流体动压润滑与静压润滑

一．润滑分类基本上，可以近似认为润滑膜厚越厚，承载能力越高。

因而不同的润滑类型大致可以根据工作时润滑膜的膜厚来区分。

1.流体动压润滑：中高速，面接触(滑动轴承)，动压效应形成流体润滑膜。

膜厚1～100μ.[流体动压润滑形成条件：a.磨擦表面具有收敛楔；b.轴颈具有足够的转速；c.润滑油具有适当的粘度；d.外载不得超过最小油膜所能承受的限度。

外加两个重要假设：一定温度时，流体粘度不变；摩擦表面视为刚体.]2.流体静压润滑：各种速度，面接触，外压强制流体送入摩擦面间形成静压膜。

膜厚1～100μ.3.弹性流体动压润滑（弹流润滑）：中高速，点线接触(滚动轴承)，动压效应形成流体润滑膜。

膜厚0.1～1μ.[丢弃动压润滑的简化考虑：流体、摩擦面均视为弹性体；粘度是压力的函数]4.薄膜润滑：低速，点线接触高精度摩擦副，动压效应形成流体润滑膜。

膜厚10～100nm.5.边界润滑：低速重载，高精度摩擦副，润滑油和金属表面反应生成理化润滑膜。

膜厚1～50nm.6.干摩擦(润滑)：无润滑或自润滑。

表面氧化膜或气体吸附形成。

膜厚1～10nm.如想量化判断具体工况是什么润滑类型，看参数：膜厚比αα=h。

/(σ1^2+σ2^2)^0.5h。

为接触表面间的最薄润滑膜厚度;σ1、σ2分别为两摩擦表面粗糙度的均方根值。

一般说来，当α＜1时，会产生粘着；1≤α≤3时，摩擦副处于部分弹性流体动压润滑状态，有可能发生粘着磨损；α＞3时，摩擦副处于全膜润滑状态，可认为不会发生粘着磨损。

使用一般矿物油润滑和一般加工质量的几种常见的摩擦副，其膜厚比范围约为:滚动轴承,α=1～2.4；齿轮传动，α=0.6～1.8；凸轮机构，α=0.3～1.2。

二．流体润滑关键因素液体的动压润滑主要考虑粘温关系；气体润滑主要考虑密度——压力关系；弹流润滑中粘温、粘压、压缩性（密度）都是重要因素。

1．润滑油a.流体(润滑油)粘度：流体抵抗剪切变形能力的度量，表征流体流动时的内摩擦大小。

机械设计中的润滑与密封技术在机械设计中，润滑和密封技术被广泛应用于各种设备和机械系统中，以确保它们的正常运行和长期的可靠性。

润滑技术主要用于减少机械部件之间的摩擦和磨损，而密封技术则用于防止介质的泄漏和外界杂质的侵入。

本文将探讨机械设计中润滑与密封技术的重要性以及应用的各种方法。

1. 润滑技术的重要性润滑技术在机械设计中起着至关重要的作用。

首先，它能够减少机械部件之间的摩擦，从而减少能量损耗和热量的产生。

其次，润滑能够降低机械部件的磨损和腐蚀，延长机械系统的寿命。

此外，润滑还可以降低机械噪音和振动，提高机械系统的运行效率和平稳性。

2. 润滑技术的应用方法在机械设计中，有多种润滑技术可供选择。

常见的润滑方法包括干摩擦、边沿润滑、静压润滑、流体动压润滑等。

干摩擦是指在两个机械部件之间不使用润滑剂，而依靠表面的微小不平整度形成气体膜来减小摩擦。

边沿润滑则是通过在机械部件的边沿位置提供润滑剂，形成润滑膜来减少摩擦和磨损。

静压润滑和流体动压润滑是基于液体在机械部件的间隙内形成液膜来减小摩擦和磨损。

3. 密封技术的重要性密封技术在机械设计中同样具有重要的地位。

在很多机械系统中，需要保持介质的纯净性和防止外界杂质的侵入，以确保机械系统的正常运行。

此外，密封技术还能够防止介质的泄漏，保证生产过程的安全性和环境的卫生。

因此，密封技术在化工、石油、冶金、食品等行业中具有广泛的应用。

4. 密封技术的应用方法机械设计中有多种密封技术可供选择。

最常见的密封方法包括静态密封、动态密封和辅助密封。

静态密封是指在机械部件之间使用密封垫片或O型圈等零件进行密封，常用于管道连接、阀门和泵体等部件。

动态密封则是指在运动的机械部件之间使用轴封、活塞环等密封件，常见于发动机、液压缸等设备。

而辅助密封则是在静态和动态密封的基础上增加辅助密封元件，如密封油槽、密封腔等，以提供更可靠的密封效果。

5. 润滑与密封技术的创新与发展随着科技的进步和工程技术的不断发展，润滑与密封技术也在不断创新和改进。

流体动压润滑‎理论（简介）在摩擦副两表‎面间被具有一‎定粘度的流体‎完全分开。

将固体间的外‎摩擦转化为流‎体的内摩擦。

以防止这些固‎体表面的直接‎接触，并使滑动过程‎中表面间的摩‎擦阻力尽可能‎减小，表面的损伤尽‎量减低，这就是流体润‎滑。

它的发展与人‎们对滑轮和摩‎擦的研究密切‎相关发展简史1.流体动压现象‎)当动环回转时‎，由于静环表面‎有很多微孔，动环的转动使‎其表面与静环‎表面上的微孔‎形成收敛缝隙‎流体膜层，使每一个孔都‎像一个微动力‎滑动轴承。

也就是说，当另一个表面‎在多孔端面上‎滑动时，会在孔的上方‎及其周边产生‎流体动压力，这就是流体动‎压效应。

（实例）流体动压润滑‎——流体动压润滑‎是依靠运动副‎两个滑动表面‎的形状，在其相对运动‎时，形成产生动压‎效应的流体膜‎，从而将运动表‎面分隔开的润‎滑状态。

特点）a.流体的粘度，一般遵循粘性‎切应力与切应‎变率成比例规‎律b.楔形润滑膜，依靠运动副的‎两个滑动表面‎的几何形状，在相对运动时‎产生收敛型流‎体楔，形成足够的承‎载压力，以承受外载荷‎。

形成动压润滑‎的条件：a.润滑剂有足够‎的粘度b.足够的切向运‎动速度（或者轴颈在轴‎承中有足够的‎转速）c.流体楔的几何‎形状为楔形（轴在轴承中有‎适当的间隙）2.流体动压润滑‎理论)在摩擦副两表‎面间被具有一‎定粘度的流体‎完全分开。

将固体间的外‎摩擦转化为流‎体的内摩擦。

以防止这些固‎体表面的直接‎接触，并使滑动过程‎中表面间的摩‎擦阻力尽可能‎减小，表面的损伤尽‎量减低。

滑动轴承运动‎副间要现成流‎体薄膜，必须使运动副‎锲形间隙中充‎满能够吸附于‎运动副表面的‎粘性流体，并且运动副表‎面相对运动可‎以带动润滑流‎体由大端向间‎隙小断运动，从而建立起布‎以承受载荷。

它的发展与人‎们对滑轮和摩‎擦的研究密切‎相关。

流体润滑具有‎极低的摩擦阻‎力，摩擦系数在0‎.001～0.008或更低‎（气体润滑），并能有效地降‎低磨损。

流体润滑的基本原理之流体动力润滑流体润滑研究和发展机器在运动时，运动的零部件之间必定会发生摩擦从而造成磨损，而润滑是减小摩擦、减轻甚至避免磨损的直接措施。

人类进入工业社会以后，润滑已逐渐发展成为一门重要的技术，井已成为工业部门和学术机构重要的研究领域。

19世纪未流体润滑现象被首次发现，几乎同时流体润滑理论也被提出来了。

二战期间军事装备的需求促使润滑技术高速发展，也对润滑理论，持别是流体润滑理论提出了更高的要求。

战后各工业国立即投入大量人力物力，开展有关方面的研究。

现在比较成熟的流体润滑原理主要包括三个方面内容，它们是：1．流体动力润滑2．流体静压润滑3．弹性流体动力润滑流体动力润滑原理1.1：定义流体动力润滑是利用流体的黏附性，使流体黏附在摩擦表面，并在摩擦副做相对运动时被带入两摩擦副的摩擦表面之间。

如果两摩擦副的表面形成收敛的楔形空间，则被带入摩擦副的两摩擦表面中的流体就会形成一定的压力，这种压力会随着摩擦副的运动速度和流体的粘度发生改变。

当流体的粘度一定时，摩擦副的运动速率越大，则流体形成的压力就越大；当摩擦副的运动速率一定时，流体的粘度越大，则流体形成的压力就越大。

进入摩擦表面的流体会像一个楔子，由于摩擦副在不断的做相对运动，所以会产生一定的压力，迫使流体向楔子一样楔入两摩擦表面，从而将两摩擦表面分隔开来，阻止两摩擦表面直接接触。

简单地说，流体动力润滑是利用相对运动的摩擦表面间的相对速度、流体的粘滞行和摩擦副之间的楔形墙体，迫使流体压缩而产生压力膜将两表面完全分隔开，并依靠流体产生的压力来平衡外载荷。

两个作相对运动物体的摩擦表面，用借助于相对速度和流体的粘滞性而产生的粘性流体膜将两摩擦表面完全隔开，由流体膜产生的压力来平衡外载荷，称为流体动力润滑。

所用的粘性流体可以是液体(如润滑油)也可以是气体(如空气等),相应地称为液体动力润滑和气体动力润滑。

流体动力润滑是依靠表面运动而产生的动力学效应。

润滑的的基本原理一、润滑的作用（1）减磨作用：在相互运动表面保持一层油膜以减小摩擦，这是润滑的主要作用。

（2）冷却作用：带走两运动表面因摩擦而产生的热量以及外界传来的热量，保证工作表面的适当温度。

（3）清洁作用：冲洗运动表面的污物和金属磨粒以保持工作表面清洁。

（4）密封作用：产生的油膜同时可起到密封作用。

如活塞与缸套间的油膜除起到润滑作用外，还有助于密封燃烧室空间。

（5）防腐作用：形成的油膜覆盖在金属表面使空气不能与金属表面接触，防止金属锈蚀。

（6）减轻噪音作用：形成的油膜可起到缓冲作用，避免两表面直接接触，减轻振动与噪音。

（7）传递动力作用：如推力轴承中推力环与推力块之间的动力油压。

二、润滑分类1．边界润滑两运动表面被一种具有分层结构和润滑性能的薄膜所分开，这层薄膜厚度通常在0.1µm以下，称边界膜。

在边界润滑中其界面的润滑性能主要取决于薄膜的性质，其摩擦系数只取决于摩擦表面的性质和边界膜的结构形式，而与滑油的粘度无关。

2．液体润滑两运动表面被一层一定厚度（通常为1.5μm～2μm以上）的滑油液膜完全隔开，由液膜的压力平衡外载荷。

此时两运动表面不直接接触，摩擦只发生在液膜界内的滑油膜内，使表面间的干摩擦变成液体摩擦。

其润滑性能完全取决于液膜流体的粘度，而与两表面的材料无关，摩擦阻力低、磨损少，可显著延长零件使用寿命。

这是一种理想的润滑状态。

1）液体动压润滑动压润滑由摩擦表面的几何形状和相对运动，借助液体的动力学作用，形成楔形液膜产生油楔压力以平衡外载荷。

如图5-1所示，在正常运转中，只要供油连续，轴颈就会完全被由润滑油动力作用而产生的油楔抬起，同时在轴承与轴颈之间形成一定偏心度，轴颈所受负荷由油楔中产生的油压所平衡。

此油楔的形成与其产生的压力主要与以下因素有关：图5-1 楔形油膜的形成（1）摩擦表面的运动状态：转速越高，越容易形成油楔。

（2）滑油粘度：粘度过大，则难以涂布。

（3）轴承负荷：负荷越高，越难以形成油楔。

设备润滑类别
<1> 流体润滑
摩擦表面完全为连续的润滑剂膜所分隔开，由低摩擦的润滑剂承受载荷，磨损轻微。

流体润滑包括以下四种:
1. 流体动压润滑
依靠运动副两个滑动表面的形状，在其相对运动时形成一层具有足够压力的流体膜，将摩擦表面分隔开的一种润滑状态。

2. 流体静压润滑
利用外部的流体压力源或供油装置，将具有一定压力的流体润滑剂输送到支承的油腔内，形成具有足够压力的流体润滑膜，将表面分隔开并承受载荷的一种润滑状态，又称为外供压润滑。

3. 流体动静压润滑
兼有流体动压和流体静压润滑的作用，可使支承表面之间在静止、启动、停止、稳定运动或是工况交变状况下均能保持流体润滑作用。

4. 弹性流体动压润滑
两相对运动表面间的弹性变形与润滑剂的压力-粘度、温度-粘度效应对其摩擦与油膜厚度起重要作用的润滑状态。

<2> 混合润滑
同时有以上几种润滑状态存在的情况。

<3> 边界润滑
摩擦表面的微凸体接触较多，润滑剂的流体润滑作用减少，甚至完全不起作用，载荷几乎全部通过微凸体及润滑剂和表面之间相互作用所生成的边界润滑膜来承受。

边界润滑膜可分为物理吸附膜、化学吸附膜、化学反应膜、沉积膜及固体润滑剂膜等。

<4> 无润滑或干摩擦
摩擦表面之间润滑剂的流体润滑作用已经不复存在，载荷由表面上存在的固体膜及氧化膜或金属基体承受时的状态。

Chapter 7润滑理论中国矿业大学China University of Mining and Technology润滑的分类流体动压润滑弹性流体动压润滑润滑状态的转化¾由斯特里贝克曲线可知，润滑类型随着转速、裁荷和润滑剂粘度的变化而变化，润滑状态可以从一种润滑状态转变润滑原理润滑状态的转化在1900-1902年间，德国学者斯特里贝克(Stribeck)对滚动轴承与滑动轴承的摩擦进行了试验，研究运动速Stribeck曲线¾第Ⅰ区此时摩擦副的表面被连续流体膜隔开，因此用流体力学来处理这类润滑问题，摩擦阻力完全决定于流体的内摩擦(粘润滑状态的转化第Ⅰ区¾流体润滑状态，包括流体动压润滑和弹性流体动压润滑。

平均润滑膜厚h与摩擦副表面的复合润滑状态的转化第Ⅱ区¾混合润滑状态，平均润滑膜厚h与摩擦副表面的复合粗糙度的比值λ约为3，典型膜厚在1μm以下，此润滑状态的转化第Ⅲ区¾边界润滑状态，平均润滑膜厚h与表面的复合粗糙度的比值λ趋于0(小于0.4～1)，典型膜厚在1-流体动压润滑流体动力润滑是指两个作相对运动物体的摩擦表面，借助于相对速度而产生的粘性流体膜将两摩擦表面完全隔开，由流体膜产生的压力来平衡外载荷。

流体动力润滑形成的必要条件：z楔形空间；相对运动（保证流体由大口进入）；流体润滑状态z流体动压润滑：依靠运动副的两个滑动表面的形状在相对运动时产生收敛型油楔，形成具有流体润滑状态流体润滑状态流体润滑的基本方程流体润滑的基本方程流体润滑的基本方程流体润滑的基本方程流体润滑的基本方程流体润滑状态动压动压推力轴承平面动压径向轴承平面动压径向轴承的展开面为平面, 只形成一个楔形间隙, 无需开设供气装置。

这种轴承的结构简单, 但稳定性较差。

当轴瓦采用多孔质材料时, 可使稳定性能得到改善。

在轴瓦外加上弹性膜片支承可以提高轴承的稳定性。

多楔动压径向轴承多楔动压径向轴承。

流体润滑分类
◆流体动压润滑：在两个做相对运动物体的摩擦表面上，借助于摩擦表面的几何形状
和相对运动而产生具有一定压力的粘性流体膜，将两摩擦表面完全隔开，由流体膜产生的压力来平衡外载荷。

◆弹性流体动压润滑：相对运动表面的弹性变形与流体动压作用都对润滑油的润滑性
能起着重要作用的一种润滑状态。

⏹流体静压润滑是从外部供给具有一定压力的流体来平衡外载荷。

流体动压润滑是由
摩擦表面几何形状和相对运动，借助粘性流体的动力学产生动态压力，用此润滑膜的动压来平衡外载荷，弹性流体动压润滑理论是研究在点、线接触条件下，两弹性物体间的流体动力润滑膜的力学性质。

弹性流体动压润滑理论—线接触问题的研究一、流体润滑状态润滑的日的是在摩擦表面之间形成低剪切强度的润滑膜，用它来减少摩擦阻力和降低材料磨损．润滑膜可以是由液体或气体组成的流体膜或者固体膜。

根据润滑膜的形成原理和特征，润滑状态可以分为：(1)流体动压润滑；(2)流体静压淀滑；(3)弹性抗体动压润滑；(4)边界润滑；(5)干摩擦状态等五种基本类型。

表1—1列出了各种润滑状态的基本特征。

表各种润滑状态的基本特征图膜厚度与粗糙度各种润滑状态所形成的润滑膜厚度不同，但是单纯由润滑膜的厚度还不能准确地判断润滑状态；尚须与表面粗糙度进行对比．图l—1列出润泽胶厚度与粗糙度的数量级．只有当润滑胜厚度足以超过两表面的粗糙峰高度时，才有可能完全避免峰点接触而实现全膜流体润滑，对于实际机械中的摩擦副，通常总是几种润滑状态同时存在，统称为混合润滑状态。

二、弹性流体动压润滑理论对于刚性表面的流体润滑，通常称为流体动压润滑理论；而对于弹性表面的润滑问题，还需要加入弹性变形方程，因此称为弹性流体动压润滑理论。

弹性流体动压润滑理论（Elasto-Hydrodynamic Lubrication）简为弹流体润滑称（EHL或EHD），它主要研究点线接触摩擦副的润滑问题。

由于这类问题的主要特点是：由于摩擦副的载荷集中作用，接触区内的压力很高，因而在润滑计算中要考虑接触表面的弹性变形和润滑刘的粘压效应。

在1949提出的弹流体润滑入口区分析方法，首次将Reynolds流体润滑理论和Hertz弹性接触理论联系起来处理弹流体润滑问题，并提出线接触等温弹流体润滑问题的近似解。

2.1线接触的弹性变形2.1.1Hetrz接触理论Hetrz接触理论讨论了一个弹性圆柱和刚性平面线接触时的压力分布和弹性变形情况。

如图12—1点划线表示半径为R的弹性圆柱与刚性平面在无载荷条件下相互接触的情况。

当施加载荷W以后，两表面相互挤压而产生位移，此时变形后的情况如图12—l中的实线所示。

轴承的润滑形式动压润滑与静压润滑1、动压润滑利用轴的高速旋转和润滑油的粘性，将有带进楔形空间建立起压力油膜。

油膜将轴进颈和轴表面分开。

要想形成液体动压润滑，必须满足下列条件：①、合理选择润滑油粘度；②、多支承的轴承，应严格控制同轴度误差；③、轴颈、轴承应有精确的几何形状和较高的表面光洁度；④、轴颈应保持一定的线速度，以建立足够的楔压力；⑤、轴颈和轴承配合后应有一定的间隙，该间隙通常等于轴颈的1/1000 ~ 3/1000。

动压润滑的形成大致经过三个过程：①轴承在静止时由于自重而处于最低位置，润滑油被轴颈挤出，轴颈与轴承侧面之间形成楔形油隙；②当轴颈沿箭头方向旋转时，由于油的粘性和金属表面的附着力，油层随着轴一起旋转。

有层经过楔形缝隙时，由于油的分子受到挤压和本身的动能，对轴产生压力，将轴向上抬起；③当轴达到一定速度时，油对轴的压力增大，轴与轴承表面完全a b c2、液体静压润滑及其工作原理液体静压润滑是利用外界油压系统供给一定压力的润滑油，使轴颈与轴承处于完全液体摩擦状态。

油膜的形成与轴的转速及油压大小无关，从而使轴承在不同工作状态下获得稳定的液体润滑。

这种轴承承载能力大，回转精度高，工作平稳，抗振性好，大多用于高精度机械设备中。

液体静压轴承是借助液压系统把具有压力的液体送到轴和轴承的配合间隙中，利用液体静压力支承回转轴的一种滑动轴承，它由供油系统、节流器和轴承三部分组成。

节流器是液体静压滑动轴承的重要元件，常用的有两种型式：（1）固定节流器，其通流面积固定不变。

（2）可变节流器，其通流面积可按工作需要进行调整。

液体静压轴承(静压轴承)的工作原理如图所示。

一定压力p的压力油，经过4个节流器，其阻力分别为R G1、R G2、R G3、R G4，分别输入4个油腔即油腔1、油腔2、油腔3、油腔4，油腔压力分别为Pr1、Pr2、Pr3、Pr4。

有腔中的油又经过间隙h0流回油池。

当轴没有受到载荷时，如果4个节流器阻力相同，则4个油腔的压力也相同，即Pr1=Pr2=Pr3=Pr4，主轴被浮在轴承中心，其间被一层薄薄的油膜隔开，达到了良好的液体摩擦。

摩擦学润滑剂的粘度是决定润滑膜厚度的主要因素：流体动压润滑，润滑膜的厚度与润滑剂的粘度成正比；弹性流体动压润滑，润滑膜的厚度与润滑剂粘度的0.7次方成正比。

以点线接触的弹性流体动压润滑性能主要取决于润滑剂的流变性能。

根据润滑膜的形成原理和特征, 润滑状态可以分为: (1)流体动压润滑; ( 2 ) 流体静压润滑; ( 3 ) 弹性流体动压润滑(简称弹流润滑) ; (4) 薄膜润滑; (5)边界润滑; (6)干摩擦状态等6 种基本状态。

流体润滑。

包括流体动压润滑和流体静压润滑, 主要是应用粘性流体力学和传热学等来计算润滑膜的承载能力及其他力学特性。

在弹性流体动压润滑中, 由于载荷集中作用, 还要根据弹性力学分析接触表面的变形以及润滑剂的流变学性能。

对于边界润滑状态, 则是从物理化学的角度研究润滑膜的形成与破坏机理。

薄膜润滑兼有流体润滑和边界润滑的特性。

而干摩擦状态中, 主要的问题是限制磨损,它将涉及到材料科学、弹塑性力学、传热学、物理化学等内容。

流体粘度动力粘度：由于流体的粘滞性, 在相互滑动的各层之间将产生切应力即流体的内摩擦力, 由它们将运动传递到各相邻的流体层, 使流动较快的层减速, 而流动较慢的层加速,形成按一定规律变化的流速分布。

τ= ηγ其中,τ为切应力, 即单位面积上的摩擦力,τ= F/ A;γ为切应变率τ= ηd ud z式中, 比例常数η定义为流体的动力粘度，动力粘度是切应力与速度梯度之比。

在国际单位制( SI) 中, 它的单位为N·s/ m2 或写作Pa·s。

实践证明:在一般工况条件下的大多数润滑油特别是矿物油均属于牛顿流体性质。

运动粘度在工程中, 常常将流体的动力粘度η与其密度ρ的比值作为流体的粘度, 这一粘度称为运动粘度, 常用ν表示。

运动粘度的表达式为ν= η/ρ运动粘度在国际单位制中的单位用m2/ s。

非牛顿体在通常的使用条件下, 润滑油可以视为牛顿流体。

流场基本方程在静压和动静压轴承设计当中，为了计算油膜的承载能力，就需要计算油膜的压力分布。

而计算流体的流量，就需要计算油膜内的速度分布。

另外，需要计算轴承的摩擦阻力，那就要计算轴承面上的剪应力分布。

特别的，在轴高速转动时，进油温度和出油温度之间有温度差。

考虑到粘度和温度之间的耦合关系，若要准确计算油膜的压力分布，还需要计算轴承面上的温度分布。

轴承间隙中的润滑液体为黏性流体，根据动量、质量和能量守恒定律以及微元的力平衡条件，可以推导出纳维-斯托克斯方程（流体的动量方程）、连续方程、剪应力方程、能量方程和热传导方程。

再加上润滑液体的状态方程（粘温方程、粘压方程）、油膜的几何方程以及轴颈和轴承的变形方程，通过这些方程之间的联立，就可以求解流固耦合、粘温耦合下的油膜压力分布。

纳维-斯托克斯方程（Navier-Stokes）和雷诺方程（Reynolds）黏性流体运动方程是研究润滑流体的基本方程。

对于不可压缩的牛顿流体，其运动方程，即纳维-斯托克斯方程可以表示为公式1{ρdudt=ρX−ðpðx+μ∇2uρdvdt=ρY−ðpðy+μ∇2vρdwdt =ρZ−ðpðz+μ∇2w式中，u、v、w分别为流速沿x、y、z坐标轴方向的分量；X、Y、Z为单位质量的体力沿着x、y、z坐标轴方向的分量；p为油膜压力；ρ为液压油的密度；μ为液压油的粘度；对时间的全微分可以表示为ddt =ððt+uððx+vððy+wððz；定义拉普拉斯算子∇2=ð2ðx2+ð2ðx2+ð2ðz2。

等式的左侧项为微元体的惯性力，而等式的右侧项表示的是微元体的体力、压力和黏性剪切力。

将x-y-z坐标系下的纳维-斯托克斯方程展开后可以表示为：{ρdudt=ρX−ðpðx+μ(ð2uðx2+ð2uðy2+ð2uðz2)ρdvdt=ρY−ðpðy+μ(ð2vðx2+ð2vðy2+ð2vðz2)ρdwdt=ρZ−ðpðz+μ(ð2wðx2+ð2wðy2+ð2wðz2)对于有些流场（比如环形的止推轴承面或是展开后为部分圆环的圆锥轴承面），圆柱坐标下进行计算会变得更加容易些。