第24章圆复习总结与小结

24章圆知识点一：圆的定义1、圆可以看作是的集合。

2、圆的特征（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径）。

（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。

知识点二：圆的相关概念1. 叫做弦，2. 叫做直径。

3. 的部分叫做圆弧，简称弧。

圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

的弧（用三个点表示）叫优弧；的弧叫做劣弧．注意：半圆是弧，但弧不一定是半圆。

半圆既不是优弧，也不是劣弧。

3、等圆：叫做等圆周。

4、等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

知识点三：圆的对称性圆是轴对称图形，都是圆的对称轴。

知识点四：垂径定理及推论（重点）1、垂径定理：。

注意：（1）这里的垂径可以是直径、半径或过圆心的直线或线段，其本质是“过圆心”。

（2）垂径定理中的“弦”为直径时，结论仍成立。

2、垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的垂直于弦，并且平分弦所对的.知识点五：弧、弦、圆心角之间的关系（重点、难点）1、圆心角定理：在同圆或等圆中，所对的弦相等，所对的弧也相等。

2、推论：（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的相等，所对的相等。

（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的相等所对的相等。

知识点六：圆周角定理及其推论1、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于的一半。

2、圆周角定理的推论：（1）同弧或等弧所对的相等。

（2）半圆（或直径）所对的圆周角是；90°的圆周角所对的弦是 . 知识点七：圆内接多边形圆的内接四边形性质：圆的内接四边形的对角 .知识点八：三角形的外接圆1.经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。

2.三角形外接圆的圆心是三角形三条边的的交点，叫做这个三角形的外心，（1）三角形的外心到三角形的距离相等，等于外接圆的半径。

（2）一个三角形有且只有个外接圆，而一个圆却有个内接三角形。

（3）三角形外心的位置：锐角三角形的外心在三角形；钝角三角形的外心在三角形；直角三角形的外心是。

第二十四章圆小结与复习1.12.23.3圆是轴对称图形有无数条对称轴过圆心的每一条直线，过圆中一点最长的弦是直径最短的弦是与垂直的弦，弧的度数等于它所对的圆心角的度数，圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

第二十四章圆小结与复习2017-10-30 13:32:47 | #1楼第二十四章圆小结与复习24.1.1圆一、圆的概念1、圆的定义：（1）（2）2、圆的特征（1）（2）3、确定圆的条件：圆心、半径二、圆的有关概念弦、直径、虎半圆、优虎劣虎等圆、同心圆、等虎弦心距（10个）注：1、直径是弦，但弦不是直径2、半圆是虎但弧不是半圆三、圆的对称性1、圆是轴对称图形，有无数条对称轴（过圆心的每一条直线）2、圆是中心对称图形，圆心是对称中心（也是旋转对称图形，具有旋转不变性） 24.1.2垂径定理1、以下五个条件任意两个，均可得出其余三个：（1）过圆心的直线（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分优弧（5）平分劣弧（强调平分的弦不是直径）2、常用辅助线：连半径、做弦心距3、过圆中一点P最长的弦是直径，最短的弦是与OP垂直的弦4、垂径定理常常与勾股定理合用求值。

24.1.3虎弦、圆心角、弦心距1、圆心角：2、弧的度数等于它所对的圆心角的度数。

3、四者关系、推论：（前提：在同圆或等圆中）24.14圆周角1、圆周角:①②2、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

3、圆周角定理的推论：（1）同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等圆周角所对的弧也相等。

（2）半圆（或直径）所对圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径，所对的弧是半圆。

（给直径想直角；给90°圆周角想直径）（3）在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等或互补。

（同侧：相等;异侧：互补）（4）如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

注：1、有弧找角、有角找弧是证明弧相等、角相等的常用思想。

第24章圆复习（2）学习目标：1.探索并理解与圆有关的位置关系：了解切线的概念、性质和判定，会过圆上一点画圆的切线．2.进一步认识和理解正多边形和圆的关系，能进行与正多边形有关的计算．3.熟练掌握弧长和扇形面积公式及其它们的应用；•理解圆锥的侧面展开图并熟练掌握圆锥的侧面积和全面积的计算．学习重点：弧长及扇形面积公式及其应用。

学习难点：圆锥侧面积及全面积的计算一、知识梳理（一）重点知识、数学思想、方法回顾、梳理.（二）基础知识检测1．如图14，⊙O的半径为4cm，直线l⊥OA，垂足为O，则直线l沿射线OA方向平移_____cm 时与⊙O相切．图14 图15 图162．两圆有多种位置关系，图15中不存在的位置关系是_____________．3. 如图16，AB是⊙O的切线，OB=2OA，则∠B的度数是_______________.图17 图184. 如图17，AB与⊙O切于点B，AO=6cm，AB=4cm，则⊙O的半径为（）．．．A．5.如图18，已知∠AOB=30°，M为OB边上任意一点，以M为圆心，半径为2cm作⊙M，当OM=______cm时，⊙M与OA相切．6.已知扇形的圆心角为120°，半径为2cm，则扇形的弧长是_______cm，扇形的面积________cm2．7.如图19，两个同心圆中，大圆的半径OA=4cm，∠AOB=∠BOC=60°，则图中阴影部分的面积是______cm2．cm 8．如图20，圆锥的底面半径为6cm，高为8cm，那么这个圆锥的侧面积是_______2图19 图20二、例题精解例1、如图21，在⊙O 中，直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，连接AC ，将△ACE 沿AC 翻折得到△ACF，直线FC 与直线AB 相交于点G ．（1）直线FC 与⊙O 有何位置关系？并说明理由；（2）若OB=BG=2,求CD 的长．图21例2、如图22，OA 、OB 是⊙O 的两条半径，且OA ⊥OB ，点C 是OB 延长线上的任意一点，过点C 作CD 切⊙O 于点D ，连接AD 交OC 于点E.⑴求证：CD=CE图22⑵若将图⑴中的半径OB 所在的直线向上平移交OA 于F ，交⊙O 于'B ,其他条件不变（如图23），那么上述结论CD=CE 还成立吗？为什么？图23⑶若将图⑴中的半径OB 所在的直线向上平移到⊙O 外的CF ，点E 是DA 延长线与CF 的交点，其它条件不变，（如图24），那么上述结论CD=CE 还成立吗?为什么？图24例3、如图25中图1所示，O 是圆柱形木块底面的圆心，过底面的一条弦AD ，沿母线AB 剖开，得剖面矩形ABCD ，AD=24cm ，AB=25cm ，若AmD 的长为底面周长的32，如图25中图2所示：（1）求⊙O 的半径；（2）求这个圆柱形木块的表面积．（结果可保留根号）图25三、学习体会_______________________________________________________________________________________________________________.四、自我测试1. 已知⊙O 1的半径为1cm ，⊙O 2的半径为4cm ，O 1O 2长为3cm ，则⊙O 1和⊙O 2的位置关系是（ ）A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切2．生活处处皆学问，如图26，眼镜镜片所在的两圆的位置关系是（ ）A．外离B ．外切C ．内含D ．内切图26 图27 图283.如图27，直径AB 为6的半圆，绕A 点逆时针旋转60°，此时点B 到了点B ，则图中阴影部分的面积是（ ）A.6πB.5πC.4πD.3π4.如图28，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC=80°，则∠BOC=（）A．130° B．100° C．50° D．65°5. 已知：如图29，AB为⊙O直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于E，要使DE是⊙O的切线，那么图中的角应满足的条件为_______（只需填一个条件）．图29 图30 图316.如图30,圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起，OA=3，OC=1，分别连结AC、BC，则圆中阴影部分的面积为（）A.12π B.π C.2π D．4π7.如图31，小圆的圆心在原点，半径为3，大圆的圆心坐标为)0,(a，半径为5，如果两圆内含，那么a的取值范围是．8. 如图32，AB是半圆的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且∠PDA=∠PBD（1）判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由；（2）如果∠BDE = 60°，PD =3，求PA的长．五、拓展提高1、如图33，已知直线PA交⊙0于A、B两点，AE是⊙0的直径．点C为⊙0上一点，且AC 平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D。

第24章圆小结与复习、圆的概念集合形式的概念：i、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合;2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合;3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念:1、圆：至U定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆;（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

练习题：一个圆的直径为8cm，到圆心的距离为则该点在圆_______________三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离— d • r = 无交点;2、直线与圆相切— d =r―有一个交点;3、直线与圆相交—d r―有两个交点;1、点在圆内— d :: r—点C在圆内;2、点在圆上― d = r―点B在圆上;3、点在圆外— d r—点A在圆外;5cm,、点与圆的位置关系练习题：、一个点到圆的最短距离为 3cm ，到圆的最长距离为 9cm ，则这个圆的半径为四、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（ 1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧;（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共 5个结论中，只要知道其中 2个即可推出其它3个结论，即:六、圆周角定理①AB 是直径② AB _CD③CE =DE ④弧BC =弧BD⑤弧AC =弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

即:在O O 中，T AB // CD•••弧 AC 二弧 BD五、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对 的弧相等，弦心距相等。

第二十四章小结与复习【学习目标】1．正确理解圆的定义、弧、弦、圆心角、圆周角概念、三角形的外接圆和三角形外心的概念、切线、切线长的概念、三角形的内切圆和三角形的内心的概念，圆内接多边形、多边形的外接圆等概念、正多边形的中心、半径、中心角、边心距的概念及有关计算．2．通过对圆的有关性质定理与判定定理的复习，熟练掌握圆的有关性质定理与判定定理的综合运用．【学习重点】垂径定理、圆周角定理、切线的判定及性质的有关运用．【学习难点】圆的有关性质与判定的综合运用．教学建议：建议本课时分成2个课时，第一课时复习情景导入(一)～(三)内容，自学互研并交流展示知识模块一～三，当堂演练中相应的题目；第2课时复习情景导入(四)～(七)内容，自学互研并交流展示知识模块三～四，当堂演练中相应的题目．【导学流程】一、情景导入 感受新知本节课对全章的知识作一回顾，梳理其知识脉络，熟悉其知识构架，进一步澄清那些易混点，易错点，同时对本章中的一些常用辅助线和常见分类作一整理．二、自学互研 生成新知【自主探究】①结合下面的知识结构框图复习整理本章知识要点．圆⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧圆的基本性质⎩⎪⎨⎪⎧轴对称性→垂径定理任意旋转不变性→弧、弦、圆心角的关系定理圆周角定理→圆内接四边形的性质与圆有关的位置关系⎩⎪⎨⎪⎧点和圆→圆的确定定理（三角形外心）直线和圆→切线⎩⎪⎨⎪⎧判定性质三角形内切圆（三角形内心）与圆有关的计算⎩⎪⎨⎪⎧正多边形与圆弧长扇形面积圆锥的侧面积和全面积②常规辅助线．a ．与弦有关：垂直于弦的直径．b ．已知直径：垂直于直径的弦．c ．证切线：有明确公共点，连接圆心与公共点；无明确公共点， 过圆心作切线的垂线段．d ．已知切线：垂直于切线且过切点的半径．③圆中的分类讨论(各举一例和同桌交流)．a ．点和圆的位置关系：点到圆的最近距离和最远距离问题．b ．圆的轴对称性：求圆的两平行弦的距离；求有公共端点的两弦夹角．c ．弦所对的圆周角．d ．与三角形的外心有关的计算．师生活动：①明了学情：关注学生提纲中三个方面的整理情况．②差异指导：根据学情进行分类指导．③生助生：小组内相互交流、研讨、改正．三、典例剖析运用新知【合作探究】典例1：①如图，⊙O的直径CD＝10 cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM∶OC＝3∶5，则AB的长为(A)A．8cm B.91cmC．6cm D．2cm②如图，AB与⊙O相切于点C，OA＝OB，⊙O的直径为8 cm，AB＝10 cm，求OA的长．解：连接OC.∵AB与⊙O相切于点C，∴∠ACO＝90°.又∵OA＝OB，∴AC＝CB＝12AB＝5 cm.在Rt△AOC中，OA＝OC2＋AC2＝16＋25＝41(cm)．③如图，在足球比赛中，甲带球向对方球门PQ进攻，当他带球冲到A点时，同伴乙已经助攻冲到B点，此时甲是直接射门好，还是将球传给乙，让乙射门好？(仅从射门角度考虑)解：∵A在圆外，B在圆上，∴∠PAQ＜∠PBQ.∴让乙射门好．典例2：已知，如图，扇形AOB的圆心角为120°，半径OA为6 cm.(1)求扇形AOB的弧长和扇形面积；(2)若把扇形纸片AOB卷成一个圆锥无底纸盒，求这个纸盒的高OH.解：(1)扇形AOB的弧长＝4π(cm)，扇形AOB的扇形面积＝12π(cm2)．(2)设圆锥底面圆的半径为r，所以2πr＝4π，解得r＝2.在Rt△OHC中，HC＝2，OC＝6，所以OH＝OC2－HC2＝42(cm)．四、课堂小结回顾新知(1)总结本节课的收获．(2)再次回顾全章知识要点．五、检测反馈落实新知1．如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠A＝40°，∠APD＝75°，则∠B等于(D)A．15°B．40°C．75°D．35°,(第1题图)),(第2题图))2．如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，∠P＝70°，则∠C＝(B)A．70°B．55°C．110°D．140°3．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，求证：AC平分∠DAB.证明：连接OC.∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA.又∵DC是⊙O的切线，∴OC⊥CD.又AD⊥CD，∴AD∥CO.∴∠DAC＝∠OCA，∴∠DAC＝∠OAC.∴AC平分∠DAB.六、课后作业巩固新知(见学生用书)。

第二十四章圆一、圆的相关概念1、圆的定义在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。

2、圆的几何表示以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”二、弦、弧等与圆有关的定义（1）弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。

（如图中的AB）（2）直径经过圆心的弦叫做直径。

（如途中的CD）直径等于半径的2倍。

（3）半圆圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

（4）弧、优弧、劣弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。

大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）三、垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

垂径定理及其推论可概括为：过圆心垂直于弦直径平分弦知二推三平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧四、圆的对称性1、圆的轴对称性圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

2、圆的中心对称性圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理1、圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角。

2、弦心距从圆心到弦的距离叫做弦心距。

3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

六、圆周角定理及其推论1、圆周角顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

人教版九年级数学第二十四章《圆》单元知识点总结1.弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.2.弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.①半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；②优弧：大于半圆的弧叫做优弧；③劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.3.同心圆与等圆圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.4.等弧在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.5、弧、弦、圆心角的关系(1)圆心角定义如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．(2)定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．6、圆周角（1）圆周角定义：像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．（2）.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．（3）.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.7.圆内接四边形：（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．8.弦、弧、圆心角、弦心距的关系：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等)。