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1 根轨迹法校正设计如果设计指标是时域特征量，应采用时域校正方法，即将设计指标转换为对闭环主导极点位置的设计，常称为根轨迹法。
设计过程中，不必绘制根轨迹图。
根轨迹法同频率分析法一样也可以有串联超前校正、串联滞后校正和串联滞后-超前校正，因“超前”和“滞后”是频域中的概念，在根轨迹法中不使用。
基本概念： ⑴ 动态性能校正使开环增益满足设计要求。
例：)2)(5()(0++=s s s k s G ；111)(p s z s s G c ++=；222)(p s z s s G c ++=； ⑴ 动态性能校正 配置。
配置)(1s G c 的零极点应使需要的闭环极点在校正后的系统根轨迹上，同时还要满足“闭环主导极点”条件。
⑵ 增益校正 配置)(2s G c 零极点，使校正后的开环增益满足要求v c c s K s G s G s sG =→)()()(lim 0120。
说明：以根轨迹的相角条件，图解1z 和1p 的选取；图解2z 和2p 选取原系统的闭环极点位置基本不变，并使开环可以取较大的数值。
典型设计指标：开环增益K ，超调量σ，和调节时间s t 。
无论是典型设计指标还是其它形式的设计指标，都需要转换成满足指标要求的闭环主导极点位置。
设计步骤：1.1 根据动态性能指标，计算闭环主导极点1s 和2s ；1.2 按闭环主导极点条件，选取动态特性校正环节结构)(1s G c ；依据校正后系统特征多项式与期望特征多项式相等，计算出校正环节的参数；1.3 根据开环增益K ，计算增益校正环节)(2s G c 参数；为使根轨迹(起始段除外)形状基本不变，即闭环主导极点基本不变，又要有较高的开环增益，校正环节的零点和极点必须相互接近，且接近原点。
p s z s s G c --=)(2，需满足0)()()(2≈-∠--∠=∠p s z s s G i i i c 和α==∞→pz s G c s )(lim 2； 零点和极点选取方法，1.0)Re(/1<s z ，α/z p =。
基于根轨迹法的串联校正注意：1）一般了解根轨迹校正方法。
若指标为时域指标采用；方法简单，容易理解；虽然计算均为代数计算，但是太繁杂，一般不采用。
2）重点掌握频率法的串联校正。
若指标为频域指标采用。
例5 已知待校正系统的单位反馈系统的开环传递函数为0()(0.51)K G s s s =+试设计串联校正环节，使得校正后系统()c G s 1) 静态速度误差系数；150v K s -≥2) 超调量； %25%σ≤3) 调节时间。
2s t s ≤解：1) 求取主导极点位置由，得，这里取。
%e 100%20%σ=≤0.4ζ≥0.5ζ=取，由，得，这里取。
0.02∆=42s nt ζω=≤4n ω≥4n ω=则闭环主导极点1,22n s j j ζωω=-±=-±2）将系统传递函数化成零极点形式：02()(0.51)(2)K K G s s s s s ==++011(0)(2)(20)(22)30(21),0,1,2s s j j l l π-∠--∠+=-∠-+--∠-++=-≠+=±± 不满足则进行动态校正。
3） 动态校正——相当于频率法中超前校正-----------------------------------------------------以下是讨论----------------------------------------设校正装置，则此时。
111()()c cc c c s z G s k s p -=-'1112()()(2)()c c c Kk s z G s s s s p -=+-注意：校正前系统阶数为2，现在系统阶数为3。
因此，会出现两种情况：A: 校正后系统的阶数不变。
——加入的校正装置后系统的一个极点会与一个零点相互抵消。
这里令（为什么不，那就白加校正装置了）12c s z s -=+11c c s z s p -=-则，此时，阶数不变。
基于根轨迹法的串联校正注意：1）一般了解根轨迹校正方法。
若指标为时域指标采用；根轨迹校正方法简单，容易理解；虽然计算均为代数计算，但是太繁杂，一般不采用。
2）若指标为频域指标，或者可以转化为频域指标，一般尽可能采用基于频率法的串联校正。
重点掌握基于频率法的串联校正。
例5 已知待校正系统的单位反馈系统的开环传递函数为0()(0.51)KG s s s =+试设计串联校正环节()c G s ，使得校正后系统 ① 静态速度误差系数150v K s -≥； ②超调量%25%σ≤； ③调节时间2s t s ≤。
解：1) 求取闭环主导极点位置由%e 100%20%σ=≤，得0.4ζ≥，这里取0.5ζ=。
取0.02∆=，由42s nt ζω=≤，得4n ω≥，这里取4n ω=。
则闭环主导极点1,22n s j j ζωω=-±=-±2）将系统传递函数化成零极点形式：02()(0.51)(2)K KG s s s s s ==++0011(0)(2)(20)(22)12090(21),0,1,2s s j j l l π-∠--∠+=-∠-+-∠-+=--≠+=±±不满足则进行动态校正。
---以下只是讨论，实际做题时直接省掉即可------ 3） 动态校正—相当于频率法中超前校正 设校正装置111()()c cc c c s z G s k s p -=-，则此时'1112()()(2)()c c c Kk s z G s s s s p -=+-。
注意：校正前系统阶数为2，现在系统阶数为3。
因此，会出现两种情况：A: 校正后系统的阶数不变。
——加入的校正装置后系统的一个极点会与一个零点相互抵消。
这里令12c s z s -=+（为什么不11c c s z s p -=-，那就白加校正装置了） 则12c z =-，此时，'112()()c c Kk G s s s p =-阶数不变。
大学毕业设计(论文)开题报告自动化院(系) 测控技术与仪器专业12 级1202 班课题名称：基于根轨迹模型的控制系统分析与校正设计学生姓名：学号：指导教师：报告日期：2016-3-15本课题所涉及的问题及应用现状综述随着计算机仿真理论与技术的发展，目前各个科学与工程领域均已开展了仿真技术的研究。
系统仿真技术已经被公认为是一种新的实验手段，在科学与工程领域发挥着越来越重要的作用。
动态系统计算机仿真是一门以系统科学、计算机科学、系统工程理论、随机网络理论、随机过程理论、概率论、数理统计和时间序列分析等多个科学理论为基础的，以工程系统和各类社会经济系统为主要处理对象的。
以数学模型和数字模型和数字计算机为主要研究工具的新兴的边缘学科，它属于技术科学的范畴。
计算机仿真通过对计算机输出信息的分析与研究，实现对实际系统运行状态和演化规律的综合评估与预测。
它是分析评价现有系统运行状态或设计优化未来系统性能的一种技术手段，在工程设计、航空航天、交通运输、经济管理、生态环境、通信网络和计算机集成等领域中有着广泛的应用。
计算机仿真的基本内容包括系统建模、仿真算法、计算机程序设计与仿真结果显示、分析与验证等环节。
近年来，由于计算机技术的迅猛发展和应用数学研究的进展，诸如最优控制、自适应控制、预测控制、模糊控制、人工神经网络控制、鲁棒控制等的出现，使自动控制理论又有了日新月异的发展。
控制的对象和过程自动地按照预定的规律运行。
例如使导弹能够命中目标；宇宙飞船准确地登上月球，并按预定的时间与地点返回地球；机床能够自动加工出符合一定形状与精度的零件；机器人能按一定的规律进行某种操作；化学反应器在一定的压力、温度所谓自动控制，就是在没有人直接参与的情况下，通过自动控制装置使被下反应并生产出合格的产品等，都离不开自动控制理论与自动控制技术的发展。
自20世纪40年代以来自动控制应用的领域越来越广泛，除了在航天航空技术、军事装备及部门、工业生产过程中，自动控制技术起着特别重要的作用外，目前大至世界及国家政治经济管理、能源控制、医疗卫生、地区规划、交通运输，小至人的日常生活，都离不开自动控制理论及自动控制技术的应用。
西安石油大学课程设计电子工程学院自动化专业班题目根轨迹法校正的设计学生指导老师二○一四年十二月目录1. 课程设计任务书 (2)2.设计内容及思想 (2)2.1设计内容 (3)2.2设计思想 (3)3.运用MATLAB编制程序 (3)3.1绘制原系统根轨迹曲线 (3)3.2添加设计条件后未校正的系统根轨迹 (4)3.3未校正系统单位阶跃响应图像及动态性能指标 (4)3.4利用SISOTOOL设计校正 (5)3.5校正后系统的单位阶跃响应曲线 (7)4.设计运行结论 (7)5.设计总结 (7)参考文献 (8)《自动控制理论》课程设计任务书2. 设计内容及思想2.1 设计内容已知随动系统固有部分传递函数为())1)(1(++=s s s s T T K W l m objobj ，式中：K obj =500；T m =0.9s ；T l =0.007s 。
要求设计一调节器，使系统满足下述性能指标。
⑴加速度品质因数K a ≥2501/s 2。
⑵系统阶跃响应的超调量σ%≤30%；调节时间：t s ≤0.2s 。
2.2 设计思想绘出未校正系统阶跃响应曲线，利用matlab 软件对系统进行串联校正，分析系统未校正前的参数，再按题目要求对系统进行校正，计算出相关参数，跟题目相关要求对比看是否满足要求，并判断系统校正前后的差异。
3. 运用MATLAB 编制程序k=500 ；n1=1； %分子系数d1=conv(conv([1 0],[0.9 1]),[0.007 1]);W=tf(k*n1,d1); %W 的传递函数sisotool(W); %利用SISOTOOL 得到控制器参数3.1 绘制原系统根轨迹曲线根据上面编制的程序绘制原系统的根轨迹，如图3-1所示图3-1 原系统根轨迹曲线图3.2 添加设计条件后未校正的系统根轨迹t s≤0.2s，如图3-2所添加设计条件后未校正的系统根轨迹，即满足σ%≤30%；调节时间示，图3-2 添加设计条件后未校正的系统根轨迹图3.3 未校正系统单位阶跃响应图像及动态性能指标通过SISOTOOL工具绘制系统未校正系统单位阶跃响应图像，如图3-3所示，图3-3 未校正系统单位阶跃响应图由上图可知，得到校正后系统单位阶跃响应的动态性能指标均不满足题中所给条件，故需要对系统进行下一步的有效校正。
控制系统校正的根轨迹方法用根轨迹法进展校正的根底，是通过在系统开环传递函数中增加零点和极点以改变根轨迹的形状，从而使系统根轨迹在S 平面上通过希望的闭环极点。
根轨迹法校正的特征是基于闭环系统具有一对主导闭环极点，当然，零点和附加的极点会影响响应特性。
应用根轨迹进展校正，实质上是通过采用校正装置改变根轨迹的，从而将一对主导闭环极点配置到期望的位置上。
在开环传递函数中增加极点，可以使根轨迹向右方移动，从而降低系统的相对稳定性，增大系统调节时间。
等同于积分控制，相当于给系统增加了位于原点的极点，因此降低了系统的稳定性。
在开环传递函数中增加零点，可以使根轨迹向左方移动，从而提高系统的相对稳定性，减小系统调节时间。
等同于微分控制，相当于给系统前向通道中增加了零点，因此增加了系统的超调量，并且加快了瞬态响应。
根轨迹超前校正计算步骤如下。
(1)作原系统根轨迹图；(2)根据动态性能指标，确定主导极点i s 在S 平面上的正确位置；如果主导极点位于原系统根轨迹的左边，可确定采用微分校正，使原系统根轨迹左移，过主导极点。
(3)在新的主导极点上，由幅角条件计算所需补偿的相角差φ； 计算公式为：is s=︒±=(s)][G arg -180o ϕ (1)此相角差φ说明原根轨迹不过主导极点。
为了使得根轨迹能够通过该点，必须校正装置，使补偿后的系统满足幅角条件。
(4)根据相角差φ，确定微分校正装置的零极点位置； 微分校正装置的传递函数为：11++=sTp sTz KcGc (2)例题：系统开环传递函数：试设计超前校正环节，使其校正后系统的静态速度误差系数Kv ≤4.6，闭环主导极点满足阻尼比ζ=0.2，自然振荡角频率ωn=12.0rad/s ，并绘制校正前后系统的单位阶跃响应曲线、单位脉冲响应曲线和根轨迹。
解：由6.4)(*)(0*lim 0==→s Gc s G s Kv s 得kc=2计算串联超前校正环节的matlab 程序如下： 主函数: close; num=2.3;den=conv([1,0],conv([0.2,1],[0.15,1]));G=tf(num,den) %校正前系统开环传函 zata=0.2;wn=12.0; %要求参数 [num,den]=ord2(wn,zata); %追加系统动态特性 s=roots(den); s1=s(1);kc=2; %增益kc Gc=cqjz_root(G,s1,kc)GGc=G*Gc*kc %校正后系统开环传函 Gy_close=feedback(G,1) %校正前系统闭环传函 Gx_close=feedback(GGc,1) %校正后系统闭环传函 figure(1);step(Gx_close,'b',3.5); %校正后单位阶跃响应 hold onstep(Gy_close,'r',3.5); %校正前单位阶跃响应 grid;gtext('校正前的'); gtext('校正后的'); figure(2);0 2.3s(1+0.2s)(1+0.15s)G =impulse(Gx_close,'b',3.5); %校正后单位冲激响应 hold onimpulse(Gy_close,'r',3.5); %校正前单位冲激响应 grid;gtext('校正前的'); gtext('校正后的'); figure(3);rlocus(G,GGc); %根轨迹图 grid;gtext('校正前的'); gtext('校正后的');为使校正后系统的根轨迹能经过期望闭环主导极点，其闭环特征方程跟必须满足幅值和相角条件，即πθj j e e M Tp s Tz s Kcs G S Gc 111)(0)(0011=++=-，式中，M 0是校正前系统在1s 处的幅值，θ0是对应的相角。
2012 ~ 2013 学年第2 学期
《控制系统仿真与CAD 》
结课论文
课题名称：基于根轨迹的相位滞后校正
姓名：
学号：
班级：
电气工程学院
2013年6月15日
概述：控制系统的根轨迹是当开环系统的某一参数（一般为系统的开环增益）从负无穷到正无穷变化时，闭环系统特征方程的根在复平面上留下的轨迹。
根轨迹分析方法就是利用绘制出的根轨迹来分析闭环系统稳定性和其他性能指标的方法。
基于根轨迹的控制系统的设计：
当系统的性能指标以时域指标提出时，可以借助根轨迹曲线获取校正装置的结构和参数。
因为系统期望的闭环主导极点往往不在被控对象的根轨迹曲线上，所以需要添加一对零极点，来改变系统的根轨迹曲线。
若期望主导极点在原根轨迹的左侧，则采用相位超前校正；若期望主导极点在原根轨迹上，则通过调整K 值，以满足静态性能要求；若期望主导极点在原根轨迹的右侧，则采用相位之后校正。
具体步骤如下：
第一步：对被控对象（即未校正系统）进行性能分析，确定使用何种校正装置。
第二步：根据性能指标的要求，确定期望的闭环主导极点。
第三步：确定校正系统的参数Z c 和P c ，写出其传递函数c c P s Z s ++=c
c K G 。
第四步：绘制根轨迹图，确定Kc 。
第五步：对校正后的系统进行性能校验。
基于根轨迹的相位滞后校正：
1、基于根轨迹的相位滞后校正基本原理：
设未校正系统的开环传递函数为G 0(S)，校正系统的传递函数为1
1
G c ++=Ts Ts β（β>1），则校正系统的开环传递函数为G （s ）=G 0（s ）G c （s ）；设S 1为期望的闭环主导极点，因此S 1应满足系统的特征方程1+G 0（s ）G c （s ）=0；由于是滞后校正，校正装置的零极点相对于S 1来说应是一对偶极子，而且离虚轴越近越好。
因此，当S=S 1时，校正装置的零极点可以看作是一对偶极子，所以有
ββββ111
111)(11111≈++
=++=T s T s Ts Ts s G c （1-1） 记M 0=)(G 10s ，)(M 1C s G c =，则
110
0==βM M M c （1-2）
2、基于根轨迹的相位滞后校正基本原理：
第一步：由稳态指标确定未校正系统的开环增益，对未校正系统进行性能分析。
第二步：根据未校正系统的根轨迹图及期望的动态性能指标，确定期望的闭环主导极点S 1。
第三步：根据式（1-1）计算校正装置的参数β。
第四步：选取并调整校正装置的参数T ，直到系统性能满足要求。
3、基于根轨迹的相位滞后校正，完成以下系统的校正： 已知单位反馈系统的开环传递函数为)
10(100000+=s s K G ，试设计滞后校正装置，使系统满足：最大超调量%15%≤σ；调整时间s t s 6.0≤；单位斜坡响应的稳态误差01.0≤ss e 。
解：第一步：由稳态指标确定未校正系统的开环增益，对未校正系统进行性能分析。
校正后系统的开环传递函数
1
1)11.0(25011)10(2500)()(000+++=+++=Ts Ts s s K Ts Ts s s K s G s G c ββ 其单位斜坡响应的稳态误差为01.025010≤=
K e ss 解之得K 0≥0.4，取K 0=0.4，因此未校正系统的开环传递函数为)
11.0(100)(0+=s s s G 。
未矫正系统的性能分析采用SISO Design Tool 的分析方法，在MATLAB 的“Command Window ”中键入程序：n1=100；d1=conv （[1 0],[0.1 1])；g0=tf （n1，d1），可在“Workplace ”中产生一个名为“g0”的变量，然后从设计视窗“Control and Estimation Tools Manager ”的系统结构（Architecture ）模块输入传递函数g0；同时，在分析图设置（Analysis Plots ）模块中选择Plot1为闭环系统的单位阶跃响应，调整误差带为5%，打开“LTI Viewer ”可看到单位阶跃响应曲线，如图1-1所示。
从图1-1中可以得到系统的最大超调量%4.60%=σ，调整时间s t s 533.0=，不能满足性能指标要求。
图1-1未校正系统的单位阶跃响应曲线
第二步：确定期望的闭环主导极点S 1。
由21e %ξπξ
σ--=×100%=15%求取ξ，用sigma 表示%σ，用kesi 表示ξ，程
序为sigma=0.15；ts=0.3；kesi=log （1/sigma ）/((pi)^2+(log(1/sigma))^2)^(1/2), 执行结果为kesi=0.5169。
为确保达到性能指标要求，取ξ=0.55；从未校正根轨迹图上可以得到根轨迹的分离点为d=-5，取期望极点的实部为d ，则由d=-ξn ω，计算出wn=9.1，代入到公式s t =n 5
.3ξω中求得0.22s ，满足性能指标的要求，因此期望的闭环主导极点
可由以下程序求取：满足性能要求因此期望的闭环主导极点可由以下程序求取：
kesi=0.55；wn=9.1；p=[1 2*kesi*wn wn^2]，roots （p ）
执行结果为ans =
-5.0050 + 7.6000i
-5.0050 - 7.6000i
即2,1s =-5.005 + 7.6i 。
第三步：计算校正装置的参数β。
根据式（1-2），使用以下程序可求取M 0：
s1=-5.0050 + 7.6000i ；
n1=100；d1=conv （[1 0],[0.1 1])；g0=tf （n1，d1）；
ng0s1=polyval （n1，s1）；dg0s1=polyval （d1，s1）；
gs1=ng0s1/dg0s1；m0=abs （gs1）
执行结果为m0 =10.7923，即β=10.7923
第四步：校正装置参数T 的确定。
为保证校正装置的零极点相对于1s 来说是一对偶极子，取
)()40
1~201(11s R T e ⨯=，T=2~4。
在确定参数T 时，可采用实验的方法。
首先，取T=2，则校正装置的传递函数为1
s 58.2112)(++=s s G c ，将其输入到SISO Design Tool 设计视窗“Control and Estimation Tools Manager ”中的校正装置编辑器（Compensator Editor ）模块中，打开“LTI Viewer ”及实时仿真图。
在开环根轨迹图上用鼠标调整闭环极点的位置，边调整边观察“LTI Viewer ”中的单位阶跃响应曲线，发现不能满足性能指标的要求；然后增大T ，重复前面的过程，直到满足性能指标要求；最后，从设计视窗“Control and Estimation Tools Manager ”的校正装置编辑器（Compensator Editor ）模块中读取校正装置的传递函数。
本题目中被确定的校正装置的传递函数。
本题目中被确定的校正装置的传递函数为
s
s s G c 1217115.0)(++⨯=。
注意，在调整闭环极点的位置时要随时观察校正装置编辑器（Compensator Editor ）模块中的校正装置的参数，一定要保证其增益的大于1。
题目校正后系统的根轨迹图及伯德图如图1-2所示，校正后系统的单位阶跃响应曲线如图1-3所示。
图1-2 校正后系统的根轨迹图和伯德图
第五步：系统性能校验。
从图1-3中可以读出系统的性能：最大超调量 1.14%=σ，588.0=s t 。
图1-3 校正后系统的单位阶跃响应曲线。
