第4章 能带理论

《固体物理学》习题解答黄昆 原着 韩汝琦改编 （陈志远解答，仅供参考）第一章 晶体结构1.1、解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。

因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。

这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。

它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， VcnVx = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1）a=2r ， V=3r 34π，Vc=a 3，n=1∴52.06r 8r34a r 34x 3333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 334a r 4a 3=⇒= n=2, Vc=a 3∴68.083)r 334(r 342a r 342x 3333≈π=π⨯=π⨯= （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=⇒= n=4，Vc=a 3（4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=6260sin a a 6S ABO ⨯⨯=⨯∆=2a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 38a 233C S ==⨯=⨯ n=1232126112+⨯+⨯=6个 （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3r 8a r 24a 3=⇒⨯= n=8, Vc=a 31.2、试证：六方密排堆积结构中633.1)38(a c 2/1≈= 证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A 、B 、O 的中心联线形成一个边长a=2r 的正三角形，第二层硬球N 位于球ABO 所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是： NA=NB=NO=a=2R.即图中NABO 构成一个正四面体。

…1.3、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。

证明：（1）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()2()2()2a a j k a a i k a a i j ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩由倒格子基矢的定义：1232()b a a π=⨯Ω31230,,22(),0,224,,022a aa a a a a a a a Ω=⋅⨯==，223,,,0,()224,,022i j ka a a a a i j k a a ⨯==-++ 同理可得：232()2()b i j k ab i j k aππ=-+=+-即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。

4.5 Muffin-tin 轨道1 势场近似和单个Muffin-tin 分波在KKR 和APW 方法中，矩阵元均与能量有关，从而增加了计算中的难度，对于复杂的晶体，难度更大大增加。

各种线性化的方法，旨在得到与能量无关的矩阵元，成为人们探求的一个方向，希望能找到一组基函数，它既能尽量保留Muffin-tin 球内径向Kohn-Sham 方程解的特性，同时要求在球面上连续、可导，能平缓地过渡到势场变化较平滑的球间区域。

在前一节介绍了LAPW 线性化的方法之后，本节和下一节将介绍另一个十分有效的、既节省计算工作量又可以达到很高精度的线性化方法。

它选取了一套Muffin-tin 轨道，用Reyleigh-Ritz 变分原理推导出一个线性化的能带理论，称为线性化的Muffin-tin 轨道方法，即LMTO 方法。

虽然它是一个近似方法，但实际上它的精确程度可以与KKR 方法和APW 方法等相比拟，而计算时间上与当时这些方法相比，可以快一个数量级。

在推导LMTO 公式的过程中需要用到一定的数学技巧和稍繁的演释。

首先选取一个与能量有关的Muffin-tin 轨道，然后选用一些缀加的球面波，使得这些轨道同时满足与芯态正交，并与能量无关的条件。

与LAPW 方法的式 (4.4.19) 相似之处是，它也是通过φ和d dE φφ⎛⎫≡ ⎪⎝⎭的组合来实现的；在LMTO 方法中展开系数与结构常数有关，含有晶体对称性的信息。

将晶体势()V r 用一个所谓Muffin-tin 势()MT V r 来近似。

取一些半径为MT S 的不相交叠的球，使()MT V r 在球内有球对称性，在球间的区域内为常数MTZ V (Muffin-tin 零点)，如图所示。

图4.5.1 Muffin-tin 近似。

原胞(a )取半径为s 的Muffin-tin 球及半径为E S 的旁切球；径向波函数(b )；晶体势()V r 的Muffin-tin 部分(c )和Muffin-tin 势式(4.5.1) (d ).假定电子在球间自由传递，波数为κ=2πκ大于球间区的“厚度”时，这个假定是合适的。

黄昆版固体物理学课后答案解析答案Prepared on 24 November 2020《固体物理学》习题解答黄昆 原着 韩汝琦改编 （陈志远解答，仅供参考）第一章 晶体结构、解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。

因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。

这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。

它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， VcnV x =（1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1） a=2r ， V=3r 34π，Vc=a 3，n=1∴52.06r8r 34a r 34x 3333=π=π=π=（2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 334a r 4a 3=⇒= n=2, Vc=a 3∴68.083)r 334(r 342a r 342x 3333≈π=π⨯=π⨯=（3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=⇒=n=4，Vc=a 3（4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=6260sin a a 6S ABO ⨯⨯=⨯∆=2a 233晶胞的体积：V=332r 224a 23a 38a 233C S ==⨯=⨯ n=1232126112+⨯+⨯=6个（5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3r 8a r 24a 3=⇒⨯= n=8, Vc=a 3、试证：六方密排堆积结构中633.1)38(ac 2/1≈=证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A 、B 、O 的中心联线形成一个边长a=2r 的正三角形，第二层硬球N 位于球ABO 所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是： NA=NB=NO=a=2R.即图中NABO 构成一个正四面体。

…、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。

第一章1.何为布拉伐格子，简单晶格、复式格子？并举例说明哪种晶体是简单格子，哪种晶体是复式格子？了解常见的几种晶体结构。

布拉伐格子：由332211a l a l a l ++确定的空间格子。

简单晶格：每一个原胞有一个原子。

复式格子：每一个原胞含有两个或更多的原子。

举例：（1）简单晶格：具有体心立方晶格结构的碱金属和具有面心立方晶格结构的Au,Ag,Cu 晶体都是简单晶格。

（2）复式格子：NaCl 晶格，CsCl 晶格，金刚石，ZnS,Si,Ge 等晶体结构：面心立方单胞原子数4，配位数12体心立方单胞原子数2，配位数8CsCl 单胞原子数2，配位数8金刚石单胞原子数8，配位数4NaCl 单胞原子数na4cl4共8个，配位数62简述晶体、非晶体和准晶体的特点。

晶体：原子排列是十分有规律的，主要体现是原子排列具有周期性，或称为是长程有序的。

非晶体：不具有长程有序的特点,短程有序。

准晶体：有长程取向性，而没有长程的平移对称性。

3晶格点阵与实际晶体结构有何区别和联系？晶体点阵是一种数学抽象，其中的格点代表基元中某个原子的位置或基元质心的位置，也可以是基元中任意一个等价的点。

当晶格点阵中的格点被具体的基元代替后才形成实际的晶体结构。

晶格点阵与实际晶体结构的关系可总结为：晶格点阵＋基元＝实际晶体结构4结晶学原胞和固体学原胞有何不同？（何为单胞和原胞？二者有何不同？）结晶学原胞（单胞）：为了同时反映晶格的对称性，常取最小重复单元(原胞)的一倍或几倍作为重复单元。

固体学原胞（原胞）：一个晶格中最小重复单元，反映晶格的周期性。

不同：结晶学原胞除了要考虑晶体结构的周期性外，还要反映晶体的对称性。

它的结点既可以在顶角上也可以在体心或者面心处。

固体物理学原胞只要求反映晶格周期性的特征，结点只在顶点上，内部和面上皆不含其他结点。

而且，固体物理学原胞只含一种原子。

5根据晶体的对称性进行分类，有多少种点群、空间群、布拉伐格子？32种点群，230个空间群，14种布拉伐格子，7大晶系321,,b b b 6倒格子定义，倒格子与正格子的关系有哪些？倒格子定义：以关系：是正格基矢123()a a a Ω=⋅⨯ 7布里渊区的定义及特点，举例说明常见的布拉伐格子的布里渊区形状？定义：在倒易点阵中，以某一格点为坐标原点，做所有倒格矢的垂直平分面，倒易空间被这些平面分成许多包围原点的多面体区域，这些区域称作布里渊区。

4.2 原子轨道线性组合紧束缚方法 (tight-binding ，TB) 第一次由F. Bloch 在1929年提出，其中心思想就是用原子轨道的线性组合 (Linear combination of atomic orbitals, LCAO) 来作为一组基函数，由此而求解固体的薛定谔方程。

这个方法是基于这样的物理图像，即认为固体中的电子态与其组成的自由原子差别不大。

紧束缚方法在绝缘体的能带结构研究中是很成功的。

由于原子轨道处于不同的格点上，由它们组成的基函数一般是非正交的。

因此必然会遇到多中心积分的计算问题，而且本征方程形式也不简便。

1 紧束缚方法考虑固体中单电子的薛定谔方程：()()()()222n n n n H V E m ψψψ⎧⎫=-∇+=⎨⎬⎩⎭k k k k r r r r(4.2.1)式中哈密顿量的第一项是电子的动能，第二项是晶体势场；n E k 是第n 个能带且具有动量k 的能级；n ψk 描述固体中电子的波函数。

晶体势场可以表述为原子势场()atVr 的线性叠加，即()()at l lV V αα=--∑∑r r R t (4.2.2)这里l R 是晶格矢量，αt 是第l 个原胞中第α 个原子的位矢。

TB 方法的中心思想是利用原子轨道的线性组合作为基矢，即波函数n ψk 可用LCAO 的基矢{}j φk 来展开()()n nj j jA ψφ=∑k k r r (4.2.3)这里的布洛赫函数()j φk r 由原子轨道线性组合：()(),i at j j l l eααφφ⋅=--k Rk r r R t (4.2.4)式中()at j l αφ--r R t 第l 个原胞中第α 个原子的第j 个轨道，N 是单位体积的晶格数目。

值得注意的是，在同一格点上的原子轨道是相互正交的，但相邻原子间的轨道函数却一般是非正交的，因此{}j φk 一般是非正交的。

{}nj A 是线性组合参数，由解本征问题而得到。

4.6 LMTO 方法1 单中心展式和结构常数前一节给出了可以作为基函数的一种缀加的Muffin-tin 轨道式 (4.5.46)。

对于三维晶体，用这样一些周期性排列的、互不交叠的势阱()MT v V -r r 来描述其势场，势场中心处于v r ，为原子的位置；势阱埋在一个常数势场之中，如式 (4.5.2) 所示。

相应的晶体波函数可以用这种Muffin-tin 轨道的线性组合来描述，()()(),,,L L E c E ψχκ=∑kLr k r(4.6.1)其中布洛赫和L χk定义为()(),,,,vvi L L v E e E χκχκ⋅=-∑k r kr r r r(4.6.2)上式是一个多中心展式，下面将证明波函数可以按如下形式，即用一个单中心展式来表示：()()()()'',,,,J ,L L L L L L E E B χκχκκκ=+∑kk r r r(4.6.3)上式中引进KKR 结构常数：()()''''''''4n v v i L L LL L L v L B c e r κπκκ⋅*≠=∑∑k r kr(4.6.4)它在Muffin-tin 轨道尾部的单中心展式中起着系数的作用。

这些结构常数与势场无关。

式 (4.6.3) 在原点处的Muffin-tin 球内；以及如图所示，在以原点为中心、穿过最近邻Muffin-tin 球中心的大球内、各个最近邻球外的球间区域内收敛 (图中的小格子区域)。

这时可将式 (4.6.2) 写为()()(),,,,,,vv i L L L v E E e E χκχκχκ⋅≠=+-∑k r kr r r r r(4.6.5)其中后一项实际就是晶体中原点以外所有Muffin-tin 轨道尾部的求和。

这些尾部函数，不管是正常诺依曼函数还是缀加诺依曼函数，都服从前节所述的一个展开定理，因此上式中尾部求和可以写为一个单中心展式，()()()''0'N ,J ,vv i l v L L L L eB κκκκ⋅≠-=∑∑k r kr r r r(4.6.6)这就给出了式 (4.6.3) 所要的形式。

《固体物理学》习题解答黄昆 原着 韩汝琦改编 （陈志远解答，仅供参考）第一章 晶体结构、解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。

因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。

这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。

它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， VcnVx = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1） a=2r ， V=3r 34π，Vc=a 3，n=1∴52.06r8r34a r 34x 3333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 334a r 4a 3=⇒= n=2, Vc=a 3∴68.083)r 334(r 342a r 342x 3333≈π=π⨯=π⨯= （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=⇒= n=4，Vc=a 3（4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=6260sin a a 6S ABO ⨯⨯=⨯∆=2a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 38a 233C S ==⨯=⨯n=1232126112+⨯+⨯=6个（5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3r 8a r 24a 3=⇒⨯= n=8, Vc=a 3、试证：六方密排堆积结构中633.1)38(ac 2/1≈=证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A 、B 、O 的中心联线形成一个边长a=2r 的正三角形，第二层硬球N 位于球ABO 所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是： NA=NB=NO=a=2R.即图中NABO 构成一个正四面体。

…、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。

证明：（1）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()2()2()2a a j k a a i k a a i j ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩由倒格子基矢的定义：1232()b a a π=⨯Ω31230,,22(),0,224,,022a aa a a a a a a a Ω=⋅⨯==，223,,,0,()224,,022i j ka a a a a i j k a a ⨯==-++ 同理可得：232()2()b i j k ab i j k aππ=-+=+-即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。

04_07 能态密度和费密面 1 能态密度函数—— 原子中电子的能量是一系列分立的能级，在固体中电子的能量由一些准连续的能级形成的能带 能量在之间的能态数目~E E E +ΔZ Δ能态密度函数：0()limE ZN E EΔ→Δ=Δ在空间，根据构成的面为等能面，如图XCH004_036所示。

k K ()E k constant =K—— 由围成的体积为E and E E +ΔV Δ—— 空间电子的状态密度：k K 3(2)V π —— 动量标度下的能态密度~E E E +Δ之间的能态数目：3(2)VZ dSdk πΔ=∫ —— dSdk ∫是~E E E +Δ围成的体积 —— 是两个等能面间的垂直距离，有dk k dk E E ∇=Δ将k Edk E Δ=∇代入3(2)V Z dSdk πΔ=∫得到：3(2)k V dS Z E E π⎛⎞Δ=Δ⎜⎟∇⎝⎠∫ —— 能态密度3()(2)k V dSN E Eπ=∇∫—— 考虑到电子的自旋，能态密度：3()4k V dSN E Eπ=∇∫1) 自由电子的能态密度—— 电子的能量：22()2k E k m=K =在空间等能面是半径k K 2mE k ==的球面，如图XCH004_044_01在球面上k dE E dk∇=—— 2k kE m∇==在球面上为一常数 能态密度：3()4k V dSN E Eπ=∇∫ 3()4k VN E dS Eπ=∇∫ —— 232()44V mN E k kππ=⋅= 将2mEk ==代入得到：31222222()()(2)V m N E E π==—— 能量标度下的能态密度 2) 近自由电子的能态密度—— 晶体的周期性势场对能量的影响表现在布里渊区附近 等能面的变化—— 考虑第一布里渊区的等能面的情况对于二维正方格子，波矢在接近布里渊区的A 点时，能量受到周期性的微扰而下降，等能面将向边界凸现。

在A 点到C 点之间，等能面不再是完整的闭合面，而是分割在各个顶点附近的曲面 —— 如图XCH004_038所示z 能态密度的变化随着接近布里渊区，等能面不断向边界凸现，两个等能面之间的体积不断增大，能态密度较自由电子的将显著增大。