7年级下册-第4讲 根式

七年级下数学根号知识点数学中，根号是常见的符号之一。

它的使用非常广泛，包括平方根、立方根、三次方根等等。

在初中数学中，同学们要学会如何使用根号，掌握根号的基本概念和计算方法。

本文将为大家详细介绍七年级下数学根号知识点。

一、根号的定义在初中数学中，根号通常表示“平方根”。

一个数的平方根就是另一个数的平方。

例如，数值为9的平方根是3，因为3×3=9。

数值为25的平方根是5，因为5×5=25。

数值为x的平方根可以用符号√x表示。

二、根号的基本性质根号有许多基本性质。

以下是几个常见的根号的性质：1.对于任何非负实数x和y，有√（xy）=√x × √y。

2.对于任何非负实数x和y，有√（x/y）=√x / √y。

3.对于任何非负实数x和y，有√x ± √y ≠ √（x±y）。

4.对于任何非负实数x，有√x²=x。

这些基本性质可以帮助同学们更好地理解根号运算的规律。

三、根号的计算方法1.整数的平方根对于整数的平方根，如果是完全平方数，则很容易求得它的平方根。

例如，数值为16的平方根是4，因为4×4=16。

如果一个数不是完全平方数，则需使用纵横相乘法求取它的近似值。

例如，如果要求数值为17的平方根，可以使用如下方法：- 以一个合适的整数P为基准值，如P = 4；- 将17与P的平方做差，得到3；- 求出（4+17÷4）÷2=4.25；- 将4.25的平方做差，得到0.0625；- 重复步骤3和4，得到更精确的根号近似值。

2.分式的根号对于类似√（a/b）这样的分式，可以采用以下方法化简：- 化简分子和分母；- 将原来存在于分式内的根号分别移到分母和分子；- 继续用已知的根号性质来化简。

例如，化简√（8/50）可以按照以下步骤进行：- 8的质因数分解为2×2×2，50的质因数分解为2×5×5；- 将2的因子分别移到分母和分子，得到√（2/25）；- 将根号移至分母，得到2/√25=2/5。

七年级根式知识点在初中数学学习中，根式是一个重要的知识点。

七年级学生在学习根式时，需要掌握以下几个方面的内容：一、根式概念与含义根式就是指某数的根号表达式。

其中，被根号包围的数叫做被开方数，根号下的数字叫做指数。

如√16，其中16就是被开方数，2就是指数。

其中，根号下的数字必须是非负实数。

二、根式的化简1.相同底数的根式相加减√a + √a = 2√a√a - √a = 02.不同底数的根式运算a√b + c√d = √(ab) + √(cd)a√b - c√d = √(ab) - √(cd)(a+b)√c = a√c + b√c(a-b)√c = a√c - b√c3.奇数次根式的化简⎷(a × a × a) = a√a4.有理数与根式的运算有理数与根式相加减时，先将根式同底化，然后进行运算。

例如：4 + 2√3 - √3 = 4 + √35.分数的根式化分数的根式化主要是将分母中的根式化为整数，需要注意的是，不能改变原有的分数意义。

例如：7/√3 = 7√3/3三、根式的实际应用1.距离的计算在直角三角形中，勾股定理就是一个根式应用的典型例子，其中计算出的边长即为根式。

例如：在一个直角三角形中，已知一直角边长为6，另一直角边长为8，求斜边长。

按照勾股定理，可得：√(6²+8²) = √100 = 10所以，该直角三角形的斜边长为10。

2.面积的计算通过面积的计算，同样可以理解根式在实际应用中的作用。

例如：已知一个正方形的边长为6，求其面积。

按照正方形面积的公式，可得：边长×边长 = 6×6 = 36所以，该正方形的面积为36。

以上就是七年级学生需要掌握的根式知识点。

只有在理解根式的概念与含义的基础上，才能顺利掌握根式的化简方法，并且将根式应用到实际问题中去。

希望学生们能够在掌握根式知识点的同时，也能够善于思考，发挥自己的数学能力，解决各种问题。

七年级下册数学根号知识点数学是一个用逻辑思维和推理的学科，其中根号是一种经常出现的数学符号，表示平方根。

在七年级下册的数学学习中，根号知识点具有重要的地位。

下面我们就来一起了解一下七年级下册数学根号知识点。

一、根号的概念根号是一个数学符号，用√表示，表示一个数的平方根。

根号有三个要素：被开方数、根指数、根号符号。

举个例子，√4=2，表示数4的平方根是2。

这里，4是被开方数，2是根号下面的数，代表开根号的指数是2。

二、根号的运算法则1. 基本运算法则：根号相乘等于根号内的数相乘，根号相加或者相减是不能直接计算的。

√a * √b = √(a * b)2. 约分运算法则：对于含有不完全平方数的根式，可以先将其中完全平方数的部分提取出来，等到所有指数都为偶数时再约分。

例如，√20=√(2 * 10)=2√5。

3. 有理化运算法则：含有分数的根式，可以通过有理化来进行简化。

例如，1/√2可以有理化得到√2/2。

三、根式的化简和计算1. 化简根号中的分式：将分式中的分子与分母都乘上同一个数，使得分母化为无理数，便可以将分母中的根式提出来，从而化简。

例如，(1+√2)/(1-√2)=(1+√2)^2/(1-√2)(1+√2)^2/(-1)=(3+2√2)/(-1)=-(2√2-3)。

2. 拆分根号：将根号当做因式，将其中的分式或不完全平方数拆分，可以提取出能够化简的部分。

例如，√24=√(2*2*2*3)=2√6。

四、应用举例1. 如何求根号的值？求一个数字的根号值需要用到口诀“以质乘积分解因数，成对写出每组因数，平方根外边成两因数，根号内写所剩无因数。

”例如，求√720的值，先将720分解因数，得到2*2*2*3*3*5=2^3*3^2*5，将这些因数分成一组一组，每一组互相成对，不多不少，于是可以得到2*2*3=12，根号内剩下5，因此得到答案为12√5。

2. 如何使用根号进行勾股定理？勾股定理是三角形中一种简单的定理，可以用来求解直角三角形中的各个边的长度。

根式是数学中的一种表示形式，表示一个数的平方根、立方根或更高次方根。

在七年级数学中，根式是一个重要的知识点。

本文将详细介绍七年级数学中根式的相关知识点，包括根式的定义、性质、化简和运算法则。

1.根式的定义根式是数学中一种特殊的表达方式，用来表示一个数的平方根、立方根以及更高次方根。

根式的基本形式为√a，表示一个数的平方根；∛a，表示一个数的立方根；n√a，表示一个数的n次方根。

2.根式的性质(1)非负数的平方根是非负数，即√a≥0；(2)0的平方根是0，即√0=0；(3)如果a≥b≥0，那么√a≥√b；(4)如果a≥b≥0，那么a^n≥b^n（n>1）；(5)如果a≥0，则a^n≥0（n为正整数）。

3.化简根式化简根式是指将根式中的根号前面的系数分解成完全平方数的形式。

例如：√12=√(4×3)=2√3化简根式的方法有两种：(1)分解法：将根号前面的数分解成质因数的乘积，然后将相同的因数提取出来；(2)合并法：将相同根号中的数相乘或相除，合并成一个根号。

4.根式的运算法则(1)加减法：根式相加减时，只有根号内的数相同且根号外的系数相同，才能进行加减运算，并保持根式不变。

例：√2+√2=2√2；(2)乘法：根式相乘时，将根号外的系数相乘，根号内的数相乘，并将结果写在一个根号下。

例：2√3×3√2=6√6；(3)除法：根式相除时，将根号外的系数相除，根号内的数相除，并将结果写在一个根号下。

例：4√15÷2√3=2√55.降幂法降幂法是指求一个数的n次方根时，将指数的次数逐渐降低，直至满足要求。

降幂法的实现步骤：(1)确定一个正数a和一个正整数n，其中a为待求的数；(2)设x是所求的数，满足x^n=a；(3)从指数的次数n开始，较大次数的指数逐渐降低，求得满足要求的数x。

例如，求9的四次方根：(1)令x为所求的数，满足x^4=9；(2)观察9的因数，发现9=3×3=3^2；(3)所以，x^4=(3^2)^2=3^4；(4)比较指数的次数，得到x=3。

第4讲 二次根式的加减乘除运算以及混合运算.考查形知识梳理 一、二次根式 1．概念形如________的式子叫做二次根式． 2．二次根式有意义的条件要使二次根式a 有意义，则a ≥0. 二、二次根式的性质 1．(a )2＝a (______)．2．a 2＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧(a ≥0)， (a <0).3．ab ＝______(a ≥0，b ≥0)．4．a b＝______(a ≥0，b ＞0)．三、最简二次根式、同类二次根式 1．概念我们把满足被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的______或______的二次根式，叫做最简二次根式．2．同类二次根式的概念几个二次根式化成________________以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式．四、二次根式的运算 1．二次根式的加减法合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式．2．二次根式的乘除法(1)二次根式的乘法：a ·b ＝____(a ≥0，b ≥0)．(2)二次根式的除法：ab＝____(a ≥0，b ＞0)．自主测试1．使3x －1有意义的x 的取值范围是( )A ．x ＞13B ．x ＞－13C ．x ≥13D ．x ≥－132．已知y ＝2x －5＋5－2x －3，则2xy 的值为( )A ．－15B ．15C ．－152D ．1523．下列二次根式中，与3是同类二次根式的是( )A ．18B ．27C ．23D ．324．下列运算正确的是( )A ．25＝±5B ．43－27＝1C ．18÷2＝9D ．24·32＝65．估计11的值( )A ．在2到3之间B ．在3到4之间C ．在4到5之间D ．在5到6之间6．化简：27－12＋43.考点一、二次根式有意义的条件【例1】若使x ＋12－x有意义，则x 的取值范围是________．解析：x ＋1与2－x 都是二次根式的被开方数，都要大于等于零．又因2－x 不能为零，可得不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2－x >0，解得－1≤x ＜2.答案：－1≤x ＜2方法总结 利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围时，首先考虑被开方数为非负数，其次还要考虑其他限制条件，如分母不等于零，最后解不等式(组)．触类旁通1 要使式子a ＋2a有意义，则a 的取值范围为__________．考点二、二次根式的性质【例2】把二次根式a －1a化简后，结果正确的是( )A ．－aB ．－－aC ．－aD ．a解析：要使a －1a 有意义，必须－1a＞0，即a ＜0.所以a －1a ＝a －a a 2＝a －a－a＝－－a .答案：B方法总结 如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内对根式进行化简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简．触类旁通2 如果(2a －1)2＝1－2a ，则( )A ．a ＜12B ．a ≤12C ．a ＞12D ．a ≥12考点三、最简二次根式与同类二次根式【例3】(1)下列二次根式中，最简二次根式是( )A ．2x 2B ．b 2＋1C ．4aD ．1x(2)在下列二次根式中，与a 是同类二次根式的是( ) A ．2a B ．3a 2 C ．a 3 D ．a 4解析：(1)A 选项中的被开方数中含开得尽方的因式，C 选项中的被开方数中含开得尽方的因数，D 选项中的被开方数中含有分母，故B 选项正确；(2)将各选项中能化简的二次根式分别化简后，可得出3a 2＝3|a |，a 3＝a a ，a 4＝a 2，结合同类二次根式的概念，可得出a 3与a 是同类二次根式．答案：(1)B (2)C方法总结 1．最简二次根式的判断方法： 最简二次根式必须同时满足如下条件：(1)被开方数的因数是整数，因式是整式(分母中不应含有根号)；(2)被开方数中不含开方开得尽的因数或因式，即被开方数的因数或因式的指数都为1. 2．判断同类二次根式的步骤：先把所有的二次根式化成最简二次根式；再根据被开方数是否相同来加以判断．要注意同类二次根式与根号外的因式无关．触类旁通3 若最简二次根式a ＋b3a 与a ＋2b 是同类二次根式，则ab ＝__________. 考点四、二次根式的运算【例4】计算：(50－8)÷ 2.解：原式＝(52－22)÷2＝32÷2＝3.方法总结 1．二次根式加减法运算的步骤：(1)将每个二次根式化成最简二次根式；(2)找出其中的同类二次根式；(3)合并同类二次根式．2．二次根式乘除法运算的步骤：先利用法则将被开方数化为积(或商)的二次根式，再化简；最后结果要化为最简二次根式或整式或分式．1．(2012湖南株洲)要使二次根式2x －4有意义，那么x 的取值范围是( ) A ．x ＞2 B ．x ＜2 C ．x ≥2 D ．x ≤22．(2012浙江义乌)一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在( ) A ．2与3之间 B ．3与4之间 C ．4与5之间 D ．5与6之间3．(2012浙江杭州)已知m ＝⎝⎛⎭⎫－33×(－221)，则有( )A ．5＜m ＜6B ．4＜m ＜5C ．－5＜m ＜－4D ．－6＜m ＜－54．(2012广东)若x ，y 为实数，且满足|x －3|＋y ＋3＝0，则⎝⎛⎭⎫x y 2 012的值是__________． 5．(2012四川德阳)有下列计算：①(m 2)3＝m 6，②4a 2－4a ＋1＝2a －1，③m 6÷m 2＝m 3，④27×50÷6＝15，⑤212－23＋348＝143，其中正确的运算有__________．(填序号)1．下列各式计算正确的是( )A ．2＋3＝ 5B ．2＋2＝2 2C ．32－2＝2 2D ．12－102＝6－ 52．估计8×12＋3的运算结果在( )A ．1到2之间B ．2到3之间C ．3到4之间D ．4到5之间3．若a ＜1，化简(a －1)2－1等于( ) A ．a －2 B ．2－a C ．a D ．－a4．已知实数a 满足|2 011－a |＋a －2 012＝a ，则a －2 0112的值是( )A ．2 011B ．2 010C ．2 012D ．2 0095．计算212－613＋8的结果是( )A ．32－2 3B ．5－ 2C ．5－ 3D ．2 26．若x ＋1＋(y －2 012)2＝0，则x y ＝__________.7．当－1＜x ＜3时，化简：(x －3)2＋x 2＋2x ＋1＝__________.8．如果代数式4x －3有意义，则x 的取值范围是________．9．计算：(－3)0＋12×3＝__________.10．计算：⎝⎛⎭⎫13－1－23－(π－2)0＋|－1|.11．计算：(3＋2)(3－2)－|1－2|.12．计算：(－3)0－27＋|1－2|＋13＋2.参考答案导学必备知识 自主测试1．C 由题意得3x －1≥0，所以x ≥13.2．A 由题意得2x －5≥0且5－2x ≥0，解得x ＝52，此时y ＝－3，所以2xy ＝2×52×(－3)＝－15.3．B 18＝32，27＝33，23＝63，32＝62.4．D 25＝5,43－27＝43－33＝3，18÷2＝9＝3，24·32＝24×32＝36＝6.5．B 因为3＝9，4＝16，9＜11＜16，所以11在3到4之间．6．解：原式＝33－23＋233＝⎝⎛⎭⎫3－2＋233＝533. 探究考点方法触类旁通1．a ≥－2且a ≠0 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2≥0，a ≠0，解得a ≥－2且a ≠0.触类旁通2．B 因为二次根式具有非负性，所以1－2a ≥0，解得a ≤12，故选B.触类旁通3．1 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝2，3a ＝a ＋2b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1.∴ab ＝1.品鉴经典考题1．C 因为二次根式有意义，则2x －4≥0，所以x ≥2.2．B 因为面积是15，则边长为15，则边长大小在3与4之间．3．A m ＝⎝⎛⎭⎫－33×(－221)＝233×21＝23×37＝27＝28，∵25＜28＜36，∴5＜28＜6，即5＜m ＜6，故选A.4．1 由题意得x －3＝0，y ＋3＝0，则x ＝3，y ＝－3，所以⎝⎛⎭⎫x y 2 012＝(－1)2 012＝1. 5．①④⑤ ②4a 2－4a ＋1＝(2a －1)2＝|2a －1|，③m 6÷m 2＝m 6－2＝m 4，这两个运算是错误的．研习预测试题 1．C A 项中2与3不是同类二次根式，B 项中2与2不是同类二次根式，C 项中32－2＝(3－1)2＝22，D 项中原式＝124－104＝3－52＝3－102.2．C 原式＝2＋3，1＜3＜2，所以3＜2＋3＜4. 3．D (a －1)2－1＝|a －1|－1＝1－a －1＝－a .4．C 由算术平方根的意义知，a ≥2 012，则2 011－a ＜0， ∴a －2 011＋a －2 012＝a .∴a －2 012＝2 011. ∴a －2 012＝2 0112， ∴a －2 0112＝2 012.5．A 原式＝2×22－6×33＋22＝2－23＋22＝32－2 3.6．1 因为由题意得x ＋1＝0，y －2 012＝0，所以x ＝－1，y ＝2 012，所以x y ＝(－1)2 012＝1.7．4 原式＝(x －3)2＋(x ＋1)2＝|x －3|＋|x ＋1|＝3－x ＋x ＋1＝4. 8．x ＞39．解：原式＝1＋23×3＝1＋6＝7. 10．解：原式＝3－23－1＋1＝－ 3.11．解：原式＝(3)2－(2)2－(2－1)＝3－2－2＋1＝2－ 2. 12．解：原式＝1－33＋2－1＋3－2＝－2 3.。