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抽样方法与总体的估计

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第59讲 抽样方法与总体的估计

基础梳理

1．简单随机抽样

一般地，从个体数为N的总体中逐个不放回地取出n个个体作为样本(n

2．系统抽样

将总体平均分成几个部分，然后按照一定的规则，从每个部分中抽取一个个体作为样本，这样的抽样方法称为系统抽样．

3．分层抽样

将总体中的个体按不同的特点分成层次比较分明的几部分，然后按各部分在总体中所占的比实施抽样，这种抽样方法叫分层抽样，所分成的各个部分称为“层”．

4．频率分布直方图

(1)通常我们对总体作出的估计一般分成两种，一种是用样本的频率分布估计总体的分布，另一种是用样本的数字特征估计总体的数字特征．

(2)在频率分布直方图中，纵轴表示频率组距，数据落在各小组内的频率用各小长方形的面积表示．各小长方形的面积总和等于1．

(3)连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图，随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑的曲线，统计中称之为总体分布的密度曲线，它能够更加精细的反映出总体在各个范围内取值的百分比．

(4)当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它不但可以保留所有信息，而且可以随时记录，给数据的记录和表示都带来方便．

5．用样本的数字特征估计总体的数字特征

(1)众数、中位数、平均数

众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．

中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数． 平均数：样本数据的算术平均数，即x－＝1n(x1＋x2＋…＋xn)．

在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等．

(2)样本方差、标准差

标准差s＝ 1n[（x1－x－）2＋（x2－x－）2＋…＋（xn－x－）2]，

其中xn是样本数据的第n项，n是样本容量，x－是平均数．

标准差是反映总体波动大小的特征数，样本方差是标准差的平方．通常用样本方差估计总体方差，当样本容量接近总体容量时，样本方差很接近总体方差．

三个特点

(1)简单随机抽样的特点：总体中的个体性质相似，无明显层次；总体容量较小，尤其是样本容量较小；用简单随机抽样法抽出的个体带有随机性，个体间无固定间距．

(2)系统抽样的特点：适用于元素个数很多且均衡的总体；各个个体被抽到的机会均等；总体分组后，在起始部分抽样时，采用简单随机抽样．

(3)分层抽样的特点：适用于总体由差异明显的几部分组成的情况；分层后，在每一层抽样时可采用简单随机抽样或系统抽样．

对标准差与方差的理解

标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，标准差、方差越小，数据的离散程度越小，因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差．

考向一 抽样方法

【例1】►某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况，从他们中抽取容量为36的样本，最适合抽取样本的方法是____抽样．

【训练1】 某商场共有某品牌的奶粉210件，全部为三个批次的产品，其中A，B，C三个批次的产品数量成等差数列，现用分层抽样的方法抽取一个容量为60的样本，则应从B批次产品中抽取的数量为________件．

考向二 频率分布直方图

【例2】►某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽出60名学生，将其物理成绩(均为整数)分成六段[40，50)，[50，60)，…，[90，100]后得到如图所示的频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：

(1)求分数在[70，80)内的频率，并补全这个频率分布直方图；

(2)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试中的平均分．

2011·四川卷)有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11.5，15.5)，2；[15.5，19.5)，4；[19.5，23.5)，9；[23.5，27.5)，18；[27.5，31.5)，11；[31.5，35.5)，12；[35.5，39.5)，7；[39.5，43.5)，3.根据样本的频率分布估计，数据落在[31.5，43.5)的概率约是________

【训练2】 (2011·南京模拟)如图是样本容量为200的频率分布直方图，根据样本的频率分布直方图，估计样本数据落在[6，10]内的频数为________．

考向三 均值与方差

【例3】►(2011·苏北四市调研)从某项综合能力测试中抽取10人的成绩，统计如下表，则这10人成绩的方差为________.

分数 55 44 33 22 11

人数 33 11 11 33 22

7．如图是根据2008年北京奥运会上甲、乙两名篮球运动员每场比赛的得分情况制作成的茎

叶图，则甲、乙两名运动员中发挥得比较稳定的一名运动员是________．

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审计总体抽样与估计初探

审计总体抽样与估计初探

审计观察Ｉ　ＡＵＤＩＴ　ＰＥＲＳＰＥＣＴＩＶＥ　

审计总体抽样与估计初探　

广西财经学院胡桂华　

一、审计总体抽样与模型构建　

在审计工作中，经常会出现由账面金额已知的发票构成的审　计总体。发票账面金额分布大多是右偏分布，即账面金额大的发票　

的频率较小，而账面金额小的发票的频率较大，表现为一条向右逐　

渐递减的曲线。每张发票都有与账面金额相对应的合法金额。　

（一）审计总体抽样本文研究一个特殊的审计总体：按是否　

合法，将发票分为两类：合法类和违法类。如果某一张发票属于合　

法类，其合法金额便以概率Ｐ等于其账面金额；如果某一张发票属　

于违法类，其合法金额以概率（１－ｐ）为零。这里的概率Ｐ理论上　

等于审计总体发票合法总额与发票账面总额的比率。由于采用抽　

样调查而不是全面调查，所以Ｐ无法直接得到，只能估计，其估计　

量用ｐ表示。一般是采用从审计总体抽取若干样本的方法估计，分　

两步进行，第一步，计算每个样本的发票合法金额与发票账面金额　

的比率｝（＝　）；第二步，计算这些样本比率的数学期望得到　

（＝Ｅｆ）。这里的Ｅ为数学期望的符号。审计目标是通过抽样估计　

该总体发票真实合法总额。通常是使用简单估计量、比率估计量或　

联合比率估计量进行估计。　

（二）总体模型构建为更好地反映总体的分布特征，假设合　法发票和违法发票在容量为Ｎ的总体中随机分布。用ｘｉ表示发票　

的账面金额，ｙｉ为发票ｉ未知的合法金额，发票ｉ为合法发票的概　

率用Ｐ表示。罗伯特斯（Ｒｏｂｅｒｔｓ，１９７８年）将该总体的Ｎ个单位写　

成以下形式，即　ｒｘｉ’发票ｉ以概率Ｐ为合法发票　

ｌ０，发票ｉ以概率（１－ｐ）为违法发票，ｉ－１，２，３，…，Ｎ（１）。　

公式（１）为审计总体Ｎ个单位的限制条件。在简单随机抽样下，　

简单估计量为￣／＝Ｎｙ（２），比率估计量为ＹＲ＝ＲＸ（３），其中，Ｒ＝（　

），　＝ｆ∑ｙ／ｎ）和ｉ＝ｆ∑ｘ／ｎ　Ｏ它们的方差分别为：Ｖ　）＝Ｎ｛｛Ｎ／　、ｉ＝Ｉ　／　＼ｉ：１　

第53讲 抽样方法、用样本估计总体与正态分布

第53讲 抽样方法、用样本估计总体与正态分布

2013年高考第一轮复习资—理科数学

1

第53讲 抽样方法、用样品估计总体与正态分布

【考点解读】

1．了解抽样方法、用样品估计总体的意义。 2．了解正态分布的意义及主要性质．

【知识扫描】

1．利用简单随机抽样方法从总体中抽取样本,了解分层抽样和系统抽样的方法.

（1）一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本（n≤N）,如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样。

（2）一般地，要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样的方法叫做系统抽样。

（3）当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本更客观地反映总体的情况，常将总体按不同的特点分成层次比较分明的几部分，然后按各部分在总体中所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，其中所分成的各部分叫“层”．

2．（1）用样本的频率分布估计总体的分布：频率分布表、频率分布直方图、频率折线图、茎叶图

（2）用样本的数字特征估计总体的特征：平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差

3.正态分布

(1)如果随机变量ξ的概率密度为

φμ,σ(x)= x∈(-∞,+∞)

其中μ、σ分别表示总体的平均数与标准差，称ξ服从参数为μ、σ的正态分布，记作ξ～N(μ,σ2),函数图象称为正态密度曲线，简称正态曲线.

φμ,σ(x)dx，则称ξ的分一般的，如果对于任何实数a

布为正态分布

(2)标准正态分布

在正态分布中,当μ=0,σ=1时,正态总体称为标准正态总体，正态分布N(0,1)，称为标准正态分布，记作ξ～N(0,1).

抽样方法与总体分布的估计

抽样方法与总体分布的估计

第一节 抽样方法与总体分布的估计

1.抽样方法：

例1.对于简单随机抽样，个体被抽到的机会（ ）

A．相等 B．不相等 C．不确定 D．与抽样次数有关

演变1.用随机数法从100名学生(男生25人)中抽取20人进行某项活动，某男生被抽到的几率是（ ）

A．1100 B．125 C．15 D．14

演变2.一个总体含有150个个体，用简单随机抽样方法从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为________．

例2.一个年级有12个班，每个班有50名学生，随机编号为1～50，为了了解他们在课外的兴趣，要求每班第40号同学留下来进行问卷调查，这里运用的抽样方法是（ ）

A．分层抽样 B．抽签法 C．随机数表法 D．系统抽样法

演变1.为了调查某产品的销售情况，销售部门从下属的92家销售连锁店中抽取30家了解情况，若用系统抽样法，则抽样间隔和随机剔除的个体数分别为（ ）

A． 3，2 B．2，3 C． 2，30 D． 30，2

例3.从N个编号中要抽取n个号码入样，若采用系统抽样方法抽取，则分段间隔应为（ ）

A．Nn B．n C．Nn D．1Nn

演变1.为了解1200名学生对学校教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔k为（ ）

A．40 B．30 C．20 D．12

例4.某校高一、高二、高三，三个年级的学生人数分别为1500人，1200人和1000人，现采用按年级分层抽样法了解学生的视力状况，已知在高一年级抽查了75人，则这次调查三个年级共抽查了__________人。

演变1.某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2 ：3 ：5，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件，那么此样本的容量n

随机抽样与用样本估计总体

随机抽样与用样本估计总体

随机抽样是研究如何合理收集数据，而用样本估计总体则是研究如何整理与分析数　

据，从样本的数据特征来了解整体的情况，由于样本的随机性，所以可以透过部分看整　

体．在学习这一部分知识时．要通过实际问题情境，学习随机抽样、样本估计总体的基本　

方法，体会用样本估计总体及其特征的思想；通过解决实际问题，较为系统地经历数据收　

集与处理的全过程．体会统计思维与确定性思维的差异．由于抽样方法与用样本估计总　

体所体现的统计思想是一种重要的思想方法，所以这部分成为高考每年必考的内容．　

随机抽样与用　体　

………………．…………．　瓣　东莞教研室王健　

■■　“　

随机抽样与用样本估计总体要　

求在解决统计问题的过程中，用随　

机抽样方法从总体中抽取样本，进　

一步体会用样本估计总体的思想．　

会用样本的频率分布估计总体分　

布，会用样本的基本数字特征估计　总体的基本数字特征：初步体会样　

本频率分布和数字特征的随机性．　

在历年高考中。该部分知识在　选择题、填空题和解答题中都有出现，　

考查的方向主要有抽样方法的选　择，绘制、识别频率分布表和频率分　

布直方图、频率折线图、茎叶图，并　

能应用这些图表解决一些简单实际　问题．　重点：掌握抽样方法的特点及　

它们之间的区别与联系，面对实际　问题能合理选择抽样方法抽取样　本；绘制频率分布表和频率分布直　

方图、频率折线图、茎叶图．会计算　

方差和标准差。并能计算样本平均　数，还能进一步解释这些统计数据　

的实际意义．　难点：实际问题中抽样方案的　

确定；频率分布表和频率分布直　

方图的理解与应用，如计算平均　数等．　

１．随机抽样与用样本估计总体　的基本思路　（１）简单随机抽样的特点：总体　

中个体性质相似，无明显层次；总体　容量较小，尤其是样本容量较小：用　简单随机抽样方法抽出的个体带有　

随机性，个体间无固定间距．　

系统抽样的特点：适用于元素个　

数很多且均衡的总体，各个个体被　抽到的机会均等：总体分组后。在起　

始部分抽样时．采用简单随机抽样．