2017-2018学年高中数学必修二人教B版练习：2.1 平面直角坐标系中的基本公式2.1.2 Word版含解析

距离为多少？
一般地，已知平面上两点述方法求
课后作业
1.点P 在x 轴上，点Q 在y 轴上，PQ 的中点是(1,2)M -，则
PQ
等于（ ）
.
A .
B .
C 5 .
D
2.等腰ABC ∆的顶点是
()3,0,
A 底边
4,BC =BC
中点是(5,4)D ，则腰长为（ ）
.A 4 .B
.C 2 .
D 3.已知点
123(5,0),(2,1),(4,7)P P P 则123p p p ∆是（ ）
.A 等边三角形 .B 等腰三角形
.C 等腰直角三角形 .D 直角三角形但非等腰三角形
4.x 轴上任一点到定点（0，2），（1，1）的距离和的最小值是（ ）
.
A .
B 2.
C .
D 1
5. ABC ∆的顶点是(1,2)(3,2)(1,0)A B C --、、，则AB 边上的中线长为 （ ）. A ．1 B ．3 C ．5 D ．7
6.已知(,5),(3,2)A a B --
，则a 的值为 ． 7.点
(),x y 关于点(),a b 的对称点是＿＿＿＿＿＿＿
8.已知 :平行四边形的三个顶点坐标分别是(- 1,-2),(3,1),(0,2).求:第四个顶点的坐标。

9.ABC ∆的三个顶点分别是3
(1,)(4,2)(1,)
2A B y -、、D ，重心为(,1)G x -，求,x y 的值.
10、已知等边ABC ∆的两个顶点的坐标为()()
4,0,2,0A B -，试求：
（1）C 点坐标 （2）ABC ∆的面积
11.求证(1,1),(3,3),(4,5)A B C -
三点在一条直线上。

1 / 1如何避免直线问题中的斜率讨论直线一定有倾斜角，但不一定有斜率，很多利用直线斜率解决的问题，都要分斜率存在与不存在两种情况讨论．如果你轻视斜率不存在这种特殊情况，往往会导致错误；如果你避免设斜率而求解，有时又可能会出现妙解．下面介绍几种避免对直线斜率讨论的方法.一﹑巧设直线方程如果所求直线可能涉及到斜率不存在的情况，则可以将过点(x 0，y 0)的直线方程设为x －x 0＝m(y －y 0)，则可以避免对斜率的讨论.例1求经过点(5，10)，且与原点的距离为5的直线方程. 解析：设x －5＝m(y －10)，即x －my －5＋10m ＝0，则由点到直线的距离公式，得|－5＋10m|1＋m 2＝5，解得m ＝43或m ＝0, 故所求直线的方程为3x －4y ＋25＝0或x ＝5.点评：从所求出的两个m 的值可以发现m ＝0对应的情形就是所求直线的斜率不存在的情形. 二﹑数形结合法在直线方程的五种基本形式中，如果利用选用点斜式或斜截式方程，则还须对直线不存在的情况进行补充.在解题时能作出图形的尽量作图，使隐含的条件直观显现，解答就会更加完备.例2直线l 经过点P(1，2)，且与两点M(－2，－3)、N(4，5)的距离相等，求直线l 的方程. 解析：因为M 、N 到直线l 的距离相等， 所以l ∥MN 或经过MN 的中点，如图所示.而k MN ＝43，且MN 的中点坐标为(1，1)，当l ∥MN 时，直线l 的方程为4x －3y ＋2＝0， 当l 经过MN 的中点时，直线l 的方程为x ＝1，综上所述，所求直线l 的方程为4x －3y ＋2＝0或x ＝1.点评：本题若按常规解法，则应当考虑所求直线的斜率是否存在，存在时直接设直线的点斜式方程. 三、利用向量垂直的充要条件向量垂直的充要条件坐标形式：若→a ＝(x 1，y 1)，→b ＝(x 2，y 2)，则→a ⊥→b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.对于两条直线互相垂直的问题，如果能根据直线上两点分别确定出所在直线的一个向量，则利用向量垂直的条件可快速求解.例3已知C(a ，b)(ab ≠0)是一定点，过C 作两条互相垂直的直线l 1与l 2，其中l 1交x 轴于A ，l 2交y 轴于B ，求证：线段AB 的中点M 在一条定直线上.解析：如图，设点M(x ，y)，由中点坐标公式，得A(2x ，0)，B(0，2y)， 则AC →＝(a －2x ，b)，BC →＝(a ，b －2y)， ∵AC→⊥BC →，∴a(a －2x)＋b(b －2y)＝0， 整理，得2ax ＋2by －a 2－b 2＝0，即点M 在一条定直线上.点评：由于题设条件中有一已知点C ，则易考虑利用点斜式方程来解决，但考虑对直线l 1与l 2的斜率是否存在进行分类讨论，而利用向量垂直的充要条件解答，奇妙无比.四、利用直线系方程主要的直线系方程：(1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系为：Ax ＋By ＋λ＝0(λ为参数)；(2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系为：Bx －Ay ＋λ＝0(λ为参数)；(3)过已知两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系为程A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(除去l 2).例4求过点(3，5)且与直线3mx ＋(m ＋5)y ＋3m －7＝0垂直的直线方程. 解析：依题意，设所求直线方程为(m ＋5)x －3my ＋C ＝0，将点(3，5)代入所求方程，得(m ＋5)×3－3m ×5＋C ＝0，解得C ＝12m －15. 故所求直线方程为(m ＋5)x －3my ＋12m －15＝0.点评：解此类问题时，当已知直线的斜率确定时，可根据已知直线的斜率写出所求直线的方程；当已知直线的斜率不确定，方程中含有参数时，为了避开讨论，常常通过利用直线系方程来解决.本题若按利用斜率间关系求解，则必须同时考虑已知直线与所求直线的斜率是否存在的情况，其过程较繁.五﹑利用两条直线平行与垂直的充要条件已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则(1)l 1∥l 2的充要条件是A 1B 2－A 2B 1＝0，且A 1C 2－A 2C 1，B 1C 2－B 2C 1中至少一个不等于零；(2) l 1⊥l 2的充要条件是A 1B 2－A 2B 1＝0.例5已知直线l 1：x ＋2my －3＝0与直线l 2：(3m －1)x －my ＋5＝0互相平行，求实数m 的值.解析：由A 1B 2－A 2B 1＝0，得－m ×1－(3m －1)×2m ＝0，即m(6m －1)＝0，解得m ＝0或m ＝16.当m ＝0时，A 1C 2－A 2C 1＝5×1－(3m －1)×(－3)＝2≠0，∴l 1∥l 2. 当m ＝16时，B 1C 2－B 2C 1＝5×2m －(－m)×(－3)＝76≠0，∴l 1∥l 2.所以m 的取值为0和16.点评：如果利用两条平行直线之间的斜率关系解答，则须考虑两条直线的斜率是否存在，而利用两条直线平行的充要条件可避开.六、利用“设而不求”法“设而不求”就是指在解题过程中，根据题目的要求设出相关的量对应的未知数，但整个过程中并不需要求出这些未知数就可以使问题顺利解决.例6已知一条直线l 被两条平行直线l 1：3x ＋4y －7＝0和l 2：3x ＋4y ＋8＝0所截得的线段长为154，且经过点(2，3)，求直线l 的方程.解析：设直线l 1与l 1﹑l 2的交点分别为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则⎩⎨⎧ 3x 1＋4y 1－7＝03x 2＋4y 2＋8＝0，两个方程相减，得3(x 2－x 1)＋4(y 2－y 1)＋15＝0，即y 2－y 1＝－34(x 2－x 1)－154，由|AB|＝154，得(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝(154)2，所以(x 2－x 1)2＋[34(x 2－x 1)＋154]2＝(154)2，即5(x 2－x 1)2＋18(x 2－x 1)＝0，解得x 2－x 1＝0或x 2－x 1＝－185.由x 2－x 1＝0，得所求直线方程为x ＝2，由x 2－x 1＝－185，得y 2－y 1＝－2120，所以所求直线的斜率为724，直线方程为7x －24y ＋58＝0.综上知，所求直线的方程为x ＝2或7x －24y ＋58＝0.点评：本题通过利用设而不求将x 2－x 1与y 2－y 1作为整体求解，进而确定所求直线的斜率，这种方法是解析几何中常用的手段和技巧.“设而不求”的未知数，又叫辅助元素，它是我们为解决问题增设的一些参数，它能起到沟通数量关系，架起连接已知量和未知量的桥梁作用.。

2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式【学习要求】1．理解两点间的距离的概念，掌握两点间的距离公式，并会求两点间的距离．2．理解坐标法的意义，并会用坐标法研究问题．【学法指导】通过在直角坐标系中构造直角三角形并应用勾股定理，探究出两点间距离公式，通过公式的应用，初步了解解析法证明的思路和方法，体验由特殊到一般，再由一般到特殊的思想及“数”和“形”结合转化思想.填一填：知识要点、记下疑难点1．两点间的距离公式：P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点之间的距离表示为d(P 1，P 2)＝|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2；(x －a )2＋(y －b )2的几何意义是： 两点P 1(x ，y)，P 2(a ，b) 的距离 ．2．中点公式：已知平面直角坐标系中的两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，点M(x ，y)是线段AB 的中点，则x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22. 研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境]我们已经知道数轴上的两点A 、B 的距离|AB|＝|x A －x B |，那么如果已知平面上两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)， 如何求P 1，P 2的距离d(P 1P 2)呢？本节我们就来研究这个问题．探究点一 两点间的距离公式问题1 在平面直角坐标系中，有序实数对构成的集合与坐标平面内点的集合具有怎样的对应关系？有序实数对(x ，y)与点P 对应时x ，y 分别叫做什么？答： 具有一一对应关系．有序实数对(x ，y)与点P 对应时，(x ，y)叫做点P 的坐标．其中x 叫做点P 的横坐标，y 叫做点P 的纵坐标．问题2 在x 轴上，已知点P 1(x 1,0)和P 2(x 2,0)，那么点P 1和P 2的距离为多少？答： |P 1P 2|＝|x 1－x 2|.问题3 在y 轴上，已知点P 1(0，y 1)和P 2(0，y 2)，那么点P 1和P 2的距离为多少？答： |P 1P 2|＝|y 1－y 2|.问题4 如图，已知x 轴上一点P 1(x 0,0)和y 轴上一点P 2(0，y 0)，那么点P 1和P 2的距离为多少？答: |P 1P 2|＝x 20＋y 20.问题5 在平面直角坐标系中，已知点A(x ，y) ，原点O 和点A 的距离d(O ，A)等于什么？答: 如下图，当点A 不在坐标轴上时，从点A(x ，y)作x 轴的垂线段AA1，垂足为A 1，再运用勾股定理得d(O ，A)＝x 2＋y 2 .问题6 一般地，已知平面上两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，如何利用上述方法求点P 1和P 2的距离？答: 当x 1≠x 2，y 1＝y 2时，|P 1P 2|＝|x 2－x 1|；当x 1＝x 2，y 1≠y 2时，|P 1P 2|＝|y 2－y 1|；当x 1≠x 2，y 1≠y 2时，如图，在Rt △P 1QP 2中，由勾股定理知，|P 1P 2|2＝|P 1Q|2＋|QP 2|2，所以d(P 1，P 2)＝|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.小结:两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式d(P 1，P 2)＝|P 1P 2|＝2－x 12＋2－y 12. 例1 已知点A(1,2)，B(3,4)，C(5,0)，求证：△ABC 是等腰三角形．证明: 因为d(A ，B)＝(3－1)2＋(4－2)2＝8， d(A ，C)＝(5－1)2＋(0－2)2＝20， d(C ，B)＝(5－3)2＋(0－4)2＝20，即|AC|＝|BC|. 又可验证A ，B ，C 不共线，所以△ABC 是等腰三角形．小结:本题是用代数的方法证明几何问题，这就是解析法. 具体来说就是根据图形特点，建立适当的直角坐标系，利用坐标解决有关问题，这种方法叫坐标的方法，也称为解析法．跟踪训练1 已知点A(－3,4)，B(2，3)，试在x 轴上找一点P ，使得d(P ，A)＝d(P ，B)，并求出d(P ，A)． 解: 设P(x,0)，由题意得d(P ，A)＝(x ＋3)2＋(0－4)2＝x 2＋6x ＋25， d(P ，B)＝(x －2)2＋(0－3)2＝x 2－4x ＋7 由d(P ，A)＝d(P ，B)，即x 2＋6x ＋25＝x 2－4x ＋7，化简得x ＝－95，故P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫－95，0， d(P ，A)＝⎝⎛⎭⎫－3＋952＋42＝21095. 例2 证明：平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．证明: 如图所示，以顶点A 为坐标原点，AB 边所在的直线为x 轴，建立直角坐标系，有A(0,0)．设B(a,0)，D(b ，c)，由平行四边形的性质知点C 的坐标为(a ＋b ，c)，因为|AB|2＝a 2，|CD|2＝a 2，|AD|2＝b 2＋c 2，|BC|2＝b 2＋c 2，|AC|2＝(a ＋b)2＋c 2，|BD|2＝(b －a)2＋c 2. 所以|AB|2＋|CD|2＋|AD|2＋|BC|2＝2(a 2＋b 2＋c 2)，|AC|2＋|BD|2＝2(a 2＋b 2＋c 2)．所以|AB|2＋|CD|2＋|AD|2＋|BC|2＝|AC|2＋|BD|2.因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．小结: 用解析法证几何题的注意事项：(1)首先要根据题设条件建立适当的直角坐标系，然后根据题中所给的条件，设出已知点的坐标；(2)再根据题设条件及几何性质推出未知点的坐标；(3)另外，在证题过程中要不失一般性． 跟踪训练2 求函数y ＝x 2＋1＋x 2－4x ＋8的最小值．解: ∵函数的解析式可化为y ＝x 2＋1＋x 2－4x ＋8＝(x －0)2＋(0－1)2＋(x －2)2＋(0－2)2.令A(0,1)，B(2,2)，P(x,0)，则问题转化为在x 轴上求一点P(x,0)，使得|PA|＋|PB|取最小值．∵A 关于x 轴的对称点为A ′(0，－1)，∴(|PA|＋|PB|)min ＝|A ′B|＝(2－0)2＋(2＋1)2＝4＋9＝13.即函数y ＝x 2＋1＋x 2－4x ＋8的最小值为13.探究点二 中点公式问题 已知A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，M(x ，y)是线段AB 的中点，如何用A ，B 点的坐标表示M 点的坐标？答: 如图，过点A ，B ，M 分别向x 轴，y 轴作垂线AA 1，AA 2，BB 1，BB 2，MM 1，MM 2，垂足分别为A 1(x 1，0)，A 2(0，y 1)，B 1(x 2，0)，B 2(0，y 2)，M 1(x,0)，M 2(0，y)．因为M 是线段AB 的中点，所以点M 1和点M 2分别是A 1B 1和A 2B 2的中点，即A 1M 1＝M 1B 1，A 2M 2＝M 2B 2.所以x －x 1＝x 2－x ，y －y 1＝y 2－y. 即x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22. 这就是线段中点坐标的计算公式，简称中点公式． 例3 已知▱ABCD 的三个顶点A(－3,0)，B(2，－2)，C(5,2)，求顶点D 的坐标(如图所示)．解: 因为平行四边形的两条对角线的中点相同，所以它们的坐标也相同．设点D 的坐标为(x ，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋22＝－3＋52＝1y －22＝0＋22＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0y ＝4.所以点D 的坐标为(0,4)， 小结: 利用解析法解决几何中的问题，要充分利用几何性质． 跟踪训练3 证明：直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等． 证明: 如图所示，以直角三角形的直角顶点C 为坐标原点，一直角边CA 所在直线为x 轴，建立直角坐标系， 则C(0,0)．设A(a,0)，B(0，b)， 则斜边的中点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，b 2. |OM|＝a 24＋b 24＝12a 2＋b 2， |BM|＝a 24＋⎝⎛⎭⎫b 2－b 2＝12a 2＋b 2， |MA|＝⎝⎛⎭⎫a －a 22＋b 24＝12a 2＋b 2. |MA|＝⎝⎛⎭⎫a －a 22＋b 24＝12a 2＋b 2. 即直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等.练一练：当堂检测、目标达成落实处1．已知A(－3,5)，B(2,15)，则d(A ，B)等于( ) A ．5 2 B ．513 C ．517 D ．5 5 解析: d(A ，B)＝(2＋3)2＋(15－5)2 ＝52＋102＝5 5. 2．已知两点A(a ，b)，B(c ，d)，且a 2＋b 2－c 2＋d 2＝0，则 ( )A ．原点一定是线段AB 的中点 B ．A 、B 一定都与原点重合C ．原点一定在线段AB 上但不是中点D ．结论都不正确 解析: 由a 2＋b 2－c 2＋d 2＝0，得：a 2＋b 2＝c 2＋d 2，即d(O ，A)＝d(O ，B)．所以A 、B 到原点O 的距离相等， 故选项A 、B 、C 都错，故选D.3．已知平面内平行四边形的三个顶点A(－2,1)、B(－1,3)、C(3，4)，求第四个顶点D 的坐标．解: 分以下三种情况(如图所示)．(1)构成▱ABCD 1(以AC 为对角线)．设D 1(x 1，y 1)，AC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫12，52，其也为BD 1的中点坐标，∴12＝－1＋x 12，52＝3＋y 12.∴x 1＝2，y 1＝2，即D 1(2,2)．(2)以BC 为对角线构成▱ACD 2B ，同理得D 2(4,6)．(3)以AB 为对角线构成▱ACBD 3，同理得D 3(－6,0)．课堂小结：1．坐标平面内两点间的距离公式，是解析几何中的最基本最重要的公式之一，利用它可以求平面上任意两个已知点间的距离．反过来，已知两点间的距离也可以根据条件求其中一个点的坐标．2．平面几何中与线段长有关的定理和重要结论，可以用坐标法来证明．用坐标法解题时，由于平面图形的几何性质是不依赖于平面直角坐标系的建立而改变的，但不同的平面直角坐标系会使计算有繁简之分，因此在建立直角坐标系时必须“避繁就简”．。

课时目标解析：设点(，)，∵()，()，∴的中点的坐标为(，)．∵点同时也是的中点，∴(\\((－)＝，,(＋)＝()，))解得(\\(＝，＝.))故点的坐标为()．二、填空题(每个分，共分)．若点()、(，－)，且(，)＝，则＝.答案：或－解析：由两点间距离公式，得＝，即(－)＝，所以－＝±，故＝或－.．设点在轴上，点在轴上，线段的中点是(－)，则＝.答案：解析：设()，(，)，由中点坐标公式(\\((＋)＝－,(＋)＝))，∴(\\(＝－＝))，∴＝＝＝.．已知△三边，，的中点分别为(，－)，()，(－)，则顶点的坐标为．答案：(－，－)解析：设(，)，则由是的中点，得(－，－－)．由是的中点，得(－＋)．∵是的中点，∴－＝，＝，∴＝－，＝－.∴(－，－)．三、解答题．(分)已知点()，在轴上的点与点的距离等于，求点的坐标．解：设点的坐标为(，)，由(，)＝得＝，解得＝或＝.∴点的坐标为()或()．．(分)已知点(－)，(＋，－)，当取最小值时，求实数的值．解：＝(－－)＋(－－＋)＝－＋＝＋，∴当＝时，取最小值．能力提升．(分)在△中，是边上的中线，求证：＋＝(＋)．证明：以边所在直线为轴，边的中点为原点建立平面直角坐标系，如图，设(－)，()，其中＞，(，)，则＋＝(＋)＋＋(－)＋＝(＋＋)，＋＝＋＋，∴＋＝(＋)．．(分)求函数＝＋的最小值．解：＝＋＝＋ .令()、()、()，则问题转化为在轴上求一点()，使得＋取得最小值．∵关于轴的对称点为′(，－)．∴(＋)＝′＝＝＝.。

2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式1.掌握平面上两点间的距离公式和中点坐标公式.(重点)2.了解两点的距离公式及中点公式的推导方法.(难点)3.体会坐标法在几何中的作用.(重点)4.坐标法在证明几何问题中的应用.(难点)[基础·初探]教材整理 两点间距离公式及中点公式阅读教材P 68～P 71“例4”以上内容，完成下列问题.1.已知在平面直角坐标系中两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有d (A ，B )＝|AB |＝x2－2＋y 2－2.已知平面直角坐标系中的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，设点M (x ，y )是线段AB 的中点，则有x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22.1.如图2­1­2，由A (－4，－2)，B (4，－2)，C (4,4)，是否能求出d (A ，C )?图2­1­2【答案】 能，d (A ，C )＝|AB |2＋|BC |2＝10.2.(1)如图2­1­3，若A (－1,1)，C (3,1)连线的中点为M 1(x ，y ), 则x ，y 满足什么条件？图2­1­3【答案】 x －(－1)＝3－x ，y ＝1.(2)若B (3,4)，那么BC 的中点M 2的坐标是什么？【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，52.[小组合作型]).求证：△ABC是等边三角形.【精彩点拨】 解答本题可以尝试利用两点的距离公式求出三边长，再用三角形知识解决.【自主解答】 由两点的距离公式得 |AB |＝a ＋a2＋－2＝2|a |，|BC |＝－a 2＋3a －2＝2|a |，|CA |＝－a －2＋－3a 2＝2|a |.∴|AB |＝|BC |＝|CA |， 故△ABC 是等边三角形.根据边长判断三角形形状的结论主要有以下几种：等腰、等边、直角、等腰直角三角形等.在进行判断时，一定要得出最终结果，比如一个三角形是等腰直角三角形，若我们只通过两边长相等判定它是等腰三角形则是不正确的.[再练一题]1.本例若改为：已知A (－1，－1)，B (3,5)，C (5,3)，试判断△ABC 的形状. 【解】 d (A ，B )＝[3－－2＋[5－－2＝42＋62＝52＝213，d (A ，C )＝[5－－2＋[3－－2＝62＋42＝52＝213，d (B ，C )＝－2＋－2＝22＋22＝8＝2 2.所以|AB |＝|AC |≠|BC |，且显然三边长不满足勾股定理， 所以△ABC 为等腰三角形.，对角线交点为E (－3,4)，求另外两顶点C 、D 的坐标.【导学号：45722072】【精彩点拨】 可以画图分析点的关系，借助平行四边形的性质，尝试运用中点公式列方程组求解.【自主解答】 设C 点坐标为(x 1，y 1)，则由E 为AC 的中点得： ⎩⎪⎨⎪⎧ －3＝4＋x 12，4＝2＋y 12，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝－10，y 1＝6，设D 点坐标为(x 2，y 2)，则由E 为BD 的中点得 ⎩⎪⎨⎪⎧－3＝5＋x22，4＝7＋y 22，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－11，y 2＝1，故C 点坐标为(－10,6)，D 点坐标为(－11,1).1.本题是用平行四边形对角线互相平分这一性质，依据中点公式列方程组求点的坐标的.2.中点公式常用于求与线段中点、三角形的中线、平行四边形的对角线等有关的问题，解题时一般先根据几何概念，提炼出点之间的“中点关系”，然后用中点公式列方程或方程组求解.[再练一题]2.已知平行四边形ABCD 的三个顶点坐标分别为A (0,0)，B (2,0)，D (1,3)，求顶点C 的坐标.【解】 ∵平行四边形的对角线互相平分， ∴平行四边形对角线的中点坐标相同. 设C 点坐标为C (x ，y )，则 ⎩⎪⎨⎪⎧0＋x 2＝2＋12＝32，0＋y 2＝0＋32＝32，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3，即C (3,3).[探究共研型]探究1【提示】(1)要使尽可能多的已知点、直线落在坐标轴上；(2)如果图形中有互相垂直的两条直线，则考虑其作为坐标轴；(3)考虑图形的对称性：可将图形的对称中心作为原点、将图形的对称轴作为坐标轴.探究2 建立不同的直角坐标系，影响最终的结果吗？【提示】不影响.在△ABC中，D为BC边上任意一点(D与B、C不重合)，且AB2＝AD2＋BD·DC.求证：△ABC为等腰三角形.【精彩点拨】建系→设三角形各顶点的坐标→把条件转化为坐标运算→化简→证明|AB|＝|AC|→结论【自主解答】如图所示，作AO⊥BC，垂足为O，以BC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.设A(0，a)，B(b,0)，C(c,0)，D(d,0)(b<d<c).∵|AB|2＝|AD|2＋BD·DC，∴b2＋a2＝d2＋a2＋(d－b)(c－d)，∴－(d－b)(b＋d)＝(d－b)(c－d)，又∵d－b≠0，∴－b－d＝c－d，即－b＝c.∴|AB|＝|AC|，故△ABC为等腰三角形.1.对于平面几何中证明边相等(或不等)、求最值等类型的题目，可以建立恰当的平面直角坐标系，用坐标法将几何问题代数化，使复杂的逻辑思维转化为简单的代数运算，从而将复杂问题简单化.2.在建立平面直角坐标系时，要尽可能地将平面几何图形中的点、线放在坐标轴上，但不能把任意点作为特殊点.[再练一题]3.已知△ABC 是直角三角形，斜边BC 的中点为M ，建立适当的直角坐标系，证明：|AM |＝12|BC |.【证明】 如图所示，以Rt△ABC 的直角边AB ，AC 所在直线为坐标轴，建立直角坐标系.设B ，C 两点的坐标分别为(b,0)，(0，c ).因为点M 是BC 的中点， 故点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0＋b 2，0＋c 2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，c 2.由两点间距离公式得 |BC |＝－b2＋c －2＝b 2＋c 2，|AM |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b2－02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c2－02＝12 b 2＋c 2. 所以|AM |＝12|BC |.1.已知A (－8，－3)，B (5，－3)，则线段AB 的中点坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－3 【解析】 由中点坐标公式可以求得. 【答案】 B2.已知A (1,2)，B (a,6)，且|AB |＝5，则a 的值为( ) A.4 B.－4或2 C.－2 D.－2或4【解析】 a －2＋－2＝5，解得a ＝－2或4.【答案】 D3.以A (5,5)，B (1,4)，C (4,1)为顶点的三角形为________.【解析】由题意|AB|＝17，|AC|＝17，|BC|＝18，显然△ABC为等腰三角形.【答案】等腰三角形4.若x轴上的点M到原点与到点(5，－3)的距离相等，则点M的坐标为________.【解析】设点M的坐标为(x,0)，由题意知|x|＝x－2＋＋2，即x2＝(x－5)2＋9，解得x＝3.4，故所求点M的坐标为(3.4,0).【答案】(3.4,0)5.已知矩形相邻两个顶点是A(－1,3)，B(－2,4)，若它的对角线交点在x轴上，求另外两顶点的坐标.【导学号：45722073】【解】设对角线交点为P(x,0)，则|PA|＝|PB|，即(x＋1)2＋(0－3)2＝(x＋2)2＋(0－4)2，解得x＝－5，所以对角线交点为P(－5,0).所以x C＝2×(－5)－(－1)＝－9，y C＝2×0－3＝－3，即C(－9，－3)；x D＝2×(－5)－(－2)＝－8，y D＝2×0－4＝－4，所以D(－8，－4).所以另外两顶点的坐标C(－9,3)，D(－8，－4).。

学业分层测评(建议用时：分钟)[学业达标]一、选择题．已知线段的中点在坐标原点，且()，(，)，则＋等于( )．．－．．－【解析】易知＝－，＝－.∴＋＝－.【答案】．已知△的顶点()，(－)，()，则△的周长是( )．．＋．＋．＋【解析】由题意知＝＝，＝＝，＝＝.∴＋＋＝＋.【答案】．已知()，()，()，且点关于点的对称点为，则＝( )．．【解析】由题意知，设(，)，∴(\\((＋)＝，(＋)＝，))∴(\\(＝，＝，))∴()．∴＝＝，故选.【答案】．已知()关于(，)的对称点是(－，－)，则(，)到原点的距离为( ) ．【解析】由题意知点是线段的中点，则(\\(－＝，＝，))∴(\\(＝，＝.))∴＝，∴＝.【答案】．光线从点(－)射到轴上，经反射以后经过点()，则光线从到的路程为()．．．．【解析】(－)关于轴的对称点为′(－，－)，则′＝＝.【答案】二、填空题．在△中，设()，(－)，若，的中点都在坐标轴上，则点坐标为．【解析】设(，)，则的中点为，的中点为，若的中点在轴上，的中点在轴上，则(\\(＝，＝－；))若的中点在轴上，的中点在轴上，则(\\(＝－，＝－.))【答案】(，－)或(－，－)．已知三角形的三个顶点()，(、)，(，－)，则边上的中线的长为．【解析】设边的中点的坐标为(，)，则(\\(＝(＋)＝，＝(＋(－()＝，))即的坐标为()，所以＝＝.【答案】．点(，－)关于原点对称的对称点到(，)的距离是，则的值是．【解析】的对称点′(－)＝解得＝或－.【答案】或－三、解答题．已知()，(，－)，试问在轴上能否找到一点，使∠为直角？【导学号：】【解】假设在轴上能找到点()，使∠为直角，由勾股定理可得＋＝，即(－)＋＋(－)＋＝，化简得－＝，。

教学设计1．5平面直角坐标系中的距离公式第1课时整体设计教学分析在此之前，学生已学习了直线的方程、两直线的交点坐标，学习本节的目的是让学生知道平面坐标系内任意两点距离的求法公式，以及用坐标法证明平面几何问题的知识，让学生体会到建立适当坐标系对于解决问题的重要性．课堂教学应有利于学生的数学素质的形成与发展，即在课堂教学过程中，创设问题的情境，激发学生去主动地发现问题和解决问题，有效地渗透数学思想方法，发展学生个性思维品质，这是本节课的教学原则．根据这样的原则及所要完成的教学目标，采用如下的教学方法：主要是引导发现法、探索讨论法、讲练结合法．三维目标1．使学生掌握平面内两点间的距离公式及其推导过程，通过具体的例子来体会坐标法对于证明简单的平面几何问题的重要性．2．能灵活运用此公式解决一些简单问题，使学生掌握如何建立适当的直角坐标系来解决相应问题，培养学生勇于探索、善于发现、独立思考的能力以及不断超越自我的创新品质．重点难点教学重点：①平面内两点间的距离公式．②如何建立适当的直角坐标系．教学难点：如何根据具体情况建立适当的直角坐标系来解决问题．课时安排1课时教学过程导入新课已知平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，如何求P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的距离|P1P2|.推进新课新知探究提出问题①如果A，B是x轴上两点，C，D是y轴上两点，它们坐标分别是x A，x B，y C，y D，那么|AB|，|CD|又怎样求？②求B(3，4)到原点的距离.③已知平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，如何求P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的距离|P1P2|.④同学们已知道两点的距离公式，请大家总结一下我们是怎样推导出来的(回忆过程).活动：①可由图形观察得出．②通过观察图1，发现一个Rt△BMO，应用勾股定理得到距离．图1 图2③在直角坐标系中，已知两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，如图2从P1，P2分别向x轴和y 轴作垂线P1M1，P1N1和P2M2，P2N2，垂足分别为M1(x1,0)，N2(0，y1)，M2(x2,0)，N2(0，y2)，其中直线P1N1和P2M2相交于点Q.在Rt△P1QP2中，|P1P2|2＝|P1Q|2＋|QP2|2.因为|P1Q|＝|M1M2|＝|x2－x1|，|OP2|＝|N1N2|＝|y2－y1|，所以|P1P2|2＝|x2－x1|2＋|y2－y1|2.由此得到两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的距离公式为|P1P2|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.④我们先计算在x轴和y轴两点间的距离；又问了B(3,4)到原点的距离，发现了直角三角形；猜想了任意两点距离公式；最后得到平面上任意两点间的距离公式．这种由特殊到一般、由特殊猜测任意的思维方式是数学发现公式或定理到推导公式、证明定理经常应用的方法．同学们在做数学题中可以采用！讨论结果：①|AB|＝|x B－x A|，|CD|＝|y D－y C|.②B到原点距离是5.③|P1P2|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.④略．应用示例思路1例1 求下列两点间的距离：(1)A (－1,0)，B (2,3)；(2)A (4,3)，B (7，－1)．解：(1)|AB |＝(2＋1)2＋(3－0)2＝32；(2)|AB |＝(7－4)2＋(－1－3)2＝5.例2 已知△ABC 的三个顶点是A (－1,0)，B (1,0)，C ⎝⎛⎭⎫12，32，试判断△ABC 的形状．图3解：如图3，因为|BC |＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫322＝1＋34＝1， |AB |＝2，|AC |＝⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫322＝3， 有|AC |2＋|BC |2＝|AB |2，所以△ABC 是直角三角形．例3 △ABC 中，D 是BC 边上任意一点(D 与B ，C 不重合)，且|AB |2＝|AD |2＋|BD |·|DC |，求证：△ABC 为等腰三角形． 解：作AO ⊥BC ，垂足为O ，以BC 所在直线为x 轴，以OA 所在直线为y 轴，建立直角坐标系．如图4.图4设A (0，a )，B (b,0)，C (c,0)，D (d,0)．因为|AB |2＝|AD |2＋|BD |·|DC |，所以由距离公式可得b 2＋a 2＝d 2＋a 2＋(d －b )(c －d )，即－(d －b )(b ＋d )＝(d －b )(c －d )． 又d －b ≠0，故－b －d ＝c －d ，即－b ＝c .所以|AB |＝|AC |，即△ABC 为等腰三角形．点评：根据图形特点，建立适当的直角坐示系，利用坐标解决有关问题，这种方法叫坐标的方法，也称为解析法．思路2例1 如图5，有一线段的长度是13，它的一个端点是A(－4,8)，另一个端点B的纵坐标点3，求这个端点的横坐标，并画出这个点．图5 图6解：设B点坐标为(x,3)，根据|AB|＝13，得(x＋4)2＋(3－8)2＝132，解得x＝8或x＝－16.画点B或B′(如图6)．点评：学生先找点，有可能找不全丢掉点，而用代数解比较全面．也可以引至：到A(－4,8)点距离等于13的点的轨迹(或集合)，是以A点为圆心，13为半径的圆上与y＝3的交点，应交出两个点．变式训练已知点A(－1,2)，B(2，7)，在x轴上求一点P，使|P A|＝|PB|，并求|P A|的值．解：设所求点P(x,0)，于是有|P A|＝(x＋1)2＋(0－2)2，|PB|＝(x－2)2＋(0－7)2.由|P A|＝|PB|，得x2＋2x＋5＝x2－4x＋11，解得x＝1.即所求点P的坐标为(1,0)．所以|P A|＝(1＋1)2＋(0－2)2＝2 2.例2 求证：平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和．活动：首先要建立直角坐标系，用坐标表示有关量，然后用代数进行运算，最后把代数运算“翻译”成几何关系．这一道题可以让学生讨论解决，让学生深刻体会数形之间的关系和转化，并从中归纳出应用代数问题解决几何问题的基本步骤．证明：建立直角坐标系，如图7，以顶点A为坐标原点，AB边所在的直线为x轴，建立直角坐标系，有A(0,0)．图7设B(a,0)，D(b ，c)，由平行四边形的性质知点C 的坐标为(a ＋b ，c)，因为|AB |2＝a 2，|CD |2＝a 2，|AD |2＝b 2＋c 2＝|BC |2，|AC |2＝(a ＋b )2＋c 2，|BD |2＝(b －a )2＋c 2，所以|AB|2＋|CD|2＋|AD|2＋|BC|2＝2(a 2＋b 2＋c 2)，|AC|2＋|BD|2＝2(a 2＋b 2＋c 2)．所以|AB|2＋|CD|2＋|AD|2＋|BC|2＝|AC|2＋|BD|2，即平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．点评：上述解决问题的基本步骤可以让学生归纳如下：第一步，建立直角坐标系，用坐标表示有关的量；第二步，进行有关代数运算；第三步，把代数结果“翻译”成几何关系． 变式训练△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，求证：|AB |2＋|AC |2＝2(|AD |2＋|DC |2)．证明：如图8取线段BC 所在的直线为x 轴，点D 为原点，建立直角坐标系，设点A 的坐标为(b ，c )，点C 的坐标为(a,0)，则点B 的坐标为(－a,0)，图8可得|AB |2＝(a ＋b )2＋c 2，|AC |2＝(a －b )2＋c 2，|AD |2＝b 2＋c 2，|OC |2＝a 2.所以，|AB |2＋|AC |2＝2(a 2＋b 2＋c 2)，|AD |2＋|DC |2＝a 2＋b 2＋c 2.所以，|AB |2＋|AC |2＝2(|AD |2＋|DC |2).知能训练1．在x 轴上求一点P ，使P 点到A (—4,3)和B (2,6)两点的距离相等．2．求在数轴上，与两点A (－1,3)，B (2,4)等距离的点的坐标．3．已知三点A (3,2)，B (0,5)，C (4,6)，则△ABC 的形状是( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形解答：1．设点P 坐标为(x,0)，由P 点到A (－4,3)和B (2,6)两点的距离相等知，(x ＋4)2＋32＝(x－2)2＋62，解得x ＝54，即点P 坐标为⎝⎛⎭⎫54，0. 2．当在x 轴上时，设点P (x,0)，则(x ＋1)2＋9＝(x －2)2＋16，解得x ＝53，所以点P 为⎝⎛⎭⎫53，0. 当在y 轴上时，设点P (0，y )，则1＋(y －3)2＝4＋(y －4)2，解得y ＝5，所以点P 为(0,5)．综上，到两点A (－1,3)，B (2,4)等距离的点的坐标为⎝⎛⎭⎫53，0或(0,5)．3．C 提示：由两点间的距离公式可得|BC |＝|AC |≠|AB |.拓展提升已知0＜x ＜1,0＜y ＜1，求使不等式x 2＋y 2＋x 2＋(1－y )2＋(1－x )2＋y 2＋(1－x )2＋(1－y )2≥22中的等号成立的条件．答案：x ＝y ＝12.[提示：可看作是求到(0,0)，(0,1)(1,0)，(1,1)这四个点的距离的和为22的点的坐标．] 课堂小结通过本节学习，要求大家：①掌握平面内两点间的距离公式及其推导过程．②能灵活运用此公式解决一些简单问题．③掌握如何建立适当的直角坐标系来解决相应问题．④通过具体的例子来体会坐标法对于证明简单的平面几何问题的重要性．⑤培养勇于探索、善于发现、独立思考的能力以及不断超越自我的创新品质．作业习题2—1 A 组10,11,12.设计感想通过本节课的教学，教师应引导学生学会思考、尝试、猜想、证明、归纳，这样更有利于学生掌握知识．为了加深知识理解，掌握和更灵活地运用所学知识去主动的发现问题、解决问题，更系统地掌握所学知识，形成新的认知结构和知识网络，让学生真正地体会到在问题解决中学习，在交流中学习．本节课处理过程力求达到解决如下问题：知识是如何产生的？又如何从实际问题抽象成为数学问题，并赋予抽象的数学符号和表达式？如何反映生活中客观事物之间简单的和谐关系？特点：以知识为载体，思维为主线，能力为目标的设计原则，突出多媒体这一教学技术手段在本节课辅助知识产生、发展和突破重难点的优势．备课资料笛卡儿我们现在所用的直角坐标系，通常叫作笛卡儿直角坐标系．是从笛卡儿(Descartes R ．,1596.3.31—1650.2.11)引进了直角坐标系以后，人们才得以用代数的方法研究几何问题，才建立并完善了解析几何学，才建立了微积分．法国数学家拉格朗日(Lagrange J ．L.,1736.1.25—1813.4.10)曾经说过：“只要代数同几何分道扬镳，它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄．但是，当这两门科学结合成伴侣时，它们就互相吸取新鲜的活力．从那以后，就以快速的步伐走向完善．”笛卡儿的坐标系不同于一个一般的定理，也不同于一段一般的数学理论，它是一种思想方法和技艺，它使整个数学发生了崭新的变化，它使笛卡儿成为了当之无愧的现代数学的创始人之一．笛卡儿是十七世纪法国杰出的哲学家，是近代生物学的奠基人，是当时第一流的物理学家，并不是专业的数学家．笛卡儿的父亲是一位律师．当他八岁的时候，他父亲把他送入了一所教会学校，他十六岁离开该校，后进入普瓦界大学学习，二十岁毕业后去巴黎当律师．他于1617年进入军队．在军队服役的九年中，他一直利用业余时间研究数学．后来他回到巴黎，被望远镜的威力所激动，闭门钻研光学仪器的理论与构造，同时研究哲学问题．他于1682年移居荷兰，得到较为安静自由的学术环境，在那里住了二十年，完成了他的许多重要著作，如《思想的指导法则》《世界体系》《更好地指导推理和寻求科学真理的方法论》(包括三个著名的附录：《几何》《折光》和《陨星》)，还有《哲学原理》和《音乐概要》等．其中《几何》这一附录，是笛卡儿写过的唯一一本数学书，其中清楚地反映了他关于坐标几何和代数的思想．笛卡儿于1649年被邀请去瑞典做女皇的教师．斯德哥尔摩的严冬对笛卡儿虚弱的身体产生了极坏的影响，笛卡儿于1650年2月患了肺炎，得病十天便与世长辞了，他逝世于1650年2月11日，差一个月零三周没活到54岁．笛卡儿虽然从小就喜欢数学，但他真正自信自己有数学才能并开始认真用心研究数学却是因为一次偶然的机缘．那是1618年11月，笛卡儿在军队服役，驻扎在荷兰的一个小小的城填布莱达．一天，他在街上散步，看见一群人聚集在一张贴布告的招贴牌附近，情绪兴奋地议论纷纷．他好奇地走到跟前，但由于他听不懂荷兰话，也看不懂布告上的荷兰字，他就用法语向旁边的人打听，有一位能听懂法语的过路人不以为然地看了看这个年青的士兵，告诉他，这里贴的是一张解数学题的有奖竞赛．要想让他给翻译一下布告上所有的内容，需要有一个条件，就是士兵要给他送来这张布告上所有问题的答案．这位荷兰人自称，他是物理学、医学和数学教师别克曼，出乎意料的是，第二天，笛卡儿真的带着全部问题的答案见他来了；尤其使别克曼吃惊的是，这位青年的法国士兵的全部答案竟然一点儿差错都没有，于是，二人成了好朋友，笛卡儿成了别克曼家的常客．笛卡儿在别克曼指导下开始认真研究数学，别克曼还教笛卡儿学习荷兰语．这种情况一直延续了两年多，为笛卡儿以后创立解析几何打下了良好的基础．而且，据说别克曼教笛卡儿学会的荷兰话还救过笛卡儿一命：有一次笛卡儿和他的仆人一起乘一艘不大的商船驶往法国，船费不很贵．没想到这是一艘海盗船，船长和他的副手以为笛卡儿主仆二人是法国人，不懂荷兰语，就用荷兰语商量杀害他们俩抢劫他们钱财的事．笛卡儿听懂了船长和他副手的话，悄悄做准备，终于制服了船长，才安全回到了法国．在法国生活了若干年之后，他为了把自己对事物的见解用书面形式陈述出来，他又离开了带有宗教偏见和世俗的专制政体的法国，回到了可爱而好客的荷兰，甚至于和海盗的冲突也抹杀不了他对荷兰的美好回忆．正是在荷兰，笛卡儿完成了他的《几何》，此著作不长，但堪称几何著作中的珍宝．笛卡儿在斯德哥尔摩逝世十六年后，他的骨灰被转送回巴黎．开始时安放在巴维尔教堂，1667年被移放到法国伟人们的墓地——神圣的巴黎的保卫者们和名人的公墓，法国许多杰出的学者都在那里找到了自己最后的归宿．(设计者：释翠香)第2课时整体设计教学分析点到直线的距离是“直线与方程”这一节的重点内容，它是解决点线、线线间的距离的基础，也是研究直线与圆的位置关系的主要工具．点到直线的距离的公式的推导方法很多，可探究的题材非常丰富．除了本节课可能探究到的方法外，还有应用三角函数、应用向量等方法．因此“课程标准”对本节教学内容的要求是：“探索并掌握点到直线的距离公式，会求两条平行线间的距离．”希望通过本节课的教学，能让学生在公式的探索过程中深刻地领悟到蕴涵其中的重要的数学思想和方法，学会利用数形结合思想、化归思想和分类方法，由浅入深、由特殊到一般地研究数学问题，培养学生的发散思维．三维目标1．让学生掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离．2．引导学生构思距离公式的推导方案，培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力，鼓励创新．3．培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．重点难点教学重点：点到直线距离公式的推导和应用．教学难点：对距离公式推导方法的感悟与数学模型的建立．课时安排1课时教学过程导入新课点P(0,5)到直线y＝2x的距离是多少？更进一步，在平面直角坐标系中，如果已知某点P的坐标为(x0，y0)，直线l的方程是Ax＋By＋C＝0，怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P到直线l的距离呢？这节课我们就来专门研究这个问题．推进新课新知探究提出问题①已知点P (x 0，y 0)和直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 均不为0)，求点P 到直线l 的距离．你最容易想到的方法是什么？各种做法的优缺点是什么？②前面我们是在A ，B 均不为零的假设下推导出公式的，若A ，B 中有一个为零，公式是否仍然成立？③回顾前面证法1的证明过程，同学们还有什么发现吗？(如何求两条平行线间的距离) 活动：①请学生观察下面三种特殊情形中的结论：(Ⅰ)x 0＝0，y 0＝0时，d ＝|C |A 2＋B 2； (Ⅱ)x 0≠0，y 0＝0时，d ＝|Ax 0＋C |A 2＋B 2； (Ⅲ)x 0＝0，y 0≠0时，d ＝|By 0＋C |A 2＋B 2. 观察、类比上面三个公式，能否猜想：对任意的点P (x 0，y 0)，d ＝？学生应能猜想：d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2. 求点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离的一般步骤，其算法可用如下流程图表示：点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离记为d ，用上述方法，我们可以得到d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2. 这就是点P 到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式．今后我们将用向量的方法证明这个公式． ②可以验证，当A ＝0，或B ＝0时，上述公式也成立．③引导学生得到两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0的距离：d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.已知两条平行线直线l 1和l 2的一般式方程为l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0，则l 1与l 2的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2. 证明：设P 0(x 0，y 0)是直线Ax ＋By ＋C 2＝0上任一点，则点P 0到直线Ax ＋By ＋C 1＝0的距离为d ＝|Ax 0＋By 0＋C 1|A 2＋B 2. 又Ax 0＋By 0＋C 2＝0，即Ax 0＋By 0＝－C 2，∴d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2. 讨论结果：①已知点P (x 0，y 0)和直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，求点P 到直线l 的距离公式为d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2. ②当A ＝0，或B ＝0时，上述公式也成立．③两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.应用示例思路1例1 (1)求原点到直线l 1：5x －12y －9＝0的距离；(2)求点P (－1,2)到直线l 2：2x ＋y －10＝0的距离．解：(1)原点到直线l 1的距离d ＝|5×0－12×0－9|52＋(－12)2＝913； (2)点P 到直线l 2的距离d ＝|2×(－1)＋2－10|22＋12＝2 5. 例2 用解析法证明等腰三角形底边延长线上一点到两腰的距离之差等于一腰上的高．图1证明：在△ABC 中，AB ＝AC ，P 为BC 延长线上一点，PD ⊥AB 于D ，PE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB 于F .以BC 所在直线为x 轴，以BC 的中垂线为y 轴，建立直角坐标系(如图1)．设A (0，b )，B (－a,0)，C (a,0)(a ＞0，b ＞0)，则直线AB 方程为bx －ay ＋ab ＝0，直线AC 方程为bx ＋ay －ab ＝0，取P (x 0,0)，使x 0＞a ，则点P 到直线AB ，AC 的距离分别为 |PD |＝|bx 0－0＋ab |a 2＋b 2＝bx 0＋ab a 2＋b2， |PE |＝|bx 0＋0－ab |a 2＋b 2＝bx 0－ab a 2＋b2 . 点C 到直线AB 的距离为|CF |＝|ab ＋ab |a 2＋b 2＝2ab a 2＋b 2，则|PD |－|PE |＝2ab a 2＋b 2＝|CF |. 点评：有条件的话可以选用数学软件或图形计算器动态呈现例2的图形的变化过程，体会在变化中的不变的数量关系．例3 两平行直线l 1，l 2分别过A (1,0)与B (0,5)．若l 1与l 2的距离为5，求这两直线方程． 解：显然，直线l 1，l 2均不与x 轴垂直．设l 1的方程为y ＝k (x －1)，即kx －y －k ＝0，则点B 到l 1的距离为|5＋k |k 2＋1＝5，所以k ＝0或k ＝512. l 1的方程为y ＝0或5x －12y －5＝0，可得l 2的方程为y ＝5或y ＝512x ＋5. 故所求两直线方程分别为l 1：y ＝0，l 2：y ＝5；或l 1：5x －12y －5＝0，l 2：5x －12y ＋60＝0.思路2例1 求直线2x ＋11y ＋16＝0关于点P (0,1)对称的直线方程．活动：中心对称的两条直线是互相平行的，并且这两条直线与对称中心的距离相等． 解：设所求直线方程为2x ＋11y ＋C ＝0，则 |0＋11＋16|22＋112＝|0＋11＋C |22＋112C ＝16(已知直线)或C ＝－38. ∴所求直线为2x ＋11y －38＝0.变式训练已知正方形ABCD 的相对顶点A (0，－1)和C (2,5)，求顶点B 和D 的坐标．答案：B (4,1)，D (－2,3).例2 已知直线l 过两条直线3x ＋4y －5＝0,2x －3y ＋8＝0的交点，且与A (2,3)，B (－4,5)两点的距离相等，求直线l 的方程．解：直线3x ＋4y －5＝0,2x －3y ＋8＝0的交点为(－1,2)．若直线l 平行于直线AB ，易求得直线l 的方程为x ＋3y －5＝0；若直线l 通过线段AB 的中点，易求得直线l 的方程为x ＝－1.所以直线l 的方程为x ＝－1或x ＋3y －5＝0.知能训练1．求点P 0(－1,2)到下列直线的距离：(1)2x ＋y －10＝0；(2)3x ＝2.2．已知点A (1,3)，B (3,1)，C (－1,0)，求△ABC 的面积．3．求平行线2x －7y ＋8＝0和2x －7y －6＝0的距离．4．求两平行线l 1：2x ＋3y －8＝0，l 2：2x ＋3y －10＝0的距离．解答：1.(1)根据点到直线的距离公式得d ＝|2×(－1)＋2－10|22＋12＝105＝2 5.(2)因为直线3x ＝2平行于y 轴，所以d ＝⎪⎪⎪⎪23－(－1)＝53. 点评：(1)直接应用了点到直线的距离公式，要求学生熟练掌握．(2)体现了求点到直线距离的灵活性，并没有局限于公式．2．设AB 边上的高为h ，则S △ABC ＝12|AB |·h ，|AB |＝(3－1)2＋(1－3)2＝22，AB 边上的高h 就是点C 到AB 的距离．AB 边所在直线方程为y －31－3＝x －13－1，即x ＋y －4＝0. 点C 到x ＋y －4＝0的距离为h ＝|－1＋0－4|12＋12＝52. 因此，S △ABC ＝12×22×52＝5. 点评：通过这道题，使学生能够进一步理解点到直线的距离问题，能逐步体会用代数方法解决几何问题的优越性．3．在直线2x －7y －6＝0上任取一点，例如取P (3,0)，则点P (3,0)到直线2x －7y ＋8＝0的距离就是两平行线间的距离．因此d ＝|2×3－7×0＋8|22＋(－7)2＝1453＝145353. 点评：把求两平行线距离转化为点到直线的距离．4．解法一：同上题解法．解法二：l 1∥l 2又C 1＝－8，C 2＝－10，则d ＝|－8－(－10)|22＋32＝21313. 拓展提升问题：已知直线l ：2x －y ＋1＝0和点O (0,0)，M (0,3)，试在l 上找一点P ，使得||PO |－|PM ||的值最大，并求出这个最大值．解：点O (0,0)关于直线l ：2x －y ＋1＝0的对称点为O ′⎝⎛⎭⎫－45，25，则直线MO ′的方程为y －3＝134x ，直线MO ′与直线l ：2x －y ＋1＝0的交点P ⎝⎛⎭⎫－85，－115即为所求，相应的||PO |－|PM ||的最大值为|MO ′|＝1855. 课堂小结1．掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离．2．构思距离公式的推导方案，培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力，鼓励创新，培养学生勇于探索、善于研究的精神．3．本节课重点讨论了平面内点到直线的距离和两条平行线之间的距离，后者实际上可作为前者的变式应用．作业习题2—1A组第13题；B组第1,2题．设计感想本节课采用探究式的教学方法，通过设问、启发、铺垫，为学生搭建探究问题的平台，让学生在问题情境中，自己去观察、归纳、猜想并证明公式，经历数学建模的过程，在自主探究、合作交流中获得知识，在多角度、多方面的解决问题中，使不同层次的学生都能有所收获与发展．根据本节课的内容特点，学习方法为接受学习与发现学习相结合．学生的探究并不是漫无边际的探究，而是在教师引导之下的探究；教师也要提供必要的时间和空间给学生展示自己思维过程，使学生在教师和其他同学的帮助下，充分体验作为学习主体进行探索、发现和创造的乐趣．备课资料数学史话多产的数学家瑞士数学家列昂纳德·欧拉(1707—1783)在其一生中，为人类作出了卓越的贡献，留下了886篇论文和著作，几乎在数学的每个部门都留下了他的足迹．“聪明来自劳动，天才出于勤奋”，智慧的金花不会为懒汉开放.1735年，当欧拉还只有28岁时，就瞎了一只眼睛.1766年，另外一只眼睛也瞎了，但是他仍然以高度的毅力坚韧不拔地从事数学研究．他的研究工作是大量和杰出的．晚年，他口述其发现，让别人把它笔录下来，为人类文明史谱写了许多光辉的篇章．在欧拉的886篇著作中，属于他生前发表的有530本书和论文，其中有不少是教科书．由于文笔浅显，通俗易懂，引人入胜，甚至在今天读起来也毫无困难．尤其值得一提的是他所编写的平面三角课本，采用了近代记号sin，cos等，实际上他的讲法已经成为最后的形式，三角学到他手里已完全成熟了．欧拉在数学上的贡献多得不胜枚举，经常为人称道和引证的有几个例子．一个是所谓“哥尼斯堡七桥问题”，由于欧拉解决了这个历史上流传甚久的趣题，因而被誉为“拓扑学的鼻祖”．另一个例子是多面体的欧拉公式v－e＋f＝2(v是多面体的顶点数，e是边数，f是面数)．第三个例子，差不多任何关于复数的课本中都不可避免地要提到它，即eix＝cos x＋i sin x.任何科学都有其相关性．尤其在中学时代，学好语文，对于理解和掌握数学知识是非常重要的．作为教育家的欧拉也高度重视这一点．怎样列出代数方程来解文字题，虽是十分古老的题材，但是它在数学发展史上曾起过重大作用，促进了代数学的发展．和牛顿的观点一样，欧拉并不认为解决这类初等数学问题是有损尊严的事，在他的名著《代数基础》中就着意搜集了许多题目．下面就是他的一个题目：“一位父亲临死时叫他的几个孩子按照下列方式瓜分他的财产：第一个儿子分得一百克朗与剩下财产的十分之一；第二个儿子分到二百克朗与剩下财产的十分之一；第三个儿子分到三百克朗与剩下财产的十分之一；第四个儿子分到四百克朗与剩下财产的十分之一……依此类推．问这位父亲共有多少财产？他一共有几个孩子？每个孩子分到多少？”最后发觉这种分法简直太好了，因为所有的孩子分得的数字恰恰相等．中国有句老话说，“一碗水端平”，真是平得不能再平了．这位父亲有九个孩子，他共有财产8 100克朗，每人分到900克朗．(设计者：张新军)。

高中数学第二章平面解析几何初步2.1～2.2阶段检测（三）（含解析）新人教B 版必修2对应学生用书P61(范围：2．1～2．2)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．斜率为2的直线的倾斜角α所在的范围是( ) A ．0°＜α＜45° B．45°＜α＜90° C ．90°＜α＜135° D．135°＜α＜180° 答案 B解析 因为斜率为1的直线的倾斜角是45°，斜率为2的直线的倾斜角大于45°，倾斜角大于90°且小于180°时，直线的斜率是负值，所以斜率为2的直线的倾斜角α的范围是45°<α<90°，故选B ．2．在x 轴上的截距为2且倾斜角为60°的直线方程为( ) A ．y ＝3x －2 3 B ．y ＝3x ＋2 3 C ．y ＝－3x －2 3 D ．y ＝－3x ＋2 3 答案 A解析 由题可知直线的斜率k ＝ΔyΔx ＝tan60°＝3，所以直线方程为y ＝3(x －2)，即y ＝3x －23．3．若三点A(4，3)，B(5，a)，C(6，b)共线，则下列结论正确的是( ) A ．2a －b ＝3 B ．b －a ＝1 C ．a ＝3，b ＝5 D ．a －2b ＝3 答案 A解析 由k AB ＝k AC 可得2a －b ＝3，故选A ．4．若实数m ，n 满足2m －n ＝1，则直线mx －3y ＋n ＝0必过定点( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，13 B ．⎝⎛⎭⎪⎫－2，13C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－13D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－13 答案 D解析 由已知得n ＝2m －1，代入直线mx －3y ＋n ＝0得mx －3y ＋2m －1＝0，即(x ＋2)m＋(－3y －1)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，－3y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－13，所以此直线必过定点⎝⎛⎭⎪⎫－2，－13，故选D ．5．设点A(－2，3)，B(3，2)，若直线ax ＋y ＋2＝0与线段AB 没有交点，则a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，52∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，52C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，43 D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－43∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞ 答案 B解析 直线ax ＋y ＋2＝0过定点C(0，－2)，k AC ＝－52，k BC ＝43．由图可知直线与线段没有交点时，斜率－a 的取值范围为－52＜－a ＜43，解得a∈－43，52．6．和直线5x －4y ＋1＝0关于x 轴对称的直线方程为( ) A ．5x ＋4y ＋1＝0 B ．5x ＋4y －1＝0 C ．－5x ＋4y －1＝0 D ．－5x ＋4y ＋1＝0 答案 A解析 设所求直线上的任一点为(x′，y′)，则此点关于x 轴对称的点的坐标为(x′，－y′)．因为点(x′，－y′)在直线5x －4y ＋1＝0上，所以5x′＋4y′＋1＝0，即所求直线方程为5x ＋4y ＋1＝0．7．已知直线x ＝2及x ＝4与函数y ＝log 2x 图象的交点分别为A ，B ，与函数y ＝lg x 图象的交点分别为C ，D ，则直线AB 与CD( )A ．平行B ．垂直C ．不确定D ．相交 答案 D解析 易知A(2，1)，B(4，2)，原点O(0，0)，∴k OA ＝k OB ＝12，∴直线AB 过原点，同理，C(2，lg 2)，D(4，2lg 2)，k OC ＝k OD ＝lg 22≠12，∴直线CD 过原点，且与AB 相交．8．过点M(1，－2)的直线与x 轴、y 轴分别交于P ，Q 两点，若M 恰为线段PQ 的中点，则直线PQ 的方程为( )A ．2x ＋y ＝0B ．2x －y －4＝0C ．x ＋2y ＋3＝0D ．x －2y －5＝0 答案 B解析 设P(x 0，0)，Q(0，y 0)．∵M(1，－2)为线段PQ 的中点，∴x 0＝2，y 0＝－4，∴直线PQ 的方程为x 2＋y－4＝1，即2x －y －4＝0．故选B ．9．若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋ny ＋5＝0相交于同一点，则点(m ，n)到原点的距离的最小值为( )A ． 5B ． 6C ．2 3D ．2 5 答案 A解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x ＋y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.把(1，2)代入mx ＋ny ＋5＝0可得m ＋2n ＋5＝0， ∴m＝－5－2n ，∴点(m ，n)到原点的距离 d ＝m 2＋n 2＝5＋2n2＋n 2＝5n ＋22＋5≥5，当n ＝－2时等号成立，此时m＝－1．∴点(m ，n)到原点的距离的最小值为5．故选A ．10．点F(3m ＋3，0)到直线3x －3my ＝0的距离为( ) A ． 3 B ．3m C ．3 D ．3m 答案 A解析 由点到直线的距离公式得点F(3m ＋3，0)到直线3x －3my ＝0的距离为3·3m ＋33m ＋3＝3．11．若直线l 经过点A(1，2)，且在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎪⎫－1，15 B ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12∪(1，＋∞) C ．(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫15，＋∞D ．(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 答案 D解析 在平面直角坐标系中作出点A(1，2)，B(－3，0)，C(3，0)，过点A ，B 作直线AB ，过点A ，C 作直线AC ，如图所示，则直线AB 在x 轴上的截距为－3，直线AC 在x 轴上的截距为3．因为k AB ＝2－01－－3＝12，k AC ＝2－01－3＝－1，所以直线l 的斜率的取值范围为(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞．12．已知△ABC 的边AB 所在的直线方程是x ＋y －3＝0，边AC 所在的直线方程是x －2y ＋3＝0，边BC 所在的直线方程是2x －y －3＝0．若△ABC 夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是( )A ．355B ． 2C ．322D ． 5答案 B解析 联立直线方程，易得A(1，2)，B(2，1)．如图所示，当两条平行直线间的距离最小时，两平行直线分别过点A ，B ，又两平行直线的斜率为1，直线AB 的斜率为－1，所以线段AB 的长度就是过A ，B 两点的平行直线间的距离，易得|AB|＝2，即两条平行直线间的距离的最小值是2．第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知直线l 的倾斜角是直线y ＝x ＋1的倾斜角的2倍，且过定点P(3，3)，则直线l 的方程为________．答案 x ＝3解析 直线y ＝x ＋1的斜率为1，倾斜角为45°．直线l 的倾斜角是已知直线y ＝x ＋1的倾斜角的2倍，所以直线l 的倾斜角为90°，直线l 的斜率不存在，所以直线l 的方程为x ＝3．14．直线x 3＋y4＝t 被两坐标轴截得的线段长度为1，则t ＝________．答案 ±15解析 直线与x ，y 轴的交点分别为(3t ，0)和(0，4t)，所以线段长为3t2＋4t2＝1，解得t ＝±15．15．已知点A(2，4)，B(6，－4)，点P 在直线3x －4y ＋3＝0上，若满足|PA|2＋|PB|2＝λ的点P 有且仅有1个，则实数λ的值为________．答案 58解析 设点P 的坐标为(a ，b)．∵A(2，4)，B(6，－4)，∴|PA|2＋|PB|2＝[(a －2)2＋(b －4)2]＋[(a －6)2＋(b ＋4)2]＝λ，即2a 2＋2b 2－16a ＋72＝λ．又∵点P 在直线3x －4y ＋3＝0上，∴3a－4b ＋3＝0，∴509b 2－803b ＋90＝λ．又∵满足|PA|2＋|PB|2＝λ的点P 有且仅有1个，∴Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－8032－4×509×(90－λ)＝0，解得λ＝58．16．在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a|－1的图象只有一个交点，则a 的值为________．答案 －12解析 因为y ＝|x －a|－1＝⎩⎪⎨⎪⎧x －a －1，x≥a，－x ＋a －1，x<a ，所以该函数的大致图象如图所示．又直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a|－1的图象只有一个交点，则2a ＝－1，即a ＝－12．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知Rt△ABC 的顶点坐标A(－3，0)，直角顶点B(－1，－22)，顶点C 在x 轴上．(1)求点C 的坐标； (2)求斜边所在直线的方程．解 (1)解法一：依题意，Rt△ABC 的直角顶点坐标为B(－1，－22)， ∴AB⊥BC ，∴k AB ·k BC ＝－1．又∵A(－3，0)， ∴k AB ＝0＋22－3－－1＝－2，∴k BC ＝－1k AB ＝22，∴边BC 所在的直线的方程为y ＋22＝22(x ＋1)，即x －2y －3＝0． ∵直线BC 的方程为x －2y －3＝0，点C 在x 轴上，由y ＝0，得x ＝3，即C(3，0)． 解法二：设点C(c ，0)，由已知可得k AB ·k BC ＝－1，即0＋22－3－－1·0＋22c ＋1＝－1，解得c ＝3，所以点C 的坐标为(3，0)．(2)由B 为直角顶点，知AC 为直角三角形ABC 的斜边． ∵A(－3，0)，C(3，0)，∴斜边所在直线的方程为y ＝0．18．(本小题满分12分)点M(x 1，y 1)在函数y ＝－2x ＋8的图象上，当x 1∈[2，5]时，求y 1＋1x 1＋1的取值范围． 解y 1＋1x 1＋1＝y 1－－1x 1－－1的几何意义是过M(x 1，y 1)，N(－1，－1)两点的直线的斜率．点M 在直线y ＝－2x ＋8的线段AB 上运动，其中A(2，4)，B(5，－2)．∵k NA ＝53，k NB ＝－16，∴－16≤y 1＋1x 1＋1≤53，∴y 1＋1x 1＋1的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16，53． 19．(本小题满分12分)已知直线l 经过直线3x ＋4y －2＝0与直线2x ＋y ＋2＝0的交点P ，且垂直于直线x －2y －1＝0．(1)求直线l 的方程；(2)求直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积S ．解 (1)联立两直线方程⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2，则两直线的交点为P(－2，2)．∵直线x －2y －1＝0的斜率为k 2＝12，所求直线垂直于直线x －2y －1＝0，那么所求直线的斜率k ＝－112＝－2，∴所求直线方程为y －2＝－2(x ＋2)，即2x ＋y ＋2＝0．(2)对于方程2x ＋y ＋2＝0，令y ＝0则x ＝－1，则直线与x 轴交点坐标A(－1，0)， 令x ＝0则y ＝－2，则直线与y 轴交点坐标B(0，－2)， 直线l 与坐标轴围成的三角形为直角三角形AOB ， ∴S＝12|OA||OB|＝12×1×2＝1．20．(本小题满分12分)一条光线经过点P(2，3)射在直线l ：x ＋y ＋1＝0上，反射后经过点Q(1，1)，求：(1)入射光线所在直线的方程； (2)这条光线从P 到Q 所经路线的长度．解 (1)设点Q′(x′，y′)为点Q 关于直线l 的对称点，QQ′交l 于点M ．∵k l ＝－1，∴k QQ′＝1，。