多个样本均数比较方差分析

单因素多个均数比较的方差分析（完全随机设计资料的方差分析）方差分析的基本思想是：将全部观察值的总变异按影响实验结果的诸因素分解为若干部分变异，构造出反映各部分变异作用的统计量，之后构造假设检验统计量F,实现对总体均数的判断。

方差分析的应用条件：各样本相互独立，且均来自总体方差具有齐性的正态分布。

完全随机设计是一种将研究对象随机地分配到处理因素各水平组的单因素设计方法。

其研究目的是推断处理因素不同水平下的试验结果的差异有否统计学意义，即该处理因素是否对试验结果有本质影响。

下面以一个实例来说明完全随机设计方差分析的基本思想和假设检验步骤。

例：为研究烫伤后不同时期切痂对肝脏ATP(u/L)含量的影响，将30只大鼠随机分3组，每组10只，分别接受不同的处理，试根据下表资料说明大鼠烫伤后不同时期切痂对其肝脏的ATP(u/L)含量是否有影响？大鼠烫伤后不同时期切痂肝脏ATP含量(u/L)烫伤对照组24h切痂组96h切痂组合计7.76 11.14 10.857.71 11.60 8.588.43 11.42 7.198.47 13.85 9.3610.30 13.53 9.596.67 14.16 8.8111.73 6.94 8.225.78 13.01 9.956.61 14.18 11.266.97 17.728.68合计（∑X）80.43 127.55 92.49 300.47（∑∑X ij）例数（n）10 10 10 30（N）均数（X）8.04 12.76 9.25 10.02平方和（∑X2）676.32 1696.96 868.93 3242.21(∑∑X ij2)1.建立检验假设，确定检验水准：H0：u1=u2=u3,3个总体均数全相等,即3组大鼠肝脏的ATP含量值无差别；H1：u1,u2,u3，3个总体均数不相等.即3组大鼠肝脏的ATP含量值有差别；a=0.052.计算检验统计量并列出方差分析表：①.计算离均数差平方和SS：首先计算每一组的合计、均数、平方和，再计算综合计数（∑X ij2），由表得：∑∑X ij=300.47 ∑X ij2=3242.21 N=30总的离均数差平方和SS总=∑X ij2 － (∑X ij)2n= 3242.21－300.47230=232.8026SS组间=∑ (∑X ij)2n i－(∑X ij)2n=80.43210+127.55210+92.49210－300.47230=119.8314SS组内=SS总－SS组间= 232.8026－119.8314=112.9712 ②.计算均方MS：MS组间= SS组间k-1(k为组数) =119.83143-1= 59.916MS组内= SS组内N-k(N为总例数) =112.971230-3= 4.184③.求F值F = MS组间MS组内=59.9164.184= 14.32将上述计算结果列成方差分析表，如下：变异来源平方和SS 自由度v 均方MS F值总变异232.8026 29组间变异119.8314 2 59.916 14.32 组内变异（误差) 112.9712 27 4.184（注：自由度：v总= N－1 = 30－1= 29；v组间= k－1 = 3－1 = 2; v组内=N －k = 30－3= 27）利用SPSS作方差分析时，会得到类似于以下的方差分析表：DescriptivesTest of Homogeneity of VariancesANOVA3.查表确定P值，并作出统计推断：V组间= 2，v组内=27, 得界限值Fα（2,27）为F0.05（2,27）= 3.35, 则F= 14.32> F0.05（2,27），则P<0.05，按0.05水准，拒绝H0，可以认为3个总体均数不全相同，即3组大鼠肝脏的ATP含量值有差别。

医用统计学-多个样本均数比较的方差分析练习题一、是非题1．方差分析是研究两个或多个总体均数的差别有无统计意义的统计方法。

（）2．样本均数的差别做统计检验，若可做方差分析，则也可以做t检验。

（）3．4个均数做差别的假设检验，可以分别做两两比较的6次t检验以进一步详细分析。

（）4、完全随机设计方差分析中的组内均方就是误差均方。

（）5、方差分析中的误差均方的总体平均数理论上不会大于处理组间均方。

（）二、最佳选择题1、完全随机设计资料的方差分析中，必然有（）。

A、SS组间> SS组内B、MS组间> MS组内C、MS总= MS组间+ MS组内D、SS总=SS组间+ SS组内E、ν组间> ν组内2、在完全随机设计资料的方差分析中，有（）。

A、MS组内> MS误差B、MS组内< MS误差C、MS组内= MS误差D、MS组间= MS误差E、MS组内< MS组间3、当组数等于2时，对于同一资料，方差分析结果与t检验结果（）。

A、完全等价且F= t开根号B、方差分析结果更准确C、t 检验结果更准确D、完全等价且t= F开根号E、理论上不一致4、方差分析结果，F处理>F0.05(ν1. ν2)，则统计推论是（）。

A、各总体均数不全相等B、各总体均数都不相等C、各样本均数都不相等D、各样本均数间差别都有显著性E、各总体方差不全相等5、完全随机设计方差分析的实例中有（）。

A、组间SS不会小于组内SSB、组间MS不会小于组内MSC、F值不会小于1D、F值不会是负数E、F值不会是正数6、完全随机设计方差分析中的组间均方是（）的统计量。

A、表示抽样误差大小B、表示某处理因素的效应作用大小C、表示某处理因素的效应和随机误差两者综合的结果D、表示N个数据的离散程度E、表示随机因素的效应大小7、配对设计资料，若满足正态性和方差齐性。

要对两样本均数的差别作比较，可选择（）。

A、随机区组设计的方差分析B、u检验C、成组t检验D、χ2检验E、秩和检验8、方差分析可用于_______关系的分析。

多个样本均数比较的方差分析练习题一、最佳选择题1. 完全随机设计资料的方差分析中，必然有( )A.SSm 间>SSm内B.MS 组间<MS组内C.MS=MS 组间+MS组内D.SS=SSm 间+SS 内E.V 组间>V组内2. 随机区组设计资料的方差分析中，对其各变异关系表达正确的是( )A.SSg =SS组间+SS组内B.MSg=MS 组间+MS组内C.SSg=SS 处理+SS区组+SS识差D.MS=MS 灶理+MSK组+MS退差E.SS=SS 处理+SS区组+MS误差3. 当组数等于2时，对于同一资料，方差分析结果与t 检验结果 ( )A. 完全等价且F=√iB. 方差分析结果更准确C.t 检验结果更准确D. 完全等价且t=√FE. 理论上不一致4.方差分析结果，F处理>Foos,(cy2》,则统计推论是( )A. 各总体均数不全相等B. 各总体均数都不相等C. 各样本均数都不相等D. 各样本均数间差别都有统计学意义E. 各总体方差不全相等5. 完全随机设计方差分析中的组间均方是( )的统计量A. 表示抽样误差大小B. 表示某处理因素的效应作用大小C. 表示某处理因素的效应和随机误差两者综合影响的结果D. 表示N 个数据的离散程度E. 表示随机因素的效应大小6. 配对设计资料，若满足正态性和方差齐性。

要对两样本均数的差别作比较，可选择( )A. 随机区组设计的方差分析B.u 检验C. 成组t 检验D.x²检验E. 秩和检验第四章多个样本均数比较的方差分析7.k 个组方差齐性检验有统计学意义，可认为()A.o}、σ2、…o²不全相等B.μ₁、μ₂、…μ₄不全相等C.S₁、S₂、…S₄不全相等D.X, 、X₂、…x 不全相等E.o} 、o2 、…σ²全不相等二、简答题1. 方差分析的基本思想和应用条件是什么?2. 完全随机设计方差分析变异分解中“MS=MS 画+MSm内”成立吗?为什么?3. 随机区组设计的方差分析与完全随机设计方差分析在设计和变异分解上有什么不同?4. 如何确定应用于实验的拉丁方?5. 为什么在方差分析的结果为拒绝H₀、接受H, 之后，对多个样本均数的两两比较要用多重比较的方法?三、计算分析题1. 研究动物被随机分成3个组来比较对3种不同刺激的反应时间(秒),问动物在3种不同刺激下的反应时间是否有差别?刺激I 16 14 14 13 13 12 12 17 17 17 19 14 15 20刺激Ⅱ 6 7 7 8 4 8 9 6 8 6 4 9 55刺激Ⅲ8 10 9 10 6 7 10 9 11 11 9 10 9 52. 为研究某药物的抑癌作用，使一批小白鼠致癌后，按完全随机设计的方法随机分为4 组，A、B、C 三个实验组和一个对照组，分别接受不同的处理，A、B、C3 个实验组，分别注射0.5ml、1.0ml和1.5ml30% 的注射液，对照组不用药。

第四章多个样本均数比较的方差分析方差分析的基本思想是通过比较各组或处理的均值差异与各组内的个体间差异来判断是否存在显著差异。

在进行方差分析之前，需要满足一些前提条件，如对总体的抽样是简单随机抽样、各样本之间是独立的等。

这些前提条件的满足保证了方差分析的可靠性。

多个样本的方差分析是通过计算组间离差平方和（SSTr）、组内离差平方和（SSE）和总离差平方和（SST）来比较各组或处理之间的差异。

计算公式为：SSTr = Σni(x̄i - x̄)²SSE = ΣΣ(xij - x̄i)²SST=SSTr+SSE其中，n是每组或处理的样本个数，ni是第i组或处理的样本个数，x̄i是第i组或处理的样本均值，x̄是全部样本的均值，xij是第i组或处理的第j个样本值。

通过计算SSTr和SSE，可以得到均方值（MS）：MStr = SSTr / (r - 1)MSE=SSE/(N-r)其中，r是组或处理的个数，N是总样本个数。

接下来，需要计算F值，用于判断各组或处理均值是否有显著差异：F = MStr / MSE根据F值和自由度，可以查找F表来确定是否存在显著差异。

如果F 计算值大于F临界值，则拒绝原假设，表示均值之间存在显著差异。

方差分析还可以进行多重比较，用于确定具体哪些组或处理之间存在显著差异。

常用的多重比较方法有Tukey的HSD（最大均值差异）和Bonferroni方法。

方差分析的优点是可以同时比较多个样本的均值差异，具有较好的统计效应。

然而，方差分析也存在一些限制，如对正态性和方差齐性的要求较高。

总之，多个样本均数比较的方差分析是一种常用的统计方法，在科学研究和实验设计中得到广泛应用。

它可以帮助研究人员确定不同处理或组之间的差异，为决策提供支持。

多个样本均数比较的方差分析方差分析的基本思想：目的：推断多个总体均数是否有差别，也可用于两个。

方法：方差分析，即多个样本均数比较的F 检验。

基本思想：根据资料设计的类型及研究目的，可将总变异分解为两个或多个部分，每个部分的变异可由某因素的作用来解释。

通过比较可能由某因素所致的变异与随机误差，即可了解该因素对测定结果有无影响。

应用条件：总体——正态且方差相等，样本——独立、随机完全随机设计资料的方差分析表变异来源 自由度 SS MS F 总变异 N －1 211i n g ij i j X C ==-∑∑组 间 g －1 211()i n ij g j i i X C n ==-∑∑ SS ν组间组间 MS MS 组间组内 组 内 N －g SS SS -总组间 SS ν组内组内Xij ：第i 个处理组第j 个观察结果SS 总，总变异：离均差平方和(sum of squares of deviations from mean ，SS )表示，即各测量值Xij 与总均数差值的平方和。

SS 组间，组间变异：各组均数与总均数的离均差平方和。

SS 组内,组内变异：组内各测量值Xij 与其所在组的均数的差值的平方和表示，表示随机误差的影响。

MS 均方差，均方(mean square ，MS )检验统计量F如果各样本μ全相等，F 值应接近于1；如果不全相等，F 值将明显大于1；用F 界值（单侧界值）确定P 值。

一、完全随机设计统计分析方法选择1. 对于正态分布且方差齐同的资料，常采用完全随机设计的单因素方差分析(one-way ANOV A)或成组资料的 t 检验（g =2）；2. 对于非正态分布或方差不齐的资料，可进行数据变换或采用Wilcoxon 秩和检验。

H 0： H 1：4个试验组总体均数不全相等方差分析的结果：拒绝H 0，接受H 1，不能说明各组总体均数间两两都有差别。

如果要分析哪些两组间有差别，可进行多个均数间的多重比较。

方差分析(ANOVA)多个均数比较不能用t 检验!!!若用t 检验进行多个均数的比较，将会加大犯Ⅰ类错误（把本无差别的两个总体均数判为有差别）的概率。

例如，有4个样本均数，两两组合数为 ，若用t 检验做6次比较，且每次比较的检验水准选为，则每次比较不犯Ⅰ类错误的概率为（1－0.05），6次均不犯Ⅰ类错误的概率为: 此时，总的检验水准变为 26.0)05.01(16=--246C =0.05α=6)05.01(-第一节方差分析的基本思想将所研究的对象分为多个处理组,施加不同的干预，施加的干预称为处理因素（factor），处理因素至少有两个水平(level)。

用这类资料的样本信息来推断各处理组间多个总体均数是否存在差别，常采用方差分析(analysis of variance, ANOVA)。

该方法由RA. Fisher首先提出，并由GW. Snedecor完善，为纪念Fisher，检验统计量以F命名，故方差分析又称F 检验（F test）。

)实例说明(P73例4-2 某医生为研究一种降血脂新药的临床疗效，按统一纳入标准选择了120名高血脂患者，采用完全随机设计方法将患者分为4组，进行双盲试验。

6周后测得低密度脂蛋白（见表4－3）。

问4个处理组患者的低密度脂蛋白含量总体均数有无差别？i=1,2…gj=1,2…n iin (1)i =()2i =()3i =()4i =ij X i j 表示第组第个观察值试验数据有三种不同的变异•总变异（Total variation ）全部测量值X ij 与总均数 间的差别；•组间变异（ variation among groups ） 各组的均数 与总均数 间的差异； •组内变异（ variation within groups )每组的30个观察值与该组均数 的差异。

(一）变异的分割i X X X iX 下面用离均差平方和(sum of squares ，SS )表示变异的大小1. 总变异(total variation) ()()2g g g 221111112222();1i i i n n n ij ij ij i j i j i j SS X X X X n X X n X CC X n ν======⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭=-=-=-∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑总总其中 ＝n 反映了所有测量值之间总的变异程度. SS 总=各测量值X ij 与总均数 差值的平方和XSS 组间反映了各组均数 间的变异程度.组间变异是由于①随机误差+②处理因素效应? 产生。

多个样本均数比较的方差分析多个样本均数比较的方差分析指的是一种统计方法，用于对多个样本的均数进行比较。

它可以帮助我们确定是否有显著的差异存在于不同样本的均数之间。

在进行方差分析时，我们通常将样本分为不同的组，然后通过比较组均数的差异来确定它们之间是否存在显著差异。

方差分析是基于方差的假设检验方法。

通过方差分析，我们可以计算组内和组间的方差，然后通过比较这些方差之间的差异来判断它们之间是否有显著差异。

如果方差之间的差异足够大，则可以得出结论：不同样本的均数之间存在显著差异。

在进行方差分析时，需要满足以下假设：1.观察数据是独立且来自正态分布的。

2.不同样本的方差相等。

方差分析可以通过计算F统计量来进行。

F统计量是组间均方与组内均方的比值。

组间均方是由组间方差得出的，而组内均方是由组内方差得出的。

F统计量越大，表示组间差异越大，也就意味着不同样本的均数之间存在显著差异的可能性越大。

进行方差分析之前，我们首先需要进行方差齐性检验。

这可以通过Levene检验或Bartlett检验来完成。

方差齐性检验的目的是验证不同样本的方差是否相等。

如果方差齐性假设未被满足，则意味着方差之间的差异不可忽略，我们需要使用更为复杂的方法来处理比较。

一旦我们确认了方差齐性假设，我们就可以进行方差分析了。

在方差分析中，可以使用ANOVA（Analysis of Variance）表，它可以帮助我们计算组间平方和、组内平方和、总平方和和相应的均方值。

随后，我们可以使用F分布表或统计软件来确定F统计量所对应的显著性水平。

如果F统计量非常小，那么我们可以得出结论：不同样本的均数之间不存在显著差异。

而如果F统计量超过了给定的临界值，那么我们可以得出结论：不同样本的均数之间存在显著差异。

需要注意的是，方差分析只能告诉我们是否存在显著差异，却不能告诉我们哪些均数之间具体存在差异。

如果方差分析的结果是显著的，我们需要进一步使用事后多重比较方法（如Tukey's HSD test）来确定具体存在差异的样本均数对。

第十一章多个样本均数比较的方差分析练习题一、最佳选择题1. 各组数据的（）时，不可直接作方差分析。

A．均数相差较大B．中位数相差较大C．n相差较大D．变异系数相差较大E．方差相差较大2. 完全随机设计方差分析中的组间均方是表示（）。

A．抽样误差大小B．某因素的效应大小C．某因素效应与抽样误差综合结果D．全部数据的离散程度E．不可预见的误差3. 完全随机设计与随机区组设计相比较（）。

A. 随机区组设计的变异来源比完全随机设计分得更细B. 随机区组设计的误差一定小于完全随机设计C．完全随机设计的效率高于随机区组设计D．两组设计试验效率一样E．以上说法都不对4. 四个样本均数经方差分析后，p<0.05，为进一步弄清四个均数彼此之间有无差别，须进行（）。

A. 2检验Ｂ. q检验Ｃ.u检验Ｄ. t检验E．Dunnett-检验5．两样本均数的比较，可用（）A．方差分析B．t检验C．q检验D．方差分析与t检验均可E．u检验二、问答题1. 简述均数比较方差分析的基本思想？2. 均数比较方差分析与实验设计有何联系？3．方差分析对数据有什么要求？4．为什么不能用t 检验进行多个均数的两两比较？5．单样本重复测量数据的方差分析与随机区别设计方差分析有何不同？在什么情况下，单样本重复测量数据可用随机区组设计方差分析进行假设检验？ 6．简述均数比较方差分析随机效应模型与固定效应模型的区别。

7．简述随机效应方差分析的应用。

三、计算题1．欲研究感染脊髓灰质炎病毒的大鼠接种伤寒或百日咳后的生存情况，将感染脊髓灰质炎病毒的大鼠随机分3组，两组分别接种伤寒菌、百日咳菌，另一个组作为对照，试验结果见下表。

问两个接种组与对照组生存日数是否相同？各组大鼠的生存日数伤寒 百日咳 对照 ij X5 6 8 7 6 9 8 7 10 98 10 9 8 10 10 9 11 10 9 12 11 10 12 11 10 14 1211 16 ∑ijX92 84 112 288 i n10 10 10 30 i X9.2 8.4 11.2 9.6 ∑2ijX886 732 1306 2924 2i S4.42.935.73－2．将18名原发性血小板减少症患者按年龄相近的原则配为6个区组，每个区组的3名患者随机分配到A 、B 、C 、三个治疗组中，治疗后的血小板升高情况见下表，问三种治疗方法的疗效有无差别？A、B、C、三组血小板升高值年龄组 A B C1 3.8 6.3 8.02 4.6 6.3 11.93 7.6 10.2 14.14 8.6 9.2 14.75 6.4 8.1 13.06 6.2 6.9 13.43．下表是某实验室7个技术员对同一血样血清钾的重复测定结果，评价估计技术员之间、每个技术员重复性测量结果之间的误差。