圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理知识点及练习

【注意：同圆或等中】一、知识梳理圆心角，弧，弦，弦心距之间的关系定理：在中，相等的f对的相等,所对的相等，所对的弦的相等.推论：在同圆或等圆中，如果①两个圆心角，②两条弧，③两条弦，④两条弦心距中，有一组量相等,那么它们所对应的其余各组屋都分别相等.eg:在同圆或等圆中，弓玄AB=A f B f,弦心距OD、077,则有:'①(ZA0B=ZA,B,C f)③(4B=48)斗②(佔=AF)®(0D=0,D,)二、讲练结合【圆中相关弦的求解】例1、如图所示，点O是ZEPF的平分线上一点，以O为圆心的圆和角的两边分别交于A.B和C.D,求证：AB=CD.例2、如图，EF为OO的直径，过EF上一点P作弦AB・CD,且ZAPF=ZCPF.求证：PA=PC・VWA例3、如图，OO的弦CE・ED的延长线交于点A,且EC=DE・求证：AC=AE・【巩固练习】1.下列说法中正确的是（）A.相等的圆心角所对的弧相等B.相等的弧所对的圆心角相等C.相等的弦所对的弦心距相等D.弦心距相等，则弦相等2.P为0O内一点，已知OP=lcm,0O的半径r=2cm,则过P点弦中，最短的弦长为（）A・1cmE・JJcmC・cmD・4cm3.在0O中，AE与CD为两平行弦，AE>CD,AB、CD所对圆心角分别为120。

,60。

，若（DO的半径为6,则AB、CD两弦相距（）A・3】B・6C・A/3+1D・3、/J±34.已知：ZAOB=90°,C、D是弧AB的三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F・求证：AE=BF=CD・【圆中相关圆心角的求解】例4、如图所示，在AABC中，ZA=72%OO截AABC的三条边长所得的三条弦等长，求ZEOC.1.1,MBC 内接于OO,ZC=45\AB =4则OO 的半径为（A.2>/2 E.4 C.2^3 D ・5 三. 课堂练例5、如图，在0O 中，弓玄AB=CB>ZABC=120°,OD 丄AB 于D,OE 丄EC 于E ・求证：△ODE 是等边三角形.【巩固练习】1. 如图，在0O 中「AB 的度数是50。

九年级下册数学——圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系讲义【1】圆心角定义在纸上任意画一个圆，任意画出两条不在同一条直线上的半径，构成一个角，这样的角就是圆心角.如图所示，∠AOB 的顶点在圆心，像这样，顶点在圆心的角叫做圆心角．【2】圆心角、弧、弦之间的关系定理在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等． 【定理拓展】○1在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角，•所对的弦也分别相等 ○2在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角，•所对的弧也分别相等 综上所述，同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，就可以推出它们所对应的其余各组量也相等．【经典例题】【例1】下列说法中，正确的是( B )A.等弦所对的弧相等B.等弧所对的弦相等C.圆心角相等，所对的弦相等D.弦相等所对的圆心角相等 【例2】如图2，同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D ，已知AB=4，CD=2，AB 的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为( C )图2A.3∶2B.5∶2C.5∶2D.5∶4 【解析】作OE ⊥CD 于E ，则CE=DE=1，AE=BE=2，OE=1.在Rt △ODE 中，OD=2211+=2.在Rt △OEB 中，OB=22OE BE +=14+=5.∴OB ∶OD=5∶2.【例3】半径为R 的⊙O 中，弦AB=2R ，弦CD=R ，若两弦的弦心距分别为OE 、OF ，则OE ∶OF等于( D )A.2∶1B.3∶2C.2∶3D.0 【解析】∵AB 为直径，∴OE=0. ∴OE ∶OF=0.【例4】一条弦把圆分成1∶3两部分，则弦所对的圆心角为_____________. 【解析】41×360°=90°，∴弦所对的圆心角为90°. 【答案】90°【例5】弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是____________，弦所对的圆心角是____________.【解析】OD ⊥AB ，OD=DB=AD.设OD=x ，则AD=DB=x.在Rt △ODB 中，∵OD=DB ，OD ⊥AB, ∴∠DOB=45°.∴∠AOB=2∠DOB=90°， OB=22222=+++x x DB OD x. ∴AB ∶BC=1∶2=2∶2.∴弦与直径的比为2∶2，弦所对的圆心角为90°. 【答案】2∶2 90°【例6】如图6，已知以点O 为公共圆心的两个同心圆，大圆的弦AB 交小圆于C 、D.图6(1)求证：AC=DB ；(2)如果AB=6 cm ，CD=4 cm ，求圆环的面积.【分析】求圆环的面积不用求出OA 、OC ，应用等量代换的方法.事实上，OA 、OC 的长也求不出来.（1）证明：作OE ⊥AB 于E ，∴EA=EB ，EC=ED.∴EA －EC=EB －ED ，即AC=BD. （2）解：连结OA 、OC.∵AB=6 cm ，CD=4 cm ，∴AE=21AB=3 cm.CE=21CD=2 cm. ∴S 环=π·OA 2－π·OC 2=π（OA 2－OC 2）=π［（AE 2＋OE 2）－（CE 2＋OE 2）］=π（AE 2－CE 2）=π（32－22）=5π（ cm 2）.【例7】如图7所示，AB 是⊙O 的弦(非直径)，C 、D 是AB 上的两点，并且AC=BD.求证：OC=OD.图7【分析】根据弧、弦、圆心角的关系得出.证法一：如图(1)，分别连结OA 、OB.∵OA=OB ，∴∠A=∠B. 又∵AC=BD ，∴△AOC ≌△B OD.∴OC=OD.(1) (2) 证法二：如图(2)，过点O 作OE ⊥AB 于E ， ∴AE=BE.∵AC=BD ，∴CE=DE.∴OC=OD.【例8】如图8，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE=6 cm ，EB=2 cm ，∠CEA=30°，求CD 的长.图8【分析】如何利用∠CEA=30°是解题的关键，若作弦心距OF ，构造直角三角形，问题就容易解决.【解】过O 作OF ⊥CD 于F ，连结CO. ∵AE=6 cm ，EB=2 cm ，∴AB=8 cm.∴OA=21AB=4（cm ），OE=AE －AO=2（cm ）. 在Rt △OEF 中， ∵∠CEA=30°，∴OF=21OE=1（cm ）. 在Rt △CFO 中，OF=1 cm ，OC=OA=4(cm)，∴CF=22OF OC =15(cm). 又∵OF ⊥CD ，∴CD=2CF=215（ cm）.【例10】如图10所示，AB、CD是⊙O的两条直径，弦BE=BD，则弧AC与弧BE是否相等？为什么？图10【分析】欲求两弧相等，结合图形，可考虑运用“圆心角、弧、弦、弦心距”四量之间的“等对等”关系，可先求弧AC与弧BE所对的弦相等，也可利用“等量代换”的思想，先找一条弧都与弧AC以及弧BE相等.【解】弧A C=弧BE.原因如下：法一：连结AC，∵AB、CD是直径，∴∠AOC＝∠BOD.∴AC＝BD.又∵BE＝BD，∴AC＝BE.∴弧AC=弧BE.法二：∵AB、CD是直径，∴∠AOC＝∠BOD.∴弧AC=弧BD.∵BE＝BD，∴弧BE=弧BD.∴弧AC=弧BE.【例11】如图11所示，AB是⊙O的弦，C、D为弦AB上两点，且OC=OD，延长OC、OD，分别交⊙O于点E、F.试证:弧AE=弧BF.图11【分析】欲求弧相等，结合图形，可先求弧所对的圆心角相等，即求∠AOE＝∠BOF.【证明】∴∠OCD＝∠ODC.∵AO＝OB，∴∠A＝∠B.∴∠OCD－∠A＝∠ODC－∠B，即∠AOC＝∠BOD，即∠AOE＝∠BOF.∴弧AE=弧BF.【例12】如图12，AB、CD、EF都是⊙O的直径，且∠1=∠2=∠3，弦AC、EB、DF是否相等？为什么？图12【分析】应用圆心角、弧、弦的关系解决.证明弦相等往往转化成圆心角相等.【解】在⊙O中，∵∠1=∠2=∠3，又∵AB、CD、EF都是⊙O的直径，∴∠FOD=∠AOC=∠BOE.∴弧DF=弧AC=弧BE.∴AC=EB=DF.【例15】如图15，AB为⊙O的弦，P是AB上一点，AB=10 cm，OP=5 cm，PA=4 cm，求⊙O 的半径.图15【分析】圆中的有关计算，大多都是通过构造由半径、弦心距、弦的一半组成的直角三角形，再利用勾股定理来解决.【解】过O作OC⊥AB于C，连结OA，则AB=2AC=2BC.在Rt△OC A和△OCP中，OC2=OA2－AC2，OC2=OP2－CP2，∴OA2－AC2=OP2－CP2.∵AB=10，PA=4，AB=2AC=2BC ，∴CP=AB －PA －BC=1，AC=5. ∴OA 2－52=52－1.∴OA=7， 即⊙O 的半径为7 cm.【例16】⊙O 的直径为50 cm ，弦AB ∥CD ，且AB=40 cm ，CD=48 cm ，求弦AB 和CD 之间的距离.【分析】（1）图形的位置关系是几何的一个重要方面，应逐步加强位置感的培养.（2）本题往往会遗忘或疏漏其中的一种情况.(1)【解】（1）当弦AB 和CD 在圆心同侧时，如图(1),作OG ⊥AB 于G ，交CD 于E ，连结OB 、OD.∵AB ∥CD ，OG ⊥AB ，∴OE ⊥CD.∴EG 即为AB 、CD 之间的距离. ∵OE ⊥CD ，OG ⊥AB ，∴BG=21AB=21×40=20（cm ）， DE=21CD=21×48=24（cm ）.在Rt △DEO 中，OE=22DE OD -=222425-=7（cm ）. 在Rt △BGO 中，OG=22BG OB -=222025-=15（cm ）. ∴EG=OG －OE=15－7=8（cm ）.(2)（2）当AB 、CD 在圆心两侧时，如图(2)，同理可以求出OG=15 cm ，OE=7 c m ，∴GE=OG ＋OE=15＋7=22（cm ）.综上所述，弦AB 和CD 间的距离为22 cm 或7 cm.1. 过点O 作OE CD ⊥于E ∴=CE ED∴=∴≅∴=AD DB AOE BOE AO OB ∆∆2. 175mm3.略4. 85. 26. 427. 3.68. 1209. B10. D11. A 12. D13. 内部、外部14. 13cm cm 或15. BC=4cm。

教师姓名学生姓名学管师学科数学年级上课时间月日：00--- ：00 课题弧，弦，圆心角，弦心距之间的关系教学目标定理的内容及其证明教学重难点定理的内容在证明中都是应用教学过程【学习准备】动手画一圆1）把⊙O沿着某一直径折叠，两旁部分互相重合观察得出：圆是对称图形；2）若把⊙O沿着圆心O旋转180°时，两旁部分互相重合，这时可以发现圆又是一个对称图形。

3）若一个圆沿着它的圆心旋转任意一个角度，都能够与原来图形互相重合，这是圆的不变性。

【解读教材】1、认识圆心角、弦心距、弧的度数1）圆心角的定义：。

2）弦心距的定义：。

3）弧的度数：①把顶点在圆心的周角等分成份时，每一份的圆心角是1°的角。

②因为在同圆中相等的圆心角所对的相等，所以整个圆也被等分成360份，这时，把每一份这样得到的叫做1°的弧。

③圆心角的度数和它们对的弧的相等。

2、圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理自制两个圆形纸片(要求半径相等)，并且在两个圆中，画出两个相等的圆心角，探究：在⊙O中，当圆心角∠AOB=∠A′OB′时，它们所对的弧AB和A'B'，弦AB和''BA，弦心距OM和''MO是否也相等呢？定理总结：在中，相等的圆心角所对的相等，所对的相等，所对弦的也相等。

ABM OA 'M 'B '3、命题的证明: 如图，已知：∠AOB=∠A ′OB ′，求证：弧AB 和A ′B ′，弦AB 和A ′B ′，弦心距OM 和OM ′相等。

问题：定理中去掉“在同圆或等圆中”这个前提,是否还有所对的弧、弦、弦心距相等这样的结论。

举出反例： 。

归纳推论：在 中，如果两个 、两条 、两条 或两条弦的 中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

（简记：“知一推三”）【例题精析】 例题一：判断：1）圆心角相等，则圆心角所对的弧也相等； ( ) 2）在同圆或等圆中，弦的弦心距相等； ( ) 3）弦的弦心距相等，则弦相等； ( ) 4）相等的圆心角所对的弧相等。

第08讲圆的确定与圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系考点定位精讲讲练一、圆的确定1.圆的概念圆：平面上到一个定点的距离等于定长的所有点所成的图形．圆心：以上概念中的“定点”；以点O为圆心的圆称为“圆O”，记作O．半径：联结圆心和圆上任意一点的线段；以上概念中的“定长”是圆的半径长．2.点与圆的位置关系设一个圆的半径长为R，点P到圆心的距离为d，则有以下结论：当点P在圆外时，d > R；当点P在圆上时，d = R；≤<．当点P在圆内时，0d R反之亦然．3.定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆．4.三角形的三个顶点确定一个圆．经过一个三角形各顶点的圆叫做这个三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做这个三角形的外心；这个三角形叫做这个圆的内接三角形．如果一个圆经过一个多边形的各顶点，那么这个圆叫做这个多边形的外接圆，这个多边形叫做这个圆的内接多边形．二、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系1.相关概念弧：圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧；弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦就是直径；圆心角：以圆心为顶点的角叫做圆心角；弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距．2.半圆、优弧、劣弧半圆：圆的任意一条直径的两个端点将圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．优弧：大于半圆的弧叫做优弧．劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧．如图，以A 、C 为端点的劣弧记作AC ，读作“弧AC ”；以A 、C 为端点的优弧记作ABC ，读作“弧ABC ”．3.等弧和等圆能够重合的两条弧称为等弧，或者说这两条弧相等．若AB 与''A B 是等弧，记作''AB A B =． 半径相等的两个圆一定能够重合，我们把半径相等的两个圆称为等圆．4.圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．5.圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理的推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条劣弧（或优弧）、两条弦、两条弦的弦心距得到的四组量中有一组量相等，那么它们所对应的其余三组量也分别相等．考点一：圆的确定【例1】若A （a ，27-）在以点B （35-，27-）为圆心，37为半径的圆上，求a 的值．【答案】2或72-．【解析】∵A 点在B 上，∴37BA =，即()()2235272737a ++-+=， 解得12a =，272a =-．【例2】在Rt △ABC 中，90C =∠，3AC =，4BC =，CP 、CM 分别是AB 上的高和中线，如果圆A 是以点A 为圆心，半径长为2的圆，那么下列判断正确的是（ ）A ．点P 、M 均在圆A 内；B ．点P 、M 均在圆A 外；C ．点P 在圆A 内，点M 在圆A 外；D ．点P 在圆A 外，点M 在圆A 内．【答案】C【解析】解：如图，∵在Rt △ABC 中，9034ACB AC BC ∠=︒==，，，A B C O∴22345AB =+=， ∵,CP CM 分别是AB 上的高和中线， 1 2.52AM AB ∴==， 11,22AB CP CB CA = 512CP ∴=，2.4CP ∴=，∴22223 2.4 1.8AP AC CP =-=-=，∵AP =1.8＜2，AM =2.5＞2，∴点P 在圆A 内、点M 在圆A 外 ．所以,,A B D 都不符合题意，C 符合题意．故选：C ．【例3】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，tan B ＝2，以AB 的中点D 为圆心，r 为半径作⊙D ，如果点B 在⊙D 内，点C 在⊙D 外，那么r 可以取（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B 【解析】如图，过点A 作AF ⊥BC 于点F ，连接CD 交AF 于点 G ，∵AB ＝AC ，BC ＝4，∴BF ＝CF ＝2，∵tan B ＝2，∴2AF BF=，即AF ＝4，∴AB ＝2223=25+， ∵D 为AB 的中点，∴BD ＝5，G 是△ABC 的重心，∴GF ＝13AF ＝43， ∴CG ＝2242132=33+（） ，∴CD ＝32CG ＝13， ∵点B 在⊙D 内，点C 在⊙D 外，∴5＜r ＜13，故选B ．【例4】如图，作出AB 所在圆的圆心，并补全整个圆．【答案】如图所示．【解析】在AB 上任意作两条弦，分别做两条弦的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为圆心．【例5】如图所示，已知矩形ABCD 的边3cm AB =，4cm BC =，以点A 为圆心，4cm 为半径作A ，判断点B ，C ，D 与A 怎样的位置关系．【答案】点B 在A 内，点C 在A 外，点D 在A 上【解析】解：连接AC ，∵3cm AB =，4cm BC AD ==，∴5cm AC =，∵A 的半径为4，34AB =<，∴点B在A内，∵4DA=，∴点D在A上CA=>，54∴点C在A外．【例6】如图，以点O′（1，1）为圆心，OO′为半径画圆，判断点P（﹣1，1），点Q（1，0），点R（2，2）和⊙O′的位置关系．【答案】O′P＞r，点P在⊙O′外；O′Q＜r，点Q在⊙O′内；O′R＝r，点R在⊙O′上．【解析】解：∵OO′＝r＝√12+12＝√2，O′P＝√(−1−1)2+(1−1)2＝2同理可得：O′Q＝1，O′R＝√2，∴O′P＞r，点P在⊙O′外；O′Q＜r，点Q在⊙O′内；O′R＝r，点R在⊙O′上．举一反三1．如图，平面直角坐标系中，点A是y轴正半轴上任意一点，B（－3，0），C（4，0），则当点A 在y 轴上运动时，△ABC 的外心不可能．．．在（ ）A ．第三象限B ．第一象限C ．第四象限D ．x 轴上【答案】A 【解析】解：∵B （－3，0），C （4，0），∴边BC 的垂直平分线在y 轴的右侧，∴三角形的外心O 在不可能在第二象限或第三象限，故A 错误；当△ABC 为锐角三角形时，三角形的外心O 在三角形内部，并在第一象限，故B 正确； 当△ABC 为钝角三角形时，三角形的外心O 在三角形外部，并在第四象限，故C 正确； 当△ABC 为直角三角形时，三角形的外心O 在三角形斜边中点处，即在x 轴上，故D 正确， 故选：A ．2．已知△ABC 中，AB ＝BC ，若以点B 为圆心，以AB 为半径作圆，则点C 在（ ）A ．在⊙B 上B ．在⊙B 外C ．在⊙B 内D ．不能确定【答案】A【解析】∵AB =BC ，∴点A ，C 均在以点B 为圆心，以AB 为半径的圆上．故选：A ．3．在直角坐标平面内，点A 的坐标为(1,0)，点B 的坐标为(,0)a ，圆A 的半径为2．下列说法中不．正确．．的是（ ） A ．当1a =-时，点B 在圆A 上B ．当1a <时，点B 在圆A 内C ．当1a <-时，点B 在圆A 外D ．当13a -<<时，点B 在圆A 内 【答案】B【解析】如图：∵A(1,0)，A的半径是2，∴AC=AE=2，∴OE=1，OC=3，A. 当a=−1时，点B在E上，即B在圆A上，正确，故本选项不合题意；B. 当a=−3时，B在A外，即说当a<1时，点B在圆A内错误，故本选项符合题意；C. 当a<−1时，AB>2，即说点B在圆A外正确，故本选项不合题意；D. 当−1<a<3时，B在A内正确，故本选项不合题意；故选:B.4．下列命题中，错误的是（）A．三角形重心是三条中线交点B．三角形外心到各顶点距离相等C．三角形内心到各边距离相等D．等腰三角形重心、内心、外心重合【答案】D试题分析：A、三角形的重心是三条中线的交点，正确；B、三角形的外心是三边垂直平分线的交点，到各顶点的距离相等，故正确；C、三角形的内心是三角平分线的交点，到各边的距离相等，故正确；D、等边三角形的重心、内心和外心才重合，故错误，故选D．5.在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝33，以点A为圆心作圆A，要使B、C两点中的一点在圆A外，另一点在圆A内，那么圆A的半径长r的取值范围是_____．【答案】3＜r＜6【解析】解：∵Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝33，∴AB＝6，如果以点A为圆心作圆，使点C在圆A内，则r＞3，点B在圆A外，则r＜6，因而圆A半径r的取值范围为3＜r＜6．故答案为3＜r＜6；6．如图，在ABC 中，90C ∠=，5AB cm =，4BC cm =，以A 为圆心，3cm 为半径作圆．试判断：()1点C 与A 的位置关系；()2点B 与A 的位置关系；(3)AB 的中点D 与A 的位置关系．【答案】 (1)点C 在A 上；()2点B 在A 外；()3点D 在A 内．【解析】∵∠C=90°，AB=5cm ，BC=4cm ，∴AC=3cm ，BA=5cm ，DA=2.5cm ，（1）∵AC=r=3cm ，∴点C 在⊙A 上；（2）∵BA=5cm ＞3cm ，∴BA ＞r ，∴点B 在⊙A 外；（3）∵DA=2.5cm ＜3cm ，∴DA ＜r ，∴点D 在⊙A 内．考点二：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系【例7】（1）下列图形中的角是圆心角的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】解：顶点在圆心的角叫做圆心角，4个选项中只有B 符合要求．故选：B ．（2）下列说法中，不正确的是（ ）A ．圆心角的角度与它所对的弧的度数相等B ．同圆中，所有半径都相等C ．圆既是轴对称图形又是中心对称图形D ．长度相同的弧是等弧【答案】D【解析】A 、圆心角的度数与它所对应的弧的度数相等，说法正确，故A 不符合题意．B 、同圆中，所有半径都相等，说法正确，故B 不符合题意．C 、圆既是轴对称图形又是中心对称图形，说法正确，故C 不符合题意．D 、在同样大小的圆或同一个圆中，长度相同的弧是等弧，所以原说法错误，故D 符合题意． 故选：D ．（3）下列四个命题：①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等；②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等；③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等；④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．真命题的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】解：①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧不一定相等，故原说法错误，是假命题，不符合题意；②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，正确，是真命题，符合题意；③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等，正确，是真命题，符合题意；④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，正确，是真命题，符合题意，真命题有3个，故选：C ．【例8】一条弦把圆分成1 : 3两部分，则弦所对的圆心角为______°． 【答案】90．【解析】∵一条弦把圆分成1 : 3两部分，∴整个圆分为四等分，则劣弧的度数为360490︒÷=︒，∴弦所对的圆心角为90︒．【例9】如图，在O 中，AB AC =，70B ∠=︒，则BAC ∠=______．【答案】40︒．【解析】∵在O 中，AB AC =，∴C B ∠=∠，∵70B ∠=︒， ∴18040BAC B C ∠=︒-∠-∠=︒．【例10】如图，已知O 的半径是6，30BOD ∠=︒，BD BC =，CD =______．【答案】6．【解析】∵BD BC =，30BOD ∠=︒，∴30BOD BOC ∠=∠=︒， ∴60COD ∠=︒，∵OC OD =，∴OCD ∆是等边三角形， ∴6CD =．【例11】如图，1O 和2O 是等圆，P 是12O O 的中点，过点P 作直线AD 交1O 于点A 、B ，交2O 于点C 、D ．求证：AB = CD ． 【解析】作1O E AB ⊥于E ，2O F CD ⊥于F ，∵P 是12O O 的中点，∴1PEO ∆≌2PFO ∆，∴12O E O F =， ∵1O 和2O 是等圆，∴AB CD =．【例12】已知，如图，AB 、CD 是O 的直径，弦AE // CD ，联结CE 、BC ．求证：BC = CE ．AB COAB C DOFA B C D PE【解析】∵OA OE =，∴A OEA ∠=∠，∵AE //CD ，∴BOC A ∠=∠，EOC OEA ∠=∠，∴BOC EOC ∠=∠，∴BC CE =．【例13】如图，O 是ABC ∆的外接圆，AO 平分BAC ∠，AOB BOC ∠=∠，判断ABC ∆的形状，并说明理由．【答案】等边三角形．【解析】∵AO 平分BAC ∠，∴BAO CAO ∠=∠，∵OA OC OB ==，∴ABO BAO CAO ACO ∠=∠=∠=∠，∴AOB AOC ∠=∠，∵AOB BOC ∠=∠，∴AOB AOC BOC ∠=∠=∠，∴AB BC CA ==，∴ABC ∆是等边三角形．【例14】已知，如图，AB 是O 直径，M 、N 分别是AO 、BO 的中点，CM AB ⊥，DN AB ⊥． 求证：AC BD =． A B C D E O OAB CA B CD ONM【解析】连接OC 、OD ，则OC OD =，∵M 、N 分别是AO 、BO 的中点，∴OM ON =，∵CM AB ⊥，DN AB ⊥，∴OCM ∆≌ODN ∆，∴COM DON ∠=∠，∴AC BD =．举一反三1.下列说法：①弦是直径；②半圆是弧；③过圆心的线段是直径；④圆心相同半径相同的两个圆是同心圆，其中错误的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】解：①直径是弦，但弦不一定是直径，故错误；②半圆是弧，正确；③过圆心的弦是直径，故错误；④圆心相同半径不同的两个圆是同心圆，故错误，故选：B ．2.如图，在⊙O 中，=AC BD ，∠AOD =150°，∠BOC =80°，则∠AOB 的度数是（ ）A ．20°B ．25°C ．30°D ．35°【答案】D 【解析】=AC BD ，AC BC BD BC ∴-=-，C ABD ∴=，AOB COD ∴∠=∠．∵∠AOD =150°，∠BOC =80°，()115080352AOB ∴∠=⨯︒-︒=︒， 故选：D ．3．如图，已知AB 是⊙O 的弦，C 是AB 的中点，联结OA ，AC ，如果∠OAB ＝20°，那么∠CAB 的度数是_____．【答案】35°【解析】连接CB ，OB ,CO .由题意AC ＝ CB ,∴AC ＝CB ,且△ABC 是等腰三角形，∠CAO ＝∠CBO∵AO ＝OB ，在△AOB 中∴∠BAO ＝∠ABO ＝20°∴∠AOB ＝180°－∠BAO －∠ABO ＝140°∵AC ＝CB∴∠AOC ＝∠BOC ＝12∠AOB ＝70° 在△AOC 中，AO ＝CO ，∴∠CAO ＝∠ACO ＝（180°－70°）×12＝55°∴∠CAB ＝∠CAO －∠OAB ＝55°－20°＝35°故答案为35°.4．如图所示，AB CD 、是O 的两条直径，//CE AB ，求证：BC AE ．【解析】证明：连接OE，CE AB，//∴∠=∠∠=∠，BOC C AOE E,=，OC OE∴∠=∠，C E∴∠=∠，BOC AOE∴=．BC AE5．如图，弧AC=弧CB，D，E分别是半径OA，OB的中点，求证：CD=CE【解析】证明：连接OC．∵AC BC=，∴∠AOC=∠BOC，∵OA=OB，D、E分别是半径OA和OB的中点，∴OD=OE，∵OC=OC（公共边），∴△COD≌△COE，∴CD=CE．∠的角平分线PB上的一点，O与PA相交于E，F点，PC相交于6．已知：如图，O是APCG，H点，试确定线段EF与GH之间的大小关系，并证明你的结论．【答案】EF=GH，证明见解析【解析】解：EF=GH．证明：作OM⊥EF于M，ON⊥GH于N．∵O是∠AOB的角平分线PB上的一点，∴OM=ON，∴EF=GH1．（2021·上海浦东新·模拟预测）下列四个命题：①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等；②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等；③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等；④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．真命题的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】利用圆的有关性质分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧不一定相等，故原说法错误，是假命题，不符合题意；②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，正确，是真命题，符合题意；③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等，正确，是真命题，符合题意；④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，正确，是真命题，符合题意，真命题有3个，故选：C．【点睛】考查了真假命题的判断，解题的关键是掌握圆的有关性质，难度不大．2．（2019·上海嘉定·九年级期末）已知点C在线段AB上（点C与点,A B不重合），过点,A B 的圆记为圆1O，过点,B C的圆记为圆2O，过点,C A的圆记为圆3O，则下列说法中正确的是（）A．圆1O可以经过点C B．点C可以在圆1O的内部C．点A可以在圆2O的内部D．点B可以在圆3O内部【答案】B【分析】根据题意，画出符合题意的示意图，然后求解．【详解】解：∵点C在线段AB上（点C与点,A B不重合），过点,A B的圆记为圆1O，∴点C 可以在圆1O的内部，故A错误，B正确；∵过点,B C的圆记为圆2O，∴点A可以在圆2O的外部，故C错误；∵过点,C A的圆记为圆3O，∴点B可以在圆3O的外部，故D错误．故选B．【点睛】本题考查点与圆的位置关系，画出适当的辅助图形，采用数形结合的方法，更有助于解题.3．（2018·上海宝山·九年级期末）若⊙A的半径为5，圆心A的坐标是（1，2），点P的坐标是（5，2），那么点P的位置为（）A．在⊙A内B．在⊙A上C．在⊙A外D．不能确定【答案】A【分析】先根据两点间的距离公式计算出PA的长，然后比较PA与半径的大小，再根据点与圆的关系的判定方法进行判断．【详解】∵圆心A 的坐标是（1，2），点P 的坐标是（5，2），∴＜5，∴点P 在⊙A 内，故选A ．【点睛】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r ，点到圆心的距离为d ，则有：当d ＞r 时，点在圆外；当d=r 时，点在圆上，当d ＜r 时，点在圆内．也考查了坐标与图形性质．4．（2019·上海上海·九年级期中）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，tan B ＝2，以AB 的中点D 为圆心，r 为半径作⊙D ，如果点B 在⊙D 内，点C 在⊙D 外，那么r 可以取（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B 【分析】已知等腰三角形ABC 中tan B ＝2，根据题意可求得△ABC 中过顶点A 的高AF 的长度，进而求得AB 的长度，以及得到AF 和CD 均为中线，故交点为重心，通过重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，可求出CD B 点在⊙D 内，即满足r 大于BD 长度；要满足点C 在⊙D 外即r 小于CD 长度.【详解】如图，过点A 作AF ⊥BC 于点F ，连接CD 交AF 于点 G ，∵AB ＝AC ，BC ＝4，∴BF ＝CF ＝2，∵tan B ＝2， ∴2AF BF=，即AF ＝4，∴AB∵D 为AB 的中点，∴BD G 是△ABC 的重心，∴GF ＝13AF ＝43，∴CG ，∴CD ＝32CG ∵点B 在⊙D 内，点C 在⊙D 外，r故选B ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角函数求线段长度，三角形重心，点与圆的位置关系；解答本题的关键是发现BC 边上的高和CD 的交点是三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，即可求出CD 的长度.二、填空题5．（2021·上海浦东新·模拟预测）已知点C 在线段AB 上，且0＜AC ＜12AB ．如果⊙C 经过点A ，那么点B 与⊙C 的位置关系是_____．【答案】点B 在⊙C 外【分析】直接根据点与圆的位置关系即可得出结论．【详解】解：如图，∵点C 在线段AB 上，且0＜AC ＜12AB ，∴BC ＞AC ，∴点B 在⊙C 外，故答案为：点B 在⊙C 外．【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离OP=d ，当d ＞r 时点P 在圆外；当d ＜r 时点P 在圆内是解答此题的关键．6．（2018·上海金山·九年级期末）如图， AB 是⊙O 的弦，∠OAB=30°．OC ⊥OA ，交AB 于点C ，若OC=6，则AB 的长等于__．【答案】18【详解】连接OB，∵OA=OB，∴∠B=∠A=30°，∵∠COA=90°，∴AC=2OC=2×6=12，∠ACO=60°，∵∠ACO=∠B+∠BOC，∴∠BOC=∠ACO-∠B=30°，∴∠BOC=∠B，∴CB=OC=6，∴AB=AC+BC=18，故答案为18.7．（2020·上海松江·二模）如图，已知AB、AC是⊙O的两条弦，且AO平分∠BAC．点M、N分别在弦AB、AC上，满足AM＝CN．（1）求证：AB＝AC；（2）联结OM、ON、MN，求证：MN OM AB OA=．【分析】（1）过点O作OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，利用角平分线的性质和垂径定理即可得出答案；（2）联结OB，OM，ON，MN，首先证明BOM AON≅，然后再证明NOM BOA，根据相似三角形的性质即可得出答案．【详解】证明：（1）过点O作OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，如图所示：∵AO平分∠BAC．∴OD＝OE．222222,AD AO OD AE AO OE=-=-，AD AE∴=．,OD AB OE AC⊥⊥，2,2AB AD AC AE∴==，∴AB＝AC；（2）联结OB，OM，ON，MN，如图所示，∵AM＝CN，AB＝AC∴BM＝AN．∵OA＝OB，∴∠B＝∠BAO．∵∠BAO＝∠OAN，∴∠B＝∠OAN，∴△BOM≌△AON（SAS），∴∠BOM＝∠AON，OM＝ON，∴∠AOB＝∠MON，∴△NOM∽△BOA，∴MN OM AB OA=．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质及圆的有关性质，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．8．（2021·上海嘉定·二模）已知四边形ABCD 是菱形（如图），以点B 为圆心，BD 长为半径的圆分别与边AD 、CD 、BC 、AB ，相交于点E 、F 、G 、H ，联结BE ．（1）求证：~BDE ADB △△；（2）联结EG ，如果//EG AB ，求证：2AE DE CB =⋅．【分析】（1）在菱形ABCD 中，AD =AB ，∠ADB =∠ABD ，又在圆B 中，BE =BD ，则∠ADB =∠ABD =∠BED ，即△BDE ∽△ADB ；（2）联结EG ，EG ∥AB ，又AD ∥BC ，四边形ABGE 是平行四边形，则AE =BG =BD ，由（1）得△BDE ∽△ADB ，得到BD DE AD BD=，即BD 2=AD •DE ，则可得出结论． 【详解】解：（1）在菱形ABCD 中，AD =AB ，∠ADB =∠ABD ，又在圆B 中，BE =BD ，∴∠BDE =∠BED ，∴∠ADB =∠ABD =∠BED ，∴△BDE ∽△ADB ；（2）如图，∵EG ∥AB ，又AD ∥BC ，∴四边形ABGE 是平行四边形，∴AE =BG ，∵BG =BD ，∴AE=BD，又由（1）得△BDE∽△ADB，∴BD DE AD BD=，∴BD2=AD•DE，又在菱形ABCD中，AD=BC，∴AE2=DE•C B．【点睛】本题主要考查菱形的性质，平行四边形的性质与判定，相似三角形的性质与判定等内容，熟知各种判定定理是解题基础．9．（2018·上海普陀·一模）已知：在⊙O中，弦AB=AC，AD是⊙O的直径．求证：BD=CD．【分析】根据AB=AC，得到AB AC=，于是得到∠ADB=∠ADC，根据AD是⊙O的直径，得到∠B=∠C=90°，根据三角形的内角和定理得到∠BAD=∠DAC，于是得到结论．【详解】证明：∵AB=AC，∴AB AC=，∴∠ADB=∠ADC，∵AD是⊙O的直径，∴∠B=∠C=90°，∴∠BAD=∠DAC，∴BD CD=，∴BD=CD．10．（2019·上海长宁·一模）如图，AB是圆O的一条弦，点O在线段AC上，AC=AB，OC=3，sinA= 35．求：(1)圆O的半径长；(2)BC的长．【答案】（1）5（2【分析】（1）过点O作OH⊥AB，垂足为点H，设OH＝3k，AO＝5k，则AHAB＝2AH＝8k，求得AC＝AB＝8k，列方程即可得到结论；（2）过点C作CG⊥AB，垂足为点G，在 Rt△ACG中，∠AGC＝90°，解直角三角形即可得到结论．【详解】（1）过点O作OH⊥AB，垂足为点H，在 Rt△OAH中中，∠OHA＝90°，∴sinA＝35 OHAO=，设OH＝3k，AO＝5k，则AH∵OH⊥AB，∴AB＝2AH＝8k，∴AC＝AB＝8k，∴8k＝5k+3，∴k＝1，∴AO＝5，即⊙O的半径长为5；（2）过点C作CG⊥AB，垂足为点G，在 Rt△ACG中，∠AGC＝90°，∴sinA ＝35CG AC =， ∵AC ＝8，∴CG ＝245，AG 325=，BG ＝85， 在Rt △CGB 中，∠CGB ＝90°，∴BC = 11．（2019·上海市南塘中学中考模拟） 如图，在Rt ACB ∆中，90ACB ∠=，以点A 为圆心，AC 长为半径的圆交AB 于点D ，BA 的延长线交⊙A 于点E ，连接,CE CD ，F 是⊙A 上一点，点F 与点C 位于BE 两侧，且FAB ABC ∠=∠，连接BF ．（1）求证：BCD BEC ∠=∠；（2）若2BC =，1BD =，求CE 的长及sin ABF ∠的值．【答案】（1）证明见解析；（2），sin ABF ∠= 【分析】（1）利用等角的余角相等即可得出结论；（2）先判断出BDC ∆∽BCE ∆得出比例式求出4BE =，3DE =，利用勾股定理求出,CD CE ，再判断出AFM ∆∽BAC ∆，可求出FM ；进而判断出四边形FNCA 是矩形，求出,FN NC ，即可求出BN ，再用勾股定理求出BF ，即可得出结论．【详解】解：（1）∵90ACB ∠=，∴90BCD ACD ∠+∠=，∵DE 是⊙A 的直径，∴90DCE ∠=，∴90BEC CDE ∠+∠=，∵AD AC =，∴CDE ACD ∠=∠，∴BCD BEC ∠=∠；（2）∵BCD BEC ∠=∠，EBC EBC ∠=∠，∴BDC ∆∽BCE ∆， ∴CDBDBCCE BC BE ==，∵2BC =，1BD =，∴4BE =，2EC CD =，∴3DE BE BD =-=，在Rt DCE ∆中，2229DE CD CE =+=，∴CD =CE =，过点F 作FM AB ⊥于M ，∵FAB ABC ∠=∠，90FMA ACB ∠=∠=，∴AFM ∆∽BAC ∆， ∴FMAFAC AB =，∵3DE =， ∴32AD AF AC ===，52AB =， ∴910FM =，过点F 作FN BC ⊥于N ，∴90FNC ∠=，∵FAB ABC ∠=∠，∴//FA BC ，∴90FAC ACB ∠=∠=，∴四边形FNCA 是矩形， ∴32FN AC ==，32NC AF ==， ∴12BN =，在Rt FBN ∆中，BF =，在Rt FBM ∆中，sin FM ABF BF ∠==故答案为（1）证明见解析；（2），sin ABF∠=【点睛】本题主要考查圆的有关性质，等角的余角相等，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键．12．（2021·上海杨浦·二模）已知：如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上一点（不与点A、B重合），过点A作AD//OC交半圆于点D，E是直径AB上一点，且AE＝AD，联结CE、CD．（1）求证：CE＝CD；（2）如果3=，延长EC与弦AD的延长线交于点F，联结OD，求证：四边形OCFD是菱形．AD CD【分析】（1）由“SAS”可证△DAC≌△EAC，可得CE＝CD；（2）先求出∠AOD＝∠AEC＝108°，可证OD∥CE，由菱形的判定可得结论．【详解】证明：（1）如图１，连接AC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵AD∥OC，∴∠DAC＝∠OCA，∴∠DAC＝∠OAC，在△DAC和△EAC中，AD AEDAC EAC AC AC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△DAC ≌△EAC （SAS ），∴CE ＝CD ；（2）如图2，连接CA ，∵3AD CD =，∴∠AOD ＝3∠COD ，∵AD ∥OC ，∴∠ADO ＝∠DOC ，∵OA ＝OD ，∴∠OAD ＝∠ODA ，∵∠AOD +∠OAD +∠ADO ＝180°，∴5∠ADO ＝180°，∴∠ADO ＝36°，∴∠AOD ＝108°，∠DOC ＝36°，∵OD ＝OC ，∴∠ODC ＝72°，∴∠ADC ＝108°，∵△DAC ≌△EAC ，∴∠ADC ＝∠AEC ＝108°，∴∠AOD ＝∠AEC ，∴OD ∥CE ，又∵OC ∥AD ，∴四边形OCFD是平行四边形，又∵OD＝OC，∴平行四边形OCFD是菱形．【点睛】本题考查了圆心角与弧的关系，平行线的性质，三角形的全等，菱形的判定，熟练掌握圆的基本性质，菱形的判定是解题的关键．。

27.2 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（3）上海市奉贤区泰日学校张忠华一、教学内容分析：本课是圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系的第3课时，主要内容是对圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的灵活运用.二、教学目标1.灵活运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解决相关的几何证明与计算.2.通过例题的学习，进一步发展逻辑推理能力.三、教学重点与难点圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系的灵活运用.四、教学用具准备课件、多媒体投影仪五、教学流程六、教学过程设计(一) 温故知新回顾定理与推论：同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条劣弧（或优弧），两条弦，两条弦的弦心距得到的四组量中有一组量相等，那么它们所对应的其余三组量也分别相等.（二）应用举例例4 如图（1）已知：点F为圆O内一点，过点F作圆O的两条图（1）图（2）F 图（3）F 弦AB 、CD ，且∠AFO ＝∠DFO求证：（1）AB ＝CD （2）变式1：将例4中条件结论互换，命题是否为真？即已知点F 为圆O 内一点，过点F 作⊙O 的两条弦AB 、CD ，AB ＝CD 求证：∠AFO=∠DFO （学生探索发现）变式2：若点F 为⊙O 上一点，过F 作⊙O 的弦FA 、FD 如图（2） 若∠AFO ＝∠DFO,求证：AF ＝DF （学生探索发现）变式3：如图（3）若点F 为⊙O 外一点，过F 作两条射线分别交⊙O 于点A 、B 、C 、D ，若∠AFO ＝∠DFO ，求证：AB ＝CD （学生探索发现）AC=BD例5 已知，如图（4）：⊙O是△ABC的外接圆，AE平分△ABC 的外角∠DAC，O M⊥AB，ON⊥AC，垂足分别是点M、N，且OM ＝ON求证：（1）A E∥BC (2)AO⊥AE图（4）（三）反馈练习1、课本P11页，练习27.2（3）2、将例5条件、结论互换，变式1：把条件OM＝ON与结论AE∥BC互换，命题是否为真？说明理由.3、变式2：把条件OM＝ON与结论AO⊥AE互换，命题是否为真？说明理由.图（5）图（5）（四）归纳小结1.谈谈本堂课的收获2.谈谈本堂课的疑惑（五）布置作业必做题：练习册27.2（3）选做题：如图（6）：已知半圆O中，直径AB＝2，作弦DC∥AB，设AD＝x，四边形ABCD的周长为y，求：y与x的函数关系式，及自变量x的取值范围B图（6）设计说明本节课主要内容是圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的应用，对课本例题做了适当的变式，以问题为主线，探中有究，究中有探，通过例4的变式训练，引导学生灵活创新地运用定理、推论解决问题，根据学生已有的知识基础，设计出具有一定探索价值的问题链，进而让学生去发现、去创造，从而充分调动学生的思维，有效地提高课堂的效率，使整个课堂焕发出思维的活力.。

圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系教学重点、难点1．重点：圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理．2．难点：“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理”中的“在同圆或等圆重点、难点的学习目标完成过程：教师为了使学生真正了解图中圆心角、弧、弦、弦心距之间的内在联系，有意识找两位差一些的学生回答：“指出圆心角∠AOB所对的弧是______，所对的弦是______，所对弦的弦心距是______．接下来我们来讨论：在⊙O中，如果圆心角∠AOB=∠A′OB′，那么它们所对的和，弦AB和A′B′、弦心距OM和OM′是否也相等呢？教师利用电脑演示，一边讲解，我们把∠AOB连同AB沿着圆心O旋转，使射线OA 与OA′重合．由圆的旋转不变性，射线OB与OB′重合．因为∠AOB=∠A′OB’，OA=OA′，OB=OB′，∴点A与点A′重合，AB与A′B′重合，从点O到AB的垂线OM和点O到A′B′的垂线OM′也重合．即，= ，AB=A′B′，OM=OM′．于是由一名学生总结定理内容，教师板书：定理：在同圆等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等．教师进一步提出这样一个问题：这个命题不加“在同圆或等圆”这个前题条件是否是一个真命题呢？学生分小组讨论，由小组代表发表自己的意见．教师概括如下：这个定理的题设是：“在同圆或等圆中”、圆心角相等；结论是：“所对的弧相等”、“所对弦相等”、“所对弦的弦心距相等”．值得注意的是：在运用这个定理时，一定不能丢掉“在同圆或等圆中”这个前提．否则也不一定有所对的弧、弦、弦心距相等这样的结论．教师为了培养学生的思维批判性，请一名同学画一个只能是圆心角相等的这个条件的图，虽然∠AOB=∠A′OB′，但由于OA≠OA′，OB≠OB′．通过举出反例强论对定理的理解．这时教师分别把两个圆心角用①表示；两条弧用②表示；两条弦用③表示；两条弦的弦心距用④表示，我们就可以得出这样的结论．事实上，由于在“同圆或等圆中”这个前提下，将题设和结论中任何一项交换都是正确的．于是得到了这个定理的推论，为了巩固所学习的定理，黑板上出示例1：例1 如图7-23，点O是∠EPF的平分线上的一点，以O为圆心的圆和角的两边分别交于点A、B和C、D．求证：AB=CD．这道题的证明思路，教师引导学生分析：要证明两弦AB=CD，根据本节课所学的定理及推论，只要能证出圆心角、弧、弦心距三个量之中的一个相等即可．由于已知PO是∠EPF 的平分线，利用角平分线的性质可知点O到AB、CD的距离相等，即弦心距相等，于是可证明AB=CD．学生回答证明过程，教师板书：证明：作OM⊥AB，ON⊥CD，M，N为垂足．接着教师请同学们观察幻灯片，教师一边演示，一边讲解：如果将例1的∠EPF的顶点P看成是沿着PO这条直线运动，（1）当顶点在⊙O上时；（2）当顶点P在⊙O内部时，是否能得到例1的结论？请同学们课后思考完成．。

圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（二）1. 弧在前文中我们已经介绍了圆心角和弧之间的关系。

在这篇文章中，我们将进一步探讨弦和弦心距与圆心角、弧之间的关系。

首先，我们先来了解一下什么是弧。

在一个圆上，两个点之间的曲线部分叫做弧。

弧的长度可以通过圆心角来计算，即弧长等于圆心角的大小乘以半径。

假设圆的半径为r，圆心角为θ，那么弧长L可以表示为：L = r * θ2. 弦接下来，我们来介绍一下弦。

弦是连接圆上的两个点的线段。

弦的长度可以通过圆心角来计算，通过以下公式计算：S = 2 * r * sin(θ/2)其中S表示弦的长度。

3. 弦心距弦心距是指从圆的中心点到弦的距离。

弦心距可以通过以下公式计算：D = 2 * r * cos(θ/2)其中D表示弦心距。

4. 圆心角与弦、弦心距的关系圆心角与弦和弦心距之间有一定的关系。

当圆心角的大小固定时，弦和弦心距的大小也是固定的。

具体可以通过以下公式进行计算：•弦长S与圆心角θ之间的关系：S = 2 * r * sin(θ/2)•弦心距D与圆心角θ之间的关系：D = 2 * r * cos(θ/2)可以看出，当圆心角θ固定时，弦长和弦心距都与半径r成正比。

也就是说，如果增加半径r的大小，弦长和弦心距也会增加；减小半径r的大小，弦长和弦心距也会减小。

另外，当圆心角θ固定时，弦长和弦心距之间也有一定的关系。

根据三角函数的性质，可以得到以下关系：S^2 + D^2 = (2r)^2该关系也被称为勾股定理。

5. 总结综上所述，圆心角、弧、弦和弦心距之间存在一定的关系。

圆心角决定了弧的长度，可以通过半径和圆心角的关系进行计算；弦的长度和弦心距都与圆心角成正比，可以通过圆心角和半径的关系进行计算。

另外，弦和弦心距之间也满足勾股定理。

通过理解和掌握这些关系，我们可以在解决相关问题时更加灵活和准确。

实际应用中，这些关系经常用于计算圆中的各个要素，对于解决与圆相关的问题非常有帮助。

圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系--知识讲解（提高）责编：常春芳【学习目标】1.了解圆心角的概念；2.掌握在同圆或等圆中，四组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，两条弦的弦心距之间的关系及其它们在解题中的应用．3.理解反证法的意义，并能用反证法推理证明简单几何题.【要点梳理】要点一、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系1.圆心角定义如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．2.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．3.推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及这两个角所对的弧、所对的弦、所对弦的弦心距中，有一组量相等，那么其余各组量都分别相等．要点诠释：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；(2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.4. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等).如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等.要点二、圆的确定（1）经过一个已知点能作无数个圆；（2）经过两个已知点A、B能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上；（3）不在同一直线上的三个点确定一个圆.（4）经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.如图：⊙O是△ABC的外接圆，△ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心.外心的性质：外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等.要点诠释：（1）不在同一直线上的三个点确定一个圆.“确定”的含义是“存在性和唯一性”.（2）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定.要点三、反证法反证法定义：在证明时，先假设命题的结论不成立，然后经过推理，得出矛盾的结果，最后断言结论一定成立，这样的证明方法叫做反证法.要点诠释：反证法也称归谬法，是一种重要的数学证明方法，而且有些命题只能用它去证明．一般证明步骤如下：（1）假定命题的结论不成立；（2）进行推理，在推理中出现下列情况之一：与已知条件矛盾；与公理或定理矛盾；（3）由于上述矛盾的出现，可以断言，原来的假定“结论不成立”是错误的；（4）肯定原来命题的结论是正确的．【典型例题】类型一、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系及应用1.已知：如图所示，⊙O中弦AB＝CD．求证：AD＝BC．【思路点拨】本题主要是考查弧、弦、圆心角之间的关系，要证AD＝BC，只需证»»AD BC=或证∠AOD＝∠BOC即可．【答案与解析】证法一：如图①，∵ AB＝CD，∴»»AB CD=．∴»»»»AB BD CD BD-=-，即»»AD BC=，∴ AD＝BC．证法二：如图②，连OA、OB、OC、OD，∵ AB＝CD，∴∠AOB＝∠COD．∴∠AOB－∠DOB＝∠COD－∠DOB，即∠AOD＝∠BOC，∴ AD＝BC．【总结升华】在同圆或等圆中，证两弦相等时常用的方法是找这两弦所对的弧相等或所对的圆心角相等，而图中没有已知的等弧和等圆心角，必须借助已知的等弦进行推理．举一反三：【变式】（2015秋•丹阳市月考）已知，半径为4的圆中，弦AB把圆周分成1：3两部分，则弦AB长是．【答案】解：连结OA、OB，如图，∵弦AB把圆周分成1：3两部分，∴∠AOB=×360°=90°，∴△OAB为等腰直角三角形，∴AB=OA=4．故答案为4．2.如果在两个圆中有两条相等的弦，那么（）.A.这两条弦所对的圆心角相等B. 这两条弦所对的弧相等C. 这两条弦都被与它垂直的半径平分相等D. 这两条弦所对的弦心距相等【思路点拨】在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等，但在不同圆中则另当别论.【答案与解析】C；解：A.这两条弦所对的圆心角不一定相等，原说法错误，所以本选项错；B.这两条弦所对的弧不一定相等，原说法错误，所以本选项错；C.这两条弦都被垂直于弦的半径平分（垂径定理），原说法正确，所以本选项是对的；D. 这两条弦所对的弦心距不一定相等，原说法错误，所以本选项错；所以选C.【总结升华】本题考查了圆心角、弧、弦、弦心距间的关系，注意在同圆和等圆找个条件，审题要仔细，不要盲目解答.类型二、圆的确定3.已知：如图，在△ABC中，点D是∠BAC的角平分线上一点，BD⊥AD于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E．求证：点E是过A，B，D三点的圆的圆心．【思路点拨】要求证：点E是过A，B，D三点的圆的圆心，只要证明AE=BE=DE即可，可以根据等角对等边可以证得．【答案与解析】证明：∵点D在∠BAC的平分线上，∴∠1=∠2．又∵DE∥AC，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3．∴AE=DE．又∵BD⊥AD于点D，∴∠ADB=90°．∴∠EBD+∠1=∠EDB+∠3=90°．∴∠EBD=∠EDB．∴BE=DE．∴AE=B E=DE．∵过A，B，D三点确定一圆，又∠ADB=90°，∴AB是A，B，D所在的圆的直径．∴点E是A，B，D所在的圆的圆心．【总结升华】圆心到圆上各点的距离相等，反之，到一个点距离相等的点在同一个圆上.举一反三：【变式】已知直线a和直线外的两点A、B，经过A、B作一圆，使它的圆心在直线a上．【答案与解析】解：如下图，连接AB，作出AB的垂直平分线交直线a于O点，以O为圆心，OA为半径作圆．类型三、反证法4、（2014秋•定陶县期中）用反证法证明：在△ABC中，如果M、N分别是边AB、AC上的点，那么BN、CM不能互相平分．【思路点拨】首先假设BN、CM能互相平分，利用平行四边形的性质进而求出即可．【答案与解析】已知如图，在△ABC中，M、N分别是边AB、AC上的点，求证：BN、CM不能互相平分．O NMCBA证明：假设BN、CM能互相平分，则四边形BCNM为平行四边形，则BM∥CN，即：AB∥AC，这与在△ABC中，AB、AC交于A点相矛盾，所以BN、CM能互相平分结论不成立，故BN、CM不能互相平分.【总结升华】此题主要考查了反证法，正确掌握反证法的步骤是解题关键．举一反三：【变式】用反证法证明“三角形三个内角中至少有两个锐角”时应首先假设 .【答案】三角形三个内角中最多有一个锐角．。

圆专题一、圆的相关概念1.圆的定义（1）描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O叫做圆心，OA叫做半径．（2）集合性定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径．（3）圆的表示方法：通常用符号⊙表示圆，定义中以O为圆心，OA为半径的圆记作”O⊙“，读作”圆O“．（4）同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆．注意：注意：同圆或等圆的半径相等．2.弦和弧（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．（2）直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍．（3）弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．、为端点的圆弧记作AB，读作弧AB．（4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B（5）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．（6）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．（7）优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．（8）弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．3.圆心角和圆周角（1）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1︒的圆心角，我们也称这样的弧为1︒的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．（2）圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．二、圆的对称性1.旋转对称性（1）圆是中心对称图形，对称中心是圆心；圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度角，总能与自身重合．（2）圆的旋转对称性⇒圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系．2.轴对称性（1）圆是轴对称图形，经过圆心的任一条直线是它的对称轴．（2）圆的轴对称性⇒垂径定理．三、圆的性质定理1.圆周角定理（1） 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． （2） 推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径．推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．2. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（1） 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．（2） 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．注意：①前提条件是在同圆或等圆中；②在由等弦推出等弧时应注意：优弧与优弧相等；劣弧与劣弧相等．3. 垂径定理（1） 定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2） 推论1：①平分弦（非直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． （3） 推论2：圆的两条平行线所夹的弧相等．注意：若“过圆心的直线”、“垂直于弦”、“平分弦（非直径）”、“平分弦所对的优弧”、“平分弦所对的劣弧”中的任意两个成立，则另外三个都成立．注意：应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根据垂径定理与勾股定理有：222()2ar d =+，根据此公式，在a ，r ，d 三个量中知道任何两个量就可以求出第三个量．F EBA CDOr a 2d O CBA所对的两圆心角相等所对的两条弦相等 所对的两条弧相等所对的两条弦的弦心距相等EO D B A【例1】 如图，点A D G M 、、、在半圆O 上，四边形ABOC DEOF HMNO 、、均为矩形，设BC a =，EF b =，NH c =则下列格式中正确的是( )A ．a b c >>B ．a b c ==C ．c a b >>D ．b c a >>【例2】 如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为216cm ，则该半圆的半径为______．二、圆的性质定理1. 圆周角定理【例3】 如图，量角器外沿上有A B 、两点，它们的度数分别是7040︒︒、，则1∠的度数为_________．【例4】 如图，量角器外缘边上有A P Q ，，三点，它们所表示的读数分别是180︒，70︒，30︒，则PAQ ∠的大小为（ ）A ．10︒B ．20︒C ．30︒D ．40︒【例5】 如图，O ⊙是ABC ∆的外接圆，已知60B ∠=︒，则CAO ∠的度数是（ ）A ．15︒B ．30︒C ．45︒D ．60︒【例6】 如图，已知O 的弦AB CD ，相交于点E ，AC 的度数为60︒，BD 的度数为100︒，则AEC ∠等于ON MHG FE DC BA（ ） A ．60°B ．100°C ．80°D ．130°【例7】 如图所示的半圆中，AD 是直径，且32AD AC ==，，则sin B 的值是________．【例8】 如图，已知AB 为⊙O 的直径，20E ∠=︒，50DBC ∠=︒，则CBE ∠=______．【例9】 如图，在O ⊙中，AOB ∠的度数为m ，C 是ACB 上一点，D E 、是AB 上不同的两点(不与A B 、两点重合)，则D E ∠+∠的度数为____________．【例10】 如图，AB 是O 的直径，点C ，D ，E 都在O 上，若C D E ==∠∠∠，求A B +∠∠．DCA BBA【例11】 如图，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A 处安装了一台监视器，它的监控角度是65︒．为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装．．．这样的监视器 台．【例12】 如图所示，在ABC ∆中，45C ∠=︒，4AB =，则O ⊙的半径为( )B.4D.5【例13】 如图AB 是半圆O 的直径，点C D 、在弧AB 上，且AD 平分CAB ∠，已知106AB AC ==，，求AD的长．【例14】 如图，半圆的直径10AB =，点C 在半圆上，6BC =．（1）求弦AC 的长；（2）若P 为AB 的中点，PE AB ⊥交AC 于点E ，求PE 的长．2. 圆内接四边形【例15】 如图，O ⊙外接于正方形ABCD ，P 为弧AD 上一点，且1AP =，PB =PC 的长．【例16】 如图，已知四边形ABCD 内接于直径为3的圆O ，对角线AC 是直径，对角线AC 和BD 的交点P ，BAPEC BAP DCBAAB BD =，且0.6PC =，求四边形ABCD 的周长．【例17】 如图，AB CD ，是O ⊙的两条弦，它们相交于点P ，连结AD BD 、，已知4AD BD ==，6PC =，求CD 的长．一、点与圆的位置关系4. 确定圆的条件（5） 圆心(定点)，确定圆的位置； （6）半径(定长)，确定圆的大小．注意：只有当圆心和半径都确定时，圆才能确定． 5. 点与圆的位置关系（7） 点与圆的位置关系有：点在圆上、点在圆内、点在圆外三种，这三种关系由这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定． （8） 设O ⊙的半径为r ，点P 到圆心O 的距离为d ，则有：点在圆外⇔d r >；点在圆上⇔d r =；点在圆内⇔d r <.如下表所示：C二、过已知点的圆1. 过已知点的圆（1） 经过点A 的圆：以点A 以外的任意一点O 为圆心，以OA 的长为半径，即可作出过点A 的圆，这样的圆有无数个． （2） 经过两点A B 、的圆：以线段AB 中垂线上任意一点O 作为圆心，以OA 的长为半径，即可作出过点A B 、的圆，这样的圆也有无数个． （3） 过三点的圆：若这三点A B C 、、共线时，过三点的圆不存在；若A B C 、、三点不共线时，圆心是线段AB 与BC 的中垂线的交点，而这个交点O 是唯一存在的，这样的圆有唯一一个． （4） 过n ()4n ≥个点的圆：只可以作0个或1个，当只可作一个时，其圆心是其中不共线三点确定的圆的圆心．2. 定理：不在同一直线上的三点确定一个圆（1） “不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆； （2） “确定”一词的含义是”有且只有”，即”唯一存在”．三、三角形的外接圆及外心1. 三角形的外接圆（1） 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． （2） 锐角三角形外接圆的圆心在它的内部；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处(即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半)；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部. 2. 三角形外心的性质（1） 三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等； （2） 三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.一、点与圆的位置关系【例18】 已知圆内一点到圆周上的点的最大距离是7，最小距离是5，则该圆的半径是( )A ．2B ．6C ．12D ．7二、过三点的圆【例19】 如图，四边形ABCD 中，AB AC AD ==，若7613CAD BDC ∠=︒∠=︒，，则CBD ∠=_________，BAC ∠=__________．DCBA【例20】 如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A B C ，，，其中B 点的坐标为()44，，则该圆弧所在圆的圆心的坐标为 ．三、三角形的外接圆及外心【例21】 如图，ABC ∆内接于O ⊙，120BAC ∠=︒，AB AC =，BD 为O ⊙的直径，6AD =，则BC = .【例22】 等边三角形的外接圆的半径等于边长的( )倍． ABCD ．12【例23】 ABC ∆中，10AB AC ==，12BC =，求其外接圆的半径．【例24】 已知如图，ACD ∆的外角平分线CB 交其外接圆于B ，连接BA 、BD ，求证：BA BD =．N【例25】 已知∆ABC 中，=AB AC ，D 是∆ABC 外接圆劣弧AC 上的点(不与点A C ，重合)，延长BD 至E ． ⑴ 求证：AD 的延长线平分∠CDE ；⑴ 若30∠=︒BAC ，∆ABC 中BC边上的高为2+∆ABC 外接圆的面积．直线与圆的位置关系设O ⊙的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，则直线和圆的位置关系如下表：6. 切线的性质（9） 定理：圆的切线垂直于过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（10） 注意：这个定理共有三个条件，即一条直线满足：①垂直于切线②过切点③过圆心①过圆心，过切点⇒垂直于切线．AB 过圆心，AB 过切点M ，则AB l ⊥． ②过圆心，垂直于切线⇒过切点．AB 过圆心，AB l ⊥，则AB 过切点M ． ③过切点，垂直于切线⇒过圆心．AB l ⊥，AB 过切点M ，则AB 过圆心．7. 切线的判定（1） 定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； （2） 距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线； （3） 定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．注意：定理的题设是①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个条件缺一不可；定理的结论是“直线是圆的切线”．因此，证明一条直线是圆的切线有两个思路：①连接半径，证直线与此半径垂直；②作垂直，证垂直在圆上．AB CD El8. 切线长和切线长定理（1） 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． （2） 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．三、三角形的内切圆1. 三角形的内切圆：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．2. 多边形的内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．3. 直角三角形内切圆的半径与三边的关系设a 、b 、c 分别为ABC △中A ∠、B ∠、C ∠的对边，面积为S ，则内切圆半径为sr p=，其中()12p a b c =++．若90C ∠=︒，则()12r a b c =+-．二、切线的性质及判定【例1】 如图，ABC ∆为等腰三角形，AB AC =，O 是底边BC 的中点，O ⊙与腰AB 相切于点D ，求证AC 与O ⊙相切．lcb acbaO F ED CACBAB A【例2】 已知：如图，ABC ∆内接于O ，AD 是过A 的一条射线，且B CAD ∠=∠．求证：AD 是O 的切线．【例3】 已知：如图，AB 是O ⊙的直径，C 为O ⊙上一点，MN 过C 点，AD MN ⊥于D ，AC 平分DAB ∠．求证：MN 为O ⊙的切线．【例4】 如图，已知OA 是O ⊙的半径，B 是OA 中点，BC OA ⊥，P 是OA 延长线上一点，且PA AC =．求证：PC 是O ⊙的切线．【例5】 已知：如图，C 为O ⊙上一点，DA 交O ⊙于B ，连结AC BC 、，且DCB CAB ∠=∠DC 为O ⊙的切线；（2）2CD AD BD =⋅．【例6】 如图，以等腰ABC ∆中的腰AB 为直径作O ，交BC 于点D ．过点D 作DE AC ⊥，垂足为E ．（1）求证：DE 为O 的切线；（2）若O 的半径为5，60BAC ∠=︒，求DE 的长．C【例7】 如图，已知AB 为⑴O 的弦，C 为⑴O 上一点，⑴C =⑴BAD ，且BD ⑴AB 于B ．（1）求证：AD 是⑴O 的切线．（2）若⑴O 的半径为3，AB =4，求AD 的长．【例8】 如图，Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，以AB 为直径作O ⊙交AC 边于点D ，E 是边BC 的中点，连接DE ．（1）求证：直线DE 是O ⊙的切线；（2）连接OC 交DE 于点F ，若OF CF =，求tan ACO ∠的值．【例9】 如图，AB 是O ⊙的的直径，BC AB ⊥于点B ，连接OC 交O ⊙于点E ，弦AD OC ∥，弦DF AB⊥于点G ．（1）求证：点E 是BD 的中点； （2）求证：CD 是O ⊙的切线；（3）若4sin 5BAD ∠=，O ⊙的半径为5，求DF 的长．【例10】 如图，等腰三角形ABC 中，10AC BC ==，12AB =．以BC 为直径作O ⊙交AB 于点D ，交AC于点G ，DF AC ⊥，垂足为F ，交CB 的延长线于点E ． （1）求证：直线EF 是O ⊙的切线； （2）求sin E ∠的值．一、切线长定理1.如图，PA PB ，分别是O 的切线，A B ，为切点，AC 是O 的直径，已知35BAC ∠=︒，P ∠的度数为（ ） A ．35︒ B ．45︒ C ．60︒ D ．70︒2.如图，PA PB 、分别切O ⊙于A B ，两点，PC 满足AB PB AC PC AB PC AC PB ⋅-⋅=⋅-⋅，且AP PC ⊥，2PAB BPC ∠=∠，求ACB ∠的度数．3.如图，从圆O 外一点P 引圆O 的两条切线PA PB ，，切点分别为A B ，．如果60APB ∠=，8PA =，那么弦AB 的长是（ ）A ．4B ．8C．D．P则OP =（ ）A ．50cm B．cm Ccm D．cm5.如图，已知以直角梯形ABCD 的腰CD 为直径的半圆O 与梯形上底AD 、下底BC 以及腰AB 均相切，切点分别是D C E ，，．若半圆O 的半径为2，梯形的腰AB 为5，则该梯形的周长是（ ）A ．9B ．10C ．12D ．146.等腰梯形ABCD 外切于圆，且中位线MN 的长为10，那么这个等腰梯形的周长是________．7.如图，PA PB DE 、、分别切O ⊙于A B C 、、，若10PO =，PDE ∆周长为16，求O ⊙的半径．8.如图，PA PB ，切O 于AB ，，MN 切O 于C ，交PA PB ，于M N ，两点，已知8PA =，求PMN ∆的周长．PB P于G，交AB AC、于MN，则BMN∆的周长为______________．10.如图，已知AB是O⊙的直径，BC是和O⊙相切于点B的切线，O⊙的弦AD平行于OC，若2OA=，且6AD OC+=，求CD的长．补充讲义两圆的公切线（选讲自己了解）9.两圆的外公切线（11）求两圆外公切线长：构造外公切线、圆心距、大圆与小圆半径的差为边的特征直角三角形．如图，设大圆的半径为R，小圆的半径为r，两圆的圆心距为d，两外公切线的夹角为α，则两圆的外公切线长为：l=，sin2R rdα-=（12）求两圆内公切线长：构造外公切线、圆心距、大圆与小圆半径的和为边的特征直角三角形．10.两圆的内公切线如图，设大圆的半径为R，小圆的半径为r，两圆的圆心距为d，两外公切线的夹角为α，则两圆的内公切线长l=，sin2R r dα+ =CB AP圆与相似三角形经典证明题1.如图，A、B、C、D依次为一直线上4个点，BC=2，△BCE为等边三角形，⊙O过A、D、E3 点，且∠AOD=120°．设AB=x，CD=y，则y与x的函数关系为．2．如图，在△ABC中，AB=AC，AE是∠BAC的平分线，∠ABC的平分线BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交AB于点F．（1）求证：AE为⊙O的切线．（2）当BC=8，AC=12时，求⊙O的半径．（3）在（2）的条件下，求线段BG的长．3．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE．（1）求证：直线DF与⊙O相切；（2）若AE=7，BC=6，求AC的长．4．．Rt．ABC．．．ACB=90°．D．AB．．．．．．．BD．．．．．O．AC．．E．．．DE．．．．．BC．．．．．．．F．．BD=BF．．1．．．．AC．．O．．．．2．．BC=6．AB=12．．．O．．．．5．．．．AB．．O．．．．．．A．．O．．．．．．．．．．C．．．OC．．O．．D．BD．．．．．AC．E．．．AD．．1．．．．．CDE．．CAD．．2．．AB=2．AC=2．．AE．．．6. 已知在△ABC中，∠B=90°，以AB上的一点O为圆心，以OA为半径的圆交AC于点D，交AB 于点E．．1．．．．AC•AD=AB•AE．．2．．．BD．⊙O．．．．D．．．．E．OB．．．．．BC=2．．．AC．．．7．如图所示，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC交DC的延长线于点E.（1）求证：∠BCA=∠BAD；（2）求DE的长；（3）求证：BE是⊙O的切线.8. 如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过D作MN⊥AC于点M，交AB的延长线于点N，过点B作BG⊥MN于G．（1）求证：△BGD∽△DMA；（2）求证：直线MN是⊙O的切线．9. 如图的⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，过点D、A分别作⊙O的切线交于点G，并与AB延长线交于点E．（1）求证：∠1=∠2．（2）已知：OF：OB=1：3，⊙O的半径为3，求AG的长．10.．．．．．O．．AB．．．．OC．AB．．CD．OB．．．F．．AB．．．．．．．E．．EF=ED．．1．．．．DE．．O．．．．．2．．OF．OB=1．3．．O．．．R=3．．．．．11．．．．AB ．⊙O ．．．．．D ．．．．．．∠BDE =∠CBE ．BD ．AE ．．．F ．（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）若BD 平分∠ABE ，求证：DE 2=DF •DB ；（3）在（2）的条件下，延长ED ，BA 交于点P ，若PA =AO ，DE =2，求PD 的长和⊙O 的半径．12．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 上一点，AE 和过点C 的切线互相垂直，垂足为E ，AE 交⊙O 于点D ，直线EC 交AB 的延长线于点P ，连接AC ，BC ，PB ：PC =1：2． （1）求证：AC 平分∠BAD ；（2）探究线段PB ，AB 之间的数量关系，并说明理由； （3）若AD =3，求△ABC 的面积．13．已知，如图，AB 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 上一点，OF ⊥BC 于点F ，交⊙O 于点E ，AE 与BC 交于点H ，点D 为OE 的延长线上一点，且∠ODB =∠AEC . （1）求证：BD 是⊙O 的切线； （2）求证：2CE EH EA =⋅； （3）若⊙O 的半径为5，3sin 5A =，求BH 的长.第13题图FH EOC B A。