多样本均数比较方差分析
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研-统计7完全随机设计资料多个样本均数比较及多重比较
例：某研究者欲研究甲状腺功能低下婴儿血清中甲 状腺含量（nmol/L),按病情严重程度分为三个水平： 轻度组、中度组、重度组，各组中随机选取10名婴 儿，请分析不同严重程度的婴儿血清甲状腺素水平 是否不同？实验前研究者关心重度组与中度组婴儿 血清甲状腺水平是否有不同？ （ANOVA 1)
不同严重程度的婴儿血清甲状腺素水平（nmol/L) (n=10)
1、变量设置 （1）数据格式 1个分类变量，标记为1，2，3，……Group=组别 1=轻度，2=中度，3=中度 2、前提条件的假设检验 1个因变量（反应变量） X=甲状腺素含量 AnalyzeDescriptive Statistics Explore Dependent List：X Factor List： Group Plots: Boxplots(箱式图） Normality plots with tests（正态性检验） Spread vs. Level with Levene Test：none
Post Hoc 多重比较 Post Hoc Tests for:group SNK Options Display Means for :group Descriptive statistics
当实验的处理是由两个或两个以上的因素，每个因 素至少有两个水平的全面组合时，称之为析因实验。
轻度 34.0 45.0 49.0 55.0 58.0 59.0 60.0 72.0 80.0 86.0 中度 8.0 25.0 35.0 36.0 40.0 42.0 53.0 65.0 55.0 74.0 重度 5.0 8.0 18.0 32.0 45.0 47.0 65.0 20.0 31.0 40.0
2.4577 4.7390
统计-完全随机设计资料的方差分析(多个样本均数间的两两比较)
单因素多个均数比较的方差分析（完全随机设计资料的方差分析）方差分析的基本思想是：将全部观察值的总变异按影响实验结果的诸因素分解为若干部分变异，构造出反映各部分变异作用的统计量，之后构造假设检验统计量F,实现对总体均数的判断。
方差分析的应用条件：各样本相互独立，且均来自总体方差具有齐性的正态分布。
完全随机设计是一种将研究对象随机地分配到处理因素各水平组的单因素设计方法。
其研究目的是推断处理因素不同水平下的试验结果的差异有否统计学意义，即该处理因素是否对试验结果有本质影响。
下面以一个实例来说明完全随机设计方差分析的基本思想和假设检验步骤。
例：为研究烫伤后不同时期切痂对肝脏ATP(u/L)含量的影响，将30只大鼠随机分3组，每组10只，分别接受不同的处理，试根据下表资料说明大鼠烫伤后不同时期切痂对其肝脏的ATP(u/L)含量是否有影响？大鼠烫伤后不同时期切痂肝脏ATP含量(u/L)烫伤对照组24h切痂组96h切痂组合计7.76 11.14 10.857.71 11.60 8.588.43 11.42 7.198.47 13.85 9.3610.30 13.53 9.596.67 14.16 8.8111.73 6.94 8.225.78 13.01 9.956.61 14.18 11.266.97 17.728.68合计（∑X）80.43 127.55 92.49 300.47（∑∑X ij）例数（n）10 10 10 30（N）均数（X）8.04 12.76 9.25 10.02平方和（∑X2）676.32 1696.96 868.93 3242.21(∑∑X ij2)1.建立检验假设，确定检验水准：H0：u1=u2=u3,3个总体均数全相等,即3组大鼠肝脏的ATP含量值无差别；H1：u1,u2,u3，3个总体均数不相等.即3组大鼠肝脏的ATP含量值有差别；a=0.052.计算检验统计量并列出方差分析表：①.计算离均数差平方和SS：首先计算每一组的合计、均数、平方和，再计算综合计数（∑X ij2），由表得：∑∑X ij=300.47 ∑X ij2=3242.21 N=30总的离均数差平方和SS总=∑X ij2 － (∑X ij)2n= 3242.21－300.47230=232.8026SS组间=∑ (∑X ij)2n i－(∑X ij)2n=80.43210+127.55210+92.49210－300.47230=119.8314SS组内=SS总－SS组间= 232.8026－119.8314=112.9712 ②.计算均方MS：MS组间= SS组间k-1(k为组数) =119.83143-1= 59.916MS组内= SS组内N-k(N为总例数) =112.971230-3= 4.184③.求F值F = MS组间MS组内=59.9164.184= 14.32将上述计算结果列成方差分析表，如下：变异来源平方和SS 自由度v 均方MS F值总变异232.8026 29组间变异119.8314 2 59.916 14.32 组内变异（误差) 112.9712 27 4.184（注：自由度：v总= N－1 = 30－1= 29；v组间= k－1 = 3－1 = 2; v组内=N －k = 30－3= 27）利用SPSS作方差分析时，会得到类似于以下的方差分析表：DescriptivesTest of Homogeneity of VariancesANOVA3.查表确定P值，并作出统计推断：V组间= 2，v组内=27, 得界限值Fα（2,27）为F0.05（2,27）= 3.35, 则F= 14.32> F0.05（2,27），则P<0.05，按0.05水准，拒绝H0，可以认为3个总体均数不全相同，即3组大鼠肝脏的ATP含量值有差别。
医用统计学-多个样本均数比较的方差分析练习题
医用统计学-多个样本均数比较的方差分析练习题一、是非题1．方差分析是研究两个或多个总体均数的差别有无统计意义的统计方法。
（）2．样本均数的差别做统计检验，若可做方差分析，则也可以做t检验。
（）3．4个均数做差别的假设检验，可以分别做两两比较的6次t检验以进一步详细分析。
（）4、完全随机设计方差分析中的组内均方就是误差均方。
（）5、方差分析中的误差均方的总体平均数理论上不会大于处理组间均方。
（）二、最佳选择题1、完全随机设计资料的方差分析中，必然有（）。
A、SS组间> SS组内B、MS组间> MS组内C、MS总= MS组间+ MS组内D、SS总=SS组间+ SS组内E、ν组间> ν组内2、在完全随机设计资料的方差分析中，有（）。
A、MS组内> MS误差B、MS组内< MS误差C、MS组内= MS误差D、MS组间= MS误差E、MS组内< MS组间3、当组数等于2时，对于同一资料，方差分析结果与t检验结果（）。
A、完全等价且F= t开根号B、方差分析结果更准确C、t 检验结果更准确D、完全等价且t= F开根号E、理论上不一致4、方差分析结果，F处理>F0.05(ν1. ν2)，则统计推论是（）。
A、各总体均数不全相等B、各总体均数都不相等C、各样本均数都不相等D、各样本均数间差别都有显著性E、各总体方差不全相等5、完全随机设计方差分析的实例中有（）。
A、组间SS不会小于组内SSB、组间MS不会小于组内MSC、F值不会小于1D、F值不会是负数E、F值不会是正数6、完全随机设计方差分析中的组间均方是（）的统计量。
A、表示抽样误差大小B、表示某处理因素的效应作用大小C、表示某处理因素的效应和随机误差两者综合的结果D、表示N个数据的离散程度E、表示随机因素的效应大小7、配对设计资料，若满足正态性和方差齐性。
要对两样本均数的差别作比较，可选择（）。
A、随机区组设计的方差分析B、u检验C、成组t检验D、χ2检验E、秩和检验8、方差分析可用于_______关系的分析。
方差分析
当g=2时，方差分析结果与两样本t检验结果完全 等价，且t2=F。
第三节 随机区组设计资料的方差分析
一、随机区组设计
1。随机区组设计
随机区组设计又称配伍组设计，是配对设计的扩展。 首先从总体中随机抽样，然后将样本中的所有受试对 象，按条件相同或相近配成若干组（随机区组或配伍 组），再将每组中的几个受试对象随机分配到不同的 处理组中去，这种设计的方法称随机区组设计。
变异程度。计算公式如下：
SS总
2
Xij X
X
2 ij
C
其中：
C X 2 N
用离均差平方和表示总变异大小受样本容量
的影响，样本容量越大，SS越大，所以必须扣 除n的影响，严格的讲是扣除ν的影响。
总变异的自由度：ν 总=N-1
SS总总 称为总变异的均方，用MS总表示。
2。完全随机设计资料的分析方法
完全随机设计资料在进行统计分析时，需根 据数据的分布特征选择方法，对于正态分布且方 差齐的资料，常采用完全随机设计的单因素方差
分析（one-way ANOVA）或两样本t检验（g=2）；
对于非正态或方差不齐的资料，可进行数据变换 或采用秩和检验。
二、完全随机设计方差分析
SS区组 区组
MS区组 MS误差
误差 SS总 SS处理 SS区组 (g 1)(n 1) SS误差 误差
其中：C ( X )2 N
例4-4 某研究者采用随机区组设计进行实验，比较三 种抗癌药物对小白鼠肉瘤抑瘤效果，先将15只染有肉瘤 小白鼠按体重大小配成5个区组，每个区组内3只小白鼠 随机接受三种抗癌药物（具体分配结果见例4-3），以 肉瘤的重量为指标，试验结果见表4-9。问三种不同的 药物的抑瘤效果有无差别？
第三节 随机区组设计资料的方差分析
一、随机区组设计
1。随机区组设计
随机区组设计又称配伍组设计，是配对设计的扩展。 首先从总体中随机抽样，然后将样本中的所有受试对 象，按条件相同或相近配成若干组（随机区组或配伍 组），再将每组中的几个受试对象随机分配到不同的 处理组中去，这种设计的方法称随机区组设计。
变异程度。计算公式如下：
SS总
2
Xij X
X
2 ij
C
其中：
C X 2 N
用离均差平方和表示总变异大小受样本容量
的影响，样本容量越大，SS越大，所以必须扣 除n的影响，严格的讲是扣除ν的影响。
总变异的自由度：ν 总=N-1
SS总总 称为总变异的均方，用MS总表示。
2。完全随机设计资料的分析方法
完全随机设计资料在进行统计分析时，需根 据数据的分布特征选择方法，对于正态分布且方 差齐的资料，常采用完全随机设计的单因素方差
分析（one-way ANOVA）或两样本t检验（g=2）；
对于非正态或方差不齐的资料，可进行数据变换 或采用秩和检验。
二、完全随机设计方差分析
SS区组 区组
MS区组 MS误差
误差 SS总 SS处理 SS区组 (g 1)(n 1) SS误差 误差
其中：C ( X )2 N
例4-4 某研究者采用随机区组设计进行实验，比较三 种抗癌药物对小白鼠肉瘤抑瘤效果，先将15只染有肉瘤 小白鼠按体重大小配成5个区组，每个区组内3只小白鼠 随机接受三种抗癌药物（具体分配结果见例4-3），以 肉瘤的重量为指标，试验结果见表4-9。问三种不同的 药物的抑瘤效果有无差别？
统计学系列讲座第5讲多组样本均数比较的方差分析
３
随机单位组设计资料的方差分析（ｒａｎｄｏｍｉｚｅｄ ｂｌｏｃｋ ｄｅｓ ｉｇｎ）
第６期
安胜利 ． 统计学系列讲座
第５讲
多组样本均数比较的方差分析
９５
又称随机区组设计、 配伍组设计 。 这 种 设 计 相 当 于 配 对 设计的扩大。具体做法是将受试对象按性质（ 如性别、 体质 量、 年龄及病情等对试验结果有影响的非实验因素） 相同或 相 近者组成 ｂ 个单位组 ， 每个单位组中有 ｋ 个 受 试 对 象 ， 分 别随机地分配到 ｋ 个处理组。这种设计使得各处理组内受试 对象数量相同 ， 生物学特点也较为均衡。由于减少了误差 ， 试 验效率提高了。 例 ２ 为研究注射不同剂量雌激素对大白鼠子宫质量的 影响 ， 取 ４ 窝不同种系的大白鼠 （ ｂ＝４ ） ， 每窝 ３ 只 ， 随机地分配 到 ３ 个 组 内 （ ｋ＝３ ） 接 受 不 同 剂 量 的 雌 激 素 的 注 射 ， 然 后 测 定 其子宫质量 ， 见表 ５ ， 问注射不同剂量的雌激素对大白鼠子宫 质量是否不同 ？ 表５
分析： 本例多处数据标准差是均数的 ２ 倍以上， 基本上 可以认为此资料不服从正态分布 ， 而且 各 指 标 内 不 同 组 间 标 准差相差悬殊 ， 也不满足方差齐性条件 ， 所以不宜用 ｔ 检验和 方差分析。这两个条件具体可通过正态性检验和方差齐性检 验证实 （ 此略 ） 。另外 ， 本资料分为 ３ 组 ， 而原作者反复用 ｔ 检 验进行各两组间的比较也是错误的， ｔ 检验不能用于分析多 组资料间的两两比较。此例可考虑用无前提条件要求的非参 数检验（ 将在以后的讲座中介绍） ， 如果有统计学意义， 接着 用非参数检验中相应的两两比较方法。
ＳＳ ＳＳ 处 理 ＳＳ 单 位
ＣＥＡ ＣＡ１９－ ９ （μ ｇ／Ｌ） （１０３Ｕ／Ｌ） 术前 ５８ ３４．０± ７９．０ ２０９．０± ７３９．０ 术后 ３０ ２．０± １．２＊ １１．０± １０．９＊ 转移复发 １９ ８８．０± １０７．０ ２１２．０± ５２９．０ 与术前组比较 ： ＊Ｐ＜０．０５，＊＊Ｐ＜０．０１ ｎ
多组均数间比较的方差分析
多组均数间比较的方差分析方差分析是统计学中一种常用的分析方法，用于比较不同组之间的均值差异是否显著。
在多组均数间比较的方差分析中，我们可以比较多个组别的均值之间是否存在显著差异。
本文将介绍多组均数间比较的方差分析的基本原理、假设检验和实施步骤，并举例说明其应用。
多组均数间比较的方差分析基本原理如下：假设我们有k个不同组别的样本，在每个组别中有n个观测值，我们希望比较k个组别的均值是否存在显著差异。
方差分析的思想是将总的方差分解为组内变异和组间变异两部分，然后通过比较组间变异与组内变异来判断均值是否存在显著差异。
在多组均数间比较的方差分析中，我们需要对假设进行检验。
假设检验的原假设为各组均值相等，备择假设为至少有一对组别的均值不相等。
我们可以使用方差分析表来计算组间变异、组内变异和总变异的平方和，进而计算均方和（组间均方和和组内均方和）。
通过计算均方和的比值，我们可以得到F统计量，进而对原假设进行假设检验。
实施多组均数间比较的方差分析可以按照以下步骤进行。
1.收集数据：收集不同组别的样本数据，确保每个组别的样本数量一致。
2.建立假设：提出原假设和备择假设。
原假设为各组均值相等，备择假设为至少有一对组别的均值不相等。
3.方差分析表计算：根据数据计算方差分析表中的各项数值，包括总平方和、组间平方和、组内平方和、总自由度、组间自由度、组内自由度、组间均方和和组内均方和。
4.计算F统计量：通过计算组间均方和与组内均方和的比值，得到F统计量。
5.假设检验：根据计算得到的F统计量和显著性水平，判断是否拒绝原假设。
6.结果解释：根据假设检验的结果，解释各组别均值之间的差异情况。
以下是一个用于说明多组均数间比较的方差分析的示例。
假设我们研究了三个不同地区的气温（A地区、B地区和C地区），每个地区测量了10个样本观测值。
我们希望比较这三个地区的气温均值是否存在显著差异。
针对这个例子，我们首先提出原假设H0：A地区、B地区和C地区的气温均值相等，备择假设H1：至少有一对地区的气温均值不相等。
统计学—多个样本均数比较的方差分析练习题
多个样本均数比较的方差分析练习题一、最佳选择题1. 完全随机设计资料的方差分析中，必然有( )A.SSm 间>SSm内B.MS 组间<MS组内C.MS=MS 组间+MS组内D.SS=SSm 间+SS 内E.V 组间>V组内2. 随机区组设计资料的方差分析中，对其各变异关系表达正确的是( )A.SSg =SS组间+SS组内B.MSg=MS 组间+MS组内C.SSg=SS 处理+SS区组+SS识差D.MS=MS 灶理+MSK组+MS退差E.SS=SS 处理+SS区组+MS误差3. 当组数等于2时，对于同一资料，方差分析结果与t 检验结果 ( )A. 完全等价且F=√iB. 方差分析结果更准确C.t 检验结果更准确D. 完全等价且t=√FE. 理论上不一致4.方差分析结果，F处理>Foos,(cy2》,则统计推论是( )A. 各总体均数不全相等B. 各总体均数都不相等C. 各样本均数都不相等D. 各样本均数间差别都有统计学意义E. 各总体方差不全相等5. 完全随机设计方差分析中的组间均方是( )的统计量A. 表示抽样误差大小B. 表示某处理因素的效应作用大小C. 表示某处理因素的效应和随机误差两者综合影响的结果D. 表示N 个数据的离散程度E. 表示随机因素的效应大小6. 配对设计资料，若满足正态性和方差齐性。
要对两样本均数的差别作比较，可选择( )A. 随机区组设计的方差分析B.u 检验C. 成组t 检验D.x²检验E. 秩和检验第四章多个样本均数比较的方差分析7.k 个组方差齐性检验有统计学意义，可认为()A.o}、σ2、…o²不全相等B.μ₁、μ₂、…μ₄不全相等C.S₁、S₂、…S₄不全相等D.X, 、X₂、…x 不全相等E.o} 、o2 、…σ²全不相等二、简答题1. 方差分析的基本思想和应用条件是什么?2. 完全随机设计方差分析变异分解中“MS=MS 画+MSm内”成立吗?为什么?3. 随机区组设计的方差分析与完全随机设计方差分析在设计和变异分解上有什么不同?4. 如何确定应用于实验的拉丁方?5. 为什么在方差分析的结果为拒绝H₀、接受H, 之后，对多个样本均数的两两比较要用多重比较的方法?三、计算分析题1. 研究动物被随机分成3个组来比较对3种不同刺激的反应时间(秒),问动物在3种不同刺激下的反应时间是否有差别?刺激I 16 14 14 13 13 12 12 17 17 17 19 14 15 20刺激Ⅱ 6 7 7 8 4 8 9 6 8 6 4 9 55刺激Ⅲ8 10 9 10 6 7 10 9 11 11 9 10 9 52. 为研究某药物的抑癌作用，使一批小白鼠致癌后，按完全随机设计的方法随机分为4 组，A、B、C 三个实验组和一个对照组，分别接受不同的处理，A、B、C3 个实验组，分别注射0.5ml、1.0ml和1.5ml30% 的注射液，对照组不用药。
第四章多个样本均数比较的方差分析
第四章多个样本均数比较的方差分析方差分析的基本思想是通过比较各组或处理的均值差异与各组内的个体间差异来判断是否存在显著差异。
在进行方差分析之前，需要满足一些前提条件，如对总体的抽样是简单随机抽样、各样本之间是独立的等。
这些前提条件的满足保证了方差分析的可靠性。
多个样本的方差分析是通过计算组间离差平方和（SSTr）、组内离差平方和（SSE）和总离差平方和（SST）来比较各组或处理之间的差异。
计算公式为：SSTr = Σni(x̄i - x̄)²SSE = ΣΣ(xij - x̄i)²SST=SSTr+SSE其中，n是每组或处理的样本个数，ni是第i组或处理的样本个数，x̄i是第i组或处理的样本均值，x̄是全部样本的均值，xij是第i组或处理的第j个样本值。
通过计算SSTr和SSE，可以得到均方值（MS）：MStr = SSTr / (r - 1)MSE=SSE/(N-r)其中，r是组或处理的个数，N是总样本个数。
接下来，需要计算F值，用于判断各组或处理均值是否有显著差异：F = MStr / MSE根据F值和自由度，可以查找F表来确定是否存在显著差异。
如果F 计算值大于F临界值，则拒绝原假设，表示均值之间存在显著差异。
方差分析还可以进行多重比较，用于确定具体哪些组或处理之间存在显著差异。
常用的多重比较方法有Tukey的HSD（最大均值差异）和Bonferroni方法。
方差分析的优点是可以同时比较多个样本的均值差异，具有较好的统计效应。
然而，方差分析也存在一些限制，如对正态性和方差齐性的要求较高。
总之，多个样本均数比较的方差分析是一种常用的统计方法，在科学研究和实验设计中得到广泛应用。
它可以帮助研究人员确定不同处理或组之间的差异，为决策提供支持。
多组均数间比较的方差分析
方差分析的适用条件
条件
方差分析要求数据满足正态分布、独立性和方差齐性。如 果数据不满足这些条件，可能需要采用其他统计方法。
正态分布
各组数据应来自正态分布的总体，这是方差分析的前提假 设。
独立性
各组数据应相互独立，即不同组的观测值之间没有关联性 。
方差齐性
各组内部的变异应相似，即各组的方差应无显著差异。
目的和意义
目的
确定多个独立样本的均数是否存在显 著差异，从而判断不同处理或分组对 结果的影响。
意义
为科学研究提供了一种有效的统计分 析方法，有助于揭示不同处理或分组 间的差异，为进一步的研究提供依据 。
02
方差分析的基本概念
方差分析的定义
定义
方差分析（ANOVA）是一种统计分析方法，用于比较两个或多个组均数的差异，同时考虑各组内部的变异。
数据分组
根据实验分组情况，将数据整理成 各个组别的表格或图表，以便后续 分析。
方差分析过程与结果解读
方差分析的前提条
件
满足独立性、正态性和方差齐性 等前提条件，以保证分析结果的 准确性和可靠性。
方差分析过程
使用统计软件进行方差分析，包 括计算自由度、F值、P值等，并 判断各组间是否存在显著差异。
结果解读
方差齐性检验方法
采用Levene检验、Bartlett检验等方法对数据 进行方差齐性检验。
方差齐性检验结果解读
根据检验结果判断数据是否满足方差分析的前提条件。
方差分析的统计方法
方差分析的基本思想
通过比较不同组数据的均值差异，判断各因素对实验结果的影响 程度。
方差分析的常用统计量
包括自由度、离均差的平方和、均方等。
03
第四章 多个样本均数比较的方差分析(第4章)(1)
降血脂新 药4.8g组 2.86 2.28 2.39 2.28 … 1.68 30 2.70 降血脂新 药7.2g组 0.89 1.06 1.08 1.27 … 3.71 30 1.97
80.94 58.99
225.54 132.13
合计
120 2.70 324.30 958.52
9
多因素实验
研究饲料中脂肪含量高低、蛋白含量高低对 小鼠体重的影响 研究对象：小白鼠
总 N 1 组间 g 1 组内 N g
14
mean square ，MS
MS组间 SS组间 / 组间 MS组内 SS组内 / 组内
F
组间变异 组内变异
MS组间 MS组内
≥１
15
如果处理因素无作用： 组间变异＝组内变异 F =１ 如果处理因素有作用： 组间变异＞组内变异 F ＞１
1.5
1.1
0.9
1.6
1.3
0.9
1.3
1.1
0.8
1.4
1.0
1.0
Xi 1.6
1.2
0.9 X总 1.23
Xij=μ+Ti+eij i=1, 2, ···, g j=1, 2, ···, n12
sum of squares of deviations from mean ，SS
总离均差平方和
降血脂新 药4.8g组 2.86 2.28 2.39 2.28 … 1.68 30 2.70 降血脂新 药7.2g组 0.89 1.06 1.08 1.27 … 3.71 30 1.97
完全随机设计分组结果
编 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … 119 120 随机数 260 873 373 204 056 930 160 905 886 958 … 220 634 序 号 24 106 39 15 3 114 13 109 108 117 … 16 75
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gn
gn
gn
gn
SS总 (XijX)2 Xij2( Xij)2/N Xij2C
i1 j1
i1 j1
i1 j1
i1 j1
gn
C(Xi)2j/N i1 j1
SS总 X2C
11
2．组间变异
各处理组由于接受处理的(水平)不同，各组的样 本均数也大小不等，这种变异称为组间变异。其 大小用各组均数与总均数的离均差平方和表示。
gn
SS组内 (XijXi)2 i1 j1
2020/7/19
13
(xij x) (xi x) (xij xi )
( x i j x ) 2 ( x i x ) 2 ( x i j x i) 2
总变异
组间变异
组内变异
处理因素的作 用、随机误差
随机误差
SS总 SS组间 SS组内
总 组 间 组 内
5.78
4.75
4.36
6.68
4.77
5.24
5.44
4.61
4.67
5.86
4.49
4.55
5.67
x 5.13 4.02
5.18
5.24
5.03
4.61
5.42
4.57
5.12
5.14
4.21
5.26
6.09
4.88
4.83
5.74
4.62
5.59
5.72
xi
2020/7/19
4.61
5.06
4.02
5.18
5.03
4.61
4.57
5.12
4.21
5.26
4.88
4.83
4.62
5.59
x i 4.61
5.06
2020/7/19
脂肪肝组（x3j ） 5.78 6.68 5.44 5.86 5.67 5.24 5.42 5.14 6.09 5.74 5.72 5.71
8
正常组（x1j ） 4.75
0.443 0.414 0.502 0.613 0.402 0.343
0.72414
0.45283
x0.58531
0.430 0.332 0.436 0.382 0.457
0.4074
三组50-59岁男性的空腹血糖测定结果
正常组（x1j ） 冠心病组（x2j ）脂肪肝组（x3j ）
4.75
6.26
5.71
6
正常组（x1j ）
4.75 4.75 4.77 4.61 4.49 4.02 5.03 4.57 4.21 4.88 4.62 50.70
冠心病组（x2j ）
6.26 4.36 5.24 4.67 4.55 5.18 4.61 5.12 5.26 4.83 5.59 55.67
脂肪肝组（x3j ）
冠心病组（x2j ） 6.26
脂肪肝组（x3j ） 5.78
4.75
4.36同组内数据各6不.68相同
4.77
5.24
—组内变5异.44
4.61
4.675.67
4.02
5.18
5.24
5.03
4.61
5.42
4.57
5.12
5.14
4.21
5.26
6.09
4.88
4.83
5.74
MS组内：组内均方，SS组内/组内, MS组间：组间均方, SS组间/组间,
完全随机设计资料的方差分析 随机区组设计资料的方差分析
多个样本均数间的多重比较 多个样本方差比较的Bartlett检验和Levene检验
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3
方差分析的基本思想 及其应用条件
问题的提出:实验设计将所研究的对象分为多 个处理组施加不同的干预（处理），由于 各种因素的影响，研究所得的数据呈现波 动状（差异），造成波动的原因可分成两 类，一是不可控的随机因素，另一是研究 中施加的对结果形成影响的可控因素（处 理因素）。
4.62
5.59
5.72
x i 4.61
5.06
5.71
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9
实验数据有三个不同的变异：
1. 总变异（total variation）：全部测量值xij与
总均数 x 间x 的差别
2. 组间变异（ between group variation ）：各组
的均数 xi 与总均数 x 间的差异
方差分析即是检验各处理组均数间差别有 无统计学意义的统计检验方法。
四种饲料添加物对小鼠体重增长的比较（g） 猪油 花生油 玉米油 空白对照
0.839 0.745 0.604 0.851 0.973 0.636 0.593 0.814
xi 0.75688
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0.799 0.698 0.554 0.823 0.944 0.595 0.656
多个样本均数比较的方差分析 ANOVA (Analysis of Variance)
ANOVA 由英国 统计学家Ronald Aylmer Fisher首创， 为纪念Fisher，以
F命名，故方差分 析又称 F 检验 （F test）。用于
推断多个总体均
数间有无差异.
主要内容
方差分析的基本思想
3. 组内变异（wiXtihin group variation )：每组的j
个原始数据与该组均数 xi 的差异
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Xi
10
1．总变异：
反映所有测量值之间总的变异程度；其大小用 离均差平方和(sum of squares of deviations from mean，SS)表示，即各测量值与总均数差 值的平方和。
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均方(mean square，MS)
变异程度除与离均差平方和的大小有关外，还与其自由度有 关，由于各部分自由度不等，因此各部分离均差平方和不能 直接比较，须将各部分离均差平方和除以相应自由度，其比 值称为均方差，简称均方(mean square，MS)。组内均方和组 间均方的计算公式为:
5.78 6.68 5.44 5.86 5.67 5.24 5.42 5.14 6.09 5.74 5.72 62.78
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33个数据各不相同总变异
7
正常组（x1j ） 4.75
冠心病组（x2j ） 6.26
4.75
4.36
4.77
5.24
各组样4本.61均数也各不相4.同67
—4.4—9 组间变异 4.55
ni
g
( Xij)2
SS组间 ni (X i X)2 i1
j1
ni
C
组间变异反映各组均数之间的变异程度，
组间变异＝①随机误差+②处理因素效应
SS组间越大，表示各处理水平反应可能不相同。
3．组内变异
在同一处理组中，虽然每个受试对象接受的处理相 同，但测量值仍各不相同，变异称为组内变异（误 差）。组内变异用组内各测量值与其所在组的均数 的差值的平方和表示，表示随机误差的影响。