圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系_2

圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（二）弦与弧在上一篇文章中，我们介绍了圆心角、弧和弦之间的关系。

本篇文章将继续探讨弦与弧之间的关系，以及弦心距与弦的关系。

弦的定义和性质首先，我们来回顾一下弦的定义。

在圆上任取两点，并用直线连接这两点，这条直线就是圆上的一条弦。

弦的长度可以通过两点之间的距离来计算。

根据弦的定义，我们可以得到一些性质。

1.在同一个圆中，相等弦对应的弧相等。

2.在同一个圆中，相等弧对应的弦相等。

根据这些性质，我们可以得出结论：在同一个圆中，等长的弦对应着等长的弧，而等长的弧对应着等长的弦。

弦和弧的关系既然弦和弧对应，那么它们之间有何关系呢？我们可以通过角度来说明它们之间的关系。

对于一个圆，以圆心为顶点的角叫做圆心角。

当我们在圆上划过一个圆心角时，这个角所对应的弧就是圆心角对应的弧。

在上一篇文章中我们已经讨论过，圆心角的大小等于其所对应的弧度数。

这意味着，当我们知道一个圆心角的度数时，也就知道了对应的弧度数。

同样地，我们也可以知道，等长的圆心角对应着等长的弧。

这是因为圆心角的度数决定了弧的长度，所以度数相同的圆心角对应的弧也是相等的。

弦心距与弦的关系弦心距是指从圆的圆心到弦的距离。

在上一篇文章中，我们已经了解到，弦中垂线的长度等于弦心距。

在本篇文章中，我们将进一步讨论弦心距与弦之间的关系。

在同一个圆中，相等弦对应的圆心距相等。

这是因为弦中垂线的长度等于弦心距，并且等长的弦对应的弦中垂线也是等长的。

我们可以通过一个实际的例子来进一步理解这个关系。

假设在一个圆上，有两条等长的弦AB和CD，并且它们都通过同一个圆心O。

那么根据上述性质，我们可以得知弦AB的中垂线的长度等于弦CD的中垂线的长度。

由于这两条垂线的长度相等，所以它们对应的弦心距也相等。

综上所述，在同一个圆中，等长的弦对应着相等的弦心距，而相等的弦心距对应着等长的弦。

结论根据我们在本篇文章中的讨论，我们可以得到以下结论：•在同一个圆中，等长的弦对应着等长的弧，而等长的弧对应着等长的弦。

九年级上册数学圆的定理
九年级上册数学中有关圆的定理有很多，以下是其中一部分：
1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两
条弧。

推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且
平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平
分弦所对的两条弧。

2.圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系：在同圆或等圆中，相等
的圆心角所对的弧相等，所对的弦的弦心距相等。

推论：在同
圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的'
弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别
相等。

3.过三点的圆：不在同一条直线上的三点确定一个圆。

三角形的
外接圆圆心（外心）是三边垂直平分线的交点。

以上信息仅供参考，建议查阅九年级上册数学教材或相关辅导资料，获取更全面和准确的信息。

九年级下册数学——圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系讲义【1】圆心角定义在纸上任意画一个圆，任意画出两条不在同一条直线上的半径，构成一个角，这样的角就是圆心角.如图所示，∠AOB 的顶点在圆心，像这样，顶点在圆心的角叫做圆心角．【2】圆心角、弧、弦之间的关系定理在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等． 【定理拓展】○1在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角，•所对的弦也分别相等 ○2在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角，•所对的弧也分别相等 综上所述，同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，就可以推出它们所对应的其余各组量也相等．【经典例题】【例1】下列说法中，正确的是( B )A.等弦所对的弧相等B.等弧所对的弦相等C.圆心角相等，所对的弦相等D.弦相等所对的圆心角相等 【例2】如图2，同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D ，已知AB=4，CD=2，AB 的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为( C )图2A.3∶2B.5∶2C.5∶2D.5∶4 【解析】作OE ⊥CD 于E ，则CE=DE=1，AE=BE=2，OE=1.在Rt △ODE 中，OD=2211+=2.在Rt △OEB 中，OB=22OE BE +=14+=5.∴OB ∶OD=5∶2.【例3】半径为R 的⊙O 中，弦AB=2R ，弦CD=R ，若两弦的弦心距分别为OE 、OF ，则OE ∶OF等于( D )A.2∶1B.3∶2C.2∶3D.0 【解析】∵AB 为直径，∴OE=0. ∴OE ∶OF=0.【例4】一条弦把圆分成1∶3两部分，则弦所对的圆心角为_____________. 【解析】41×360°=90°，∴弦所对的圆心角为90°. 【答案】90°【例5】弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是____________，弦所对的圆心角是____________.【解析】OD ⊥AB ，OD=DB=AD.设OD=x ，则AD=DB=x.在Rt △ODB 中，∵OD=DB ，OD ⊥AB, ∴∠DOB=45°.∴∠AOB=2∠DOB=90°， OB=22222=+++x x DB OD x. ∴AB ∶BC=1∶2=2∶2.∴弦与直径的比为2∶2，弦所对的圆心角为90°. 【答案】2∶2 90°【例6】如图6，已知以点O 为公共圆心的两个同心圆，大圆的弦AB 交小圆于C 、D.图6(1)求证：AC=DB ；(2)如果AB=6 cm ，CD=4 cm ，求圆环的面积.【分析】求圆环的面积不用求出OA 、OC ，应用等量代换的方法.事实上，OA 、OC 的长也求不出来.（1）证明：作OE ⊥AB 于E ，∴EA=EB ，EC=ED.∴EA －EC=EB －ED ，即AC=BD. （2）解：连结OA 、OC.∵AB=6 cm ，CD=4 cm ，∴AE=21AB=3 cm.CE=21CD=2 cm. ∴S 环=π·OA 2－π·OC 2=π（OA 2－OC 2）=π［（AE 2＋OE 2）－（CE 2＋OE 2）］=π（AE 2－CE 2）=π（32－22）=5π（ cm 2）.【例7】如图7所示，AB 是⊙O 的弦(非直径)，C 、D 是AB 上的两点，并且AC=BD.求证：OC=OD.图7【分析】根据弧、弦、圆心角的关系得出.证法一：如图(1)，分别连结OA 、OB.∵OA=OB ，∴∠A=∠B. 又∵AC=BD ，∴△AOC ≌△B OD.∴OC=OD.(1) (2) 证法二：如图(2)，过点O 作OE ⊥AB 于E ， ∴AE=BE.∵AC=BD ，∴CE=DE.∴OC=OD.【例8】如图8，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE=6 cm ，EB=2 cm ，∠CEA=30°，求CD 的长.图8【分析】如何利用∠CEA=30°是解题的关键，若作弦心距OF ，构造直角三角形，问题就容易解决.【解】过O 作OF ⊥CD 于F ，连结CO. ∵AE=6 cm ，EB=2 cm ，∴AB=8 cm.∴OA=21AB=4（cm ），OE=AE －AO=2（cm ）. 在Rt △OEF 中， ∵∠CEA=30°，∴OF=21OE=1（cm ）. 在Rt △CFO 中，OF=1 cm ，OC=OA=4(cm)，∴CF=22OF OC =15(cm). 又∵OF ⊥CD ，∴CD=2CF=215（ cm）.【例10】如图10所示，AB、CD是⊙O的两条直径，弦BE=BD，则弧AC与弧BE是否相等？为什么？图10【分析】欲求两弧相等，结合图形，可考虑运用“圆心角、弧、弦、弦心距”四量之间的“等对等”关系，可先求弧AC与弧BE所对的弦相等，也可利用“等量代换”的思想，先找一条弧都与弧AC以及弧BE相等.【解】弧A C=弧BE.原因如下：法一：连结AC，∵AB、CD是直径，∴∠AOC＝∠BOD.∴AC＝BD.又∵BE＝BD，∴AC＝BE.∴弧AC=弧BE.法二：∵AB、CD是直径，∴∠AOC＝∠BOD.∴弧AC=弧BD.∵BE＝BD，∴弧BE=弧BD.∴弧AC=弧BE.【例11】如图11所示，AB是⊙O的弦，C、D为弦AB上两点，且OC=OD，延长OC、OD，分别交⊙O于点E、F.试证:弧AE=弧BF.图11【分析】欲求弧相等，结合图形，可先求弧所对的圆心角相等，即求∠AOE＝∠BOF.【证明】∴∠OCD＝∠ODC.∵AO＝OB，∴∠A＝∠B.∴∠OCD－∠A＝∠ODC－∠B，即∠AOC＝∠BOD，即∠AOE＝∠BOF.∴弧AE=弧BF.【例12】如图12，AB、CD、EF都是⊙O的直径，且∠1=∠2=∠3，弦AC、EB、DF是否相等？为什么？图12【分析】应用圆心角、弧、弦的关系解决.证明弦相等往往转化成圆心角相等.【解】在⊙O中，∵∠1=∠2=∠3，又∵AB、CD、EF都是⊙O的直径，∴∠FOD=∠AOC=∠BOE.∴弧DF=弧AC=弧BE.∴AC=EB=DF.【例15】如图15，AB为⊙O的弦，P是AB上一点，AB=10 cm，OP=5 cm，PA=4 cm，求⊙O 的半径.图15【分析】圆中的有关计算，大多都是通过构造由半径、弦心距、弦的一半组成的直角三角形，再利用勾股定理来解决.【解】过O作OC⊥AB于C，连结OA，则AB=2AC=2BC.在Rt△OC A和△OCP中，OC2=OA2－AC2，OC2=OP2－CP2，∴OA2－AC2=OP2－CP2.∵AB=10，PA=4，AB=2AC=2BC ，∴CP=AB －PA －BC=1，AC=5. ∴OA 2－52=52－1.∴OA=7， 即⊙O 的半径为7 cm.【例16】⊙O 的直径为50 cm ，弦AB ∥CD ，且AB=40 cm ，CD=48 cm ，求弦AB 和CD 之间的距离.【分析】（1）图形的位置关系是几何的一个重要方面，应逐步加强位置感的培养.（2）本题往往会遗忘或疏漏其中的一种情况.(1)【解】（1）当弦AB 和CD 在圆心同侧时，如图(1),作OG ⊥AB 于G ，交CD 于E ，连结OB 、OD.∵AB ∥CD ，OG ⊥AB ，∴OE ⊥CD.∴EG 即为AB 、CD 之间的距离. ∵OE ⊥CD ，OG ⊥AB ，∴BG=21AB=21×40=20（cm ）， DE=21CD=21×48=24（cm ）.在Rt △DEO 中，OE=22DE OD -=222425-=7（cm ）. 在Rt △BGO 中，OG=22BG OB -=222025-=15（cm ）. ∴EG=OG －OE=15－7=8（cm ）.(2)（2）当AB 、CD 在圆心两侧时，如图(2)，同理可以求出OG=15 cm ，OE=7 c m ，∴GE=OG ＋OE=15＋7=22（cm ）.综上所述，弦AB 和CD 间的距离为22 cm 或7 cm.1. 过点O 作OE CD ⊥于E ∴=CE ED∴=∴≅∴=AD DB AOE BOE AO OB ∆∆2. 175mm3.略4. 85. 26. 427. 3.68. 1209. B10. D11. A 12. D13. 内部、外部14. 13cm cm 或15. BC=4cm。

第27章圆与正多边形第一节圆的基本性质§27.2圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系教学目标(1)理解圆心角、弧、弦、弦心距等概念，知道圆是一个旋转对称图形，理解圆的旋转不变性.(2)经历利用圆的旋转不变性探索同圆中圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的过程，掌握同圆或等圆中圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理及其推论，能运用这一定理及其推论解决有关数学问题.教学重点引进圆心角、弧、弦、弦心距等概念，导出同圆或等圆中圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理及其推论，并能进行简单的运用，解决有关数学问题.知识点梳理1.圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧；联结圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦就是直径.以圆心为顶点的角叫做圆心角.(没有特别说明时，本章中的圆心角通常是指大于00且小于0180的角)2.圆的任意一条直径的两个端点将圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧.3.圆心到弦的距离叫做弦心距.4.在平面上，一个圆绕着它的圆心旋转任何一个角度(大于00且小于0360)，都能与原来图形重合.所以，圆是以圆心为旋转对称中心的旋转对称图形，旋转角可为大于00且小于0360的任何一个角.5.能够重合的两条弧称为等弧.半径长相等的两个圆一定能够重合，我们把半径长相等的两个圆称为等圆.(等圆可看作同一个圆移动到不同的位置时的图形)6.定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等.7.推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条劣弧或优弧、两条弦、两条弦的弦心距得到的四组量中有一组量相等，那么它们所对应的其余三组量也分别相等.8.圆被等分成360份，得到的每一份弧叫做01的弧.圆心角的度数和它们对的弧的度数相等.经典题型解析(一)圆的基本概念例1.车轮要做成圆形，实际上就是根据圆的特征( )A.同弧所对的圆心角相等B.直径是圆中最大的弦C.圆上各点到圆心的距离相等D.圆是中心对称图形随堂练习：下列说法中，正确的是( )A.弦是直径B.弧是半圆C.半圆是弧D.过圆心的线段是直径例2.下列说法中，错误的是( )A.直径相等的两个圆是等圆B.长度相等的两条弧是等弧C.圆中最长的弦是直径D.一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧随堂练习：下列语句中，正确的有( )A.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等B.平分弦的直径垂直于弦C.长度相等的两条弧相等D.圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴例3.如图，在O中，如果AB CD、是直径，那么图中相等的弧有哪些?为什么?随堂练习：如图，已知在O中，AB CD、.⊥，垂足分别是点E F、分别是弦，OE AB⊥，OF CD请添加一个条件，使得OE OF=.(二)定理与推论例4.已知：如图，O的弦AB与CD相交于点P，OM AB、，⊥，ON DC⊥，垂足分别是点M N 且AD BC=.求证：OM ON=.随堂练习：如图，AB CECD AB.、是O的直径，CD是圆O的弦，//求证：EB AC BD==.例5.已知：如图，AB CD、.、是O的直径，弦//AE CD，联结CE BC求证：BC CE=.随堂练习：已知：如图，AD BC=分别表示弦AB和CD的弦心、是O的弦，AD BC=，OM ON距.求证：OM ON=.例6.已知：如图，AB CD=.、是O的弦，且AB CD求证：ACB DBC∆≅∆.随堂练习：已知：如图，AB是O的直径，AC和AD是分别位于AB两侧的两条相等的弦.求证：AB平分CAD∠.例7.如图，O是ABC∆的形状，并说明∠=∠，探索ABC∠，AOB BOC∆的外接圆，AO平分BAC理由. 等边三角形例8.已知：如图，AB是O的直径，M N⊥.⊥，DN AB、的中点，CM AB、分别是AO BO求证：AC BD=.例9.已知：如图，在O中，弦AB的长是半径OA的3倍，C为AB的中点，AB OC、相交于P.求证：四边形OACB为菱形.例10.已知：如图，AD的度数是090，B C、将AD三等分，弦AD与半径OB OC、.、相交于E F 求证：AE BC FD==.巩固提升一、填空题1.下列说法正确的是_________(填序号)①半径不等的圆叫做同心圆；②优弧一定大于劣弧；③不同的圆中不可能有相等的弦；④直径是同一个圆中最长的弦.2.圆是中心对称图形，它的对称中心有_________个.3.如图，AB CD =，OE AB ⊥，OF CD ⊥，025OEF ∠=，则EOF ∠=__________.(第3题) (第4题) (第5题)4.如图，在ABC ∆中，070A ∠=，圆O 截ABC ∆的三边所得的弦长都相等，则BOC ∠=_________.5.如图，半圆O 中，直径2AB =，作弦//DC AB ，设AD x =，四边形ABCD 的周长为y ，则y 与x 的函数关系式为_________，自变量x 的取值范围是_________.6.已知等边ABC ∆的三个顶点在半径为r 的圆上，则ABC ∆的周长为_________.7.已知点(1,0)(4,0)A B 、，P 是经过A B 、两点的一个动圆，当P 与y 轴相交，且在y 轴上两交点的距离为3时，则圆心P 的坐标是_________.二、选择题8.下列命题中正确的是( )A .三点确定一个圆B .在同圆中，同弧所对的圆周角相等C .平分弦的直线垂直于弦D .相等的圆心角所对的弧相等9.下列命题，①直径是弦，但弦不一定是直径；②半圆是弧，但弧不一定是半圆；③半径相等的两个圆是等圆；④一条弦把圆分成的两条弧中，至少有一条是优弧。

圆心 弧 弦 弦心距之间的关系1. 圆不但是轴对称图形，而且也是中心对称图形，实际上圆绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合。

2. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。

从圆心到弦的距离叫做弦心距。

3. 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。

4. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

注意：要正确理解和使用圆心角定理及推论。

一般地，n °的圆心角对着n °的弧，n °的弧对着n °的圆心角，也就是说，圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。

注意：这里说的相等是指角的度数与弧的度数相等。

而不是角与弧相等，在书写时要防止出现“∠=⋂AOB AB ”之类的错误。

因为角与弧是两个不能比较变量的概念。

相等的弧一定是相同度数的弧，但相同度数的弧却不一定是相等的弧。

6. 圆中弧、圆心角、弦、弦心距的不等关系（1）在同圆或等圆中，如果弦不等，那么弦心距也就不等，大弦的弦心距较小，小弦的弦心距反而大，反之弦心距较小时，则弦较大。

当弦为圆中的最大弦（直径）时，弦心距缩小为零；当弦逐步缩小时，趋近于零时，弦心距逐步增大，趋近于半径。

（2）在同圆或等圆中，如果弧不等，那么弧所对的弦、圆心角也不等，且大弧所对的圆心角较大，反之也成立。

注意：不能认为大弧所对的弦也较大，只有当弧是劣弧时，这一命题才能成立，半圆对的弦最大，当弧为优弧时，弧越大，对的弦越短。

7. 辅助线方法小结：（1）有弦的中点时，常连弦心距，进而可利用垂径定理或圆心角、弦、弧、弦心距关系定理；另外，证明两弦相等也常作弦心距。

（2）在计算弧的度数时，或有等弧的条件时，或证等弧时，常作弧所对的圆心角。

（3）有弧的中点或证弧的中点时，常有以下几种引辅助线的方法：∴AB＝CD弦AB、DC若PO平分∠APC弦AB、CD交于P点（PO平分∠APC=⎩OP OP ∴≅∆∆P O M P O N AAS ()∴=PM PN AM AB CN CD AB CD ===1212，， ∴=AM CN（）把作出来，变成一段弧，然后比较与的大小。

圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（二）1. 弧在前文中我们已经介绍了圆心角和弧之间的关系。

在这篇文章中，我们将进一步探讨弦和弦心距与圆心角、弧之间的关系。

首先，我们先来了解一下什么是弧。

在一个圆上，两个点之间的曲线部分叫做弧。

弧的长度可以通过圆心角来计算，即弧长等于圆心角的大小乘以半径。

假设圆的半径为r，圆心角为θ，那么弧长L可以表示为：L = r * θ2. 弦接下来，我们来介绍一下弦。

弦是连接圆上的两个点的线段。

弦的长度可以通过圆心角来计算，通过以下公式计算：S = 2 * r * sin(θ/2)其中S表示弦的长度。

3. 弦心距弦心距是指从圆的中心点到弦的距离。

弦心距可以通过以下公式计算：D = 2 * r * cos(θ/2)其中D表示弦心距。

4. 圆心角与弦、弦心距的关系圆心角与弦和弦心距之间有一定的关系。

当圆心角的大小固定时，弦和弦心距的大小也是固定的。

具体可以通过以下公式进行计算：•弦长S与圆心角θ之间的关系：S = 2 * r * sin(θ/2)•弦心距D与圆心角θ之间的关系：D = 2 * r * cos(θ/2)可以看出，当圆心角θ固定时，弦长和弦心距都与半径r成正比。

也就是说，如果增加半径r的大小，弦长和弦心距也会增加；减小半径r的大小，弦长和弦心距也会减小。

另外，当圆心角θ固定时，弦长和弦心距之间也有一定的关系。

根据三角函数的性质，可以得到以下关系：S^2 + D^2 = (2r)^2该关系也被称为勾股定理。

5. 总结综上所述，圆心角、弧、弦和弦心距之间存在一定的关系。

圆心角决定了弧的长度，可以通过半径和圆心角的关系进行计算；弦的长度和弦心距都与圆心角成正比，可以通过圆心角和半径的关系进行计算。

另外，弦和弦心距之间也满足勾股定理。

通过理解和掌握这些关系，我们可以在解决相关问题时更加灵活和准确。

实际应用中，这些关系经常用于计算圆中的各个要素，对于解决与圆相关的问题非常有帮助。

圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系--知识讲解（提高）责编：常春芳【学习目标】1.了解圆心角的概念；2.掌握在同圆或等圆中，四组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，两条弦的弦心距之间的关系及其它们在解题中的应用．3.理解反证法的意义，并能用反证法推理证明简单几何题.【要点梳理】要点一、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系1.圆心角定义如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．2.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．3.推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及这两个角所对的弧、所对的弦、所对弦的弦心距中，有一组量相等，那么其余各组量都分别相等．要点诠释：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；(2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.4. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等).如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等.要点二、圆的确定（1）经过一个已知点能作无数个圆；（2）经过两个已知点A、B能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上；（3）不在同一直线上的三个点确定一个圆.（4）经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.如图：⊙O是△ABC的外接圆，△ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心.外心的性质：外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等.要点诠释：（1）不在同一直线上的三个点确定一个圆.“确定”的含义是“存在性和唯一性”.（2）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定.要点三、反证法反证法定义：在证明时，先假设命题的结论不成立，然后经过推理，得出矛盾的结果，最后断言结论一定成立，这样的证明方法叫做反证法.要点诠释：反证法也称归谬法，是一种重要的数学证明方法，而且有些命题只能用它去证明．一般证明步骤如下：（1）假定命题的结论不成立；（2）进行推理，在推理中出现下列情况之一：与已知条件矛盾；与公理或定理矛盾；（3）由于上述矛盾的出现，可以断言，原来的假定“结论不成立”是错误的；（4）肯定原来命题的结论是正确的．【典型例题】类型一、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系及应用1.已知：如图所示，⊙O中弦AB＝CD．求证：AD＝BC．【思路点拨】本题主要是考查弧、弦、圆心角之间的关系，要证AD＝BC，只需证»»AD BC=或证∠AOD＝∠BOC即可．【答案与解析】证法一：如图①，∵ AB＝CD，∴»»AB CD=．∴»»»»AB BD CD BD-=-，即»»AD BC=，∴ AD＝BC．证法二：如图②，连OA、OB、OC、OD，∵ AB＝CD，∴∠AOB＝∠COD．∴∠AOB－∠DOB＝∠COD－∠DOB，即∠AOD＝∠BOC，∴ AD＝BC．【总结升华】在同圆或等圆中，证两弦相等时常用的方法是找这两弦所对的弧相等或所对的圆心角相等，而图中没有已知的等弧和等圆心角，必须借助已知的等弦进行推理．举一反三：【变式】（2015秋•丹阳市月考）已知，半径为4的圆中，弦AB把圆周分成1：3两部分，则弦AB长是．【答案】解：连结OA、OB，如图，∵弦AB把圆周分成1：3两部分，∴∠AOB=×360°=90°，∴△OAB为等腰直角三角形，∴AB=OA=4．故答案为4．2.如果在两个圆中有两条相等的弦，那么（）.A.这两条弦所对的圆心角相等B. 这两条弦所对的弧相等C. 这两条弦都被与它垂直的半径平分相等D. 这两条弦所对的弦心距相等【思路点拨】在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等，但在不同圆中则另当别论.【答案与解析】C；解：A.这两条弦所对的圆心角不一定相等，原说法错误，所以本选项错；B.这两条弦所对的弧不一定相等，原说法错误，所以本选项错；C.这两条弦都被垂直于弦的半径平分（垂径定理），原说法正确，所以本选项是对的；D. 这两条弦所对的弦心距不一定相等，原说法错误，所以本选项错；所以选C.【总结升华】本题考查了圆心角、弧、弦、弦心距间的关系，注意在同圆和等圆找个条件，审题要仔细，不要盲目解答.类型二、圆的确定3.已知：如图，在△ABC中，点D是∠BAC的角平分线上一点，BD⊥AD于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E．求证：点E是过A，B，D三点的圆的圆心．【思路点拨】要求证：点E是过A，B，D三点的圆的圆心，只要证明AE=BE=DE即可，可以根据等角对等边可以证得．【答案与解析】证明：∵点D在∠BAC的平分线上，∴∠1=∠2．又∵DE∥AC，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3．∴AE=DE．又∵BD⊥AD于点D，∴∠ADB=90°．∴∠EBD+∠1=∠EDB+∠3=90°．∴∠EBD=∠EDB．∴BE=DE．∴AE=B E=DE．∵过A，B，D三点确定一圆，又∠ADB=90°，∴AB是A，B，D所在的圆的直径．∴点E是A，B，D所在的圆的圆心．【总结升华】圆心到圆上各点的距离相等，反之，到一个点距离相等的点在同一个圆上.举一反三：【变式】已知直线a和直线外的两点A、B，经过A、B作一圆，使它的圆心在直线a上．【答案与解析】解：如下图，连接AB，作出AB的垂直平分线交直线a于O点，以O为圆心，OA为半径作圆．类型三、反证法4、（2014秋•定陶县期中）用反证法证明：在△ABC中，如果M、N分别是边AB、AC上的点，那么BN、CM不能互相平分．【思路点拨】首先假设BN、CM能互相平分，利用平行四边形的性质进而求出即可．【答案与解析】已知如图，在△ABC中，M、N分别是边AB、AC上的点，求证：BN、CM不能互相平分．O NMCBA证明：假设BN、CM能互相平分，则四边形BCNM为平行四边形，则BM∥CN，即：AB∥AC，这与在△ABC中，AB、AC交于A点相矛盾，所以BN、CM能互相平分结论不成立，故BN、CM不能互相平分.【总结升华】此题主要考查了反证法，正确掌握反证法的步骤是解题关键．举一反三：【变式】用反证法证明“三角形三个内角中至少有两个锐角”时应首先假设 .【答案】三角形三个内角中最多有一个锐角．。

九年级数学圆心角、弧、弦、弦心距的关系人教四年制【本讲教育信息】一. 教学内容：圆心角、弧、弦、弦心距的关系二. 重点、难点：1. 等弧对等角、对等弦、对等弦心距。

2. 在同圆或等圆中，等角、等弦、等弦心距对等弧。

∴ 点A 、B 到DC 距离相等 ∴ AB ∥CD[例3] ABC ∆中，A ∠为直角，⊙O 与三边交于P 、Q 、R 、S 、K 、L ，若PQ=RS=KL ，求BOC ∠大小。

由勾股定理，2222)47(1)47(--=-x x 整理得02742=--x x 21=x ，412-=x （舍） ∴42==x AB[例6] 如图，C 、D 在以AB 为直径的半圆上，CE ⊥AB 于E ，DF ⊥AB 于F ，DH ⊥OC 于H ，若AE=2cm ，EO=3cm ，求HF 长。

解：作出⊙延长DH ∴ HF=NK 21∵ CM ∥DK ∴⋂⋂⋂==CN MK CD∴⋂⋂=NK CM ∴ CM=NK ∴HF CM CE ==21又 ∵ OC=OA=5cm OE=3cm ∴ CE=4cm ∴ HF=4cm【模拟试题】（答题时间：45分钟）4. 如图3，在半径为2cm 的⊙O 内有长为cm 32的弦AB ，则此弦所对的圆心角AOB ∠为（ ）A. ︒60B. ︒90C. ︒120D. ︒1507. 过⊙O 内一点M 的最长的弦长为4cm ，最短的弦长为2cm ，则OM 的长为（ ） A. cm 3 B. cm 2 C. cm 1 D. cm 38. 已知⊙O 的弦AB 长为8cm ，⊙O的半径为5cm ，则弦心距为（ ） A. 3cm B. 6cm C. 39cm D. 392cm9. 如图6，在两半径不同的同心圆中，︒=''∠=∠60B O A AOB ，则（ ） ︒=60AOB ；正确的是（ ）A. ①②③④⑤B. ①②④⑤C. ①②D. ②④⑤二. 填空题：11. 在圆中︒80的弧所对的圆心角的度数是。

圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（一）数学教案标题：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
一、教学目标：
1. 理解并掌握圆心角、弧、弦、弦心距的基本概念。

2. 掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的基本关系。

3. 能够运用这些关系解决相关的问题。

二、教学内容：
1. 圆心角、弧、弦、弦心距的基本概念
2. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
三、教学过程：
1. 导入新课
- 引导学生回顾之前学过的关于圆的知识，如半径、直径等。

- 提出问题：“在圆中，除了半径和直径，还有哪些重要的元素？”引导学生思考。

2. 新知讲解
- 首先解释圆心角、弧、弦、弦心距的基本概念，并通过实例进行说明。

- 接着介绍圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，包括“同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等”以及“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等”。

3. 例题解析
- 选择几道典型的题目，详细解释如何运用上述关系解决问题。

4. 练习与反馈
- 设计一些练习题，让学生自己尝试解答，然后给出反馈。

5. 小结与作业
- 对本节课的内容进行总结，强调重点和难点。

- 布置作业，要求学生巩固和应用今天学到的知识。

四、教学评估：
通过课堂观察、提问、练习题的完成情况等方式，评估学生对知识的理解和掌握程度。

五、教学反思：
反思教学过程中的优点和不足，为下一次的教学做准备。

四．圆心角、弧、弦、弦心距关系定理【考点速览】圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理:在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的孤相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等推论：在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.（务必注意前提为：在同圆或等圆中）例1．如图所示，点O是∠EPF的平分线上一点，以O为圆心的圆和角的两边分别交于A、B和C、D，求证：AB=CD．ABE OOPO 1O 2O例2、已知：如图，EF 为⊙O 的直径，过EF 上一点P 作弦AB 、CD ，且∠APF=∠CPF 。

求证：PA=PC 。

例3．如图所示，在ABC ∆中，∠A=︒72，⊙O 截ABC ∆的三条边长所得的三条弦等长，求∠BOC.例4．如图，⊙O 的弦CB 、ED 的延长线交于点A ，且BC=DE ．求证：AC=AE ．·OAB CO ·CAEBD例5．如图所示，已知在⊙O 中，弦AB=CB ，∠ABC=︒120，OD ⊥AB 于D ，OE ⊥BC 于E ． 求证：ODE ∆是等边三角形．综合练习一、选择题1．下列说法中正确的是（ ）A 、相等的圆心角所对的弧相等B 、相等的弧所对的圆心角相等C 、相等的弦所对的弦心距相等D 、弦心距相等，则弦相等2．如图，在⊙O 中，AB 的度数是︒50，∠OBC=︒40，那么∠OAC 等于（ ） A 、︒15 B 、︒20 C 、︒25 D 、︒303．P 为⊙O 内一点，已知OP=1cm ，⊙O 的半径r=2cm ，则过P 点弦中，最短的弦长为（ ） A 、1cm B 、3cm C 、32cm D 、4cm4．在⊙O 中，AB 与CD 为两平行弦，AB >CD ，AB 、CD 所对圆心角分别为︒︒60,120，若⊙O 的半径为6，则AB 、CD 两弦相距（ ）A 、3B 、6C 、13+D 、333± 5.如图所示，已知△ABC 是等边三角形，以BC 为直径的⊙O 分别交AB 、AC 于点D 、E 。

圆心角定理【知识要点】（1）圆的对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形．圆不仅是轴对称图形，而且还是 图形，圆独有的性质是 ． （2）概念：弦、弦心距弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。

经过圆心的弦叫做直径。

直径是圆中最大的弦。

弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。

【典型例题】例1．（1）过已知⊙O 中一已知点P 的弦中，最短的弦是 ；最长的弦是 ．（2）已知⊙O 中，AB 是直径，长10cm ，点M 为⊙O 内的一点，OM=4cm ，则⊙O 中过点M 的弦中，最长的弦等于 ．（3）在⊙O 中，弦AB ∥弦CD ，且AB 、CD 的度数分别为︒120和︒60，⊙O 的半径为6cm ，则AB 与CD 之间的距离是 ．（4）如图1，⊙O 中，弦CD 与直径AB 交于E ，且∠AEC=︒30，AE=1cm ，BE=5cm ，则弦CD 的弦心距OF= cm ，弦CD 的长为 cm.（3）概念：弧，圆心角弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。

弧分为半圆，优弧、劣弧三种。

圆心角 ：顶点在圆心的角叫圆心角，圆心角的度数等于它所对的弧的度数。

例2．（1）如图2，在△ABC 中，︒=∠︒=∠25,90B BCA ，以C 为圆心，CA 为半径的圆交AB 于D ，则AD 的度数是 ．（2）在⊙O 中，弦AB 与过B 点的半径夹角为︒55，那么弦AB 所对的优弧AMB 的度数为 。

（3）一条弦的弦心距等于它所在圆的直径的41，则这条弦所对的劣弧的度数是 。

（4）已知⊙O 中，AB=2CD ，则弦AB 2CD ．（填“〉”、“〈”或“=” ）· A C FE ODB 图1· O 图4AB C图2CBDD A图3·OE C AB（5）如图3所示，已知C 是⊙O 直径AB 上一点，过C 作弦DE ，使CD=CO ，若AD 的度数为︒40，BE 的度数 。

（6）如图4，在⊙O 中，AB 的度数是︒50，∠OBC=︒40，那么∠OAC 等于 。