第三章中值定理与导数的应用综合练习参考答案

第三章 中值定理与导数的应用

一、是非题

1．函数12+=x y .在区间［－１,１］上满足罗尔中值定理条件的是（ √ ）

2．方程0155

=+-x x 在()1,1-内有且仅有一个实根 ( √ ) 3．若对任意()b a x ,∈，有()()x g x f '='，则对任意()b a x ,∈，有()()x g x f =， (× ) 4．sin lim

x x x →∞是未定型。. ( × )

5．在罗比塔法则中，A x g x f x x =→)(')('lim 0是 A x g x f x x =→)

()(lim 0的充要条件. （ × ）

6．.因 x x x x x x x x cos 1cos 1lim sin sin lim +-=+-∞→∞→不存在，所以x

x x x x sin sin lim +-∞→不存在. ( × ) 7．.3

2122lim )'1()'1(lim 11lim 1221221=+=-+-=-+-→→→x x x x x x x x x x x . ( × )

8． 若函数)(x f 在区间 ),(b a 内可导，则0)('>x f 是)(x f 在),(b a 内单调增加的充分必要条件. ( × )

9．. 若0x 是)(x f 的极值点，则一定有)('0x f =0. ( × )

10．. 若0x 是)(x f 的一个不可导点，则一定是)(x f 的一个极值点.( × )

二、选择题

1. 函数x x x f -=3)(在［０，３］上满足罗尔中值定理的=ξ（ D ）

（A ）0； （B ）３； （Ｃ）

23； （Ｄ）２. 2．函数x

x f 21)(=满足拉格朗日中值定理条件的区间是( A ) （A ） [1，2]； （B ）［－２，２］； （Ｃ）［－２,０］； （Ｄ）［０，１］.

3．函数()3553x x x f -=在R 上有 ( C )

A ．四个极值点；

B ．三个极值点

C ．二个极值点

D ． 一个极值点

4．设()x f 在闭区间[]1,1-上连续，在开区间()1,1-上可导，且()M x f ≤'，()00=f ，则必有 ( C )

A ．()M x f ≥

B ．()M x f >

C ．()M x f ≤

D ．()M x f <

5．若函数()x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,可导，则 ( B )

A ．存在()1,0∈θ，有()()()()()a b a b f a f b f --'=-θ，

B ．存在()1,0∈θ，有()()()()()a b a b a f b f a f --+'=-θ，

C ．存在()b a ,∈θ，有()()()()b a f b f a f -'=-θ，

D ．存在()b a ,∈θ，有()()()()b a f a f b f -'=-θ。

6．求极限x x x x sin 1sin

lim 20→时，下列各种解法正确的是 ( C )

A ．用洛必塔法则后，求得极限为0,

B ．因为x

x 1lim 0→不存在，所以上述极限不存在, C ．原式01sin sin lim 0=⋅=→x

x x x x , D ．因为不能用洛必塔法则，故极限不存在.

7．设函数2

12x x y +=，在 ( C ) A ．()+∞∞-,单调增加, B ．()+∞∞-,单调减少,

C ．()1,1-单调增加，其余区间单调减少,

D ．()1,1-单调减少，其余区间单调增加.

8．设()()x g x f x x 0lim →为未定型，则()()

x g x f x x ''→0lim 存在是()()x g x f x x 0lim →也存在的 ( B ) A ．必要条件 B ．充分条件

C ．充分必要条件

D ． 既非充分也非必要条件

9．若()x f 为可导函数，ξ为开区间()b a ,内一定点，而且有()0>ξf ，()()0≥'-x f x ξ，则在闭区间[]b a ,上必有 ( D )

A ．()0

B ． ()0≤x f

C ．()0≥x f

D ． ()0>x f

10．已知()x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导，且当()b a x ,∈时，有()0>'x f ，

又已知()0

A ．()x f 在[]b a ,上单调增加，且()0>b f

B ．()x f 在[]b a ,上单调减少，且()0

C ．()x f 在[]b a ,上单调增加，且()0

D ．()x f 在[]b a ,上单调增加，但()b f 正负号无法确定。

三、填空题 1. =+→x x x )1ln(lim 0 1 , 2．=--→a

x a x a x sin sin lim cos a , 3．=→x

x x 3tan tan lim 2π

3 , 4．=→x x x 2cot lim 012, 5．=-+→20)1ln(lim x x x x 12-, 6．当∞→x 时，有+∞→)(x f 和+∞→)(x g 且l x g x f x =∞→)

(')('lim (+∞<

(ln )(ln lim x g x f x 1 7.函数 x x x f -=arctan )(在其定义域内为单调 减小 .

8.函数x x x f cos )(+=在区间 ]2,0[π上单调 增加 .

9.当1±=x 时,函数q px x y ++=33有极值，那么=p －1 .

10.已知函数2332x x y -=，=x 0 时，极大值=y 0 ；=x 1 时，极小值=y －1.

四．计算题

1、求下列极限

(1).求()2

01ln lim x x x x +-→ 解：原式()2

1121lim 2111lim 0000=+=+-→→x x x x x 型