排队论习题及答案

几种典型的排队模型（1）M/M/1/∞/∞/FCFS 单服务台排队模型系统的稳态概率n P01P ρ=-，/1ρλμ=<为服务强度；(1)n n P ρρ=-。

系统运行指标a.系统中的平均顾客数（队长期望值）0.s n i L n P λμλ∞===-∑；b.系统中排队等待服务的平均顾客数（排队长期望值）0(1).q n i L n P ρλμλ∞==-=-∑； c.系统中顾客停留时间的期望值1[]s W E W μλ==-； d.队列中顾客等待时间的期望值 1q s W W ρμμλ=-=-。

(2) M/M/1/N/∞/FCFS 单服务台排队模型系统的稳态概率n P011,11N P ρρρ+-=≠-； 11,1n n N P n N ρρρ+-=<- 系统运行指标 a ．系统中的平均顾客数（队长期望值）11(1)11N s N N L ρρρρ+++=--- b ．系统中排队等待服务的平均顾客数（排队长期望值）0(1)q s L L P =--c ．系统中顾客停留时间的期望值0(1)s s L W P μ=- d ．队列中顾客等待时间的期望值 。

1q s W W μ=-(3) M/M/1/∞/m/FCFS （或M/M/1/m/m/FCFS ）单服务台排队模型系统的稳态概率n P001!()()!m i i P m m i λμ==-∑； 0!(),1()!n n m P P n m m n λμ=≤≤- 系统运行指标 a ．系统中的平均顾客数（队长期望值）0(1)s L m P μλ=-- b ．系统中排队等待服务的平均顾客数（排队长期望值） 00()(1)(1)q s L m P L P λμλ+=--=-- c ．系统中顾客停留时间的期望值 01(1)s m W P μλ=-- d ．队列中顾客等待时间的期望值1q s W W μ=-(4) M/M/c/∞/∞/FCFS 单服务台排队模型系统的稳态概率n P 100111[()()!!1c k c k P k c λλμρμ-==+-∑； 001(),!1(),!n n n n c P n c n P P n c c cλμλμ-⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩ 系统运行指标a ．系统中的平均顾客数（队长期望值）：s q L L λμ=+ b ．系统中排队等待服务的平均顾客数（排队长期望值）：021()(1)!(1)c q n n c c L n P P c ρρρ∞=+=-=-∑ c ．系统中顾客停留时间的期望值：s s L W λ=d ．队列中顾客等待时间的期望值： q q L W λ=[典型例题精解]例1：在某单人理发馆，顾客到达为普阿松流，平均到达间隔为20分钟，理发时间服从负指数分布，平均时间为15分钟。

排队论习题1、某大学图书馆的一个借书柜台的顾客流服从泊松流，平均每小时50人，为顾客服务的时间服从负指数分布，平均每小时可服务80人，求：（1）顾客来借书不必等待的概率3/8（2）柜台前平均顾客数5/3（3）顾客在柜台前平均逗留时间1/30（4）顾客在柜台前平均等待时间1/802、一个新开张的理发店准备雇佣一名理发师，有两名理发师应聘。

由于水平不同，理发师甲平均每小时可服务3人，雇佣理发师甲的工资为每小时14元，理发师乙平均每小时可服务4人，雇佣理发师乙的工资为每小时20元，假设两名理发师的服务时间都服从负指数分布，另外假设顾客到达服从泊松分布，平均每小时2人。

问：假设来此理发店理发的顾客等候一小时的成本为30元，请进行经济分析，选出一位使排队系统更为经济的理发师。

3、一个小型的平价自选商场只有一个收款出口，假设到达收款出口的顾客流为泊松流，平均每小时为30人，收款员的服务时间服从负指数分布，平均每小时可服务40人。

（1）计算这个排队系统的数量指标P0、L q、L s、W q、W s。

（2）顾客对这个系统抱怨花费的时间太多，商店为了改进服务准备队以下两个方案进行选择。

1）在收款出口，除了收款员外还专雇一名装包员，这样可使每小时的服务率从40人提高到60人。

2）增加一个出口，使排队系统变成M/M/2系统，每个收款出口的服务率仍为40人。

对这两个排队系统进行评价，并作出选择。

4、汽车按泊松分布到达某高速公路收费口，平均90辆/小时。

每辆车通过收费口平均需时间35秒，服从负指数分布。

司机抱怨等待时间太长，管理部门拟采用自动收款装置使收费时间缩短到30秒，但条件是原收费口平均等待车辆超过6辆，且新装置的利用率不低于75%时才使用，问上述条件下新装置能否被采用。

5、有一台电话的共用电话亭打电话的顾客服从λ=6个/小时的泊松分布，平均每人打电话时间为3分钟，服从负指数分布。

试求：（1）到达者在开始打电话前需等待10分钟以上的概率（2）顾客从到达时算起到打完电话离去超过10分钟的概率（3）管理部门决定当打电话顾客平均等待时间超过3分钟时，将安装第二台电话，问当λ值为多大时需安装第二台。

排队考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 排队理论中，顾客到达的过程通常被假设为（）。

A. 确定性过程B. 随机过程C. 周期性过程D. 线性过程答案：B2. 在排队系统中，如果服务时间是确定的，那么该系统被称为（）。

A. M/M/1B. M/D/1C. M/G/1D. D/M/1答案：B3. 排队理论中，以下哪个参数表示顾客在系统中的平均逗留时间？（）A. λ（到达率）B. μ（服务率）C. W（平均逗留时间）D. L（系统中的平均顾客数）答案：C4. 以下哪个公式用于计算排队系统中顾客的平均等待时间？（）A. Wq = λ / (μ - λ)B. Lq = λ / (μ - λ)C. Wq = 1 / (μ - λ)D. Lq = 1 / (μ - λ)答案：A5. 在排队理论中，如果顾客到达率和服务率都是随机的，这种类型的系统被称为（）。

B. M/G/1C. G/M/1D. G/G/1答案：D6. 以下哪个参数表示系统中顾客的平均数量？（）A. λ（到达率）B. μ（服务率）C. L（系统中的平均顾客数）D. W（平均逗留时间）答案：C7. 排队理论中，如果服务台数量为无限大，这种类型的系统被称为（）。

A. M/M/1B. M/M/∞C. M/M/k答案：B8. 在排队系统中，如果顾客到达过程是泊松分布，服务时间是指数分布，这种类型的系统被称为（）。

A. M/M/1B. M/D/1C. M/G/1D. G/M/1答案：A9. 以下哪个参数表示顾客在队列中的平均等待时间？（）A. λ（到达率）B. μ（服务率）C. Wq（队列中的平均等待时间）D. Lq（队列中的平均顾客数）答案：C10. 排队理论中，如果顾客到达率和服务率都是确定的，这种类型的系统被称为（）。

A. M/M/1B. D/D/1C. M/D/1D. D/M/1答案：B二、多项选择题（每题3分，共15分）11. 排队理论中，以下哪些因素会影响顾客的平均等待时间？（）A. 到达率B. 服务率C. 服务台数量D. 顾客的耐心答案：ABC12. 在排队理论中，以下哪些参数是描述系统性能的？（）A. 系统中的平均顾客数（L）B. 队列中的平均顾客数（Lq）C. 系统中的平均逗留时间（W）D. 队列中的平均等待时间（Wq）答案：ABCD13. 以下哪些是排队理论中常见的排队规则？（）A. 先来先服务（FCFS）B. 后来先服务（LCFS）C. 随机服务（RS）D. 最短处理时间优先（SPT）答案：ABD14. 以下哪些是排队理论中常见的到达和服务时间分布？（）A. 泊松分布B. 指数分布C. 均匀分布D. 确定性分布答案：ABCD15. 在排队理论中，以下哪些因素会影响顾客的满意度？（）A. 等待时间B. 服务时间C. 服务台数量D. 环境舒适度答案：ABD三、简答题（每题10分，共30分）16. 请简述排队理论中的“Little定律”。

排队论例1题目：某火车站的售票处设有一个窗口,若购票者是以最简单流到达,平均每分钟到达1人,假定售票时间服从负指数分布,平均每分钟可服务2人,试研究售票窗口前排队情况解:由题设λ=1(人/分),μ=2(人/分),ρ=λμ=12平均队长L=1ρρ-=1(人)平均等待队长Lq=21ρρ-=12(人)平均等待时间Wq=λμμ（-1）=12(分)平均逗留时间W=1μλ-=1(分)顾客不需要等待的概率为P o=12,等待的顾客人数超过5人的概率为P(N≥6)=1766666111111()(1)()()()()222222n n nnn n n nPρ-∞∞∞∞=====-===∑∑∑∑1例2题目：在某工地卸货台装卸设备的设计方案中,有三个方案可供选择,分别记作甲、乙、丙。

目的是选取使总费用最小的方案，有关费用（损失）如下表所示设货车按最简单流到达，平均每天（按10小时计算）到达15车，每车平均装货500袋，卸货时间服从负指数分布，每辆车停留1小时的损失为10元。

解：平均到达率λ=1.5车/小时,服务率μ依赖于方案μ甲=1000/500/袋小时袋车=2车/小时μ乙=2000/500/袋小时袋车=4车/小时μ丙=6000/500/袋小时袋车=12车/小时由(7.2.6),1辆车在系统内平均停留时间为W甲=12-1.5=2(小时/车)W乙=14-1.5=0.4(小时/车)W丙=112-1.5=0.095(小时/车)每天货车在系统停留的平均损失费为W⨯10⨯15,每天的实际可变费用(如燃料费等)为(可变操作费/天)⨯设备忙的概率=c p(元/天)而ρ甲=0.75 , ρ乙=0.375 , ρ丙=0.125,所以每个方案的费用综合如下表所示:23例3 题目：要购置计算机,有两种方案.甲方案是购进一大型计算机,乙方案是购置n 台小型计算机.每台小型计算机是大型计算机处理能力的1n设要求上机的题目是参数为λ的最简单流,大型计算机与小型计算机计算题目的时间是负指数分布,大型计算机的参数是μ.试从平均逗留时间、等待时间看，应该选择哪一个方案 解：设ρ=λμ，按甲方案，购大型计算机 平均等待时间 q W 甲=ρμρ（1-）=λμμλ（-）平均逗留时间 W 甲=1μλ- 按乙方案，购n 台小型计算机，每台小计算机的题目到达率为n λ，服务率为nμ, ρ=//n n λμ=λμ平均等待时间 W q 乙=nρμρ（1-）=n ρμρ（1-）=nW q 甲平均逗留时间 W 乙=1n nμλ-=n μλ-=nW 甲所以只是从平均等待时间，平均逗留时间考虑，应该购置大型计算机4例4题目：设船到码头，在港口停留单位时间损失c 1 元，进港船只是最简单流，参数为λ，装卸时间服从参数为μ的负指数分布，服务费用为c μ2，c 2是一个正常数.求使整个系统总费用损失最小的服务率μ 解:因为平均队长L λμλ=-,所以船在港口停留的损失费为1c λμλ-,服务费为c μ1,因此总费用为 1c F c λμμλ=+-2 求μ使F 达到最小,先求F 的导数12()c dF c d λμμλ=-+-2 让dF d μ=0,解出2μλ=因为 22F u μμ*=∂∂=22()c λμλ*-1>0 (μ>λ) 最优服务率是μ*,当μμ*=时, 12()[c F c c λμλ*=+5例5题目：一个理发店只有一个理发师,有3个空椅供等待理发的人使用,设顾客以最简单流来到,平均每小时5人,理发师的理发时间服从负指数分布,平均每小时6人.试求L ,q L ,W ,q W解:λ=5(人/小时) , μ=5(人/小时) , k =4 , 56ρ= 用公式(7.2.10),(7.2.11),(7.2.12),(7.2.13)得到565555[16()5()]666 1.9715[1()]66L -+==- 5555(1)[16()]66 1.97 1.2251()6q L -=+=- 55555()[1()]660.101()6P -==- 5(1)z LLW P λλ==-=1.9750.9=0.438(小时)0.271qq zL W λ==(小时)6例6题目：给定一个//1/M M k 系统,具有λ=10(人/小时), μ=30（人/小时），k =2.管理者想改进服务机构.方案甲是增加等待空间,使k =3.方案乙是将平均服务率提高到μ=40(人/小时),设服务每个顾客的平均收益不变,问哪个方案获得更大收益,当λ增加到每小时30人,又将有什么结果?解:由于服务每个顾客的平均收益不变,因此服务机构单位时间的收益与单位时间内实际进入系统的平均人数k n 成正比(注意,不考虑成本)!(1)(1)1k k k k n p λρλρ+-=-=- 方案甲:k=3, λ=10, μ=3033411()310[]11()3n -=-=9.75 方案乙: k=2, λ=10, μ=40223110(1())311()4n -=-=9.5 因此扩大等待空间收益更大 当λ增加到30人/小时时,λρμ==1.这时方案甲有3330()31n =+=22.5(人/小时) 而方案乙是把μ提高到μ=40人/小时. λρμ==3040<1, k=2 2233(1())430[]31()4n -=-=22.7(人/小时) 所以当λ=30人/小时时,提高服务效益的收益比扩大等待空间的收益大7例7题目：一个大型露天矿山,考虑建设矿山卸矿场,是建一个好呢?还是建两个好.估计矿车按最简单流到达,平均每小时到达15辆,卸车时间也服从负指数分布,平均卸车时间是3分钟,每辆卡车售价8万元,建设第二个卸矿场需要投资14万元解:平均到达率 λ=15(辆/小时) 平均服务率 μ=20(辆/小时) 只建一个卸矿场的情况:1ρρ==1520=0.75 在卸矿场停留的平均矿车数0,,,,,,q q q q p p L L W W λμL λμλ=-=152015-=3(辆)建两个卸矿场的情况:ρ=0.75,2μ=2λμ=0.375 2101220[10.75(0.75)]0.452!22015P -=++=- 220.451520(0.75)0.750.120.750.871!(22015)L +=+=+=-因此建两个卸矿场可减少在卸矿场停留的矿车数为:3-0.87=2.13辆.就是相当于平均增加2.13辆矿车运矿石.而每辆卡车的价格为8万元,所以相当于增加2.13⨯8=17.04万元的设备,建第二个卸矿场的投资为14万元,所以建两个卸矿场是合适的.8例8题目：有一个///M M c ∞系统,假定每个顾客在系统停留单位时间的损失费用为c 1元,每个服务设备单位时间的单位服务率成本为c 2元.要求建立几个服务台才能使系统单位时间平均总损失费用最小解:单位时间平均损失费为F c L c c μ=+12要求使F 达到最小的正整数解c *,通常用边际分析法:找正整数c *,使其满足{()(1)()(1)F c F c F c F c ****≤+≤-由()(1)F c F c **≤+,得到122()(1)(1)c L c c c c L c c c μμ****+≤+++所以 21()(1)c L c L c c μ**-+≤ 同样,由()(1)F c F c **≤-得到21(1)()c L c L c c μ**--≥因此c *必须满足不等式21()(1)c L c L c c μ**-+≤≤(1)()L c L c **-- 取c =1,2,…,计算()L c 与(1)L c +之差,若21c c μ落在()(1)L c L c **-+,(1)()L c L c **--之间,c *就是最优解9例9题目：某公司中心实验室为各工厂服务,设做实验的人数按最简单流到来.平均每天48(人次/天),1c =6(元).作实验时间服从负指数分布,平均服务率为μ=25(人次/天),2c =4(元),求最优实验设备c *,使系统总费用为最小. 解:λ= 48(人次/天)，μ=25(人次/天)，λμ＝1.92 按///M M c ∞计算0P ,()L c 等(注意以下公式只对0 1.92cρ=<1成立). 201100(1.92)(1.92)[]!(1)!( 1.92)n P n c c ρ--==+--∑12(1.92)() 1.92(1)!( 1.92)c L c P c c +=+-- 将计算结果列成下表21c c μ=1006=16.67 所以取c *=3,总费用最小10例10题目：设有2个工人看管5台自动机,组成//2/5/5M M 系统,λ=1(次/运转小时),μ=4(次/小时),求平均停止运转机器数L 、平均等待修理数q L 以及每次出故障的平均停止运转时间W 、平均等待修理时间q W解：14λμ=，18c λμ=由（7.3.1）,(7.3.2)有 0P =0.3149 1P =0.391 2P =0.197 由（7.3.3）,(7.3.4)有 q L =0.118,L =1.094,c λ=3.906 由（7.3.5）,(7.3.6)有W =0.28(小时),q W =0.03(小时)实际上,这些数量指标有表可查例11题目：设某厂有自动车床若干台,各台的质量是相同的,连续运转时间服从负指数分布,参数为λ,工人的技术也差不多,排除故障的时间服从负指数分布,参数为μ.设λμ=0.1,有两个方案.方案一:3个工人独立地各自看管6台机器.方案二,3个工人共同看管20台机器,试比较两个方案的优劣解:方案一.因为是分别看管,可以各自独立分析,是3个//1/6M M 系统.由上面的公式可求出01P -=0.5155,c =0.5155, a =5.155Lq =0.3295, L =0.845,(1)q =0.4845,(1)r =0.0549方案二.m =20,c =3,λμ=0.1,可求得c =1.787,a =17.87,q L =0.339 L =2.126,(3)q =0.4042,(3)r =0.01695机器损失系数,修理工人损失系数都小于方案一,所以方案二较好11例12题目：某露天铁矿山,按设计配备12辆卡车参加运输作业(每辆载重160吨,售价72万元),备用车8辆,要求保证同时有12辆车参加运输的概率不低于0.995.设每辆平均连续运输时间为3个月,服从负指数分布.有两个修理队负责修理工作,修理时间服从负指数分布.平均修复时间为5天.问这个设计是否合理.解:由假设知,这是////M M c m N m +系统,m =12,1λ=3,1μ=6(月)c =2我们有m c λμ=0.3333,c μλ=36用c N ≤的公式,求N ,要求00.995Nn n p =≥∑设N =2,有Nnn p=∑=0.9474,当N =3时,有Nnn p=∑=0.9968.所以3辆备用车就能达到要求,原设计用的备用车太多当N =3时,卡车的利用律(2)q =0.793712例13题目：假定例2.1中工人的到达服从泊松分布，λ=8人/小时，试分别计算1h 内到达4，5，6，…，12个工人的概率。

随机过程与排队论课程部分习题答案第一章1－1 解：因为，,)1()1,()1|(>>=>x p x x p x x p 其中， ⎰∞+--==>1)1(λλλe dx e x p x所以，{=>)1|(x x p )1(0--x e λλ 11>≤x x ，[]λλλ11)1|(1|1)1(+==>=>⎰⎰∞+--∞+∞-dx e x dx x x xp x x E x1－3 解：因为，y dx ye y e y Yf y x f y Y x f y y y y 1)(),()|(0=====⎰--,其中，+∞<<<<y yx 00所以，[]31|2022y dx y x y Y x E y =⋅==⎰1－4解：令，{=Y 210迷宫第一次选择左边，走出分钟徊第一次选择左边，但徘第一次选择右边561,31,21210===p p p令N 为耗子徘徊的时间均值；[]27][65][]|[+====∑N E i Y p i Y N E N E i所以，[]N E ＝21。

平均徘徊21分钟1－8解：Y 的概母函数qZ pZZ P -=1)(所以，[]()p q p P Y E 11)1(2'=-==，222][][][p qY E Y E Y Var =-=1－10 证明：（略）1－11 解：a ）N S 的概母函数为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==λλqZ p Z P G Z H 1exp ))(()(N S 的均值：p q S E N λ=][，方差，2)1(][p q qS Var N +=λb ）（1）证明：N S 的概率母函数为))1(exp())(exp()(-=-+=Z p Zp q Z H λλλ所以，N S 是均值为p λ的泊松分布。

（2）)()(),(y S P n N P y S n N P n N =⋅==== yn y n q p y n y n e n --⋅-⋅⋅=λλλ)!(!!!)!(!y n y q p e yn y n -=--λλ 得证（3）!)(),()(),()|(y e p yS n N P y S p y S n NP y S n N P py N N N N λλ-⋅=========()y n y n q e yn q ≥-=--,)!(λλ，证毕1－13 解：)()('x F x f =，且[]θλλθθ+==-K e E f x )(*所有, []λθθθKd df x E =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==0*)(1－15解：[]()22*1)(θθθθ---==e e E f x第二章2－2 解：na a a a a a n p qq p p q p q U ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--=2－5 证明：（略）2－7 证明：（略）2－8 解：)(1t N 时间t 内通过的小车数，)(2t N 时间t 内通过的大车数 a ）950.011)1)((36005.01≈-=-=≥-⨯-e e t N Pb ）[])(67105710)(|)(1辆=+==t N t N Ec ）066.0)5)(45)((12＝，＝=t N t N P2－9解：a ）顾客到达的时间的分布是均匀分布，所以，3/1)20(=p p ＝分钟内到达顾客在开始9/1)202(2=p p ＝分钟内到达个顾客在开始b ）至少有一个顾客在开始20分钟内到达的概率95)1(12=--=p p b2－11解：)1)1(exp())(()(qZ Z Z P G t M --=λ的概母函数：所以，p tP t X tE t M E i λλλ=⋅==)1(][)](['同时， 22)2(][)]([p p q t X tE t M Var +==λλ第三章3－1 解：1）根据定义，此过程为马氏链。

莄几种典型的排队模型螁（1）M/M/1/ / /FCFS单服务台排队模型羁系统的稳态概率P n膈P。

=1 一匸，T = •/「：1为服务强度；P n二（1 螅系统运行指标蒃a.系统中的平均顾客数（队长期望值）Q0螀Ls =' n.Pn a膈b.系统中排队等待服务的平均顾客数（排队长期望值）O0 膆L q 八（n -1）-P ni =0羀C.系统中顾客停留时间的期望值蕿W s卩一九芈d.队列中顾客等待时间的期望值1 P 薇W q=W s -蚂⑵M/M/1/N/ 7FCFS单服务台排队模型薂系统的稳态概率P n1-P f莈R =1 N7, ” 1；P n 1-?—汕1蚃系统运行指标»n。

莄a•系统中的平均顾客数（队长期望值）莀b•系统中排队等待服务的平均顾客数（排队长期望值）蒈c.系统中顾客停留时间的期望值肄d•队列中顾客等待时间的期望值1W q =Ws-~腿（3）M/M/1/ /m/FCFS（或 M/M/1/m/m/FCFS ）单服务台排队模型薈系统的稳态概率P n薄系统运行指标袈a•系统中的平均顾客数（队长期望值）蚇b•系统中排队等待服务的平均顾客数（排队长期望值）祎c.系统中顾客停留时间的期望值 羂d•队列中顾客等待时间的期望值羁⑷M/M/c/ 7 7FCFS单服务台排队模型蚇系统的稳态概率P n二1九k 肃P03卅）1九n— (—)P 0,n^c1c () P o ,n Cc!c '螄系统运行指标蚀a•系统中的平均顾客数（队长期望值）：蒅P o 二市1一m! (m - n)!(丁)nP °,1 乞 n 冬 m螇b •系统中排队等待服务的平均顾客数（排队长期望值）蒄c.系统中顾客停留时间的期望值:膂d •队列中顾客等待时间的期望值:葿［典型例题精解］袇例1 ：在某单人理发馆，顾客到达为普阿松流，平均到达间隔为20分钟，理发时间服从负指数分布，平均时间为15分钟。

一年级下册数学排队问题及答案练习100题及答案题目一：小明和小红站在一起排队，小明站在小红的前面。

如果小明往左移动一步，那么他和小红的相对位置会发生变化吗？为什么？题目二：小杰和小李排队比赛，小杰站在第1位，小李在小杰的后面，他们之间有5个人。

如果小杰往前移动3个位置，小李往前移动2个位置，它们之间的距离会发生变化吗？为什么？题目三：小明和小红排队去买东西，他们两个人中间有1个人插队。

如果小明站在第3个位置，小红站在第5个位置，插队的那个人站在第4个位置，他们三个人的相对位置是怎样的？题目四：班级里有25个同学排队上课，小明是第10个，小红是第15个，小刚是第20个。

请写出他们三个人的相对位置关系。

题目五：如果小明在一个队伍中站在第5个位置，他往前移动2个位置，小红在同一个队伍中站在第7个位置，她往前移动4个位置。

请问，移动之后，他们两个人的相对位置会发生变化吗？为什么？答案一：小明和小红的相对位置不会发生变化。

因为无论他们往左还是往右移动，他们之间的距离始终是一样的。

答案二：小杰和小李之间的距离会发生变化。

因为小杰和小李都往前移动，但是小杰移动的位置比小李多，所以他们之间的距离会缩短。

答案三：小明和小红之间的距离是2个人。

因为插队的那个人在小明和小红之间，所以他们三个人的相对位置是小明、那个人、小红。

答案四：小明在小红的前面，小刚在小红的后面，小明和小红的相对位置是小明站在小红的前面，小刚在小红的后面。

答案五：移动之后，小明和小红的相对位置不会发生变化。

因为无论他们往前移动多少个位置，他们之间的相对位置是不会改变的。

06小学奥数练习卷（知识点：排队论问题）题号一 二 总分得分注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（填空题）评卷人评卷人得 分一．填空题（共36小题）1．有一组上舞蹈课的学生间隔相等地站成一个圆圈，然后从1开始依次报数．报5号的学生正对着报23的学生．这群学生的总数是的学生．这群学生的总数是人． 2．少先队员排队去参观科技馆，从排头数起小明是第10个；从排尾数起，小英是第13个．小明的前面就是小英，这队少先队员共有个．小明的前面就是小英，这队少先队员共有人． 3．20位同学站成一排，从左往右小瓜站在第3个，从右往左小果站在第7个．小瓜和小果之间有瓜和小果之间有人． 4．三（．三（11）班同学排成三排做早操，三排人数相等．小红排在中间一排．从左往右数，她是第6个；个； 从右往左数，她是第7个，全班共有个，全班共有个人． 5．54个小朋友排队做游戏，每轮游戏有12个小朋友参加，游戏结束后，这12个小朋友按原来的先后顺序排到队尾，如果游戏开始时，小亮站在队首，当小亮再次站在队首时，已经做了小亮再次站在队首时，已经做了轮游戏． 6．同学们排队做操，每行人数同样多，小红的位置从左数起是第3个，从右数起是第3个；从前数起是第3个，从后数起也是第3个．做操的同学共有个．做操的同学共有 个．7．有若干名小朋友围成一个圆圈，从某个同学开始报数．如果沿顺时针方向，那么报到小明时，他应该报“12”；如果沿逆时针方向，那么报到小明时，他应该报“8”．那么这一圈一共有他应该报“8”．那么这一圈一共有 名小学生．8．小朋友们排成方阵做广播体操，小明恰好站在方阵的正中心，此时无论是从前往后或者从后往前数时他都排在第5个；无论是从左往右或者从右往左数时他都排在第6个．则这个方阵中一共有个．则这个方阵中一共有位小朋友． 9．四（．四（11）班全体同学站成一排，当从左往右报数时，小华报：）班全体同学站成一排，当从左往右报数时，小华报：181818；当从右往左；当从右往左报数时，小华报：报数时，小华报：131313．那么，该班有学生．那么，该班有学生．那么，该班有学生名． 1010．“走美”主试委员会为三～八年级准备决赛试题．每个年级．“走美”主试委员会为三～八年级准备决赛试题．每个年级12道题，并且至少有8道题与其它各年级都不同．如果某道题出现在不同年级，最多只能出现3次．本届活动至少要准备次．本届活动至少要准备道决赛试题． 1111．．小刚从一本书的54页阅读到67页，苏明从95页阅读到135页，小强从180页阅读到237页，他们总共阅读了页，他们总共阅读了页． 1212．．有30位同学排成一行，位同学排成一行，如果从左边数起第如果从左边数起第11位是小华，位是小华，那么从右边数起第那么从右边数起第那么从右边数起第 位还应是小华．1313．．2003名学生排成一行，第一次从左至右1～3报数；第二次从右至左1～5，第三次左至右1～5报数，第三次报的数等于前两次的数的和的学生有 名．1414．．四三班上操正好排成人数相等的三行，四三班上操正好排成人数相等的三行，小明排在中间一行，小明排在中间一行，小明排在中间一行，从前从后数都是从前从后数都是第八个，全班有学生第八个，全班有学生人． 1515．．56个小朋友排成一队去春游，从排头数，小刚是第19个，从排尾数，小莉是第12个．小刚与小莉之间有个．小刚与小莉之间有个同学． 1616．小华上体育课，站队时，从前向后数他是第．小华上体育课，站队时，从前向后数他是第10个，从后向前数他是第15个，这队共有个，这队共有人． 1717．．10名男生排成一队，老师要求每两名男生之间插进一名女生，可以插进 名女生．1818．同学们进行广播操比赛，全班正好排成相等的．同学们进行广播操比赛，全班正好排成相等的6行．小红排在第二行，从头数，她站在第5个位置，从后数她站在第3个位置，这个班共有个位置，这个班共有 人．1919．全班．全班35名学生排成一行，从左边数，小红是第20位，从右边数，小刚是第21位，小红与小刚中间间隔着位，小红与小刚中间间隔着名同学． 2020．一共有．一共有10只动物．列式计算：列式计算：． 2121．．46个小朋友排成一队，从排头往后数，小刚是第19个，从排尾往前数，小丽是第12个，小丽和小刚中间有个，小丽和小刚中间有人． 2222．明明排队去做操，从前数明明排第．明明排队去做操，从前数明明排第9，从后数明明排第4，这排小朋友一共有13人．人．（判断对错） 2323．六（．六（．六（22）班全体同学站成一个圆圈做游戏，从小军数起，按顺时针方向数，小强第27个，按逆时针方向数，小强是第20个，这班有个，这班有名同学． 2424．．40名同学站成一排报数．从18号到40号都是男生，男生有号都是男生，男生有人． 2525．从第．从第15棵树数到46棵树，一共有棵树，一共有棵树？ 2626．小明站在小强身后，小明后面有四个人，小强身前有五个人，这个队伍一共．小明站在小强身后，小明后面有四个人，小强身前有五个人，这个队伍一共有 个人．2727．．黄老师最近搬到新的工作室．黄老师最近搬到新的工作室．她站在阳台上发现往上看时有她站在阳台上发现往上看时有3个阳台；个阳台；往下往下看时有6个阳台．那么，黄老师所在的这座大楼一共有个阳台．那么，黄老师所在的这座大楼一共有层． 2828．有若干名小学生围成一个圆圈，从某一个学生按．有若干名小学生围成一个圆圈，从某一个学生按1、2、3…开始报数，若按顺时针方向，那么报到小美时，她应该报“15”；若按逆时针方向，小美应报“7”．那么，这群小学生一共有报“7”．那么，这群小学生一共有名． 2929．．28位小朋友排成一行，从左向右数，第10位是张华，张华左边的左边是李明，那么从右向左数，李明是第明，那么从右向左数，李明是第位． 3030．二（．二（．二（11）班同学做早操，全班排4列，每列人数相等，佳佳站在一列中前面数过去是第5个，从后面数过来是第1个，二（个，二（11）班一共有）班一共有人． 3131．二年．二年1班同学排队做操，小明从前数第6个，从后数第4个，从左数第5个，从右数第3个，他们这班一共个，他们这班一共个人． 3232．．有28位小朋友排成一行．位小朋友排成一行．从左边开始数第从左边开始数第10位是张华，位是张华，从右边开始数他是从右边开始数他是第 位．3333．．爱中、爱华兄弟俩与若干位小朋友排成一行．从左边开始数第18位是爱华；从右边开始数爱中是第8位．这整一行最少有位．这整一行最少有人，这时爱中、爱华兄弟俩中间有弟俩中间有人． 3434．．等候公共汽车的人在某站牌处整齐地排成一排，等候公共汽车的人在某站牌处整齐地排成一排，刘强也站在队里，刘强也站在队里，刘强也站在队里，他数了数他数了数人数，发现排在他前面的人数是总人数的，排在他后面的人数是总人数的，从前往后数刘强排在第从前往后数刘强排在第名． 3535．四（．四（．四（33）班同学站成两队（同样多）参加升旗仪式，小明前面有12位同学，后面有11位同学，四（位同学，四（33）班共有）班共有位同学参加升旗仪式． 3636．校外辅导员小王和四（．校外辅导员小王和四（．校外辅导员小王和四（22）班全体同学站成一排报数．从左向右报数，报到15是辅导员；从右向左报数，报到17是辅导员．则四（2）班共有学生班共有学生 人．第Ⅱ卷（解答题）请点击修改第Ⅱ卷的文字说明评卷人评卷人 得 分二．解答题（共14小题）3737．甲、乙、丙、丁、戊这五名同学站成一排．已知丙在戊右边．甲、乙、丙、丁、戊这五名同学站成一排．已知丙在戊右边2米处，丁在甲右边3米处，丙在丁右边6米处，戊在乙左边3米处．请问：最左边和最右边的同学相距多少米？边的同学相距多少米？3838．在行进的．在行进的8人队列，每人身高各不相同，按从低到高的次序排列，现在他们要变成并列的2列纵队，每列仍然是按从低到高的次序排列，同时要求并排的每两人中左边的人比右边的人要矮，那么，的每两人中左边的人比右边的人要矮，那么，22列纵队有多少种不同排法？列纵队有多少种不同排法？3939．若干个同学排成一列纵队购买电影票，如果你观察后发现：除了前面的．若干个同学排成一列纵队购买电影票，如果你观察后发现：除了前面的5个同学外，每个同学都要比从他往前数（不包括他）第5位的同学高：除了前面的3个同学外，每个同学都要比从他往前数（不包括他）第3位的同学矮．请问这支队伍最多有几个人？矮．请问这支队伍最多有几个人？4040．中心小学五（．中心小学五（．中心小学五（22）班上体育课，全班排成一排，星星的位置是：从前面数第十个，从后面数第三十二个，五（十个，从后面数第三十二个，五（22）班有多少名学生？）班有多少名学生？4141．同学们排队去参观展览，无论从前数还是从后起，李华都排在第．同学们排队去参观展览，无论从前数还是从后起，李华都排在第8个．这一排共有多少个同学？排共有多少个同学？4242．全班．全班35名学生排成一行，从左边数，小红是第20位，从右边数，小刚是第2l 位．问小红与小刚中间隔着多少名同学？位．问小红与小刚中间隔着多少名同学？4343．．学校各年级举行体操比赛，学校各年级举行体操比赛，四年级学生排成一个长方形的队伍，四年级学生排成一个长方形的队伍，四年级学生排成一个长方形的队伍，小明的位置小明的位置从左数是第5个，从右数是4个；从前数是第3个，从后数是第5个．四年级共有多少学生参加？级共有多少学生参加？4444．．15个同学排成一列横队，从左边数起，小林是第11个；从右边数起，小刚是第10个．小林与小刚之间隔几个同学？个．小林与小刚之间隔几个同学？4545．五（．五（．五（11）班做广播操，全班排成4行，每行的人数相等．小华排的位置是：从前面数第5个，从后面数第8个．这个班共有多少个学生？个．这个班共有多少个学生？4646．操场上，同学们排成一个长方形队列，小冬的东面有．操场上，同学们排成一个长方形队列，小冬的东面有3人，西面有2人，南面有4人，北面有4人．这个队列一共有多少人？人．这个队列一共有多少人？4747．．20个小朋友排成一排，从左往右数，芳芳排在第5；从右往左数，明明排在第8．芳芳和明明之间有多少人？（先画图．标出两人的位置，再解答）．芳芳和明明之间有多少人？（先画图．标出两人的位置，再解答）4848．．18名同学拍成一排跑步，从前往后数，亮亮排第8，从后往前数，聪聪排第6，亮亮和聪聪之间有几名同学？，亮亮和聪聪之间有几名同学？4949．同学们排队上车，李平的前面有．同学们排队上车，李平的前面有5人，后面有4人．排队的一共有多少人？人．排队的一共有多少人？5050．有．有6只小动物在排队照相，小猫从左边数排第2个，从右边数排第几个？参考答案与试题解析一．填空题（共36小题）1．有一组上舞蹈课的学生间隔相等地站成一个圆圈，然后从1开始依次报数．报5号的学生正对着报23的学生．这群学生的总数是的学生．这群学生的总数是 36 36 人．人．【分析】根据题意画图如下：圆的直径每一旁有2323﹣﹣5﹣1=17个人，然后乘2求出两旁的总人数，再加上报5号和报23的2个学生即可．【解答】解：根据分析可得，2323﹣﹣5﹣1=171=17（人）（人）1717××2+2=362+2=36（人）（人）故答案为：故答案为：363636．．【点评】本题关键是根据“报5号的学生正对着报23的学生”理解这两个人在同一条直径上，然后求出直径每一旁的人数．2．少先队员排队去参观科技馆，从排头数起小明是第10个；从排尾数起，小英是第13个．小明的前面就是小英，这队少先队员共有个．小明的前面就是小英，这队少先队员共有 21 21 人．人．【分析】小明的前面就是小英，从排头数起小明是第10个，那么从排头数起，小英是第9个，从排尾数起，她是第13个，所以少先队员共有9+139+13﹣﹣1人．【解答】解：解：101010﹣﹣1+131+13﹣﹣1=211=21（人）（人）答：这队少先队员共有答：这队少先队员共有 21 21人． 故答案为：故答案为：212121．．【点评】解决本题根据小明和小英的位置关系找出小英从排头数起是第几个是关键，注意小英被多数了一次，要减去1．3．20位同学站成一排，从左往右小瓜站在第3个，从右往左小果站在第7个．小瓜和小果之间有瓜和小果之间有 10 10 人．人．【分析】画出图，分别标出小瓜和小果的位置，再数出两人之间有多少个人即可．【解答】解：由图可知小瓜和小果之间有由图可知小瓜和小果之间有 10 10人． 故答案为：故答案为：101010．．【点评】解决本题画出图来进行求解比较简单，解决本题画出图来进行求解比较简单，也可以这样想：也可以这样想：也可以这样想：从左往右小瓜站从左往右小瓜站在第3个，从右往左小果站在第7个，用总人数，减去小瓜及其左边的人数，再减去小果及其右边的人数，就是两人中间的人数，列式为：2020﹣﹣3﹣7=107=10（人）（人）．4．三（．三（11）班同学排成三排做早操，三排人数相等．小红排在中间一排．从左往右数，她是第6个；个； 从右往左数，她是第7个，全班共有个，全班共有 36 36 个人．个人．【分析】从左往右数和从右往左数，小红都被数了一次，所以每排的人数是：6+7﹣1=121=12（人）（人）；然后再乘3就是全班的人数，列式为：就是全班的人数，列式为：121212××3=363=36（人）（人）；据此解答．【解答】解：（6+76+7﹣﹣1）×）×33，=12=12××3，=36=36（人）（人）； 答：全班共有36个人．故答案为：故答案为：363636．．【点评】本题关键是明确从左往右数和从右往左数，小红都被计算了两次．5．54个小朋友排队做游戏，每轮游戏有12个小朋友参加，游戏结束后，这12个小朋友按原来的先后顺序排到队尾，如果游戏开始时，小亮站在队首，当小亮再次站在队首时，已经做了小亮再次站在队首时，已经做了 9 9 轮游戏．轮游戏．【分析】54和12的最小公倍数为108108，也就是说共移动了，也就是说共移动了108人次，做了108÷12=9轮游戏．【解答】解：解：54=254=254=2××3×9，12=212=2××2×3，因此54和12的最小公倍数为：的最小公倍数为：22×2×3×9=1089=108；；做了：108108÷÷12=912=9（轮）（轮）． 答：已经做了9轮游戏．故答案为：故答案为：99．【点评】此题的关键是运用求最小公倍数的方法解决问题，6．同学们排队做操，每行人数同样多，小红的位置从左数起是第3个，从右数起是第3个；从前数起是第3个，从后数起也是第3个．做操的同学共有做操的同学共有 25 个．【分析】小红的位置从左数起是第3个，从右数起是第3个，说明一横行有3+3﹣1=5个人；从前数起是第3个，从后数起也是第3个，说明一竖行有3+33+3﹣﹣1=5人，所以做操的同学共有：人，所以做操的同学共有：55×5=25人；据此解答．【解答】解：解：3+33+33+3﹣﹣1=51=5（个）（个）3+33+3﹣﹣1=51=5（个）（个）5×5=255=25（个）（个）答：做操的同学共有25个人．故答案为：故答案为：252525．．【点评】解答此题的关键是明确横行、竖行的人数．7．有若干名小朋友围成一个圆圈，从某个同学开始报数．如果沿顺时针方向，那么报到小明时，他应该报“12”；如果沿逆时针方向，那么报到小明时，他应该报“8”．那么这一圈一共有他应该报“8”．那么这一圈一共有 18 18 名小学生．名小学生．【分析】根据题干分析可得，如果沿顺时针方向，那么报到小明时，他应该报“12”；如果沿逆时针方向，那么报到小明时，他应该报“8”．据此可知，小明与第一个报数的人之间，顺时针方向上有12人，逆时针方向有8人，据此加起来，因为第一个报数的和小明在顺时针与逆时针重复相加1次，再减去2，就是这一圈学生的总数．【解答】解：解：12+812+812+8﹣﹣2=182=18（人）（人）， 答：这一圈一共有18名小学生．故答案为：故答案为：181818．．【点评】解答此题的关键是把顺时针与逆时针报数的人数都加起来后，要明白，第一个报数的人和小明是重复相加了1次，要减去．8．小朋友们排成方阵做广播体操，小明恰好站在方阵的正中心，此时无论是从前往后或者从后往前数时他都排在第5个；无论是从左往右或者从右往左数时他都排在第6个．则这个方阵中一共有个．则这个方阵中一共有 99 99 位小朋友．位小朋友．【分析】从前往后或者从后往前数时他都排在第5个，说明每列都有5+55+5﹣﹣1=9人；同理，从左往右或者从右往左数时他都排在第6个，说明每一行都有6+6﹣1=11人，然后用9乘11就是这个方阵的人数．【解答】解：每列都有：解：每列都有：5+55+55+5﹣﹣1=91=9（人）（人）每行都有：每行都有：6+66+66+6﹣﹣1=111=11（人）（人）9×11=9911=99（人）（人）答：这个方阵中一共有答：这个方阵中一共有 99 99位小朋友． 故答案为：故答案为：999999．．【点评】本题关键是理解“第5个、第6个”的意思，注意：求每行每列的总人数时不要忘了小明．9．四（．四（11）班全体同学站成一排，当从左往右报数时，小华报：）班全体同学站成一排，当从左往右报数时，小华报：181818；当从右往左；当从右往左报数时，小华报：报数时，小华报：131313．那么，该班有学生．那么，该班有学生．那么，该班有学生 30 30名．【分析】根据题意，可知小华的左边有17人，右边有12人，由此即可求得该班总人数．【解答】解：小华的左边有17人，右边有12人，17+12+1=3017+12+1=30（人）（人）； 答：该班有学生30名．故答案为：故答案为：303030．．【点评】根据小华的报数情况得出他的左右两边的人数是解决本题的关键，根据小华的报数情况得出他的左右两边的人数是解决本题的关键，这里这里不要忘记加上小华．1010．“走美”主试委员会为三～八年级准备决赛试题．每个年级．“走美”主试委员会为三～八年级准备决赛试题．每个年级12道题，并且至少有8道题与其它各年级都不同．如果某道题出现在不同年级，最多只能出现3次．本届活动至少要准备次．本届活动至少要准备 56 56 道决赛试题．道决赛试题．【分析】根据题意可知，根据题意可知，三～八年级有三～八年级有6个年级，个年级，每个年级至少有每个年级至少有8道题与其它各年级都不同，可以得出，不同的题目至少是8×6=486=48（道）（道），每个年级还剩下1212﹣﹣8=48=4（道）（道），如果某道题出现在不同年级，最多只能出现3次，可以令前三个年级剩下的题目相同，后三个年级剩下的题目相同，那么至少还需要4×2=82=8（道）（道），然后解答即可． 【解答】解：根据题意，由分析可得：8×6+6+（（1212﹣﹣8）×）×2=562=562=56（道）（道）． 答：本届活动至少要准备56道决赛试题．【点评】根据题意，先分析不同的题目至少多少道，再分析相同的至少多少道，再根据题意解答即可．1111．．小刚从一本书的54页阅读到67页，苏明从95页阅读到135页，小强从180页阅读到237页，他们总共阅读了页，他们总共阅读了 113 113 页．页．【分析】由题意，分别求得小刚、苏明和小强各读了多少页，再相加即得他们总共阅读了多少页．【解答】解：小刚：解：小刚：676767﹣﹣54+1=1454+1=14（页）（页）， 苏明：苏明：135135135﹣﹣95+1=4195+1=41（页）（页）， 小强：小强：237237237﹣﹣180+1=58180+1=58（页）（页）， 14+41+58=11314+41+58=113（页）（页）， 答：他们总共阅读了113页．故答案为：故答案为：113113113．．【点评】解答此题要注意求每个人所看的页数时不要忘了加1．1212．．有30位同学排成一行，位同学排成一行，如果从左边数起第如果从左边数起第11位是小华，位是小华，那么从右边数起第那么从右边数起第那么从右边数起第 20 20 位还应是小华．位还应是小华．【分析】此题可以先求出小华的右边有多少人：如图：从左边数起第11位是小华，那么小华的右边还有3030﹣﹣1010﹣﹣1=19人，由此即可得出，从右边数小华是第20位． 【解答】解：解：303030﹣﹣1010﹣﹣1=191=19（人）（人）， 答：从右边数起小华是第20位．故答案为：故答案为：202020．．【点评】此类题目采用画图法分析，更加鲜明易懂．1313．．2003名学生排成一行，第一次从左至右1～3报数；第二次从右至左1～5，第三次左至右1～5报数，第三次报的数等于前两次的数的和的学生有报数，第三次报的数等于前两次的数的和的学生有 267 名．【分析】先按报数规律，写出一些数，会发现：从左至右每15个人三次报数的环周期，每一个循环周期有两个人符合要求，每一个循环周期有两个人符合要求，然后根据然后根据2003里有几个1515，，再结合余数解答即可．【解答】解：从左至右每15个人三次报数的情况重复一次．个人三次报数的情况重复一次．前前15人的情况如下表：第一次报数：表：第一次报数：1231231 2 3 1 231231231231 2 3 1 23123， 第二次报数：第二次报数：3215432 1 5 4 321543215432 1 5 4 32154， 第三次报数：第三次报数：1234512 3 4 5 123451234512 3 4 5 12345， 符合要求的只有左起第8，10两人；20032003÷15=133…8，÷15=133…8，符合要求的学生共有：符合要求的学生共有：22×133+1=267133+1=267（人）（人）； 故答案为：故答案为：267267267．．【点评】本题关键是求出找到循环周期，注意余的8人还有一人符合要求．1414．．四三班上操正好排成人数相等的三行，四三班上操正好排成人数相等的三行，小明排在中间一行，小明排在中间一行，小明排在中间一行，从前从后数都是从前从后数都是第八个，全班有学生第八个，全班有学生 45 45 人．人．【分析】此题可以先求出小明所在的那一列的人数是：此题可以先求出小明所在的那一列的人数是：77×2+1=15人，由此即可求得三行的总人数．【解答】解：（7×2+12+1）×）×）×33，=15=15××3，=45=45（人）（人）， 答：全班有45人．故答案为：故答案为：454545．．【点评】此题也可以利用解决数阵问题的方法解决：把这个队伍看做是最外边的点数分别为3和15实心数阵，则利用实心数阵的点数之和实心数阵，则利用实心数阵的点数之和==每边点数×另一边点数，（与长方形面积公式类似即长×宽）．1515．．56个小朋友排成一队去春游，从排头数，小刚是第19个，从排尾数，小莉是第12个．小刚与小莉之间有个．小刚与小莉之间有 25 25 个同学．个同学．【分析】从排头数，小刚是第19个，从排尾数，小莉是第12个，也就是从排头到小刚是19人，从排尾到小莉12人，那么二者之间有5656﹣（﹣（﹣（19+1219+1219+12）），计算即可．【解答】解：解：565656﹣（﹣（﹣（19+1219+1219+12））=56=56﹣﹣31=25=25（人）（人）故答案为：故答案为：252525．．【点评】解答本题要注意求小刚与小莉中间有多少人，解答本题要注意求小刚与小莉中间有多少人，不包括小刚与小莉，不包括小刚与小莉，不包括小刚与小莉，必要必要时可以画图帮助理解．1616．小华上体育课，站队时，从前向后数他是第．小华上体育课，站队时，从前向后数他是第10个，从后向前数他是第15个，这队共有个，这队共有 24 24 人．人．【分析】根据题意，从前向后数他是第10个，说明他的前面有9人，从后向前数他是第15个，说明他的后面有14人，再算上小华本人，那么这队共有的人数就很明显了，列式解答即可．【解答】解：（1010﹣﹣1）+（1515﹣﹣1）+1=9+14+1=23+1=24=24（人）（人）答：这队共有24人．故答案为：故答案为：242424．．【点评】解答此题的关键是以小华为目标，解答此题的关键是以小华为目标，确定他的前后各有多少人，确定他的前后各有多少人，确定他的前后各有多少人，然后再算然后再算上小华本人，即是这队的总人数．1717．．10名男生排成一队，老师要求每两名男生之间插进一名女生，可以插进名男生排成一队，老师要求每两名男生之间插进一名女生，可以插进 9 名女生．【分析】10名男生排成一队，那么就有1010﹣﹣1=9个间隔，每一个间隔插入1名。

第五章 排队论一、填空题1．随机服务系统是由（ ）组成的。

2．随机事件流是（ ）。

3．如果一事件流满足平稳性、（ ）、（ ），就称为最简单流。

4．按照Kendall 的分类方法，对于排队模型X/Y/Z ，其中X 表示（ ），Y 表示（ ），Z 表示（ ）。

5．解排队问题必须确定用以判断系统运行优劣的基本数量指标，它们是（ ） 等。

6．系统的状态是指（ ）。

7．[逗留时间]=[等待时间]+[ ]8．系统中顾客数=在队列中等待服务的顾客数+（ ）。

9．稳态的物理含义是（ ）。

二、简答题1．简要说明等式)()1(q N L L p -=-μλ的实际含义2．简要解释无后效性。

3．简要解释生灭过程4．简要阐述排队论研究什么？三、计算题1．顾客按普阿松分布到达一个服务台。

如果到达率为每单位时间20个，在t=0时系统是空闲的。

（1）已知在t=15时系统中有10个顾客，求在t=30时系统中有20个顾客的概率（2）在t=10和t=20时系统中的平均顾客数2．汽车按照平均数为每小时90辆的普阿松分布到达快车道上的一个收费关卡。

通过关卡的平均时间（平均服务时间）是38秒，驾驶员埋怨等待时间太久。

主管部门想采用新装置，使通过关卡的时间减少到平均30秒，但这只有在老系统中等待的汽车超过平均5辆，新系统中关卡的空闲时间不超过10%时才是合算的。

根据这个要求，问新装置是否合算？3．某车间的工具库只有一个管理员，平均每小时有4个工人来借工具，平均服务时间为6分钟。

到达为普阿松流，服务时间为指数分布。

由于场地等条件限制，仓库内能借工具的人最多不能超过3个，求：（1）仓库内没有人借工具的概率（2）系统中借工具的平均人数（3）排队等待借工具的平均人数（4）工人在系统中平均花费的时间（5）工人平均排队时间4．假定到达一个电话室的顾客服从普阿松分布，相继两个到达间的平均时间为10分钟，通话时间服从指数分布，平均数为3分钟。

求：（1）顾客到达电话室要等待的概率（2）平均队长（3）当一个顾客至少要等3分钟才能打电话时，邮电局打算增设一台电话机，问到达速度增加到多少时，装第二台电话机才是合理的？（4）打一次电话要等10分钟以上的概率是多少？（5）假定装了第二台电话机，顾客的平均等待时间是多少？。

通用版六年级奥数专项精品讲义及常考易错题汇编计数问题-排队论问题【知识点归纳】1．排队论问题解决方法：要使等候时间最短，应该从等候时间较少的事情做起．2．举例说明：四（1）班的3个同学各拿一只水桶去接水，水龙头给3只桶注满水所需的时间分别是4分钟、3分钟、1分钟，现在只有1个水龙头可以接水，怎样安排能使他们总的等候时间最短？这个最短的时间是多少？【常考题型】例1：小朋友排队做早操，无论从左数还是从右手笑笑都排在第5位，这排小朋友有（）人．A、8B、9C、10D、11分析：无论从左数还是从右手笑笑都排在第5位，说明笑笑的左右各有4个人，再加上她自己一共有4×2+1=9人，据此解答．解：（5-1）×2+1，=4×2+1，=9（人）；答：这排小朋友有9人．故选：B点评：本题关键是理解“笑笑都排在第5位”的意思是：她的左右各有4个人，注意：求这一排的总人数时不要忘了加上她自己．一．选择题1．同学们排队领书，小明前面有3人，后面有4人．一共有几人排队？() A．7人B．9人C．8人2．小朋友排队，从前数，小小是第4个人，从后数，她是第3个人，这一队共有() A．5人B．6人C．7人D．8人3．40个小朋友排队，笑笑前面有7人，后边有()人。

A．32B．23C．334．同学们排队做操从前面数小明是第5个，从后面数小明是第8个，这一列共有()人．A．12B．13C．145．24个小朋友站在一起，从左数笑笑排第10，从右数淘气排第8，笑笑和淘气中间有( )人．A．5B．7C．66．小朋友排队，从前往后数，红红排在第8个，从后往前数，红红排在第10个，这队共有( )人．A．18B．17C．197．一排小动物共有20只，从左往右数大象排第16，从右往左数小猫排第18，大象和小猫之间相隔()只动物．A．1B．2C．11D．128．小芳排队去大食堂打饭，她发现从前往后数，自己排第7，倒数也是第7，这个队伍一共有()A．14人B．15人C．13人二．填空题9．小朋友们排队做操，小明前面有6个人，后面有5个人，这一排一共有人10．28位小朋友排成一行，从左边开始数第10位是小雨，从右边开始数他是第位。

３２８习题十三13.1 某市消费者协会一年365天接受顾客对产品质量的申诉。

设申诉以λ＝4件/天的普阿松流到达，该协会每天可以处理申诉5件，当天处理不完的将移交专门小组处理，不影响每天业务。

试求：（1）一年内有多少天无一件申诉；（2）一年内多少天处理不完当天的申诉。

13.2 来到某餐厅的顾客流服从普阿松分布，平均每小时20人。

餐厅于上午11：00开始营业，试求：（1）当上午11：07有18名顾客在餐厅时，于11：12恰好有20名顾客的概率（假定该时间段内无顾客离去）；（2）前一名顾客于11：25到达，下一名顾客在11：28至11：30之间到达的概率。

13.3 某银行有三个出纳员，顾客以平均速度为4人/分钟的泊松流到达，所有的顾客排成一队，服务时间服从均值为0.5分钟的负指数分布，试求：（1） 银行内空闲时间的概率；（2） 银行内顾客数为n 时的稳态概率；（3） 平均队列长Lq ；（4） 银行内的顾客平均数Ls ；（5） 平均逗留时间Ws ；（6） 平均等待时间Wq 。

13.4 某加油站有一台油泵。

来加油的汽车按普阿松分布到达，平均每小时20辆，但当加油站中已有n 辆汽车时，新来汽车中将有一部分不愿等待而离去，离去概率为4n （n ＝0，1，2，3，4）。

油泵给一辆汽车加油所需时间为具有均值3分钟的负指数分布。

（1）画出此排队系统的速率图；（2）导出其平衡方程式；（3）求出加油站中汽车数的稳态概率分布；（4）求那些在加油站的汽车的平均逗留时间。

13.5 某无线电修理商店保证每件送到的电器在一小时内修完取货，如超过一小时则分文不取。

已知该商店每修理一件平均收费10元，其成本平均每件5.50元。

已知送来修理的电器按普阿松分布到达，平均每小时6件，每维修一件的时间平均为7.5分钟，服从负指数分布。

试问：（1）该商店在此条件下能否盈利；（2）当每小时送达的电器为多少件时该商店的经营处于盈亏平衡点。

13.6 某企业有5台车运货，已知每台车每运行100小时平均需维修2次，每次需时20分钟，以上分别服从普阿松及负指数分布。

小学数学六年级奥数高频考点常考易错题汇编——计数问题——排队论问题一．选择题1．排队买票，从前往后数小明排第5，小军排第10，小明和小军之间有()人。

A．3B．4C．5D．62．同学们排队参观科技馆。

从前面数，东东是第28个，力力是第36个，东东和力力之间有()个人。

A．7B．8C．93．10个小朋友排成一排，从左往右数，小明在第6个，小明左边有几人？()A．4人B．5人C．6人4．排队时，小雨前面有5人，后面有9人，那么这一队一共有()人。

A．14B．15C．135．小朋友们排成队做操，从前往后数，小红排在第5个，从后往前数，小红还是排在第5个，这一队共有()个小朋友。

A．10B．9C．116．小动物排队做操，和之间有()个小动物。

A．5B．6C．77．小朋友们排成一队做游戏，淘气的前面有9人，后面有5人，这一队小朋友共有()人。

A．15B．16C．188．同学们排队做游戏，从前往后数芳芳排第5，从后往前数芳芳排第8，这一队一共有多少人？()A．13B．14C．129．一群小动物排队，从前面数小马排第7，小马后面有5只小动物，这群小动物一共有几只？()A．10B．11C．1210．人们排队进行核酸检测，从前面数，小明排第30个，他后面还有6个人，此时排队的人共有()个。

A．35B．36C．3711．有13人参加跑步比赛，小强的前面有9人，他的后面有()人。

A．3B．4C．5D．012．笑笑排队买票，她前面有13人，后面有8人，一共有()人排队。

A．20B．21C．2213．队列表演中，明明前面有7人，后面有12人，这一列一共有()人。

A．18B．19C．2014．红红的前面有6人，红红的后面有4人，这一队一共有多少人？()A．9人B．10人C．11人15．小朋友们排队，从前面数小华排在第8个，从后面数小华排在第6个，这个队伍一共有()个人。

A．13B．14C．15二．填空题16．一共有个小朋友在玩“老鹰捉小鸡”的游戏，小明的前面有个小朋友，从后数，小明排在第个。

几种典型的排队模型（1）M/M/1/ / /FCFS单服务台排队模型系统的稳态概率F nP0 1 , / 1为服务强度；F n （1 ）系统运行指标a. 系统中的平均顾客数（队长期望值）L s n.F n ------------------ ；i 0b. 系统中排队等待服务的平均顾客数（排队长期望值）L q （n 1）.F ni 0c. 系统中顾客停留时间的期望值1 W s E[W]d. 队列中顾客等待时间的期望值1W q W s⑵M/M/1/N/ /FCFS单服务台排队模型系统的稳态概率巳P n系统运行指标a. 系统中的平均顾客数（队长期望值）b. 系统中排队等待服务的平均顾客数（排队长期望值）c. 系统中顾客停留时间的期望值d. 队列中顾客等待时间的期望值1。

W q W s -⑶M/M/1/ /m/FCFS (或M/M/1/m/m/FCFS)单服务台排队模型系统的稳态概率F nP)m , ；F n ■ , ( ) F0,1 n mm! / 、i (m n)!()i o (m i)!系统运行指标a. 系统中的平均顾客数（队长期望值）b. 系统中排队等待服务的平均顾客数（排队长期望值）c.系统中顾客停留时间的期望值d.队列中顾客等待时间的期望值⑷M/M/c/ / /FCFS单服务台排队模型系统的稳态概率P n系统运行指标a. 系统中的平均顾客数(队长期望值)：b. 系统中排队等待服务的平均顾客数(排队长期望值)：c. 系统中顾客停留时间的期望值：d. 队列中顾客等待时间的期望值：［典型例题精解］例1：在某单人理发馆，顾客到达为普阿松流，平均到达间隔为 负指数分布，平均时间为 15分钟。

求: (1)顾客来理发不必等待的概率； (2)理发馆内顾客平均数；(3)顾客在理发馆内平均逗留时间；(4)如果顾客在店内平均逗留时间超过小时，则店主将考虑增加设备及人员。

问平均到达率提高多少时店主才能做这样考虑呢 例2 :某机关接待室只有一位对外接待人员，每天工作 10小时，来访人员和接待时间都 是随机的。