(完整版)圆心角,弧,弦,弦心距之间的关系定理知识点及练习,推荐文档

【基础知识精讲】1.基本概念(1)顶点在圆心的角叫圆心角.(2)从圆心到弦的距离叫弦心距.(3)1°的圆心角所对的弧叫1°的弧.2.定理(1)圆是以圆心为对称中心的中心对称图形.(2)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等.(3)在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等.3.应注意的问题(1)解题时作圆心的弦心距是常用辅助线.(2)等弧的度数一定相等，相等度数的弧不一定是等弧.【重点难点解析】本节的重点是掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系，并能运用这些关系解决有关的证明、计算题，难点在于选择适当的辅助线，运用这几个量的相等关系解题.例1如图7-20，O是Rt△ABC三条角平分线的交点，∠C=90°，⊙O 经过C点分别交AC、BC于D、E，交AB于F、G，求证⌒CD=⌒CE=⌒FG 证明：作弦CD、CE、FG的弦心距OM、ON、OP，∵O是△ABC的三条角平分线的交点，∴OM=ON=OP ， 则：⌒CD =⌒CE =⌒FG说明：证明弧相等通常证明弧所对的弦或圆周角相等，此题由角平分线定理得三条弦的弦心距相等，从而知道这三条弧相等.图7-20 图7-21 例2 如图7-21，OA 、OB 是⊙O 的两条互相垂直的半径，M 是弦AB 的中点，过M 作MC ∥OA ，交⌒AB 于C ，求证⌒AC =31⌒AB .证明：过M 、C 作ME ⊥AO 于E ，CF ⊥AO 于F ，连OC ∵M 为AB 的中点，∴ME=21OB,易证MEFC 为矩形∴CF=21OB=21OC ，∠COF=30°，则⌒AC =31⌒AB说明：若⌒AC =31⌒AB ，则∠COF=31∠BOA ，由题目条件知，须证明∠COF=30°即可.例3 已知AB 、CD 是⊙O 的两条直径，AP 是⊙O 的弦，且AP ∥CD ，求证BD=DP证明：如图7-22，∵AP ∥CD ，∴⌒AC =⌒PD ， ∵AB 、CD 是两直径，∴∠COA=∠BOD ， ∴⌒CA =⌒BD ，则⌒BD =⌒PD 故BD=DP说明：此题用到“夹在两平行弦之间的弧相等”，“圆心角相等弧相等”，“弧相等弧所对的弦相等”等结论.例4 如图7-23，MBA 与MDC 是⊙O 的二割线，已知弦AB=CD ，求BM=DM. 证明：作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥CD 于F ， ∵AB=CD ，∴OE=OF ，则Rt △MEO ≌Rt △MFO ，∴ME=MF ，又AE=21AB=21CD=FC ∴MB=MC说明：本题通过作弦心距将问题转化为证ME=MF ，再通过三角形全等达到目的，在全等的证明过程中用到“弦相等弦心距相等”这一结论. 【难题巧解点拨】例1 如图7-24，⊙O 中弦AB=CD ，⌒AB 与⌒CD 的中点分别是M 和N ，MN 与AB 、CD 分别交于E 和F ，求证：ME=NF.证明：连结AM 、BM 、CN 、DN ∵AB=CD ，∴⌒AB =⌒CD∵M 、N 的分别为⌒AB 、⌒CD 的中点 ∴⌒AM =⌒MB =⌒CN =⌒DN ∴AM=BM=CN=DN ，⌒MD =⌒NB∴∠FND=∠EMB ，∠MBE=∠NDF ，∴△MEB ≌△NFD ，∴ME=FN说明：此题通过弧、弦相等关系的互换证得MB=DN ，从而得△MEB ≌△FND ，得出结论.例2 如图7-25，已知⊙O 的两弦AB 和CD 相交于P ，且∠BPO=∠DPO ，求证：⌒AD =⌒BC .证明：作OE ⊥CD 于E ，OF ⊥AB 于F ， ∵∠BPO=∠DPO ，∴OE=OF ，CD=AB ，⌒AB =⌒CD ，⌒AD =⌒BC说明：本题通过角平分线定理得弦心距相等，从而弦相等，进而弧相等，再去掉公共部分⌒AC 得命题成立.【课本难题解答】1.如图7-26，在⊙O 中，弦AB=CD ，延长AB 到E ，延长CD 到F ，使BE=DF ，求证：EF 的垂直平分线经过点O.分析：由角平分线定理的逆定理知，只须证明OE=OF ，又由条件弦相等得弦心距OM=ON ，从而得△FOM ≌△EON ，证出OF=OE ，命题成立.2.如图7-27，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=25°，以C 为圆心，CA 为半径的圆交AB 于D ，求⌒AD 的度数.分析：要求弧AD 的度数就是求∠DCA 的度数，由条件易求出∠A=65°，再考虑△CDA ，易求得∠DCA=50°，∴⌒AD =50° 【典型热点考题】例1 如图7-28，已知⊙O 中⌒AB =2⌒CD ，求证明：AB ＜2CD. 证明：取⌒AB 的中心M ，连结BM 、AM ∵⌒AB =2⌒CD ∴⌒AM =⌒BM =⌒CD 从而有AM=BM=CD在△AMB 中，AB ＜BM+AM=2AM=2CD 故AB ＜2CD说明：本题主要考察弦、弧之间的关系，定理告诉我们等弧对等弦，此题告诉我们长不相等的弧的比值与其所对的弦的比值不等.例2 如图7-29，AB 为⊙O 的直径，半径OC ⊥AB ，过OC 的中点D 作弦EF ∥AB ，求证∠ABE=15°.证明：作EH ⊥AB 于H ，则EHOD 为矩形 ∴EH=OD ，又D 为CO 的中点，∴EH=OD=21CO考虑△EHO 知：∠EOH=30°再考虑△EOB 知：∠EBO=21∠EOH=15°例3 在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=20°，以C 为圆心CA 为半径的圆交BA 于D ，交BC 于E ，求⌒DE 的度数(图7-30).解：连连DC ，考虑△ABC ，∵∠C=90°，∠B=20°∴∠A=70° 考虑△CDA ，∵CD=CA ，∠A=70°∴∠DCA=40°，则∠DCE=50°，∴⌒DE =50° 说明：本题主要考察弧的度数的概念. 本周训练 【同步达纲练习】一、填空题(8分×5=40分)(1)梯形ABCD 内接于⊙O ，且AD ∥BC ，则AB= .(2)AB 、CD 是⊙O 的两弦，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，若AB=CD ，作OE= ，∠AOB= ，⌒AB = .(3)圆内最大的弦是12，则这个圆的半径是 . (4)一条弦把圆分成2:3两部分，则劣弧所对的圆心角的度数是 .(5)等边△ABC 内接于⊙O ，则与⌒AB 相等的弧有 ，∠AOB= .二、选择题(8分×5=40分)(1)AB 、CD 分别是两个不等圆的弦，若AB=CD ，则( )A.⌒AB =⌒DCB. ⌒AB ＞⌒DCC. ⌒AB ＜⌒DCD. ⌒AB ≠⌒DC(2)在⊙O 中，⌒AB =2⌒DC ，那么( )A.AB=2DCB.AB=DCC.AB ＜2DCD.AB ＞2DC(3)在△ABC 中，∠A=70°，⊙O 截△ABC 的三边，所截得的弦都相等则∠BOC 等于( )A.11°B.125°C.130°D.不能确定(4)在半径不相等的⊙O 1和⊙O 2中，⌒11B A 与⌒22B A 所对的圆心角都是60°，则下列说法正确的是( )A.⌒11B A 与⌒22B A 的弧长相等 B. ⌒11B A 和⌒22B A 的度数相等C.⌒11B A 与⌒22B A 的弧长和度数都相等 D.⌒11B A 与⌒22B A 的弧长和度数不相等 (5)下面说法正确的是( )A.弦相等，则弦心距相等B.弧长相等的弧所对的弦相等C.垂直于弦的直线必平分弦D.圆的两条平行弦所夹的弧长相等三、解答题(10分×2=20分)(1)从⊙O 外一点P 向⊙O 引两条割线PAB 、PCD 交⊙O 于A 、B 、C 、D ，且⌒AB =⌒CD ，求证：圆心O 必在∠BPD 的平分线上，(2)如图7-31，已知⊙O的半径OA、OB互相垂直，弦AD的延长线交OB 的延长线于C，若∠ACD=32°，求⌒AD的度数.【素质优化训练】1.如图7-32，在⊙O中，弦AB=CD，E、F分别在AB、CD的延长线上，BE=DF，OG⊥EF，垂足为G，求证：G为EF的中点.2.求证：求⊙O内一点A的所有弦中，垂直于OA的弦最短.希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：1、理想的路总是为有信心的人预备着。

三．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系【知识要点】（1）圆的对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形．圆不仅是轴对称图形，而且还是 图形，圆独有的性质是 ． （2）概念：弦、弦心距弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。

经过圆心的弦叫做直线。

直径是圆中最大的弦。

弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。

【典型例题】例1．（1）过已知⊙O 中一已知点P 的弦中，最短的弦是 ；最长的弦是 ．（2）已知⊙O 中，AB 是直径，长10cm ，点M 为⊙O 内的一点，OM=4cm ，则⊙O 中过点M 的弦中，最长的弦等于 ．（3）在⊙O 中，弦AB ∥弦CD ，且AB 、CD 的度数分别为︒120和︒60，⊙O 的半径为6cm ，则AB 与CD 之间的距离是 ．（4）如图1，⊙O 中，弦CD 与直径AB 交于E ，且∠AEC=︒30，AE=1cm ，BE=5cm ，则弦CD 的弦心距OF= cm ，弦CD 的长为 cm.（3）概念：弧，圆心角弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。

弧分为半圆，优弧、劣弧三种。

圆心角 ：顶点在圆心的角叫圆心角，圆心角的度数等于它所对的弧的度数。

例2．（1）如图2，在△ABC 中，︒=∠︒=∠25,90B BCA ，以C 为圆心，CA 为半径的圆交· A C FE ODB 图1· O 图4AB C图2CBDD A图3· OECAB 于D ，则AD 的度数是 ．（2）在⊙O 中，弦AB 与过B 点的半径夹角为︒55，那么弦AB 所对的优弧AMB 的度数为 。

（3）一条弦的弦心距等于它所在圆的直径的41，则这条弦所对的劣弧的度数是 。

（4）已知⊙O 中，AB=2CD ，则弦AB 2CD ．（填“〉”、“〈”或“=” ） （5）如图3所示，已知C 是⊙O 直径AB 上一点，过C 作弦DE ，使CD=CO ，若AD 的度数为︒40，BE 的度数 。

（6）如图4，在⊙O 中，AB 的度数是︒50，∠OBC=︒40，那么∠OAC 等于 。

【注意：同圆或等中】一、知识梳理圆心角，弧，弦，弦心距之间的关系定理：在中，相等的f对的相等,所对的相等，所对的弦的相等.推论：在同圆或等圆中，如果①两个圆心角，②两条弧，③两条弦，④两条弦心距中，有一组量相等,那么它们所对应的其余各组屋都分别相等.eg:在同圆或等圆中，弓玄AB=A f B f,弦心距OD、077,则有:'①(ZA0B=ZA,B,C f)③(4B=48)斗②(佔=AF)®(0D=0,D,)二、讲练结合【圆中相关弦的求解】例1、如图所示，点O是ZEPF的平分线上一点，以O为圆心的圆和角的两边分别交于A.B和C.D,求证：AB=CD.例2、如图，EF为OO的直径，过EF上一点P作弦AB・CD,且ZAPF=ZCPF.求证：PA=PC・VWA例3、如图，OO的弦CE・ED的延长线交于点A,且EC=DE・求证：AC=AE・【巩固练习】1.下列说法中正确的是（）A.相等的圆心角所对的弧相等B.相等的弧所对的圆心角相等C.相等的弦所对的弦心距相等D.弦心距相等，则弦相等2.P为0O内一点，已知OP=lcm,0O的半径r=2cm,则过P点弦中，最短的弦长为（）A・1cmE・JJcmC・cmD・4cm3.在0O中，AE与CD为两平行弦，AE>CD,AB、CD所对圆心角分别为120。

,60。

，若（DO的半径为6,则AB、CD两弦相距（）A・3】B・6C・A/3+1D・3、/J±34.已知：ZAOB=90°,C、D是弧AB的三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F・求证：AE=BF=CD・【圆中相关圆心角的求解】例4、如图所示，在AABC中，ZA=72%OO截AABC的三条边长所得的三条弦等长，求ZEOC.1.1,MBC 内接于OO,ZC=45\AB =4则OO 的半径为（A.2>/2 E.4 C.2^3 D ・5 三. 课堂练例5、如图，在0O 中，弓玄AB=CB>ZABC=120°,OD 丄AB 于D,OE 丄EC 于E ・求证：△ODE 是等边三角形.【巩固练习】1. 如图，在0O 中「AB 的度数是50。

圆心 弧 弦 弦心距之间的关系
［知识要点归纳］
1. 圆不但是轴对称图形，而且也是中心对称图形，实际上圆绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合。

2. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。

从圆心到弦的距离叫做弦心距。

3. 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。

4. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

5. 1°的弧：因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份，我们把每一份这样的弧叫做1°的弧。

一般地，n °的圆心角对着n °的弧，n °的弧对着n °的圆心角，也就是说，圆心角的
∴AB ＝CD 弦AB 、DC 若PO 平分∠APC 弦AB 、CD 交于P 点（ PO 平分∠APC
=⎩
OP OP ∴≅∆∆P O M P O N AAS ()
∴=PM PN AM AB CN CD AB CD =
==121
2
，， ∴=AM CN
（）把作出来，变成一段弧，然后比较与的大小。

222CD CD AB ⋂⋂⋂
解法一：
过点作于，则，O OF AB E AF FB AB AE EB AB ⊥⋂=⋂=⋂==121
2
AB CD AE CD AB =∴==21
2
，
AF FB AF FB ⋂=⋂
∴=，（等弧对等弦） 在中，，∆AFB AF FB AB AF AB +>∴>2
∴≅
COF DOE ∆∆
OE OF
∴=。

儒洋教育学科教师辅导讲义6、多边形与圆如果一个圆经过一个多边形的各顶点，那么这个圆叫做这个多边形的外接圆，这个多边形叫做这个圆的内接多边形，提示：1、与圆的确定有关的两个图形一定要学生重点理解。

2、补充两个知识点：线段垂直平分线的性质和角平分线的性质3、和学生一起重点分析课本例题1和2，理解题目考察的细节和解题方法。

二、例题分析：1、以线段AB为弦的圆的圆心的轨迹是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

cm。

2、已知扇形的圆心角为120°，半径为2cm，则扇形的弧长是cm，扇形的面积是23、点和圆的位置关系有三种：点在圆，点在圆，点在圆；例1：已知圆的半径r等于5厘米，点到圆心的距离为d，（1）当d=2厘米时，有d r，点在圆（2）当d=7厘米时，有d r，点在圆（3）当d=5厘米时，有d r，点在圆4、下列四边形：①平行四边形，②菱形；③矩形；④正方形。

其中四个顶点一定能在同一个圆上的有（）A、①②③④B、②③④C、②③D、③④5、（07上海中考）小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（）A．第①块 B．第②块C．第③块 D．第④块6、三角形的外接圆的圆心是（），A．三条中线的交点B．三条高的交点C．三条角平分线的交点D．三条边的垂直平分线的交点7、直角三角形的两条直角边分别为5cm和12cm，则其外接圆半径长为。

（三）巩固练习1、圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条的直线；圆是中心对称图形，对称中心为．2、三角形的外接圆的圆心——三角形的外心——三角形的交点；三角形的内切圆的圆心——三角形的内心——三角形的交点；3、三角形的外心一定在该三角形上的三角形（）（A）锐角三角形（B）钝角三角形（C）直角三角形（D）等腰三角形，第7题 （第2题） 7、如图，AB 和DE 是⊙O 的直径，弦AC ∥DE ，若弦BE=3，则弦CE=_______8、如图，OE ⊥AB 、OF ⊥CD ，如果OE=OF ，那么_______（只需写一个正确的结论）B A CEDOF（第8题） （第11题）9、已知，如图所示，点O 是∠EPF 的平分线上的一点，以O 为圆心的圆和角的两边分别交于点A 、Ｂ和C 、D 。