 有近邻格点连线的垂直平分面(或中垂线)，由这些垂 直平分面(或中垂线)所围成的以该格点为中心的最小 体积(或面积)即为WS原胞。 WS原胞的取法与倒格 子空间中构成简约布里 渊区(Brillouin zone)的 方法相同
Cl
Cs
氯化铯
氯化钠
3.致密度：
如果把等体积的硬球放置在晶体结构中原子所在 的位置上，球的体积取得尽可能大，以使最近邻的球 相切，我们把一个晶胞中被硬球占据的体积和晶胞体 积之比称为致密度(堆积比率或最大空间利用率)。
例1：求面心立方的致密度.
设晶格常量为a,原子半径为R,则
4 R 2a
氯化钠结构属面心立方。 氯化钠的原胞选取方法与面心立方简单格子的选 取方法相同。 每个原胞包含1个格点，每个晶胞包含4个格点 基元由一个Cl-和一个Na+组成。 Cl-的坐标为
1 1 1 , , ， 2 2 2
Na+的坐标为
(0,0,0)
(c)氯化铯结构
Cl
Cs
氯化铯结构是由两个简立方子晶格沿体对角线位 移1/2的长度套构而成。 Cl-和Cs+分别组成简立方格 子，其布拉维晶格为简立方，氯化铯结构属简立方。 每个原胞包含1个格点，每个晶胞包含1个格点。 基元由一个Cl-和一个Cs+组成。
金刚石结构属面心立方，每个晶胞包含4个格点。
金刚石结构每个原胞包含1个格 点,基元由两个碳原子组成,位于 1 1 1 （0,0,0）和 , , 处
4 4 4
所以,晶胞包含4个格点,8个原子 (b)氯化钠结构
c
c
氯化钠结构由两个面心立方子晶格沿体对角线位 移1/2的长度套构而成。
Cl-和Na+分别组成面心立方子晶格 其晶胞为面心立方。
Cl-的坐标为
1 1 1 , ,， 2 2 2
Cs+的坐标为
(0,0,0)
第三节 密堆积
密堆积、配位数和致密度
1.密堆积(close-packed) 如果晶体由完全相同的一种粒子组成,而粒子被看作小 球,这些全同的小球最紧密的堆积称为密堆积. 2.配位数(coordination number) 在布拉菲格子中，离某一格点最近的格点,称为该格点 的最近邻(nearest neighbour),格点周围最近邻数称为 该格子的配位数.常用符号 z 表示。 它可以描述晶体中粒子排列的紧密程度，粒子排列 越紧密，配位数越大。
(2)布拉菲空间点阵：晶体的内部结构可以看成是由一 些相同的点子在空间有规则地做周期性无限分布，这 些点子的总体称为布拉菲点阵。 (3)晶格 沿三个方向通过点阵中的结点做平行的直线 族，把节点包括无遗，这个点阵构成一个三维网络， 称为晶格。也称为布喇拉格子。
(4)格点 晶格中的点子称为格点。格点代表着晶体结构 中相同的位置。 一个格点代表一个基元，它可以代表基元重心的 位置，也可以代表基元中任意的点子。
4.晶胞(unit cell) 1).定义：由于原胞选取时，必须满足晶格的最小周期 性单元的要求，所以很多情况下原胞不能反映出晶格的 对称性。因而，在晶体学中，习惯用晶系基矢 a, b , c 构成的平行六面体作为周期性重复排列的最小单元，我 们把这种晶体学中选取的单元称为晶胞，也叫单胞。 2). 晶格常数(lattice constant) 晶胞的边长称为晶格常数。
ai
平均每个晶胞包含4个格点。
原胞的体积
晶胞的体积
1 3 Ω a1 a2 a3 a 4
V 4
计算推导：
Ω a1 a2 a3
a a a ( j k ) [ (i k ) (i j )] 2 2 2 2 a a = ( j k ) [i j k i k j ] 2 4
晶体结构=布拉菲格子+基元
2)简单晶格和复式晶格(complex crystal lattice)
简单晶格：如果晶体由完全相同的一种原子组成， 且每个原子周围的情况完全相同，则这种原子所组成 的网格称为简单晶格。 复式晶格：如果晶体由两种或两种以上原子组成， 且同种原子各构成和格点相同的网格，称为子晶格， 它们相对位移而形成复式晶格。复式晶格可看成是由 若干个相同的简单晶格相对错位套构而成。
ak


a1
a2
aj


ai
a3


平均每个晶胞包含2个格点。 1 3 原胞的体积 Ω a1 a2 a3 a 2 晶胞的体积 V 2
复式格子(complex crystal lattice)
(a)金刚石结构(diamond,简称：DIA)
c
c
金刚石结构是由两个面心立方子晶格沿体对角线位 移1/4的长度套构而成,其晶胞为面心立方。由面心立 方晶胞的中心到顶角引8条连线，在互不相邻的4条连 线的中点各加一个原子就得到了金刚石晶格结构。
a1 ai
晶胞包含1个格点。 原胞的体积与晶胞体积 3 相同 Ωa
c
a2 aj
b
a
a3 ak
(b)面心立方(face-centered cubic,简称fcc )
a a1 j k 2 a a2 i k 2 a a3 i j 2

Leabharlann Baidu

ak
a1

aj
a2 a3
3). 和原胞的比较 原胞只含有一个格点，是体积最小的周期性重复单 元；晶胞可含有一个或多个格点，体积可是原胞的一 倍或数倍。 基矢：原胞的基矢一般用 a1 , a2 , a3 表示。 晶胞的基矢一般用 a , b , c 表示。 体积： 原胞
v a1 a2 a3 Ω
晶胞 v a b c n Ω
第二节、布拉菲格子
原胞和晶胞
1.
晶体结构的周期性
(a)
(b)
(c)
(a)、(b)、(c)为二维晶体结构示意图 三者各自有相同的基本结构单元，且在平面内作周期 性分布
1).基元、布拉菲空间点阵、格点和晶格
( a)
(b)
( c)
(1)基元：晶体的基本结构单元称为基元。 基元是晶体结构中最小的重复单元，基元在空间周期性 重复排列就形成晶体结构。 任何两个基元中相应原子周围的情况是相同的，而每一 个基元中不同原子周围情况则不相同。
ak
V a
3
晶胞体积
aj
ai
4 v N πR 3 3
晶胞中原子所占体积
1 1 1 N ni n f ne nc 2 4 8
内部原子 数 面上原 子数 棱上原 子数
N是晶胞中原子个数 顶角上原子 数
1 1 1 N ni n f ne nc 2 4 8
1 1 N 6 8 4 2 8
第一层：每个球与6个球相切，有6个空隙 第二层：占据1，3，5空位中心。 第三层：占据2,4,6空位中心,按 ABCABCABC· · · · · · 方式排列，形成 面心立方结构,称为立方密积。 立方密积有12个最近邻 配位数为12
AB
(3).配位数的可能值 配位数的可能值为：12(密堆积)，8(氯化铯型结 构)，6(型结构)，4(金刚石型结构)，3(石墨层状结 构)，2(链状结构)。
(1)六角密积(hexagonal close-packed structure, HCP) 第一层：每个球与6个球相切，有6个空隙 第二层：占据互不相邻的三个空位 第三层：在第一层球的正上方形成 ABABAB· · · · · · 排列方式 六角密积每个格子有12个最近邻 配位数 Z=12
AB
(2)立方密堆积