第八章 二次型同步复习

第八章 二次型 习题精解1．（Ⅰ）用非退化线性替换化下列二次型为标准形，并利用矩阵验算所得结果： 1）323121224x x x x x x ++-2）23322221214422x x x x x x x ++++ 3）32312122216223x x x x x x x x -+--4）423243418228x x x x x x x x +++ 5）434232413121x x x x x x x x x x x x +++++6）4342324131212422212222442x x x x x x x x x x x x x x x ++++++++ 7）43322124232221222x x x x x x x x x x ++++++解 1）已知()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-= 先作非退化线性替换⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=33212211yx y y x y y x （1）则()312221321444,,y y y y x x x f ++-=2223233121444y y y y y y ++-+-= ()222333142y y y y ++--= 再作非退化线性替换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=33223112121zy z y z z y （2）则原二次型的标准形为()2322213214,,z z z x x x f ++-=最后将（2）代入（1），可得非退化线性替换为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+-=++=333212321121212121z x z z z x z z z x （3）于是相应的替换矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100211212102110001021021100011011T且有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='100040001AT T2）已知()=321,,x x x f 23322221214422x x x x x x x ++++ 由配方法可得()()()233222222121321442,,x x x x x x x x x x x f +++++= ()()2322212x x x x +++=于是可令⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=333222112xy x x y x x y则原二次型的标准形为()2221321,,y y x x x f += 且非退化线性替换为⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-=33322321122yx y y x y y y x相应的替换矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=100210211T且有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--='000010001100210211420221011122011001AT T（3）已知()32312122213216223,,x x x x x x x x x x x f -+--=由配方法可得()()()23322223223231212132144222,,x x x x x x x x x x x x x x x x f ++-++-+-= ()()23223212x x x x x +---=于是可令⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=3332232112xy x x y x x x y则原二次型的标准形为()2221321,,y y x x x f -= 且非退化线性替换为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-+=33322321121212321y x y y x y y y x相应的替换矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=1002121023211T 且有⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--='00001000110021210232110313311111212302121001AT T （4）已知()4232432143218228,,,x x x x x x x x x x x x f +++= 先作非退化线性替换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+=443322411y x y x y x y y x则()4232432441432182288,,,y y y y y y y y y x x x x f ++++=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=232132142481212181212128y y y y y y y y32232128121218y y y y y +⎪⎭⎫ ⎝⎛++-3223212432124128121218y y y y y y y y y +⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=再作非退化线性替换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+==4432332211z y z z y z z y z y则()2321243214321434528385218,,,⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=z z z z z z z x x x x f232222z z -+ 再令⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+++===++=43214332232118385214345z z z z w z w z w x x z w则原二次型的标准形为()4321,,,x x x x f 242322218222w w w w +-+-= 且非退化线性替换为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-=-=+=+--=4143233224321121434521w w x w w x w w x w w w w x相应的替换矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=1021011001101434521T 且有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--='8000020000200002AT T （5）已知()4321,,,x x x x f 434232413121x x x x x x x x x x x x +++++= 先作非退化线性替换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+=4433222112y x y x y x y y x则()4321,,,x x x x f 4342413231222122222y y y y y y y y y y y y y ++++++=()2124243243214321y y y y y y y y --⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++=再作非退化线性替换⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+++==44433432121121y z y y z y y y y z y z 即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=--+-==4443343212112121zy zz y z z z z y z y则原二次型的标准形为()4321,,,x x x x f 2423222143z z z z --+-= 且非退化线性替换为⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-=--+-=--+=444334321243211212121z x z z x z z z z x z z z z x相应的替换矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=1000211002111121111T 且有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---='4300010000100001AT T（6）已知()4321,,,x x x x f 4131212422212442x x x x x x x x x +++++=434232222x x x x x x +++ 由配方法可得()4321,,,x x x x f ()()[]243243212122222x x x x x x x x ++++++=()43423224222432222222x x x x x x x x x x x +++++++-()()243243224321212123222x x x x x x x x x ++⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+++=于是可令⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=++=+++=44433432243211212322x y x x y x x x y x x x x y 则原二次型的标准形为232221212y y y f +-= 且非退化线性替换为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=+-=-+-=44433432243211232y x y y x y y y x y y y y x 故替换矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=10001100123101121T 且有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-='00000210000200001AT T （7）已知()4321,,,x x x x f 43322124232221222x x x x x x x x x x ++++++=由配方法可得()4321,,,x x x x f ()()[]24433123131222222x x x x x x x x x x x ++-++++= ()()2324432331232122x x x x x x x x x x -+++-++= ()()2121233124323212x x x x x x x x x x +---++++=()()()231243232121x x x x x x x x +-+++++=于是可令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=++==314433321211x x y x x y x x x y x y则原二次型的标准形为24222221y y y y f -++= 且非退化线性替换为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=+-=-==431441342211y y y x y y x y y x y x相应的替换矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=1101100110100001T且有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-='1000010000100001AT T（Ⅱ）把上述二次型进一步化为规范形，分实系数、复系数两种情形；并写出所作的非退化线性替换。

第六讲 二次型【考试要求】1．掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型秩的概念，了解合同变换与合同矩阵的概念，了解二次型的标准形、规范形的概念以及惯性定理． 2．掌握用正交变换化二次型为标准形的方法，会用配方法化二次型为标准形． 3．理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法.考点：二次型及其矩阵表示 1.二次型的定义定义含有n 个变量12n x x x ,,,的二次齐次多项式1211(,,,)nnn ij i j i j f x x x a x x ===∑∑，其中(,1,2,,)ij ji a a i j n ==，称为n 元二次型，简称二次型.2.二次型的矩阵定义 二次型可改写成矩阵向量形式T f =x Ax ，其中12(,,)T n x x x =x ，111212122211n n n n nn a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 为对称矩阵，A 称为二次型f 的矩阵， A 的秩称为二次型f 的秩.注: 二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系,f 称为对称矩阵A 的二次型． 【例1】试将二次型221231213(,,)24f x x x x x x x =++表示成矩阵形式.【例2】试求二次型T f =x Ax 的矩阵，其中113322360⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A .【例3】设二次型123121323(,,)422f x x x x x x x tx x =−++的秩为2，则t=__________.3.可逆线性变换如果11111221221122221122n nn nn n n nn nx c y c y c y x c y c y c y x c y c y c y =++⋯+⎧⎪=++⋯+⎪⎨⋯⎪⎪=++⋯+⎩（*） 满足1112121222120n n n n nnc c c c c c c c c =≠C ，称（*）为从变量12(,,)T n x x x =x 到12(,,)T n y y y =y 的可逆线性变换，记作=x Cy ，其中C 可逆.注: 若C 为正交矩阵，则称=x Cy 为正交变换.考点：化二次型为标准形 1.标准形定义 如果二次型中只含有变量的平方项，即2221122T n n f d y d y d y ==+++y Ay ，称为二次型f 的标准形. 注：1）二次型f 的标准形的矩阵为对角矩阵；2）二次型f 的标准形不是唯一的，与所作的合同变换有关，但系数不为零的平方项个数由二次型的秩()r A 唯一确定.2.定理1）n 元二次型(,,,)T n f x x x =12x Ax 经可逆线性变换=x Py （其中P 为可逆阵）后，成为y 的n 元二次型T y By ，其中T =B P AP （与原二次型的矩阵合同）；2）任一个n 元二次型(,,,)T n f x x x =12x Ax ，都可以通过可逆线性变换化为标准形2221122T n n d y d y d y =+++x Ax （其中i d 为实数）；3）任一个n 元二次型(,,,)T n f x x x =12x Ax ，都必存在正交变换=x Qy （Q 为正交矩阵），使得该二次型化为标准形222121122(,,,)n n n f x x x y y y λλλ=+++，其中12,,,n λλλ为实对称矩阵A 的n 个特征值.【例1】（2012）设矩阵1010111001a a ⎛⎫⎪⎪= ⎪− ⎪−⎝⎭A ，二次型()123(,,)T T f x x x =x A A x 的秩为2.(I)求实数a 的值；(II)求正交变换=x Qy 将f 化为标准形.【例2】已知二次型222123123121323(,,)5222f x x x x x x ax x x x bx x =−++++的秩为2，且(2,1,2)T 是A 的特征向量，那么经正交变换二次型的标准形是_______________.【例3】用配方法将二次型22123121223(,,)244f x x x x x x x x x =+−−化为标准形，并写出所用的可逆线性变换考点：惯性定理、二次型的规范形、合同 1.惯性指数设二次型的标准形为2221122n n f d y d y d y =+++，其中，正平方项的个数称为正惯性指数，用p 表示；负平方项的个数称为负惯性指数，用q 表示.2.惯性定理对一个二次型，虽然选取不同可逆线性变换得到的标准形不唯一,但标准形平方项系数中,正平方项的个数p 和负平方项的个数q 是由原二次型唯一确定的. 事实上，在可逆线性变换下，二次型的秩，正、负惯性指数，正定性都保持不变. 推论：对于二次型的矩阵A ，有()r p q =+A ，即实对称矩阵A 有p q +个非零特征值3.二次型的规范形定义 当标准形中的系数i d 为1，-1或0时,则称其为二次型的规范形. 定理 任一实二次型f 都可经可逆线性变换化为规范形22222121p p r f z z z z z +=+++−−−其中，r 为A 的秩；p 为正惯性指数；r p −为负惯性指数，且规范形唯一【例1】二次型222123123(,,)43f x x x x x x =−+的规范形f =________，秩是_________，正惯性指数是_________，负惯性指数是_________.4.矩阵的合同1）合同的定义：设A与B都是n阶方阵,若存在可逆矩阵,C使得T=B C AC，则称A与B 合同，记作A B.2）关于合同的命题①任一实对称矩阵合同于一个对角矩阵②实对称矩阵A与B合同⇔T x Ax和T x Bx有相同的正负惯性指数.③实对称矩阵A与B合同⇒()()r r=A B，T A与T B合同，1−A与1−B合同.④实对称矩阵A与B相似⇒A与B合同.【例2】与100002020⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A合同的矩阵是（）(A)119⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(B)122⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦(C)111⎡⎤⎢⎥−⎢⎥⎢⎥−⎣⎦(D)111⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦【例3】矩阵1010=0203−⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭A B与是否等价、相似、合同？考点：正定二次型、正定矩阵 1.二次型正定（对称矩阵A 正定）定义 设二次型()T f =x x Ax ，如果对任何≠x 0都有()0T f =>x x Ax ，则称f 为正定二次型，并称对称矩阵A 为正定矩阵.2.二次型f 正定（实对称矩阵A 正定）的充要条件()T f =x x Ax 正定⇔对任何≠x 0恒有()0T f =>x x Ax （定义，证f 正定常用）；⇔()T f =x x Ax 的标准形的n 个系数全大于0；⇔A 合同于单位矩阵，即存在可逆矩阵C ,使得T =A C C ； ⇔A 的正惯性指数p 等于其阶数n ；⇔A 的所有特征值都是正数（证f 正定常用）；⇔A 的顺序主子式全大于0（证f 正定常用）. 推论：若A 为正定矩阵，则110()m m m m f a a a −−=+++A A A E （其中i a ≥0且不全为0），1−A ，A *都是正定矩阵.3.二次型f 正定（实对称矩阵A 正定）的必要条件()T f =x x Ax 正定⇒ ①A 是实对称矩阵； ②0,ii a i >∀（常用）；③0>A （常用），从而A 可逆; ④A 中最大的数落在主对角线上.【例1】 下列矩阵为正定的是（ ）(A) 120230002⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； (B)120240002⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； (C)120250002−⎡⎤⎢⎥−⎢⎥⎢⎥−⎣⎦； (D) 200012025⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 【例2】 设,A B 均为n 阶正定矩阵，则下列矩阵为正定的有（ ）(A)AB(B)+A B(C)−A B(D)2−A B【例3】21101000k k ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 是正定矩阵，则k 满足条件____________. 【例4】设A 是n 阶实对称阵，且332+−=0A A E .试证：A 正定【例5】设A 是n 阶实可逆阵，T =B A A .试证：B 正定。

《二次根式》全章复习与巩固--巩固练习（提高）一、选择题1．x 是怎样的实数时，212x x --在实数范围内有意义？（ ） A. 122x x >≠且 B. 122x x ≥≠±且 C. 122x x ≠≠±且 D. 122x x ≥≠且 2．（2016•杨浦区三模）如果()21221a a -=-，那么 ( ).A ．12a <B ．12a ≤C ．12a >D ．12a ≥ 3．已知443253x <<+-，那么满足上述条件的整数x 的个数是（ ）.A ．4 B. 5 C. 6 D. 74．若x ＜0，则的结果是( ).A ．0B ．-2C ．0或-2D ．2 5．5220,x y x y-++=-若则的值是( ).A ．-7B ．-5C ．3D ．76．（2015•宁夏）下列计算正确的是（ ）A.B.=2C.（）﹣1=D.（﹣1）2=27．小明的作业本上有以下四题： ①；②；③；④.做错的题是( ).A ．①B ．②C ．③D ．④ 8．()2220,a a a a ≥--时，和相比较，下面四个选项中正确的是（ ）.A.()222a a a =-≥- B. ()222a a a >->-C. ()222a a a <-<- D. ()222a a a ->=-二. 填空题9. 计算=___________.10. 若的整数部分是a ，小数部分是b ，则___________.11．比较大小①______；②___.（用>或<填空）12. 已知最简根式232a b a b -+-+-2a+b-1与b-2a 是同类根式，则b a a b +的值为___________. 13．若m ＜0，则=___________.14.已知实数a 满足20102011a a a -+-=，则22010a -=____________.15．已知数,,a b c 在数轴上的位置如图所示：则22()a a c c b b -++---=__________. 16．（2015•黔西南州）已知x=，则x 2+x+1= ．三 综合题17． 计算： (1) ()ab ab bab a b a ab--÷-+ (2)18. 已知：，求的值.19．（2016春•张家港市期末）若,a b 都是实数，且114412b a a =--，试求22b a b a a b a b+++-.20.（2014秋•德惠市期末）某号台风的中心位于O 地，台风中心以25千米/小时的速度向西北方向移动，在半径为240千米的范围内将受影响、城市A 在O 地正西方向与O 地相距320千米处，试问A 市是否会遭受此台风的影响？若受影响，将有多少小时？【答案与解析】 一、选择题 1．【答案】B. 2．【答案】D. 【解析】()2121221a a a -=-=- ，所以120a -≤,即12a ≥. 3．【答案】C.【解析】由原式得：4(32)4(53)(32)(32)(53)(53)x -+<<+--+所以4(32)2(53)x -<<+，因为14(32)2<-<，72(53)8<+<, 所以2,3,4,5,6,7x =. 4．【答案】D.5．【答案】D.【解析】5220,x y -++=若则50,20x y -=+=，即5,2x y ==-. 6．【答案】B. 【解析】解：与不能合并，所以A 选项错误；B 、原式==2，所以B 选项正确； C 、原式==，所以C 选项错误； D 、原式=3﹣2+1=4﹣2，所以D 选项错误．故选B ．7．【答案】D.【解析】32a a 与不是同类根式，不能加减. 8.【答案】A.【解析】因为0a ≥，所以222,(),a a a a a a =-=-=-，即()222a a a =-≥-.二、填空题 9.【答案】.10.【答案】1. 【解析】()31,3133311a b a b ∴==-∴-=--=的整数部分是1，小数部分.11．【答案】①5323-<+ ②【解析】①.②又，且12．【答案】23-. 【解析】因为最简根式232a b a b -+-+-2a+b-1与b-2a 是同类根式（注意没说是同类二次根式）， 所以根指数与被开方数相同，即232122a b a b a b b a -+-=-+-⎧⎨+=-⎩即13a b =-⎧⎨=⎩.13．【答案】-m.14．【答案】2011.【解析】因为20102011a a a -+-=，所以a -2011≥0，即a ≥2011， 则原式可化简为：20102011,20112010,a a a a -+-=-=所以 即22010a -=2011. 15．【答案】0.【解析】由图像知：0,0,0,0,0a c b a c c b <<>+<-<所以原式=a a c c b b -++--=a a c c b b -++-+-=0.16．【答案】2．【解析】解：∵x=，∴x 2+x+1 =（x+）2﹣+1 =（+）2+=+=2．故答案为：2．三.解答题17.【解析】 (1) 原式=a ab ab ab ab ba ba ab+--÷-+=a ab a ba ab ab b-⨯+-=()() ()()a ab a b a ba ab b a b⋅⋅+-⨯+-=a.(2) 原式18.【解析】∴原式.19.【解析】∵114412b a a=-+-+，∴140410aa-≥⎧⎨-≥⎩，∴14a=把14a=代入114412b a a=-+-+，∴12b=∴把14a=，12b=代入22b a b aa b a b++-+-=9132222222-=-=.20.【解析】解：如图，OA=320，∠AON=45°，过A点作ON的垂线，垂足为H，以A为圆心，240为半径画弧交直线OH于M、N，在Rt△OAH中，AH=OAsin45°=160＜240，故A市会受影响，在Rt△AHM中，MH===80∴MN=160，受影响的时间为：160÷25=6.4小时．答：A市受影响，受影响时间为6.4小时．附录资料：巩固练习】一.选择题1．（2015•潍坊模拟）下列说法中，错误的是（）A.平行四边形的对角线互相平分B.对角线互相平分的四边形是平行四边C．菱形的对角线互相垂直 D.对角线互相垂直的四边形是菱形2．（2016•莆田）菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．对边相等B．对角相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直3．如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，如果EF＝2，那么菱形ABCD的周长是( )A.4B.8C.12D.164.如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=120°，则△ABC的周长等于（）A．20 B．15 C．10 D．55.如图，在菱形ABCD中，AC、BD是对角线，若∠BAC＝50°，则∠ABC等于（）A．40° B．50° C．80° D．100°6．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB＝3，则BC的长为( )A.1B. 2C. 2D. 3二.填空题7．已知菱形的周长为40cm，两个相邻角度数之比为1∶2，则较长对角线的长为______cm．8．（2015•南充）如图，菱形ABCD的周长为8cm，高AE长为cm，则对角线AC长和BD长之比为.9. 已知菱形ABCD两对角线AC ＝ 8cm, BD ＝ 6cm, 则菱形的高为________.10.（2016•内江）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE=．11. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝13，AC＝10，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，则△BDE的周长为_____.12.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点B的坐标为（8，4），则C点的坐标为_______.三.解答题13．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，E是AB边的中点，P是AC边上一动点，PB＋PE的最小值是3，求AB的值．14．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB，CD的中点，连接DE、BF、BD．若AD⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论．15（2015春•泰安校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD 于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．（1）求证：BD=DF；（2）求证：四边形BDFG为菱形；（3）若AG=13，CF=6，求四边形BDFG的周长．【答案与解析】一.选择题1.【答案】D；2.【答案】D【解析】∵菱形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分，对角线互相垂直；平行四边形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分；∴菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是：对角线互相垂直．故选D．3.【答案】D；【解析】BC＝2EF＝4，周长等于4BC＝16.4.【答案】B；【解析】∵∠BCD=120°，∴∠B=60°，又∵ABCD是菱形，∴BA=BC，∴△ABC是等边三角形，故可得△ABC的周长=3AB=15．5.【答案】C；【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴∠BAC＝12∠BAD，CB∥AD，∵∠BAC＝50°，∴∠BAD＝100°，∵CB∥AD，∴∠ABC＋∠BAD＝180°，∴∠ABC＝180°－100°＝80°．6.【答案】D ；【解析】∠DAF ＝∠FAO ＝∠OAE ＝30°，所以2BE ＝CE ＝AE ，3BE ＝3，BC ＝3BE ＝3. 二.填空题7.【答案】103；【解析】由题意，菱形相邻内角为60°和120°，较长对角线为222105103-=. 8．【答案】1：；【解析】如图，设AC ，BD 相较于点O ，∵菱形ABCD 的周长为8cm ， ∴AB=BC=2cm ， ∵高AE 长为cm ，∴BE==1（cm ），∴CE=BE=1cm ，∴AC=AB=2cm ，∵OA=1cm ，AC ⊥BD ， ∴OB==（cm ），∴BD=2OB=2cm ， ∴AC ：BD=1：．9.【答案】245cm ； 【解析】菱形的边长为5，面积为168242⨯⨯= ，则高为245cm . 10.【答案】.【解析】∵四边形ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ，OB=OD=BD=3，OA=OC=AC=4， 在Rt △OBC 中，∵OB=3，OC=4， ∴BC==5，∵OE ⊥BC ，∴OE •BC=OB •OC ， ∴OE==． 故答案为．11.【答案】60；【解析】因为菱形的对角线互相垂直及互相平分就可以在Rt△AOB 中利用勾股定理求出OB ＝12，BD＝2OB ＝24，DE ＝2OC ＝10，BE ＝2BC ＝26，△BDE 的周长为60．12.【答案】（3,4）；【解析】过B 点作BD ⊥OA 于D ，过C 点作CE ⊥OA 于E ，BD ＝4，OA ＝x ，AD ＝8－x ，()22284x x =-+，解得5x =，所以OE ＝AD ＝8－5＝3，C 点坐标为（3,4）.三.解答题 13.【解析】 解：∵∠ABC ＝120°∴∠BCD ＝∠BAD ＝60°； ∵菱形ABCD 中， AB ＝AD ∴△ABD 是等边三角形；又∵E 是AB 边的中点， B 关于AC 的对称点是D ，DE ⊥AB 连接DE ，DE 与AC 交于P ，PB ＝PD ； DE 的长就是PB ＋PE 的最小值3； 设AE ＝x ，AD ＝2x ， DE ＝()22233x x x -==，所以1x =，AB ＝22x =.14.【解析】四边形BFDE 是菱形， 证明：∵AD⊥BD，∴△ABD 是直角三角形，且AB 是斜边， ∵E 为AB 的中点，∴DE＝12AB ＝BE ， ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴DC∥AB，DC ＝AB ，∵F 为DC 中点，E 为AB 中点， ∴DF＝12DC ，BE ＝12AB ， ∴DF＝BE ，DF∥BE，∴四边形DFBE 是平行四边形， ∵DE＝EB ，∴四边形BFDE 是菱形． 15.【解析】证明：∵∠ABC=90°，BD 为AC 的中线， ∴BD=AC ，∵AG ∥BD ，BD=FG ，∴四边形BGFD 是平行四边形， ∵CF ⊥BD ，∴CF⊥AG，又∵点D是AC中点，∴DF=AC，∴BD=DF；（2）证明：∵BD=DF，∴四边形BGFD是菱形，（3）解：设GF=x，则AF=13﹣x，AC=2x，∵在Rt△ACF中，∠CFA=90°，∴AF2+CF2=AC2，即（13﹣x）2+62=（2x）2，解得：x=5，∴四边形BDFG的周长=4GF=20．。

第五章 二次型习题解答p.232~2361.(Ⅰ)用非退化线性替换化下列二次型为标准形,并利用矩阵验算所得结果.(1) 323121321224),,(x x x x x x x x x f ++-=解: 先作线性替换⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=33212211yx y y x y y x ,.4)(),,(2322231321y y y y x x x f ++--=再令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=3321311)(21zy z y z z y ,得.4),,(232221321z z z x x x f ++-=相应的替换矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=001111001100010001101121211211T ,则 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=141AT T T .(2) f (x 1,x 2,x 3)=x 12+2x 1x 2+2x 22+4x 2x 3+4x 23.解： f (x 1,x 2,x 3)=(x 1+x 2)2+x 22+4x 2x 3+4x 23 =(x 1+x 2)2+(x 2+2x 3)2+0令112223332y x x y x x y x =+⎧⎪=+⎨⎪=⎩ 即 11232233322x y y y x y y x y=-+⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 则f (x 1,x 2,x 3)==y 12+y 22. 用矩阵验算112110112012122122001024024'--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭100100110110221020⎛⎫⎛⎫⎪⎪=- ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭100010000⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(3) f (x 1,x 2,x 3)=x 12-3x 22-2x 1x 2+2x 1x 3-6x 2x 3解： f (x 1,x 2,x 3)=(x 1-x 2+x 3)2-(x 2-x 3)2-3x 22-6x 2x 3 =(x 1-x 2+x 3)2-4x 22-4x 2x 3- x 32=(x 1-x 2+x 3)2-(2x 2+x 3)2.令1123223332y x x x y x x y x=-+⎧⎪=+⎨⎪=⎩ 即11232233313221122x y y y x y y x y ⎧=+-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩则f (x 1,x 2,x 3)=y 12-y 22验算有：1311002211110011111330010222213000000131122⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎪-- ⎪⎝⎭⎝⎭(4) f (x 1,x 2,x 3,x 4)=8x 1x 4+2x 3x 4+2x 2x 3+8x 2x 4.解: 令1142233414x y y x y x y x y y =+⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=-⎩f (x 1,x 2,x 3,x 4)=8(y 21-y 24)+2y 3(y 1-y 4)+2y 2y 3+8y 2(y 1-y 2)=8y 21-8y 24+8y 1y 2+2y 1y 3+2y 2y 3-8y 2y 4-2y 3y 42221323423243411118()8()82822828f y y y y y y y y y y y y ∴=++-+-+--222123234343434111118()2(2)2(2)8228448y y y y y y y y y y y y =++--++-+---22123234341118()2(2)4284y y y y y y y y =++--+-令112322343344341128124z y y y z y y y z y y z y y ⎧=++⎪⎪⎪=-+⎨⎪=-⎪⎪=+⎩ 即112342234334434153288978811221122y z z z z y z z z y z zy z z ⎧=--+⎪⎪⎪=+-⎪⎨⎪=+⎪⎪⎪=-+⎩ 222212323434341118()2(2)()()284y y y y y y y y y y =++--++--+则2222123482f z z z z =-+- 矩阵验算略(5) f (x 1,x 2,x 3,x 4)=x 1x 2+x 1x 3+x 1x 4+x 2x 3+x 2x 4+x 3x 4解：011110111110121110A ⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭ (2)022242444000202220220100220242020042222042200024200020002122020022002122002000200020002000202Pi A E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎪ ⎪ ⎪--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪−−−→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎪4000010000400003212121210021002⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪- ⎪→ ⎪--- ⎪-- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭∴2121212100210002X y ---⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪- ⎪⎝⎭则22221234443f y y y y =---. (6)f (x 1,x 2,x 3,x 4)=43423241312122212222442x x x x x x x x x x x x x x +++++++.解 : 由配方法可得.212,)(y )2123()22(.)(21)2123(2)22(2222)22(])22()22(2[),,,(232221444334322432112432432243214342322422243224324321214321y y y f x y x x x x x y x x x x y x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f +-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=+++=++++-+++=+++++++-++++++=得于是令且非退化的线性替换为.23244433432243211⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+-=-+-=y x y y x y y y x y y y y x 故替换矩阵为 ,10001100123101121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=T 且有 .02121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=AT T T(7) 22221234122334222f x x x x x x x x x x =++++++解： 1100111001110011A ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则1100100011100010011101110011001110001100010001000010001000010001A E ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(3,(1))100010001000001002200200010002000020000100010001110001001110010001000110001001200110000101210111P -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪−−−−→→→ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭即令X=1110011001100111Y -⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎪--⎝⎭则2222123422f y y y y =+-+. (Ⅱ) 把上述二次型进一步化为规范形，分实系数、复系数两种情形；并写出所作的非退化线性替换。

第五章二次型5.1. 二次型及其矩阵表示5.1.1. 二次型的定义、二次型的矩阵(是对称矩阵)及矩阵表示.注: 二次型的矩阵表示、内积的矩阵表示、双线性函数的矩阵表示的对比.5.1.2. 二次型的非退化线性替换的定义；经非退还线性替换后，新老两个二次型的矩阵的关系（会推导）.5.1.3. 矩阵合同的定义.注: 为什么要引入该定义?5.2. 标准形5.2.1. 二次型的标准形的定义及存在性(不唯一),任一对称矩阵都与对角矩阵合同.5.2.2.配方法化二次型为标准形,合同变换法化对称矩阵为对角阵.5.3. 唯一性5.3.1.复二次型的规范形.5.3.2.实二次型的规范形,惯性定理说明实二次型的规范形的存在性和唯一性,实二次型的正惯性指数, 负惯性指数以及符号差的定义. 实二次型的规范形的一些应用(书上哪些习题可以用此来解答?).5.3.3.复对称矩阵和实对称矩阵分别与怎样的最简单的对角阵合同?5.4. 正定二次型5.4.1.实二次型和实对称矩阵的分类:正定,半正定,负定,半负定,不定.5.4.2.正定矩阵的一些等价条件:(1) 正定矩阵的定义;(2) 合同于单位矩阵;(3) 所有顺序主子式大于0;(4) 所有特征值大于0.正定矩阵的一些必要但不充分条件: (1)|A|>0;(2)所有对角线上的元素都大于0；(3)所有主子式都大于0.注：这些等价、必要条件的推导.还要会用实对称矩阵正交相似于对角阵这一结果来判定实对称矩阵的正定性.5.4.3.列举出一些半正定矩阵的等价条件和必要条件.第六章线性空间6.1. 集合映射单射、满射、双射的定义及证明；可逆映射的定义及等价条件（即双射）.6.2. 线性空间的定义与简单性质线性空间的定义,即非空集合,加法运算和数乘运算(封闭),8条运算规则.6.3. 维数、基与坐标6.3.1. 维数、基与坐标的定义(会求给定空间的维数、基以及给定向量在给定基下的坐标).6.3.2. 一些常见空间的基和维数,例如n P ,[]n P x ,s n P ⨯,n n P ⨯中全体对称(反对称/上三角形)矩阵形成的线性空间,L(V)等.6.4. 基变换与坐标变换不同基之间的过渡矩阵,一个向量在不同基下的坐标之间的关系(会推导).注: (1)要联系线性变换在某组基下的矩阵、一个向量在线性变换作用下的像的坐标;(2) P271的习题2.6.5. 线性子空间6.5.1. 线性子空间的定义及判定（如何判定？）.6.5.2.生成子空间的定义、维数、基（如何求？）.6.5.3.扩基定理.与第九章的扩充为正交基进行对比.书上哪些定理的证明和习题的证明用到扩基定理？6.6. 子空间的交与和6.6.1.交空间、和空间的定义以及这两子空间的元素的特征.6.6.2.会求两个生成子空间的交空间、和空间.6.6.3.维数公式（会证明）及其应用.6.7. 子空间的直和6.7.1.子空间的直和的定义（为什么要引入该定义？）.6.7.2.两个子空间的和是直和的判别条件（列举出4个，并知道哪些是常用的）.6.7.3.如何证明12V V V =⊕？6.7.4.多个子空间是直和的判别条件（列举出3个，并会证明）.6.7.5. 余子空间的定义和构造.（余子空间是否唯一？与正交补进行比较）6.8. 线性空间的同构线性空间同构的定义，并会用该定义证明两线性空间同构，会构造V 与nP 之间的同构映射,知道两线性空间同构的等价条件为它们的维数相等..第七章 线性变换7.1. 线性变换的定义线性变换的定义（熟记），列举出一些线性变换的简单性质并会证明.7.2. 线性变换的运算线性变换的加法、减法、数乘、乘法、逆、方幂的定义及运算规律；线性变换的多项式.注：与矩阵的相应运算进行比较.7.3. 线性变换的矩阵7.3.1. 任意n个向量可唯一确定一个线性变换(如何确定？见P283 定理1). 7.3.2. 线性变换在某组基下的矩阵的定义，线性变换与矩阵的对应关系：线性变换的和、差、数乘、乘积、逆对应矩阵的和、差、数乘、乘积、逆，单位变换、零变换分别对应单位矩阵和零矩阵（会用数学式子表示这种对应，会推导）.7.3.3.向量ξ的坐标与Aξ的坐标之间的关系,同一个线性变换在不同基下的矩阵之间的关系（会推导）.7.3.4.两个矩阵相似的定义（为什么引入该定义？），如何判别两个矩阵相似？7.4. 特征值与特征向量7.4.1.线性变换和矩阵的特征值和特征向量的定义（为什么要引入该定义？）.如何求线性变换和矩阵的特征值和特征向量？线性变换和矩阵的特征值和特征向量之间的关系如何？（掌握求特征值和特征向量的步骤）7.4.2. 线性变换和矩阵的特征多项式的定义.相似矩阵有哪些相似不变量，例如：行列式、特征多项式、特征值、最小多项式、不变因子、行列式因子、初等因子等.7.4.3.哈密顿-凯莱定理及其应用(例如：P309定理12，P326习题3),矩阵的迹的定义，列举出一些矩阵迹的性质（例如：.迹是所有特征值的和；tr(AB)=tr(BA)；2tr A tr AA≤）.()(')7.5. 对角矩阵7.5.1.矩阵特征值特征向量的一些性质（不同特征值的特征向量线性无关；实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交；属于不同特征值的特征向量的和不是特征向量）7.5.2.列举出矩阵可对角化的一些充要条件和一些充分条件.充要条件：（1）有n个线性无关的特征向量；（2）所有特征值的重数与其几何重数相等（特征值λ的几何重数指的是λ-=的基础解系所含解向量的个数）；E A X()0（3）最小多项式没有重根；（4）初等因子都是1次因式.7.5.3.若矩阵可对角化，如何对角化？7.6. 线性变换的值域与核7.6.1.线性变换的值域和核的定义. 值域和核是子空间，它们中的元素有什么特征？7.6.2.值域如何用生成子空间来表示？值域的维数（线性变换的秩）与线性变换的矩阵的秩的关系如何？，值域的维数与核的维数（线性变换的零度）的和为多少？并会证明这两种关系.7.7. 不变子空间7.7.1.不变子空间的定义.线性变换在不变子空间上的限制成为该子空间上的一个线性变换，该限制与原变换之间的区别是什么？举出一些特殊的不变子空间.7.7.2.会用定义证明一个子空间是一个线性变换的不变子空间.7.7.3.不变子空间在矩阵A 相似于一个准对角矩阵方面的应用.7.8. 若尔当标准形介绍若尔当块、若尔当矩阵的定义，任何方阵都唯一存在若尔当标准形，即相似于一个若尔当矩阵.7.9. 最小多项式最小多项式的定义，性质，求法，与不变因子的关系，应用.第八章 λ-矩阵8.1.矩阵A 的特征矩阵及其初等变换，数字矩阵相似的条件,A 的不变因子、行列式因子、初等因子、最小多项式的求法及其关系，以及若尔当标准形的求法.8.2.A 的有理标准形的求法.8.3.利用若尔当块、若尔当矩阵的性质以及A 相似于一个若尔当矩阵证明某些命题.第九章 欧几里得空间9.1. 定义及基本性质9.1.1. 内积的定义及其简单性质，欧式空间的定义,向量的正交的定义，会求向量的内积、长度、夹角.9.1.2.柯西-布涅科夫斯基不等式、三角不等式,勾股定理（会推导）.9.1.3.内积的矩阵表示（会推导）9.1.4.基在某内积下的度量矩阵的定义及其性质（正定）,不同基在同一内积下的度量矩阵之间的关系（合同）（会推导）.9.2. 标准正交基9.2.1.标准正交基的定义，如何判定一组基是标准正交基？标准正交基的度量矩阵，内积在标准正交基下的矩阵表示.9.2.2.正交向量组扩充为正交基（或单位正交向量组扩充为标准正交基）的应用（书上有哪些结论的证明和习题的证明用到了该性质？）9.2.3.掌握施密特正交化过程及相应的向量表示，即：1212(,,,)(,,,)n n T ηηηεεε= 其中12,,,n εεε是任一组基，12,,,n ηηη是由12,,,n εεε经施密特正交化后得到的标准正交基，矩阵T 是一个对角线上元素都大于0的上三角形矩阵。