幂的运算_1-课件

第1课 有理数、幂的运算1.实数的分类例1下列说法中，错误的有 （ ） ①742-是负分数；②1.5不是整数；③非负有理数不包括0；④正整数、负整数统称为有理数；⑤0是最小的有理数；⑥3.14不是有理数。

A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个2.概念清晰：正数、负数、绝对值、相反数、数轴三要素（画数轴时注意点）、奇数、偶数、合数、质数、非负数、自然数、整数、正整数、负整数、近似数、有效数字 例2 下列说法正确的是 （ ）A 、符号不同的两个数互为相反数B 、一个有理数的相反数一定是负有理数C 、432与2.75都是411-的相反数 D 、0没有相反数例3 有理数a 、b 0-11ab则（ ）A ．a + b ＜0B ．a + b ＞0;C ．a －b = 0D ．a －b ＞0 3.科学记数法实数无理数(无限不循环小数)负整数 (有限或无限循环小数) 整数分数正无理数 负无理数实数负数整数 分数 无理数有理数正数整数分数无理数有理数根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n ，其中1≤|a|＜10，n 为整数， 表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值。

在确定n 的值时，看该数是大于或等于1 还是小于1－n 为它第一个有效数字前0例4 《广东省2009算总投资726 A ．107.2610⨯ 元 C ．110.72610⨯ 元例5 用科学记数法表示4.有理数的运算法则有理数加法法则 绝对值的加数的符号，并用较大的绝对值有理数的减法法则 有理数的乘法法则 有理数的除法法则 把绝对值 。

有理数的混合运算 先 ，注意：例6 （1） )2132(⨯-5.幂的运算即 （m 、n 相除，底数不变，指数相减，即即（n nn a a 1=-（a≠0，n 为正整数）。

例7 若m ·23＝26，则m 等于 A ．2 B ．例8 下列运算正确的是A ．x 2+ x 3 = x 5B ．x 4·x 2 = x 6C ．x 6÷x 2 = x 3D ．( x 2 )3 = x 8当堂反馈1.如果60m 表示“向北走60m”，那么“向南走40m”可以表示为 A ．－20m B ．－40m C ．20m D ．40m2.–5的绝对值是 （ ） A 、5 B 、–5 C 、51 D 、51- 3．已知a -=a ，则a 是 （ ）A 、正数B 、负数C 、负数或0D 、正数或04．用“>”连接032，，---正确的是 （ ）A 、032>-->-B 、302-->>-C 、023<-<--D 、203-<<--5．下列说法正确的是 （ ）A 、两个有理数相加，和一定大于每一个加数B 、异号两数相加，取较大数的符号C 、同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加D 、异号两数相加，用绝对值较大的数减去绝对值较小的数 6．两个互为相反数的数之积 （ ）A 、符号必为负B 、一定为非正数C 、一定为非负数D 、符号必为正7．下面说法正确的有( )① π的相反数是－3.14；②符号相反的数互为相反数；③ －（－3.83.8；④ 一个数和它的相反数不可能相等；⑤正数与负数互为相反数． Ａ．０个 Ｂ．１个 Ｃ．２个 Ｄ．３个 8.下列算式中，积为负数的是 （ ） A 、)5(0-⨯ B 、)10()5.0(4-⨯⨯ C 、)2()5.1(-⨯ D 、)32()51()2(-⨯-⨯-9.下列各组数中，相等的是（ ）A 、–1与（–4）+（–3）B 、3-与–（–3）C 、432与169 D 、2)4(-与–1610.l 米长的小棒，第1次截止一半，第2次截去剩下的一半，如此下去，第6次后剩下的小棒长为（ ）-3 A 、121 B 、321 C 、641 D 、128111.数轴上距离原点2.4个单位长度的点有 个，它们分别是 。

第1讲 幂的运算⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩同底数幂的乘法幂的乘方幂的运算积的乘方同底数幂的除法知识点1 同底数幂的乘法1．同底数幂的乘法（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．m n m n a a a +⋅=（m ，n 是正整数）（2）推广：m n p m n p a a a a ++⋅⋅=（m ，n ，p 都是正整数）在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如32与52，()322a b与()422a b ，()2x y -与()3x y -等；②a 可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．【典例】1.如果a 2n ﹣1•a n+2=a 7，则n 的值是____ 【答案】2【解析】解：∵a 2n ﹣1•a n+2=a 2n ﹣1+n+2=a 3n+1，a 2n ﹣1•a n+2=a 7， ∴ a 3n+1= a 7，∴3n+1=7，解得n=2．【方法总结】本题考查了同底数幂的乘法，熟记同底数幂相乘，底数不变指数相加是解题的关键．根据同底数幂的乘法的性质，底数不变，指数相加，确定积的次数，再列方程即可求得m的值．【随堂练习】1.如果等式x3•x m=x6成立，那么m=___【答案】3【解析】解：x3•x m=x3+m∵等式x3•x m=x6成立，x3•x m=x3+m∴x3+m=x6∴3+m=6，解得：m=3．【典例】1.已知a m=3，a n=6，a k=4，求a m+n+k的值．【答案】略．【解析】解：a m+n+k=a m•a n•a k∵a m=3，a n=6，a k=4，∴a m+n+k=a m•a n•a k=3×6×4=72．故a m+n+k的值为72．【方法总结】本题主要考查同底数幂的乘法法则逆用，熟练掌握性质并灵活运用是解题的关键，先根据同底数幂的乘法的运算法逆用，将a m+n+k变形为a m•a n•a k，然后将a m=3，a n=6，a k=4，代入a m•a n•a k，求解即可．【随堂练习】1. 若a m=6，a n=7，则a m+n的值是____【答案】42【解析】解：a m+n=a m•a n，∵a m=6，a n=7，∴a m+n=a m•a n=6×7=42，【典例】1.阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22013的值．解：设S=1+2+22+23+24+…+22012+22013①，将等式两边同时乘2得：2S=2+22+23+24+25+…+22013+22014②将②减去①得2S﹣S=22014﹣1即S=22014﹣1即1+2+22+23+24+…+22013=22014﹣1请你仿照此法计算：（1）1+2+22+23+24+…+210（2）1+3+32+33+34+…+3n（其中n为正整数）．【答案】（1）略；（2）略．【解析】解：（1）设S=1+2+22+23+24+…+210①，将等式两边同时乘2得：2S=2+22+23+24+…+210+211②，将②减去①得：2S﹣S=211﹣1，即S=211﹣1，则1+2+22+23+24+…+210=211﹣1；（2）设S=1+3+32+33+34+…+3n①，两边同时乘3得：3S=3+32+33+34+…+3n+3n+1②，②﹣①得：3S﹣S=3n+1﹣1，即S=（3n+1﹣1），则1+3+32+33+34+…+3n=（3n+1﹣1）．【方法总结】此题考查了同底数幂的乘法，弄清题中的技巧是解本题的关键．解答此题常用的方法是“a 倍的错位相减”即可求解．如：求1+a+a2+a3+a4+…+a n(a不等于0)的和．解：设S=1+a+a2+a3+a4+…+a n①，两边同时乘a得：aS=a+a2+a3+a4+…+a n+a n+1②，②﹣①得：aS﹣S=a n+1﹣1，即S=（a n+1﹣1），则1+a+a2+a3+a4+…+a n=（a n+1﹣1）．注意：将①式乘以a得到②式，然后运用②﹣①，就是运用“a倍的错位相减”法．【随堂练习】1.在求1+6+62+63+64+65+66+67+68+69的值时，小林发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的6倍，于是她设：S=1+6+62+63+64+65+66+67+68+69①然后在①式的两边都乘以6，得：6S=6+62+63+64+65+66+67+68+69+610②②﹣①得6S﹣S=610﹣1，即5S=610﹣1，所以S=，得出答案后，爱动脑筋的小林想：如果把“6”换成字母“a”（a≠0且a≠1），能否求出1+a+a2+a3+a4+…+a2014的值？你的答案是（）A. B. C. D.a2014﹣1【答案】B.【解析】解：设S=1+a+a2+a3+a4+…+a2014，①则aS=a+a2+a3+a4+…+a2014+a2015，②，②﹣①得：（a﹣1）S=a2015﹣1，∴S=，即1+a+a2+a3+a4+…+a2014=，故选：B知识点2 幂的乘方1．幂的乘方（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（a m）n=a mn（m，n是正整数）注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．【典例】1.若81x=312，则x=__________．【答案】3．【解析】解：81x=34x，∵81x=312，∴34x=312，即34x=312，∴4x=12，x=3，故答案为：3．【方法总结】本题考查了幂的乘方的应用，关键是把原式化成底数相同的形式．先根据幂的乘方法则把81x化成34x，即可得出4x=12，解方程即可求解．【随堂练习】1.若（x3）m=x12，则m的值为（）【答案】4【解析】解：∵（x3）m=x12，（x3）m=x3m，∴x3m= x12，∴3m=12，解得m=4．【典例】1.已知3x=a，3y=b，则32x+3y=_____【答案】a2b3【解析】解：∵32x+3y=32x•33y=（3x）2•（3y）3∴当3x=a，3y=b时，原式=（3x）2•（3y）3=a2b3，【方法总结】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，要熟练掌握幂的乘方法则(底数不变，指数相乘)和积的乘方法则(把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘)．将32x+3y转化为（3x）2•（3y）3是解答本题的关键．【随堂练习】1.已知a m=2，a n=，a2m+3n的值为____【答案】【解析】解：∵a2m+3n= a2m×a3n=（a m）2×（a n）3∴a2m+3n =（a m）2×（a n）3∵a m=2，a n=，∴a2m+3n=（a m）2×（a n）3=22×（）3=．【典例】1.比较3555，4444，5333的大小．【答案】略．【解析】解：∵3555=35×111=（35）111=243111，4444=44×111=（44）111=256111，5333=53×111=（53）111=125111，又∵256＞243＞125，∴256111＞243111＞125111，即4444＞3555＞5333．【方法总结】本题主要考查了幂的大小比较的方法．一般说来，比较几个幂的大小，可以把它们的底数变得相同，或者把它们的指数变得相同，再分别比较它们的指数或底数．【随堂练习】1.比较（27）4与（34）3的大小，可得（）A.（27）4=（34）3B.（27）4＞（34）3C.（27）4＜（34）3D.无法确定【答案】A.【解析】解：∵（27）4=（33）4=312，（34）3=312，∴（27）4=（34）3，故选：A知识点3 积的乘方1．积的乘方（1）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．（ab）n=a n•b n（n是正整数）注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．【典例】1.用简便方法计算下列各题：（1）（）2016×（﹣1.25）2017（2）（2）10×（﹣）10×（）11．【解析】解：（1）（）2016×（﹣1.25）2017=（）2016×（﹣）2017=（）2016×（﹣）2016×（﹣）=[×（﹣1.25）]2016×（﹣）=（）2016×（﹣）=﹣；（2）（2）10×（﹣）10×（）11=（）10×（﹣）10×（）11=（）10×（﹣）10×（）10×=[×（﹣）×]10×=．【方法总结】此题主要考查了积的乘方运算，利用底数转化法进行幂的运算是解题关键，如（1）中底数分别是和﹣，乘积正好是-1；如（2）中底数分别是、﹣、，乘积正是-1，-1的偶次幂是1，-1的奇次幂是-1，运算较为便捷．【随堂练习】1. 计算（﹣0.25）2013×42013的结果是_____【答案】-1【解析】解：原式=（﹣0.25×4）2013=（﹣1）2013=﹣1．【典例】1.（1）已知a n=3，b n=5，求（a2b）n的值；（2）若2n=3，3n=4，求36n．【解析】解：（1）∵（a2b）n=（a2）n• b n=a2×n•b n= （a n）2•b n；∴（a2b）n = （a n）2•b n∴（a2b）n = （a n）2•b n=32×5=45；（2）36n═（62）n=（6n）2=【（2×3）n】2=（2n×3n）2=（3×4）2=144．【方法总结】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，解题的关键是熟练掌握幂的乘方法则：底数不变，指数相乘和积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．如（1）中，需要将（a2b）n转变为（a n）2•b n，（2）中，需要将36n转变为（2n×3n）2．【随堂练习】1. 已知x n=2，y n=1；则（x2y）2n=（）【答案】16【解析】解：∵（x2y）2n = x2×2n•y2n=x4n•y2n=（x n）4•（y n）2∴（x2y）2n =（x n）4•（y n）2∴当x n=2，y n=3时，（x2y）2n =（x n）4•（y n）2=24×12=16×1=16，知识点4 同底数幂的除法1．同底数幂的除法同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．a m÷a n=a m﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）①底数a≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．2．零指数幂零指数幂：a0=1（a≠0）由a m÷a m=1，a m÷a m=a m﹣m=a0可推出a0=1（a≠0）注意：00无意义．3．负整数指数幂负整数指数幂：a﹣p=（a≠0，p为正整数）注意：①a≠0；②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2=（﹣3）×（﹣2）的错误．③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．【典例】1.（a+b+c）n+3÷（a+b+c）n﹣1=（）A.（a+b+c）2B.（a+b+c）4C.（a+b+c）2n+1D.a4+b4+c4【答案】B.【解析】解：（a+b+c）n+3÷（a+b+c）n﹣1=（a+b+c）n+3﹣n+1=（a+b+c）4．故选：B【方法总结】此题主要考查了同底数幂的乘除运算:底数不变，指数相减．【随堂练习】1. （x﹣y）n+3÷（x﹣y）n﹣1【答案】（x﹣y）4【解析】解：（x﹣y）n+3÷（x﹣y）n﹣1=（x﹣y）n+3﹣n+1=（x﹣y）4．【典例】1.若2018m=5，2018n=4，则20183m﹣2n等于____【答案】【解析】解：∵20183m﹣2n=20183m÷20182n=（2018m）3÷（2018n）2∴20183m﹣2n=（2018m）3÷（2018n）2∵2018m=5，2018n=4，∴20183m﹣2n=（2018m）3÷（2018n）2，=53÷42，=．【方法总结】本题考查同底数幂的除法、幂的乘方的性质，解答本题的关键是将20183m﹣2n转化成同底数幂的除法，即转化成20183m÷20182n的形式，再利用幂的乘方法则，将20183m，20182n 分别用（2018m）3、（2018n）2代换，即20183m÷20182n转化成为（2018m）3÷（2018n）2，然后将2018m=5，2018n=4代入（2018m）3÷（2018n）2即可求解．【随堂练习】1.若2x=20，2y=5，则2x﹣y的值为____【答案】4【解析】解：因为2x=20，2y=5，所以2x﹣y=2x÷2y=20÷5=．综合运用1.已知m a+b•m a﹣b=m12，则a的值为_________．【答案】6．【解析】解：∵m a+b•m a﹣b=m12，∴m a+b+a-b=m12，∴a+b+a-b=12即2a=12．解得：a=6．2.若102•10n﹣1=106，则n的值为_________．【答案】5．【解析】解：∵102•10n﹣1=106，∴102+n﹣1=106，∴2+n﹣1=6，解得n=5，故答案为：5．3.已知2a=5，2b=3，求2a+b+3的值．【答案】略．【解析】解：2a+b+3=2a×2b×23∵2a=5，2b=3，∴2a+b+3=2a×2b×23=5×3×8=120．4.已知2x+3y﹣2=0，求9x•27y的值．【答案】略．【解析】解：∵9x•27y=（32）x•（33）y=32x•33y=32x+3y∴9x•27y=32x+3y∵2x+3y﹣2=0，∴2x+3y=2，∴9x•27y=32x+3y=32=9．5.根据已知求值：（1）已知a m=2，a n=5，求a3m+2n的值；（2）已知3×9m×27m=321，求m的值．【答案】略．【解析】解：（1）∵a3m+2n=a3m•a2n=（a m）3•（a n）2 ∴a3m+2n =（a m）3•（a n）2；∵a m=2，a n=5，∴a3m+2n =（a m）3•（a n）2=23×52=200；（2）∵3×9m×27m=31×（32）m×（33）m=31×32m×33m=31+5m，∴3×9m×27m=31+5m，∵3×9m×27m=321，∴31+5m=321，∴1+5m=21，解得m=4．6.用简便方法计算下列各题（1）（）2015×（﹣1.25）2016．（2）（3）12×（）11×（﹣2）3．【答案】略．【解析】解：（1）===[]2015×（﹣）=﹣1×（﹣）=；（2）原式=×（）11×（）11×（﹣8）=（﹣）×（）11×（）11=﹣25×=﹣25．7.计算（1）（m﹣n）2•（n﹣m）3•（n﹣m）4（2）（b2n）3（b3）4n÷（b5）n+1（3）（a2）3﹣a3•a3+（2a3）2；【解析】解：（1）（m﹣n）2•（n﹣m）3•（n﹣m）4 =（n﹣m）2+3+4，=（n﹣m）9；（2）（b2n）3（b3）4n÷（b5）n+1=b2n×3•b3×4n÷b5×（n+1）=b6n•b12n÷b5n+5=b6n+12n÷b5n+5=b6n+12n﹣(5n+5)=b6n+12n﹣5n-5=b13n﹣5；（3）（a2）3﹣a3•a3+（2a3）2 =a2×3﹣a3+3+22•（a3）2=a2×3﹣a3+3+22•a3×2=a6﹣a6+4a6=4a6；。

第1讲 幂的运算1. 掌握正整数幂的运算性质（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法）；2. 能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算.知识点01同底数幂的乘法+⋅=m n m n a a a (其中,m n 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即mnpm n pa a a a++⋅⋅=（,,m n p 都是正整数）.（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。

即m nm n a a a +=⋅（,m n 都是正整数）.【知识拓展1】计算：（1）234444⨯⨯； （2）3452622a a a a a a ⋅+⋅-⋅；（3）11211()()()()()nn m n m x y x y x y x y x y +-+-+⋅+⋅+++⋅+．【即学即练1】计算：（1）5323(3)(3)⋅-⋅-； （2）221()()ppp x x x +⋅-⋅-（p 为正整数）；知识精讲目标导航（3）232(2)(2)n⨯-⋅-（n 为正整数）．【即学即练2】计算：(1)35(2)(2)(2)b b b +⋅+⋅+； (2)23(2)(2)x y y x -⋅- ．【知识拓展2】已知2220x +=，求2x 的值．知识点02幂的乘方()=m nmna a(其中,m n 都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.要点诠释：（1）公式的推广：(())=m n pmnpa a (0≠a ，,,m n p 均为正整数)（2）逆用公式： ()()nmmnm n a aa ==，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.【知识拓展1】计算：（1）2()m a ； （2）34[()]m -； （3）32()m a-．【即学即练1】计算：（1）23[()]a b --； （2）32235()()2y y y y +-；（3）22412()()m m x x -+⋅； （4）3234()()x x ⋅．【知识拓展2】已知25mx =，求6155m x -的值．【即学即练1】已知2a x =，3b x =．求32a bx +的值．【即学即练2】已知84=m ，85=n ，求328+m n的值．【即学即练3】已知435,25ab m n ==，请用含m 、n 的代数式表示43625a b +.【即学即练4】已知2139324n n ++=，求n 的值；【即学即练5】已知322,3m m a b ==，则()()()36322mm m ma b a b b +-⋅＝ ．知识点03积的乘方法则()=⋅n n n ab a b (其中n 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.要点诠释：（1）公式的推广：()=⋅⋅nnnnabc a b c (n 为正整数).（2）逆用公式：()nn na b ab =逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：1010101122 1.22⎛⎫⎛⎫⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【知识拓展1】指出下列各题计算是否正确，指出错误并说明原因：（1）22()ab ab =； （2）333(4)64ab a b =； （3）326(3)9x x -=-．【即学即练1】计算：（1）24(2)xy - （2）24333[()]a a b -⋅-【即学即练2】下列等式正确的个数是( )． ①()3236926x yx y -=- ②()326m m a a -= ③()36933a a =④()()57355107103510⨯⨯⨯=⨯ ⑤()()1001001010.520.522-⨯=-⨯⨯A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【知识拓展2】计算：1718191(3)(2)6⎛⎫-⨯-⨯- ⎪⎝⎭.知识点04 同底数幂的除法同底数幂的除法法则同底数幂相除，底数不变，指数相减，即mnm na a a-÷=（a ≠0，m n 、都是正整数，并且m n >）要点诠释：（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式. （3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质. （4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式. 零指数幂任何不等于0的数的0次幂都等于1.即01a =（a ≠0）要点诠释：底数a 不能为0，00无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式.【知识拓展1】计算：（1）83x x ÷； （2）3()a a -÷； （3）52(2)(2)xy xy ÷； （4）531133⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【即学即练1】计算下列各题：（1）5()()x y x y -÷- （2）125(52)(25)a b b a -÷-（3）6462(310)(310)⨯÷⨯ （4）3324[(2)][(2)]x y y x -÷-【知识拓展2】已知32m =，34n =，求129m n+-的值．【即学即练1】已知2552m m⨯=⨯，求m 的值．1.已知(-x )a +2⋅ x 2a ⋅ (-x )3= x 32 ， a 是正整数，求a 的值．2.已知n 为正整数，化简： (-x 2 )n+ (-x n )2．3.已知： 3x +1 ⋅ 2x - 3x ⋅ 2x +1 = 216 ，试求 x 的值．能力拓展4.已知35m =，45381m n -=，求201620151n n ⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭的值．5.如果整数x y z 、、满足151627168910xy z⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求2x y z y +-的值．6.已知()231x x +-=，求整数x ．题组A 基础过关练一、单选题1．（2022·全国·七年级）化简1x y +-（）的结果是（ ）A ．11x y --+B ．1xy C ．11x y+D ．1x y+ 2．（2022·全国·七年级）计算52x x ÷结果正确的是（ ）. A ．3B ．3xC ．10xD ．25x3．（2021·甘肃白银·七年级期末）花粉的质量很小，一粒某种植物花粉的质量约为0.000036mg ，那么0.000036mg 用科学记数法表示为（ ） A ．53.610mg -⨯ B ．63.610mg -⨯C ．73.610mg -⨯D ．83.610mg -⨯二、填空题4．（2022·黑龙江杜尔伯特·七年级期末）若am ＝10，an ＝6，则am +n ＝_____．分层提分5．（2022·全国·七年级）计算34x x x ⋅+的结果等于________． 6．（2022·黑龙江杜尔伯特·七年级期末）22013•（12）2012＝_____． 7．（2021·上海虹口·七年级期末）计算：23(3)a =_______．8．（2022·全国·七年级）若0(3)1x -=，则x 的取值范围是________． 9．（2022·全国·七年级）计算：0113()22-⨯+-=______．三、解答题10．（2022·全国·七年级）计算：（1）35(2)(2)(2)b b b +⋅+⋅+； （2）23(2)(2)x y y x -⋅- ．11．（2018·全国·七年级课时练习）1千克镭完全蜕变后，放出的热量相当于3.75×105千克煤放出的热量，据估计地壳里含1×1010千克镭，试问这些镭完全蜕变后放出的热量相当于多少千克煤放出的热量？12．（2020·浙江杭州·模拟预测）计算题（结果用幂的形式表示）：（1）2322⨯ （2）()32x （3）()()322533-⋅13．（2021·上海普陀·七年级期末）计算：2110213(2020)34π---⎛⎫⎛⎫⨯+-÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．题组B 能力提升练1．（2022·全国·七年级）计算：（1）234444⨯⨯； （2）3452622a a a a a a ⋅+⋅-⋅；（3）11211()()()()()n n m n m x y x y x y x y x y +-+-+⋅+⋅+++⋅+．2．（2021·上海市民办新竹园中学七年级期中）计算：121432413()()()922x z y z y x------÷-⋅-3．（2022·全国·七年级）规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作23，读作“2的3次商”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）4，读作“﹣3的4次商”，一般地，把n aa a a a÷÷÷÷个（a ≠0）记作an ，读作“a 的n 次商”．【初步探究】（1）直接写出计算结果：23＝ ，（﹣3）4＝ ； （2）关于除方，下列说法错误的是 ；A ．任何非零数的2次商都等于1；B ．对于任何正整数n ，（﹣1）n ＝﹣1；C ．34＝43；D ．负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数．【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？例如：2411112222222222⎛⎫=÷÷÷=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭．（3）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式．（﹣3）4＝ ；517⎛⎫⎪⎝⎭＝ ．（4）想一想：将一个非零有理数a 的n 次方商an 写成幂的形式等于 ． （5）算一算：2453111152344⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷-⨯-+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭= ．4．（2021·江苏·苏州市工业园区第一中学七年级阶段练习）已知10×102＝1000＝103， 102×102＝10000＝104， 102×103＝100000＝105．（1）猜想106×104＝ ，10m ×10n ＝ ．（m ，n 均为正整数） （2）运用上述猜想计算下列式子：①（1.5×104）×（1.2×105）； ②（﹣6.4×103）×（2×106）．5．（2022·全国·七年级）阅读，学习和解题． (1)阅读和学习下面的材料:学习以上解题思路和方法，然后完成下题: 比较34040，43030，52020的大小． (2)阅读和学习下面的材料:学习以上解题思路和方法，然后完成下题:已知am ＝2，an ＝3，求a 2m +3n 的值．(3)计算:(－16)505×(－0.5)2021．题组C 培优拔尖练一、单选题1．（2021·江苏·宜兴市实验中学七年级期中）计算100501111122222⋅⋅⋅-⋅⋅⋅个个其结果用幂的形式可表示为（ ） A ．25033333⋅⋅⋅个 B ．26033333⋅⋅⋅个 C ．27033333⋅⋅⋅个 D ．28033333⋅⋅⋅个2．（2022·全国·七年级）观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；…已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，若2100＝S ，用含S 的式子表示这组数据的和是（ ） A ．2S 2﹣SB ．2S 2+SC ．2S 2﹣2SD ．2S 2﹣2S ﹣2二、填空题3．（2019·浙江·温州市第二十三中学七年级期中）已知整数a b c d 、、、满足a b c d ＜＜＜且234510000a b c d =，则432a b c d +++的值为_____．4．（2021·北京八十中七年级期中）已知一列数：-2，4，-8，16，-32，64，-128，……，将这列数按如右图所示的规律排成一个数阵，其中，4在第一个拐弯处，-8在第二个拐弯处，-32在第三个拐弯处，-128在第四个拐弯处，……，则第六个拐弯处的数是________，第一百个拐弯处的数是___________．三、解答题5．（2019·甘肃·甘州中学七年级阶段练习）已知（﹣13xyz ）2M ＝13x 2n+2y n+3z 4÷5x 2n ﹣1y n+1z ，自然数x ，z 满足123x z -⋅＝72，且x ＝z ，求M 的值．6．（2021·全国·七年级专题练习）阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J ．Napier ，1550年-1617年），纳皮尔发明对数是在指数概念建立之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Euler ，1707年-1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若(0,1)x a N a a =≠＞，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =．比如指数式4216=可以转化为24log 16=，对数式52log 25=可以转化为2525=．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：a log(?)log M N M =+log (0,a 1,0,N 0)a N a M ≠＞＞＞．理由如下：设a log M m =，a log N n =，所以m M a =，n N a =，所以m n m n MN a a a +==，由对数的定义得a log ()m n M N +=+，又因为a log log a m n M N +=+，所以log ()log log a a a MN M N =+．解决以下问题： （1）将指数35125=转化为对数式： ．（2）仿照上面的材料，试证明：log log -log (0,1,0,0)a a a M M N a a M N N=≠＞＞＞ （3）拓展运用：计算333log 2log 18-log 4+= ．7．（2019·江苏·汇文实验初中七年级阶段练习）（1）填空：21﹣20＝______＝2(_____)22﹣21＝_____＝2(______)23﹣22＝______＝2(______)…（2）探索（1）中式子的规律，试写出第n 个等式，并说明第n 个等式成立； （3）计算20+21+22+ (22019)8．（2021·全国·七年级专题练习）观察下面三行单项式：x ，22x ，34x ，48x ，516x ，632x ，⋯；①2x -，24x ，38x -，416x ，532x -，664x ，⋯；②22x ，33x -，45x ，59x -，617x ，733x -，⋯；③根据你发现的规律，解答下列问题：（1）第①行的第8个单项式为_______；（2）第②行的第9个单项式为_______；第③行的第10个单项式为_______； （3）取每行的第9个单项式，令这三个单项式的和为A ．当12x =时，求15124A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．9．（2021·全国·七年级课时练习）探究：22﹣21=2×21﹣1×21=2( )23﹣22= =2( )，24﹣23= =2( )，……（1）请仔细观察，写出第4个等式；（2）请你找规律，写出第n 个等式；（3）计算：21+22+23+…+22019﹣22020．10．（2021·江苏连云港·七年级期中）阅读下列材料：小明为了计算22020202112222+++⋅⋅⋅++的值，采用以下方法：设22020202112222S +++⋅⋅⋅++=①则22021202222222S =++⋅⋅⋅++②②-①得，2022221S S S -==-．请仿照小明的方法解决以下问题：（1）220222++⋅⋅⋅+=______；（2）求2501111222+++⋅⋅⋅++=______； （3）求()()()2100222-+-+⋅⋅⋅+-的和；（请写出计算过程）（4）求2323n a a a na +++⋅⋅⋅+的和（其中0a ≠且1a ≠）．（请写出计算过程）。

七年级下册数学幂的运算一、幂的运算知识点。

1. 同底数幂的乘法。

- 法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

即a^m· a^n = a^m + n（a≠0，m、n为整数）。

- 例如：2^3×2^4 = 2^3 + 4=2^7 = 128。

- 推导：a^m表示m个a相乘，a^n表示n个a相乘，那么a^m· a^n就是(m + n)个a相乘，所以结果为a^m + n。

2. 幂的乘方。

- 法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。

即(a^m)^n=a^mn（a≠0，m、n为整数）。

- 例如：(3^2)^3 = 3^2×3=3^6 = 729。

- 推导：(a^m)^n表示n个a^m相乘，a^m中有m个a相乘，那么n个a^m相乘就有mn个a相乘，所以结果为a^mn。

3. 积的乘方。

- 法则：积的乘方等于乘方的积。

即(ab)^n=a^n b^n（a≠0，b≠0，n为整数）。

- 例如：(2×3)^2 = 2^2×3^2=4×9 = 36。

- 推导：(ab)^n=⏟(ab)×(ab)×·s×(ab)_n个(ab)=⏟(a× a×·s× a)_n个a×⏟(b× b×·s×b)_n个b=a^n b^n。

4. 同底数幂的除法。

- 法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减。

即a^m÷ a^n = a^m - n（a≠0，m、n为整数且m>n）。

- 例如：5^5÷5^3 = 5^5 - 3=5^2 = 25。

- 特殊情况：当m = n时，a^m÷ a^n=a^m - n=a^0，规定a^0 = 1(a≠0)；当m < n时，a^m÷ a^n=(1)/(a^n - m)。

二、典型例题。

第一讲：幂的运算1、掌握正整数幂的乘法运算性质（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方，幂的除法）；2、能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算.同底数幂的乘法性质(其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.注意事项（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏.【例1】计算：（1）()()()a a a -⋅-⋅-34（2）()5322m m m +-⋅-（3）()()6235332x x x x x x ⋅-+-⋅+⋅ （4）；（5） ．+⋅=m n m n a a a ,mn 35(2)(2)(2)b b b +⋅+⋅+23(2)(2)x y y x -⋅-幂的乘方法则(其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.【例1】计算：（1）； （2）；（3）； （4）．【例2】已知282+=y x ，939-=x y ,求x+2y 的值．【例3】已知，则＝ ．积的乘方法则(其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.()=m n mn a a ,mn 23[()]a b --32235()()2y y y y +-22412()()m m x x -+⋅3234()()x x ⋅322,3mm ab ==()()()36322mm m m a b a b b +-⋅()=⋅n n n ab a bn【例1】计算：（1） （2） 【例2】下列等式正确的个数是( )． ① ② ③④ ⑤A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 【例3】已知22=mx ，求()()22332n m x x -的值.同底数幂的除法法则同底数幂相除，底数不变，指数相减，即mnm na a a-÷=（a ≠0，m n 、都是正整数，并且m n >）【例1】计算：（1）83x x ÷ （2）3()a a -÷ （3）52(2)(2)xy xy ÷ （4）531133⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【例2】计算下列各题：（1）5()()x y x y -÷- （2）125(52)(25)a b b a -÷-（3）6462(310)(310)⨯÷⨯ （4）3324[(2)][(2)]x y y x -÷-24(2)xy -24333[()]a a b -⋅-()3236926x yx y -=-()326m m a a -=()36933a a =()()57355107103510⨯⨯⨯=⨯()()1001001010.520.522-⨯=-⨯⨯【例3】已知32m =，34n =，求129m n+-的值．【变式】已知以m a =2，n a =4，k a =32．则32m n ka+-的值为 ．零指数幂任何不等于0的数的0次幂都等于1.即01a =（a ≠0） 负整数指数幂任何不等于零的数的n -（n 为正整数）次幂，等于这个数的n 次幂的倒数，即1nn a a-=（a ≠0，n 是正整数）.【例1】计算：（1）223-⎛⎫- ⎪⎝⎭； （2）23131()()a b a b ab ---÷．【例2】计算：4513012222( 3.14)2π----⎛⎫++⨯⨯+- ⎪⎝⎭．【例3】 已知1327m=，1162n⎛⎫= ⎪⎝⎭，则nm 的值＝________．负整数指数幂任何不等于零的数的n -（n 为正整数）次幂，等于这个数的n 次幂的倒数，即1nna a -=（a ≠0，n 是正整数）.【例1】用科学记数法：3×410-= ．（写成小数形式）【例2】把0.00000002写成如（2）的科学记数法10na ⨯的形式是： ．一、选择题 1、的结果是( )．A.0B.C.D.2、将201)3(,)2(,)61(---这三个数按从小到大的顺序排列为（）A ．21)3()61()2(-<<-- B ．201)3()2()61(-<-<-C ．102)61()2()3(-<-<-D ．120)61()3()2(-<-<-3、下列计算中，错误的个数是( )． ① ② ③④ ⑤A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个 4、下列计算中正确的是( )． A.212a a xx x ++÷=B.()()6322xy xy x y ÷=C.()12529x x x x ÷÷=D.()42332n nn n x xx x +÷=()()2552aa -+-72a -102a 102a -()23636xx =()2551010525a b a b -=-3328()327x x -=-()42367381x yx y =235x x x ⋅=二.填空题1、化简：(1)＝_______；(2)＝_______．2、若，则＝______．3、()()532aa -÷-=__________,201079273÷÷=__________,02139⎛⎫+= ⎪⎝⎭______.4、一种细菌的半径为0.0004m ，用科学记数法表示为______m .5、已知a=255，b=344，c=433，d=522，则这四个数从大到小排列顺序是 ． 三.解答题1、若，求的值．2、先化简，后求值：()()23424211212a b a b ab----⎛⎫--÷ ⎪⎝⎭，其中23a b ==-，.33331)31(b a ab +-()()322223aa a +⋅2,3nna b ==6n2530x y +-=432xy⋅一.选择题 1、的值是( )．A. B.C.D.2、下列计算正确的是( )．A.B. C.D.3、下列计算中正确的是( )． A.212a a xx x ++÷=B.()()6322xy xy x y ÷=C.()12529x x x x ÷÷=D.()42332n nn n x xx x +÷= 4、近似数0.33万表示为（ ） A ．3.3×210- B ．3.3000×310C ．3.3×310D ．0.33×4105、若成立，则( )．A. ＝6，＝12B. ＝3，＝12C. ＝3，＝5D. ＝6，＝5二.填空题 1、若，则＝_______．2、若，则＝______；若，则＝______．3、______； ______； ＝______．4、=-+-01)π()21(______，()011 3.142--++＝______．5、()3223a b-＝______，()22a b---＝______．6、若n 是正整数，且，则＝__________.三.解答题2nn a a +⋅3n a+()2n n a+22n a+8a ()33xy xy =()222455xyx y -=-()22439xx -=-()323628xyx y -=-()391528m n a ba b =m n m n m n m n ()319xaa a ⋅=x 38ma a a ⋅=m 31381x +=x ()322⎡⎤-=⎣⎦()33n ⎡⎤-=⎣⎦()523-210na =3222()8()n n a a --1、（1）若，求的值． （2）若，求、的值．2、已知2x =3，2y=5．求： （1）2x y+的值； （2）yx -2的值； （3）212x y +-的值．3335n n x x x +⋅=n ()3915n m a b b a b ⋅⋅=m n。