2 2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系ppt课件

2．1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系考点 学习目标核心素养一元二次方 程根的判断 理解判别式Δ的值与一元二次方程根的个数之间的关系，并会应用数学运算一元二次方程根 与系数的关系会利用一元二次方程根与系数的关系进行计算求值及求参数的取值范围数学运算问题导学预习教材P47－P50的内容，思考以下问题：1．如何通过判别式Δ判定一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)解的情况？2．一元二次方程的根与系数有什么关系？ 1．一元二次方程的解集一般地，Δ＝b 2－4ac 称为一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的判别式．(1)当Δ>0时，方程的解集为{－b ＋b 2－4ac 2a ，－b －b 2－4ac2a}；(2)当Δ＝0时，方程的解集为⎩⎨⎧⎭⎬－b 2a ；(3)当Δ<0时，方程的解集为∅． 2．一元二次方程根与系数的关系若x 1，x 2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根，则x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca．■名师点拨 应用一元二次方程的根与系数的关系时，常有以下变形： ①(x 1＋1)(x 2＋1)＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1；②x 2x 1＋x 1x 2＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2x 1x 2； ③|x 1－x 2|＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不等实数根，则b 2－4ac >0.( )(2)一元二次方程x 2＋ax ＋a －1＝0有实数根．( ) 答案：(1)√ (2)√下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是( )A ．x 2＋1＝0 B ．x 2－2x ＋1＝0 C ．x 2＋2x ＋4＝0 D ．x 2－x －3＝0答案：D若关于x 的一元二次方程x 2＋4x ＋k ＝0有实数根，则k 的取值范围是________．解析：因为一元二次方程x 2＋4x ＋k ＝0有实数根， 所以Δ＝16－4k ≥0，即k ≤4. 答案：(－∞，4]已知一元二次方程x 2－2x －1＝0的两根分别为x 1，x 2，则1x 1＋1x 2＝________.解析：因为x 1，x 2是方程x 2－2x －1＝0的根， 所以x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－1，所以1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝－2.答案：－2方程根个数的判断及应用已知关于x 的一元二次方程3x 2－2x ＋k ＝0，根据下列条件，分别求出k 的范围．(1)方程有两个不相等的实数根； (2)方程有两个相等的实数根； (3)方程有实数根； (4)方程无实数根．【解】 Δ＝(－2)2－4×3k ＝4(1－3k )． (1)因为方程有两个不相等的实数根， 所以Δ>0，即4(1－3k )>0， 所以k <13.(2)因为方程有两个相等的实数根， 所以Δ＝0，即4(1－3k )＝0，所以k ＝13.(3)因为方程有实根，所以Δ≥0，即4(1－3k )≥0， 所以k ≤13.(4)因为方程无实根，所以Δ<0，即4(1－3k )<0，所以k >13.对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，有(1)当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根x 1，2＝－b ±b 2－4ac2a；(2)当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－b2a；(3)当Δ<0时，方程没有实数根．1．不解方程，判断下列方程的实数根的个数． (1)2x 2－3x ＋1＝0； (2)4y 2＋9＝12y ； (3)5(x 2＋3)－6x ＝0.解：(1)因为Δ＝(－3)2－4×2×1＝1>0， 所以原方程有两个不相等的实数根． (2)原方程可化为4y 2－12y ＋9＝0，因为Δ＝(－12)2－4×4×9＝0， 所以原方程有两个相等的实数根． (3)原方程可化为5x 2－6x ＋15＝0， 因为Δ＝(－6)2－4×5×15＝－264<0， 所以原方程没有实数根．2．已知方程x 2＋kx ＋1＝0(k >0)有实数根，求函数y ＝k 2＋2k －1的取值范围．解：Δ＝b 2－4ac ＝k 2－4≥0，k ≥2(因为k >0)，y ＝k 2＋2k －1，k ∈[2，＋∞)，因为对称轴k ＝－1，又因为a ＝1>0，所以当k ∈[2，＋∞)时且k 越来越大时y 也越来越大， 所以当k ＝2时，y min ＝4＋4－1＝7，所以y ≥7.注：k ∈[2，＋∞)就是k 可取得大于等于2的一切实数． 直接应用根与系数的关系进行计算若x 1，x 2是方程x 2＋2x －2 007＝0的两个根， 试求下列各式的值： (1)x 21＋x 22； (2)1x 1＋1x 2；(3)(x 1－5)(x 2－5)； (4)|x 1－x 2|.【解】 x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－2 007，(1)x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝(－2)2－2×(－2 007)＝4 018.(2)1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝－2－2 007＝22 007.(3)(x 1－5)(x 2－5)＝x 1x 2－5(x 1＋x 2)＋25＝－2 007－5×(－2)＋25＝－1 972.(4)|x 1－x 2|＝（x 1－x 2）2＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝4＋4×2 007＝8 032＝4502.在求含有一元二次方程两根的代数式的值时，利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简的作用．在计算时，要先根据原方程求出两根之和与两根之积，再将代数式变形为局部含有两根之和与两根之积的形式，然后代入求值．1．已知x 1，x 2是方程x 2＋6x ＋3＝0的两个实数根，求x 2x 1＋x 1x 2的值．解：由题知，Δ>0，x 1＋x 2＝－6，x 1x 2＝3，所以x 2x 1＋x 1x 2＝x 21＋x 22x 1x 2＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2x 1x 2＝（－6）2－2×33＝10.2．设a ，b 是方程x 2＋x －2 019＝0的两个实数根，求a 2＋2a ＋b 的值．解：由题知，Δ>0，a ＋b ＝－1，a 2＋a －2 019＝0， 所以a 2＋2a ＋b ＝(a 2＋a )＋(a ＋b )＝2 019－1＝2 018. 应用根与系数的关系求字母系数的值或范围已知关于x 的方程x 2－(k ＋1)x ＋14k 2＋1＝0，根据下列条件，求出k 的值．(1)方程两实根的积为5；(2)方程的两实根x 1，x 2，满足|x 1|＝x 2. 【解】 Δ＝[－(k ＋1)]2－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫14k 2＋1＝2k －3，Δ≥0，k ≥32.(1)设方程的两个根为x 1，x 2，x 1x 2＝14k 2＋1＝5，k 2＝16，k ＝4或k ＝－4(舍)．(2)①若x 1≥0，则x 1＝x 2，Δ＝0，k ＝32.方程为x 2－52x ＋2516＝0，x 1＝x 2＝54>0满足．②若x 1<0，则x 1＋x 2＝0，即k ＋1＝0，k ＝－1. 方程为x 2＋54＝0，而方程无解，所以k ≠－1，所以k ＝32.利用一元二次方程根与系数的关系求待定字母的值时，务必注意根与系数的关系的应用前提条件，即Δ≥0.1．已知关于x 的一元二次方程x 2－(2k －1)x ＋k 2＋k －1＝0有实数根．(1)求k 的取值范围；(2)若此方程的两个实数根x 1，x 2满足x 21＋x 22＝11，求k 的值． 解：(1)因为关于x 的一元二次方程x 2－(2k －1)x ＋k 2＋k －1＝0有实数根．所以Δ≥0，即[－(2k －1)]2－4×1×(k 2＋k －1)＝－8k ＋5≥0， 解得k ≤58.(2)由题知x 1＋x 2＝2k －1，x 1x 2＝k 2＋k －1，所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝(2k －1)2－2(k 2＋k －1)＝2k 2－6k ＋3.因为x 21＋x 22＝11，所以2k 2－6k ＋3＝11， 解得k ＝4或k ＝－1， 因为k ≤58，所以k ＝－1.2．已知关于x 的方程x 2－tx ＋2－t ＝0，根据下列条件，求出实数t 的取值范围．(1)两个根都大于1；(2)一个根大于1，另一个根小于1.解：设方程的两个根为x 1，x 2，(1)⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0x 1>1x 2>1⇒⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0（x 1－1）＋（x 2－1）＞0（x 1－1）（x 2－1）＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋4t －8≥0t ＞2t ＜32无解．所以不存在实数t ，使得方程的两个根都大于1.(2)⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0x 1>1x 2<1⇒⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0（x 1－1）（x 2－1）<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋4t －8>0t >32，t >32.1．方程x 2－23kx ＋3k 2＝0的根的情况是( ) A ．有一个实数根B ．有两个不相等的实数根C ．有两个相等的实数根D ．没有实数根解析：选C.Δ＝(－23k )2－12k 2＝12k 2－12k 2＝0.2．若关于x 的方程mx 2＋(2m ＋1)x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是( )A ．m <14B ．m >－14C ．m <14且m ≠0D ．m ＞－14且m ≠0解析：选D.Δ＝(2m ＋1)2－4m 2＝4m 2＋4m ＋1－4m 2＝4m ＋1>0，解得m >－14.当m ＝0时，方程x ＝0不符合题意．3．已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2＋bx －3＝0的两根，且满足x 1＋x 2－3x 1x 2＝5，那么b 的值为( )A ．4B ．－4C ．3D ．－3解析：选A.由题知x 1＋x 2＝－b ，x 1x 2＝－3，则x 1＋x 2－3x 1x 2＝－b －3×(－3)＝5，解得b ＝4.4．已知方程x 2＋tx ＋1＝0，根据下列条件，分别求出t 的取值范围．(1)两个根都大于0； (2)两个根都小于0；(3)一个根大于0，另一个根小于0.解：设方程x 2＋tx ＋1＝0的两个根为x 1，x 2.(1)⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0x 1＞0x 2＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0x 1＋x 2＞0x 1x 2＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧t 2－4≥0－t ＞01＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧t ≥2或t ≤－2t ＜0t ∈R⇒t ≤－2.所以t 的取值范围为(－∞，－2]．(2)⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0x 1＜0x 2＜0⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0x 1＋x 2＜0x 1x 2＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧t 2－4≥0－t ＜01＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧t ≥2或t ≤－2t ＞0t ∈R⇒t ≥2.所以t 的取值范围为[2，＋∞)．(3)⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0x 1＞0x 2＜0⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0x 1x 2＜0⇒⎩⎪⎨⎪⎧t 2－4＞01＜0⇒⎩⎪⎨⎪⎧t ＞2或t ＜－2无解.所以无解，即不存在实数t使得方程的一个根大于0，另一个根小于0.所以t的取值范围为∅.[A 基础达标]1．已知关于x的方程x2＋3x＋a＝0有一个根为－2，则另一个根为( )A．5 B．－1C．2 D．－5解析：选B.设方程的另一个根为x0，则－2＋x0＝－3，即x0＝－1.2．若关于x的一元二次方程x(x＋1)＋ax＝0有两个相等的实数根，则实数a的值为( )A．－1 B．1C．－2或2 D．－3或1解析：选A.由x(x＋1)＋ax＝0，得x2＋(1＋a)x＝0.因为方程有两个相等的实数根，所以判别式Δ＝0.所以a＝－1.3．若α，β是一元二次方程3x2＋2x－9＝0的两个根，则βα＋αβ的值是( )A.427 B ．－427C ．－5827D.5827解析：选C.由题知α＋β＝－23，αβ＝－3，所以βα＋αβ＝（α＋β）2－2αβαβ＝－5827.4．已知关于x 的一元二次方程mx 2－(m ＋2)x ＋m4＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2.若1x 1＋1x 2＝4m ，则m 的值是( )A ．2B ．－1C ．2或－1D ．不存在解析：选A.由题知⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0，Δ＝（m ＋2）2－4m ·m 4>0， 解得m >－1且m ≠0.因为x 1＋x 2＝m ＋2m ，x 1x 2＝14，所以1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝m ＋2m14＝4m ，所以m ＝2或－1.因为m >－1，所以m ＝2.5．若a ，b ，c 为△ABC 的三边长，且关于x 的一元二次方程(c －b )x 2＋22(b －a )x ＋2(a －b )＝0有两个相等的实数根，则这个三角形是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．不等边三角形解析：选A.根据题意，得c －b ≠0，Δ＝[22(b －a )]2－4(c －b )·2(a －b )＝0，(a －b )(a －b －c ＋b )＝0， 所以a －b ＝0或a －c ＝0， 所以a ＝b 或a ＝c ，所以这个三角形为等腰三角形．6．已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2－5x ＋a ＝0的两个实数根，且x 21－x 22＝10，则a ＝________.解析：由题知x 1＋x 2＝5，x 1x 2＝a . 因为x 21－x 22＝(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝10， 所以x 1－x 2＝2，所以(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝25－4a ＝4， 所以a ＝214.答案：2147．设α，β是方程(x ＋1)(x －4)＝－5的两个实数根，则β3α＋α3β＝________.解析：由题意，得α＋β＝3，αβ＝1， 所以α2＋β2＝(α＋β)2－2αβ＝7，α4＋β4＝(α2＋β2)2－2α2·β2＝47， 所以β3α＋α3β＝α4＋β4αβ＝47.答案：478．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－2x －1＝0的两个实数根，则12x 1＋1＋12x 2＋1的值是________． 解析：由题知x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－1，x 21＝2x 1＋1，x 22＝2x 2＋1， 故原式＝1x 21＋1x 22＝x 21＋x 22（x 1x 2）2＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2（x 1x 2）2＝22－2×（－1）（－1）2＝6. 答案：69．设x 1，x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值．(1)x 21x 2＋x 1x 22；(2)(x 1－x 2)2；(3)⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 1；(4)1x 21＋1x 22.解：⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝3x 1x 2＝32，(1)原式＝x 1x 2(x 1＋x 2)＝32×3＝92；(2)原式＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝9－4×32＝3；(3)原式＝x 1x 2＋1x 1x 2＋2＝32＋23＋2＝256；(4)原式＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2（x 1x 2）2＝9－394＝83. 10．已知关于x 的方程(k －1)x 2＋(2k －3)x ＋k ＋1＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2.(1)求k 的取值范围；(2)是否存在实数k ，使方程的两个实根互为相反数？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)⎩⎪⎨⎪⎧k －1≠0Δ＝（2k －3）2－4（k －1）（k ＋1）>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧k ≠1k <1312，所以k <1312且k ≠1.(2)若x 1＋x 2＝0，即－2k －3k －1＝0，k ＝32，由(1)可知这样的k 不存在．[B 能力提升]11．已知m 2－2m －1＝0，n 2＋2n －1＝0，且mn ≠1，则mn ＋n ＋1n的值为________．解析：由题知n ≠0，则1＋2n －1n 2＝0，即1n 2－2n－1＝0.又m 2－2m －1＝0，且mn ≠1，即m ≠1n，故m ，1n 是方程x 2－2x －1＝0的两个根，则m ＋1n＝2.故mn ＋n ＋1n ＝m ＋1＋1n＝2＋1＝3.答案：312．已知方程2x 2－(k ＋1)x ＋k ＋3＝0的两根之差为1，则k 的值为________．解析：设x 1，x 2为方程的两个根，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝k ＋12x 1x 2＝k ＋32，|x 1－x 2|＝1，⎝⎛⎭⎪⎫k ＋122－2(k ＋3)＝1，k ＝9或k ＝－3.检验当k ＝9或k ＝－3时，Δ＞0成立． 答案：－3或913．已知关于x 的一元二次方程x 2＋(4m ＋1)x ＋2m －1＝0. (1)求证：不论m 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程两根为x 1，x 2且满足1x 1＋1x 2＝－12，求m 的值．解：(1)证明：Δ＝(4m ＋1)2－4(2m －1)＝16m 2＋5>0， 所以方程总有两个不相等的实数根． (2)因为x 1＋x 2＝－(4m ＋1)，x 1x 2＝2m －1，1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝－12，即－（4m ＋1）2m －1＝－12，所以m ＝－12. 14．若x 1，x 2是关于x 的方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2－1＝0的两个实数根，且x 1，x 2都大于1.(1)求实数k 的取值范围；(2)若x 1x 2＝12，求k 的值．解：(1)⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0x 1＞1x 2＞1⇒⎩⎪⎨⎪⎧[－（2k ＋1）]2－4（k 2－1）≥0x 1＋x 2－2＞0x 1x 2－（x 1＋x 2）＋1＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋5≥02k ＋1－2＞0k 2－1－（2k ＋1）＋1＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧k ≥－54k ＞12k ＞1＋2或k ＜1－2，所以k ＞1＋ 2.(2)⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0x 1＋x 2＝2k ＋1 ①x 1x 2＝k 2－1 ②x 2＝2x 1 ③由①③得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2k ＋13x 2＝23（2k ＋1）.所以29(2k ＋1)2＝k 2－1，k 2－8k －11＝0，k ＝4＋33或k ＝4－33，满足Δ>0.[C 拓展探究]15．已知x 1，x 2是一元二次方程4kx 2－4kx ＋k ＋1＝0的两个实数根．(1)是否存在实数k ，使(2x 1－x 2)(x 1－2x 2)＝32成立？若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由．(2)求使x 1x 2＋x 2x 1－2的值为整数的实数k 的整数值．解：Δ＝(－4k )2－4×4k (k ＋1)＝－16k (k ≠0)，Δ≥0，k <0(因为k ≠0)，(1)存在，x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝k ＋14k ，由(2x 1－x 2)(x 1－2x 2)＝32得：2(x 1＋x 2)2－9x 1x 2＝32.2－9×k ＋14k ＝32，所以k ＝－97.(2)x 21＋x 22x 1x 2－2＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2x 1x 2－2＝1k ＋14k－4＝4k k ＋1－4＝－4k ＋1.因为－4k ＋1的值为整数， 所以k ＋1＝±1，k ＋1＝±2，k ＋1＝±4，所以k ＝0或k ＝－2或k ＝1或k ＝－3或k ＝3或k ＝－5， 因为k <0，所以k ＝－2或k ＝－3或k ＝－5.。

2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系课标要求素养要求1.理解判别式的作用，掌握一元二次方程的解法：因式分解法(包括“十字相乘法”)，配方法和求根公式法(重点).2.掌握一元二次方程根与系数的关系(韦达定理).通过求一元二次方程的解集及根与系数关系的应用，提升逻辑推理和数学运算素养.教材知识探究利用恒等式的变形，推导一元二次方程根与系数的关系如下 设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)两根为x 1，x 2， 令ax 2＋bx ＋c ＝a (x －x 1)(x －x 2)＝ax 2－a (x 1＋x 2)x ＋ax 1x 2， ∴⎩⎨⎧b ＝－a （x 1＋x 2），c ＝ax 1x 2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－ba ，x 1x 2＝c a .1.一元二次方程的解集 (1)一般地，方程x 2＝t ：①当t >0时，解集为{t ，－t }； ②当t ＝0时，解集为{0}； ③当t <0时，解集为∅． (2)一般地，方程(x －k )2＝t ：①当t >0时，解集为{k ＋t ，k －t }； ②当t ＝0时，解集为{k }； ③当t <0时，解集为∅．(3)一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的判别式及求根公式判别式只能判定实系数(系数全都是实数)一元二次方程的解集的情况一般地，Δ＝b 2－4ac 称为一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的判别式．对一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，Δ>0⇔有两个不相等的实根；Δ＝0⇔有两个相等的实根；Δ<0⇔无实数根． 当Δ≥0时，x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac 2a 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式．(4)一元二次方程的解集 实系数一元二次方程有实数根的充要条件是Δ≥0 设ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0) ①当Δ＝b 2－4ac ＞0时，方程的解集为⎩⎭2a ，2a ； ②当Δ＝b 2－4ac ＝0时，方程的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－b 2a ；③当Δ＝b 2－4ac ＜0，方程的解集为∅. 是指在实数范围内方程无解． 2.一元二次方程根与系数的关系对任何Δ≥0的一元二次方程，根与系数的关系都成立设x 1，x 2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根，则有⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－b a，x 1x 2＝c a Ｗ.常用的几个变形：①x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2； ②(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2；③x 31＋x 32＝(x 1＋x 2)3－3x 1x 2(x 1＋x 2)； ④|x 1－x 2|＝（x 1－x 2）2＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2； ⑤1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2. 教材拓展补遗[微判断]1.ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c 为常数)叫做一元二次方程.(×) 提示 当a ＝0时，不是一元二次方程.2.一元二次方程均可化为(x －k )2＝t 的形式.(√)3.一元二次方程解的情况由一元二次方程的系数完全确定.(√) [微训练]1.下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是( ) A.3(x ＋1)2＝2(x ＋1)B.1x 2＋1x －2＝0C.ax 2＋bx ＋c ＝0D.x 2＋2x ＝x 2－1解析 A 中方程可化为3x 2＋4x ＋1＝0，是一元二次方程；B 中方程是关于1x 的一元二次方程；对C ，当a ＝0时，不是关于x 的一元二次方程；D 中方程可化为2x ＝－1，不是一元二次方程. 答案 A2.已知m 是方程x 2－x －1＝0的一个根，则代数式m 2－m 的值等于( ) A.－1 B.0 C.1D.2解析 由题意，m 2－m －1＝0，即m 2－m ＝1. 答案 C3.关于x 的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根分别为x 1＝2，x 2＝1，则p ，q 的值分别为( ) A.－3，2 B.3，－2 C.2，－3D.2，3解析 由根与系数的关系，得⎩⎨⎧2＋1＝－p ，2×1＝q ，∴⎩⎨⎧p ＝－3，q ＝2.答案 A [微思考]一元二次方程(系数均为实数)有两个根，它的解集是否一定有两个元素？ 提示 当一元二次方程的判别式为零时，方程有两个相等的实数根，其解集只有一个元素.题型一 一元二次方程判别式的应用【例1】 试证明：不论m 为何值，方程2x 2－(4m －1)x －m 2－m ＝0总有两个不相等的实数根.证明 ∵Δ＝[－(4m －1)]2－4×2×(－m 2－m )＝24m 2＋1＞0，∴不论m 为何值时，方程2x 2－(4m －1)x －m 2－m ＝0总有两个不相等的实数根. 规律方法 一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c ∈R 且a ≠0)的实数根的情况可由Δ＝b 2－4ac 加以判定，即Δ＞0时，有两不相等的实数根；当Δ＝0时，有两个相等的实数根；当Δ＜0时，没有实数根. 【训练1】 不解方程，判别下列方程根的情况. (1)x 2－14x ＋12＝0；(2)4x 2＋12x ＋9＝0； (3)2x 2－3x ＋6＝0.解 (1)Δ＝(－14)2－4×1×12＝148＞0，∴x 2－14x ＋12＝0有两个不相等的实数根；(2)Δ＝122－4×4×9＝0，∴4x 2＋12＋9＝0有两个相等的实数根； (3)Δ＝(－3)2－4×2×6＝－39＜0，∴2x 2－3x ＋6＝0没有实数根. 题型二 换元法的应用【例2】 求方程1x 2－1x －1＝0的解集.解 令y ＝1x ≠0，则方程1x 2－1x －1＝0可化为y 2－y －1＝0， 由求根公式，得y 1＝1＋52或y 2＝1－52，即1x ＝1＋52或1x ＝1－52， ∴x ＝5－12或x ＝－5＋12，∴原方程的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－5＋12，5－12. 规律方法 通过引入新元y (y 为关于x 的代数式)，可把一些关于x 的方程化为关于y 的二次方程ay 2＋by ＋c ＝0(a ≠0)，从而求出y 的值，进而求出x 的值. 【训练2】 求下列方程的解集. (1)x 4－3x 2＋2＝0；(2)x ＋2x －1＝0； (3)(x 2－x )2－(x 2－x )－2＝0.解 (1)令y ＝x 2≥0，得y 2－3y ＋2＝0， ∴y ＝1或y ＝2，即x 2＝1或x 2＝2， ∴x ＝±1或x ＝± 2.∴原方程的解集为{－2，－1，1，2}. (2)令y ＝x ≥0，得y 2＋2y －1＝0， ∴y ＝－1＋2或y ＝－1－2(舍).从而x ＝－1＋2，即x ＝3－22， ∴原方程的解集为{3－22}.(3)令x 2－x ＝t ，得t 2－t －2＝0，∴t 1＝－1或t 2＝2， 即x 2－x ＋1＝0 ①或x 2－x －2＝0 ② 对①，Δ＝－3＜0，无实数解；对②，易得x ＝－1或x ＝2，故原方程的解集为{－1，2}. 题型三 一元二次方程根与系数关系的应用【例3】 已知关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋m －1＝0有两个实数根x 1，x 2. (1)求m 的取值范围；(2)当x 21＋x 22＝6x 1x 2时，求m 的值.解 (1)由Δ＝(－2)2－4(m －1)＝－4(m －2)≥0，得m ≤2，即m 的取值范围是 (－∞，2].(2)由根与系数的关系，得⎩⎨⎧x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝m －1.∵x 21＋x 22＝6x 1x 2，∴(x 1＋x 2)2＝8x 1x 2，即22＝8(m －1)，解得m ＝32.∵32<2，∴m 的值为32.规律方法 运用根与系数的关系，注意两点(1)常见变形x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2，|x 1－x 2|＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2；(2)整体代入.【训练3】 已知关于x 的方程x 2－2(k －1)x ＋k 2＝0有两个实数根x 1，x 2. (1)求k 的取值范围；(2)若|x 1＋x 2|＝x 1x 2－1，求k 的值.解 (1)由Δ＝[－2(k －1)]2－4k 2＝4(1－2k )≥0，得k ≤12，即k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12. (2)由根与系数的关系，得⎩⎨⎧x 1＋x 2＝2（k －1），x 1x 2＝k 2.∵|x 1＋x 2|＝x 1x 2－1，∴|2(k －1)|＝k 2－1 ①，∵k ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12，∴k －1≤－12，∴①可化为－2＝k ＋1，∴k ＝－3.一、素养落地1.通过学习求一元二次方程的解集提升运算素养；通过学习根与系数的关系提升逻辑推理和数学运算素养.2.求一元二次方程解集时，先用判别式判定解的情况再求解集.3.运用根与系数关系时，注意恒等变形和整体代入. 二、素养训练1.用配方法解下列方程时，配方有错误的是( ) A.x 2－2x －99＝0化为(x －1)2＝100 B.x 2＋8x ＋9＝0化为(x ＋4)2＝25 C.2t 2－7t －4＝0化为⎝ ⎛⎭⎪⎫t －742＝8116D.3y 2－4y －2＝0化为⎝ ⎛⎭⎪⎫y －232＝109解析 x 2＋8x ＋9＝0配方应为(x ＋4)2＝7.选B. 答案 B2.如果关于x 的方程ax 2＋x －1＝0有实数根，则a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞ B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞ C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，0∪(0，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0∪(0，＋∞) 解析 当a ＝0时，x ＝1，符合题意；当a ≠0时，由Δ＝12＋4a ≥0，得a ≥－14.综上，a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞.答案 B3.已知(x 2＋y 2＋1)(x 2＋y 2－3)＝5，则x 2＋y 2＝________.解析 令t ＝x 2＋y 2≥0，则原方程可化为(t ＋1)(t －3)＝5，即t 2－2t －8＝0. ∴t ＝4或t ＝－2(舍去)，故x 2＋y 2＝4. 答案 44.已知关于x 的方程x 2－kx ＋k －2＝0有两个正实根，则k 的取值范围是________.解析由题意得⎩⎨⎧（－k ）2－4（k －2）≥0，k ＞0，k －2＞0，解得k ＞2.答案 (2，＋∞)5.求作一个一元二次方程，使它的两根分别是方程6x 2－3x －2＝0的两根的平方. 解 设方程6x 2－3x －2＝0的两根为x 1，x 2， 则x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝－13.由题意求作方程的两根为x 21，x 22，则x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝1112，x 21·x 22＝(x 1x 2)2＝19，故求作的一元二次方程为x 2－1112x ＋19＝0， 即为36x 2－33x ＋4＝0.基础达标一、选择题1.解方程(5x －1)2＝3(5x －1)的适当方法是( ) A.开平方法 B.配方法 C.公式法D.因式分解法解析 由(5x －1)2＝3(5x －1)，得(5x －1)(5x －4)＝0，再求解最简单.故选D. 答案 D2.如果x 2＋2(m －2)x ＋9是完全平方式，那么m 的值等于( ) A.5 B.5或－1 C.－1D.－5或－1解析 由题意m －2＝±3，∴m ＝5或m ＝－1. 答案 B3.下列结论正确的是( )A.若x 2＝4，则x ＝2B.若x 2－5xy －6y 2＝0(xy ≠0)，则x y ＝6或xy ＝－1 C.方程x (2x －1)＝2x －1的解集为{1} D.方程x 2－3x ＋2x －1＝0的解集为{1，2}解析 对A ，由x 2＝4，得x ＝±2；对B ，∵xy ≠0，∴方程两边同除以y 2得⎝ ⎛⎭⎪⎫x y 2－5x y －6＝0，∴x y ＝6或xy ＝－1；对C ，方程可化为(2x －1)(x －1)＝0，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，1；对D ，x ＝1时方程无意义.故选B. 答案 B4.已知α，β是一元二次方程x 2－5x －2＝0的两实数根，则α2＋αβ＋β2的值为( ) A.－1 B.9 C.23D.27解析 由根与系数的关系，得⎩⎨⎧α＋β＝5，αβ＝－2，则α2＋αβ＋β2＝(α＋β)2－αβ＝52＋2＝27. 答案 D5.小明和小华解同一个一元二次方程时，小明看错一次项，解得两根为2，－3，而小华看错常数项，解得两根为－2，5，那么原方程为( ) A.x 2－3x ＋6＝0 B.x 2－3x －6＝0 C.x 2＋3x －6＝0D.x 2＋3x ＋6＝0解析 设原方程为x 2＋mx ＋n ＝0，其两根为x 1，x 2，由题意，得⎩⎨⎧2×（－3）＝n ，－2＋5＝－m .∴m ＝－3，n ＝－6.选B. 答案 B 二、填空题6.设m ，n 分别为一元二次方程x 2＋2x －2 018＝0的两个实根，则m 2＋3m ＋n ＝________.解析 ∵m ，n 是方程x 2＋2x －2 018＝0的两根， ∴m 2＋2m －2 018＝0，即m 2＋2m ＝2 018，又m ＋n ＝－2，故m 2＋3m ＋n ＝(m 2＋2m )＋(m ＋n )＝2 018－2＝2 016. 答案 2 0167.已知方程x 2＋4x －2m ＝0的一个根α比另一个根β小4，则α＝________，β＝________，m ＝________.解析 由Δ＝16＋8m ＞0得m ＞－2，由题意α＝β－4，即α－β＝－4 ①，又α＋β＝－4 ②，由①②得α＝－4，β＝0，∴αβ＝0＝－2m ，m ＝0. 答案 －4 0 08.关于x 的一元二次方程x 2＋2x －2m ＋1＝0的两实数根为负，则实数m 的取值范围是________.解析 设方程两根为x 1，x 2，则x 1＜0，x 2＜0，∴⎩⎨⎧Δ≥0，x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－2m ＋1＞0，∴0≤m ＜12. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12 三、解答题9.求下列方程的解集：(1)x 4－2x 2－8＝0；(2)6x 2－1x －1＝0.解 (1)令y ＝x 2(y ≥0)，则原方程可变为y 2－2y －8＝0，∴y ＝4或y ＝－2(舍去)，即x 2＝4，∴x ＝±2，∴原方程的解集为{2，－2}. (2)令y ＝1x ≠0，则原方程可化为6y 2－y －1＝0， ∴(3y ＋1)(2y －1)＝0， ∴y ＝－13或12，即1x ＝－13或12，∴x ＝－3或2，∴原方程的解集为{－3，2}.10.设x 1，x 2是方程3x 2－2x －4＝0的两根，不解方程，求下列各式的值； (1)1x 1＋1x 2；(2)x 2x 1＋x 1x 2；(3)(x 1－x 2)2；(4)x 31＋x 32.解由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝23，x 1x 2＝－43.(1)1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝－12.(2)x 2x 1＋x 1x 2＝x 21＋x 22x 1x 2＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2x 1x 2＝（x 1＋x 2）2x 1x 2－2＝－13－2＝－73.(3)(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝529.(4)x 31＋x 32＝(x 1＋x 2)(x 21－x 1x 2＋x 22)＝(x 1＋x 2)[(x 1＋x 2)2－3x 1x 2] ＝(x 1＋x 2)3－3x 1x 2(x 1＋x 2)＝8027.能力提升11.已知x 1，x 2是一元二次方程(a －6)x 2＋2ax ＋a ＝0的两个实数根.(1)是否存在a ，使－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2成立？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.(2)求使(x 1＋1)(x 2＋1)为负整数的实数a 的整数值. 解 由题意知⎩⎨⎧a －6≠0，Δ＝（2a ）2－4a （a －6）≥0，∴a ≥0且a ≠6.由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2aa －6，x 1x 2＝aa －6.(1)若－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2， 则x 1＋x 2＋4＝x 1x 2， 即4－2a a －6＝aa －6，∴a ＝24. 故满足条件的a 存在，且a ＝24.(2)∵(x 1＋1)(x 2＋1)＝(x 1＋x 2)＋x 1x 2＋1＝a a －6－2aa －6＋1＝－6a －6为负整数，∴a 可取的整数为7，8，9，12.12.已知一元二次方程x 2－4x ＋k ＝0有两个不相等的实数根.(1)求k 的取值范围；(2)如果k 是符合条件的最大整数，且x 2－4x －k ＝0与x 2＋mx ＋1＝0有一个根相同，求此时m 的值.解 (1)由题意Δ＝(－4)2－4k ＝4(4－k )＞0，∴k <4.即k 的取值范围为(－∞，4).(2)∵k ∈(－∞，4)，∴k 的最大整数为k ＝3.∴方程x 2－4x －k ＝0即x 2－4x －3＝0的解集为{2－7，2＋7}.设方程x 2＋mx ＋1＝0的两根为x 1，x 2，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝1.若方程x 2＋mx ＋1＝0的一个根为2－7，则另一个根为12－7＝－2＋73， 此时m ＝－(x 1＋x 2)＝－⎝⎛⎭⎪⎫2－7－2＋73＝－4＋473. 若方程x 2＋mx ＋1＝0的一个根为2＋7，则另一个根为12＋7＝－2＋73， 此时m ＝－(x 1＋x 2)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋7＋－2＋73＝－4＋473.。