统计学
—从数据到结论
第五章总体参数的估计
估计就是根据你拥有的信息来对现实世界进行某种判断。
你可以根据一个人的衣着、言谈和举止判断其身份
你可以根据一个人的脸色，猜出其心情和身体状况
统计中的估计也不例外，它是完全根据数据做出的。
如果我们想知道北京人认可某饮料的比例，人们只有在北京人中进行抽样调查以得到样本，并用样本中认可该饮料的比例来估计真实的比例。
从不同的样本得到的结论也不会完全一样。虽然真实的比例在这种抽样过程中永远也不知道；但可以知道估计出来的比例和真实的比例大致差多少。
从数据得到关于现实世界的结论的过程就叫做统计推断(statistical
inference)。
上面调查例子是估计总体参数（某种意见的比例）的一个过程。
估计(estimation)是统计推断的重要内容之一。
统计推断的另一个主要内容是下一章要引进的假设检验(hypothesis
testing)。
§5.1 用估计量估计总体参数
人们往往先假定某数据来自一个特定的总体族（比如正态分布族）。
而要确定是总体族的哪个成员则需要知道总体参数值（比如总体均值和总体方差）。
人们于是可以用相应的样本统计量（比如样本均值和样本方差）来估计相应的总体参数
§5.1 用估计量估计总体参数
一些常见的涉及总体的参数包括总体均值(m)、总体标准差(s)或方差(s2)和(Bernoulli试验中)成功概率p等（总体中含有某种特征的个体之比例）。
正态分布族中的成员被（总体）均值和标准差完全确定； Bernoulli分布族的成员被概率（或比例）p完全决定。
因此如果能够对这些参数进行估计，总体分布也就估计出来了。
§5.1 用估计量估计总体参数
估计的根据为总体抽取的样本。
样本的（不包含未知总体参数的）函数称为统计量；而用于估计的统计量称为估计量(estimator)。
由于一个统计量对于不同的样本取值不同，所以，估计量也是随机变量，并有其分布。
统计的两个基本原理是什么
统计学是一门研究如何收集、汇总、分析和解释数据的科学。统计的两个基本原理是：总体与样本的关系原理和概率与推断的原理。
首先，总体与样本的关系原理是统计学的基石之一。总体是我们感兴趣的整个群体，而样本是从总体中抽取出的代表性子集。总体与样本的关系原理告诉我们，通过对样本进行观察和研究，可以得出关于总体的结论。因为总体往往庞大复杂，难以直接观察和测量，所以我们通过对样本的观察，利用概率和推断方法来推断总体的特征和规律。
其次，概率与推断的原理是应用统计学的另一个基本原理。概率是对不确定性的量化描述，是统计学中的基本概念之一。推断是从已知样本中推断总体特征和规律的过程。统计推断的基础是根据概率模型建立统计推断的方法。通过对样本的观察，利用概率模型和统计方法，我们可以对总体的未知特征和规律进行推断。
具体来说，概率与推断的原理包括以下几个方面：
1.概率模型：概率模型是用来描述总体的概率分布的数学模型。概率分布是对总体中各个取值的概率进行描述的数学函数。常见的概率分布包括正态分布、泊松分布、二项分布等。通过建立适合总体的概率模型，我们可以推断总体的分布特征和参数。
2.概率统计：概率统计是建立在概率模型基础上的统计方法。它通过对样本的观察，利用概率模型进行统计推断。概率统计方法包括参数估计和假设检验两个主要方面。参数估计是根据样本数据对总体的未知参数进行点估计或区间估计。假设检验是根据样本数据来判断总体的某个假设是否成立。
3.统计推断：统计推断是根据样本数据对总体进行推断的过程。在统计推断中，我们从样本数据中获得统计量，并利用概率模型对统计量进行分析，得出关于总体的结论。统计推断分为点估计和区间估计。点估计是通过样本估计总体的未知参数的一个具体值。区间估计是通过样本给出总体参数的一个范围。
4.抽样理论：抽样理论是研究如何从总体中选取样本的原理。在实际应用中，我们往往无法对总体进行完全观察，只能通过对样本的观察来推断总体的特征和规律。抽样理论研究如何选取具有代表性的样本，并通过样本对总体进行推断。
6. 参数估计
6.1. 参数估计概述
统计学包括四个方面的问题，其中之一就是统计推断。所谓统计推断就是指，如果有一个总体，其分布和统计量都不知道，如一批生产出来的产品的质量。这样就需要对其进行推断，如一批灯泡的平均使用寿命是多少，是否为合格品等。统计推断就是解决这些问题。统计推断分为两个方面，一方面是参数估计，另一方面是假设检验。
6.1.1.参数估计
所谓参数估计就是通过对样本的研究，来确定总体的统计量。其中又可分为点估计和区间估计两类。
点估计就是估计出总体的某一统计量的确切值，如总体的均值、方差等。通常可以通过样本的相应值来进行估计。如：
样本的平均值iXnx1是总体平均值的估计量；
样本的方差为niixxns122)(11是总体方差的估计量；
点估计的优点在于它能明确地给出所估计的参数。但是一般说来，估计的数值与实际值之间是肯定会有误差存在的。在实际工作中常常需要对这种误差进行衡量，也就是说还需要确定这个估计值的精度，或误差范围和可信程度。因此就产生了区间估计的问题。
区间估计是通过样本来估计总体参数可能位于的区间。例如说一批产品的平均使用寿命为1000小时，这仅仅是一个点估计，还需要说明大多数产品（95%）的使用寿命的上限和下限值，比如说位于800~1200小时之间，这就是一个区间估计值。因此，在进行区间估计时，除了要给出一个区间值外，还需要同时指明可以信赖的程度，即在进行区间估计时，需要确定的是1)ˆˆ(21p，其中α为事先给定的一个很小的正数，如0.10, 0.05,
0.01或0.001等，称之为显著水平；1-α称为参数θ的置信概率，或置信水平。θ1和θ2为所估计的参数θ的区间范围的上下限。其含为我们有100（1-α）%的把握相信所估计的参数θ位于θ1和θ2的区间范围内。
6.1.2.估计量的评价标准
对于所给出的估计来说，有些是好的，有些则不是。如，我们可以用x作为总体均值μ的估计，也可以用100x作为总体均值μ的估计。但是显然用x作为总体均值μ的估计比用100x作为总体均值μ的估计要好。因为， E（x）=μ，
总体参数的区间估计公式
在进行区间估计时，我们首先需要收集到一个样本，并根据样本对总体参数进行估计。然后根据样本的统计量，结合分布的性质和抽样方法，建立置信区间。
设总体参数为θ，我们希望得到它的置信水平为1-α的置信区间。置信水平表示我们对总体参数的估计的可信程度，一般常用的置信水平有90%、95%和99%等。
参数估计的方法有很多，具体的方法选择取决于总体参数的性质、样本的大小以及其他假设条件。常见的参数估计方法有：
1.总体均值的区间估计：假设总体呈正态分布，样本大小为n，则总体均值的区间估计公式为：
[样本均值-Z值（α/2）*总体标准差/√(n),样本均值+Z值（α/2）*总体标准差/√(n)]
其中Z值（α/2）为标准正态分布的分位数，可以从标准正态分布表中查得。
2.总体比例的区间估计：假设总体为二项分布，样本大小为n，成功的次数为x，则总体比例的区间估计公式为：
[样本比例-Z值（α/2）*√(样本比例*(1-样本比例)/n),样本比例+Z值（α/2）*√(样本比例*(1-样本比例)/n)]
其中Z值（α/2）为标准正态分布的分位数，可以从标准正态分布表中查得。 3.总体方差的区间估计：假设总体呈正态分布，样本大小为n，则总体方差的区间估计公式为：
[(n-1)*样本方差/卡方分布（α/2）,(n-1)*样本方差/卡方分布（1-α/2])]
其中卡方分布是用于描述自由度为n-1的卡方随机变量的概率分布，可以从卡方分布表中查得。
以上是常见的总体参数区间估计公式，这些公式是根据统计学理论推导而来的，适用于不同情况下的参数估计。在实际应用中，我们根据具体问题和假设条件选择适当的参数估计方法，计算置信水平的区间估计，从而对总体参数进行估计和推断。
