第三章 中值定理与导数的应用
§3. 1 中值定理 一、罗尔定理 费马引理
设函数f (x )在点x 0的某邻域U (x 0)内有定义, 并且在x 0处可导, 如果对任意x ∈U (x 0), 有 f (x )≤f (x 0) (或f (x )≥f (x 0)), 那么f '(x 0)=0.
罗尔定理 如果函数)(x f 满足：（1）在闭区间],[b a 上连续, （2）在开区间),(b a 内可导, （3）在区间端点处的函数值相等，即)()(b f a f =, 那么在),(b a 内至少在一点
)(b a <<ξξ , 使得函数)(x f 在该点的导数等于零，即0)('=ξf .
例:设函数)(x f 在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，0)1(=f ，证明：在(0,1)内存在ξ，使得ξ
ξξ)
()(f f -
='．
【分析】本题的难点是构造辅助函数，可如下分析：
()0)(0)()(0)()()
()(='
→='+→='+→-
='x xf x f x x f f f f f ξξξξ
ξξ
【证明】令)()(x xf x G =，则)(x G 在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，且
0)1(1G (1
)0,0)(0)0(====f f G ,)()()(x f x x f x G '+=' 由罗尔中值定理知，存在)1,0(∈ξ，使得)()()(ξξξξf f G '+='．即ξ
ξξ)
()(f f -
='
例：设函数f (x ), g (x )在[a , b ]上连续，在(a , b )内具有二阶导数且存在相等的最大值，f (a )=g (a ), f (b )=g (b ), 证明：存在(,)a b ξ∈，使得()().f g ξξ''''=
【分析】需要证明的结论与导数有关，自然联想到用微分中值定理，事实上，若令
()()()F x f x g x =-，则问题转化为证明()0F ξ''=, 只需对()F x '用罗尔定理，关键是
找到()F x '的端点函数值相等的区间(特别是两个一阶导数同时为零的点)，而利用F (a )=F (b )=0, 若能再找一点(,)c a b ∈，使得()0F c =，则在区间[,],[,]a c c b 上两次利用罗尔定理有一阶导函数相等的两点，再对()F x '用罗尔定理即可。
【证明】构造辅助函数()()()F x f x g x =-，由题设有F (a )=F (b )=0. 又f (x ), g (x )在(a , b )内具有相等的最大值, 不妨设存在21x x ≤, ),(,21b a x x ∈使得
12[,]
[,]
()max (),()max ()a b a b f x M f x g x M g x ====，
若21x x =，令1x c =, 则()0.F c =
若21x x <，因111222()()()0,()()()0F x f x g x F x f x g x =-≥=-≤，从而存在
12[,](,)c x x a b ∈?，使()0.F c =
在区间[,],[,]a c c b 上分别利用罗尔定理知，存在12(,),(,)a c c b ξξ∈∈，使得
12()()0F F ξξ''==. 再对()F x '在区间12[,]ξξ上应用罗尔定理，知存在
12(,)(,)a b ξξξ∈?，有()0F ξ''=， 即 ()().f g ξξ
''''= 二、拉格朗日中值定理
拉格朗日中值定理 如果函数)(x f 满足（1）在闭区间],[b a 上连续, （2）在开区间),(b a 内可导, 那么在),(b a 内至少有一点)(b a <<ξξ, 使得等式
))(()()('a b f a f b f -=-ξ
例:. 证明当x >0时,
x x x
x <+<+)1ln(1. 证 设f (x )=ln(1+x ), 显然f (x )在区间[0, x ]上满足拉格朗日中值定理的条件, 根据定理, 就有 f (x )-f (0)=f '(ξ)(x -0), 0<ξ 由于f (0)=0, x x f +='11)(, 因此上式即为 ξ+=+1)1l n (x x . 高等数学教案 §3 中值定理与导数的应用 又由0<ξ x x x x <+<+)1l n (1. 例 证明：当0 a b a a b a -< <-ln 【分析】即证： b b a b a a 1 ln ln 1<--< 【证明】令],[,ln )(a b x x x f ∈=，在],[a b 上使用拉格朗日中值定理，知存在 ，使),(a b ∈ξξξ1 )(ln ln = '=--f b a b a ,a b <<ξ所以b a 111<<ξ，即b b a b a a 1ln ln 1<--< ，变形得证。 例(真题)设函数()f x 在[0,]+∞上可导，(0)0lim ()2x f f x →+∞ ==且，证明 （1）存在0a >，使得()1f a = （2）对（1）中的a ，存在(0,),a ξ∈使得1'().f a ξ= 证明：（1）因为lim ()2x f x →+∞ =，对于12ε= ，存在0A >,使得当x A ≥时，1 |()2|2 f x -<，因此3 ()2 f A > ，由连续函数的介值性，存在(0,)a A ∈，使得()1f a =。 （2）由拉格朗日中值定理，存在(0,),a ξ∈使得()(0)1 '().0f a f f a a ξ-= =- 定理 如果函数f (x )在区间I 上的导数恒为零, 那么f (x )在区间I 上是一个常数. 例:求证2 arccos arcsin π = +x x )11(≤≤-x . 证 设)(x f x x arccos arcsin +=，当11<<-x 时有 01111)(2 2 ≡--+ -= 'x x x f 由推论1，)(x f 在区间)1,1(-内为一常数C ，即 C x x =+arccos arcsin 下面确定常数C 的值，不妨取0=x ，得 2 00arccos 0arcsin )0(π + =+==f C 所以当11<<-x 时， 2 a r c c o s a r c s i n π =+x x 对于1±=x 时，等式显然成立，故命题得证. 三、柯西中值定理 柯西中值定理 如果函数f (x )及F (x )在闭区间[a , b ]上连续, 在开区间(a , b )内可导, 且F '(x )在(a , b )内的每一点处均不为零, 那么在(a , b )内至少有一点ξ , 使等式 ) ()() ()()()(ξξF f a F b F a f b f '' =--. 成立. 显然, 如果取F (x )=x , 那么F (b )-F (a )=b -a , F '(x )=1, 因而柯西中值公式就可以写成: f (b )-f (a )=f '(ξ)(b -a ) (a <ξ 若0)(lim =→x f a x ，0)(lim =→x g a x ，则 ) () (lim x g x f a x → 称为00的待定型。 类似的待定型有：00，∞ ∞ ，∞?0，∞-∞，∞1，00，0∞。 一、0 0型未定式 定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件： （1）0)(lim 0 =→x f x x ，0)(lim 0 =→x F x x ； （2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ； （3）) ()(lim x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 )() (lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→ 高等数学教案 §3 中值定理与导数的应用 这个定理说明：当) ()(lim x F x f x x ''→存在时，)()(lim 0x F x f x x →也存在且等于)() (lim 0x F x f x x ''→；当 ) ()(lim x F x f x x ''→为无穷大时，)() (lim 0x F x f x x →也是无穷大． 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L 'ospital ）法则. 例:计算极限33221216 lim 248 x x x x x x →-+--+． 解:由洛必达法则，得 33221216lim 248x x x x x x →-+--+222312lim 344x x x x →-=--263lim 642x x x →==- 注:若(),()f x g x ''仍满足定理的条件，则可以继续应用洛必达法则，即 ()()() lim lim lim ()()() x a x a x a f x f x f x g x g x g x →→→'''==='''． 例: 计算极限arctan 2 lim 1x x x π →+∞ -． 解arctan 2 lim 1x x x π →+∞ -2211lim 1x x x →+∞- +=-22lim 11x x x →+∞==+． 例: 求极限2 20) sin 1ln(2cos ln lim x x x x +-→ 解22 0)sin 1ln(2cos ln lim x x x x +-→x x x x x x 2sin 12sin 2cos 2sin 2lim 20+--=→ 3sin 11 2cos 222sin lim 20-=?? ? ??+--=→x x x x x 例(真题)求极限()[] 4 1cos ln(1tan )lim sin x x x x x →--+ 【解析】()[][]2 44001ln(1tan )1cos ln(1tan )2lim lim sin sin x x x x x x x x x x →→-+--+= 22 201ln(1tan )lim 2sin sin x x x x x x →-+=201 ln(1tan )1lim 2sin 4x x x x →-+== 二、 ∞ ∞ 型未定式 定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件： （1）∞=→)(lim 0 x f x x ，∞=→)(lim 0 x F x x ； （2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ； （3）) ()(lim x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 注：上述关于0x x →时未定式∞∞型的洛必达法则，对于∞→x 时未定式∞ ∞ 型同样适用 例:计算极限lim (0)n x x x n e →+∞>． 解所求问题是 ∞ ∞ 型未定式，连续n 次施行洛必达法则，有 lim e n x x x →+∞1lim e n x x nx -→+∞=2 (1)lim e n x x n n x -→+∞-= ! lim 0e x x n →+∞===． 在使用洛必塔法则时应注意以下几点： ①洛必塔法则只适用于00型或∞ ∞ 型的极限. ②如果(x) g ) ( lim ''x f 仍是00型或∞∞型,则可继续使用洛必塔法则. ③如果(x)g )( lim ''x f 不存在且不是∞,并不表明g(x) )( lim x f 不存在,只表明洛必塔法则失效,这时应用其他方法求解,即洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在． )() (lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→ 高等数学教案 §3 中值定理与导数的应用 例:sin 2lim 2x x x x →∞+= 三、其它类型极限求法 除 00型与∞ ∞ 型的未定式之外，还有,0∞? ∞-∞，00，∞1，0∞等未定式，对这类未定式求极限，通常是利用代数恒等变形转化为00或∞ ∞ 型，然后用洛必达法则进 行计算. 例: 求x x x ln lim 0 + →. 解 这是∞?0型，因此0lim 11 lim 1ln lim ln lim 202 000=-=-==++++→→∞ ∞ →→x x x x x x x x x x x x . 例: 求).1sin 1( lim 0x x x -→ 解 这是∞-∞型，因此 0s i n c o s 2s i n lim cos sin cos 1lim sin sin lim )1sin 1( lim 00 0000 00 =-=+-=-=-→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x x x 例9 求x x x 2tan 4 )(tan lim +→ π . 解 这是∞1型，因此 e e e e e x x x x x x x x x x x x x 1lim )(tan lim 1) cos sin 22sin (lim 2cot tan ln lim tan ln 2tan 4 2tan 4 4 4 = ====-- ?→ → +→ +→ ++πππ π . §3. 3 泰勒公式 一、n 阶泰勒公式 １. n 阶带有Lagrange 型余项的Taylor 公式 定理1（泰勒） 若函数f 在(a,b)上存在直到n 阶的连续导函数,在(a,b)内存在 n ＋1阶导函数,则对任意给定的),(,0b a x x ∈,至少存在一点ξ使得： ()(1)1000000() ()()()()()()()1!!(1)! n n n n f x f x f f x f x x x x x x x n n ξ++'=+-+ +-+-+ ξ在0,x x 之间。 2.带有皮亚诺余项的泰勒公式 定理2若函数f 在(a,b)上存在直到n 阶的连续导函数,则对任意给定的 ),(,0b a x x ∈ ()000000() ()()()()()0(())1! ! n n n f x f x f x f x x x x x x x n '=+-+ +-+- （1） 称为泰勒公式的余项. 3、 常用函数的麦克劳林公式 2 10()2! ! n x n x x e x x n =+++ ++ 35 21 1 2sin (1) 0()3!5! (21)! m m m x x x x x x m --=-++ +-+- 24 221cos 1(1)0()2!4!(2)! m m m x x x x x m +=-++ +-+ 23 1 ln(1)(1)0()23n n n x x x x x x n -+=-++ +-+ 2(1) (1) (1) (1)10()2! ! n n x x x x n ααααααα---++=+++ + + 21 10()1n n x x x x x =+++++- 二、应用 1.把函数)(x f 展开成n 阶Maclaurin 公式 例： 把函数22sin )(x x x f =展开成含16x 项的具Peano 型余项的Maclaurin 公式 . 高等数学教案 §3 中值定理与导数的应用 【解】 ) (! 7!5!3sin 77 53x x x x x x +-+- =, ) (! 7!5!3sin 1414 1062 2 x x x x x x +-+-=. ) (! 7!5!3sin 1616 1284 2 2 x x x x x x x +-+-= 例： 把函数x x f 2cos )(=展开成含6x 项的具Peano 型余项的Maclaurin 公式 . 【解】 ) (! 6!4!21cos 6642x x x x x +-+- =, ), (! 62!34212cos 66 642 x x x x x +-+-= ∴ ) (! 62!321)2cos 1(21cos 66542 2 x x x x x x +-+ -=+=. 2.求)(x f 的n 阶导数 例 )1ln()(2x x x f +=，求)3)(0()(≥n f n . 【解】))(02 2()1ln()(22 22 2 --+-++-=+=n n x n x x x x x x x f 又)(0!)0(!1)0()0()()(n n n x x n f x f f x f +++'+= )(02 243 n n x n x x x +-++-= 所以，2 1 !)0()(-=n n f n ，2!)0()(-=n n f n 3.利用Taylor 公式求极限 例 求极限 (1) )] 1ln([cos lim 22 2 x x x e x x x -+-- → (2)011lim (cot )x x x x →-. 【分析】用泰勒公式求极限把函数展开到x 多少次方呢？对于分子和分母有一个能确定次数的，把另一个展开到相同次数即可，例如： 3 sin lim x x x x -→333 )) (61(lim x x o x x x x +--=→=6161lim 330=→x x x 但是对于分子和分母都不能确定次数的，要以具体情况而定。 【解】(1) ))] (2 [) (]421[2421lim )]1ln([cos lim 32244 242022 02x o x x x x x o x x x x x x x e x x x x +--++--+--+-→-→＝ 125 )(2 ) (245lim 54 440=+-+-→x o x x o x x 【点评】本题先确定分母展开的次数，)1ln(x -至少展开到二阶，确定了分母的次数后，以次确定分子展开的次数。 (2) 00111sin cos lim (cot )lim sin x x x x x x x x x x x →→--= 323 230()[1()]3!2!lim x x x x x x x x οο→-+--+= 3 33011( )() 1 2!3!lim 3x x x x ο→-+==. §3. 4 函数单调性与曲线的凹凸性 一、函数单调性的判定法 定理1(函数单调性的判定法) 设函数y =f (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导. (1)如果在(a , b )内f '(x )>0, 那么函数y =f (x )在[a , b ]上单调增加; 高等数学教案 §3 中值定理与导数的应用 (2)如果在(a , b )内f '(x )<0, 那么函数y =f (x )在[a , b ]上单调减少. 注: 判定法中的闭区间可换成其他各种区间. 例:确定函数f (x )=2x 3-9x 2+12x -3的单调区间. 解 这个函数的定义域为:(-∞, +∞). 函数的导数为:f '(x )=6x 2 -18x +12 = 6(x -1)(x -2). 导数为零的点有两个: x 1 =1、x 2 =2. 列表分析: 函数f (x )在区间(-∞, 1]和[2, +∞)内单调增加, 在区间[1, 2]上单调减少. 一般地, 如果f '(x )在某区间内的有限个点处为零, 在其余各点处均为正（或负）时, 那么f (x )在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的. 例 证明: 当x >1时, x x 132->. 证明: 令)13(2)(x x x f --=, 则 )1(111)(2 2-=-='x x x x x x f . 因为当x >1时, f '(x )>0, 因此f (x )在[1, +∞)上f (x )单调增加, 从而当x >1时, f (x )>f (1). 由于f (1)=0, 故f (x )>f (1)=0, 即 0 )13(2>- -x x , 也就是 x x 132->(x >1). 例(真题) 证明：当0a b π<<<时， sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++ 证：令()sin 2cos f x x x x x π=++ 只需证明0a x π<<<时,()f x 严格单调增加 ()sin cos 2sin f x x x x x π'=+-+ cos sin x x x π=-+ ()cos sin cos sin 0f x x x x x x x ''=--=-< ()f x '∴严格单调减少 又()cos 0f ππππ'=+= 故0()0()a x f x f x π'<<<>时则单调增加（严格） ()()b a f b f a >>由则 得证 二、曲线的凹凸与拐点 定义 设f (x )在区间I 上连续, 如果对I 上任意两点x 1, x 2, 恒有 2 ) ()()2( 2121x f x f x x f +<+, 那么称f (x )在I 上的图形是(向上)凹的(或凹弧); 如果恒有 2 ) ()()2( 2121x f x f x x f +>+, 那么称f (x )在I 上的图形是(向上)凸的(或凸弧). 凹凸性的判定: 定理 设f (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内具有一阶和二阶导数, 那么 (1)若在(a , b )内f ''(x )>0, 则f (x )在[a , b ]上的图形是凹的; (2)若在(a , b )内f ''(x )<0, 则f (x )在[a , b ]上的图形是凸的. 拐点: 连续曲线y =f (x )上凹弧与凸弧的分界点称为这曲线的拐点. 确定曲线y =f (x )的凹凸区间和拐点的步骤: (1)确定函数y =f (x )的定义域; (2)求出在二阶导数f`'' (x ); (3)求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点; (4)判断或列表判断, 确定出曲线凹凸区间和拐点; 例 求曲线y =3x 4-4x 3+1的拐点及凹、凸的区间. 解: (1)函数y =3x 4-4x 3+1的定义域为(-∞, +∞); 高等数学教案 §3 中值定理与导数的应用 (2)231212x x y -=',)3 2(3624362-=-=''x x x x y ; (3)解方程y ''=0, 得01=x , 3 22=x ; (4)列表判断: 在区间(-∞, 0]和[2/3, +∞)上曲线是凹的, 在区间[0, 2/3]上曲线是凸的. 点(0, 1)和(2/3, 11/27)是曲线的拐点. 例: 问曲线y =x 4是否有拐点？ 解 y '=4x 3, y ''=12x 2. 当x ≠0时, y ''>0, 在区间(-∞, +∞)内曲线是凹的, 因此曲线无拐点. 例: 求曲线 3 x y =的拐点. 解 (1)函数的定义域为(-∞, +∞); (2) ,32 31x y = ' 32 92x x y -=''; (3)无二阶导数为零的点, 二阶导数不存在的点为x =0; (4)判断: 当x <0当, y ''>0; 当x >0, y ''<0. 因此, 点(0, 0)是曲线的拐点. §3. 5 函数的极值与最大值最小值 一、函数的极值及其求法 极值的定义: 定义 设函数f (x )在点x 0的某邻域U (x 0)内有定义, 如果在去心邻域U (x 0)内有f (x ) 函数的极大值与极小值统称为函数的极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 函数的极大值和极小值概念是局部性的. 如果f (x 0)是函数f (x )的一个极大值, 那只是就x 0 附近的一个局部范围来说, f (x 0)是f (x )的一个最大值; 如果就f (x )的整个定义域来说, f (x 0)不一定是最大值. 关于极小值也类似. 定理1 (必要条件)设函数f (x )在点x 0 处可导, 且在x 0 处取得极值, 那么这函数在x 0 处的导数为零, 即f '(x 0)=0. 注意，定理1仅是极值存在的必要条件，而非充分条件.如函数3x y =，在0=x 处有00='=x y ，但00 ==x y 不是极值. 驻点: 使导数为零的点(即方程f '(x ) = 0的实根)叫函数f (x )的驻点. 定理１就是说: 可导函数f (x )的极值点必定是函数的驻点. 但反过来, 函数f (x )的驻点却不一定是极值点. 例:函数)3)(2)(1(ln )(---=x x x x f 的驻点个数为（ C ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 定理2(第一充分条件)设函数f (x )在x 0连续, 且在x 0的某去心邻域(x 0-δ, x 0)?(x 0, x 0+δ)内可导. (1)如果在(x 0-δ, x 0)内f '(x )>0, 在(x 0, x 0+δ)内f '(x )<0, 那么函数f (x )在x 0处取得极大值; (2)如果在(x 0-δ, x 0)内f '(x )<0, 在(x 0, x 0+δ)内f '(x )>0, 那么函数f (x )在x 0处取得极小值; (3)如果在(x 0-δ, x 0)及(x 0, x 0+δ)内 f '(x )的符号相同, 那么函数f (x )在x 0处没有极值. 确定极值点和极值的步骤: (1)求出导数f '(x ); (2)求出f (x )的全部驻点和不可导点; (3)列表判断(考察f '(x )的符号在每个驻点和不可导点的左右邻近的情况, 以便确定该点是否是极值点, 如果是极值点, 还要按定理2确定对应的函数值是极大值还是 高等数学教案 §3 中值定理与导数的应用 极小值); (4)确定出函数的所有极值点和极值. 例:求函数32)1()4()(+-=x x x f 的极值. 解(1)f (x )在(-∞, +∞)内连续, 除x =-1外处处可导, 且 31 3) 1(5)(+-= 'x x x f ; (2)令f '(x )=0, 得驻点x =1; x =-1为f (x )的不可导点; (3)列表判断 (4)极大值为f (-1)=0, 极小值为343)1(-=f . 定理3 (第二种充分条件) 设函数f (x )在点x 0处具有二阶导数且 f '(x 0)=0, f ''(x 0)≠0, 那么 (1)当f ''(x 0)<0时, 函数f (x )在x 0处取得极大值; (2)当f ''(x 0)>0时, 函数f (x )在x 0处取得极小值; 例: 求函数f (x )=(x 2-1)3+1的极值. 解 (1)f '(x )=6x (x 2-1)2. (2)令f '(x )=0, 求得驻点x 1=-1, x 2=0, x 3=1. (3)f ''(x )=6(x 2-1)(5x 2-1). (4)因f ''(0)=6>0, 所以f (x )在x =0处取得极小值, 极小值为f (0)=0. (5)因f ''(-1)=f ''(1)=0, 用定理3无法判别. 因为在-1的左右邻域内 f '(x )<0, 所以f (x )在-1处没有极值; 同理, f (x )在1处也没有极值. 二、最大值最小值问题 最大值和最小值的求法: 设f (x )在(a , b )内的驻点和不可导点(它们是可能的极值点)为x 1, x 2, ? ? ? , x n , 则比较 f (a ), f (x 1), ? ? ? , f (x n ), f (b ) 的大小, 其中最大的便是函数f (x )在[a , b ]上的最大值, 最小的便是函数f (x )在[a , b ]上的最小值. 例:求函数f (x )=|x 2-3x +2|在[-3, 4]上的最大值与最小值. 解 ? ?? ∈-+-?-∈+-=)2 ,1( 23]4 ,2[]1 ,3[ 23)(22x x x x x x x f , ???∈+-?-∈-=')2 ,1( 32)4 ,2()1 ,3( 32)(x x x x x f 在(-3, 4)内, f (x )的驻点为 23=x ; 不可导点为x =1和x =2. 由于f (-3)=20, f (1)=0, 41)23(=f , f (2)=0, f (4)=6, f (x )在x =-3处取得它在[-3, 4]上 的最大值20, 在x =1和x =2处取它在[-3, 4]上的最小值0. 注意: 应当指出, 实际问题中, 往往根据问题的性质就可以断定函数f (x )确有最大值或最小值, 而且一定在定义区间内部取得. 这时如果f (x )在定义区间内部只有一个驻点x 0, 那么不必讨论f (x 0)是否是极值, 就可以断定f (x 0)是最大值或最小值. §3. 6 函数图形的描绘 曲线的渐近线 （1）水平渐近线 如果当自变量x →∞时，函数()f x 以常量C 为极限，即lim ()x f x C →∞ =，则称直线 y C = 为曲线()y f x =的水平渐近线. （2）铅直渐近线（或垂直渐近线） 如果当自变量0x x →时，函数()f x 为无穷大量，即0 lim ()x x f x →=∞，则称直线0 x x = 高等数学教案 §3 中值定理与导数的应用 为曲线()y f x =的铅直渐近线. （3）斜渐近线 y k x =,其中() ()()lim ,lim x x f x k b f x kx x →∞ →∞==-,有水平渐近线则无斜渐近线, 有斜 渐近线则无水平斜渐近线 例:（真题）曲线221 x x y x +=-渐近线的条数为（） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】：（C ） 【解析】：22 1lim 1 x x x x →+=∞-，所以1x =为垂直渐近线 22lim 11x x x x →∞+=-，所以1y =为水平渐近线，没有斜渐近线，总共两条渐近线，选（C ）。 例:（真题）曲线1 223 +=x x y 的渐近线方程为_______________ 解：21222 lim =+∞ →x x x x ， 012222122 3323lim lim =+--=-+∞ →∞ →x x x x x x x x x ，所以x y 2= 描绘函数图形的一般步骤: (1)确定函数的定义域, 并求函数的一阶和二阶导数; (2)求出一阶、二阶导数为零的点, 求出一阶、二阶导数不存在的点; (3)列表分析, 确定曲线的单调性和凹凸性; (4)确定曲线的渐近性; (5)确定并描出曲线上极值对应的点、拐点、与坐标轴的交点、其它点; (6)联结这些点画出函数的图形. 例:画出函数y=x 3-x 2-x+1的图形. 解:(1)函数的定义域为(-∞,+∞), (2) f'(x)=3x2-2x-1=(3x+1)(x-1),f''(x)=6x-2=2(3x-1). f'(x)=0的根为x=-1/3, 1;f''(x)=0的根为x= 1/3. (3)列表分析: (4)当x→+∞时,y→+∞;当x→-∞时,y→-∞. (5)计算特殊点:f(-1/3)=32/27,f(1/3)=16/27,f(1)=0,f(0)=1;f(-1)=0,f(3/2)=5/8. (6)描点联线画出图形: 高等数学教案 §3 中值定理与导数的应用 §3. 7 曲 率 (数学三不要求) 一、弧微分 dx y ds 21'+=, 这就是弧微分公式. 二、曲率及其计算公式 曲率的计算公式 232)1(||y y ds d K '+''==α. 例 计算等双曲线x y =1在点(1, 1)处的曲率. 解: 由 x y 1=, 得 21x y -=', 32x y =''. 因此 y '|x =1=-1, y ''|x =1=2. 曲线xy =1在点(1, 1)处的曲率为 232)1(||y y K '+''=232))1(1(2-+=2221==. 例 抛物线y =a x 2+b x +c 上哪一点处的曲率最大？ 解: 由y =a x 2+b x +c , 得 y '=2a x +b , y ''=2a , 代入曲率公式, 得 32])2(1[| 2|b ax a K ++= . 显然, 当2ax +b =0时曲率最大. 曲率最大时, x =-a b 2, 对应的点为抛物线的顶点. 因此, 抛物线在顶点处的曲率 最大, 最大曲率为K =|2a | . 例(真题) 曲线()20y x x x =+< 上曲率为 2 的点的坐标是 . 解:将21,2y x y =+=’”代入曲率计算公式，有 3 23/2 2 2 || 2(1) 1(21)y K y x ''= == '+??++?? 整理有2(21)1x +=，解得01x =-或，又0x <，所以1x =-，这时0y =， 故该点坐标为()1,0- 三、曲率圆与曲率半径 设曲线在点M (x , y )处的曲率为K (K ≠0) . 在点M 处的曲线的法线上, 在凹的一侧取一点D , 使|DM | =K -1=ρ. 以D 为圆心, ρ为半径作圆, 这个圆叫做曲线在点M 处的曲率圆, 曲率圆的圆心D 叫做曲线在点M 处的曲率中心, 曲率圆的半径 ρ 叫做曲线在点M 处的曲率半径. 曲线在点M 处的曲率K (K ≠0)与曲线在点M 处的曲率半径 ρ 有如下关系: ρ =K 1, K =ρ 1. 例 设工件表面的截线为抛物线y =0.4x 2. 现在要用砂轮磨削其内表面. 问用直径多大的砂轮才比较合适？ 解 砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径. y '=0.8x , y ''=0.8, y '|x =0=0, y ''|x =0=0.8. 232) 1(| |y y K '+''==0.8. 抛物线顶点处的曲率半径为：K -1= 1.25. 所以选用砂轮的半径不得超过1.25单位长, 即直径不得超过2.50单位长. 微分中值定理与导数 的应用 第三章微分中值定理与导数的应用 本章内容是上一章的延续，主要是利用导数与微分这一方法来分析和研究函数的性质及其图形和各种形态，这一切的理论基础即为在微分学中占有重要地位的几个微分中值定理。在分析、论证过程中，中值定理有着广泛的应用。 一、教学目标与基本要求 （一）知识 1.记住罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的条件和结论； 2.记住泰勒公式及其拉格朗日余项的表达式； 3.记住e x,sin(x),cos(x),ln(1+x),1/1+x的N阶麦克劳林公式； 4.知道极限的末定式及其常见的几种类型的求法； 5.知道函数的极值点、驻点的定义以及它们之间的关系； 6.知道曲线的凹凸性与拐点的定义； 7.知道弧微分的定义与弧微分公式； 8.知道光滑曲线、曲率和曲率半径的定义； 9.知道求方程的近似解的基本方法。 （二）领会 1.领会罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理，领会罗尔定理、拉格朗日中值定理的几何意义； 2.领会罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理之间的联系； 3.领会洛必达法则； 4.领会函数的单调性与一阶导数之间的联系； 5.领会函数的极值与一、二阶导数之间的联系； 6.领会函数的极值和最值的定义以及它们之间的区别和联系； 7.领会曲线的凹凸性与二阶导数之间的联系。 （三）运用 1.会用中值定理证明等式和不等式； 2.会用洛必达法则求末定式的极限； 3.会求一些函数的泰勒公式和利用泰勒公式求函数的极限及一些函数的近似值； 4.会用导数求函数的单调区间和极值； 5.会用函数的单调性证明不等式； 6.会用导数判断函数图形的凹凸性和拐点； 7.会求曲线的水平渐近线和铅直渐近线，会描绘函数的图形； 8.会求一些最值应用问题； 9.会求曲率和曲率半径； 10.会用二分法和切线法求一些方程实根的近似值。 （四）分析综合 1.综合运用中值定理、介值定理和函数的单调性等证明方程实根的存在性和惟一性； 1基础知识详解 先回顾一下第一章的几个重要定理 1、0 lim ()()x x x f x A f x A α→∞→=?=+ ，这是极限值与函数值（貌似是邻域）之间的 关系 2、=+()o αββαα?: ，这是两个等价无穷小之间的关系 3、零点定理： 条件：闭区间[a,b]上连续、()()0f a f b < (两个端点值异号) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()0f ζ= 4、介值定理： 条件：闭区间[a,b]上连续、[()][()]f a A B f b =≠= 结论：对于任意min(,)max(,)A B C A B <<，一定在开区间(a,b)上存在ζ，使得 ()f C ζ=。 5、介值定理的推论： 闭区间上的连续函数一定可以取得最大值M 和最小值m 之间的一切值。 第三章 微分中值定理和导数的应用 1、罗尔定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，f(a)=f(b) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得 '()0f ζ= 2、拉格朗日中值定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()()'()()f b f a f b a ζ-=- 3、柯西中值定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，()0,(,)g x x a b ≠∈ 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得 ()()'() ()()'() f b f a f g b g a g ζζ-= - 拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况，当g(x)=x 时，柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理。 4、对罗尔定理，拉格朗日定理的理解。 罗尔定理的结论是导数存在0值，一般命题人出题证明存在0值，一般都用罗尔定理。当然也有用第一章的零点定理的。但是两个定理有明显不同和限制，那就是，零点定理两端点相乘小于0，则存在0值。而罗尔定理是两个端点大小相同， 第三章 中值定理与导数的应用 §3. 1 中值定理 一、罗尔定理 费马引理 设函数f (x )在点x 0的某邻域U (x 0)内有定义, 并且在x 0处可导, 如果对任意x ∈U (x 0), 有 f (x )≤f (x 0) (或f (x )≥f (x 0)), 那么f '(x 0)=0. 罗尔定理 如果函数)(x f 满足：（1）在闭区间],[b a 上连续, （2）在开区间),(b a 内可导, （3）在区间端点处的函数值相等，即)()(b f a f =, 那么在),(b a 内至少在一点 )(b a <<ξξ , 使得函数)(x f 在该点的导数等于零，即0)('=ξf . 例:设函数)(x f 在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，0)1(=f ，证明：在(0,1)内存在ξ，使得ξ ξξ) ()(f f - ='． 【分析】本题的难点是构造辅助函数，可如下分析： ()0)(0)()(0)()() ()(=' →='+→='+→- ='x xf x f x x f f f f f ξξξξ ξξ 【证明】令)()(x xf x G =，则)(x G 在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，且 0)1(1G (1 )0,0)(0)0(====f f G ,)()()(x f x x f x G '+=' 由罗尔中值定理知，存在)1,0(∈ξ，使得)()()(ξξξξf f G '+='．即ξ ξξ) ()(f f - =' 例：设函数f (x ), g (x )在[a , b ]上连续，在(a , b )内具有二阶导数且存在相等的最大值，f (a )=g (a ), f (b )=g (b ), 证明：存在(,)a b ξ∈，使得()().f g ξξ''''= 【分析】需要证明的结论与导数有关，自然联想到用微分中值定理，事实上，若令 ()()()F x f x g x =-，则问题转化为证明()0F ξ''=, 只需对()F x '用罗尔定理，关键是 第三章 微分中值定理与导数的应用 一、选择题 1、则，且存在，，设 ,1)x (f )x (f )x (f 0)x (f 0)x (f 00000-=+''''='>（ ） 是否为极值点不能断定的极值点 不是 的极小值点是的极大值点 是0000x )D ()x (f x )C ( )x (f x )B ()x (f x )A ( 2、处必有在则处连续且取得极大值，在点函数 x )x (f x x )x (f y 00==（ ） 0)x (f )B ( 0)x ('f )A (00<''= 或不存在 且 0)x (f )D (0)x (f 0)x (f )C (0'00=<''= 3、的凸区间是 x e y x -=（ ） ) , 2( (D) ) , (2 (C) 2) , ( (B) 2) , ( (A)∞+-∞+--∞-∞ 4、在区间 [-1，1] 上满足罗尔定理条件的函数是 （ ） (A)x x sin )x (f = (B)2)1x ()x (f += (C) 3 2 x )x (f = (D)1x )x (f 2+= 5、设f (x) 和g (x) 都在x=a 处取得极大值，F (x)=f (x)g (x)，则F(x)在x=a 处（ ） (A) 必取得极大值 (B)必取得极小值 (C)不取极值 (D)不能确定是否取得极值 6、满足罗尔定理的区间是使函数 )x 1(x y 322-=（ ） (A) [-1,1] (B) [0,1] (C) [-2,2] (D) ] 5 4, 5 3[- 7、x 2 e x y -=的凹区间是（ ） (A))2,(-∞ (B) )2,(--∞ (C) ) 1(∞+， (D) ) 1(∞+-， 8、函数)x (f 在0x x = 处连续，若0x 为)x (f 的极值点，则必有（ ） ． (A)0)(0='x f (B)0)(0≠'x f (C)0)(0='x f 或)(0x f '不存在 (D))(0x f '不存在 9、当a= ( ) 时，处取到极值在 3 x 3sin3x asinx f(x )π=+ =（ ） (A) 1 (B) 2 (C) 3 π (D) 0 10、间是适合罗尔定理条件的区使函数 )x 1(x )x (f 322-=（ ） ] 5 4 , 5 3[)D ( ]2,2[)C ( ]1,1[)B ( ]1,0[)A (--- 11、()，则上的凹弧与凸弧分界点为连续曲线，若 )x (f y )x (f x 00=（ ） 的极值 必定不是的极值点为必定为曲线的驻点 ， 必为曲线的拐点， )x (f x )D ( )x (f x )C ( ))x (f x ( )B ( ))x (f x ( )A (000000 二、填空题 1、__________________e y 82 x 的凸区间是曲线-=． 2、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=． 第三章 微分中值定理与导数应用 第一节 微分中值定理 教学目的：理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒 中值定理。 教学重点：罗尔定理、拉格朗日中值定理。 教学难点：罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用。 教学内容： 一、罗尔定理 1. 罗尔定理 几何意义：对于在],[b a 上每一点都有不垂直于x 轴的切线，且两端点的连线与x 轴平行的不间断的曲线 )(x f 来说，至少存在一点C ，使得其切线平行于x 轴。 从图中可以看出：符合条件的点出现在最大值和最小值点，由此得到启发证明罗尔定理。为应用方便，先介绍费马（Fermat ）引理 费马引理 设函数 )(x f 在点0x 的某邻域)(0x U 内有定义, 并且在0x 处可导, 如果对任 意)(0x U x ∈, 有)()(0x f x f ≤ (或)()(0x f x f ≥), 那么0)(0'=x f . 证明：不妨设)(0x U x ∈时，)()(0x f x f ≤（若)()(0x f x f ≥，可以类似地证明）. 于是对于)(00x U x x ∈?+,有)()(00x f x x f ≤?+, 从而当0>?x 时, 0 ) ()(00≤?-?+x x f x x f ; 而当0 根据函数 )(x f 在0x 处可导及极限的保号性的得 ==+)()(0'0'x f x f 0)()(lim 000≤?-?++ →?x x f x x f x ==-)()(0'0'x f x f 0)()(lim 000≥?-?+- →?x x f x x f x 所以0)(0'=x f , 证毕. 定义 导数等于零的点称为函数的驻点(或稳定点，临界点). 罗尔定理 如果函数)(x f 满足：（1）在闭区间],[b a 上连续, （2）在开区间),(b a 内可导, （3）在区间端点处的函数值相等，即)()(b f a f =, 那么在),(b a 内至少在一点)(b a <<ξξ , 使得函数)(x f 在该点的导数等于零，即 0)('=ξf . 证明：由于)(x f 在],[b a 上连续，因此必有最大值M 和最小值m ，于是有两种可能的情形： （1）m M =，此时)(x f 在],[b a 上必然取相同的数值M ，即.)(M x f = 由此得.0)(='x f 因此，任取),(b a ∈ξ，有.0)(='ξf （2）m M >，由于)()(b f a f =，所以M 和m 至少与一个不等于)(x f 在区间],[b a 端点处 的函数值.不妨设)(a f M ≠(若)(a f m ≠,可类似证明),则必定在),(b a 有一点ξ使M f =)(ξ. 因此任取],[b a x ∈有)()(ξf x f ≤, 从而由费马引理有0)(='ξf . 证毕 例1 验证罗尔定理对32)(2--=x x x f 在区间]3,1[-上的正确性 解 显然 32)(2--=x x x f )1)(3(+-=x x 在]3,1[-上连续，在)3,1(-上可导，且 0)3()1(==-f f , 又)1(2)(-='x x f , 取))3,1(1(,1-∈=ξ,有0)(='ξf . 说明：1 若罗尔定理的三个条件中有一个不满足, 其结论可能不成立; 2 使得定理成立的ξ可能多于一个，也可能只有一个. 例如 ]2,2[,-∈=x x y 在]2,2[-上除)0(f '不存在外，满足罗尔定理的一切条件， 但在区间]2,2[-内找不到一点能使0)(='x f . 例如 ?? ?=∈-=0 ,0]1,0(,1x x x y 除了0=x 点不连续外，在]1,0[上满足罗尔定理的一切条 习题3 一、填空题 1．设，则有_________个根，它们分别位于_ _______ 区间； 2．函数在上满足拉格朗日定理条件的； ３．函数与在区间上满足柯西定理条件的 ； 4．函数在上满足拉格朗日中值定理条件的； ５．； 6．； 7．; 8．函数的单调减区间是； 9．设在可导，则是在点处取得极值的条件； 10．函数在及取得极值，则； 11. 函数的极小值是; 12．函数的单调增区间为； 13. 函数的极小值点是； 14. 函数在上的最大值为，最小值为； 14. 函数在的最小值为; 15. 设点是曲线的拐点,则; 16. 曲线的下凹区间为,曲线的拐点为; 17. 曲线的上凹区间为; 18. 曲线的拐点为; 19. 若是的四次多项式函数,它有两个拐点,并且在点 处的切线平行于轴,那么函数的表达式是; 20. 曲线的拐点为; 21. 曲线的水平渐近线的方程是,垂直渐近线的方程是; 22. 的垂直渐近线为; 水平渐近线为; 23. 曲线在的曲率; 24. 曲线的曲率计算公式为; 25. 抛物线在顶点处的曲率为; 二. 单项选择题 1. 罗尔定理中的三个条件;在上连续,在可导,且 是在至少存在一点,使得成立的( ). 必要条件充分条件充要条件既非充分也非必要 2. 函数，则（）. 在任意闭区间上罗尔定理一定成立；在上罗尔定理不成立； 在上罗尔定理成立；在任意闭区间上，罗尔定理都不成立； 3. 设函数在区间上连续,在开区间上可导,且, ,则必有( ). ; ; 4. 下列函数在上满足拉格朗日中值定理条件的是( ). ; ; ; 5. 函数,它在( ). 不满足拉格朗日中值定理的条件; 满足拉格朗日中值定理的条件,且; 满足中值定理的条件,但无法求出的表达式; 不满足中值定理条件,但有满足中值定理的结论. 6. 若在开区间可导,且是任意两点,则至少存在一点使得下式成立( ). ; 7. 设是的可导函数,是的任意两点,则( ) . 第三章 中值定理与导数的应用 一、 基本内容 （一） 中值定理 1.罗尔定理 如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导，且)()(b f a f =，那么在),(b a 内存在一点ξ，使得0)(='ξf . For personal use only in study and research; not for commercial use 2.拉格朗日中值定理 如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导，那么在),(b a 内至少有一点ξ，使得 a b a f b f f --= ') ()()(ξ 其微分形式为 x f x f x x f ??'=-?+)()()(ξ 这里10,< (2)在点a 的某去心邻域内，)(x f '及)(x g '都存在且0)(≠'x g ； (3)) () (l i m x g x f a x ''→存在（或为无穷大），那么 ) () (lim )()(lim x g x f x g x f a x a x ''=→→ 2.法则2 如果函数)(x f 及)(x g 满足条件： (1)0)(lim =∞ →x f x , 0)(lim =∞ →x g x ； (2)当N x >时，)(x f '及)(x g '都存在且0)(≠'x g ； (3) ) () (lim x g x f x ''∞ →存在（或为无穷大）； 那么 ) ()(lim )()(lim x g x f x g x f x x ''=∞→∞ → 以上两个法则是针对00型未定式. 对∞ ∞ 型未定式，也有相应的两个法则. 对∞?0、∞-∞、00、∞1、0∞型未定式，可以通过变形将其转化成00或∞ ∞ 型来求. （三） 泰勒公式 1.带拉格朗日余项的泰勒公式 设函数)(x f y =在0x 的某邻域),(0δx U 内有1+n 阶导数，那么在此邻域内有 +-''+ -'+=200000)(2) ())(()()(x x x f x x x f x f x f ！ )()(!) (00)(x R x x n x f n n n +-+ 10)1()()! 1() ()(++-+=n n n x x n f x R ξ 其中ξ在0x 和x 之间，)(x R n 是拉格朗日余项. （四） 函数的单调性 函数单调性的判别法 设函数)(x f y =在],[b a 上连续，在),(b a 内可导. (1)如果在),(b a 内0)(>'x f ，那么函数)(x f y =在],[b a 上单调增加； 第三单元微分中值定理与导数应用 一、填空题 1、 lim xln x x 0 。 2、 函数f x 2x cos x 在区间 单调增 3 、 函数f x 4 8x 3 3x 4的极大值是 。 4 、 曲线y x 4 6x 2 3x 在区间 是凸的。 5 、 函数f x cosx 在x 0处的2m 1阶泰勒多项式是 6 、 曲线y xe 3x 的拐点坐标是 。 7、若fx 在含X 。的a,b (其中a b )内恒有二阶负的导数，且 则f X 。是f x 在a,b 上的最大值。 & y X 3 2x 1 在 内有 个零点。 1 1 9、 lim cot x( ) 。 sin x x 1 i 10、 lim (~2 ------------ ) __________ 。 x 0 x xta n x 11、 曲线y e"的上凸区间是 _____________ 。 12、 函数y e x x 1的单调增区间是 _______________ 。 二、单项选择 1、 函数f(x)有连续二阶导数且f(0) 0, f (0) 1,f (0) 2,则lim x 0 () (A) 不存在；(E) 0 ; (C) -1 ; (D) -2 2、 设 f(x) (x 1)(2x 1),x (,),则在(丄,1)内曲线 f(x)( f(x) x 2 x 2 (A)单调增凹的；(E)单调减凹的； (A)不可导; (B)可导，且f'(0) 0 ； (C)单调增凸的; (D)单调减凸的 3、f(x)在(a,b)内连续，X 。 (a,b), f (X 。) f (x °) 0，则 f (x)在 x x 。处 ( ) (A)取得极大值； (E)取得极小值； (C) 一定有拐点(x o ，f(x 。)); (D)可能取得极值，也可能有 拐点。 4、设f(x)在a,b 上连续，在(a,b)内可导，则I:在(a,b)内f (x) 0与 在(a,b)上f (x) f (a)之间关系是( ) (A)无实根； (B)有唯一实根； (C) 有两个实根； (D)有三个 实根。 7、已知f(x)在x 0的某个邻域内连续，且f(0) 0 , lim f(x) 2 , x 01 cosx 则在点x 0处f(x)( ) (A) I 是H 的充分但非必要条件 分条件； (C) I 是H 的充分必要条件； 也不是必要条件。 5、 设f(x)、g(x)在a,b 连续可导, 则当a x b 时，则有( (A) f(x)g(x) f(a)g(a)； (C)他他； g(x) g(a) 6、 方程x 3 3x 1 0在区间(， (B) I 是H 的必要但非充 (D) I 不是H 的充分条件， f (x)g(x) 0，且 f (x)g(x) f(x)g (x), ) (B) f(x)g(x) f (b)g(b)； (D)喪起。 f(x) f(a) )内( ) 第四章 中值定理与导数的应用 一、填空 1、若()x x x f -=3在[0，3]上满足罗尔定理的ξ值为 。 2、若2 1 cos 1sin lim 20=-→kx x x ，则k = 。 3、=a ，=b 时，点（1，3）为2 3bx ax y +=的拐点。 4、3+=x e x 在),(+∞-∞内的实根的个数为 。 5、函数)1ln(2 x x y +-=的单调递增区间 ，在[-1，1]中最大值为 ，最小值为 。 6、函数23 )5()(-=x x x f 的驻点为 ，其极大值为 ，极小值为 。 7、若5)(cos sin lim 0=--→b x a e x x x ，则=a ，=b 。 8、x x x y )1 1(-+=的水平渐近线为 。 二、选择 1、设R x x x x f ∈+-='),12)(1()(，则在)4 1 ,21(- 内)(x f 是（ ） A 、单调增加，图形上凹 B 、单调减少，图形上凹 C 、单调增加，图形下凹 D 、单调减少，图形下凹 2、设函数)(x f 在[0，1]上可导，0)(>'x f 并且0)1(,0)0(> 第三讲 导数（中值定理部分） 1．设()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(1)0f =；证明至少存在一点(0,1)ξ∈，使得 2() ()f f ξξξ '=- 。 证明：作2 ()()F x x f x =，(0)(1)0F F ==，2 ()()2()F x x f x xf x ''=+，由Rolle 定理知，至少存 在一点(0,1)ξ∈，使得2 ()()2()[()2()]0F f f f f ξξξξξξξξξ'''=+=+=，因为0ξ≠，故有 ()2()0f f ξξξ'+=，即2() ()f f ξξξ '=- 。 （本题思路：由2() ()f f ξξξ '=- 得()2()0f f ξξξ'+=，疑似某个函数与()f x 相乘后求导，不难 看出该函数的导数比原函数低1次且为2倍，考虑是2 x ，即2 ()()F x x f x =。） 2．设()f x 在[,]a b 上二阶可导，1x ，2x ，3x 为[,]a b 内三点，123x x x <<，且 123()()()f x f x f x ==；证明在[,]a b 上至少存在一点ξ，使得()0f ξ''=。 证明：因为12()()f x f x =，且()f x 在12[,]x x 上满足Rolle 定理条件，故至少存在一点 112(,)y x x ∈，使得1()0f y '=；同理由于23()()f x f x =，故至少存在一点223(,)y x x ∈，使 得2()0f y '=；综上，()f x '在区间12[,]y y 上可导且12()()0f y f y ''==，故至少存在一点 12(,)[,]y y a b ξ∈?，使得()0f ξ''=。 3．设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内二阶可导；连接点(,())a f a 和(,())b f b 的直线与曲线()y f x =交于点(,())c f c （a c b <<），证明至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()0f ξ''=。 证明：由Lagrange 中值定理可知 在[,]a c 上，存在11(,)a c η∈，使1()()()() ()f c f a f b f a f c a b a η--'== --， 在[,]c b 上，存在2(,)c b η∈，使2()()()() ()f b f c f b f a f b c b a η--'== --， 所以12()()f f ηη''=。 在12[,]ηη上，由Rolle 定理，至少存在一点12(,)ξηη∈，使()0f ξ''=。 4．设在[,]a b 上，()0f x >且可导；证明存在一点(,)a b ξ∈，使得()() ln ()()() f b f b a f a f ξξ'=-。 证明：因为()0f x >，作()ln ()F x f x =，() ()() f x F x f x ''= 在[,]a b 上运用Lagrange 中值定理，存在一点(,)a b ξ∈，使得()()() ()() F b F a f F b a f ξξξ'-'==-，即 得()() ln ()()() f b f b a f a f ξξ'=-。 （本题思路：由()()ln ()()()f b f b a f a f ξξ'=-得ln ()ln () [ln ()]x f b f a f x b a ξ =-'=-， 故取()ln ()F x f x =。） 5．设()f x 在[,]a b 上可微，且()()0f a f b ''<，证明：存在(,)a b ξ∈，使()0f ξ'=。 题型 1.利用极限、函数、导数、积分综合性的使用微分中值定理写出证明题 2.根据极限，利用洛比达法则，进行计算 3.根据函数，计算导数，求函数的单调性以及极值、最值 4.根据函数，进行二阶求导，求函数的凹凸区间以及拐点 5.根据函数，利用极限的性质，求渐近线的方程 内容 一．中值定理 1.罗尔定理 2.拉格朗日中值定理 二．洛比达法则 一些类型（00、∞ ∞、∞?0、∞-∞、0 ∞、0 0、∞ 1等） 三．函数的单调性与极值 1.单调性 2.极值 四．函数的凹凸性与拐点 1.凹凸性 2.拐点 五．函数的渐近线 水平渐近线、垂直渐近线 典型例题 题型I 方程根的证明 题型II 不等式（或等式）的证明 题型III 利用导数确定函数的单调区间与极值 题型IV 求函数的凹凸区间及拐点 自测题三 一．填空题 二．选择题 三．解答题 4月13日微分中值定理与导数应用练习题 基础题： 一．填空题 1．函数12 -=x y 在[]1,1-上满足罗尔定理条件的=ξ 。 3．1)(2 -+=x x x f 在区间[]1,1-上满足拉格朗日中值定理的中值ξ= 。 4．函数()1ln +=x y 在区间[]1,0上满足拉格朗日中值定理的=ξ 。 5.函数x x f arctan )(=在]1 ,0[上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ是 ． 6.设)5)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ，则0)(='x f 有 个实根，分别位于区间 中． 7. =→ x x x 3cos 5cos lim 2 π35- 8.=++∞→x x x arctan ) 1 1ln(lim (A) 一选择 1—5 BCBDB 二计算与证明 1 .若 x 0，证明 e x 1 x 。 证明：令 F x =e x _1_x ，则 F x =e x -1 当x 0时，F'x ?0,从而Fx 在0单增 因为F0=0，故Fx ?0,即 e x 1 x 2 2 .设 x 0，证明 x - x In 1 x :: x 。 2 证明： -In 1 X ，贝u f x =1 —X-丄二二 2 因x ? 0，贝U f x ：：： 0，从而f x 在0, ?::单减。 2 x 故 f x :: f 0 =0，即卩 x In 1 x 2 20：令 g x ；=ln 1 x -x ，则 g x 1 ——1 1 + x 当x 0时，g x ：：： 0，从而g x 在0「：：单减 故 g x : g 0 = 0，即 In 1 x < x 2 由 1°、20 知，x —亠：：：l n 1 ? x :: x 2 (B ) 一选择 1— 4 CBDD 习题3.1 1°:令 f x R x - 计算与证明 arcta n arcta n — n n +1 1 1 解：令F x "「如x ，则Fx 在GJ 上连续，在占*可导，故 1 1 arctan arcta n — ，使 f n LJ v f 1 1 当n 时，贝厂＞ 0 1 故原式二 lim f = lim 2 = 1 2.设f x 在0,1 1上可导，且0 ：：： f x ：：： 1，对于任何x ?0,1 ，都有f x - 1， 试证：在0,1内，有且仅有一个数X ，使f x = x 。 证：令Fx 二fx-x ，因为Fx 在0,1上连续，且F0二f0 0， F 1二f 1 -1 ：：：0，则由零点存在定理在 0,1内至少存在一点 x ，使 F x 二 f x = 0，即 f x 二 x 。 下证唯一性。设在0,1内存在两个点X 1与X 2，且X 1 ::： X 2，使f X 1 = x 1， f X 2 1=X 2，在〔X 1,X 2 1上运用拉格朗日中值定理，则有 ：5 1X1, X 2 ，使 得 f = f X 2 - f X 1 二 X 2 -X 1 二 1 x 2 _捲 x 2 _捲 这与题设f X =1矛盾，故只有一个X 使f X 二X 。 3 .设fx 在1,2 1上具有二阶导数f x ，且f2二f1=0，如果 F x -1 f x ，证明至少存在一点 1,2，使F 」=0。 求lim n _L ：i 由拉格朗日定理知，存在一点 第四章微分中值定理与导数得应用习题 §４、1 微分中值定理 1. 填空题 (1）函数在上使拉格朗日中值定理结论成立得ξ就是. （2)设,则有３个实根，分别位于区间中. 2.选择题 (1)罗尔定理中得三个条件:在上连续,在内可导,且,就是在内至少存在一点,使成立得（B ). A．必要条件 B.充分条件 C. 充要条件D．既非充分也非必要条件 （2)下列函数在上满足罗尔定理条件得就是( C ）． A、B、C、Ｄ、 (3)若在内可导，且就是内任意两点,则至少存在一点,使下式成立(Ｂ). A. B. 在之间 C. Ｄ. 3.证明恒等式：. 证明: 令，则,所以为一常数. 设，又因为, 故． ４．若函数在内具有二阶导数，且,其中,证明：在内至少有一点，使得. 证明:由于在上连续,在可导,且,根据罗尔定理知,存在, 使. 同理存在，使. 又在上 符合罗尔定理得条件,故有,使得． 5. 证明方程有且仅有一个实根. 证明:设, 则,根据零点存在定理至少存在一个,使得.另一方面，假设有,且，使,根据罗尔定理,存在使,即,这与矛盾.故方程只有一个实根. 6. 设函数得导函数在上连续,且,其中就是介于之间得一个实数. 证明: 存在,使成立、 证明: 由于在内可导,从而在闭区间内连续,在开区间内可导.又因为,根据零点存在定理,必存在点，使得. 同理,存在点,使得．因此在上满足罗尔定理得条件,故存在，使成立． 7、设函数在上连续，在内可导、试证：至少存在一点, 使 证明：只需令,利用柯西中值定理即可证明、 ８．证明下列不等式 (1)当时，. 证明：设,函数在区间上满足拉格朗日中值定理得条件,且, 故, 即 (） 因此, 当时,. (2)当时,. 证明:设,则函数在区间上满足拉格朗日中值定理得条件,有 因为,所以,又因为，所以，从而 . §4、2 洛毕达法则 １. 填空题 (１) (２)０ （3）= (4)１ 2.选择题 第四章．中值定理与导数的应用 要求掌握的内容： 1、理解罗尔定理和拉格朗日中值定理 2、会用洛必达法则求函数极限 3、掌握函数单调性的判别方法 4、了解函数极值的概念，掌握函数极值、最值的求法及应用 5、会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数的拐点和渐近线。 6、会描绘简单函数的图形 一、罗尔定理 如果函数f(x)满足：在闭区间[a,b]上连续；在开区间(a,b)内可导；其中a不等于b；在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在区间(a,b)内至少存在一点ξ(a<ξ 第三章 中值定理与导数的应用 教学目的： 1、 理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理,了解柯西中值定理和泰勒中值定理。 2、 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法,掌握函数 最大值和最小值的求法及其简单应用。 3、 会用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐 近线，会描绘函数的图形。 4、 掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。 5、 知道曲率和曲率半径的概念,会计算曲率和曲率半径。 6、 知道方程近似解的二分法及切线性。 教学重点： 1、罗尔定理、拉格朗日中值定理； 2、函数的极值 ，判断函数的单调性和求函数极值的方法; 3、函数图形的凹凸性; 4、洛必达法则。 教学难点: 1、罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用； 2、极值的判断方法; 3、图形的凹凸性及函数的图形描绘； 4、洛必达法则的灵活运用。 §3. 1 中值定理 一、罗尔定理 费马引理 设函数f (x )在点ｘ0的某邻域U (x ０)内有定义, 并且在x ０处可导, 如果对任意x ∈U (x 0), 有 f （x ）≤f (ｘ0) (或f （x )≥f (ｘ0）), 那么f '（x ０)=0. 罗尔定理 如果函数ｙ=f (x )在闭区间[a ， b ]上连续, 在开区间(a , ｂ)内可导, 且有ｆ(a )=f (b ), 那么在(a , b ）内至少在一点ξ , 使得f '(ξ)=0. 简要证明: (1）如果f (x ）是常函数, 则f '（ｘ）≡0, 定理的结论显然成立. (2)如果f (x )不是常函数, 则f (x )在(ａ, ｂ）内至少有一个最大值点或最小值点, 不妨设有一最大值点ξ∈(ａ, b ). 于是 0) ()(lim )()(≥--='='- →- ξξξξξx f x f f f x , 0) ()(lim )()(≤--='='+ →+ ξ ξξξξx f x f f f x , 第四章 微分中值定理与导数的应用 第一节 中值定理（2课时） 要求：理解罗尔中值定理与拉格朗日中值定理。了解柯西中值定理。 重点：理解中值定理及简单的应用。 难点：中值定理证明的应用。 一、罗尔(Rolle)定理 罗尔定理 如果函数)(x f 满足条件 （1）在闭区间],[b a 上连续； （2）在开区间),(b a 内可导； （3）)()(b f a f =． 则在开区间),(b a 内至少有一点)(b a <<ξξ，使得函数)(x f 在该点的导数等 于零，即0)(='ξf ． 几何解释 设曲线AB 的方程为))((b x a x f y ≤≤=，罗尔定理的条件的几何表示， AB 是一条连续的曲线弧，除端点外处处具有不垂直于x 轴的切线，且两个 端点的纵坐标相等，结论是曲线弧AB 上至少有一点C ，使该点处曲线的切线是水平的．从图中看到，在曲线的最高点或最低点处，切线是水平的，这就启发了我们证明这个定理的思路，ξ应在函数取最值点处找． 例1．验证罗尔定理对函数34)(2+-=x x x f 在]3,1[上的正确性． 证明 因为函数)3)(1(34)(2--=+-=x x x x x f 在闭区间]3,1[上连续，可导． )2 (2 4 2 ) (- = - = 'x x x f 且0 )3( )1(= =f f 函数) (x f在区间]3,1[上满足罗尔定理条件，所以在区间)3,1(内存在ξ使得 )2 (2 ) (= - = 'ξ ξ f， 于是)3,1( 2∈ = ξ． 故确实在区间)3,1(内至少存在一点2 = ξ使得0 )2(= 'f，结论成立． 二、拉格朗日中值定理（微分中值定理） 几何分析 拉格朗日中值定理设函数) (x f满足条件 （1）在闭区间] , [b a上连续； （2）在开区间) , (b a内可导． 则在区间) , (b a内至少存在一点) (b a< <ξ ξ，使得等式 ) )( ( ) ( ) (a b f a f b f- ' = -ξ成立． 推论1如果函数) (x f在区间I上的导数恒为零，那么函数) (x f在区间I上是一个常数（它的逆命题也成立）． 例2．试证 2 cot arctan π = +x arc x) (+∞ < < -∞x． 证明构造函数x arc x x f cot arctan ) (+ =， 因为函数) (x f在) , (+∞ -∞上可导，且 1 1 1 1 ) ( 2 2 = + - + = ' x x x f 微分中值定理 班级： 姓名： 学号： 摘要 微分中值定理是一系列中值定理的总称，是研究函数的有力工具，包括费马中值定理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理.以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是一整个微分学的重要理论。它不仅沟通了函数与其导数的关系，而且也是微分学理论应用的桥梁，本文在此基础上，综述了微分中值定理在研究函数性质，讨论一些方程零点（根）的存在性，和对极限的求解问题，以及一些不等式的证明. 罗尔定理 定理1若函数f 满足下列条件： (1)在闭区间[,]a b 连续； (2)在开区间(,)a b 可导； (3)()()f a f b =， 则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得 ()0f ξ'=. 几何意义： 在每一点都可导的连续曲线上，若端点值相等则在曲线上至少存在一条水平曲线。 （注：在罗尔定理中，三个条件有一个不成立，定理的结论就可能不成立.） 例1 若()x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导()0>a ，证明：在()b a ,内方程 ()()[]() ()x f a b a f b f x '222-=-至少存在一个根. 证明：令()()()[]() ()x f a b x a f b f x F 222---= 显然()x F 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导，而且 ()()()()b F a f b a b f a F =-=22 根据罗尔定理，至少存在一个ξ，使 ()()[]() ()x f a b a f b f '222-=-ξ 至少存在一个根. 例2 求极限： 1 2 20(12) lim (1) x x e x ln x →-++ 解：用22ln )(0)x x x → (1+有 20 2 12 012 01(12)2lim (1) 1(12)2 lim (12)lim 2(12)lim 2212 x x x x x x x x e x In x e x x e x x e x →→-→- →-++-+=-+=++=== 拉格朗日中值定理 定理2：若函数f 满足如下条件： (1)在闭区间[,]a b 连续； (2)在开区间(,)a b 可导， 则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得 ()() () f b f a f b a ξ-'=- 显然，特别当()()f a f b =时，本定理的结论即为罗尔中值定理的结论．这表明罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一种特殊情形． 拉格朗日中值定理的几何意义是：在满足定理条件的曲线()y f x =上至少存在一点(,())P f ξξ，该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线AB ． 此外，拉格朗日公式还有以下几种等价表示形式，供读者在不同场合适用： ()()()()f b f a f b a ξ'-=-a b ξ<<； 第三章 中值定理与导数的应用 一、是非题 1．函数12+=x y .在区间［－１,１］上满足罗尔中值定理条件的是（ √ ） 2．方程0155 =+-x x 在()1,1-内有且仅有一个实根 ( √ ) 3．若对任意()b a x ,∈，有()()x g x f '='，则对任意()b a x ,∈，有()()x g x f =， (× ) 4．sin lim x x x →∞是未定型。. ( × ) 5．在罗比塔法则中，A x g x f x x =→)(')('lim 0是 A x g x f x x =→) ()(lim 0的充要条件. （ × ） 6．.因 x x x x x x x x cos 1cos 1lim sin sin lim +-=+-∞→∞→不存在，所以x x x x x sin sin lim +-∞→不存在. ( × ) 7．.3 2122lim )'1()'1(lim 11lim 1221221=+=-+-=-+-→→→x x x x x x x x x x x . ( × ) 8． 若函数)(x f 在区间 ),(b a 内可导，则0)('>x f 是)(x f 在),(b a 内单调增加的充分必要条件. ( × ) 9．. 若0x 是)(x f 的极值点，则一定有)('0x f =0. ( × ) 10．. 若0x 是)(x f 的一个不可导点，则一定是)(x f 的一个极值点.( × ) 二、选择题 1. 函数x x x f -=3)(在［０，３］上满足罗尔中值定理的=ξ（ D ） （A ）0； （B ）３； （Ｃ） 23； （Ｄ）２. 2．函数x x f 21)(=满足拉格朗日中值定理条件的区间是( A ) （A ） [1，2]； （B ）［－２，２］； （Ｃ）［－２,０］； （Ｄ）［０，１］. 3．函数()3553x x x f -=在R 上有 ( C ) A ．四个极值点； B ．三个极值点 C ．二个极值点 D ． 一个极值点 4．设()x f 在闭区间[]1,1-上连续，在开区间()1,1-上可导，且()M x f ≤'，()00=f ，则必有 ( C )最新微分中值定理与导数的应用
微分中值定理与导数的应用总结
中值定理与导数的应用
高等数学第三章微分中值定理与导数的应用题库(附带答案)
第三章 微分中值定理与导数应用教案教学设计
中值定理与导数习题
中值定理与导数的应用(包括题)
微分中值定理与导数应用
第四章----中值定理与导数的应用--习题及答案(1)
第三讲 导数(中值定理部分)
微分中值定理与导数的应用练习题
第三章中值定理与导数的应用答案
微分中值定理与导数的应用习题
第四章.中值定理与导数的应用
《高等数学.同济五版》讲稿WORD版-第03章-中值定理与导数的应用
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微分中值定理
第三章中值定理与导数的应用综合练习参考答案
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