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3.1原子之间的互作用

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3.1 一维单原子链

3.1 一维单原子链

一维无限原子链 —— 每个原子质量m，平衡时原子间距a —— 原子之间的作用力 第n个原子离开 平衡位置的位移 第n个原子和第n＋1 个原子间的相对位移
第n个原子和第n＋1个原子间的距离
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
平衡位置时，两个原子间的互作用势能
发生相对位移
后，相互作用势能
a
a
—— 只研究清楚第一布里渊区的晶格振动问题 —— 其它区域不能提供新的物理内容
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
玻恩－卡门（Born-Karman）周期性边界条件 —— 一维单原子晶格看作无限长，所有原子是等价的，每个 原子的振动形式都一样 —— 实际的晶体为有限，形成的链不是无穷长，链两头的 原子不能用中间原子的运动方程来描述
2 4 sin 2 ( aq )
m
2
格波的波速
—— 波长的函数
—— 一维简单晶格中格波的色散关系，即振动频谱
格波的意义
连续介质波
波数 q 2
—— 格波和连续介质波具有完全类似的形式
—— 一个格波表示的是所有原子同时做频率为的振动
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
n Aei(tnaq) —— 简谐近似下，格波是简谐平面波
§3.1 一维单原子链
绝热近似 —— 用一个均匀分布的负电荷产生的常量势场来 描述电子对离子运动的影响 —— 将电子的运动和离子的运动分开 晶格具有周期性，晶格的振动具有波的形式 —— 格波 格波的研究 —— 先计算原子之间的相互作用力 —— 根据牛顿定律写出原子运动方程，最后求解方程
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质

3.1一维晶格振动

3.1一维晶格振动
时，它实际代表2N个方程的联立方程组。具有下面的格波解： i t 2 na q
2 n Ae
2 n1 Bei[t ( 2 n1) aq]
2.色散关系
把上面两个解带入下列方程组：
m 2 n ( 2 n 1 2 n 1 2 2 n ) M 2 n 1 ( 2 n 2 n 2 2 2 n 1 )
..
2n n1 n1 n1 n1 2n
每个原子对应一个方程，若原子链有N个原子，则有N个方
程，上式实际上代表着N个联立的线性齐次方程。
下面将验证方程具有格波形式的解。给出试探解：
nq Aei (t naq )
其中ω，A为常数。
π π q a a
n n N
晶格振动波矢的数 目=晶体的原胞数
3.1.2 一维双原子链(复式格)的振动
1. 运动方程和解 (1) 模型:一维无限长原子链，可以看作是最简单的复式 晶格：每个原胞含有两个不同的原子P、Q，质量为m和M，且 m<M。相邻原子间距均为a，(晶格常量为2a )恢复力系数为。 2n-2 2n-1 2n P 2n+1 2n+2
第n-2个原子
第n-1个原子
第n个原子
第n+1个原子
第n+2个原子
a
μn-2
μn-1
μn
μn+1
μn+2
用…μn-1、 μn、 μn+1 …分别表示序号为… n-1、 n、 n+1 …原 子在t时刻偏离平衡位置的位移。 (2)振动方程和解 假设只有近邻原子间存在相互作用，r=a+δ。其中δ表示 对平衡位置a的偏离。 u（r）为原子间的互作用势能。

固体物理答案第三章1

固体物理答案第三章1

Ae i ωt naq
Be i ωt naq
2n i ωt a b q 2
将 x 2n , x 2n 1 的值代回方程得到色散关系
β1 β 2 ω 2mM
2
m M
3.3 一维复式格子，原子质量都为m,晶格常数为a，任一个原
子与最近邻原子的间距为b,若原子与最近邻原子和次近邻原子 的恢复力常数为 β 和 β ，试列出原子的运动方程并求出色散 关系。
1
2
3
n-1
n a
n+1 n+2
N-1 N
解： 此题为一维双原子链。设第 n 1, n, n 1, n 2 个原子的 位移分别为 un1 , un , un1 , un 2 。第 n 1 与第 n 1 个原子属 于同一原子，第 n 与第 n 2 个原子属于同一原子，于是
m M
2
16mMβ1 β2 2 aq sin 2 2 β1 β 2
（2）（a）当上式取‘+’号时为光学波 β1 β 2 8mMβ1 β2 2 2 1 cosaq ωo m M m M 2 2mM β1 β 2
2 1 2 2 1 iqa 2 2 1 1 2
由于A和B不可能同时为零，因此其系数行列式必定为零，即
β β mω β β e 0 β β mω β β e
2 iqa 1 2 2 1 iqa 2 2 1 1 2
解上式可得
12 2 β1 β2 2m 4m2 16m β1 β2 sin2 qa 2 ω 2 2 2m β1 β2 2 12 β1 β2 1 1 4β1 β2 sin2 qa 2 m 2 β1 β2

原子间相互作用势解读

原子间相互作用势解读

原子间相互作用势解读原子间相互作用势是描述两个或多个原子之间相互作用力的函数。

它是描述原子、分子或固体材料性质的关键因素，对于理解化学反应、材料力学性能、相变、晶体结构等都起着重要的作用。

本文将对原子间相互作用势进行解读。

一种显著的原子间相互作用势是范德华力(Van der Waals forces)，它是由电荷偶极、氢键、格列高利亚力和弥散力等组成。

这些力可以通过公式来描述，例如Lennard-Jones势能公式：V(r)=4ε[(σ/r)^12-(σ/r)^6]这个公式中，r是两个原子间的距离，ε和σ是相互作用的参数。

这个公式表示了势能和原子间距离的关系，当两个原子非常接近时，势能会变得非常大，当原子间距离较大时，势能会变得非常小。

除了范德华力，库仑力也是原子间相互作用势的重要组成部分。

库仑力是由原子间的电荷交互作用引起的，它可以通过库仑电势公式来描述：V(r)=k*q1*q2/r其中r是两个原子间的距离，q1和q2是原子的电荷，k是电常数。

这个公式表示，当两个原子带有相同的电荷时，它们之间会存在排斥力；当两个原子带有相反的电荷时，它们之间会存在吸引力。

除了范德华力和库仑力，还有其他一些原子间相互作用势也非常重要。

例如，金属间相互作用势(Metal-Metal Interaction Potential)用于描述金属之间的相互作用力，分子间相互作用势(Molecule-Molecule Interaction Potential)用于描述分子之间的相互作用力。

通过使用原子间相互作用势，我们可以研究原子间的排列方式和结构稳定性。

例如，在材料科学中，人们可以使用原子间相互作用势预测材料的熔点、弹性模量、黏度等性质。

在化学反应中，通过分析原子间相互作用势，我们可以了解反应的速率和过程。

虽然原子间相互作用势是描述原子间相互作用的重要工具，但是它并不是完美的。

由于原子间相互作用力很复杂，我们通常只能采用近似的方法来描述这些力。

固体物理学第三章

固体物理学第三章
非简谐项：
3 1 !(d d 3 U 3)r a 3 ..... .n 1 !.(d d .n U .n)r .a.n
简谐近似—— 振动很微弱，势能展式中只保留到二阶项。
U (r) U (a ) (d)U 1(d 2 U ) 2 da r 2 !d2ra U(r)U(a)1 2(dd2U 2r)a2
此处N=5,代入上式即得：
ei(5a)q 1 5aqn2（n为整数）
由于格波波矢取值范围：
q
a
a
则：5n5
22
故n可取－2，－1，0，1，2这五个值
相应波矢：4,2,0,2,4
5a 5a 5a 5a
由于，2 sinqa
m2
代入，β，m及q值 则得到五个频率依次为（以rad/sec为单位） 8.06×1013，4.99×1013，0，4.99×1013，8.06×1013
f du(d2u) d 2u 为恢复力常数
dr d2r
dr 2
周期边界条件
N 2 a l q l 为 整 N /2 h N 数 /2 且
3.1 一维单原子链的振动
3.1.1 一维单原子链的振动
设原子链为一维，则：原子间距为a; 第n个原子的平衡位置为rn=na 第n个原子离开平衡位置的位移为xn
格波的应用：
晶体的弹性力常数β约为15N/m，若一个原 子的质量为6×10-27Kg，则晶格振动的最大圆频 率为ωm=1014弧度/秒，最大频率γm约为1013Hz即 10THz。THz波段在微波与红外光之间。
不同材料的晶格振动频谱具有各自的特征， 可以作为这个材料的 “指纹”，THz谱技术作为 一种有效的无损探测方法，通过晶格振动频谱可 以鉴别和探测材料。
3.1.2 格波频率与波矢关系——色散关系

3.1一维晶格振动

3.1一维晶格振动
2
aq 2 sin m 2
可以发现，上面的解与n无关，表明N个联立方程都归结

为同一个方程。只要ω与q之间满足上式的关系，我们给定的
试探解就表示了联立方程的解。 通常把ω与q之间的关系称为色散关系。或者把ω(q)作为q的
函数称为晶格振动谱，可以通过实验的方法测得或根据原子
间相互作用力的模型从理论上进行计算。
§3.1 一维晶格的振动
3.1.1 一维单原子链的振动
晶格具有周期性，因此晶格的振动模具有波的形式， 称为格波。格波和一般连续介质波有共同的特征，但也有
它不同的特点。
1.一维单原子链的振动方程及其解
(1)模型：一维无限长的单原子链，原子间距为a（即
原胞体积为a），原子质量为m。原子限制在沿链的方向 运动。原子间的力常数均为β。
u (r ) u (a )
按一般简谐振动把近似互作用能保留到二次项
1 d 2u 2 du u (r ) u (a) 2 2 dr a dr a 2 du d u 在上式中 0, 2 dr a dr a
2n
Q原子： M


2n1 2n1 22n
2 n 1
2 n 1 2 n 2 2 n 1 2 n
2n2 2n 22n1
上面两个方程是原子运动的典型方程，当原子链包含N个原胞
π π q a a
上述q以外的值，并不能提供其它不同的波。
格波波数q的不唯一性特点可以如图说明：
a
4a
μ
a
4a 5
q 2a
5 xq 2a

双原子之间的作用力

它相应于两原子间的互作用力，当
r r0 du (r ) 0 dr r0
第二章 晶体的结合
第 14 页
f (r0 ) 0
r0
n m
Bn Am
(2) (3)
A m U C U (r0 ) m (1 ) r0 n
互作用势能达极小值，由此决定原子
间的平衡距离r0。
此时的状态称为稳定状态。
荷间的库仑吸引力，长程作用； +B/rn :代表排斥能，来自同性电荷 间的库仑斥力及泡利原理所引起的 排斥力，总体表现短程作用。
第二章
晶体的结合
第 13 页
相互作用势能的一般性质
（1）平衡位置r0的确定： 图（a）：互作用势能曲线
图（b）: 互作用势能曲线的微商曲线
du( r ) mA nB f (r ) m 1 n 1 dr r r
1 k V
第二章
V P
T
第 12 页
晶体的结合
1、三维晶体参数与结合能的关系
相距r的两个原子之间的互作用势能用U(r)表示：
A B U (r ) m n r r
A、B、m、n皆为大于零的常数。
(1)
( m n)
-A/rm :代表吸引能，来自异性电
这表明，分子间的范德瓦尔斯－伦敦力引起的互作用势能与r-6成正比。 而由泡利原理产生的斥力作用，较难计算，一般由实验求得，排斥 势与r-12成反比 因此，一对分子间总的互作用势能为：
第二章
晶体的结合
第9页
Page 10
A B u( r ) 6 12 (11) r r or
12 6 u( r ) 4 (12) r r A2 B , 4B A

第三章铁液中溶质的相互作用参数,重做后2汇总


定义：
1 2 ln 2 (2) ( ) x1 1 2 2 2 x2
1 2 ln 2 (3) ( ) x 1 2 2 x32 1
1 2 ln 2 (i ) ( ) x1 1 2 2 2 xi
2 ln 2 (2,3) ( ) x1 1 2 x2x3
lg f 2 lg f 2' lg f 23
•或
就是
__ (%2) __ (%3)
2 3 lg f 2 e2 [%2] e2 [%3]
两边同乘以2.303RT
2.303RT lg f2 2.303RT lg f2' 2.303RT lg f 23
E 2 3 mixG2 2.303RTe2 [%2] 2.303RTe2 [%3]
2 2 2 2
如图3-1所示：
ln
2 0 2
2 2 2 x2
2 2 x2
x2
图3－1 相互作用系数的几何描述
在以上图中，虚线是线性关系，表示 ln
2 2 0 与 x 的线 2 2 2
性关系段 ln( 2 / 20 ) 22 x2 ；实线是非线性关 2 2 0 2 2 2 系 ln( 2 / 2 ) 2 x2 2 x2 ，其中 2 x2 是虚线与实线之间 距离，是非线性程度的描述。可以看出，随着浓度 与x 的关系偏离线性关 2 2 x2的增大， 2 x2 越来越大， ln 2 2 0 2 系的程度在增大。
对二元系： 1-2 ，组元 1-溶剂，组元 2-溶质，设其 ' ' ' a a 活度为 2 ， 2 2 x2 而对三元系：1-2-3，组元1-溶剂，组元2，3-溶质， 则组元2的活度设二元系中的x2同三元系中的x2相同。 则一般地 a2 2 x2

第三章 晶体中的原子热振动 PPT课件


dU r 0 U a dr r a
U a
晶体的结合能
i , j =1 , 2 , , N
二. 原子间的键
1. 离子键 离子键是由正负离子通过库仑引力形成的。典型的如ⅠA族元素 (碱金属)与ⅦB族元素(过渡金属锰族元素：锰、铼、锝)之间形 成。ⅠA族元素易于失去电子而带正电荷，ⅦB族元素倾向于得 到一个电子而带负电荷，并使两者的电子组态都变为满壳层。
短波近似
满足力的平衡条件，质心基本不动。 以同一振幅刚性地振动。
q



2a





A
B A
B

0
即A B 即A B
质量小的原子对短光学 波贡献大。
质量大的原子对短声学 波贡献大。
4. 周期性边界条件 设晶体由N个原胞构成，则周期性边界条件为：
﹡ 各原子振动间存在相互联系，有固定的位相差。相邻原子
的位相差为qa
﹡﹡ xm xn时
Aeiqmat Aeiqnat
则, ma na 2 l l取整数
q
(3) 在不同时间观察整个晶格
整个晶格的振动（原子振动的集体行为），构成了一个波矢
为 q的前进波———格波。
mM
3. 声学波与光学波
2


mM mM
1
1
4mM
m M 2
sin 2
aq
1 2


从相邻原子的振幅比来讨论声学波与光学波的特点：
从前面的方程组

m2 2
A 2 cos qa B 0
，得：
2 cos qa A M2 2 B 0

材料科学化学键

§3 化学键3.1 原子间的相互作用当两个原子相互靠近时，它们之间存在的相互作用力包括原子核与核外电子之间的吸引力，以及原子核、核外电子之间的排斥力。

这种原子之间的相互作用可用图2.2表示，在某一间距r0处，吸引力和排斥力达到平衡，势能最低，原子最稳定。

图2.4 两个原子之间的相互作用力、势能与原子间距的关系由于核外电子，特别是价电子的不同，原子之间的结合方式（化学键）也不同,包括：依靠电子的转移或共享形成的强键（一次键）,如金属键,离子键,共价键；借分子之间的偶极吸引力而形成的弱键（二次键），如范德华（V an der waals）键、氢键。

3.2 金属键金属原子形成晶体时，金属中的自由电子为整个晶体所共有，可以在整个晶体中自由运动，失去价电子的金属正离子则在三维空间中作周期性排列，这种键合称为金属键。

金属键的主要特点是无饱和性和方向性，从而导致密堆结构和良好延展性；价电子的自由运动则使金属具有良好的导电和导热性能。

图2.5 金属键示意图3.3 离子键金属原子和非金属原子分别形成正离子和负离子，正、负离子相互吸引结合在一起形成离子晶体，这种键合称为离子键。

由离子键构成的化合物称为离子化合物，如NaCl等。

由于负离子的体积比正离子的体积大，所以离子化合物的晶体结构特点是：负离子在三维空间中作周期性排列，正离子占据负离子所形成的间隙。

离子键的特点是键合作用强、无方向性。

另外，由于很难产生自由运动的电子，离子化合物都是良好的电绝缘体。

但当处在高温熔融状态时，正负离子在外电场作用下可以自由运动，即呈现离子导电性。

图2.6 离子键示意图3.4 共价键两个或多个电负性相差不大的原子间通过共用电子对而形成的化学键即为共价键。

共价键特点是有饱和性和方向性，因此以共价键形成的晶体结构稳定、熔点高、坚硬无塑性，一般是绝缘体。

图2.7 共价键示意图3.5 范德华力在某一瞬间，一个原子（分子）的正负电荷重心可能不重合，从而形成小的偶极子。

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一、化学键——相邻原子之间的强烈作用
像石墨结构内部层与层之间 的相互作用是一种较弱的作用力 。 这是物理作用力，属于分子作用 力。不属于化学键。
二、化学键的种类
（一）离子键 ——相邻的阴、阳离子存在强烈的静电作用。
钠原子最外层只有1个电子，很易失去它， 成为稳定结构。氯原子的最外层7个电子，较 易从别处获得1个电子，形成稳定结构。这样， 产生的钠离子和氯离子，阴阳离子达到引
思考：
卤素氢化物的稳定性是如何递变的呢？ 卤化氢 键能 KJ/mol 键长 nm HCl 432 0.127 HBr 366 0.141 HI 298 0.161 HF 568 0.092
稳定性： HF > HCl > HBr > HI
思考：
一百多种元素能组成世界上 3000多万种性能各异的物质，这种 情形与如下哪些因素有关？ (1)组成物质的元素种类各不相同 √ (2)所含的各种原子数目各不相同 √ (3)构成这些物质的原子在空间排 √ 列方式上各不相同 √ (4)连接原子的化学键种类各不相同 (5)化学键的键能大小各不相同 √
高 一
化 学
为什么100多种元 素能组成 3000 多万种 性能各异的物质呢？
3.1原子之间的相互作用
硬度高，熔点 相对于石墨低
柔软、润滑，熔点 相对于金刚石高
金刚石与石墨的结构
石墨滑动的结构示意
像金刚石、石墨中相邻的碳 原子之间存在强烈相互作用。我 们称之为化学键。 这种强烈作用是一种化学作 用力。这种力将邻近的原子紧密 结合在一起。
氯气的电子式
共价键
问题：共价键形成的条件是 什么？ 两个原子在电子的得失 能力相当之时结合，比较容 易形成共价键的形式。
如非金属原子之间的结合
共价键的形成或破坏，往往伴随着能量变化。
1.共价键的键能
1mol Cl (g) + 1mol Cl(g) → 1mol Cl2 (g) + 243 K J
力和斥力的平衡。最终形成了静电作用
力——离子键。
氯化钠固体中有许 多钠离子和氯离子构成
电子式：
思考： 还有哪些能形成离子键的物质？
活泼的金属元素和典型的非金属元素之 间的结合，往往容易形成离子键。
铵盐化合物也是离子化合物 能再列举一些实例吗？
原子之间的另一种结合方式：
（二）共价键 ——以共用电子对 的结合方式
对于氯化氢分子，共用电子对的电子为 氯原子和氢原子这两个原子所共有。对于氢 原子，其最外层就达到2个电子稳定结构， 对于氯原子，其最外层就达到8个电子稳定 结构。
氯化氢的电子式：
氢分子中的氢原子是怎样结合的呢？
以共用电子对形式结合，共价键
氢分子电子式：
H∶H
思考：氯分子为什么是以双原子分子 形式存在，而不是以单原子分子？两 个氯原子之间的结合是以什么化学键 呢？
（三） 金属键
以金属阳离子和自由电子之间的强烈作用。
小结：
1. 什么是化学键？ 相邻原子之间强烈的作用。
2.化学键的主要类型有哪些？
离子键、共价键和金属键 3.什么是离子键、共价键？试举例。 4.共价键的牢固程度与键能成正比， 与键长成反比。 5.分子作用力比较弱，不属于化学键
判断正误 1.离子键就是化合物中的相邻的阴、 √ 阳离子之间的静电作用。 2.离子键一定是存在于化合物中。 √ 3.共价键一定存在于化合物中。 × 4.某些化合物可以同时具有离子键 √ 和共价键。 5.某些化合物同时具有离子键和共 × 价键，既可以称之为离子化合物， 也可称之为共价化合物。
243 K J，这就是1mol Cl—Cl共价键的键能。
生成共价键会放出能量，反之，破坏共价键就需 要吸收能量。 键能数值越大，代表共价键越强、越牢固。
2.共价键的键长
键长越长，往往共价键越弱。
硬度高
熔点略低
柔软润滑， 金属的原子之间是以什么形式结合的呢？