湖南师范大学附属中学人教版高中数学必修一3.2函数模型及其应用练习

2018-2019学年高中数学第三章函数的应用3.2 函数模型及其应用3.2.1 几类不同增长的函数模型练习新人教A版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学第三章函数的应用3.2 函数模型及其应用3.2.1 几类不同增长的函数模型练习新人教A版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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第三章 3.2 3。

2。

1 几类不同增长的函数模型1．当x增大时，下列函数中，增长速度最快的应该是( )A．y＝100x B．y＝log100xC．y＝x100D．y＝100x解析：由于指数函数的增长是爆炸式增长，则当x增大时，函数y＝100x增长速度最快．答案：D2．今有一组数据如下：t 1.993。

0 4.0 5.1 6.12v1。

54。

407.51218。

01A．v＝log2t B．v＝log错误!tC．v＝错误!D．v＝2t－2解析:将t的5个数值代入这四个函数,大体估算一下,很容易发现v＝错误!的函数比较接近表中v的5个数值．答案：C3．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是( )A．310元B．300元C．290元D．280元解析：由图象知，该一次函数过(1，800），（2,1 300)，可求得解析式y＝500x＋300（x≥0)，当x＝0时，y＝300。

答案：B4．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表:x0510********y5130505 1 130 2 005 3 130 4 5051关于解析：由于指数函数呈爆炸式增长，结合表中数据可知，y2是指数型函数．答案：y25．每年的3月12日是植树节，全国各地在这一天都会开展各种形式、各种规模的义务植树活动．某市现有树木面积10万平方米，计划今后5年内扩大树木面积，有两种方案如下:方案一:每年植树1万平方米；方案二:每年树林面积比上年增加9％.你觉得方案________较好．解析:方案一：5年后树木面积是10＋1×5＝15(万平方米)．方案二：5年后树木面积是10（1＋9％）5≈15.386（万平方米）．∵15。

一、选择题1．某厂原来月产量为a,1月份增产10%,2月份比1月份减产10%，设2月份产量为b，则()A．a＝b B．a＞bC．a＜b D．无法比较a，b的大小答案 B解析b＝a(1＋10%)(1－10%)＝0.99a＜a，∴选B.2．某自行车存车处在某一天总共存放车辆4000辆次，存车费为：电动自行车0.3元/辆，普通自行车0.2元/辆．若该天普通自行车存车x辆次，存车费总收入为y元，则y与x 的函数关系式为()A．y＝0.2x(0≤x≤4000)B．y＝0.5x(0≤x≤4000)C．y＝－0.1x＋1200(0≤x≤4000)D．y＝0.1x＋1200(0≤x≤4000)答案 C解析由题意得y＝0.3(4000－x)＋0.2x＝－0.1x＋1200.3．[2015·豫北、豫东十校高一联考]某公司生产一批产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝0.1x2－11x＋3000，若每台产品的售价为25万元，则利润取最大值时，产量x为()A．55台B．120台C．150台D．180台答案 D解析设利润为z万元，则z＝25x－y＝25x－(0.1x2－11x＋3000)＝－0.1x2＋36x－3000＝－0.1(x－180)2＋240.当x＝180时，利润z取最大值，选D.4．[2016·重庆高一检测]甲、乙两人在一次赛跑中，路程s 与时间t 的函数关系如图所示，则下列说法正确的是( )A ．甲比乙先出发B ．乙比甲跑的路程多C ．甲、乙两人速度相同D ．甲先到达终点 答案 D解析 当t ＝0时，s ＝0，∴甲、乙同时出发；甲跑完全程所用时间少于乙所用时间，故甲先到达终点．5．[2016·浙江学军中学模考]某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，1≤x ≤102x ＋10，10<x ≤100，1.5x ，x >100其中x 代表拟录用人数，y 代表面试人数．若面试人数为60，则该公司拟录用人数为( )A ．15B ．40C ．25D ．70答案 C解析 当1≤x ≤10时，y ≤40；当x >100时，y >150，因此10<x ≤100，由2x ＋10＝60，得x ＝25，故选C.二、填空题6．[2015·西工大附中高一质检]下表为国家规定个人收入所得税税率表，其中“全月应纳税所得额”是指从纳税者的月工资、薪金收入中减去3500元后的余额．2011年9月1日起调整后的7级超额累进税率全月应纳税所得额 税率 不超过1500元 3% 超过1500元至4500元 10% 超过4500元至9000元 20% 超过9000元至35000元25%超过35000元至55000元 30% 超过55000元至80000元35% 超过80000元45%答案 545解析 由题干可知，应纳税的余额为9000－3500＝5500. 所以某人应纳税：1500×3%＋3000×10%＋1000×20% ＝45＋300＋200 ＝545元．7．[2016·漳州高一检测]为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒，已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (mg)与时间t (h)成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系为y ＝⎝⎛⎭⎫116t －a(a 为常数)其图象如图．根据图中提供的信息，则从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (mg)与时间t (h)之间的解析式为________．答案 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10t (0≤t ≤0.1)⎝⎛⎭⎫116t －0.1(t >0.1)解析 (1)由题意和图示知，当0≤t ≤0.1时，可设y ＝kt (k 为待定系数)，由于点(0.1,1)在直线y ＝kt 上，所以k ＝10；同理，点(0.1,1)在函数y ＝⎝⎛⎭⎫116t －a 的图象上，可得1＝⎝⎛⎭⎫1160.1－a ⇒0.1－a ＝0⇒a ＝0.1，故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10t (0≤t ≤0.1)⎝⎛⎭⎫116t －0.1(t >0.1). 8．[2016·琼海高一检测]甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程f i (x )(i ＝1,2,3,4)关于时间x (x ≥0)的函数关系式分别为f 1(x )＝2x －1，f 2(x )＝x 2，f 3(x )＝x ，f 4(x )＝log 2(x ＋1)，有以下结论：①当x >1时，甲走在最前面； ②当x >1时，乙走在最前面；③当0<x<1时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最后面；④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲．其中，正确结论的序号为________(把正确结论的序号都填上，多填或少填均不可)．答案③④⑤解析①错误．因为f1(2)＝22－1＝3，f2(2)＝22＝4，所以f1(2)<f2(2)，所以x＝2时，乙在甲的前面．②错误．因为f1(5)＝25－1＝31，f2(5)＝52＝25，所以f1(5)>f2(5)，所以x＝5时，甲在乙的前面．③正确．当0<x<1时，f1(x)，f2(x)的图象在f3(x)图象的下方，f4(x)的图象在f3(x)图象的上方．所以丁走在最前面．当x>1时，f4(x)的图象在最下方，所以丁走在最后面．④正确．当0<x<1时，丙在甲乙前面，在丁后面，x>1时，丙在丁前面，在甲、乙后面，x＝1时，甲、乙、丙、丁并驾齐驱．⑤正确．指数函数增长速度越来越快，x充分大时，f1(x)的图象必定在f2(x)，f3(x)，f4(x)上方，所以最终走在最前面的是甲．三、解答题9．小张到小王家的途中有一游乐场，小张到游乐场的距离与小王到游乐场的距离都是2千米，小张8点出发前往小王家，下图中所示的是小张从家出发到小王家为止所经过路程y(千米)与时间x(分)的关系，那么小张在游乐场休息的时间是10分钟，求y＝f(x)的函数关系式．解当0≤x<30时，设y＝kx，把(30,2)代入，得k＝115，所以y＝115x；当30≤x≤40时，y＝2；当40<x≤60时，设y＝kx＋b，把(40,2)及(60,4)代入，得2＝40k＋b,4＝60k＋b，解得k＝110，b ＝－2，所以y ＝x10－2. 综上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧115x (0≤x <30)2(30≤x ≤40)110x －2(40<x ≤60).10．[2016·衡阳高一检测]为了保护学生的视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的．研究表明：假设课桌的高度为y cm ，椅子的高度为x cm ，则y 应是x 的一次函数，下表列出了两套符合条件的课桌椅的高度：(1)(2)现有一把高42.0 cm 的椅子和一张高78.2 cm 的课桌，它们是否配套？为什么？ 解 (1)根据题意，课桌高度y 是椅子高度x 的一次函数，故可设函数解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)．将符合条件的两套课桌椅的高度代入上述函数解析式，得⎩⎪⎨⎪⎧40k ＋b ＝75，37k ＋b ＝70.2，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1.6，b ＝11，所以y 与x 的函数解析式是y ＝1.6x ＋11. (2)把x ＝42代入(1)中所求的函数解析式中，有y ＝1.6×42＋11＝78.2. 所以给出的这套桌椅是配套的．。

..
.. 3.2 函数模型及其应用
3.2.1 几类不同增长的函数模型
3.2.2 函数模型的应用实例
第一步：审题； 第二步建模； 第三步：求模； 第四步：还原
1．某人骑自行车沿直线匀速行驶，先前进了a 千米，休息了一段时间，又沿原路返回b 千米(b <a )，再前进c 千米，则此人离起点的距离s 与时间t 的关系示意图是(
)
答案 C
1.解析 由于有“休息一段时间”，图象A 不符；
图象B 在沿原路返回时没有花费时间(体现在平行于s 轴的那一段)也不符合现实；
图象D 没有“原路返回”．因此选C.
2．在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上年增长10.4%，专家预测经过x 年可能增长到原来的y 倍，则函数y ＝f (x )的图象大致为(
) 答案 D 2.解析：设原有荒漠化土地面积为b ，经过x 年后荒漠化面积为z
∴z =b (1+10.4%)x ，故y =zb =(1+10.4%) x 是底数大于1的指数函数，故选D.
3．某种细菌在培养过程中，每15分钟分裂一次(由一个分裂成两个)，这种细菌由1个繁殖成4 096个需经过( )
A ．12小时
B ．4小时
C ．3小时
D ．2小时
答案 C
3.解析 设共分裂了x 次，则有2x ＝4 096，
∴2x ＝212，又∵每次为15分钟，∴共15×12＝180分钟，即3个小时．
4．规定的个人稿酬纳税办法是：不超过800元不纳税，超过800元不超过4 000元的按超过800元的14%。

2021年高中数学 3.2函数模型及其应用练习题新人教A版必修1 1．某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的关系式为y＝5x＋4 000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为( ) A．200副 B．400副C．600副 D．800副2．向高为H的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是( )3．已知A、B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地，把汽车离开A地的距离x表示为时间t的函数，表达式是( )4．某林区的森林蓄积量每一年比上一年平均增长10.4%，那么经过x年可增长到原来的y倍，则函数y＝f(x)的图象大致为( )5．将进价为8元的商品，按10元一个销售，每天可卖出100个，若这种商品的销售价每个上涨1元，日销售量就减少10个，为了获得最大利润，此商品的销售价应为每个________元．6．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比．药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝116t－a(a为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式是什么；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室．7．为了保护环境，实现城市绿化，某房地产公司要在拆迁地如图所示长方形ABCD 上规划出一块长方形地面建住宅小区公园(公园的一边落在CD上)，但不超过文物保护区△AEF的红线EF.问如何设计才能使公园占地面积最大？并求出最大面积(已知AB＝CD＝200 m，BC＝AD＝160 m，AE＝60 m，AF＝40 m)．8．养鱼场中鱼群的最大养殖量为m t，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量y t和实际养殖量x t与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k>0)．(1)写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；(2)求鱼群年增长量的最大值；(3)当鱼群的年增长量达到最大值时，求k的取值范围．9．(10分)某公司通过报纸和电视两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资料，销售收入R(万元)与报纸广告费用x1(万元)及电视广告费用x2(万元)之间的关系有如下经验公式：R＝－2x12－x22＋13x1＋11x2－28.(1)若提供的广告费用共为5万元，求最优广告策略．(即收益最大的策略，其中收益＝销售收入－广告费用)(2)在广告费用不限的情况下，求最优广告策略．3L 32586 7F4A 罊38753 9761 靡35796 8BD4 诔g3d/ 22401 5781 垁`,。

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3。

2。

2 函数模型的应用实例［课时作业]［A组基础巩固]1．据调查，某地铁的自行车处在某星期日的库存车量为4 000辆次,其中变速车存车费是每辆一次0。

3元，普通车存车费是每辆一次0。

2元，若普通车数x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是（）A．y＝0.1x＋800（0≤x≤4 000）B．y＝0。

1x＋1 200(0≤x≤4 000）C．y＝－0。

1x＋800(0≤x≤4 000）D．y＝－0.1x＋1 200（0≤x≤4 000)解析：根据题意总收入分为两部分：普通车存车费为0.2x元，变速车费用（4 000－x)×0.3元．∴y＝0.2x＋1 200－0。

3x＝－0.1x＋1 200，故选D.答案：D2．某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x（副）的关系式为y＝5x＋4 000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为( )A．200副B．400副C．600副D．800副解析：由5x＋4 000≤10x，解得x≥800,即日产手套至少800副时才不亏本．答案：D3。

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3。

2。

1 几种不同增长的函数模型[课时作业］［A组基础巩固］1．下列函数中随x的增大而增大，且速度最快的是( )A。

错误!e x B．y＝10ln x3C．y＝x10D．y＝10·2x解析：∵e>2，∴110e x比10·2x增大速度快，故选A.答案：A2．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增大越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用（) A．一次函数B．二次函数C．指数型函数D．对数型函数解析：一次函数、二次函数以及指数函数的增长不会越来越慢,只有对数函数的增长符合．故选D。

答案:D3．今有一组数据如下：现准备了如下四个答案,A．v＝log2t B．v＝log12tC．v＝错误!D．v＝2t－2解析:将t的值代入四个函数，找出最接近v的那个函数模型．答案:C4．某商品价格前两年递增20%，后两年递减20％，则四年后的价格与原来价格相比较，变化情况是( )A．减少7。

函数的综合应用【考点精讲】1. 复合函数y ＝()f x a 单调性的确定：当a ＞1时，y 的单调区间与f （x ）的单调区间一致；当0＜a ＜1时，f （x ）的单调增区间是y 的单调减区间；f （x ）的单调减区间是y 的单调增区间。

例如：xx y 222-=与x x y 2221-⎪⎭⎫ ⎝⎛=的单调增减区间就是不同的。

x x y 222-=的增区间是),1(+∞，减区间是)1,(-∞。

x x y 2221-⎪⎭⎫ ⎝⎛=的增区间是)1,(-∞，减区间是),1(+∞。

2. 对于y ＝()f x a 值域问题，应分以下两步求解：①由定义域求出u ＝f （x ）的值域；②利用指数函数y ＝u a 的单调性求得此函数的值域。

【典例精析】例题1 求下列函数的值域。

（1）y ＝a x （a ＞1）；（2）f （x ）＝x 2＋2x ＋2（x ＞0）；（3）f （x ）＝（a x ）2＋2a x ＋2（a ＞0，且a ≠1）。

思路导航：一个函数的解析式中若含有指数式，即这个指数式为中间变量，这类题通常的解法是用换元法作变量替换。

如y ＝4x ＋1，设4x ＝t ，则y ＝t ＋1，容易出错和忽略的是t 的范围应该是4x 的值域，而不是t ∈R ，应该是t ＞0。

此题（3）的解题关键是设a x ＝t （t ＞0），换元后变为f （t ）＝t 2＋2t ＋2，转化成求二次函数的值域。

答案：（1）y ＝a x （a ＞1）的值域为（0，＋∞）；（2）)(x f ＝x 2＋2x ＋2＝（x ＋1）2＋1，对称轴为x ＝－1。

函数在（0，＋∞）上为增函数，x ＝0时，)(x f min ＝2（此处取不到）。

∴)(x f ＝x 2＋2x ＋2（0>x ）的值域为（2，＋∞）。

（3）设a x ＝t （t ＞0），换元后变为f （t ）＝t 2＋2t ＋2＝（t ＋1）2＋1，f （t ）＞2，∴f （x ）＝（a x ）2＋2a x ＋2（1a ,0≠>且a ）的值域为（2，＋∞）。

023 测标题 §3.2函数模型及其应用(一)一．选择题1.当x 越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是 ( )A.y=100xB.y=lg 100xC.y=x 100D.y=100x2.根据函数f(x)=3x 和g(x)=2x 的图象分析可知，当x ∈R 时， （ ）A.f(x)>g(x)B.g(x)>f(x)C.f(x)≤g(x)D.g(x)≥f(x)3.某工厂12月份的产量是1月份产量的7倍，那么该工厂这一年的月平均增长率是 ( )A.711B.712C.127-1D.117-1 4. 向高为H 的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V 与水深h 的函数关系如图所示，那么水瓶的形状是 ( )5.某公司为了适应市场需求对产品结构作了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y 与时间x 的关系，可选用 （ ）A.一次函数B.二次函数C.指数型函数D.对数型函数二．填空题6.某人准备存款5000元，银行的定期存款中若存款为一年的年利率为1.98%，则五年后本金和利息共有 __________元(结果用代数式表示,.按复利计算利息)hOH V7.函数y=x2与函数y=xlnx在区间(0,+∞)上增长较快的一个是___________三．解答题8.某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品，现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于其他生产条件没变，因此每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产4件产品．(1)如果增加x台机器，每天的生产总量为y件，请你写出y与x之间的关系式；(2)增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大？最大生产总量是多少？9.某电器公司生产A型电脑，2003年这种电脑每台平均生产成本为5000元，并以纯利润20%确定出厂价，从2004年开始，公司通过更新设备和加强管理，使生产成本逐年降低，到2007年，尽管A型电脑出厂价仅是2003年出厂价的80%，但却实现了50%纯利润的高效益.(1)求2007年每台A型电脑的生产成本；(2)以2003年生产成本为基数，求2003～2007年生产成本平均每年降低的百分数（精确到0.01，以下数据可供参考：5=2.236，6=2.449）.答案：1-5；DADAD; 6.500(1+1.98%)5; 7.y=x2(x>0)8.(1) y=-4x2+64x+30720=-4(x-8)2+30976，0<x<96,x))(2)所以增加8台机器每天生产的总量最大，最大生产总量为30976件．9.解：(1)设2007年每台电脑的生产成本为x元，依据题意，x(1+50%)=5000⨯(1+20%)⨯80%,解得：x=3200(元)．(2)依题意得：5000(1-y)4=3200,解得:y1=1--255, y2=1+255(舍去)．所以y=1--255=0.11=11%.答：2007年每台电脑的生产成本为3200元，2003年到2007年生产成本平均每年降低11%.。

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作3.2 函数模型及其应用一、填空题1.某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系是y ＝3 000＋20x －0.1 x 2(0＜x ＜240，x ∈N ＋)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是________台． 解析 设利润为f (x )(万元)，则f (x )＝25x －(3 000＋20x －0.1x 2)＝0.1x 2＋5x －3 000≥0，∴x ≥150. 答案 1502．某商品的单价为5 000元，若一次性购买超过5件，但不超过10件，则每件优惠500元；若一次性购买超过10件，则每件优惠1 000元．某单位购买x 件 (x ∈N*，x≤15)，设最低的购买费用是f(x)元，则f(x)的解析式是____________．解析 f(x)＝⎩⎨⎧ 5 000x ，x ∈{1，2，3，4，5}，4 500x ，x ∈{6，7，8，9，10}，4 000x ，x ∈{11，12，13，14，15}这是一个典型的分段函数问题，由题意很容易得到结论． 答案 f(x)＝⎩⎨⎧ 5 000x ，x ∈{1，2，3，4，5}，4 500x ，x ∈{6，7，8，9，10}，4 000x ，x ∈{11，12，13，14，15}3．从盛满20升纯消毒液的容器中倒出1升，然后用水加满，再倒出1升，再用水加满．这样继续下去，则所倒次数x 和残留消毒液y 之间的函数解析式为________．解析 所倒次数1次，则y ＝19；所倒次数2次，则y ＝19×1920……所倒次数x 次，则y ＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫1920x －1＝20⎝ ⎛⎭⎪⎫1920x . 答案 y ＝20⎝ ⎛⎭⎪⎫1920x 4．一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL ，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL ，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过________小时才能开车(精确到 1小时)．解析 设至少经过x 小时才能开车．由题意得0.3(1－25%)x ≤0.09， ∴0.75x ≤0.3.x ≥log 0.750.3≈5.答案 55．为了保证信息安全，传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：明文――→加密密文――→发送密文――→解密明文已知加密为y ＝a x －2(x 为明文，y 为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是________．解析 依题意y ＝a x －2中，当x ＝3时，y ＝6，故6＝a 3－2，解得a ＝2.所以加密为y ＝2x －2，因此，当y ＝14时，由14＝2x －2，解得x ＝4.答案 46．已知某食品厂需要定期购买食品配料，该厂每天需要食品配料200 kg ，配料的价格为1.8元/kg ，每次购买配料需支付运费236元．每次购买来的配料还需支付保管费用，其标准如下：7天以内(含7天)，无论重量多少，均按10元/天支付；超出7天以外的天数，根据实际剩余配料的重量，以每天0.03元/kg 支付．当9天购买一次配料时该厂用于配料的保管费用P ＝________.解析 当9天购买一次配料时，该厂用于配料的保管费用P ＝70＋0.03×200×(1＋2)＝88(元)．答案 88元7．某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，存期是x，本利和(本金加利息)为y元，则本利和y随存期x变化的函数关系式是________．解析已知本金为a元，利率为r，则1期后本利和为y＝a＋ar＝a(1＋r)，2期后本利和为y＝a(1＋r)＋a(1＋r)r＝a(1＋r)2，3期后本利和为y＝a(1＋r)3，……x期后本利和为y＝a(1＋r)x，x∈N*.答案y＝a(1＋r)x，x∈N*8．2002年初，甲、乙两外商在济南各自兴办了一家大型独资企业.2010年初在经济指标对比时发现，这两家企业在2002年和2009年缴纳的地税均相同，其间每年缴纳的地税按各自的规律增长：企业甲年增长数相同，而企业乙年增长率相同．则2010年两企业缴纳地税的情况下列说法中正确的是________(填序号)．①甲多②乙多③甲乙一样多④不能确定解析设企业甲每年缴纳的地税组成数列{a n}，由于企业甲年增长数相同，所以数列{a n}是等差数列，则a n是关于n的一次函数．设企业乙每年缴纳的地税组成数列{b n}，由于企业乙年增长率相同，所以数列{b n}是等比数列，则b n是关于n的指数型函数．根据题意，a1＝b1，a8＝b8，如图知a＜b9，故2010年企业乙缴纳的地税多．9答案②9．将函数y2－x－2－1(x∈[0,2])图象绕原点逆时针方向旋转θ角(0≤θ≤α)，得到曲线C.若对于每一个旋转角θ，曲线C都是一个函数的图象，则α的最大值是________．解析由函数定义，若曲线对应的方程为函数解析式时，直线x＝a与该曲线若相交，则仅有一个交点，如图，当α＝π4时符合题意． 答案 π4 10．某种电热水器的水箱盛满水是200升，加热到一定温度可浴用，浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时注水，t 分钟注入2t 2升，当水箱内水量达到最小值时，放水自动停止，现假定每人洗浴用水65升，则该热水器一次至多可供________人洗浴．解析 由题意得水箱内的水量为y ＝200－34t ＋2t 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1722＋200－1722，当t ＝172时，水箱内的水量达到最小值，此时放水量为172×34＝289升，而4＜28965＜5，所以该热水器一次至多可供4个人洗浴．答案 411.某县计划十年内产值翻两番,则产值平均每年增长的百分率为____________.(lg2=0.301 0,lg11.49=1.060 2)解析 设产值平均年增长率为x,则10(1)4x +=. 两边同取以10为底的对数得10lg(1+x)=2lg2.∴lg 203010(1)010x ⨯.+==.060 2.∴00602110x .+=.又∵lg11.49=1.060 2,∴11.106020060249101010..==⋅. ∴00602101.=.149.因此1+x=1.149,x=0.149=14.9%.答案 14.9%12．某商人购货，进价已按原价a 扣去25%.他希望对货物订一新价，以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的利润，则此商人经营这种货物的件数x 与按新价让利总额y 之间的函数关系式为________．解析 设新价为b ，依题意，有b (1－20%)－a (1－25%)＝b (1－20%)·25%，化简得b ＝54a ，所以y ＝b ·20%·x ＝54a ·20%·x ，即y ＝a 4x (x ∈N *)．答案 y ＝a 4x (x ∈N *) 13．某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y (微克)与时间t (小时)之间近似满足如图所示的曲线．①则第一次服药后y 与t 之间的函数关系式y ＝f (t )＝________.②据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗有效．则服药一次后治疗有效的时间是________小时．解析 ①设y ＝⎩⎨⎧kt ， 0≤t ≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －a，t ＞1，当t ＝1时，由y ＝4得k ＝4， 由⎝ ⎛⎭⎪⎫121－a ＝4得a ＝3.则y ＝⎩⎨⎧ 4t ， 0≤t ≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3，t ＞1. ②由y ≥0.25得⎩⎨⎧ 0≤t ≤1，4t ≥0.25或⎩⎨⎧ t ＞1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3≥0.25，解得116≤t ≤5 因此服药一次后治疗有效的时间是5－116＝7916小时． 答案 ①y ＝⎩⎨⎧ 4t ，0≤t ≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3，t ＞1 ②7916二、解答题14．即将开工的上海与周边城市的城际列车铁路线将大大缓解交通的压力，加速城市之间的流通．根据测算，如果一列火车每次拖4节车厢，每天能来回16次；如果每次拖7节车厢，则每天能来回10次．每天来回次数是每次拖挂车厢个数的一次函数，每节车厢一次能载客110人，试问每次应拖挂多少节车厢才能使每天营运人数最多？并求出每天最多的营运人数．(注：营运人数指火车运送的人数)解析 设这列火车每天来回次数为t 次，每次拖挂车厢n 节，则设t ＝kn ＋b .由⎩⎨⎧ 16＝4k ＋b ，10＝7k ＋b ，解得⎩⎨⎧ k ＝－2，b ＝24.所以t ＝－2n ＋24.设每次拖挂n 节车厢每天营运人数为y 人，则y ＝tn ×110×2＝2(－220n 2＋2 640n )．当n ＝2 640440＝6时，总人数最多为15 840人． 故每次应拖挂6节车厢才能使每天的营运人数最多为15 840人．15．某销售商销售某品牌手机，该品牌手机的进价为每部1 580元，零售价为每部1 880元．为促进销售，拟采用买一部手机赠送一定数量礼物的方法，且赠送礼物的价值不超过180元．统计表明：在促销期间，礼物价值每增加15元(礼物的价值都是15元的整数倍，如礼物价值为30元，可视为两次增加15元，其余类推)，销售量都增加11%.(1)当赠送礼物的价值为30元时，销售的总利润变为原来不赠送礼物时的多少倍？(2)试问赠送礼物的价值为多少元时，商家可获得最大利润？解析 设该品牌手机在不赠送礼物的条件下销售量为m 部，(1)原来利润为(1 880－1 580)m ＝300m (元)，当赠送礼物的价值为30元时，销售的总利润为(1 880－1 580－30)m (1＋11%)2＝1.232 1×270m ，1.232 1×270m 300m＝1.108 89，即当赠送礼物的价值为30元时，销售的总利润变为原来不赠送礼物时的1.1倍．(2)当赠送礼物的价值为15x 元时，销售的总利润为f (x )元，则f (x )＝(1 880－1 580－15x )·m ·(1＋11%)x＝15m (20－x )·1.11x ，x ∈N ，且x ≤12，f (x ＋1)－f (x )＝15m (1.09－0.11x )·1.11x ，令f (x ＋1)－f (x )≥0，得x ≤91011. 因为x ∈N ，且x ≤12，所以当x ≤9时，f (x ＋1)＞f (x )；当9＜x ≤12时，f (x ＋1)＜f (x )． 故当赠送礼物的价值为150元时，可以获得最大利润．16．某地区的农产品A 第x 天(1≤x≤20)的销售价格p ＝50－|x －6|(元∕百斤)，一农户在第x 天(1≤x≤20)农产品A 的销售量q ＝40＋|x －8|(百斤)．(1)求该农户在第7天销售农产品A 的收入；(2)问这20天中该农户在哪一天的销售收入最大？解析 (1)由已知第7天的销售价格p ＝49，销售量q ＝41.∴第7天的销售收入W 7＝49×41＝2 009(元)．(2)设第x 天的销售收入为W x ， 则W x ＝⎩⎨⎧ ＋x 48－x，1≤x ≤6，2 009，x ＝7，－x 32＋x ，8≤x ≤20.当1≤x ≤6时，W x ＝(44＋x )(48－x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤＋x ＋48－x 22＝2 116， 当且仅当x ＝2时取等号．∴当x ＝2时取最大值W 2＝2 116. 当8≤x ≤20时，W x ＝(56－x )(32＋x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x ＋32＋x 22＝1 936.(当且仅当x ＝12时取等号)∴当x ＝12时取最大值W 12＝1 936.由于W 2>W 7>W 12，∴第2天该农户的销售收入最大．答：(1)第7天的销售收入为2 009元；(2)第2天该农户的销售收入最大．17． 2014年青奥会水上运动项目将在J 地举行，截止2010年底，投资集团B 在J 地共投资100万元用于地产和水上运动项目的开发，经调研，从2011年初到2014年底的四年间，B 集团预期可从三个方面获得利润：一是房地产项目，四年获得的利润的值为该项目投资额(单位：百万元)的20%；二是水上运动项目，四年获得的利润的值为该项目投资额(单位：百万元)的算术平方根；三是旅游业，四年可获得利润10百万元．(1)B 集团的投资应如何分配，才能使这四年总的预期利润最大？(2)假设2012年起，J 地政府每年都要向B 集团征收资源占用费，2012年征收2百万元后，以后每年征收的金额比上一年增加10%，若B 集团投资成功的标准是：从2011年初到2014年底，这四年总的预期利润中值(预期最大利润与最小利润的平均数)不低于投资额的18%，问B 集团投资是否成功？解析 (1)设B 集团用于水上运动项目的投资为x 百万元，四年的总利润为y 百万元．由题意，y ＝0.2(100－x )＋x ＋10＝－0.2x ＋x ＋30，x ∈[0,100]．即y ＝－0.2(x －2.5)2＋31.25，x ∈[0,10]． 所以当x ＝2.5，即x ＝6.25时，y max ＝31.25.故B 集团在水上运动项目投资6.25百万元，所获得的利润最大，为31.25百万元．(2)由(1)知，在上交资源占用费前，y max ＝31.25，y min ＝20.由题意，得从2012年到2014年，B 集团需上交J 地政府资源占用费共为 2(1＋1.11＋1.12)＝6.62(百万元)．所以B 集团这四年的预期利润中值为31.25＋202－6.62＝19.005. 由于19.005100＝19.005%＞18%，所以B 集团投资能成功． 故B 集团在J 地投资能成功．18．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的房顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值．解析 (1)设隔热层厚度为x cm ，由题设，每年能源消耗费用为C (x )＝k3x ＋5，再由C (0)＝8，得k ＝40，因此C (x )＝403x ＋5. 而建造费用为C 1(x )＝6x . 最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f (x )＝20C (x )＋C 1(x )＝20×403x ＋5＋6x ＝8003x ＋5＋6x (0≤x ≤10)． (2)f (x )＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤4003x ＋5＋x ＋－10≥2×2400－10＝70(当且仅当4003x ＋5＝3x ＋5，即x ＝5时，“＝”成立)，所以当x ＝5时，f (x )min ＝f (5)＝70.故隔热层修建5 cm 厚时，总费用达到最小值70万元．。