平方根
- 格式:docx
- 大小:16.07 KB
- 文档页数:3
平方根的运算法则平方根是数学上常见的概念,它可以帮助我们求解一些与平方相关的问题。
在运算中,平方根也遵循一些特定的法则,掌握这些法则可以更加高效地进行计算。
本文将介绍平方根的运算法则,并举例说明。
一、平方根的定义平方根是指对一个非负数 a,找出在非负数集合中的一个数 b,使得 b 的平方等于 a,表示为b = √a。
其中,a 称为被开方数,b 称为平方根。
二、平方根的运算法则平方根的运算法则主要包括以下几个方面:1. 同底数相乘的平方根等于各底数的平方根相乘即:√(a*b) = √a * √b例如:√(4*9) = √4 * √9 = 2 * 3 = 62. 同底数相除的平方根等于各底数的平方根相除即:√(a/b) = √a / √b例如:√(16/4) = √16 / √4 = 4 / 2 = 23. 求一个数的平方根后再进行平方,等于其绝对值即:(√a)^2 = |a|例如:(√9)^2 = |9| = 94. 平方根的乘方等于被乘方数即:(√a)^n = a^(1/n)例如:(√64)^3 = 64^(1/3) = 4^3 = 645. 同一数的乘方根可以转化为同一数的乘方即:√(a^n) = a^(n/2)例如:√(5^4) = 5^(4/2) = 5^2 = 25三、应用示例下面将通过示例来进一步说明平方根的运算法则。
示例1:求解√(9*16) = ?按照第一个法则,可以分别计算√9 和√16,然后再相乘:√(9*16) = √9 * √16 = 3 * 4 = 12因此,√(9*16) = 12。
示例2:求解(√144)^2 = ?根据第三个法则,先计算√144,再进行平方:(√144)^2 = |144| = 144因此,(√144)^2 = 144。
示例3:求解√(5^6) = ?根据第五个法则,可以转化为同一数的乘方:√(5^6) = 5^(6/2) = 5^3 = 125因此,√(5^6) = 125。
平方根基础知识【要点梳理】知识点一、平方根和算术平方根的概念1.算术平方根的定义如果一个正数的平方等于,即,那么这个正数叫做的算术平方根(规定0的算术平方根还是0);,读作“的算术平方根”,叫做被开方数.要点诠释:有意义时,≥0,≥0.2.平方根的定义如果,那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算,叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为是的算术平方根.知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系1.区别:(1)定义不同;(2)结果不同:2.联系:(1)平方根包含算术平方根;(2)被开方数都是非负数;(3)0的平方根和算术平方根均为0.要点诠释:(1)正数的平方根有两个,它们互为相反数,其中正的那个叫它的算术平方根;负数没有平方根.(2)正数的两个平方根互为相反数,根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此,我们可以利用算术平方根来研究平方根.知识点三、平方根的性质x a 2x a =x a a a a a a 2x a =x a a a a 0)a ≥a 0||000a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩知识点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位,它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位..【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念1、下列说法错误的是()A.5是25的算术平方根B.l 是l 的一个平方根C.的平方根是-4D.0的平方根与算术平方根都是0【答案】C ;【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项.A.因为=5,所以本说法正确;B.=±1,所以l 是l 的一个平方根说法正确;C.4,所以本说法错误;D.因为=0=0,所以本说法正确;【总结升华】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义,关键是明确运用好定义解决问题. 举一反三:【变式】判断下列各题正误,并将错误改正:(1)没有平方根.( )(2.( )(3)的平方根是.( ) ()20a a =≥250=25= 2.5=0.25=()24-9-4=±21()10-110±(4)是的算术平方根.( ) 【答案】√ ;×; √; ×,提示:(2;(4)是的算术平方根. 2、 填空:(1)是的负平方根.(2表示的算术平方根,. (3的算术平方根为. (4,则,若,则 .【思路点拨】(3就是的算术平方根=,此题求的是的算术平方根. 【答案与解析】(1)16;(2)(3) (4) 9;±3 【总结升华】要审清楚题意,不要被表面现象迷惑.注意数学语言与数学符号之间的转化.举一反三:【变式1】下列说法中正确的有( ):①3是9的平方根. ② 9的平方根是3.③4是8的正的平方根.④ 是64的负的平方根.A .1个B .2个C .3个D .4个【答案】B ;提示:①④是正确的.【变式2】求下列各式的值:(1) (225--4254=254254-=3=x =3=x =181191911;164138-(3(4【答案】(1)15;(2)15;(3)-0.3;(4) 3的取值范围是______________.【答案】≥; 【解析】+1≥0,解得≥.【总结升华】当式子有意义时,一定表示一个非负数,即≥0,≥0.举一反三:【变式】(2020春•中江县期中)若+(3x+y ﹣1)2=0,求5x+y 2的平方根. 【答案】解:∵+(3x+y ﹣1)2=0,∴, 解得,,∴5x+y 2=5×1+(﹣2)2=9,∴5x+y 2的平方根为±=±3.类型二、利用平方根解方程4、求下列各式中的x 值(1)169x 2=144(2)(x ﹣2)2﹣36=0.【思路点拨】(1)移项后,根据平方根定义求解;(2)先将(x ﹣2)看成一个整体,移项后,根据平方根定义求解.【答案与解析】655x x 1-x x 1-a a解:(1)169x 2=144,两边同时除以169,得开平方,得x=(2)(x ﹣2)2﹣36=0,移项,得 (x ﹣2)2=36开平方,得 x ﹣2=±6,解得:x=8或x=﹣4.【总结升华】本题考查了平方根,根据是一个正数的平方根有两个.类型三、平方根的应用5、要在一块长方形的土地上做田间试验,其长是宽的3倍,面积是1323平方米.求长和宽各是多少米?【答案与解析】解:设宽为,长为3,由题意得,·3=13233=1323=-21(舍去)答:长为63米,宽为21米.【总结升华】根据面积由平方根的定义求出边长,注意实际问题中边长都是正数.2144169x =x x x x 2x 21x =±x。
平方根算术平方根立方根二次根式
平方根、算术平方根、立方根和二次根式都是数学中常见的概念,它们在代数和数学分析中起着重要作用。
首先,平方根是一个数的平方根是指另一个数的平方,例如,
数x的平方根是指另一个数y,使得y的平方等于x。
一般来说,如
果一个数为正数,那么它有两个平方根,一个是正的,一个是负的。
例如,4的平方根是2和-2,因为2的平方等于4,-2的平方也等
于4。
其次,算术平方根是指一个非负数的平方根。
例如,数9的算
术平方根是3,因为3的平方等于9。
在实际应用中,算术平方根常
常用于计算几何问题和物理问题中。
接着,立方根是一个数的立方根是指另一个数的立方,例如,
数x的立方根是指另一个数y,使得y的立方等于x。
和平方根类似,如果一个数为正数,那么它有一个实数立方根,如果这个数为负数,那么它也有一个实数立方根。
最后,二次根式是指包含有平方根的代数式,例如,√2或
3√5。
二次根式在代数中经常出现,在求解方程和进行简化代数式时起着重要作用。
总的来说,平方根、算术平方根、立方根和二次根式都是数学中常见的概念,它们在代数和数学分析中有着广泛的应用,对于理解数学和解决实际问题都具有重要意义。
希望我对这些概念的解释能够帮助到你。
基础知识巩固一、平方根、算数平方根和立方根1、平方根1平方根的定义:如果一个数x 的平方等于a,那么这个数x 就叫做a 的平方根.即:如果a x =2,那么x 叫做a 的平方根.2开平方的定义:求一个数的平方根的运算,叫做开平方.开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义;3平方与开平方互为逆运算:±3的平方等于9,9的平方根是±3 4一个正数有两个平方根,即正数进行开平方运算有两个结果;一个负数没有平方根,即负数不能进行开平方运算 5符号:正数a 的正的平方根可用a 表示,a 也是a 的算术平方根;正数a 的负的平方根可用-a 表示.6a x =2 <—> a x ±=a 是x 的平方 x 的平方是a x 是a 的平方根 a 的平方根是x2、算术平方根1算术平方根的定义: 一般地,如果一个正数x 的平方等于a,即a x =2,那么这个正数x叫做a 的算术平方根.a 的算术平方根记为a ,读作“根号a”,a 叫做被开方数.规定:0的算术平方根是0.也就是,在等式a x =2 x≥0中,规定a x =;2a 的结果有两种情况:当a 是完全平方数时,a 是一个有限数;当a 不是一个完全平方数时,a 是一个无限不循环小数;3当被开方数扩大时,它的算术平方根也扩大;当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小;一般来说,被开放数扩大或缩小a 倍,算术平方根扩大或缩小a 倍,例如=5,=50;4夹值法及估计一个无理数的大小5a x =2x≥0 <—> a x =a 是x 的平方 x 的平方是ax 是a 的算术平方根 a 的算术平方根是x 6正数和零的算术平方根都只有一个,零的算术平方根是零; a a ≥00≥a==a a 2 ;注意a 的双重非负性:-a a <0 a ≥07平方根和算术平方根两者既有区别又有联系:区别在于正数的平方根有两个,而它的算术平方根只有一个;联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根,而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数; 3、立方根1立方根的定义:如果一个数x 的立方等于a ,这个数叫做a 的立方根也叫做三次方根,即如果3x a =,那么x 叫做a 的立方根2一个数a 的立方根,记作3a ,读作:“三次根号a ”,其中a 叫被开方数,3叫根指数,不能省略,若省略表示平方; 3 一个正数有一个正的立方根;0有一个立方根,是它本身; 一个负数有一个负的立方根; 任何数都有唯一的立方根;4利用开立方和立方互为逆运算关系,求一个数的立方根,就可以利用这种互逆关系,检验其正确性,求负数的立方根,可以先求出这个负数的绝对值的立方根,再取其相反数,即()330a a a -=->;5a x =3 <—> 3a x =a 是x 的立方 x 的立方是a x 是a 的立方根 a 的立方根是x633a a -=-,这说明三次根号内的负号可以移到根号外面;典型例题分析知识点一:有关概念的识别 1、下列说法中正确的是 A 、的平方根是±3 B 、1的立方根是±1 C 、=±1 D 、是5的平方根的相反数2、下列语句中,正确的是A .一个实数的平方根有两个,它们互为相反数B .负数没有立方根C .一个实数的立方根不是正数就是负数D .立方根是这个数本身的数共有三个3、下列说法中:①3±都是27的立方根,②y y =33,③64的立方根是2,④()4832±=±;其中正确的有A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 4、()20.7-的平方根是A .0.7-B .0.7±C .0.7D .0.49 5、下列各组数中,互为相反数的组是A 、-2与2)2(- B 、-2和38- C 、-21与2 D 、︱-2︱和2知识点二:计算类题型1、25的算术平方根是_______;平方根是_____. -27立方根是_______.___________, ___________,___________.2、=-2)4( ; =-33)6( ; 2)196(= . 38-= .3、① 2+32—52 ② 771-7③ |23- | + |23-|- |12- | ④ 41)2(823--+4、1327-+2)3(--31- 233364631125.041027-++---3知识点三:利用平方根和立方根解方程1、12x-12-169=0; 212142=x 3125)2(3=+x知识点四:关于有意义的题a ,有非负性,a 0a a ≥0;要使1a有意义,必须满足a ≠0. 1、若a 的算术平方根有意义,则a 的取值范围是 A 、一切数 B 、正数 C 、非负数 D 、非零数 2、要使62-x 有意义,x 应满足的条件是3、当________x 时,式子21--x x 有意义;知识点五:有关平方根的解答题1、一个正数a 的平方根是3x ―4与2―x,则a 是多少2、若5a +1和a -19是数m 的平方根,求m 的值;3、已知x 、y 都是实数,且334y x x =--,求x y 的平方根;知识点六:非负性的应用1、已知实数x,y 满足 2x -+y+12=0,则x-y 等于解答:根据题意得,x-2=0,y+1=0,解得x=2,y=-1, 所以,x-y=2--1=2+1=3.2、已知a 、b 满足0382=-++b a ,解关于x 的方程()122-=++a b x a ;3、若0)13(12=-++-y x x ,求25y x +的值;4、若a 、b 、c 满足01)5(32=-+++-c b a ,求代数式acb -的值;5、已知a 31-和︱8b -3︱互为相反数,求ab -2-27 的值;重点知识巩固考点、平方根、算术平方根、立方根 1、概念、定义1如果一个正数x 的平方等于a,即,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根;2如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a 的平方根或二次方跟;如果,那么x 叫做a 的平方根;3如果一个数的立方等于a,那么这个数就叫做a 的立方根或a 的三次方根;如果,那么x叫做a的立方根;2、运算名称1求一个正数a的平方根的运算,叫做开平方;平方与开平方互为逆运算;2求一个数的立方根的运算,叫做开立方;开立方和立方互为逆运算;3、运算符号1正数a的算术平方根,记作“a”;2aa≥0的平方根的符号表达为;3一个数a的立方根,用表示,其中a是被开方数,3是根指数;4、运算公式4、开方规律小结,a的算术平方根a;正数的平方根有两个,它们互为相反1若a≥0,则a的平方根是a数,其中正的那个叫它的算术平方根;0的平方根和算术平方根都是0;负数没有平方根;实数都有立方根,一个数的立方根有且只有一个,并且它的符号与被开方数的符号相同;正数的立方根是正数,负数的立方根是负数,0的立方根是0;2若a<0,则a没有平方根和算术平方根;若a为任意实数,则a的立方根是;3正数的两个平方根互为相反数,两个互为相反数的实数的立方根也互为相反数;。
平方根的运算平方根是数学中的一种运算,用于求解一个数(被称为被开方数)的平方根。
平方根可以用数学符号√来表示,即√被开方数。
求解平方根的操作被称为开方运算,它是数学领域中非常重要的一个概念。
在本文中,我们将深入探讨平方根的运算方法和相关概念。
一、开方运算基本概念开方运算是指对一个数进行平方根的求解操作。
在数学中,开方运算可以分为两种情况:正数的开方和负数的开方。
1. 正数的开方对于一个正数x,求解其平方根可以使用根号运算√x,结果是一个非负数。
例如,√9 = 3,表示9的平方根是3。
当被开方数是完全平方数时,其平方根是一个整数;当被开方数不是完全平方数时,其平方根是一个无理数,不能精确表示。
例如,√2是一个无理数,不能被有理数表示为分数或小数的形式。
2. 负数的开方对于一个负数x,求解其平方根需要引入虚数单位i。
虚数单位i定义为√(-1),它满足i^2 = -1。
因此,对于一个负数x,其平方根可以表示为±i乘以一个正数。
例如,√(-9) = ±3i,表示-9的平方根是±3i。
二、平方根的运算方法在进行平方根的运算时,常见的方法有以下几种:试除法、二分法和牛顿迭代法。
1. 试除法试除法是一种简单且直观的求平方根的方法。
该方法的原理是从一个猜测值开始,依次试除并逼近最终的平方根。
具体步骤如下:(1)选择一个初始猜测值,例如1。
(2)将被开方数除以猜测值,并计算商。
(3)将猜测值与商的平均值作为新的猜测值。
(4)重复步骤2和步骤3,直到猜测值的平方与被开方数的差小于所设置的误差范围。
试除法是一种较为原始的方法,计算过程中可能需要多次迭代才能得到较为准确的结果。
2. 二分法二分法是一种逐步逼近的方法,它通过不断缩小平方根的取值范围来逼近最终的结果。
具体步骤如下:(1)确定被开方数的上下界,例如0和被开方数本身。
(2)计算上下界的中间值。
(3)判断中间值的平方与被开方数的大小关系,如果刚好等于,则中间值即为所求的平方根;如果大于被开方数,则新的上界变为中间值;如果小于被开方数,则新的下界变为中间值。
求平方根的算法公式平方根这玩意儿,在数学里可是个挺重要的角色。
咱们先来说说啥是平方根。
比如说,4 的平方根是啥?咱知道 2×2 = 4,还有 -2× -2 也等于 4,所以 4 的平方根就是 ±2 。
那怎么求一个数的平方根呢?这就得靠算法公式啦!求平方根的算法公式,常见的有牛顿迭代法。
这名字听着挺高大上,其实原理没那么复杂。
咱来一步步拆解。
假设咱要求一个数 a 的平方根,先随便猜一个数 x₀作为初始值。
然后按照下面这个公式来不断更新 x 的值:x₁ = (x₀ + a / x₀) / 2 。
一直重复这个过程,x 的值就会越来越接近 a 的平方根。
就像我之前教过的一个学生,叫小李。
这孩子一开始对这个公式那是一头雾水。
我就跟他说:“小李啊,你就把这当成是一个解谜的游戏,咱们要一步步找到那个正确的答案。
”小李瞪着大眼睛,一脸迷茫。
我就拿 9 这个数给他举例。
咱先猜x₀ = 3 ,然后按照公式算:x₁ = (3 + 9 / 3) / 2 = 3 。
哟呵,一次就猜对啦,不过这是运气好。
那再试试 10 。
咱还是先猜 x₀ = 3 ,x₁ = (3 + 10 / 3) / 2 ≈ 3.1667 。
再算一次 x₂ = (3.1667 + 10 / 3.1667) / 2 ≈ 3.1623 。
就这样一直算下去,就能越来越接近 10 的平方根啦。
小李跟着我一步一步算,慢慢地好像有点开窍了。
后来他自己做题的时候,一开始还是会出错,不是计算粗心,就是公式用错。
但这孩子有股子倔劲儿,不停地练习。
经过一段时间,小李已经能熟练运用这个公式求平方根了。
有一次课堂小测验,有道求平方根的难题,好多同学都没做出来,小李不仅做出来了,答案还全对!所以说啊,这个求平方根的算法公式,只要多练习,多琢磨,就没那么难。
就像咱们做其他事情一样,一开始可能觉得困难重重,但只要坚持下去,总能找到解决的办法。
在数学的世界里,平方根的算法公式就像是一把神奇的钥匙,能帮我们打开很多难题的大门。
平方根与算术平方根1.平方根:如果一个数x 的平方等于a ,即x 2=a ,那么这个x 就叫a 的平方根,表示为±a ,也叫二次方根,3和-3的平方都等于9,由定义可知3和-3都是9的平方根,即9的平方根有两个3和-3,即±=9±3.2.算数平方根: 若一个正数x 的平方等于a ,即x 2=a ,则这个正数x 就叫做a 的算术平方根.记为“a ”读作“根号a ”.这就是算术平方根的定义.特别地规定0的算术平方根是0,即0=0. 9的算术平方根只有一个是3.即39=.3.平方根的性质:一个正数有两个平方根,且它们互为相反数;0有一个平方根是0,负数没有平方根.4.算数平方根的性质:非负数(正数和0)才有算术平方根,负数没有算术平方根. 即用式子表示为a (a ≥0)一定为非负数4.平方根与算术平方根的区别与联系1、联系:(1)具有包含关系:平方根包含算术平方根,算术平方根是平方根的一种.(2)存在条件相同:平方根和算术平方根都是只有非负数才有.(3)0的平方根,算术平方根都是0.2、区别:(1)定义不同:“如果一个数的平方等于a ,这个数就叫做a 的平方根”;“非负数a 的非负平方根叫a 的算术平方根”.(2)个数不同:一个正数有两个平方根,而一个正数的算术平方根只有一个.(3)表示法不同:正数a 的平方根表示为±a ,正数a 的算术平方根表示为a .(4)取值范围不同:正数的平方根一正一负,互为相反数;正数的算术平方根只有一个。
练 习1.9的平方根是( )A .3B .-3C .±3D .32.下列说法中正确的是( )A .任何数都有平方根B .一个正数的平方根的平方就是它的本身C .只有正数才有算术平方根D .不是正数没有平方根3.下列各式正确的是( )A .1691=45B .414=221 C .25.0=0.05 D .-49-=-(-7)=7 4.下列说法正确的是( )A.5是25的算术平方根B.±4是16的算术平方根C.-6是(-6)2的算术平方根D.0.01是0.1的算术平方根5.下列各式无意义的是( )A .-5B .25-C .51- D .2)5(- 6.3-2的算术平方根是( ) A .61 B .31C .3D .6 7.(-23)2的平方根是( ) A .±8 B .8 C .-8D .不存在 8.使x -有意义的x 的值是( )A .正数B .负数C .0D .非正数9.一个自然数的算术平方根是n ,那么大于这个自然数且与它相邻的自然数是( )A.n +1B.n 2+1C.12+n D.n +110.若x 2=2,则x 的准确值是多少? 如何表示?请填写下列各空:(1)∵42=16,∴16的算术平方根是 ,用符号表示出来为 ; (2)∵94)32(2=,∴94的算术平方根是 ;用符号表示出来为 ; (3)∵( )2=6,∴6的算术平方根是 .11.若一个数的算术平方根是5,则这个数是_________.12.8116的平方根是____________,(21-)2的算术平方根是____________. 13.y =x x -+-33+2,则x =__________,y =__________.14.一个数的算术平方根是它本身,这个数是______________.15.252-242的平方根是__________,0.04的负的平方根是____________.16.若2-a +|b -3|=0,则a +b -5=____________.17.若4x 2=9,则x =____________.18.81的算术平方根为_________.16的平方根是____________19. (-π)2的算术平方根为_____.20.求下列各数的算术平方根,并用符号表示出来:(1)(7.1)2; (2)(-3.5)2; (4)241.21、求各式的值-01.0 2)5(- 610-22、计算32÷(-3)2+|-61|×(-6)+49.23、求下列各式中x 的值.(1) 25x 2-36=0; (2) (x +1)2-81=0;24、12-x +(y +2)2=0,求x -3+y 3的值.25、 |2a -5|与2+b 互为相反数,求ab 的值.26、已知x ,y 满足x x y 211121-+-=+3,求x y27、请你在数轴上画出表示5的点,并简要说出你的画法.。
平方根的小结平方根是数学中常见的概念之一,它是指一个数的平方的根。
平方根的概念在实际生活中也有广泛的应用,比如在建筑、物理、工程等领域中。
在数学中,平方根可以分为正数平方根和负数平方根。
其中,正数平方根是指一个正数的平方的根,负数平方根则是指一个负数的平方的根。
正数平方根用符号√表示,负数平方根则用符号i表示。
例如,√4=2,而√-4=2i。
计算平方根的方法有很多种,其中最常见的方法是通过开方来求解。
即对于一个数x,它的平方根可以表示为√x,通过求这个数的开方,可以得到它的平方根。
例如,√9=3,√16=4。
除了开方的方法外,还有一种常用的方法是使用二分法来近似计算平方根。
二分法的基本思想是通过逐步缩小候选值的范围,逼近目标值。
具体来说,通过二分法可以将一个数的平方根逐步逼近到任意精确度。
平方根在实际生活中有很多应用。
比如在建筑领域,计算房屋的面积和体积时,需要计算房间的长、宽和高的平方根。
在物理领域,计算物体的速度、加速度和力等也需要用到平方根。
在工程领域,设计机器和设备时也需要计算平方根来确定各个部分的尺寸。
除了上述应用外,平方根还有一些重要的性质和特点。
其中,最重要的性质是平方根的无理性。
即对于大部分正整数来说,它们的平方根是一个无理数,不能被有限的小数或分数表示。
例如,√2、√3等都是无理数。
这个性质对于数学的发展有重要的影响,推动了无理数的研究和发展。
此外,平方根还有一些特殊的性质,如平方根的乘法法则和平方根的加减法法则。
平方根的乘法法则指的是两个数的平方根相乘等于这两个数的平方根的乘积。
例如,√2 × √3 = √6。
平方根的加减法法则指的是两个数的平方根相加或相减等于这两个数的平方根的和或差。
例如,√2 + √3 = √2 + √3。
总结起来,平方根是一个重要的数学概念,具有广泛的应用。
计算平方根的方法有多种,包括开方和二分法等。
平方根在实际生活中有很多应用,特别是在建筑、物理和工程领域。