2015-2016学年高中数学1.1.1任意角练习手册新人教A版必修4

互动课堂疏导引导1.角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图1-1-1.图1-1-12.角的概念的推广按逆时针方向旋转形成的角叫做正角,按顺时针方向旋转形成的角叫做负角.如果一条射线没有作任何旋转,我们称它形成一个零角.如图1-1-2中的角是一个正角,等于750°,图1-1-3中,正角α=210°,负角β=-150°,γ=-660°.图1-1-2 图1-1-33.在直角坐标系内讨论角象限角:当角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴正半轴重合,如果角的终边在第几象限,就把这个角叫做第几象限角.4.终边相同的角所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示为角α与整数个周角的和.5.几个重要的角的集合(1)象限角的集合第一象限角的集合为{α|k·360°＜α＜90°+k·360°,k∈Z}={α|α=β+k·360°,0°＜β＜90°,k∈Z}.第二象限角的集合为{α|k·360°+90°＜α＜180°+k·360°,k∈Z}={α|α=β+k·360°,90°＜β＜180°,k∈Z}.第三象限角的集合为{α|180°+k·360°＜α＜270°+k·360°,k∈Z}={α|α=β+k·360°,180°＜β＜270°,k∈Z}.第四象限角的集合为{α|270°+k·360°＜α＜360°+k·360°,k∈Z}={α|α=β+k·360°,270°＜β＜360°,k∈Z}.(2)几种特殊角的集合终边落在x轴正半轴上的角的集合为{α|α=k·360°,k∈Z}.终边落在x轴负半轴上的角的集合为{α|α=k·360°+180°,k∈Z}.终边落在x轴上的角的集合为{α|α=k·180°,k∈Z}.终边落在y轴正半轴上的角的集合为{α|α=k·360°+90°,k∈Z}.终边落在y轴负半轴上的角的集合为{α|α=k·360°+270°,k∈Z}.终边落在y轴上的角的集合为{α|α=k·180°+90°,k∈Z}.终边落在坐标轴上的角的集合为{α|α=k·90°,k∈Z}.终边落在y=x上的角的集合为{α|α=k·180°+45°,k∈Z}.终边落在y=-x 上的角的集合为{α|α=k·180°+135°,k ∈Z }.终边落在y=±x 上的角的集合为{α|α=k·90°+45°,k ∈Z }.活学巧用1.下列各命题正确的是( )A.终边相同的角一定相等B.第一象限角都是锐角C.锐角都是第一象限角D.小于90°的角都是锐角解析：可根据各种角的定义,利用排除法予以解答.对于A,-60°和300°是终边相同的角,它们并不相等,应排除A.对于B,390°是第一象限角,可它不是锐角,应排除B.对于D,-60°是小于90°的角,但它不是锐角,∴应排除D.综上,应选C.答案：C2.(1)已知-990°＜α＜-630°,且α与120°角的终边相同,则α=___________.(2)在-720°到720°之间与-1 050°角终边相同的角是__________.解析：(1)∵α与120°角终边相同,故有α=k·360°+120°,k ∈Z .又∵-990°＜α＜-630°,∴-990°＜k·360°+120°＜-630°,即-1 110°＜k·360°＜-750°.当k=-3时,α=(-3)·360°+120°=-960°.(2)与1 050°角终边相同的所有的角可表示为α=k·360°+(-1 050°),k ∈Z ,依题意得-720°＜k·360°-1 050°＜720°, 解得1211＜k ＜41211,∴k=1,2,3,4. 所求的角为1×360°-1 050°=-690°,2×360°-1 050°=-330°,3×360°-1 050°=30°,4×360°-1 050°=390°.答案：(1)-960° (2)-690°,-330°,30°,390°3.已知α是第一象限角,试确定2α是第几象限角. 解析：∵α是第一象限角, ∴2kπ＜α＜2kπ+2π(k ∈Z ),则kπ＜2α＜kπ+4π(k ∈Z ). 当k=2n 时,2nπ＜2α＜2nπ+4π, ∴2α为第一象限角. 当k=2n+1时,2nπ+π＜2α＜2nπ+45π, ∴2α为第三象限角. ∴2α为第一或第三象限角. 答案：第一象限或第三象限角.点评：已知α是第m 象限角(m=1,2,3,4),求na 角所在象限的问题,用“等分象限法”处理较好，先将各象限分成几等份，然后从x 轴正方向上方第一个区域开始，按逆时针方向依次标上1,2，3,4，1,2，3,4，…，周而复始，直至填完所有区域，出现数字m 的区域即为所求，例如：设α1、α2、α3、α4分别是第一、二、三、四象限角,则21α、22α、23α、24α分布如图1-1-4.图1-1-4。

第一章三角函数§1.1任意角和弧度制1.1.1任意角自主学习知识梳理1．角的概念(1)角的概念：角可以看成平面内________________绕着________从一个位置________到另一个位置所成的图形．(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：类型定义图示正角按______________________形成的角负角按________________形成的角零角一条射线________________，称它形成了一个零角2.象限角角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是______________．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝____________}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与____________的和．4．终边落在坐标轴上角的集合终边所在的位置角的集合x轴正半轴x轴负半轴x轴y轴正半轴y轴负半轴y轴自主探究终边落在各个象限的角的集合.α终边所在的象限角α的集合第一象限第二象限第三象限第四象限对点讲练知识点一终边相同的角与象限角例1在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.回顾归纳 解答本题可先利用终边相同的角的关系：β＝α＋k ·360°，k ∈Z ，把所给的角化归到0°～360°范围内，然后利用0°～360°范围内的角分析该角是第几象限角． 变式训练1 判断下列角的终边落在第几象限内： (1)1 400°； (2)－2 010°.知识点二 终边相同的角的应用例2 已知，如图所示，(1)写出终边落在射线OA ，OB 上的角的集合； (2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．回顾归纳 解答此类题目应先在0°～360°上写出角的集合，再利用终边相同的角写出符合条件的所有角的集合，如果集合能化简的还要化成最简．变式训练2 如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．知识点三 角的象限的判断例3 已知α是第二象限角，试确定2α，α2的终边所在的位置．回顾归纳 若已知角α是第几象限角，判断α2，α3等是第几象限角，主要方法是解不等式并对k 进行分类讨论．考查角的终边的位置．变式训练3 已知α为第三象限角，则α2所在的象限是( )A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限1．对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”．2．关于终边相同角的认识一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．注意：(1)α为任意角．(2)k ·360°与α之间是“＋”号，k ·360°－α可理解为k ·360°＋(－α)．(3)相等的角，终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍．(4)k ∈Z 这一条件不能少.课时作业一、选择题 1．与405°角终边相同的角是( ) A ．k ·360°－45°，k ∈Z B ．k ·180°－45°，k ∈Z C ．k ·360°＋45°，k ∈Z D ．k ·180°＋45°，k ∈Z 2．若α＝45°＋k ·180° (k ∈Z )，则α的终边在( ) A ．第一或第三象限 B ．第二或第三象限 C ．第二或第四象限 D ．第三或第四象限 3．若角α与β的终边相同，则α－β的终边落在( ) A ．x 轴的正半轴 B ．x 轴的负半轴 C ．y 轴的正半轴 D ．y 轴的负半轴 4．若α是第四象限角，则180°－α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 5. 如图，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是( )A ．{α|－45°≤α≤120°}B ．{α|120°≤α≤315°}C ．{α|k ·360°－45°≤α≤k ·360°＋120°，k ∈Z }D ．{α|k ·360°＋120°≤α≤k ·360°＋315°，k ∈Z }二、填空题6．经过10分钟，分针转了________度．7．下列命题：①第一象限角都是锐角；②锐角都是第一象限角；③第一象限角一定不是负角；④第二象限角大于第一象限角；⑤第二象限角是钝角；⑥小于180°的角是钝角、直角或锐角．其中判断错误的是______．(把有关命题的序号写上即可)8．若α＝1 690°，角θ与α终边相同，且－360°<θ<360°，则θ＝________.三、解答题9．在与角－2 010°终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最小的正角；(2)最大的负角；(3)－720°～720°内的角．10．已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合．第一章三角函数§1.1任意角和弧度制1．1.1任意角知识梳理1．(1)一条射线端点旋转(2)类型定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角3．α＋k·360°，k∈Z整数个周角4.终边所在的位置角的集合x轴正半轴{α|α＝k·360°，k∈Z}x轴负半轴{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}x轴{α|α＝k·180°，k∈Z}y轴正半轴{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}y轴负半轴{α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}y轴{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}自主探究α终边所在的象角α的集合限第一{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}象限第二{α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z}象限第三{α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z}象限第四{α|k·360°－90°<α<k·360°，k∈Z}象限对点讲练例1解(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．变式训练1解(1)1 400°＝3×360°＋320°，∵320°是第四象限角，∴1 400°也是第四象限角．(2)－2 010°＝－6×360°＋150°，∴－2 010°与150°终边相同．∴－2 010°是第二象限角．例2解(1)终边落在射线OA上的角的集合是{α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}．终边落在射线OB上的角的集合是{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}．(2)终边落在阴影部分(含边界)角的集合是{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}．变式训练2解设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成．(1){α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}．(2){α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}．∴角α的集合应当是集合(1)与(2)的并集：{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°或(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{α|k ·180°＋30°≤α<k ·180°＋105°，k ∈Z }． 例3 解 因为α是第二象限角， 所以k ·360°＋90°<α<k ·360°＋180°，k ∈Z . 所以2k ·360°＋180°<2α<2k ·360°＋360°，k ∈Z ，所以2α的终边在第三或第四象限或终边在y 轴的非正半轴上． 因为k ·360°＋90°<α<k ·360°＋180°，k ∈Z ，所以k ·180°＋45°<α2<k ·180°＋90°，k ∈Z ，所以当k ＝2n ，n ∈Z 时，n ·360°＋45°<α2<n ·360°＋90°，即α2的终边在第一象限； 当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，n ·360°＋225°<α2<n ·360°＋270°，即α2的终边在第三象限．所以α2的终边在第一或第三象限．变式训练3 D [由于k ·360°＋180°<α<k ·360°＋270°，k ∈Z ， 得k 2·360°＋90°<α2<k 2·360°＋135°. 当k 为偶数时，α2为第二象限角；当k 为奇数时，α2为第四象限角．]课时作业 1．C 2.A3．A [∵α＝β＋k ·360°，k ∈Z ， ∴α－β＝k ·360°，k ∈Z .]4．C [可以给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．]5．C [与边界终边相同的角为k ·360°＋120°或k ·360°－45°.故阴影部分的角为k ·360°－45°≤α≤k ·360°＋120°，k ∈Z .] 6．－607．①③④⑤⑥解析 ①390°角是第一象限角，可它不是锐角，所以①不正确．②锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，故是第一象限角，所以②正确． ③－330°角是第一象限角，但它是负角，所以③不正确．④120°角是第二象限角，390°是第一象限角，显然390°>120°，所以④不正确． ⑤480°角是第二象限角，但它不是钝角，所以⑤不正确．⑥0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故⑥不正确． 8．－110°或250°解析 ∵α＝1 690°＝4×360°＋250°，∴θ＝k ·360°＋250°，k ∈Z .∵－360°<θ<360°， ∴k ＝－1或0. ∴θ＝－110°或250°.9．解(1)∵－2 010°＝－6×360°＋150°，∴与角－2 010°终边相同的最小正角是150°.(2)∵－2 010°＝－5×360°＋(－210°)，∴与角－2 010°终边相同的最大负角是－210°.(3)∵－2 010°＝－6×360°＋150°，∴与－2 010°终边相同也就是与150°终边相同．由－720°≤k·360°＋150°<720°，k∈Z，解得：k＝－2，－1,0,1.代入k·360°＋150°依次得：－570°，－210°，150°，510°.10．解(1){x|k·360°－135°≤x≤k·360°＋135°，k∈Z}．(2){x|k·360°＋30°≤x≤k·360°＋60°，k∈Z}∪{x|k·360°＋210°≤x≤k·360°＋240°，k∈Z}＝{x|2k·180°＋30°≤x≤2k·180°＋60°或(2k＋1)·180°＋30°≤x≤(2k＋1)·180°＋60°，k∈Z}＝{x|k·180°＋30°≤x≤k·180°＋60°，k∈Z}．。

．任意角和弧度制．任意角[提出问题]问题：当钟表慢了(或快了)，我们会将分针按某个方向转动，把时间调整准确．在调整的过程中，分针转动的角度有什么不同？提示：旋转方向不同．问题：在体操或跳水比赛中，运动员会做出“转体两周”“向前翻腾两周半”等动作，做上述动作时，运动员分别转体多少度？提示：顺时针方向旋转了°或逆时针方向旋转了°，顺时针方向旋转了°.[导入新知]角的分类．按旋转方向.()角的终边在第几象限，则称此角为第几象限角；()角的终边在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限．[化解疑难]．任意角的概念认识任意角的概念应注意三个要素：顶点、始边、终边．()用旋转的观点来定义角，就可以把角的概念推广到任意角，包括任意大小的正角、负角和零角．()对角的概念的认识关键是抓住“旋转”二字．①要明确旋转方向；②要明确旋转角度的大小；③要明确射线未作任何旋转时的位置．．象限角的前提条件角的顶点与坐标原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合.[提出问题]在条件“角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合”下，研究下列角：°，°，－°.问题：这三个角的终边位置相同吗？提示：相同．问题：如何用含°的式子表示°和－°？提示：°＝×°＋°，－°＝－×°＋°.问题：确定一条射线，以它为终边的角是否唯一？提示：不唯一．[导入新知]终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合＝，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．[化解疑难]所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子·°＋α，∈表示，在运用时需注意以下几点．()是整数，这个条件不能漏掉．()α是任意角．()·°，∈与α之间用“＋”连接，如·°－°，∈应看成·°＋(－°)，∈.()终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍；相等的角终边一定相同．[例] 已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．()－°；()°；()－°.。

THE FIRST CHAPTER第一章三角函数1. 1任意角和弧度制1. 1.1任意角［学习目标］1•了解角的概念2掌握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义.3.熟练掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合符号表示这些角.尹预习导学全挑战自我•点点落实________________________________________________ ［知识链接］1.手表慢了5分钟，如何校准？手表快了1.5小吋，又如何校准？答可将分针顺时针方向旋转30。

；可将时针逆时针方向旋转45。

.2.在初中角是如何定义的？答定义1：有公共端点的两条射线组成的儿何图形叫做角.定义2：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角.3.初中所学角的范围是什么？答角的范围是［0。

，360°］.［预习导引］1.角的概念(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.(2)角的表示方法：①常用大写字母儿3, C等表示:②也可以用希腊字母$、匸匕等表示；③特别是当角作为变量时，常用字母丄表示.(3)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：2.象限角角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边（除端点外）在第儿象限，就说这个角是第儿象限角.如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限.3.终边相同的角所有与角a终边相同的角，连同角a在内，可构成一个集合S=｛0|0=a+E36O。

，MZ｝, 即任一与角a终边相同的角，都可以表示成角a与整数个周角的和.戸课堂讲义/ 重点难点，个个击破 ____________________________________________________________要点一任意角概念的辨析例1在下列说法中：①0。

〜90。

的角是第一象限角；②第二象限角大于第一象限角；③钝角都是第二象限角；④小于90。

读教材•填要点 课前预习•巧设计小问题•大思维 ［考点一 考点二 名师课堂•一点通 考点三一 解题高手 NO.1课堂强化 创新演练•大冲关NO.2课下检测 任意角 1.1任意角和弧度制 第一章三角函数角函数1.1 任意角和弧度制1.1.1 任意角1.角的有关概念有关概念定义图示记法［读教材•填要点］描述角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的遇醛O A 其中O为顶点，OA为始边,OB 为终边角以或Zee,或简记为幺定义负角 按墮时针方向旋转形成的角 零角一条射线還直作任何旋转形成的角 3.象限角若角的顶点在原点，角的始边与兀轴的非负半轴重合, 那么，角的垒迦在第几象限，就称这个角是第几象限角.如 果角的终边在坐标轴上,则这个角不属于任何一个象限.2.角的分类 正角按址时针方向旋转形成的角 名称4.终边相同的角设°表示任意角，所有与角。

终边相同的角，连同角。

在内,可构成一个集合s = {p\p=么+疋・360°,瞬閱任_与角么终边相同的角，都可以表示成角久与____________ 整鄭期角［小问题•大思维］1.小于90°的角一定是锐角吗?提示：不一定. 由角的概念的推广可知，小于90。

的角可能是零角或负角，故它不一定是锐角.2.第二象限角一定比第一象限角大吗？提示：不一定.如170。

角为第二象限角，390°角为第一象限角，显然170° <390°・3.终边相同的角一定相等吗？不一定.但相等的角终边一定相同.4.终边在兀轴上或y轴上的角的集合如何表示？在坐标轴上呢？提示：终边在工轴上角的集合表示为｛屁=加180。

, MZ｝；终边在y轴上角的集合表示为仗kz = 90°+加180。

,肢Z｝；终边在坐标轴上角的集合表示为｛a\a=h90° , k^Z｝.5.如图，写出射线从04旋转到OB】、提示：负角〃=一(360° -210° )=- 正角y=210° -150° =60°•L»—i-——研习考点熟悉易考题型探究规律寧握类题通法MINGSH1 KETANG YIDIANTONG^£考点有关角的概念辨析［研一题］［例1］有下列说法：①相差360。

1、已知中学生一节课的上课时间一般就是45分钟,那么,经过一节课,分针旋转形成的角就是()A、120°B、－120°C、270°D、－270°解析:分针旋转形成的角就是负角,每60分钟转动一周,所以一节课45分钟分针旋转形成的角就是－360°×45＝－270°、60答案:D2、下列叙述正确的就是()A、第一或第二象限的角都可作为三角形的内角B、始边相同而终边不同的角一定不相等C、第四象限角一定就是负角D、钝角比第三象限角小解析:－330°角就是第一象限角,但不能作为三角形的内角,故A 错;280°角就是第四象限角,它就是正角,故C错;－100°角就是第三象限角,它比钝角小,故D错、答案:B3、若α就是第四象限角,则180°－α就是第________象限角、解析:∵角α与角－α的终边关于x轴对称,又∵角α的终边在第四象限,∴角－α终边在第一象限,又角－α与180°－α的终边关于原点对称,∴角180°－α的终边在第三象限、答案:三4、在0°～360°范围内:与－1 000°角终边相同的最小正角就是________,就是第________象限角、解析:－1 000°＝－3×360°＋80°,∴与－1 000°角终边相同的最小正角就是80°,为第一象限角、 答案:80° 一5、在角的集合{α|α＝k ·90°＋45°,k ∈Z }中,(1)有几种终边不相同的角？(2)若－360°<α<360°,则集合中的α共有多少个？解:(1)在给定的角的集合中终边不相同的角共有四种,分别就是与45°、135°、－135°、－45°终边相同的角、(2)令－360°<k ·90°＋45°<360°,得－92<k <72、又∵k ∈Z ,∴k ＝－4,－3,－2,－1,0,1,2,3,∴满足条件的角共有8个、。

第一章三角函数1.1 任意角和弧度制1.1.1 任意角课后篇巩固探究1.200°角是( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角180°<200°<270°,第三象限角α的取值范围为k·360°+180°<α<k·360°+270°,k∈Z,所以200°角是第三象限角.2.在-360°≤α<0°范围内与60°角终边相同的角为( )A.-300°B.-300°,60°C.60°D.420°60°角终边相同的角α可表示为α=60°+k·360°,当k=-1时,α=-300°,故在-360°≤α<0°范围内与60°角终边相同的角为-300°.3.若角θ是第四象限角,则90°+θ是( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角,将θ的终边按逆时针方向旋转90°得90°+θ的终边,则90°+θ是第一象限角.4.角α=45°+k×180°(k∈Z)的终边落在( )A.第一或第三象限B.第一或第二象限C.第二或第四象限D.第三或第四象限k是偶数时,角α是第一象限角,当k是奇数时,角α是第三象限角.5.如图,终边在阴影部分(含边界)的角的集合是( )A.{α|-45°≤α≤120°}B.{α|120°≤α≤315°}C.{α|-45°+k·360°≤α≤120°+k·360°,k∈Z}D.{α|120°+k·360°≤α≤315°+k·360°,k∈Z},终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|-45°+k·360°≤α≤120°+k·360°,k∈Z}.故选C.±45°,k∈Z},P=,P之间的关系为( ) 6.已知集合M={x|x=k·180°2A.M=PB.M⊆PC.M⊇PD.M∩P=⌀±45°=k·90°±45°=(2k±1)·45°,k∈Z, M,x=k·180°2对于集合P,x=k·180°±90°=k·45°±90°=(k±2)·45°,k∈Z.∴4M⊆P.7.已知角α,β的终边关于直线x+y=0对称,且α=-60°,则β=.-90°到0°的范围内,-60°角的终边关于直线y=-x对称的射线的对应角为-45°+15°=-30°,所以β=-30°+k·360°,k∈Z.30°+k·360°,k∈Z8.若角α与角288°终边相同,则在0°~360°内终边与角α4终边相同的角是.,得α=288°+k·360°(k∈Z),α4=72°+k·90°(k∈Z).又α4在0°~360°内,所以k=0,1,2,3,相应地有α4=72°,162°,252°,342°.9.终边落在图中阴影部分所示的区域内(包括边界)的角的集合为.由图易知在0°~360°范围内,终边落在阴影区域内(包括边界)的角为45°≤α≤90°与225°≤α≤270°,故终边落在阴影部分所示的区域内(包括边界)的角的集合为{α|k·360°+45°≤α≤k·360°+90°,k ∈Z}∪{α|k·360°+225°≤α≤k·360°+270°,k∈Z}={α|k·180°+45°≤α≤k·180°+90°,k∈Z}.Z}10.已知α=-1 910°.(1)把α写成β+k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,并指出它是第几象限角;(2)求θ,使θ与α的终边相同,且-720°≤θ<0°.设α=β+k·360°(k∈Z),则β=-1910°-k·360°(k∈Z).令-1910°-k·360°≥0,解得k≤-1910360=-51136.k的最大整数解为k=-6,求出相应的β=250°,于是α=250°-6×360°,它是第三象限角.(2)令θ=250°+n·360°(n∈Z),取n=-1,-2就得到符合-720°≤θ<0°的角. 250°-360°=-110°,250°-720°=-470°.故θ=-110°或θ=-470°.11.已知角α的终边在图中阴影部分所表示的范围内(不包括边界),写出角α的集合.0°~360°范围内,终边落在阴影部分内的角为30°<α<150°与210°<α<330°,故所有满足题意的角α的集合为{α|k·360°+30°<α<k·360°+150°,k∈Z}∪{α|k·360°+210°<α<k·360°+330°,k∈Z}={α|n·180°+30°<α<n·180°+150°,n∈Z}.12.已知α,β都是锐角,且α+β的终边与-280°角的终边相同,α-β的终边与670°角的终边相同,求角α,β的大小.-280°+k·360°,k∈Z.∵α,β都是锐角,∴0°<α+β<180°.取k=1,得α+β=80°.①α-β=670°+k·360°,k∈Z.∵α,β都是锐角,∴-90°<α-β<90°.取k=-2,得α-β=-50°.②由①②,得α=15°,β=65°.。

第一章三角函数三角函数
．任意角和弧度制
．任意角
．理解任意角的概念，特别是象限角、区间角、终边相同的角的概念及其表示方法．
．了解正角、负角、零角的概念．
．注意数形结合思想的应用．
一、任意角
．任意角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．射线的起始位置是角的始边，射线的终止位置是角的终边，射线的端点是角的顶点．
练习：下列说法正确的是()
．最大角是°．最大角是°
．角不可以是负的．角可以任意大小
解析：由角的定义，角可以是任意大小的．故选.
．正角、零角、负角概念：按旋转方向，角可以分为以下三类：
()正角——按逆时针方向旋转所形成的角；
()零角—射线没有作任何旋转形成的角；
()负角——按顺时针方向旋转所形成的角．
练习：时钟的分针经过分钟旋转的角为()
．°．°．－°．－°
解析：时针的分针是按顺时针旋转形成的角，所以为负角．故选.。

课后集训基础达标1.下列命题中正确的是（）A.终边在y轴非负半轴上的角是直角B.第二象限角一定是钝角C.第四象限角一定是负角D.若β=α+k·360°（k∈Z）,则α与β终边相同解析：-270°的终边在y轴的非负半轴，但不是直角，故A项不正确.钝角一定是第二象限角,但第二象限角不一定是钝角，如-210°，所以B项不正确.330°是第四象限角，但不是负角，因此C项不正确.D项显然正确.答案：D2.若α是第四象限角，则180°-α是（）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角解析：由于α是第四象限角，所以k·360°+270°＜α＜k·360°+360°，k∈Z,则-k·360°-180°＜180°-α＜-k·360°-90°为第三象限角.答案：C3.终边与坐标轴重合的角α的集合是( )A.{α|α=k·360°，k∈Z}B.{α|α=k·180°，k∈Z}C.{α|α=k·90°，k∈Z}D.{α|α=k·180°+90°，k∈Z}解析：终边为x轴的角的集合M={α|α=k·180°，k∈Z}，终边为y轴的角的集合P={α|α=k·180°+90°，k∈Z}设终边为坐标轴的角的集合为S，则S=M∪P={α|α=k·180°，k∈Z}∪{α|α=k·180°+90°，k∈Z}={α|α=2k·90°，k∈Z}∪{α|α=(2k+1)·90°，k∈Z}={α|α=n·90°，n∈Z}答案：C4.集合M={x|x=k·90°±45°,k∈Z}与P={x|x=k·45°，k∈Z}之间的关系是（）A.M PB.P MC.M=PD.M∩P=解析：特殊值检验x=90°∈P，但x=90°M；x=45°∈M且x=45°∈P.故选A.答案：A5.若角α=-20°+k·180°在-720°—360°间，则整数k的取值是___________.解析：当k=-3，-2，-1，0，1，2时符合题目条件，此时对应的角为-560°,-380°,-200°,-20°,160°,340°.答案：-3,-2,-1,0,1,26.与-1 778°角的终边相同且绝对值最小的角是___________.解析：与-1 778°终边相同角为α，则α=-1 778°+k·360°，k∈Z，当k=5时，α=22°,此时α的绝对值最小.答案：22°综合运用7.若角α和β的终边关于y轴对称，则有（）A.α+β=90°B.α+β=90°+k·360°，k∈ZC.α+β=k·360°，k∈ZD.α+β=180°+k·360°，k∈Z解析：若β与α关于y轴对称，则β=180°-α,∴α+β=180°+k·360°，k∈Z.答案：D8.已知角2α的终边在x 轴的上方（不与x 轴重合），则α的终边在（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第一象限或第三象限解析：360°·k ＜2α＜360°·k+180°,180°·k ＜α＜180°·k+90°.令k=0,1得0°＜α＜90°,180°＜α＜270°.答案：D9.如果角 α与35°角的终边相同，角β与-55°角的终边相同，那么α与β之间的关系是（ ）A.α+β=0°B.α-β=0°C.α+β=k·360°D.α-β=k·360°+90°（k ∈Z ）解析：由于α与35°角的终边相同，故α=35°+k 1·360°,k 1∈Z .由于β与-55°角的终边相同，所以，β=-55°+2k ·360°，2k ∈Z .则α-β=90°+(k 1-2k )·360°=90°+k·360°,k ∈Z . 答案：D拓展探究10.若今天是星期一,（1）7k(k ∈Z )天后的那一天是星期几？（2）7k(k ∈Z )天前的那一天是星期几？（3）158天后的那一天是星期几？解：每星期从星期一到星期日，有7天，呈现周期性变化，以7天为一个周期重复出现.(1)∵今天是星期一，∴7k(k ∈Z )天后的那一天仍是星期一；（2）∵今天是星期一，∴7k(k ∈Z )天前的那一天也是星期一；（3）∵158=7×22+4又∵今天是星期一，∴158天后的那一天是星期五.备选习题11.时钟走过1小时20分，则分针所转过的角的度数为______________,时针所转过的角的度数为______________.解析：由于时针都是顺时针旋转，故分针走1小时20分钟转过的角的度数为-480°，由于时针1小时转过-30°，20分钟转过31×(-30°).故时针走过1小时20分，转过的角的度数是-40°. 答案：-480° -40°12.把下列各角写成k·360°+α(0°≤α＜360°)的形式，并指出它们所在象限或终边的位置.(1)-135°,(2)-540°,(3)1 110°,(4)765°.答案：(1)-135°=-360°+225°,第三象限.(2)-540°=(-2)×360°+180°,终边在x 轴的非正半轴上.(3)1 110°=3×360°+30°,第一象限.(4)765°=2×360°+45°,第一象限.13.写出终边在直线y=x 上的角的集合S ，并把S 中适合不等式-360°≤β≤360°的元素β写出来.解：如右图，画出y=x 直线.终边在直线y=x 上的角有两个45°、225°，因此得终边在y=x 上的角的集合S={β|β=45°+k·360°，k ∈Z }∪{β|β=225°+k·360°，k ∈Z }={β|β=45°+k·180°,k ∈Z }S 中适合-360°≤β≤360°的元素有：45°-2×180°=-315°,45°-1×180°=-135°,45°+0×180°=45°,45°+1×180°=225°.14.如右图，写出终边落在阴影部分（含边界）的角的集合为__________.解析：以x 正半轴为始边，两角分别是120°，-45°.答案：{α|-45°+k·360°≤α≤120°+k·360°，k ∈Z }15.若α角的终边与60°角的终边相同，在0°—360°间哪些角的终边与3α角的终边相同. 解析：{α|α=k·360°+60°，k ∈Z }，则{α|3α=120°·k+20°,k ∈Z } 当k=3m(m ∈Z )时， 3α=360°·m+20°, ∴3α终边在第一象限. 当k=3m+1(m ∈Z )时， 3α=360°·m+140°, ∴3α终边在第二象限. 当k=3m+2(m ∈Z )时， 3α=360°·m+260°, ∴3α终边在第三象限. 答案：在0°—360°间与3α角终边相同的角有20°,140°,260°.。