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一元线性回归

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一元线性回归模型(计量经济学)

一元线性回归模型(计量经济学)

总体回归函数说明被解释变量Y的平均状 态（总体条件期望）随解释变量X变化的 规律。至于具体的函数形式，则由所考 察的总体的特征和经济理论来决定。
在例2.1中，将居民消费支出看成是其可 支配收入的线性函数时，该总体回归函
数为: E (Y |X i)01 X i
它是一个线性函数。其中，0，1是未知
第二章 经典单方程计量经济学模型： 一元线性回归模型
§2.1 回归分析概述 §2.2 一元线性回归模型的基本假设 §2.3 一元线性回归模型的参数估计 §2.4 一元线性回归模型的统计检验 §2.5 一元线性回归模型的预测 §2.6 一元线性回归建模实例
§2.1 回归分析概述
一、变量间的关系及回归分析的基本概念 二、总体回归函数 三、随机扰动项 四、样本回归函数
1430 1650 1870 2112
1485 1716 1947 2200
2002
2420 4950 11495 16445 19305 23870 25025 21450 21285 15510
一个抽样
由于调查的完备性，给定收入水平X的消费 支出Y的分布是确定的。即以X的给定值为条 件的Y的分布是已知的，如 P(Y=561 | X = 800) =1/4。 进而，给定某收入Xi，可得消费支出Y的条 件均值，如 E(Y | X = 800) =605。 这样，可依次求出所有不同可支配收入水平 下相应家庭消费支出的条件概率和条件均值 ，见表2.1.2.
相关分析主要研究随机变量间的相关形式 及相关程度。变量间的相关程度可通过计 算相关系数来考察。
具有相关关系的变量有时存在因果关系，
这时，我们可以通过回归分析来研究它们
之间的具体依存关系。
课堂思考题

第二章 一元线性回归

第二章 一元线性回归

n ei 0 i 1 n xe 0 i i i 1
经整理后,得正规方程组
n n ˆ ˆ n ( x ) 0 i 1 yi i 1 i 1 n n n ( x ) ˆ ( x 2 ) ˆ xy i 0 i 1 i i i 1 i 1 i 1
y ˆ i 0 1xi ˆi 之间残差的平方和最小。 使观测值 y i 和拟合值 y
ei y i y ˆi
n
称为yi的残差
ˆ , ˆ ) ˆ ˆ x )2 Q( ( y i 0 1i 0 1
i 1
min ( yi 0 1 xi ) 2
i
xi x
2 ( x x ) i i 1 n
yi
2 .3 最小二乘估计的性质
二、无偏性
ˆ ) E ( 1
i 1 n
n
xi x
2 ( x x ) j j 1 n
其中用到
E ( yi )
( x x) 0 (xi x) xi (xi x)2
二、用统计软件计算
1．例2.1 用Excel软件计算
什么是P 值?(P-value)
• P 值即显著性概率值 ，Significence Probability Value
•
是当原假设为真时所得到的样本观察结果或更极端情况 出现的概率。
P值与t值： P t t值 P值


•
它是用此样本拒绝原假设所犯弃真错误的真实概率，被 称为观察到的(或实测的)显著性水平。P值也可以理解为 在零假设正确的情况下，利用观测数据得到与零假设相 一致的结果的概率。
2 .1 一元线性回归模型

第15讲 一元线性回归分析

第15讲 一元线性回归分析

n
i 1
2
2 2 ˆ ˆ 2b yi y xi x b xi x i 1 i 1
i 1
n
i 1
n
ˆS /S ˆ b ˆ2 S S bS ˆ . b S yy 2bS xy xx xy xx yy xy
例2 求例1中误差方差的无偏估计。
采用最小二乘法估计参数a和b，并不需要事先知道Y与x之间 一定具有相关关系，即使是平面图上一堆完全杂乱无章的散 点，也可以用公式求出回归方程。因此μ(x)是否为x的线性函 数，一要根据专业知识和实践来判断，二要根据实际观察得 到的数据用假设检验方法来判断。
即要检验假设 H0 : b 0, H1 : b 0, 若原假设被拒绝，说明回归效果是显著的，否则， 若接受原假设，说明Y与x不是线性关系，回归方程 无意义。回归效果不显著的原因可能有以下几种：
将每对观察值( xi , yi )在直角坐标系中描出它相应的点 （称为散点图），可以粗略看出 ( x)的形式。
基本思想
(x, Y)
回归分析 回归方程
采集样本信息 ( xi, yi )
散点图
回归方程参数估计、显著性检验
对现实进行预测与控制
一元回归分析:只有一个自变量的回归分析 多元回归分析:多于一个自变量的回归分析

x1 x2 x3
xi
xn
整理得 na ( xi )b yi ,
( xi )a ( xi )b xi yi .——正规方程组
2 i 1 i 1 i 1
n
i 1
n
i 1
n
na ( xi )b yi ,
i 1 i 1
n
n

第三节 一元线性回

第三节 一元线性回
• （1）提出假设： H 0 : β1 = 0; H1 : β1 ≠ 0 • （2）确定显著性水平 α 。 • 根据自由度和给定的显著性水平，查t分布表的理 论临界值 tα / 2 (n − 2) 。 • （3）计算回归系数的t值。 • （4）决策。 • t ˆ > tα / 2 (n − 2) 则拒绝 H 0 ，接受 H1，
1
1、回归系数的显著性检验
• 估计量 S 2 来代替。 ˆ • 但样本为小样本时，回归系数估计量 β1 的标准 化变换值服从t分布，即：
σ 2 是未知的，要用其无偏 一般来说，总体方差
tβˆ =
1
ˆ β1 − β1 Sβˆ
1
~ t (n − 2)
• 式中n为样本容量，n-2为自由度。 •
回归系数显著性检验步骤：
(二)一元线性回归分析的特点 二 一元线性回归分析的特点
• 1、在两个变量之间，必须根据研究目的具体确定哪个 是自变量，哪个是因变量。相关分析不必确定两个变量中 哪个是自变量，哪个是因变量。 2、计算相关系数时，要求相关的两个变量都是随机的； 但是，在回归分析中因变量是随机的，而自变量不是随机 的变量。 3、在没有明显的因果关系的两个变量与y之间，可以 3 y 求得两个回归方程。 4、回归方程的主要作用在于：给出自变量的数值来估 计因变量的可能值。一个回归方程只能做出一种推算，推 算的结果表明变量之间的具体的变动关系。 5、直线回归方程中，自变量的系数称回归系数。回归 系数的符号为正，表示正相关；为负则表示负相关。
ˆ β1 =
n∑ xi yi − ∑ xi ∑ yi n∑ x − (∑ xi )
2 i 2
ˆ ˆ β 0 = yi − β1 xi
（一）参数 β 0 , β 1 的最小二乘估计

计量经济学第二篇一元线性回归模型

计量经济学第二篇一元线性回归模型

第二章 一元线性回归模型2.1 一元线性回归模型的基本假定有一元线性回归模型（统计模型）如下， y t = β0 + β1 x t + u t上式表示变量y t 和x t 之间的真实关系。

其中y t 称被解释变量（因变量），x t 称解释变量（自变量），u t 称随机误差项，β0称常数项，β1称回归系数（通常未知）。

上模型可以分为两部分。

（1）回归函数部分，E(y t ) = β0 + β1 x t ,（2）随机部分，u t 。

图2.1 真实的回归直线这种模型可以赋予各种实际意义，居民收入与支出的关系；商品价格与供给量的关系；企业产量与库存的关系；身高与体重的关系等。

以收入与支出的关系为例。

假设固定对一个家庭进行观察，随着收入水平的不同，与支出呈线性函数关系。

但实际上数据来自各个家庭，来自同一收入水平的家庭，受其他条件的影响，如家庭子女的多少、消费习惯等等，其出也不尽相同。

所以由数据得到的散点图不在一条直线上（不呈函数关系），而是散在直线周围，服从统计关系。

“线性”一词在这里有两重含义。

它一方面指被解释变量Y 与解释变量X 之间为线性关系，即另一方面也指被解释变量与参数0β、1β之间的线性关系，即。

1ty x β∂=∂，221ty β∂=∂0 ，1ty β∂=∂，2200ty β∂=∂2.1.2 随机误差项的性质随机误差项u t 中可能包括家庭人口数不同，消费习惯不同，不同地域的消费指数不同，不同家庭的外来收入不同等因素。

所以在经济问题上“控制其他因素不变”是不可能的。

随机误差项u t 正是计量模型与其它模型的区别所在，也是其优势所在，今后咱们的很多内容，都是围绕随机误差项u t 进行了。

回归模型的随机误差项中一般包括如下几项内容： （1）非重要解释变量的省略，（2）数学模型形式欠妥， （3）测量误差等，（4）随机误差（自然灾害、经济危机、人的偶然行为等）。

2.1.3 一元线性回归模型的基本假定通常线性回归函数E(y t ) = β0 + β1 x t 是观察不到的，利用样本得到的只是对E(y t ) =β0 + β1 x t 的估计，即对β0和β1的估计。

一元线性回归

一元线性回归

第六讲 一元线性回归在客观世界中, 普遍存在着变量之间的关系.数学的一个重要作用就是从数量上来揭示、表达和分析这些关系。

而变量之间关系, 一般可分为确定的和非确定的两类. 确定性关系可用函数关系表示, 而非确定性关系则不然.例如, 人的身高和体重的关系、人的血压和年龄的关系、某产品的广告投入与销售额间的关系等, 它们之间是有关联的，但是它们之间的关系又不能用普通函数来表示。

我们称这类非确定性关系为相关关系。

具有相关关系的变量虽然不具有确定的函数关系，但是可以借助函数关系来表示它们之间的统计规律，这种近似地表示它们之间的相关关系的函数被称为回归函数。

回归分析是研究两个或两个以上变量相关关系的一种重要的统计方法。

在实际中最简单的情形是由两个变量组成的关系。

考虑用下列模型表示)(x f Y =. 但是，由于两个变量之间不存在确定的函数关系，因此必须把随机波动考虑进去，故引入模型如下ε+=)(x f Y其中Y 是随机变量，x 是普通变量，ε是随机变量（称为随机误差）。

回归分析就是根据已得的试验结果以及以往的经验来建立统计模型，并研究变量间的相关关系，建立起变量之间关系的近似表达式，即经验公式，并由此对相应的变量进行预测和控制等。

本节主要介绍一元线性回归模型估计、检验以及相应的预测和控制等问题。

一、引例为了研究某一化学反应过程中温度x 对产品得率Y 的影响. 测得数据如下:89857874706661545145%/190180170160150140130120110100/i i y C x 温度温度试研究这些数据所蕴藏的规律性.二、一元线性回归模型一般地,当随机变量Y 与普通变量x 之间有线性关系时, 可设εββ++=x Y 10, （1）),,0(~2σεN 其中10,ββ为待定系数。

设),(,),,(),,(2211n n Y x Y x Y x 是取自总体),(Y x 的一组样本,而),(,),,(),,(2211n n y x y x y x 是该样本的观察值,在样本和它的观察值中的n x x x ,,,21 是取定的不完全相同的数值，而样本中的n Y Y Y ,,,21 在试验前为随机变量，在试验或观测后是具体的数值，一次抽样的结果可以取得n 对数据),(,),,(),,(2211n n y x y x y x ，则有i i i x y εββ++=10, n i ,,2,1 = (2)其中n εεε,,,21 相互独立。

第四章 一元线性回归

第四章 一元线性回归
i 1
n
xi x
2 ( x x ) i i 1
n
( 0 1 xi ) 1
(4.28)
2 ˆ ( x x ) 0, ( x x ) x ( x x ) i i i 证得 1是 1 的无偏估计，其中用到 i ˆ 同理可证 是 0 的无偏估计。
2 (4.9) ˆ ˆ min ( y x ) ( y x ) ˆ ˆ i 0 1 i i 0 1 i Q( 0 , 1 ) ,
n
2
n
ˆ0 , ˆ1 就成为回归参数 0 ， 1 的 • 依照(4.9)式求出的 最小二乘估计。称
xi x
i 1 i 1
其中 ( x
i 1
是 yi 的常数，所以 1 是 yi 的线性组合。同理可 以证明 0是 yi 的线性组合。 ˆ , ˆ 亦为 因为 y i 为随机变量，所以作为 yi 的线性组合， 0 1 随机变量，因此各自有其概率分布、均值、方差、标准差及两 者的协方差。
0
无偏估计的意义是。如果屡次变更数据，反复求 0 , 1 的 估计值，这两个估计值没有高估或低估的系统趋势，他们的 平均值将趋于 0 , 1 。 ˆ ˆ x ) x E y ˆi ) E ( E( y 0 1 i 0 1 i 进一步有， ，表明回归值 是 的无偏估计，也说明 与真实值 的平均值是相同的。
(4.2)
• 这里 E ( )表示 差。
的数学期望，var( )表示
的方
• 对(4.1)式两端求期望，得 E( y) 0 1 x (4.3) 称(4.3)式为回归方程。 • 一般情况下，我们所研究的某个实际 问题，获得的n组样本观测值

第三章 一元线性回归

第三章 一元线性回归

LOGO
三、一元线性回归模型中随机项的假定
( xi , yi )，i,j=1,2,3,…,n后，为了估计（3.1.5） 在给定样本观测值（样本值） 式的参数 0和 1 ，必须对随机项做出某些合理的假定。这些假定通常称 为古典假设。
假设1、解释变量X是确定性变量，不是随机变量； 假设2、随机误差项具有零均值、同方差和不序列相关性： E(i)=0 Var (i)=2 i=1,2, …,n i=1,2, …,n
ˆ i ) ( y i 0 1 xi ) 2 Q（ 0，1） ( yi y
2 i 1 i 1 n n
（3.2.3）
ˆ ， ˆ ，使式 所谓最小二乘法，就是寻找参数 0,，1 的估计值 0 1 ˆ ， ˆ 满足： （3.2.3）定义的离差平方和最小，即寻找 0 1
y 1 x
2 y 0 2 x
LOGO
二是被解释变量x与参数 之间为线性关系，即参数 仅以一次方的 形式出现在模型之中。用数学语言表示为：
y 1 0
y 0 2 0
2
y x 1
2 y 0 2 1
在经济计量学中，我们更关心被解释变量y与参数
之间的线性关系。因
第三章 一元线性回归
3.1 一元线性回归模型 3.2 回归参数 0，1 的估计 3.3 最小二乘估计的性质 3.4 回归方程的显著性检验
3.5 预测和控制
LOGO
3.1 一元线性回归模型
一、回归模型的一般形式
1、变量间的关系 经济变量之间的关系，大体可分为两类：
（1）确定性关系或函数关系：变量之间有唯一确定性的函数关 系。其一般表现形式为：
对于总体回归模型，
y f ( x1, x2 ,, xk ) u

一元线性回归分析

一元线性回归分析

9--36
判定系数与回归估计标准差的计算
根据前述计算公式计算判定系数与回归估计标准差 ，需先根据样本回归方程计算出 X 的各观测值 xi 对 应的回归估计值 yi ，计算过程比较繁琐。
借助于 EXCEL 的“回归”分析工具可轻松得到其数 值。显示在 EXCEL 的回归输出结果的第一部分
判定系数（ R Square ）
也称为可解释的平方和。
3. 残差平方和（ SSE 、 Q ）
反映除 x 以外的其他因素对 y 取值的影 响，
9--29
可决系数（判定系数 r2 或
R2 ）
1. 可决系数 = 回归平方和占总离差平方和的
比例
r2
SSR SST
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
回归平方和 总离差平方和
1
残差平方和 总离差平方和
综合度量回归方程对样本观测值拟合优度， 衡量变量之间的相关程度。
称为古典线性回归模型。
9--12
2. 样本回归方程（ SRF ）
实际中只能通过样本信息去估计总体回归方程的参 数。
一
元
线
性回归的
yˆi ˆ
样
本ˆx回i
归
方
a
程
的形
bxi
式
：
ˆ a, ˆ b 是样本回归方程的截距和斜率
yˆ ； i 是与 xi 相对应的 Y 的条件均值的估计 ； 9--13
样本回归方程与总体回归方程之关系
i 1
n2
�n ( yi yˆi ) 2
i 1
n2
9--34
回归估计标准差的作用
1. 反映实际观察值在回归直线周围的分散状 况；反映因变量各实际值与其回归估计值之

从统计学看线性回归（1）——一元线性回归

从统计学看线性回归（1）——一元线性回归

从统计学看线性回归（1）——⼀元线性回归⽬录1. ⼀元线性回归模型的数学形式2. 回归参数β0 , β1的估计3. 最⼩⼆乘估计的性质 线性性 ⽆偏性 最⼩⽅差性⼀、⼀元线性回归模型的数学形式 ⼀元线性回归是描述两个变量之间相关关系的最简单的回归模型。

⾃变量与因变量间的线性关系的数学结构通常⽤式（1）的形式：y = β0 + β1x + ε (1)其中两个变量y与x之间的关系⽤两部分描述。

⼀部分是由于x的变化引起y线性变化的部分，即β0+ β1x，另⼀部分是由其他⼀切随机因素引起的，记为ε。

该式确切的表达了变量x与y之间密切关系，但密切的程度⼜没有到x唯⼀确定y的这种特殊关系。

式（1）称为变量y对x的⼀元线性回归理论模型。

⼀般称y为被解释变量（因变量），x为解释变量（⾃变量），β0和β1是未知参数，成β0为回归常数，β1为回归系数。

ε表⽰其他随机因素的影响。

⼀般假定ε是不可观测的随机误差，它是⼀个随机变量，通常假定ε满⾜：（2）对式（1）两边求期望，得E(y) = β0 + β1x, （3）称式（3）为回归⽅程。

E(ε) = 0 可以理解为ε对 y 的总体影响期望为 0，也就是说在给定 x 下，由x确定的线性部分β0 + β1x 已经确定，现在只有ε对 y 产⽣影响，在 x = x0，ε = 0即除x以外其他⼀切因素对 y 的影响为0时，设 y = y0，经过多次采样，y 的值在 y0 上下波动（因为采样中ε不恒等于0），若 E(ε) = 0 则说明综合多次采样的结果，ε对 y 的综合影响为0，则可以很好的分析 x 对 y 的影响（因为其他⼀切因素的综合影响为0，但要保证样本量不能太少）；若 E(ε) = c ≠ 0，即ε对 y 的综合影响是⼀个不为0的常数，则E(y) = β0 + β1x + E(ε)，那么 E(ε) 这个常数可以直接被β0 捕获，从⽽变为公式（3）；若 E(ε) = 变量，则说明ε在不同的 x 下对 y 的影响不同，那么说明存在其他变量也对 y 有显著作⽤。

一元线性回归

一元线性回归

⼀元线性回归1、概念⼀元线性回归是最简单的⼀种模型，但应⽤⼴泛，⽐如简单地预测商品价格、成本评估等，都可以⽤⼀元线性模型，本节主要讲解scikit-learn⼀元线性回归的使⽤以及作图说明。

y=f(x)叫做⼀元函数，回归的意思就是根据已知数据复原某些值，线性回归(regression)就是⽤线性的模型做回归复原。

那么⼀元线性回归就是：已知⼀批(x,y)值来复原另外未知的值。

⽐如：告诉你(1,1),(2,2),(3,3)，那么问你(4,?)是多少，很容易复原出来(4,4)，这就是⼀元线性回归问题的求解。

当然实际给你的数据可能不是严格线性，但依然让我们⽤⼀元线性回归来计算，那么就是找到⼀个最能代表已知数据的⼀元线性函数来做复原和求解。

2、scikit-learn的⼀元线性回归1import numpy as np2from sklearn.linear_model import LinearRegression3 x = [[1],[2],[3],[4],[5],[6]]4 y = [[1],[2.1],[2.9],[4.2],[5.1],[5.8]]5print x6print(y)7 model = LinearRegression()8 model.fit(x, y) #训练模型9 predicted = model.predict([13])[0]#预测输出10print predictedView Code结果：1 [[1], [2], [3], [4], [5], [6]]2 [[1], [2.1], [2.9], [4.2], [5.1], [5.8]]3 [ 12.82666667]这⾥⾯的model是⼀个estimator，它通过fit()⽅法来算出模型参数，并通过predict()⽅法来预测，LinearRegression的fit()⽅法就是学习这个⼀元线性回归模型：y = a + bx原数据的图像：1import matplotlib.pyplot as plt2from matplotlib.font_manager import FontProperties3 font = FontProperties()4 plt.figure()5 plt.title('this is title')6 plt.xlabel('x label')7 plt.ylabel('y label')8 plt.axis([0, 25, 0, 25])9 plt.grid(True)10 x = [[1],[2],[3],[4],[5],[6]]11 y = [[1],[2.1],[2.9],[4.2],[5.1],[5.8]]12 plt.plot(x, y, 'k.')13 plt.show()View Code结果：合在⼀起：1import numpy as np2from sklearn.linear_model import LinearRegression3import matplotlib.pyplot as plt4from matplotlib.font_manager import FontProperties56 x = [[1],[2],[3],[4],[5],[6]]7 y = [[1],[2.1],[2.9],[4.2],[5.1],[5.8]]8 model = LinearRegression()9 model.fit(x, y)10 x2 = [[0], [2.5], [5.3], [9.1]]11 y2 = model.predict(x2)1213 plt.figure()14 plt.title('linear sample')15 plt.xlabel('x')16 plt.ylabel('y')17 plt.axis([0, 10, 0, 10])18 plt.grid(True)19 plt.plot(x, y, 'k.')20 plt.plot(x2, y2, 'g-')21 plt.show()View Code其他相关⽤法⽅差计算:⽅差⽤来衡量样本的分散程度，⽅差公式是⽤numpy库已有的⽅法：1 np.var([1, 2, 3, 4, 5, 6], ddof=1)1 3.5得出⽅差是3.5。

第2章一元线性回归模型

第2章一元线性回归模型

布图上的点接近于一条曲线时，称为非线性相关。简单相关按
符号又可分为 正相关 （见图2.3.4 ）、负相关 （见图2.3.8 ）和零 相关 （见图2.3.6 ）。两个变量趋于在同一个方向变化时，即同
增或同减，称为变量之间存在正相关；当两个变量趋于在相反
方向变化时，即当一个变量增加，另一个变量减少时，称为变 量之间存在负相关；当两个变量的变化相互没有关系时，称为
4、普通最小二乘法
为什么要使用OLS？ （1）OLS的应用相对简便； （2）以最小化残差平方和为目标在理论很合理； （3）OLS估计量有很多有用的性质。 1）估计的回归线通过Y和X的均值。下列等式总是
ˆ ˆX 严格成立的：设下，可以证明，OLS是 “最优”的估计方法。
2.2.2 最小二乘估计量的性质
一个用于考察总体的估计量，可从如下几个方面考察其
优劣性： （1）线性。即它是否是另一个随机变量的线性函数；
（2）无偏性。即它的均值或期望是否等于总体的真实值；
（3）有效性。即它是否在所有的线性无偏估计量中具有 最小方差； （4）渐近无偏性。 即样本容量趋于无穷大时，它的均值 序列趋于总体的真值； （5）一致性。即样本容量趋于无穷大时，它是否依概率 收敛于总体的真值；
1．总变差的分解
ˆ b ˆX ˆ b Yt的估计值位于估计的回归线 Y t 0 1 t 上，Y围绕其均值的变异 (Y Y )可被分解为两部分：
ˆ Y ) (1) (Y t
ˆ) (2) (Yt Y t
样本回归函数：
3．相关系数检验
（1）变量相关的定义和分类
相关：指两个或两个以上变量间相互关系的程度或强度。
2 2 ˆ e ( Y Y ) i i OLS 最小化 i i 1 i 1

一元线性回归

一元线性回归

一、一元线性回归(一)基本公式如果预测对象与主要影响因素之间存在线性关系，将预测对象作为因变量y，将主要影响因素作为自变量x，即引起因变量y变化的变量，则它们之间的关系可以用一元回归模型表示为如下形式：y=a+bx+e其中：a和b是揭示x和y之间关系的系数，a为回归常数，b为回归系数e是误差项或称回归余项。

对于每组可以观察到的变量x，y的数值xi，yi，满足下面的关系：yi =a+bxi+ei其中ei是误差项，是用a+bxi去估计因变量yi的值而产生的误差。

在实际预测中，ei是无法预测的，回归预测是借助a+bxi得到预测对象的估计值yi。

为了确定a和b，从而揭示变量y与x之间的关系，公式可以表示为：y=a+bx公式y=a+bx是式y=a+bx+e的拟合曲线。

可以利用普通最小二乘法原理(ols)求出回归系数。

最小二乘法基本原则是对于确定的方程，使观察值对估算值偏差的平方和最小。

由此求得的回归系数为：b=[∑xiyi—x∑yi]/∑xi2—x∑xia=-b式中：xi、yi分别是自变量x和因变量y的观察值，、分别为x和y的平均值.=∑xi/ n ; = ∑yi/ n对于每一个自变量的数值，都有拟合值：yi’=a+bxiyi’与实际观察值的差，便是残差项ei=yi一yi’(二)一元回归流程三)回归检验在利用回归模型进行预测时，需要对回归系数、回归方程进行检验，以判定预测模型的合理性和适用性。

检验方法有方差分析、相关检验、t检验、f检验。

对于一元回归，相关检验与t检验、f检验的效果是等同的，因此，在一般情况下，通过其中一项检验就可以了。

对于多元回归分析，t检验与f检验的作用却有很大的差异。

1．方差分析通过推导，可以得出：∑(yi—y-)2= ∑(yi—yi’)2+∑(yi—y-)2其中：∑(yi—y-)2=tss，称为偏差平方和，反映了n个y值的分散程度，又称总变差。

∑(yi—yi’)2=rss,称为回归平方和，反映了x对y线性影响的大小，又称可解释变差。

第二节一元线性回归分析

第二节一元线性回归分析

第二节一元线性回归分析本节主要内容：回归是分析变量之间关系类型的方法，按照变量之间的关系，回归分析分为：线性回归分析和非线性回归分析。

本节研究的是线性回归，即如何通过统计模型反映两个变量之间的线性依存关系.回归分析的主要内容:1.从样本数据出发，确定变量之间的数学关系式；2.估计回归模型参数；3.对确定的关系式进行各种统计检验,并从影响某一特定变量的诸多变量中找出影响显著的变量。

一、一元线性回归模型:一元线性模型是指两个变量x、y之间的直线因果关系。

理论回归模型:理论回归模型中的参数是未知的,但是在观察中我们通常用样本观察值估计参数值，通常用分别表示的估计值，即称回归估计模型：回归估计模型：二、模型参数估计：用最小二乘法估计：【例3】实测某地四周岁至十一岁女孩的七个年龄组的平均身高（单位：厘米）如下表所示某地女孩身高的实测数据建立身高与年龄的线性回归方程。

根据上面公式求出b0=80。

84，b1=4。

68。

三．回归系数的含义（2）回归方程中的两个回归系数，其中b0为回归直线的启动值，在相关图上变现为x=0时，纵轴上的一个点,称为y截距；b1是回归直线的斜率，它是自变量(x）每变动一个单位量时，因变量（y）的平均变化量。

（3）回归系数b1的取值有正负号。

如果b1为正值，则表示两个变量为正相关关系,如果b1为负值，则表示两个变量为负相关关系。

[例题·判断题］回归系数b的符号与相关系数r的符号，可以相同也可以不同.（ )答案：错误解析：回归系数b的符号与相关系数r的符号是相同的=a+bx，b<0，则x与y之间的相关系数（ )［例题·判断题]在回归直线yca。

r=0 b.r=1 c。

0<r〈1 d.—1<r〈0答案:d解析：b〈0,则x与y之间的相关系数为负即—1〈r〈0［例题·单选题］回归系数和相关系数的符号是一致的，其符号均可用来判断现象( ）a。

线性相关还是非线性相关 b.正相关还是负相关c。

简单线性相关(一元线性回归分析)

简单线性相关(一元线性回归分析)

第十三讲简单线性相关（一元线性回归分析）对于两个或更多变量之间的关系，相关分析考虑的只是变量之间是否相关、相关的程度，而回归分析关心的问题是：变量之间的因果关系如何。

回归分析是处理一个或多个自变量与因变量间线性因果关系的统计方法。

如婚姻状况与子女生育数量，相关分析可以求出两者的相关强度以及是否具有统计学意义，但不对谁决定谁作出预设，即可以相互解释，回归分析则必须预先假定谁是因谁是果，谁明确谁为因与谁为果的前提下展开进一步的分析。

一、一元线性回归模型及其对变量的要求（一）一元线性回归模型1、一元线性回归模型示例两个变量之间的真实关系一般可以用以下方程来表示：Y=A+BX+方程中的 A 、B 是待定的常数，称为模型系数，是残差，是以X预测Y 产生的误差。

两个变量之间拟合的直线是：y a bxy 是y的拟合值或预测值，它是在X 条件下 Y 条件均值的估计a 、b 是回归直线的系数，是总体真实直线距，当自变量的值为0 时，因变量的值。

A、B 的估计值， a 即 constant 是截b 称为回归系数，指在其他所有的因素不变时，每一单位自变量的变化引起的因变量的变化。

可以对回归方程进行标准化，得到标准回归方程：y x为标准回归系数，表示其他变量不变时，自变量变化一个标准差单位（ Z XjXj），因变量 Y 的标准差的平均变化。

S j由于标准化消除了原来自变量不同的测量单位，标准回归系数之间是可以比较的，绝对值的大小代表了对因变量作用的大小，反映自变量对Y 的重要性。

（二）对变量的要求：回归分析的假定条件回归分析对变量的要求是：自变量可以是随机变量，也可以是非随机变量。

自变量 X 值的测量可以认为是没有误差的，或者说误差可以忽略不计。

回归分析对于因变量有较多的要求，这些要求与其它的因素一起，构成了回归分析的基本条件：独立、线性、正态、等方差。

（三）数据要求模型中要求一个因变量，一个或多个自变量（一元时为 1 个自变量）。

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12．9 一元线性回归以前我们所研究的函数关系是完全确定的，但在实际问题中，常常会遇到两个变量之间具有密切关系却又不能用一个确定的数学式子表达，这种非确定性的关系称为相关关系。

通过大量的试验和观察，用统计的方法找到试验结果的统计规律，这种方法称为回归分析。

一元回归分析是研究两个变量之间的相关关系的方法。

如果两个变量之间的关系是线性的，这就是一元线性回归问题。

一元线性回归问题主要分以下三个方面：（1）通过对大量试验数据的分析、处理，得到两个变量之间的经验公式即一元线性回归方程。

（2）对经验公式的可信程度进行检验，判断经验公式是否可信。

（3）利用已建立的经验公式，进行预测和控制。

12．9．1 一元线性回归方程 1．散点图与回归直线在一元线性回归分析里，主要是考察随机变量y 与普通变量x 之间的关系。

通过试验，可得到x 、y 的若干对实测数据，将这些数据在坐标系中描绘出来，所得到的图叫做散点图。

例1 在硝酸钠（NaNO 3）的溶解度试验中，测得在不同温度x （℃）下，溶解于100解 将每对观察值（x i ，y i ）在直角坐标系中描出，得散点图如图12.11所示。

从图12.11可看出，这些点虽不在一条直线上，但都在一条直线附近。

于是，很自然会想到用一条直线来近似地表示x 与y 之间的关系，这条直线的方程就叫做y 对x 的一元线性回归方程。

设这条直线的方程为yˆ=a+bx 其中a 、b 叫做回归系数（y ˆ表示直线上y 的值与实际值y i 不同）。

图12.11下面是怎样确定a 和b ，使直线总的看来最靠近这几个点。

2．最小二乘法与回归方程在一次试验中，取得n 对数据（x i ，y i ），其中y i 是随机变量y 对应于x i 的观察值。

我们所要求的直线应该是使所有︱y i －yˆ︱之和最小的一条直线，其中i y ˆ=a+bx i 。

由于绝对值在处理上比较麻烦，所以用平方和来代替，即要求a 、b 的值使Q=21)ˆ(i ni iyy-∑=最小。

利用多元函数求极值的方法求回归系数a ˆ、b ˆ，得⎪⎩⎪⎨⎧=-=xx xy L L b x b y a ˆˆˆ 其中 x =∑=ni i x n 11， y =∑=n i i y n 11，L xx =∑=-n i i x x 12)(=212x n x ni i -∑=L yy =∑=-ni iy y12)(=212y n y ni i-∑=，L xy =))((1y y x x n i i i --∑==y x n y x i ni i -∑=1从而得到一元线性回归方程yˆ=a ˆ+b ˆx 。

其中a ˆ，b ˆ称为参数a 、b 的最小二乘估计，上述方法叫做最小二乘估计法。

下面计算例1中y 对x 的一元线性回归方程。

这里n=9，（x i ，y i ）由例1给出，计算出x =26，y =90.1444, L xx =29129x xi i-∑==10144－9×262=4060L yy =29129y yi i-∑==76218.17－9×90.14442=3083.9822L xy =y x yx ii i991-∑==24628.6－9×26×90.1444=3534.8bˆ=40468.3534=xy xy L L =0.8706 a ˆ=y －b ˆx =90.1444－0.8706×26=67.5078 故所求回归方程为 yˆ=67.5078+0.8706x 12．9．2 一元线性回归的相关性检验上面介绍了由试验数据求出回归方程的最小二乘法，但是在使用这种方法之前，并没有判定两个变量之间是否具有线性的相关关系。

因此，即使在平面上一些并不呈现线性关系的点之间，也照样可以求出一条回归直线，这显然毫无意义。

因此，我们要用假设检验的方法进行相关关系的检验，其方法如下：（1）假设H 0：y 与x 存在密切的线性相关关系。

（2）计算相关系数 r=yyxx xy L L L（3）给定α，根据自由度n －2，查项关系数表，求出临界值λ。

（4）作出判断：如果︱r ︱≥λ时，接受假设H 0，即认为在显著性水平α下，y 与x 的线性相关关系较显著；如果︱r ︱＜λ时，则可认为在显著性水平α下，y 与x 的线性相关关系不显著，即拒绝假设H 0。

例2 检验例1中的y 与x 的线性关系是否显著？取水平α=0.05。

解 假设H 0：y 与x 存在密切的线性相关关系。

r=yyxx xy L L L =9822.308340608.3534⨯=0.9990α=0.05，n －2=7，查表得 λ=0.6666 ︱r ︱=0.9990＞λ=0.6666所以接受假设H 0，即在水平α=0.05下认为y 与x 间的线性相关关系较显著。

12．9．3 预测与控制在求出随机变量y 与变量x 的一元线性回归方程，并通过相关性检验后，便能用回归方程进行预测和控制。

1．预测（1）点预测：对给定的x=x 0，根据回归方程求得0ˆy =a ˆ+bx 0，作为y 0的预测值，这种方法叫做点预测。

（2）区间预测：区间预测就是对给定的x=x 0，利用区间估计的方法求出y 0的置信区间。

对给定的x=x 0，由回归方程可计算一个回归值0ˆy=a ˆ+b x 0 设在x=x 0的一次观察值为y 0，记ε0= y 0—0ˆy εi =y i —i y ˆ （i=1,2,…,n) 其中y i 为对应x i 的观察值，i yˆ为对应x i 的回归值。

一般地（特别当n 很大时）ε0与ε1，ε2，…，εn 相互独立，而且服从同一正态分布N （0，σ2）。

可以证明，统计量2ˆσ=22-=n QS y 是σ2的无偏估计量，其中Q==∑=n i i12ε21)ˆ(ini i y y -∑== L yy －b ˆL xy 。

从而可近似地认为yS y y 00ˆ-～N （0，1） 于是，我们得到y 0的95%预测区间为 （0ˆy －1.96S y ，0ˆy ＋1.96S y ），y 0的99%预测区间为 （0ˆy－2.58S y ，0ˆy ＋2.58S y ） 上述预测区间在n 较大且（x 0－x ）较小时适用。

与x 的线性回归方程。

（2）预测当含碳量为0.15%时，抗拉强度的变化区间（取置信水平为0.95)。

解 由数据计算得 x =0.134， y =46.929； L xx =0.2899－14×0.1342=0.0401， L xy =91.909－14×0.134×46.929=4.1526， L yy =31295.60－14×46.9292=463.5286。

（1）现在计算相关系数 r=5286.4630401.01526.4⨯=0.963查相关系数表,当α=0.05，n －2=14－2=12时，临界值λ=0.532因为︱r ︱＞λ，所以抗拉强度y 与含碳量x 之间线性相关关系较显著。

下面求a 及b 的估计值： b ˆ=0401.01526.4=xy xy L L =103.56 aˆ=y －b ˆx =46.929－103.56×0.134=33.05所以，所求的线性回归方称为 yˆ=33.05＋103.05x (2)当x 0=0.15时，0ˆy=33.05＋103.56×0.15=48.5842141526.456.1035286.463-⨯-=y S =1.670所以,y 的95%预测区间为 (48.524－1.96×1.670，48.524＋1.96×1.670) 即 (45.31，51.86）2．控制控制是预测的反问题，就是如何控制x 值使y 落在指定范围内，也就是给定y 的变化范围求x 的变化范围。

如果希望y 在区间（y 1，y 2）内取值（y 1与y 2已知），则x 的控制区间的两个端点x 1、x 2可由下述方程解出⎪⎩⎪⎨⎧++=-+=y yS x b ay S x b a y 3ˆˆ3ˆˆ2211 当回归系数b ˆ＞0时，控制区间为（x 1，x 2）；当b ˆ＜0时，控制区间为（x 2，x 1）。

应当指出下面两点：（1）y 的取值范围一般仅限于在已试验过的y 的变化范围之内，不能任意外推； （2）对y 的指定区间（y 1，y 2）不能任意小，按上面的方程组计算时，y 1、y 2必须满足y 2－y 1＞6S y 时，所求的x 的控制区间才有意义。

例4 在例3中，如果要求抗拉强度y 在41.5～54之间，问含碳量x （%）应如何控制？ 解 依题意 y 1=41.5，y 2=54，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧++=-+=y yS x b a y S x b a y 3ˆˆ3ˆˆ2211得⎩⎨⎧⨯++=⨯-+=670.1356.10305.3354670.1356.10305.335.4121x x 解方程组得x 1=0.1300，x 2=0.1539因bˆ=103.56＞0，所以x 的控制区间为（0.1300%，0.1539% ）课堂练习：p221. 1. 小结：要了解一元线性回归方程的有关内容，重点是掌握一元线性回归的相关性检验，尤其是解决实际问题的具体方法，另外能用回归方程进行预测和控制。