2020高考数学(理)考前题型增分特训：选填题专项14(6套)

2020 届全国高考数学增分练高考展望卷（一）本试卷分第Ⅰ卷 (选择题 )和第Ⅱ卷 (非选择题 )两部分，共 150 分，考试时间 120 分钟．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12 小题，每个小题 5 分，共 60 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1．设会合 A＝ { y|y＝log3x,0<x≤9} ，B＝{ x|2 019x>1} ，则 A∩B＝()A ．(0,2)B．(0,2]C．(－∞， 2]D．R分析会合 A＝{ y|y＝ log3x,0<x≤9} ＝{ y|y≤2} ，x∴A∩ B＝ { x|0<x≤ 2} ＝(0,2] ．应选 B.答案 B2．设复数 z1， z2在复平面内对应的点对于虚轴对称，且z1＝1＋ i，则 z1z2＝()A ．－ 1＋ i B．2C．－ 2D．－ 1－ i分析因为两个复数对应的点对于虚轴对称，所以两个复数的实部互为相反数且虚部同样，所以复数 z2＝－ 1＋i ，z1z2＝(1＋ i)( －1＋i) ＝－ 2，应选 C.答案 C3.如图， A、B、C 是单位圆上的三平分点，以下说法错误的选项是()→→→＝－ (OB＋OC)A. OA→→B.OA 与 BO的夹角为 120°→→→C.OA ⊥ (OB－OC )→→ 1在 OB上的投影为－D. OA2分析对于 A ，由平行四边形法例可知→ → →→OB＋ OC＝ AO＝－ OA，正确；→→→→→→ →→ →－1－1对于 C，OA·－OC ＝·－OA·＝1×1×－1×1×＝ 0，正确；(OB ) OA OB OC2 2→→ 1对于 D，OA在 OB上的投影为－2，正确，应选 B.答案 B．数列n 的前n 项和 n 2＋n，若 b n＝－n，则 n 的最小值为()4 { a } S ＝n (n 5)a bA ．－25B．－ 12 25C．－ 8 D．－2分析当 n＝ 1 时， a1＝，2当 n≥2 时， a n＝S n－S n－1＝ n2＋n－(n－ 1)2－(n－ 1)＝2n，当 n＝1 时明显合适上式，所以 a n＝2n， n∈ N*，所以 b n＝ (n－5)a n＝ 2n(n－5)．5令 f(x)＝2x(x－ 5)，易知对称轴为 x＝2，所以 b n的最小值为2＝ 3 ＝－应选b b 12. B.答案 B5．已知 p：x≤m，q：4 <1，假如 p 是 q 的充分不用要条件，则实数 m 的取值范围是 ()x＋1A ．[2 ，＋∞ ) B．(2，＋∞ )C．(－∞，－ 1] D．(－∞，－ 1)分析设 A＝{ x|x≤m} ，B＝ x4<1 ＝{ x|x<－1 或 x>3} ．∵ p 是 q 的充分不用要条件，x＋1∴A B，∴ m<－1，∴实数 m 的取值范围是 (－∞，－ 1)．应选 D.答案 D6．从 6 人中选出 4 人参加数学、物理、化学、生物比赛，每人只好参加此中一项，每项比赛一定有人参加，此中甲、乙两人都仅能参加化学比赛，其余 4 人四项比赛都能参加，则不一样的参赛方案的种数为 ()A ．48 B．72C．144 D．480分析分红两类：(1) 甲乙均不参加比赛：共有4种状况；A4＝24(2) 甲乙有且只有一人参加比赛：共有 1 3 种状况．C A ＝ 482 4∴不一样的参赛方案共有24＋48＝72 种．应选 B.答案B7．以下图的程序框图的输出结果为y ＝44.5，则循环体的判断框内应填 ()A ．x<88?B ．x ≤89?C ．x<89?D ．x ≤88?分析因为 cos 21°＋cos 22°＋ ＋cos 289°＝ 44(cos 21°＋cos 289°)＋ cos 245°＝ 44(cos 21°＋sin 21°)＋cos 245°＝44.5，所以 x ≤89.答案B18．已知数列 { a n } 中，a 1＝ 1，a 2＝ 3，a 3＝7，且{ a n ＋1－a n } 成等比数列，则知足不等式 1＋a n－ 1 ≥λ的实数 λ的最大值是 ( )1＋a n ＋ 1 1＋a n ＋2A ．2B ．3C ．5D ．6分析 由 a 2－ 1＝ ， 3－ 2＝ ，得公比 ＝ ，所以n ＋1－ n ＝ 2－ n － 1 ＝ n1 · 2.a 2 a a 4 q 2 a a (a a ) 2所以 a n ＝ 1＋ 2－ 1 ＋3－ 2 ＋ ＋ n － n － 1 ＝ ＋ ＋ 2 n －1 n＋ ＋ 2 ＝2 － 1.a (a a ) (a a ) (a a ) 1 2 2进而，由不等式 1 1 ≥ λ 1 1 λ－ 1＋ a，得 n － n ＋1≥ n ＋ 2，即 λ≤2.则 λ的最大值是 2. 1＋a 1＋a 2 2 2 2nn ＋ 1 n ＋ 答案 A9．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为4π3 ，那么这个正三棱柱的体积是 ()A ．12 3B ．23C ．6 3D ．48 3分析 由4πR 3＝4π，得球的半径 R ＝1，3 3∴正三棱柱的高等于球的直径，即 h ＝2R ＝2.设三棱柱的底面边长为 a ，13则 3× 2 a ＝1，∴ a ＝2 3，3∴该正三棱柱的体积 V ＝ 4 ×(2 3)2×2＝6 3，应选 C.答案 Cπ7π 10．已知函数 f(x)＝ 4sin(ωx＋φ) ω>0，－ 2<φ<0 的部分图像以下图，此中 A 12，2 ，13πB 12 ，－ 2 ，则函数 f(x)的单一递减区间为 ()7π 5πA. 6 ＋ k π， 3 ＋k π(k ∈Z) 5π 13πB.3 ＋ k π， 6 ＋k π(k ∈ Z)11π17πC. 12 ＋k π， 12 ＋k π(k ∈Z) 17π 23πD. 12 ＋k π， 12 ＋k π(k ∈Z)依题意， T ＝ 13π 7π π2 π 7π 7π 分析，解得 ω＝2.因为 f＝4sin＋ φ＝2，12 － ＝ ，所以 T ＝π＝ 12 6 2 12 2 ω所以 sin 7π 1，所以 7π π 7π 5π6 ＋φ＝ 6 ＋φ＝ ＋2n π(n ∈ Z)或 6 ＋φ＝ 6 ＋ 2n π(n ∈ Z)，解得 φ＝－ π＋2n π(n2 6π π π π π∈Z)或 φ＝－ ＋2n π(n ∈ Z)．因为－ φ ，所以 φ＝－ ，所以 f(x)＝4sin 2x － 3.令 ＋ 2k π<2x< <0π 3π5π 11π－ 3 < 2 ＋ 2k π(k ∈ Z) ，解得 12＋ k π<x 12 ＋ k π(k ∈ Z) ．所以函数 f(x) 的单一递减区间为 5π 11π12＋k π， 12 ＋ k π(k ∈ Z)．因为函数 f(x) 的最小正周期为 π，所以选项 D 切合题意．应选 D.答案 Dx 2 y 211．设 F 1，F 2 是双曲线 a 2－b 2＝ 1(a>0，b>0)的左、右焦点，若双曲线的右支上存在一点→ → → ＝0(O 为坐标原点 )，且 |PF 1 ＝ 2 ，则双曲线的离心率为＋ OF 2·23|PF ( )P ，使 (OP ) F P | |A. 2＋1 B ． 2＋12C. 3＋1D ． 3＋12分析 取 PF 2 的中点 ，则由 →→ →→ →→→ 在△1 2＋OF 2 ·2 ＝ 0，得 2OA ·2 ＝0，即OA ⊥F 2A (OP) F PF PP. PF F中，OA 为△ PF 1F 2 的中位线，所以 PF 1⊥PF 2，所以12＋|PF 2 2＝(2c)2又由双曲线定义知1|PF ||.|PF | － |PF 2 ＝，而1 ＝2 ，所以2 ＝ ，所以－ ＝ ，解得 ＝＋ 应选D.| 2a |PF | 3|PF||PF | c( 3 1)c 2a e 3 1.答案Dx12．已知函数 f(x)＝|x|e，对于 x 的方程 f 2(x)－2af(x)＋ a － 1＝ 0(a ∈ R)有 3 个相异的实数根，则 a 的取值范围是 ()2－12－1e，＋∞B ．－∞，eA.2e － 12e －1C. 0，e 2－1D ．e 2－1 2e －12e － 1e xx ， x>0，e x x －1分析 f(x)＝e x当 x>0 时， f ′(x)＝ x 2，当 0<x<1 时， f ′ (x)<0，函数－ x ，x<0，单一递减，当 x>1 时， f ′ (x)>0，函数单一递加，当 x ＝ 1 时，函数获得极小值 f(1)＝e.e x x －1当 x <0 时，′＝－，函数单一递加，x>0如图，画出函数的图像，设 t ＝ f(x)，当 t>e 时， t ＝ f(x)有 3 个根，当 t ＝ e 时， t ＝f(x)有 2 个实根，当 0<t<e 时， t ＝f(x)有 1 个实根，考虑到原方程的鉴别式大于零恒成立，所以原方程等价于t 2－2at ＋ a － 1＝ 0 有 2 个相异实根，此中 t 1 ＝ ， 2∈ (0 ， 或 1≤ ， 2 ，当 2－ 2ae ＋a －1＝0，解得e t e) t 0 t >et ＝e 时，ee 2－1 02－2a ×0＋a －1≤0，a ＝ 2e －1，查验知足条件；由 t 1≤0，t 2>e 得 e 2－ 2ae ＋a －1<0， 无解．应选 D.答案D第Ⅱ卷本卷包含必考题和选考题两部分． 第 13～ 21 题为必考题，每个试题考生一定作答． 第 22～23 题为选考题，考生依据要求作答．二、填空题：此题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分．13．已知 l ， m 是平面 α外的两条不一样直线，给出以下三个论断：① l ⊥m ；② m ∥α；③ l ⊥α.以此中的两个论断作为条件， 余下的一个论断作为结论， 写出一个正确的命题： ________.分析 此题考察空间直线和平面间的地点关系．当 l ⊥m ，m ∥α时， l 与 α不必定垂直，可能订交，也可能平行；当 l ⊥m ， l ⊥α时， m ∥α；当 m ∥α，l ⊥α时， l ⊥m ，综上可知，正确命题是若 l ⊥m ，l ⊥α，则 m ∥α.或若 m ∥α，l ⊥α，则 l ⊥m.答案 若 l ⊥ m ， l ⊥α，则 m ∥α(答案不独一 )14．某公司对 2018 年 1－4 月份的赢利状况进行了数据统计，以下表所示：月份 x 1 2 3 4收益 y/万元13.55.58利用回归剖析思想，展望出 2018 年 12 月份的收益约为 23.5 万元，则 y 对于 x 的线性回归方程为 ________．^^^ ^^ → →＋a ，分析4.5＝2.5b设线性回归方程为 y ＝ b＋ ，∵ x ＝2.5， y ＝4.5，∴由题意得x a^^23.5＝12b ＋a ，^ ＝－ 0.5，^a解得∴线性回归方程为 y ＝2x －0.5.^ ＝2， b答案^ y ＝2x － 0.515．在 (1－ x ＋x 2)(1＋x)7 的睁开式中， x 4 的系数为 ________．分析7 的睁开式的通项公式为 T r ＋1＝ r r4的系数为 43 22(1＋ x)7·，所以xC 7－C 7＋7＝C 7＝21.C xC答案 2116．若直线 l 交抛物线 y 2＝4x 于 A 、B 两点，△OAB 内有一点 M(6,2)知足 S △ AOM ∶S △BOM ∶△ AMB＝1∶2∶3，则直线 l 的斜率为 ________．S分析解法一：设点 A ，B 到直线 OM 的距离分别为 d A ， B ，直线OM 交直线AB 于点Q ，则|QA|＝ d A ＝S＝1? S △ AMQ ＝1 d△ AMB ＝S △AOM ，故 M 为 OQ 的中点，所以 Q(12,4)．设 A(x 1 ， △AOM 3S|QB| d B S △BOM 2→→ 12－ x 2＝2 x 1－12 ，x 2＝36－ 2x 1， 21 2 2＝ 2QA?所以＝2，并结2 1 2 1 代入 y 2 y )，B(x ，y )，则BQ4x4－y ＝2 y － 4 ，y ＝12－ 2y .2x 1＝16， x 1＝0， 1Q8－41 解得或 不合题意，舍去 ．故直线的斜率 ＝ y－y＝合 y 1＝4x ( l 1y 1＝8 y 1＝0 )kQx－x 16－12＝1.解法二：设 A(x 1， 1 ， 2， 2 ，则 →＝(x 1－ ， 1 － 2) ， →＝(x 2 － ， 2－ 2) ，又 → ＝y ) B(x y ) MA 6 y MB6 y MO － ，－ ，所以由奔驰定理，得 → → → → → →( 6 2) MA ·S S S22x 1＝16， x 2＝4， 故求得 k AB ＝ ，即直2x 1＋x 2－ 36＝0，把 x 1＝y 1，x 2＝ y 2代入解得0?44y 1＝8，y 2＝－ 4.12y 1 ＋y 2－ 12＝0.线 l 的斜率为 1.结论拓展→→→奔驰定理：已知 O 为△ ABC 内一点，则有 OA ·△OBC ＋OB ·△ OAC ＋OC ·△OAB ＝SSS 0.答案 1三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～ 21 题为必考题，每个试题考生都一定作答．第22、 23 题为选考题，考生依据要求作答．(一)必考题：共 60 分17．(12 分)已知等比数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，且知足 a 1 ＝m ，a n ＋1＝S n ＋2.(1)求 m 的值；若 n a n ，n 为奇数，(2) ＝求 b 1＋ 2＋ ＋ n 的值．b b blog 2a n ＋1，n 为偶数，分析(1)由 a n ＋ 1＝S n ＋2，得 a n ＝S n － 1＋ 2(n ≥2)，∴ a n ＋1－a n ＝ S n －S n － 1＝a n ，∴ a n ＋ 1＝ 2a n (n ≥ 2)．又 a 2＝ 1＋ ＝ ＋ ， n 是等比数列，∴m ＋ 2＝ 2，∴ m ＝2.(4 分)S 2 m 2 { a } mnn，∴ b n ＝ 2n， n 为奇数，(2)由(1)得， a ＝ 2 n ＋1，n 为偶数，令 b 1＋ 2＋ ＋ n ＝ n ，则b b TT 2k 1 2 2k 1 3 2k －1 2 4 2k1＋23＋ ＋22k －1＋(3＋＝b ＋ b ＋ ＋ b ＝ (b ＋b ＋ ＋b )＋ (b ＋b ＋ ＋b )＝ 21－4k 22 k 25＋ ＋2k ＋ 1)＝2·＋ k＋2k ＝ (4 －1)＋k ＋ 2k.(7 分)1－43∴当 n 为偶数时， T n ＝ 2 n －1)＋ n 2 n 2nn22 分3(422 ＋ 2·＝ · ＋ 4 ＋ n －3.(8 )2 3 2T 2k －1＝T 2k2k2 k －1)＋ k 2＋2k － (2k ＋ 1)＝2·k ＋k 2－ 5－b ＝3(4 3 43.2 n ＋1 n ＋ 1 2 5 4 n ＋ n 2n 17∴ n 为奇数时， T n＝ · 2 ＋ 2－ ＝ 4 ＋ － 12.(10 分 )343 3·222 n n 22 故 b 1＋ b 2＋ ＋ n ＝ 3·2 ＋ 4 ＋ n － 3， n 为偶数，(12 分 )b 4 n n 2 n 173·2 ＋ 4 ＋ 2－12，n 为奇数 .18．(12 分 )某公司对现有设施进行了改造，为了认识设施改造后的成效，现从设施改造前后生产的大批产品中各抽取了100 件产品作为样本，检测其质量指标值，若质量指标值在[20,60)内，则该产品视为合格品，不然视为不合格品．以下图是设施改造前的样本的频次散布直方图，下表是设施改造后的样本的频数散布表．页8第质量指标值频数[10,20) 2[20,30)18[30,40)48[40,50)14[50,60)16[60,70) 2表 1设施改造后样本的频数散布表(1)达成下边的 2× 2 列联表，并判断能否有 99%的掌握以为该公司生产的这类产品的质量指标值与设施改造相关：设施改造前设施改造后共计合格品不合格品共计(2)依据图 1 和表 1 供给的数据，试从产品合格率的角度对改造前后设施的好坏进行比较；(3)公司将不合格品所有销毁后，依据客户需求对合格品进行等级细分，质量指标值落在[30,40)内的定为一等品，每件售价180 元；质量指标值落在 [20,30)或 [40,50)内的定为二等品，每件售价 150 元；其余的合格品定为三等品，每件售价120 元．依据频数散布表 1 的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频次取代从所有合格产品中抽到一件相应等级产品的概率．现有一名顾客随机买两件产品，设其支付的花费为X(单位：元 )，求X的散布列和数学希望．附：P(K2≥ k0)0.150 0.100 0.050 0.0250.010k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635K 2＝n ad－ bc 2a＋b c＋ d a＋c b＋ d分析(1)依据图 1 和表 1 获得 2×2 列联表：设施改造前设施改造后共计合格品86 96 182不合格品14 4 18共计100 100 200(1 分) 将 2×2 列联表中的数据代入公式计算得：2＝n ad－bc 2K ＝a＋b c＋d a＋ c b＋ d200× 86×4－96×14 2 5 000182×18×100×100 ＝819 ≈ 6.105.(3分)∵6.105<6.635，∴没有 99%的掌握以为该公司生产的产品的质量指标值与设施改造相关．(4 分)(2)依据图 1 和表 1 可知，设施改造前的产品为合格品的概率约为86＝43，设施改造后产100 5096 24品为合格品的概率约为100＝25；明显设施改造后产品合格率更高，所以，改造后的设施更优． (6 分)(3)由表 1 知：1 1一等品的频次为2，即从所有合格产品中随机抽到一件一等品的概率为2；1 1二等品的频次为3，即从所有合格产品中随机抽到一件二等品的概率为3；1 1三等品的概率为6，即从所有合格产品中随机抽到一件三等品的概率为6.(7 分) 由已知得：随机变量 X 的取值为： 240,270,300,330,360.(8分)1 1 1，P(X＝ 240)＝×＝6 6361 1 1 1P(X＝ 270)＝C2 × × ＝，3 6 91 1 1 1 1 5P(X＝ 300)＝C2 × × ＋× ＝，1 1 1 1P(X＝ 330)＝C2× ×＝，2 3 31 1 1P(X＝ 360)＝×＝ .2 2 4∴随机变量 X 的散布列为：X 240 270 300 330 360P1 1 5 1 136 9 18 3 4(10 分)1151 1∴E(X)＝240×＋ 270×＋300×＋ 330×＋360×＝320.(12 分 )369183419.(12 分)如图，在几何体 ABCD-A′B′C′ D ′中，四边形 ABCD 是边长为 2 2的正方形，四边形 A′B′ C′ D′是平行四边形， AA′⊥平面 ABCD，AA′∥ BB′∥ CC′∥ DD′，DD′＝ 4，BB′＝ 1， M 是线段 CC′上一点，且 CM＝1，AM∥平面 A′B′ C′ D′.(1)求线段 AA′的长；(2)求直线 DD ′与平面 A′ D′B 所成角的正弦值．分析 (1)设 AA′＝ x，连结 A′C′，则由 AM∥平面 A′B′ C′ D′，平面 AMC′A′∩平面 A′ B′C′D′＝ A′ C′，得 AM∥A′C′，所以四边形 A′ C′ MA 是平行四边形，则C′M＝x，C′ C＝ x＋ 1.连结 B′D′交 A′C′于点 O′，连结 AC，BD 交于点 O，连结 OO′，则 OO′为梯形BB′ D′ D 的中位线，得 2OO′＝5.又易知 OO′为梯形 A′C′CA 的中位线，所以 x＋x＋1＝2OO′＝5，得 x＝ 2，即线段 AA′的长为 2.(5 分 )(2)解法一：延伸D′A′， DA 交于点 Q，由 AA′＝ 2，D′ D＝4，得 AA′是△ QD′D 的中位线．连结 BQ，则 AO 为△ DQB 的中位线， AO∥BQ，所以 BQ⊥BD，又DD ′∥AA′， AA′⊥平面 ABCD，所以 BQ⊥ D′D，所以 BQ⊥平面 BDD ′ B′，所以平面 BQD′⊥平面 BDD′ .作 DH ⊥BD′于点 H，则 DH ⊥平面 BQD′，∠ DD′B 即所求线面角．由 DB＝DD ′＝4，得∠ DD ′B＝45°，则直线 DD ′与平面 A′D′ B 所成角的正弦值为22 .(12 分)→→→解法二：以点 D 为坐标原点， DA， DC， DD ′的方向分别为 x 轴， y 轴， z 轴的正方向，成立空间直角坐标系，则 D(0,0,0)，A′ (2 2，0,2)，D′ (0,0,4)，B(2 2，2→→2，0)，A′ D′＝(－2 2，0,2)，A′ B→＝(0,2 2，－ 2)， D′D＝(0,0，－ 4)．→－ 2 2a＋2c＝0，m·A′D′＝ 0，设平面 A′ D′ B 的法向量为 m＝(a，b，c)，则→所以2 2b－ 2c＝0.＝0，·′m A B令 a＝1，则 m＝(1,1， 2)为平面 A′D′B 的一个法向量． (9 分)→→2故直线 DD′与平面 A′D′B 所成角的正弦值为m·D′D|cos〈m，D′D〉|＝→＝2 .(12|m| |D·′ D|分)x2y220．(12 分)已知椭圆 C：a2＋b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线y＝2x＋3 相切，点 P 在椭圆 C 上， |PF1|＝ 2，∠ F1PF2＝60°.(1)求椭圆 C 的方程；(2)若直线 l ：y＝ kx＋m 与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2， y2)两点，且 3x1x2＋ 4y1y2＝ 0，试求△AOB 的面积 (O 为坐标原点 )．分析(1)依题意有 b＝3＝3，∴ b2＝3. 2＋1由|PF1|＝2 及椭圆的定义得 |PF2|＝2a－2.由|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1| ·|PF 2|cos∠F1PF2＝|F1F2|2，得 a2－3a＋3＝c2.又a2－c2＝ b2＝3，解得 c＝1， a＝ 2.x2y2故椭圆的方程为4＋3＝1.(4 分)x 2 y 2 (2)联立4 ＋3＝ 1， 化简可得 (3＋ 4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0， y ＝kx ＋m ，则 ＝64k 2m 2－16(3＋ 4k 2)(m 2 －3)＝48(3＋4k 2－m 2)>0，即 3＋4k 2－m 2>0，又 x 1＋x 2＝－8km2，x 1x 2＝2－34 m2 ，(6 分)3＋4k3＋ 4k3m 2－12k 2所以 y 1y 2＝ (kx 1 ＋m)(kx 2＋ m)＝k 2x 1x 2＋ km(x 1＋x 2)＋ m 2＝ 3＋4k 2.由 3x 1 2＋2 －32 －12k2分1 2＝ ，得×4 m2＋ 4×3m2 ＝ 0，即 2m 2＝ 3＋ 4k 2)x4y y 03 3＋4k3＋ 4k.(8|AB| ＝ ＋ 2|x 1 － 2| ＝＋ 2 ·1＋ 2 2－4x 1 2 ＝ ＋ 2 ·48 3＋4k 2－m 2＝ 1 k x1 kx x x1 k3＋4k 2 2＋2· 12|m| ＝ m 22，点 O 到 AB 的距离 d ＝2 ＋ 2，(10 分)1km1＋k k1所以 S △ AOB ＝ 1·· ＝1· ＋ 2· 12m 2 ＝ 3，故三角形 AOB 的面积为 3.(12 分)2 d |AB| 21 km2·1＋k 2．(12 分) 已知函数2x－ae x －xex≥ ，e 为自然对数的底数 ) ，若f(x) ≥0 对于x21f(x)＝ ae(a 0∈R 恒成立．(1)务实数 a 的值；ln 2 11(2)证明： f(x)存在独一极大值点 x 0，且 2e ＋4e 2≤f(x 0)<4.分析(1)由 f(x)＝ e x (ae x －a －x)≥0 可得 g(x)＝ ae x －a －x ≥0.∵ g(0)＝0，∴ g(x)≥ g(0)，∴ x ＝0 是 g(x)的一个极小值点，∵ g ′ (x)＝ae x －1，∴ g ′ (0)＝a －1＝0? a ＝1.(2 分)当 a ＝1 时， g(x)＝e x －1－x ，g ′(x)＝ e x－1，∵ x ∈(－∞， 0)，g ′(x)<0，g(x)在 (－∞ ，0)上单一递减；x ∈(0，＋ ∞)，g ′(x)>0，g(x)在(0，＋ ∞)上单一递加；∴ g(x)≥g(0)＝0，∴ a ＝ 1.(4 分)(2)当 a ＝1 时， f(x)＝e 2x －e x －xe x ，f ′ (x)＝e x (2e x － x － 2)．令 h(x)＝2e x －x －2，则 h ′ (x)＝ 2e x －1，∵ x ∈(－∞，－ ln 2) ，h ′(x)<0，h(x)在(－∞，－ ln 2) 上为减函数；x ∈(－ln 2，＋ ∞)， h ′ (x)>0， h(x)在(－ln 2，＋ ∞)上为增函数，∵ h(x)在(－ ∞，－ ln 2)上为减函数， ∴ x ∈(－∞， x 0)时 h(x)>0，即 f ′ (x)>0， f(x)在(－ ∞，x 0)上为增函数；x ∈(x 0，－ ln 2) 时， h(x)<0，即 f ′ (x)<0， f(x)在(x 0，－ ln 2)上为减函数．∴ f(x)在 (－∞ ，－ ln 2) 上只有一个极大值点 x 0 ，(7 分)因为 h(0)＝ 0，且 h(x)在 (－ ln 2，＋ ∞)上为增函数，∴ x ∈(－ln 2,0)时， h(x)<0，即 f ′ (x)<0， f(x)在(－ ln 2,0)上为减函数；x ∈(0，＋ ∞)时， h(x)>0，即 f ′ (x)>0， f(x)在(0，＋ ∞)上为增函数．∴ f(x)在 (－ln 2，＋ ∞)上只有一个极小值点 0.(8 分 )综上可知， f(x)存在独一的极大值点 x 0，且 x 0∈(－2，－ 1)． (9 分)∵ h(x 0)＝0，∴ 2ex 0－x 0－ 2＝ 0，x 0＋2x 0＋22 ＋2x 0∴ f(x 0 ) ＝ e2x 0－ex 0－ 0 0＝2x 0 ，x 0∈ － ，－ ， 分)－x ex22 (x ＋1)＝－4( 21) (10∵ x ∈(－2，－ 1)时，－ x 2 ＋2x 114 <4，∴ f(x )<4.∵ ln 1∈(－2，－ 1)，∴ f(x 0 ) ≥ f ln 1 ＝ln 2＋ 122e2e2e 4e.ln 211综上知， 2e ＋4e 2≤f(x 0)<4.(12 分)(二)选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题计分．22．(10 分)选修 4－ 4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为x ＝1＋4t ， (t 是参数 )，以坐标原点为极点，y ＝1＋3tx 轴的正半轴为极轴成立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为 ρ 3＋sin 2θ＝2 3. (1)写出 C 的直角坐标方程；(2)已知点 P(1,1)，直线 l 与 C 交于 A ，B 两点，求 ||PA|－|PB||的值． 分析2 θ＝ 222 θ＝(1)ρ 3＋sin2 ρ＋ρ123? 3sin2 22x ＋ y＝ρ，x 2 y 2化简可得 C 的直角坐标方程为 4 ＋ 3 ＝1.(4 分)3(2)由 l 的参数方程可得直线 l 过点 P(1,1)，且直线 l 的斜率是 4，所以过点 P(1,1)的直线 l4x ＝1＋5t ，的参数方程为(t 是参数 )，3y ＝1＋5t4x ＝1＋5t ，x 2 y 2 将3(t 是参数 )代入 4 ＋3 ＝1，y ＝1＋5t整理得 84t 2＋240t － 125＝0，20t 1＋t 2＝－ 7 ，设 A ，B 两点所对应的参数分别为t 1，t 2，则125t 1t 2＝－ 84 ，20所以 ||PA|－|PB||＝|t 1＋t 2|＝ 7 .(10 分)23．(10 分)选修 4－ 5：不等式选讲已知函数 f(x)＝|x －a|－|2x －1|(1)当 a ＝2 时，解不等式 f(x)≥ 1；1(2)求证： f(x)≤ a －2 .分析(1)当 a ＝2 时， f(x)＝|x －2|－ |2x －1|.1所以 x<2， 或2－x －1＋2x ≥1，1≤x ≤ 2， x>2， 2或2－x － 2x ＋1≥1，x －2－2x ＋1≥1，22解得 0≤x ≤3，所以当 a ＝2 时，不等式 f(x)≥1 的解集为 x 0≤x ≤3 .(5 分)(2)证明： f(x)＝|x －a|－|2x －1|1＝ |x － a|－2 x －21≤ |a－ x|－ x－21 1≤a－ x ＋ x－2 ＝ a－2 .(10 分)。

秘籍14 选考内容1.在平面直角坐标系中，坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为（2，0），（2√33，π2）．圆C 的参数方程为{x =2+2cosθy =−3+2sinθ，（θ为参数）．（Ⅰ）设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； （Ⅱ）判断直线l 与圆C 的位置关系． 【解答】：（Ⅰ）M ，N 的极坐标分别为（2，0），（2√33，π2），所以M 、N 的直角坐标分别为：M （2，0），N （0，2√33），P 为线段MN 的中点（1，√33），直线OP 的平面直角坐标方程y=√33x ；（Ⅱ）圆C 的参数方程{x =2+2cosθy =−3+2sinθ（θ为参数）．它的直角坐标方程为：（x ﹣2）2+（y+3）2=4，圆的圆心坐标为（2，﹣3），半径为2，直线l 上两点M ，N 的直角坐标分别为M （2，0），N （0，2√33），方程为x+√3y ﹣2=0，圆心到直线的距离为：|2−3√3−2|√12+(√3)2=3√32＞2， 所以，直线l 与圆C 相离．极坐标与直角坐标的互化方法（1）互化的前提：①直角坐标系的原点与极点重合；②x 轴的正半轴与极轴重合；③在两种坐标系中取相同的长度单位．（2）互化公式：设M 是平面内任一点，它的直角坐标是（x ，y ），极坐标是（ρ，θ），则极坐标与直角坐标的互化公式为cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，222tan (0)x y yx x ρθ⎧=+⎪⎨=≠⎪⎩．2.在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为{x =t+1y =2t +6（其中t 为参数），现以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρ2﹣4ρcos θ+3=0． （Ⅰ）写出直线l 和曲线C 的普通方程；（Ⅱ）已知点P 为曲线C 上的动点，求P 到直线l 的距离的最大值和最小值． 【解答】：（Ⅰ）∵直线l 的参数方程为{x =t +1y =2t +6（其中t 为参数），∴直线l 的普通方程为y=2x+4，∵曲线C 的极坐标方程为ρ2﹣4ρcos θ+3=0．ρ2=x 2+y 2，ρcos θ=x ，ρsin θ=y ， ∴曲线C 的普通方程为x 2+y 2﹣4x+3=0．（Ⅱ）如图，过圆心C 作l 的垂线m ，交圆于A 、B 两点，则A 点到直线l 的距离最小，B 点到直线l 的距离最大，记垂足为Q ， 则|CQ|=√5=8√55，∴圆上点P 到l 的距离的最小值为|AQ|=8√55﹣1，最大值为|BQ|=8√55+1．1．参数方程和普通方程的互化（1）曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，将参数方程化为普通方程需消去参数． （2）如果知道变量x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如，x =f （t ），把它代入普通方程，求出另一个变量与参数t 的关系y =g （t ），那么x f t y g t =⎧⎨=⎩（），（）就是曲线的参数方程．（1）在参数方程与普通方程的互化中，一定要注意变量的范围以及转化的等价性．（2）普通方程化为参数方程，参数方程的形式不唯一，即如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同． 2．几种常见曲线的参数方程 （1）圆以O ′（a ，b ）为圆心，r 为半径的圆的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos α，y ＝b ＋r sin α，其中α是参数．当圆心在（0，0）时，方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos α，y ＝r sin α，其中α是参数．（2）椭圆椭圆x 2a 2＋y 2b 2=1（a >b >0）的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a cos φ，y ＝b sin φ，其中φ是参数．椭圆x 2b 2＋y 2a 2=1（a >b >0）的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b cos φ，y ＝a sin φ，其中φ是参数．（3）直线经过点P 0（x 0，y 0），倾斜角为α的直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α，其中t 是参数．3．已知函数f （x ）=|x+1|﹣|x ﹣2|． （1）求不等式f （x ）≥1的解集；（2）若不等式f （x ）≥x 2﹣x+m 的解集非空，求m 的取值范围．【解答】：（1）∵f （x ）=|x+1|﹣|x ﹣2|={−3，x ＜−12x −1，−1≤x ≤23，x ＞2，f （x ）≥1，∴当﹣1≤x ≤2时，2x ﹣1≥1，解得1≤x ≤2； 当x ＞2时，3≥1恒成立，故x ＞2； 综上，不等式f （x ）≥1的解集为{x|x ≥1}．（2）原式等价于存在x ∈R 使得f （x ）﹣x 2+x ≥m 成立，即m ≤[f （x ）﹣x 2+x]max ，设g （x ）=f （x ）﹣x 2+x ．由（1）知，g （x ）={−x 2+x −3，x ≤−1−x 2+3x −1，−1＜x ＜2−x 2+x +3，x ≥2，当x ≤﹣1时，g （x ）=﹣x 2+x ﹣3，其开口向下，对称轴方程为x=12＞﹣1， ∴g （x ）≤g （﹣1）=﹣1﹣1﹣3=﹣5；当﹣1＜x ＜2时，g （x ）=﹣x 2+3x ﹣1，其开口向下，对称轴方程为x=32∈（﹣1，2）， ∴g （x ）≤g （32）=﹣94+92﹣1=54；当x ≥2时，g （x ）=﹣x 2+x+3，其开口向下，对称轴方程为x=12＜2，∴g （x ）≤g （2）=﹣4+2+3=1； 综上，g （x ）max =54，∴m 的取值范围为（﹣∞，54]．1．|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c 型不等式的解法（1）若c >0，则|ax ＋b |≤c ⇔–c ≤ax ＋b ≤c ，|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤–c ，然后根据a ，b 的取值求解即可；（2）若c <0，则|ax ＋b |≤c 的解集为∅，|ax ＋b |≥c 的解集为R ． 2．|x –a |＋|x –b |≥c ，|x –a |＋|x –b |≤c （c >0）型不等式的解法零点分区间法零点分区间法的一般步骤为：①令每个绝对值符号内的代数式为零，并求出相应的根；②将这些根按从小到大排序，并把实数集分成若干个区间；③由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出解集； ④取各个不等式解集的并集即可得到原不等式的解集．几何法（利用|x –a|的几何意义）由于|x –a|+|x –b|与|x –a|–|x –b|分别表示数轴上与x 对应的点到与a ，b 对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如|x –a|+|x –b|≤c （c >0）或|x –a|–|x –b|≥c （c >0）的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观．数形结合法通过构造函数，利用函数的图象求解，体现函数与方程的思想，正确求出函数的零点并画出函数图象是解题的关键．3．|f （x ）|>g （x ），|f （x ）|<g （x ）（g （x ）>0）型不等式的解法： ①|f （x ）|>g （x ）⇔f （x ）>g （x ）或f （x ）<–g （x ）； ②|f （x ）|<g （x ）⇔–g （x ）<f （x ）<g （x ）．4．设函数f （x ）=|x ﹣1|﹣|x+2|，若﹣2＜f （a ）＜0，﹣2＜f （b ）＜0． （1）证明：|a+b|＜1；（2）比较2|a ﹣b|与|1﹣4ab|的大小．【解答】：（1）f(x)={3，x ＜−2−2x −1，−2≤x ＜1−3，x ≥1，由{−2≤x ＜1−2＜−2x −1＜0得−12＜x ＜12．从而−12＜a ＜12，−12＜b ＜12，即|b|≤12．|b|＜12；所以|a +b|≤|a|+|b|＜12+12=1．（2）（2|a ﹣b|）2﹣|1﹣4ab|2=（4a 2﹣1）（4b 2﹣1）． 由（1）得a 2＜14，b 2＜14，所以（4a 2﹣1）（4b 2﹣1）＞0，故2|a ﹣b|＞|1﹣4ab|．不等式证明的常用方法有比较法、分析法、综合法、反证法等． （1）如果已知条件与待证结论直接联系不明显，可考虑用分析法；（2）如果待证命题是否定性命题、唯一性命题或以“至少”“至多”等方式给出的，则考虑用反证法；（3）如果待证不等式与自然数有关，则考虑用数学归纳法．在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明．1．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知圆C的极坐标方程为ρ2﹣4√2ρcos（θ﹣π4）+6=0．（1）将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；（2）若点P（x，y）在圆C上，求x+y的最大值和最小值．【解答】：（1）由ρ2−4√2ρcos(θ−π4)+6=0，得ρ2−4√2ρ(cosθcosπ4+sinθsinπ4)+6=0，即ρ2−4√2ρ(√22cosθ+√22sinθ)+6=0，ρ2﹣4ρcosθ﹣4ρsinθ+6=0，即x2+y2﹣4x﹣4y+6=0为所求圆的普通方程，整理为圆的标准方程（x﹣2）2+（y﹣2）2=2，令x﹣2=√2cosα，y﹣2=√2sinα．得圆的参数方程为{x=2+√2cosαy=2+√2sinα（α为参数）；（2）由（1）得：x+y=4+√2(cosα+sinα)=4+2sin（α+π4），∴当sin（α+π4）=1时，x+y的最大值为6，当sin（α+π4）=﹣1时，x+y的最小值为2．故x+y的最大值和最小值分别是6和2．1．将参数方程化为普通方程的方法（1）将参数方程化为普通方程时，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数基本关系式消参，如sin2θ+cos2θ=1等；（2）将参数方程化为普通方程时，要注意参数的取值范围对普通方程中点的坐标的影响，注意两种方程的等价性，避免产生增解的情况．2．将普通方程化为参数方程的方法只要适当选取参数t ，确定x =f （t ），再代入普通方程，求得y =g （t ），即可化为参数方程x f t y g t =⎧⎨=⎩（），（）．注意参数t 的意义和取值范围．选取参数的原则：（1）曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且相对简单；（2）当参数取某一个值时，可以唯一确定x ，y 的值．一般地，与时间有关的问题，常取时间作为参数；与旋转有关的问题，常取旋转角作为参数．此外也常常用线段的长度，直线的倾斜角、斜率、截距等作为参数． 3．化参数方程为普通方程的基本思路化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消参法、加减消参法、恒等式（三角的或代数的）消参法；极坐标方程与直角坐标方程的互化主要是用好“公式”．一般与极坐标方程和参数方程有关的问题多采用化为直角坐标方程的方法，结合图形，合理转化，加以求解．2.极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C 的极坐标方程为ρ=2（cos θ+sin θ）． （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）直线l ：{x =12ty =1+√32t （t 为参数）与曲线C 交于A ，B 两点，求|AB|． 【解答】解：（1）∵曲线C 的极坐标方程为ρ=2（cos θ+sin θ） ∴ρ2=2ρcos θ+2ρsin θ，∴x 2+y 2=2x+2y 即（x ﹣1）2+（y ﹣1）2=2（2）将l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得t 2﹣t ﹣1=0， 所以|AB|=|t 1|+|t 2|=|t 1﹣t 2|=√1+4=√51．求解与极坐标有关问题的主要方法（1）直接法：直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想配合使用；（2）间接法：转化为直角坐标系，用直角坐标求解．若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标．2．对于直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋aty ＝y 0＋bt （t 为参数）易忽视只有满足a 2＋b 2=1时t 才有几何意义．3．已知函数()|22|5f x x =+-.（1）解不等式：()|1|f x x ≥-;（2）已知1m ≥-,若函数()()||g x f x x m =+-的图象与x 轴围成一个三角形,求实数m 的取值范围. 【解析】（1）依题意,|22|5|1|x x +-≥-,①当1x <-时,原式化为2251x x ---≥-,解得8x ≤-; ②当11x -≤≤时,原式化为2251x x +-≥-,解得43x ≥,∵11x -≤≤,∴此时原不等式无解; ③当1x >时,原式化为2251x x +-≥-,解得2x ≥. 综上所述,不等式()|1|f x x ≥-的解集为(,8][2,)-∞-+∞U . （2）依题意,()(1)|22|5(|1|5)|1|0g m g m m m --=+--+-=+≥, 故()(1)g m g ≥-,当且仅当1m =-时取等号. 若1m =-,则()3|1|5g x x =+-满足题意;若1m >-,则33,,()|||22|53,1,37,1,x m x m g x x m x x m x m x m x --≥⎧⎪=-++-=+--≤<⎨⎪-+-<-⎩因为()(1)g m g >-,此时函数()g x 的图象和x 轴围成一个三角形等价于()230,(1)40,g m m g m =-≥⎧⎨-=-<⎩解得3[,4)2m ∈.综上所述,实数m 的取值范围为3[,4){1}2-U .1．可利用|||a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |去求形如f （x ）=|x –a |＋|x –b |或f （x ）=|x –a |–|x –b |的最值． 2．不等式恒成立问题关键在于利用转化思想，常见的有：f （x ）>a 恒成立⇔f （x ）min >a ；f （x ）<a 恒成立⇔f （x ）max <a ；f （x ）>a 有解⇔f （x ）max >a ；f （x ）<a 有解⇔f （x ）min <a ；f （x ）>a 无解⇔f （x ）max ≤a ；f （x ）<a 无解⇔f （x ）min ≥a ．4．已知函数f（x）=|2x+a|+|x﹣2|（其中a∈R）．（1）当a=﹣1时，求不等式f（x）≥6的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≥3a2﹣|2﹣x|恒成立，求a的取值范围．【解答】：（1）当a=﹣1时，函数f（x）=|2x﹣1|+|x﹣2|；则不等式为|2x﹣1|+|x﹣2|≥6；①当x≥2时，原不等式为2x﹣1+x﹣2≥6，解得：x≥3；≤x＜2时，原不等式为2x﹣1+2﹣x≥6，解得：x≥5．此时不等式无解；②当12③当x＜1时，原不等式为1﹣2x+2﹣x≥6，解得：x≤﹣1；2∴原不等式的解集为{x|x≤﹣1或x≥3}；（2）不等式f（x）≥3a2﹣|2﹣x|即为|2x+a|+|x﹣2|≥3a2﹣|2﹣x|；即关于x的不等式|2x+a|+2|x﹣2|≥3a2恒成立；而|2x+a|+2|x﹣2|=|2x+a|+|2x﹣4|≥|（2x+a）﹣（2x﹣4）|=|a+4|；∴|a+4|≥3a2；∴a+4≥3a2或a+4≤﹣3a2；或a∈∅；解得−1≤a≤43]．所以a的取值范围是[−1，431．不等式恒成立问题不等式的解集为R是指不等式恒成立问题，而不等式的解集为φ的对立面也是不等式恒成立问题，如f （x）>m的解集为φ，则f（x）≤m恒成立．2．不等式能成立问题（1）在区间D上存在实数x使不等式f（x）>A成立，等价于在区间D上f（x）max>A；（2）在区间D上存在实数x使不等式f（x）<B成立，等价于在区间D上f（x）min<B．3．不等式恰成立问题（1）不等式f（x）>A在区间D上恰成立，等价于不等式f（x）>A的解集为D；（2）不等式f （x ）<B 在区间D 上恰成立，等价于不等式f （x ）<B 的解集为D ．5．设函数f （x ）=|3x ﹣1|．（Ⅰ）解不等式f （x ）﹣f （2﹣x ）＞x ； （Ⅱ）若a+b=2，证明：f （a 2）+f （b 2）≥4．【解答】：（Ⅰ）不等式f （x ）﹣f （2﹣x ）＞x ⇔|3x ﹣1|﹣|3x ﹣5|＞x ． 可化为{x ＞13−4＞x 或{13≤x ≤536x −6＞x 或{x ＞534＞x ，⇒x ∈∅，或65＜x ≤53或53＜x ＜4．∴原不等式解集为（65，4]． （Ⅱ）证明：∵a+b=2，∴a 2+b 22≥(a+b 2)2=1，即a 2+b 2≥2，f （a 2）+f （b 2）=|3a 2﹣1|+|3b 2﹣1|≥|3（a 2+b 2）﹣2|≥3×2﹣2=4．利用基本不等式、柯西不等式求最值的方法（1）在运用基本不等式求函数的最大（小）值时，常需要对函数式作“添、裂、配、凑”变形，使其完全满足基本不等式要求的“一正、二定、三相等”三个条件．（2）在应用柯西不等式求最大值时，要注意等号成立的条件，柯西不等式在排列上规律明显，具有简洁、对称的美感，运用柯西不等式求解时，按照“一看、二构造、三判断、四运用”可快速求解此类问题．1. 点 P(1,−√3)，则它的极坐标是 ( )A. (2,π3) B. (2,4π3) C. (2,−π3)D. (2,−4π3)2. 把方程 xy =2 化为以 t 为参数的参数方程是 ( )A. {x =2t 12,y =t 12B. {x =sint,y =2sintC. {x =2cost,y =1cost D. {x =tant,y =2tant3. 将点 M 的极坐标 (4,π6) 化成直角坐标为 ( )A. (2,2√3)B. (2√3,2)C. (2√2,2√2)D. (−2√3,2)4. 曲线 y =x 2 的一种参数方程是 ( )A. {x =t 2,y =t 4B. {x =sint,y =sin 2tC. {x =√t,y =tD. {x =t,y =t 2 5. 已知点 P 的极坐标是 (1,π3)，则过点 P 且垂直于极轴的直线的极坐标方程是 ( )A. ρ=1B. ρ=cosθC. ρ=−1cosθD. ρ=12cosθ6. 在同一平面的直角坐标系中，直线 x −2y =2 经过伸缩变换 {xʹ=xyʹ=4y 后，得到的直线方程为 ( )A. 2xʹ+yʹ=4B. 2xʹ−yʹ=4C. xʹ+2yʹ=4D. xʹ−2yʹ=47. 直线 l 的参数方程为 {x =−√3t,y =1+3t (t 为参数)，则 l 的倾斜角大小为 ( )A. π6 B . π3 C.2π3D.5π68. 在极坐标系中，直线 ρ(√3cosθ−sinθ)=2 与圆 ρ=4sinθ 的交点的极坐标为 ( )A. (2,π6) B. (2,π3) C. (4,π6) D. (4,π3)9. 极坐标方程 (ρ−3)(θ−π2)=0(ρ≥0) 表示的图形是 ( )A. 两个圆B. 一条直线和一条射线C. 两条直线D. 一个圆和一条射线10. 已知直线 {x =2+t,y =1+t （t 为参数）与曲线 M ：ρ=2cosθ 交于 P ，Q 两点，则 ∣PQ∣∣= ( )A. 1B. √2C. 2 D . 2√211. 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 {x =1+cosα,y =sinα（α 为参数）．若以射线 Ox 为极轴建立极坐标系，则曲线 C 的极坐标方程为 ( )A. ρ=sinθB. ρ=2sinθC. ρ=cosθD. ρ=2cosθ12. 在极坐标系中，圆 ρ=sinθ 的圆心的极坐标是 ( )A. (1,π2) B. (1,0) C. (12,π2) D. (12,0)13. 在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线 C 的极坐标方程为ρcos (θ−π3)=1，M ，N 分别为 C 与 x 轴，y 轴的交点．（1）写出 C 的直角坐标方程，并求 M ，N 的极坐标； （2）设 MN 的中点为 P ，求直线 OP 的极坐标方程．14. 在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为 {x =2+2cosφ,y =2sinφ（φ 为参数），以 O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆 C 的极坐标方程；（2）直线的极坐标方程是 2ρsin (θ+π3)=3√3，射线 OM ：θ=π3 与圆 C 的交点为 O ，P ，与直线的交点为 Q ，求线段 PQ 的长．15. 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 {x =2cosθ,y =4sinθ（θ 为参数），直线 l 的参数方程为{x =1+tcosα,y =2+tsinα（t 为参数）． （1）求 C 和 l 的直角坐标方程；（2）若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为 (1,2)，求 l 的斜率．16.在极坐标系中，已知曲线C ：ρ=2cos θ，将曲线C 上的点向左平移一个单位，然后纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线C 1，又已知直线l ：{x =tcos π3y =√3+tsin π3（t 是参数），且直线l 与曲线C 1交于A ，B 两点．（1）求曲线C 1的直角坐标方程，并说明它是什么曲线； （2）设定点P （0，√3），求1|PA|+1|PB|．17.在直角坐标系xOy 中，曲线M 的参数方程为{x =2+rcosθy =1+rsinθ（θ为参数，r ＞0），曲线N 的参数方程为{x =2√55t y =1+√55t（t 为参数，且t ≠0）．（1）以曲线N 上的点与原点O 连线的斜率k 为参数，写出曲线N 的参数方程； （2）若曲线M 与N 的两个交点为A ，B ，直线OA 与直线OB 的斜率之积为43，求r 的值．18．已知函数()|1||24|f x x x =++-.（1）解不等式：2()f x x >；（2）若关于x 的不等式2()|2|f x x x m <-++在[0,3]上无解，求实数m 的取值范围.19．已知函数()||f x x m =-，()||g x x n =+，其中0,0m n >>.（1）若函数)(x f 的图象关于直线2=x 对称，求不等式)()2(x f x f ≤+的解集； （2）若函数)()()(x g x f x h +=的最小值为1，求nm 11+的最小值及其相应的m 和n 的值.20．已知a ＞0，b ＞0，且a+b=1．（1）若ab ≤m 恒成立，求m 的取值范围；（2）若 4a +1b ≥|2x ﹣1|﹣|x+2|恒成立，求x 的取值范围．21．已知函数f （x ）=|x +1|–|x –2|．（1）求不等式f （x ）≥1的解集；（2）若不等式f （x ）≥x 2–x +m 的解集非空，求m 的取值范围．1. C2. D3. B 【解析】点 M 的极坐标 (4,π6) 化为直角坐标为 (4cos π6,4sin π6)，即 (2√3,2)． 4. D 5. D【解析】P 点坐标为 (12,√32)，所以垂直于极轴的直线方程为 x =12，所以极坐标方程为 ρ⋅cosθ=12．6. B 【解析】由 {xʹ=x yʹ=4y 得 {x =xʹy =yʹ4，代入直线 x −2y =2 得 xʹ−2×yʹ4=2，即 2xʹ−yʹ=4． 7. C 8. A9. D【解析】因为 (ρ−3)(θ−π2)=0(ρ≥0)，所以 ρ=3 或 θ=π2，所以 x 2+y 2=9 或 y 轴正半轴， 所以极坐标方程 (ρ−3)(θ−π2)=0(ρ≥0) 表示的图形是一个圆和一条射线． 10. C 11. D 12. C13.【解析】（1） 由 ρcos (θ−π3)=1，得 ρ(12cosθ+√32sinθ)=1．从而 C 的直角坐标方程为 12x +√32y =1．即 x +√3y =2．当 θ=0 时，ρ=2，所以 M (2,0)， 当 θ=π2 时，ρ=2√33，所以 N (2√33,π2)． （2） M 点的直角坐标为 (2,0)，N 点的直角坐标为 (0,2√33)． 所以 P 点的直角坐标为 (1,√33)，则 P 点的极点标为 (2√33,π6)， 所以直线 OP 的极坐标方程为 θ=π6(ρ∈R )．14.【解析】（1） 圆 C 的普通方程为 (x −2)2+y 2=4， 又 x =ρcosθ，y =ρsinθ，所以圆 C 的极坐标方程为 ρ=4cosθ． （2） 设 P (ρ1,θ1)，则由 {ρ=4cosθ,θ=π3,⇒ {ρ1=2,θ1=π3. 设 Q (ρ2,θ2)，则由 {ρ(sinθ+√3cosθ)=3√3,θ=π3, 解得 {ρ2=3,θ2=π3. 所以 ∣PQ ∣=1． 15.【解析】（1） 曲线 C 的直角坐标方程为x 24+y 216=1．当 cosα≠0 时，l 的直角坐标方程为 y =tanα⋅x +2−tanα， 当 cosα=0 时，l 的直角坐标方程为 x =1．（2） 将 l 的参数方程代入 C 的直角坐标方程，整理得关于 t 的方程 (1+3cos 2α)t 2+4(2cosα+sinα)t −8=0, ⋯⋯①因为曲线 C 截直线 l 所得线段的中点 (1,2) 在 C 内，所以 ① 有两个解，设为 t 1，t 2，则 t 1+t 2=0．又由 ① 得 t 1+t 2=−4(2cosα+sinα)1+3cos 2α，故 2cosα+sinα=0，于是直线 l 的斜率 k =tanα=−2．16.【解析】：（1）曲线C 的直角坐标方程为：x 2+y 2﹣2x=0即（x ﹣1）2+y 2=1． ∴曲线C 1的直角坐标方程为x 24+y 2=1，∴曲线C 表示焦点坐标为（﹣√3，0），（√3，0），长轴长为4的椭圆.（2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的方程x 24+y 2=1中，得134t 2+12t +8=0． 设A 、B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，∴t 1+t 2=﹣4813，t 1t 2=3213，∴1|PA|+1|PB|=|t 1+t 2t 1t 2=32．17.【解析】：（1）曲线M 的参数方程为{x =2+rcosθy =1+rsinθ（θ为参数，r ＞0），将{x =2√55ty =1+√55t消去参数t ，得x ﹣2y+2=0（x ≠0）．曲线N 的参数方程为{x =2√55ty =1+√55t（t 为参数，且t ≠0）．由{x −2y +2=0y =kx ，得{x =22k−1y =2k 2k−1． 故曲线N 的参数方程为{x =22k−1y =2k 2k−1（k 为参数，且k ≠12）． （2）曲线M 的普通方程为（x ﹣2）2+（y ﹣1）2=r 2，将{x =22k−1y =2k 2k−1代入（x ﹣2）2+（y ﹣1）2=r 2并整理得（16﹣4r 2）k 2+（4r 2﹣32）k+17﹣r 2=0，因为直线OA 与直线OB 的斜率之积为43，所以17−r 216−4r 2=43，解得r 2=1，又r ＞0，所以r=1． 将r=1代入（16﹣4r 2）k 2+（4r 2﹣32）k+17﹣r 2=0，得12k 2﹣28k+16=0，△＞0， 故r=1．18．【解析】（1）依题意，2|1||24|x x x ++->，当1x <-时，原式化为2142x x x --+->，即2330x x +-<，解得312x --<<-；当12x -≤≤时，原式化为2142x x x ++->，即250x x +-<，解得112x --≤<； 当2x >时，原式化为2124x x x ++->，即2330x x -+<，无解.综上所述，所求不等式的解集为31()22---+. （2）由题意可知，[0,3]x ∈时，2|1||2|x x x m ++-≥+恒成立．当02x ≤≤时，23x m +≤，得2min (3)1m x ≤-=-； 当23x ≤≤时，221x m x +≤-，得2min (+21)4m x x ≤--=-.综上所述，实数m 的取值范围为(,4]-∞-．19．【解析】（1）Θ函数)(x f 的图象关于直线2=x 对称，2=∴m ，∴()|2|f x x =-，∴不等式)()2(x f x f ≤+可化为||x ≤|2|x -，即22)2(-≤x x ，化简得044≥+-x ，解得1≤x ，∴不等式)()2(x f x f ≤+的解集为{|1}x x ≤. （2）Θ()||f x x m =-，()||g x x n =+，∴)(x h ||||x m x n =-++， 由绝对值不等式的性质可得|||||()()|x m x n x m x n m n -++≥--+=+，∴函数)()()(x g x f x h +=的最小值为n m +，∴1=+n m ，由mn n m 2≥+得41≤mn ，∴4111≥=+=+mnmn n m n m ， 当且仅当⎩⎨⎧=+=1n m n m ，即21==n m 时等号成立，∴n m 11+的最小值为4，此时21==n m .20.【解析】：（1）∵a ＞0，b ＞0，且a+b=1，∴ab ≤（a+b 2）2=14，当且仅当a=b=12时“=”成立，由ab ≤m 恒成立，故m ≥14；（2）∵a ，b ∈（0，+∞），a+b=1，∴4a +1b =（4a +1b ）（a+b ）=5+4b a +ab ≥5+2√4ba ⋅ab =9， 故若 4a +1b ≥|2x ﹣1|﹣|x+2|恒成立，则|2x ﹣1|﹣|x+2|≤9， 当x ≤﹣2时，不等式化为1﹣2x+x+2≤9，解得﹣6≤x ≤﹣2， 当﹣2＜x ＜12，不等式化为1﹣2x ﹣x ﹣2≤9，解得﹣2＜x ＜12，当x ≥12时，不等式化为2x ﹣1﹣x ﹣2≤9，解得12≤x ≤12，综上所述x 的取值范围为[﹣6，12]．21．【解析】（1）∵f （x ）=|x +1|–|x –2|=31211232x x x x -<-⎧⎪--≤≤⎨⎪⎩，，，＞， ∵f （x ）≥1，∴当–1≤x ≤2时，2x –1≥1，解得1≤x ≤2；当x >2时，3≥1恒成立，故x >2． 综上，不等式f （x ）≥1的解集为{x |x ≥1}．（2）若不等式f （x ）≥x 2–x +m 的解集非空，则存在x ∈R 使得f （x ）–x 2+x ≥m 成立， 即m ≤[f （x ）–x 2+x ]max ，设g （x ）=f （x ）–x 2+x ．由（1）知，g （x ）=22231311232x x x x x x x x x ⎧-+-≤-⎪-+--<<⎨⎪-++≥⎩，，，，当x ≤–1时，g （x ）=–x 2+x –3，其开口向下，对称轴方程为x =12>–1， ∴g （x ）≤g （–1）=–1–1–3=–5；当–1<x <2时，g （x ）=–x 2+3x –1，其开口向下，对称轴方程为x =32∈（–1，2）， ∴g （x ）≤g （32）=–94+92–1=54； 当x ≥2时，g （x ）=–x 2+x +3，其开口向下，对称轴方程为x =12<2，∴g （x ）≤g （2）=–4+2+3=1； 综上，g （x ）max =54，∴m 的取值范围为（–∞，54]．。

2020高考数学（理）考前题型增分特训选填题 “12选择＋4填空”专项3时间：45分钟 满分：80分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≥0}，则∁R A ＝( ) A ．(1,2) B ．[1,2]C ．(－∞，1]∪[2，＋∞)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)解析：由题意，得∁R A ＝{x |x 2－3x ＋2＜0}＝{x |1＜x ＜2}，故选A. 答案：A2．已知i 为虚数单位，复数z (2＋i)＝3＋2i ，则下列结论正确的是( ) A ．z 的共轭复数为85－15iB ．z 的虚部为－15C ．z 在复平面内对应的点在第二象限D ．|z |＝95解析：因为复数z (2＋i)＝3＋2i ，所以z ＝3＋2i 2＋i ＝(3＋2i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝8＋i5，由此可得z ＝8＋i 5，选项A 错误；因为z ＝8－i 5，所以z 的虚部为－15，选项B 正确；z在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫85，－15，在第四象限，选项C 错误；|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫852＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－152＝6525＝655，选项D 错误，故选B. 答案：B3．已知向量AB →＝(1,2)，AC →＝(－3,1)，则AB →·BC →＝( ) A ．6 B ．－6 C ．－1D ．1解析：∵AB→＝(1,2)，AC →＝(－3,1)，∴BC →＝AC →－AB →＝(－4，－1)，∴AB →·BC →＝1×(－4)＋2×(－1)＝－6，故选B.答案：B4．下列函数既是奇函数，又在[－1,1]上单调递增的是( ) A ．f (x )＝|sin x | B ．f (x )＝lne －x e ＋xC ．f (x )＝12(e x －e －x )D ．f (x )＝ln(x 2＋1－x )解析：对于选项A ，f (－x )＝|sin(－x )|＝|sin x |＝f (x )，f (x )为偶函数，排除A.对于选项B ，f (－x )＝ln e ＋xe －x ＝－ln e －xe ＋x ＝－f (x )，f (x )为奇函数，且f (x )＝ln e －xe ＋x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1＋2e e ＋x ，易知其在[－1,1]上为减函数，排除B.对于选项C ，f (－x )＝12(e －x－e x )＝－12(e x －e －x )＝－f (x )，f (x )为奇函数．又y ＝e x 与y ＝－e －x 在[－1,1]上均为增函数，所以f (x )＝12(e x －e －x )在[－1,1]上为增函数，满足条件．对于选项D ，f (－x )＋f (x )＝ln(x 2＋1＋x )＋ln(x 2＋1－x )＝ln1＝0，即f (－x )＝－f (x )，f (x )为奇函数．又f (0)＝0，f (1)＝ln(2－1)＜0＝f (0)，不满足f (x )在[－1,1]上为增函数，排除D.综上可知，选C.答案：C5．已知(x ＋1)6(ax －1)2的展开式中，x 3系数为56，则实数a 的值为( ) A ．6或－1 B ．－1或4 C ．6或5D ．4或5解析：因为(x ＋1)6(ax －1)2＝(x ＋1)6(a 2x 2－2ax ＋1)，所以(x ＋1)6(ax －1)2的展开式中x 3系数是C 36－2a ·C 46＋C 56a 2＝6a 2－30a ＋20，∴6a 2－30a ＋20＝56，解得a ＝6或－1，故选A.答案：A6．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线均与圆x 2＋y 2－6y＋5＝0相切，则双曲线C 的离心率为( )A.32 B.23 C.62D.94 解析：双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ，即±bx －ay ＝0，圆x 2＋y 2－6y ＋5＝0化为标准方程是x 2＋(y －3)2＝4，若渐近线与此圆相切，则3aa 2＋b 2＝3ac＝2，则e ＝c a ＝32，故选A.答案：A7．如图，圆柱的底面半径为1，平面ABCD为圆柱的轴截面，从A点开始，沿着圆柱的侧面拉一条绳子到C点，若绳子的最短长度为3π，则该圆柱的侧面积为( )A．42π2B．22π2C．52π2D．4π2解析：沿AD将圆柱的侧面展开，绳子的最短长度即侧面展开图中A，C两点间的距离，连接AC，所以AC＝3π，展开后AB的长度为π.设圆柱的高为h，则AC2＝AB2＋h2，即9π2＝π2＋h2，得h＝22π，所以圆柱的侧面积为2×π×1×22π＝42π2，故选A.答案：A8．《中国好歌曲》的五位评委给一位歌手给出的评分分别是：x1＝18，x2＝19，x3＝20，x4＝21，x5＝22，现将这五个数据依次输入如图程序框进行计算，则输出的S值及其统计意义分别是( )A．S＝2，即5个数据的方差为2B．S＝2，即5个数据的标准差为2C．S＝10，即5个数据的方差为10D．S＝10，即5个数据的标准差为10解析：由程序框图知：算法的功能是求S ＝(x 1－20)2＋(x 2－20)2＋…＋(x i －20)2的值，∵跳出循环的i 值为5，∴输出S ＝15×[(18－20)2＋(19－20)2＋(20－20)2＋(21－20)2＋(22－20)2]＝15×(4＋1＋0＋1＋4)＝2，故选A.答案：A9．2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式．孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数p ，使得p ＋2是素数，素数对(p ，p ＋2)称孪生素数．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其中能够组成孪生素数的概率是( )A.115 B.215 C.245 D.445 解析：不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，根据素数对(p ，p ＋2)称为孪生素数，则由不超过30的素数组成的孪生素数为(3,5)，(5,7)，(11,13)，(17,19)，共有4组，能够组成孪生素数的概率为P ＝4C 210＝445，故选D. 答案：D10．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)的最小正周期为π，将函数y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位后得到y ＝g (x )的图象，则下列命题中不正确的是( )A ．函数y ＝g (x )图象的两条相邻对称轴之间距离为π2B ．函数y ＝g (x )图象关于x ＝11π12对称C ．函数y ＝g (x )图象关于⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫7π24，0对称D ．函数y ＝g (x )在⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，5π12内为减函数解析：由题可知，函数f (x )的最小正周期为π，其中ω>0，所以ω＝2ππ＝2，所以函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6，将函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6的图象向左平移π4个单位后得到g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6，对于A 项，函数g (x )的最小正周期为T ＝2πω＝2π2＝π，相邻两条对称轴之间的距离为T 2＝π2，故A 项正确．对于选项B ，令2x ＋π6＝k π(k ∈Z )，可得函数g (x )的对称轴为x ＝k π2－π12(k ∈Z )，当k ＝2，x ＝11π12，故B 项正确．对于C 项，令2x ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )，可得函数g (x )的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6＋k π2，0(k ∈Z )，此时7π24不满足π6＋k π2，故C 项错误．对于选项D 项，由k π≤2x ＋π6≤(k ＋1)π(k ∈Z )，解得k π2－π12≤x ≤5π12＋k π2(k ∈Z )，当k ≥0时，函数g (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π12，5π12，故D 项正确．故选C.答案：C11．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2AD ，E 是DD 1的中点，BF ＝C 1K ＝14AB ，设过点E ，F ，K 的平面与平面ABCD 的交线为l ，则直线l 与直线A 1D 1所成角的正切值为( )A．1 B．2C．3 D．4解析：延长KE，交CD延长线于点M，延长KF，交CB延长线于点N，连结MN，则MN是过点E、F、K的平面与平面ABCD的交线l，∵A1D1∥CN，∴∠MNC是直线l与直线A1D1所成角(或所成角的补角)，设AB＝AA1＝2AD＝2，∵E是DD1的中点，BF＝C1K＝14AB，∴DE＝1，BF＝C1K＝14AB＝12，∵CK＝32，∴MDMC＝DECK，NBNC＝BFCK，即MDMD＋2＝132，NBNB＋1＝1232，解得MD＝4，NB＝1 2，∴MC＝4＋2＝6，CN＝3 2，∴tan ∠MNC ＝MC NC＝632＝4， ∴直线l 与直线A 1D 1所成角的正切值为4，故选D. 答案：D12．对任意m ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1e ，e 2，都存在x 1，x 2(x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2)，使得ax 1－＝ax 2－＝m ln m －m ，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围是( )A ．(e 2，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(1，e 2)D ．(0,1)解析：由题意可知，对任意m ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1e ，e 2关于x 的方程ax －e x ＝m ln m －m 总有两个不相等的实数根．令f (m )＝m ln m －m ，m ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1e ，e 2，则f ′(m )＝ln m ＋1－1＝ln m ，当m ∈⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫1e ，1时，f ′(m )＜0，当m ∈(1，e 2]时，f ′(m )＞0，所以f (m )在⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫1e ，1上单调递减，在(1，e 2]上单调递增，所以f (m )min ＝f (1)＝－1.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1e ＝1e ln 1e －1e ＝－2e ，f (e 2)＝e 2ln e 2－e 2＝e 2，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1e ＞－1，所以f (m )的值域为[－1，e 2]，则所求问题转化为ax －e x ＝k (k ∈[－1，e 2])至少有两个实数根，即e x ＝ax －k (k ∈[－1，e 2])至少有两个实数根．考查临界情况：当k ＝e 2时，直线y ＝ax －e 2与指数函数y ＝e x 相切．由y ＝e x 得y ′＝e x ，设切点为(x 0，)，则切线斜率，y 的切线方程为y －＝(x －x 0)，切线过点(0，－e 2)，得－e 2－＝(0－x 0)，即e 2＋＝x，显然方程e 2＋＝x的根为x 0＝2，此时切线的斜率k ＝e 2，如图．由图可知，当切线的斜率a ＞e 2时，方程k ＝ax －e 2有两个不相等的实数根，所以a ＞e 2，故选A.答案：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋α＝13，则cos2α＋cos α＝________.解析：由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋α＝13，得cos α＝13，所以cos2α＋cos α＝2cos 2α－1＋cosα＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫132－1＋13＝－49.答案：－4914．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －2－5，x ＜3，－log 2(x ＋1)，x ≥3，若f (m )＝－6，则f (m －61)＝________.解析：∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －2－5，x ＜3，－log 2(x ＋1)，x ≥3，f (m )＝－6，∴当m ＜3时，f (m )＝3m －2－5＝－6，无解；当m ≥3时，f (m )＝－log 2(m ＋1)＝－6， 解得m ＝63，∴f (m －61)＝f (2)＝32－2－5＝－4. 答案：－415．已知两圆x 2＋y 2＋4ax ＋4a 2－4＝0和x 2＋y 2－2by ＋b 2－1＝0恰有三条公切线，若a ∈R ，b ∈R ，且ab ≠0，则1a 2＋1b2的最小值为________．解析：由题意得两圆相外切，两圆的标准方程分别为(x ＋2a )2＋y 2＝4，x 2＋(y －b )2＝1，圆心分别为(－2a,0)，(0，b )，半径分别为2和1，∴4a 2＋b 2＝3，∴4a 2＋b 2＝9， ∴1a 2＋1b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a 2＋1b 2×4a 2＋b 29＝59＋b 29a 2＋4a 29b 2≥59＋49＝1，当且仅当b 29a 2＝4a 29b 2时，等号成立，∴1a 2＋1b2的最小值为1.答案：116．如图，抛物线E ：y 2＝4x 的焦点为F ，点M 与F 关于坐标原点O 对称，过F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，使得AB ⊥BM ，又A 点在x 轴上的投影为C ，则|AF |＋|AC |－|BF |－|BC |＝________.解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，对于一般的抛物线方程y 2＝2px 和过焦点的直线方程x ＝my ＋p2，联立直线方程与抛物线方程得y 2－2pmy －p 2＝0，则y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝y 212p ·y 222p ＝p 24，则x 1x 2＝1，又AB ⊥BM ，得B 在以MF 为直径的圆上，故x22＋y22＝1，而y22＝4x2，得1－x22＝y22＝4x2，又|AF|－|BF|＝1＋x1－(1＋x2)＝x1－x2＝1x2－x2＝1－x22x2＝4x2x2＝4.由1－x22＝4x2，可得x2＝5－2(负值舍去)，则x1＝1x2＝5＋2，从而可得A(5＋2,25＋2)，B(5－2，－25－2)，注意到C(5＋2,0)，可得|AC|2－|BC|2＝4(5＋2)－[42＋4(5－2)]＝0，则|AC|－|BC|＝0，故|AF|＋|AC|－|BF|－|BC|＝4.答案：4。

2020高考数学模拟试题（理科）一、选择题（本大题共12小题）1.已知集合A={x|-1＜x＜2}，，则A∩B=（）A. B. C. D.2.命题“∀x∈N*，x2∈N*且x2≥x”的否定形式是（）A. ,且B. ,或C. ,且D. ,或3.已知数列{a n}中，“a n+12=a n•a n+2”是“数列{a n}为等比数列”的什么条件（）A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充分必要D. 既不充分也不必要4.设函数，若，则b等于（）A. 2B. 1C.D.5.已知，则cos2α=（）A. B. C. D.6.设向量满足，且与的夹角为，则=（）A. 2B. 4C. 12D.7.已知等差数列{a n}中，a3+a5=π，S n是其前n项和．则sin S7等于（）A. 1B. 0C.D.8.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则C等于（）A. B. C. 或 D. 或9.设f（x）是定义域为R的偶函数，且f（x+3）=f（x-1），若当x∈[-2，0]时，f（x）=2-x，记，，c=f（32），则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.10.已知函数f（x）=sin x-cos x，g（x）是f（x）的导函数，则下列结论中错误的是（）A. 函数的值域与的值域相同B. 若是函数的极值点,则是函数的零点C. 把函数的图象向右平移个单位,就可以得到函数的图象D. 函数和在区间上都是增函数11.在△ABC中，AC⊥AB，AB=2，AC=1，点P是△ABC所在平面内一点，，且满足，若，则2λ+μ的最小值是（）A. B. 5 C. 1 D.12.设函数，若存在f（x）的极值点x0满足，则m的取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题）13.已知曲线y=ax+ln x在点（1，a）处的切线过点（2，3），则a=______．14.已知函数f（x）=log a x+b（a＞0，a≠1）的定义域、值域都是[1，2]，则a+b= ______ ．15.由曲线，直线y=2x，x=2所围成的封闭的图形面积为______．16.用g（n）表示自然数n的所有因数中最大的那个奇数，例如：6的因数有1，2，3，6，g（6）=3，9的因数有1，3，9，g（9）=9，那么g（1）+g（2）+g（3）+…+g （22019-1）=______．三、解答题（本大题共6小题）17.给定两个命题，p：对任意实数x都有x2+ax+1≥0恒成立；q：幂函数y=x a-1在（0，+∞）内单调递减；如果p与q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．18.已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调递减区间；（Ⅱ）若f（x）在区间上的最小值为1，求m的最小值．19.设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S4=16．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）当d＞1时，记，求数列{c n}的前n项和T n．20.已知函数，，（Ⅰ）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若a=3，且对任意的x1∈[-1，2]，总存在，使g（x1）-f（x2）=0成立，求实数m的取值范围．21.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=3，求△ABC的周长L的取值范围．22.已知函数，函数g（x）=-2x+3．（Ⅰ）当a=2时，求f（x）的极值；（Ⅱ）讨论函数的单调性；（Ⅲ）若-2≤a≤-1，对任意x1，x2∈[1，2]，不等式|f（x1）-f（x2）|≤t|g（x1）-g（x2）|恒成立，求实数t的最小值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合A={x|-1＜x＜2}，={x|x≥0}，∴A∩B={x|0≤x＜2}=[0，2）．故选：C．分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】D【解析】解：命题的全称命题，则否定是特称命题，即∃x0∈N*，x02∉N*或x02＜x0，故选：D．根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．本题主要考查含有量词的命题的否定，结合全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键．比较基础．3.【答案】B【解析】解：若数列{a n}为等比数列，则满足a n+12=a n•a n+2，当数列a n=0时满足a n+12=a n•a n+2，但此时数列{a n}为等比数列不成立，即“a n+12=a n•a n+2”是“数列{a n}为等比数列”的必要不充分条件，故选：B．结合等比数列的性质，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等比数列的性质，利用特殊值法是解决本题的关键．比较基础．4.【答案】B【解析】解：根据题意，函数，则f（）=4×-b=3-b，若b≤2，则3-b≥1，此时f（f（））=f（3-b）=23-b=4，解可得b=1；若b＞2，则3-b＜1，此时f（f（））=f（3-b）=4×（3-b）-b=12-5b=4，解可得b=，（舍）故b=1；故选：B．根据题意，由函数的解析式可得f（）=4×-b=3-b，按b的范围分情况讨论，代入函数的解析式，求出b的值，综合可得答案．本题考查分段函数的解析式，涉及函数值的计算，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：已知，所以，利用三角函数的定义，解得，故cos2α=1-2sin2α=．故选：A．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，同角三角函数关系式的变换，倍角公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．6.【答案】D【解析】解：，∴，∴=．故选：D．根据条件可求出，进而求出，并且，从而根据进行数量积的运算即可求出的值．本题考查了根据向量得到坐标求向量的长度的方法，向量数量积的运算及计算公式，向量长度的求法，考查了计算能力，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：等差数列{a n}中，a3+a5=π，∴==，∴sin S7==sin（-）=-sin=-1．故选：C．由等差数列{a n}中，a3+a5=π，得==，由此能求出sin S7．本题考查等差数列中前7项和的正弦值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.【答案】A【解析】解：由于，所以，解得A=，由于a=，c=1，所以，解得，由于c＜a，所以．故选：A．直接利用正弦定理余弦定理的应用求出结果．本题考查的知识要点：正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．9.【答案】A【解析】解：∵f（x+3）=f（x-1），∴f（x+4）=f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，当x∈[-2，0]时，f（x）=2-x，则函数f（x）为减函数，即当x∈（0，2]时，f（x）为增函数，log2=-2，则=f（-2）=f（2），c=f（32）=f（9）=f（8+1）=f（1），∵1＜＜2，且当x∈（0，2]时，f（x）为增函数，∴f（1）＜f（）＜f（2），∴a＞b＞c，故选：A．根据f（x+3）=f（x-1），得到函数是周期为4的周期函数，结合函数的奇偶性和单调性的关系进行转化求解即可．本题主要考查函数值的大小比较，结合条件求出函数的周期，结合函数的周期性，奇偶10.【答案】C【解析】解：函数f（x）=sin x-cos x，∴g（x）=f'（x）=cos x+sin x，对于A，f（x）=sin（x-），g（x）=sin（x+），两函数的值域相同，都是[-，]，A正确；对于B，若x0是函数f（x）的极值点，则x0+=kπ，k∈Z；解得x0=kπ+，k∈Z；，g（x0）=sin（kπ+-）=0，∴x0也是函数g（x）的零点，B正确；对于C，把函数f（x）的图象向右平移个单位，得f（x-）=sin（x-）-cos（x-）=-cos x-sin x≠g（x），∴C错误；对于D，x∈，时，x-∈（-，0），f（x）是单调增函数，x+∈（0，），g（x）也是单调增函数，D正确．故选：C．求出函数f（x）的导函数g（x），再分别判断f（x）、g（x）的值域、极值点和零点，图象平移和单调性问题．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了导数的应用问题，是中档题．11.【答案】D【解析】解：以A为原点，AB，AC所在直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系，则A（0，0），B（2，0），C（0，1），，，∴，∴点M满足：（x-1）2+（y-2）2=1，设M（1+cosθ，2+sinθ），则由得：（1+cosθ，2+sinθ）=（2λ，μ），∴，2λ+μ的最小值是3-．故选：D．建系，分别表示出，，进而表示出，再用参数方程，结合三角函数求出范围．本题考查平面向量基本定理，结合三角函数求范围是关键，属于中档题．12.【答案】B【解析】解：函数，可得f′（x）=-，∵x0是f（x）的极值点，∴f′（x0）=0，即，得，k∈Z，即x0=mk，k∈Z，∴可转化为：，即k2m2+3＜m2，k∈Z，即，要使原问题成立，只需存在k∈Z，使成立即可，又k2的最小值为0，∴，解得或，故选：B．求出导函数f′（x）=-，利用f′（x0）=0，得到x0=mk，k∈Z，可转化为：k2m2+3＜m2，k∈Z，即要使原问题成立，只需存在k∈Z，使成立即可，转化求解表达式的最值即可．本题考查函数的导数的应用，函数的极值，以及成立条件的转化，考查计算能力，是中档题．13.【答案】1【解析】解：∵y=ax+ln x，∴y′=a+，则y′|x=1=a+1，∴曲线y=y=ax+ln x在点（1，a）处的切线方程为y-a=（a+1）（x-1），∵曲线y=ax+ln x在点（1，a）处的切线过点（2，3），解得：a=1．故答案为：1．求导函数，然后确定切线的斜率，可得切线方程，利用曲线y=ax+ln x在点（1，a）处的切线过点（2，3），建立等式，解之即可求出所求．本题考查了利用导数研究在曲线某点处的切线方程，考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题．14.【答案】或3【解析】【分析】本题考查对数函数的性质以及分类讨论的思想方法．分类讨论函数的单调性是正确解决本题关键．属于易错题．分类讨论a的取值范围，得到函数单调性，代入数据即可求解．【解答】解：当0＜a＜1时，易知函数f（x）为减函数，由题意有解得：a=，b=2，符合题意，此时a+b=；当a＞1时，易知函数为增函数，由题意有，解得：a=2，b=1，符合题意，此时a+b=3．综上可得：a+b的值为或3．故答案为：或3．15.【答案】3-2ln2【解析】解：依题意，由解得，∴封闭的图形面积为=（x2-2ln x）=3-2ln2．故答案为：3-2n2．求出曲线，直线y=2x的交点坐标，根据定积分的几何意义列式求解即可．本题考查了定积分的几何意义，定积分的求法，主要考查分析解决问题的能力和计算能力，属于基础题．16.【答案】【解析】解：由g（n）的定义易知g（n）=g（2n），且若n为奇数，则g（n）=n，令f（n）=g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2n-1），则f（n+1）=g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2n+1-1）=1+3+…+（2n+1-1）+g（2）+g（4）+…+g（2n+1-2）==4n+f（n），即f（n+1）-f（n）=4n，分别取n为1，2，…n，并累加得：，又f（1）=g（1）=1，所以，从而，令n=2019，则所求为：．故答案为：．据题中对g（n）的定义，判断出g（n）=g（2n），且若n为奇数则g（n）=n，利用等差数列的前n项和公式及逐差累加的方法及等比数列的前n项和公式求出g（1）+g（2）+g（3）+…+g（22019-1）．本题考查等差数列的前n项和公式、等比数列的前n项和公式、逐差累加的方法，是中档题．17.【答案】解：对任意实数x都有x2+ax+1≥0恒成立⇔△=a2-4≤0⇔-2≤a≤2，幂函数y=x a-1在（0，+∞）内单调递减⇔a-1＜0⇔a＜1，当p真q假时，有-2≤a≤2且a≥1，得1≤a≤2，当p假q真时，有a＜-2或a＞2且a＜1，得a＜-2，综上，所求实数a的取值范围是（-∞，-2）∪[1，2]．【解析】通过两个命题是真命题求出a的范围，然后通过当p真q假时，当p假q真时，求解即可．本题考查命题的真假的判断与应用，函数恒成立条件的转化，是基本知识的考查．18.【答案】解：（Ⅰ）由已知，有，=，=，所以f（x）的最小正周期：．由得f（x）的单调递减区间是．（Ⅱ）由（1）知，因为，所以．要使f（x）在区间上的最小值为1，即在区间上的最小值为-1．所以，即．所以m的最小值为．【解析】（Ⅰ）直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．（Ⅱ）利用正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．19.【答案】解：（Ⅰ）由题意有，即：，解得：或．故或．（Ⅱ）由d＞1，知a n=2n-1，，故．于是：①，②①-②得：，故．【解析】（Ⅰ）直接利用已知条件建立方程组，求出数列的通项公式．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，进一步利用乘公比错位相减法在数列求和中的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．20.【答案】解：（Ⅰ）令t=x2，则t∈[1，3]，记，问题转化为函数y=h（t）与y=a有两个交点，∵，可知当t∈（1，2）时，h′（t）＜0，可知当t∈（2，3）时，h′（t）＞0，∴函数h（t）在（1，2）递减，（2，3）递增，从而h（t）min=h（2）=4，，h（1）=5，由图象可得，当时，y=h（t）与y=a有两个交点，∴函数f（x）有两个零点时实数a的范围为：．（Ⅱ）由（1）知f（x）∈[1，2]，记A=[1，2]，当m＞0时，在[-1，2]上单调递增，∴，记，由题意得：B⊆A，∴且，解得：，当m＜0时，在[-1，2]上单调递减，∴，∴且，得，综上，所求实数m的取值范围为．【解析】（Ⅰ）令t=x2，则t∈[1，3]，记，问题转化为函数y=h（t）与y=a有两个交点，利用函数的导数判断函数的单调性求解函数的最小值然后求解实数a的范围．（Ⅱ）由（1）知f（x）∈[1，2]，记A=[1，2]，通过当m=0时，当m＞0时，当m＜0时，分类求实数m的取值范围，推出结果即可．本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）由已知得：，再由正弦定理得：，∵B=π-（A+C），∴sin B=sin（A+C）=sin A cos C+cos A sin C②又C∈（0，π），由①②得，，又A∈（0，π），∴．（Ⅱ）法一：由余弦定理：a2=b2+c2-2bc cos A得b2+c2-bc=9即：（b+c）2-3bc=9，而（当且仅当b=c=3时等号成立）从而，得b+c≤6，又b+c＞a=3，∴3＜b+c≤6，从而周长L∈（6，9]；法二：由正弦定理得：，∴，又，从而△ABC的周长L：=，，∴，∴，从而：L∈（6，9]．【解析】（Ⅰ）由条件可得，再结合正弦定理及三个角之间的关系可得，进而求出A；（Ⅱ）利用余弦定理再结合基本不等式可得3＜b+c≤6，则可求出周长L的范围．本题考查平面向量数量积的运算，设计到正、余弦定理，属于中档题．22.【答案】解：（Ⅰ）a=2时，f（x）=ln x-x2+x．∵．易知f（x）在（0，1）递增，（1，+∞）递减，∴f（x）极大值=f（1）=0，无极小值．（Ⅱ）．∴．①a≤0时，F′（x）＞0，恒成立，∴F（x）在（0，+∞）单调递增；②当a＞0，由F′（x）＞0得，F′（x）＜0得，所以F（x）在单调递增，在单调递减．综上：当a≤0时，F（x）在（0，+∞）单调递增；当a＞0时，F（x）在单调递增，在单调递减．（Ⅲ）由题知t≥0，．当-2≤a≤-1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）单调递增，不妨设1≤x1≤x2≤2．又g（x）单调递减，即f（x2）+tg（x2）≤f（x1）+tg（x1）对任意-2≤a≤-1，1≤x1≤x2≤2恒成立，记，则h（x）在[1，2]递减．对任意a∈[-2，-1]，x∈[1，2]恒成立．令．则在[1，2]上恒成立，则，而在[1，2]单调递增，∴，∴．【解析】（Ⅰ）当a=2时，f（x）=ln x-x2+x，求导得到增减区间，进而得到极值．（Ⅱ）.．①a≤0时，②当a＞0，讨论增减区间．（Ⅲ）当-2≤a≤-1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）单调递增，不妨设1≤x1≤x2≤2．不等式等价于f（x2）-f（x1）≤t[g（x1）-g（x2）]．即：f（x2）+tg（x2）≤f（x1）+tg（x1）对任意-2≤a≤-1，1≤x1≤x2≤2恒成立，记，则h（x）在[1，2]递减．对任意a∈[-2，-1]，x∈[1，2]恒成立．转化变量研究H（a）最大值小于等于0，进而求出t的取值范围本题考查函数的单调性的判断，考查实数的最小值的求法，考查函数性质、导数性质、构造法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是难题．。

2020年高考数学选择、填空题专项训练(共40套)三基小题训练一一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.函数y =2x +1的图象是 （ ）2.△ABC 中，cos A =135，sin B =53,则cos C 的值为 （ ）A.6556B.－6556C.－6516D. 65163.过点（1，3）作直线l ，若l 经过点（a ,0）和(0,b )，且a ,b ∈N *，则可作出的l 的条数为（ ）A.1B.2C.3D.多于34.函数f (x )=log a x (a ＞0且a ≠1)对任意正实数x ,y 都有 （ ）A.f (x ·y )=f (x )·f (y )B.f (x ·y )=f (x )+f (y )C.f (x +y )=f (x )·f (y )D.f (x +y )=f (x )+f (y )5.已知二面角α—l —β的大小为60°，b 和c 是两条异面直线，则在下列四个条件中，能使b 和c 所成的角为60°的是（ ）A.b ∥α,c ∥βB.b ∥α,c ⊥βC.b ⊥α,c ⊥βD.b ⊥α,c ∥β6.一个等差数列共n 项，其和为90，这个数列的前10项的和为25，后10项的和为75，则项数n 为 （ ）A.14B.16C.18D.207.某城市的街道如图，某人要从A 地前往B 地，则路程最短的走法有 （ ）A.8种B.10种C.12种D.32种8.若a ,b 是异面直线，a ⊂α,b ⊂β,α∩β=l ，则下列命题中是真命题的为（ ）A.l 与a 、b 分别相交B.l 与a 、b 都不相交C.l 至多与a 、b 中的一条相交D.l 至少与a 、b 中的一条相交9.设F 1，F 2是双曲线42x －y 2=1的两个焦点，点P 在双曲线上，且1PF ·2PF =0，则|1PF |·|2PF |的值等于（ ） A.2B.22C.4D.810.f (x )=(1+2x )m +(1+3x )n (m ,n ∈N *)的展开式中x 的系数为13，则x 2的系数为（ ）A.31B.40C.31或40D.71或8011.从装有4粒大小、形状相同，颜色不同的玻璃球的瓶中，随意一次倒出若干粒玻璃球（至少一粒），则倒出奇数粒玻璃球的概率比倒出偶数粒玻璃球的概率（ ）A.小B.大C.相等D.大小不能确定12.如右图，A 、B 、C 、D 是某煤矿的四个采煤点，l 是公路，图中所标线段为道路，ABQP 、BCRQ 、CDSR 近似于正方形.已知A 、B 、C 、D 四个采煤点每天的采煤量之比约为5∶1∶2∶3，运煤的费用与运煤的路程、所运煤的重量都成正比.现要从P 、Q 、R 、S 中选出一处设立一个运煤中转站，使四个采煤点的煤运到中转站的费用最少，则地点应选在（ ）A.P 点B.Q 点C.R 点D.S 点二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上）13.抛物线y 2=2x 上到直线x －y +3=0距离最短的点的坐标为_________.14.一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2，3，6，这个长方体对角线的长是_________.15.设定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x +1)+f (x )=1,且当x ∈［1,2］时，f (x )=2－x ,则f (8.5)=_________.16.某校要从甲、乙两名优秀短跑选手中选一名选手参加全市中学生田径百米比赛，该校预先对这两名选手测试了8次，测试成绩如下：第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 甲成绩（秒） 12.1 12.2 13 12.5 13.1 12.5 12.4 12.2 乙成绩（秒）1212.412.81312.212.812.312.5根据测试成绩，派_________（填甲或乙）选手参赛更好，理由是____________________. 答案：一、1.A 2.D 3.B 4.B 5.C 6.C 7.B 8.D 9.A 10.C 11.B 12.B二、13.（21，1） 14.6 15. 21三基小题训练二一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如图，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，则以图中点 A 、B 、C 、D 、E 、F 、O 中的任意一点为始点，与始点不 同的另一点为终点的所有向量中，除向量OA 外，与向量OA 共线的向量共有（ ）A ．2个B ． 3个C ．6个D ． 7个2．已知曲线C ：y 2=2px 上一点P 的横坐标为4,P 到焦点的距离为5,则曲线C 的焦点到准线的距离为 ( )A ． 21B ． 1C ． 2D ． 43．若(3a 2 －312a ) n 展开式中含有常数项，则正整数n 的最小值是 （ ）A ．4B ．5C ． 6D ． 84． 从5名演员中选3人参加表演，其中甲在乙前表演的概率为 （ ）A ． 203B ． 103C ． 201D ． 1015．抛物线y 2=a(x+1)的准线方程是x=－3，则这条抛物线的焦点坐标是（ ） A.（3，0） B.（2，0） C.（1，0） D.（-1，0）6．已知向量ｍ＝（a ，b ），向量ｎ⊥ｍ，且｜ｎ｜＝｜ｍ｜，则ｎ的坐标可以为（ ） A.（a ，－b ） B.（－a ，b ） C.（b ，－a ） D.（－b ，－a ）7. 如果S =｛x ｜x =2n +1,n ∈Z ｝,T =｛x ｜x =4n ±1,n ∈Z ｝,那么A.S TB.T SC.S=TD.S ≠T8．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有 （ ）A ．36种B ．48种C ．72种D ．96种9．已知直线l 、m ，平面α、β，且l ⊥α,m β.给出四个命题：（1）若α∥β,则l ⊥m ; (2)若l ⊥m ,则α∥β;(3)若α⊥β,则l ∥m ;(4)若l ∥m ,则α⊥β,其中正确的命题个数是( )A.4B.1C.3D.2EF DOC BA10．已知函数f(x)＝log 2(x 2－ax ＋3a)在区间[2，＋∞)上递增，则实数a 的取值范围是（ ）A.(－∞，4)B.(－4，4]C.(－∞，－4)∪[2，＋∞)D.[－4，2)11．4只笔与5本书的价格之和小于22元，而6只笔与3本书的价格之和大于24元，则2只笔与3本书的价格比较（ ）A ．2只笔贵B ．3本书贵C ．二者相同D ．无法确定12．若α是锐角，sin(α－6π)=31,则cos α的值等于 A.6162- B. 6162+ C. 4132+ D. 3132-二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案填在题中横线上． 13．在等差数列｛a n ｝中，a 1=251,第10项开始比1大，则公差d 的取值范围是___________.14．已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1，底面边长与侧棱长的比为2∶1，则直线AB 1与CA 1所成的角为 。

2020高考数学（理）考前题型增分特训选填题 “12选择＋4填空”专项8时间：45分钟 满分：80分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 满足(3－4i)z ＝|3－4i|，则z 的虚部为( ) A ．－4B.45 C ．4D ．－45解析：因为(3－4i)z ＝|3－4i|，所以z ＝|3－4i|3－4i ＝32＋423－4i ＝5(3＋4i )(3－4i )(3＋4i )＝3＋4i 5，所以z 的虚部为45，故选B. 答案：B2．已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |－5＜x ＜5}，则( )A ．A ⊆B B ．B ⊆AC ．A ∩B ＝∅D ．A ∪B ＝R解析：由x 2－2x ＞0，得x ＞2或x ＜0，则A ＝{x |x ＞2或x ＜0}，又B ＝{x |－5＜x ＜5}，所以A ∪B ＝R ，故选D.答案：D3．如图是某手机商城2018年华为、苹果、三星三种品牌的手机各季度销量的百分比堆积图(如：第三季度华为销量约占50%，三星销量约占30%，苹果销量约占20%)，根据该图，以下结论中一定正确的是( )A ．四个季度中，每季度三星和苹果总销量之和均不低于华为的销量B ．苹果第二季度的销量小于第三季度的销量C ．第一季度销量最大的为三星，销量最小的为苹果D ．华为的全年销量最大解析：对于选项A ，第四季度中，华为销量大于50%，三星和苹果总销量之和低于华为的销量，故A 错误；对于选项B ，苹果第二季度的销量大于苹果第三季度的销量，故B 错误；对于选项C ，第一季度销量最大的是华为，故C 错误；对于选项D ，由图知，四个季度华为的销量都最大，所以华为的全年销量最大，故D 正确，故选D.答案：D4．设S n 是各项均不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 13＝13S 7，则a 7a 4等于( )A ．1B ．3C ．7D ．13解析：因为S n 是各项均不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 13＝13S 7，所以13(a 1＋a 13)2＝13×7(a 1＋a 7)2，即a 7＝7a 4，所以a 7a 4＝7，故选C.答案：C5．过点P (0,1)的直线l 与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相交于A ，B 两点，若|AB |＝2，则该直线的斜率为( )A ．±1B ．± 2C ．±3D ．±2解析：由题意设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，因为圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的圆心为(1,1)，半径为r ＝1，又弦长|AB |＝2，所以圆心到直线的距离为d ＝r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|AB |22＝1－12＝22，所以有|k |k 2＋1＝22，解得k ＝±1，故选A. 答案：A6．首届中国国际进口博览会期间，甲、乙、丙三家中国企业都有意向购买同一种型号的机床设备，他们购买该机床设备的概率分别为12，13，14，且三家企业的购买结果相互之间没有影响，则三家企业中恰有1家购买该机床设备的概率是( )A.2324B.524 C.1124D.124 解析：由题意可知三家企业中恰有1家购买该机床设备的概率是12×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12×13×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－13×14＝1124. 答案：C7．双曲线C ：x 2a2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，F 1，F 2分别为其左，右焦点，其渐近线上一点G 满足GF 1⊥GF 2，线段GF 1与另一条渐近线的交点为H ，H 恰好为线段GF 1的中点，则双曲线C 的离心率为( )A.2B ．2C ．3D ．4解析：由题意得双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±bax ，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，不妨令G 在渐近线y ＝b a x 上，则H 在y ＝－ba x 上，设G ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ，b a x ，由GF 1⊥GF 2得kGF 1·kGF 2＝－1，即bax x ＋c ·b ax x －c＝－1，解得x ＝a ，所以G (a ，b )，又H 恰好为线段GF 1的中点，所以H ⎝⎛⎭⎪⎪⎫a －c 2，b 2，因H 在y ＝－b a x 上，所以b 2＝－b a ×a －c 2，因此c ＝2a ，故离心率为2，故选B.答案：B8．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 2＋c 2－3bc＝a 2，bc ＝3a 2，则角C 的大小是( )A.π6或2π3B.π3C.2π3D.π6解析：∵b 2＋c 2－3bc ＝a 2， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝3bc 2bc＝32. 由0＜A ＜π，可得A ＝π6.∵bc ＝3a 2，∴sin B sin C ＝3sin 2A ＝34，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5π6－C sin C ＝34，即12sin C cos C ＋34(1－cos2C )＝34， 解得tan2C ＝3.又0＜C ＜5π6，∴2C ＝π3或4π3，即C ＝π6或2π3，故选A.答案：A9．如图，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点E 为BB 1上一动点，现有以下四个结论，其中不正确的结论是( )A ．平面AC 1E ⊥平面A 1BDB ．AE ∥平面CDD 1C 1C ．当E 为BB 1的中点时，△AEC 1的周长取得最小值D ．三棱锥A 1－AEC 1的体积不是定值解析：AC 1⊥平面A 1BD 是始终成立的，又AC 1⊂平面AC 1E ，所以平面AC 1E ⊥平面A 1BD ，故选项A 正确；平面AB 1∥平面C 1D ，所以选项B 正确；平面BCC 1B 1展开到与平面ABB 1A 1在同一个平面上，则当E 为BB 1的中点时，AE ＋EC 1最小，故选项C 正确；，故选项D 不正确，故选D.答案：D10．已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的图象如图所示，令g (x )＝f (x )＋f ′(x )，则下列关于函数g (x )的说法中正确的是( )A ．函数g (x )图象的对称轴方程为x ＝k π＋5π12(k ∈Z )B ．函数g (x )的最大值为2C ．函数g (x )的图象上存在点P ，使得在P 点处的切线与直线y ＝－3x ＋1平行D ．若函数h (x )＝g (x )＋2的两个不同零点分别为x 1，x 2，则|x 1－x 2|的最小值为π2解析：根据函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的图象知，A ＝2，T 4＝2π3－π6＝π2，∴T ＝2π，ω＝2πT＝1， 根据五点法画图知，当x ＝π6时，ωx ＋φ＝π6＋φ＝0，∴φ＝－π6，∴f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π6，∴f ′(x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π6，∴g (x )＝f (x )＋f ′(x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －π6－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －π6＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π12.令x ＋π12＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π－π12(k ∈Z )，∴函数g (x )的对称轴方程为x ＝k π－π12，k ∈Z ，A 错误； 当x ＋π12＝2k π，k ∈Z ，即x ＝2k π－π12时，k ∈Z ，函数g (x )取得最大值22，B 错误；g ′(x )＝－22sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π12，假设函数g (x )的图象上存在点P (x 0，y 0)，使得在P 点处的切线与直线l ：y ＝－3x ＋1平行，则k ＝g ′(x 0)＝－22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 0＋π12＝－3，得sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 0＋π12＝322＞1，显然不成立，所以假设错误，即C 错误；方程g (x )＝－2，则22cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π12＝－2，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π12＝－22，∴x ＋π12＝3π4＋2k π或x ＋π12＝5π4＋2k π，k ∈Z ，即x ＝2k π＋23π或x ＝2k π＋76π，k ∈Z ；所以方程的两个不同的解分别为x 1，x 2， 则|x 1－x 2|最小值为π2，故选D.答案：D11．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x )＝f (2－x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝4x －1，则在(1,3)上，f (x )≤1的解集是( )A.⎝⎛⎦⎥⎥⎤1，32B.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32，52C.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫32，3 D ．[2,3)解析：①作出x ∈[0,1]时，f (x )＝4x －1的图象．②由f (x )是定义在R 上的奇函数，其图象关于原点对称，作出x ∈[－1,0]时，f (x )的图象．③由f (x )＝f (2－x )知，f (x )的图象关于直线x ＝1对称，由此作出函数f (x )在(1,3)内的图象，如图所示．④作出f (x )＝1的图象．由f (x )＝1及x ∈[0,1]时，f (x )＝4x －1可得4x －1＝1，解得x ＝12，从而由对称性知，在(1,3)内f (x )与y ＝1交点的横坐标为32，由图可知，在(1,3)上，f (x )≤1的解集为⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫32，3，故选C.答案：C12．三棱锥D －ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为3的正三角形．若球O 的表面积为16π，则三棱锥D －ABC 体积的最大值为( )A.934 B.332 C ．2 3D ．33解析：由题意得△ABC 的面积为 12×3×3×sin π3＝934.又设△ABC 的外心为O 1，则AO 1＝23×323＝3.由4πR 2＝16π，得R ＝2. ∵OO 1⊥平面ABC ，∴OO 1＝1，∴球心O 在棱锥内部时，棱锥的体积最大． 此时三棱锥D －ABC 高的最大值为1＋2＝3， ∴三棱锥D －ABC 体积的最大值为 13×934×3＝934，故选A. 答案：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a ，b 满足|b |＝2|a |＝1，a ⊥(a －b )，则a 与2a ＋b 的夹角的余弦值为________．解析：由a ⊥(a －b )得a ·b ＝14，|2a ＋b |＝4a 2＋4a ·b ＋b 2＝3，则a 与2a＋b 的夹角的余弦值为cos 〈a,2a ＋b 〉＝a ·(2a ＋b )|a ||2a ＋b |＝2a 2＋a ·b|a ||2a ＋b |＝32.答案：3214．若⎠⎜⎛023x 2d x ＝n ，则(1＋x 3)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2－1x n 的展开式中x －4的系数为________．解析：由⎠⎜⎛023x 2d x ＝n 可得 n ＝8，∴(1＋x 3)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2－1x n ＝(1＋x 3)⎝⎛⎭⎪⎪⎫2－1x 8，二项展开式含有x －4，则⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2－1x 8展开式中含有x －4和x －7，则二项展开式分别为C 48·24·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1x 4和C 78·21·x 3·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1x 7，∴含有x －4的系数为C 48·24－C 78·21＝1104.答案：110415．已知点M(0,2)，过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线AB 交抛物线于A ，B 两点，若∠AMF ＝π2，则点B 坐标为________．解析：由抛物线方程得F(1,0)，设直线AB 方程为x ＝my ＋1，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，y 2＝4x得y 2－4my －4＝0，所以y 1y 2＝－4. 由∠AMF ＝π2，得AM→·MF →＝0. 又AM →＝(－x 1,2－y 1)，MF →＝(1，－2)， 所以－x 1－4＋2y 1＝0.又y 21＝4x 1，所以－y 214＋2y 1－4＝0，得y 1＝4.又y 1y 2＝－4，所以y 2＝－1.又y 22＝4x 2，所以x 2＝14，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14，－1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14，－1 16．在数列{a n }中，若a 1＝－2，a n a n －1＝2a n －1－1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1，则数列{b n }的前n 项和S n 的最小值为________． 解析：由题意知，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，∴b n ＝1a n －1＝12－1a n －1－1＝a n －1a n －1－1＝1＋1a n －1－1＝1＋b n －1，则b n －b n －1＝1(n ≥2，n ∈N *)，又b 1＝1a 1－1＝－13，∴数列{b n }是以－13为首项，1为公差的等差数列，b n ＝n －43.易知b 1<0，b 2>0，∴S n 的最小值为S 1＝b 1＝－13. 答案：－13。

2020高考数学（理）考前题型增分特训 解答题选填题“17～19题”＋“二选一”专项9时间：45分钟 满分：46分17．(12分)如图，在△ABC 中，点D 在BC 边上，∠ADC ＝60°，CD ＝2.(1)若AD ＝BD ＝3，求△ABC 的面积； (2)若AD ＝2，BD ＝4，求sin B 的值． 解：(1)当AD ＝BD ＝3时，△ABD 的面积S △ABD ＝12·AD ·BD ·sin ∠ADB ＝12·3·3·32＝934，△ACD 的面积S △ACD ＝12·AD ·CD ·sin ∠ADC ＝12·3·2·32＝332， △ABC 的面积S △ABC ＝S △ABD ＋S △ACD ＝934＋332＝1534.(2)当AD ＝2，BD ＝4时，∠ADB ＝180°－∠ADC ＝120°，在△ADB 中，由余弦定理可得AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠ADB ＝22＋42－2×2×4×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＝28，故AB ＝27.在△ADB 中，由正弦定理得AB sin ∠ADB＝AD sin ∠B，即2732＝2sin∠B，整理得sin∠B＝327＝2114.18．(12分)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，△ADE，△BCF均为等边三角形，EF∥AB，EF＝AD＝12AB.(1)过BD作截面与线段CF交于点N，使得AF//平面BDN，试确定点N的位置，并予以证明；(2)在(1)的条件下，求直线BN与平面ABF所成角的正弦值．解：(1)当N为线段FC的中点时，使得AF∥平面BDN.证明：连接AC，BD，设AC∩BD＝O.∵四边形ABCD为矩形，∴O为AC的中点．又∵N为FC的中点，∴ON为△ACF的中位线，∴AF∥ON. (2分)∵AF⊄平面BDN，ON⊂平面BDN，∴AF∥平面BDN，故N为FC的中点时，使得AF∥平面BDN.(4分)(2)过O作PQ∥AB分别与AD，BC交于P，Q.因为O为AC的中点，所以P，Q分别为AD，BC的中点．∵ΔADE 与ΔBCF 均为等边三角形，且AD ＝BC ， ∴ΔADE ≅ΔBCF ，连接EP ，FQ ，则得EP ＝FQ . ∵EF ∥AB ，AB 綊PQ ，EF ＝12AB ，∴EF ∥PQ ，EF ＝12PQ ，∴四边形EPQF 为等腰梯形．取EF 的中点M ，连接MO ，则MO ⊥PQ .(6分)又∵AD ⊥EP ，AD ⊥PQ ，EP ∩PQ ＝P ，∴AD ⊥平面EPQF . 过O 点作OG ⊥AB 于G ，则OG ∥AD ，∴OG ⊥ OM ，OG ⊥OQ .(8分)分别以OG→，OQ →，OM →的方向为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O －xyz ，不妨设AB ＝4，则由条件可得：O (0,0,0)，A (1，－2,0)，B (1,2,0)，F (0,1，2)，D (－1，－2，0)，N ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，32，22. AB→＝(0,4,0)，AF →＝(－1,3，2)．设n ＝(x ，y ，z )是平面ABF 的法向量， 则⎩⎨⎧n ·AB →＝0，n ·AF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧4y ＝0，－x ＋3y ＋2z ＝0，所以可取n ＝(2，0,1)． (10分)由BN →＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫－32，－12，22，可得|cos 〈BN→，n 〉|＝|BN →·n ||BN →|·|n |＝23， ∴直线BN 与平面ABF 所成角的正弦值为23.(12分)19．(12分)已知抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)经过点A (1,2)，过A 作两条不同直线l 1，l 2，其中直线l 1，l 2关于直线x ＝1对称．(1)求抛物线E 的方程及准线方程；(2)设直线l 1，l 2分别交抛物线E 于B 、C 两点(均不与A 重合)，若以线段BC 为直径的圆与抛物线E 的准线相切，求直线BC 的方程．解：(1)∵抛物线E 过点A (1,2)，∴2p ＝4，解得p ＝2， (2分) ∴抛物线的方程为y 2＝4x ，准线方程为x ＝－1.(4分)(2)法一：不妨设B 在C 的左边，从而可设直线AB 的方程为x －1＝m (y －2)(m ＞0)，即x ＝my －2m ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －2m ＋1，y 2＝4x 消去x 整理得y 2－4my ＋8m －4＝0.设B (x B ，y B )，则y B ＋2＝4m ，故y B ＝4m －2， ∴x B ＝4m 2－4m ＋1， ∴点B (4m 2－4m ＋1,4m －2)．(6分)又由条件得AB 与AC 的倾斜角互补，以－m 代替点B 坐标中的m ， 可得点C (4m 2＋4m ＋1，－4m －2)． ∴|BC |＝(－8m )2＋(8m )2＝82m ，且BC 中点的横坐标为x B ＋x C2＝4m 2＋1.(8分)∵以线段BC 为直径的圆与抛物线E 的准线相切， ∴4m 2＋1＋1＝|BC |2＝42m ，解得m ＝22， (10分)∴B (3－22，22－2)，C (3＋22，－22－2)∴k BC ＝－1，∴直线BC 的方程为y －(22－2)＝－(x －3＋22)，即x ＋y －1＝0.(12分)法二：设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，因为直线l 1，l 2关于x ＝1对称，所以AB 与AC 的倾斜角互补，所以k AB ＋k AC ＝y 1－2x 1－1＋y 2－2x 2－1＝y 1－2y 214－1＋y 2－2y 224－1＝4y 1＋2＋4y 2＋2＝0，所以y 1＋y 2＝－4， 所以k BC ＝y 1－y 2x 1－x 2＝y 1－y 2y 214－y 424＝4y 1＋y 2＝－1. (6分)设直线BC 的方程为y ＝－x ＋m ， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋m ，y 2＝4x消去y 整理得x 2－(2m ＋4)x ＋m 2＝0，所以x 1＋x 2＝2m ＋4，x 1x 2＝m 2， 所以|BC |＝2|x 1－x 2|＝42m ＋1，且BC 中点D 的横坐标为x 1＋x 22＝m ＋2.(8分)因为以线段BC 为直径的圆与抛物线的准线x ＝－1相切， 所以x 1＋x 22＋1＝|BC |2，即m ＋3＝22m ＋1，解得m ＝1， (10分)所以直线BC 的方程为y ＝－x ＋1， 即x ＋y －1＝0.(12分)(二)选考题：共10分，请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋r cos αy ＝r sin α(α为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π6＝3，且曲线C 1与C 2恰有一个公共点．(1)求曲线C 1的极坐标方程；(2)已知曲线C 1上两点A ，B 满足∠AOB ＝π4，求△AOB 面积的最大值．解：(1)曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π6＝32ρsin θ＋12ρcos θ＝3，将ρsin θ＝y ，ρcos θ＝x 代入上式可得C 2的直角坐标方程为32y ＋12x ＝3，即x ＋3y －6＝0，所以曲线C 2为直线．又曲线C 1是圆心为(2,0)，半径为|r |的圆，圆C 1与直线C 2恰有一个公共点， 所以|r |＝|2－6|2＝2，所以圆C 1的普通方程为x 2＋y 2－4x ＝0，把x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ代入上式可得C 1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＝0，即ρ＝4cos θ.(2)由题意可设A (ρ1，θ)，B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫ρ2，θ＋π4，()ρ1>0，ρ2>0，S △AOB ＝12|OA →||OB →|sin π4＝24ρ1ρ2＝42cos θcos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π4＝4()cos 2θ－sin θcos θ ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋cos2θ2－sin2θ2 ＝2＋22cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2θ＋π4，所以当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2θ＋π4＝1时，△AOB 的面积最大，且最大值为2＋22.23．[选修4－5：不等式选讲](10分)已知函数f (x )＝|x ＋4|－m ，m ∈R ，且f (x －2)≤0的解集为[－4,0]． (1)求m 的值；(2)已知a ，b ，c 都是正数，且a ＋2b ＋c ＝m ，求证：1a ＋b ＋1b ＋c≥2.解：(1)因为f (x －2)＝|x －2＋4|－m ＝|x ＋2|－m ≤0，所以|x ＋2|≤m ， 所以m ≥0，且－m ≤x ＋2≤m ，解得－2－m ≤x ≤－2＋m . (3分) 又不等式f (x －2)≤0的解集为[－4,0]，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2－m ＝－4，－2＋m ＝0，解得m ＝2.(5分)(2)由(1)知a ＋2b ＋c ＝2，则1a ＋b ＋1b ＋c ＝12[(a ＋b )＋(b ＋c )]·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b b ＋c ≥12⎝⎛⎭⎪⎪⎫2＋2b ＋c a ＋b ·a ＋b b ＋c ＝2，当且仅当a ＝c 时，等号成立． (10分)。

2020高考数学（理）考前题型增分特训选填题 “12选择＋4填空”专项7时间：45分钟 满分：80分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．记复数z 的虚部为Im(z )，已知z 满足i z ＝1＋2i ，则Im(z )为( ) A ．－1 B ．－i C ．2D ．2i解析：由i z ＝1＋2i ，得z ＝1＋2ii ＝()1＋2i i i 2＝2－i ，∴Im(z )＝－1，故选A.答案：A2．已知集合A ＝{}(x ，y )|x 2－6x ＋y 2－4y ＋9＝0，B ＝{}(x ，y )|(x ＋1)2＋(y －2)2＝9，则A ∩B 中的元素的个数为()A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个解析：∵A ＝{(x ，y )|x 2－6x ＋y 2－4y ＋9＝0}＝{(x ，y )|(x －3)2＋(y －2)2＝4}，B ＝{(x ，y )|(x ＋1)2＋(y －2)2＝9}，∴圆心距d ＝[3－(－1)]2＋(2－2)2＝4，得1＝|r 1－r 2|＜d ＜r 1＋r 2＝5，∴两圆的位置关系为相交，∴A ∩B 中有2个元素，故选C.答案：C3．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝2x ，则其离心率为( )A. 2B. 3 C．2 D．3解析：因为双曲线x2a2－y2b2＝1的一条渐近线方程为y＝2x，所以ba＝2，即b2＝2a2，而a2＋b2＝c2，所以c2＝3a2⇒c＝3a⇒e＝ca＝3，故选B.答案：B4．函数f(x)＝e x－1x的大致图象为( )解析：函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，f′(x)＝x e x－1－e x－1x2＝e x－1(x－1)x2.当x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当0＜x＜1，x＜0时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，显然当x>0时，f(x)>0；当x＜0时，f(x)＜0，故选B.答案：B5．在△ABC中，D为AB的中点，点E满足EB→＝4EC→，则ED→＝( )A.56AB →－43AC →B.43AB →－56AC → C.56AB →＋43AC → D.43AB →＋56AC → 解析：因为D 为AB 的中点，点E 满足EB →＝4EC →，所以BD →＝12BA →，EB →＝43CB →，所以ED →＝EB →＋BD →＝43CB →＋12BA →＝43(CA →＋AB →)－12AB →＝56AB →－43AC →，故选A.答案：A6．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝18，a 3＝9，则a 6＝( ) A ．12 B ．15 C ．18D ．21解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由S 3＝18，a 3＝9，得⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝3a 1＋3d ＝18，a 3＝a 1＋2d ＝9，解得a 1＝d ＝3，所以a 6＝a 1＋5d ＝18，故选C.答案：C7．如图，在多面体ABCDEF 中，AD ⊥平面ABF ，AD ∥BC ∥EF ，AD ＝4，BC ＝3，AB ＝BF ＝EF ＝2，∠ABF ＝120°.则异面直线AF 与CD 所成角的余弦值为( )A.155B.156C.158D.1515解析：过点A 作CD 的平行线交CB 的延长线于点G ，连接FG ，则∠FAG 就是异面直线AF 与CD 所成的角或其补角．因为AD ∥BC ，AD ＝4，BC ＝3，所以BG ＝1.又AD ⊥平面ABF ，AD ∥BG ，所以AB ⊥BG ，BG ⊥BF ，所以AG ＝AB 2＋BG 2＝5，FG ＝FB 2＋BG 2＝ 5.由AB ＝BF ＝2，∠ABF ＝120°， 可得AF ＝AB 2＋BF 2－2AB ·BF ·cos ∠ABF ＝23，故在△AFG 中，由余弦定理得cos ∠FAG ＝AG 2＋AF 2－FG 22AG ·AF ＝(5)2＋(23)2－(5)22×5×23＝155.答案：A8．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，A ＝2B ，则a 的值为( )A ．2 5B ．4C ．23D ．22解析：在△ABC 中，由A ＝2B ，a sin A ＝b sin B ，b ＝3，c ＝1，可得a2sin B cos B ＝3sin B，整理得a ＝6cos B ，∴由余弦定理得a ＝6×a 2＋1－92a，解得a ＝23，故选C.答案：C9．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则( ) A ．f (－3)＜f (－log 313)＜f (20.6) B ．f (－3)＜f (20.6)＜f (－log 313)C ．f (20.6)＜f (－log 313)＜f (－3)D ．f (20.6)＜f (－3)＜f (－log 313)解析：根据题意，函数f (x )是定义在R 上的偶函数，则f (－3)＝f (3)，f (－log 313)＝f (log 313)，有20.6＜2＜log 313＜log 327＝3，又由f (x )在(0，＋∞)上单调递增，则有f (20.6)＜f (－log 313)＜f (－3)，故选C.答案：C10．已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，点A (0，3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6，0，则函数f (x )图象的一条对称轴方程为( )A ．x ＝－π3B ．x ＝－π12 C ．x ＝π18 D ．x ＝π24 解析：由图象过点A (0，3)，得2cos φ＝3，cos φ＝32，又|φ|＜π2，则φ＝±π6.因为图象是右平移，所以φ＝－π6，f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫ωx －π6.再由图象过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6，0得2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫πω6－π6＝0，则πω6－π6＝2k π＋π2(k ∈Z )，又ω＞0，则ω的最小值为4，所以f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4x －π6，当x ＝π24时，f (x )取得最大值2，所以x ＝π24是f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫4x －π6图象的一条对称轴，故选D.答案：D11．设两直线l 1：x －2y －2＝0与l 2：ax ＋y ＋1＝0垂直，则⎝⎛⎭⎪⎪⎫x a ＋1x －24的展开式中x 2的系数为( )A ．12B ．3 C.52 D.72 解析：∵两直线l 1：x －2y －2＝0与l 2：ax ＋y ＋1＝0垂直，∴12·(－a )＝－1，求得a ＝2，则⎝⎛⎭⎪⎪⎫x a ＋1x －24＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 2＋1x－24＝(x －2)816x 4，要求其展开式中x 2项，则是分子(x －2)8中展开式中的x 6项，所以它的展开式中x 2的系数为C 28·216＝72，故选D.答案：D12．已知正三棱锥A －BCD 的所有顶点都在球O 的球面上，其底面边长为3，E ，F ，G 分别为侧棱AB ，AC ，AD 的中点．若O 在三棱锥A －BCD 内，且三棱锥A －BCD 的体积是三棱锥O －BCD 体积的3倍，则平面EFG 截球O 所得截面的面积为( )A.938B.3π2C.15π4D ．4π解析：如图所示， 平面EFG 截球O 所得截面的图形为圆面．正三棱锥A －BCD 中，过A 作底面的垂线AH ，垂足为H ，与平面EFG 交点记为K ，连接OD ，HD ，依题意，得V A －BCD ＝3V O －BCD ，所以AH ＝3OH ，设球的半径为R ，在Rt △OHD 中，OD ＝R ，HD ＝3，OH ＝R2，由勾股定理得R 2＝(3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫R 22，解得R ＝2.由于平面EFG ∥平面BCD ，所以AH ⊥平面EFG ，球心O到平面EFG 的距离为KO ，则KO ＝R 4＝12，设平面EFG 截球O 所得截面的半径为r ，在Rt △KON中，r 2＝KN 2＝ON 2－KO 2＝R 2－14＝154，所以截面圆的面积为πr 2＝154π，故选C. 答案：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－α＝13，则cos2α1－sin2α＝________.解析：因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－α＝13，所以tan α＝tan ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π4－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－α＝1－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－α1＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－α＝1－131＋13＝12，所以cos2α1－sin2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α－2sin αcos α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)(cos α－sin α)2＝cos α＋sin αcos α－sin α＝1＋tan α1－tan α＝1＋121－12＝3. 答案：314．在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－1x (1＋x )5的展开式中，x 2项的系数为________(用数字作答)．解析：二项式(1＋x )5展开式的通项为T r ＋1＝C r 5x r (r ＝0,1,2,3,4,5)，所以⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－1x (1＋x 5)的展开式中x 2项为1×C 25x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1x ×C 35x 3＝10x 2－10x 2＝0.答案：015．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，S n ＝2－2a n ＋1，若a 2＝12，则S 5＝________.解析：由题意可知S 1＝2－2a 2＝1，且S n ＝2－2(S n ＋1－S n )，整理得S n ＋1－2＝12(S n －2)，由于S 1－2＝－1，故S 5－2＝(－1)×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫124＝－116，∴S 5＝3116.答案：311616．已知圆锥的顶点为S ，O 为底面中心，A ，B ，C 为底面圆周上不重合的三点，AB 为底面的直径，SA ＝AB ，M 为SA 的中点．设直线MC 与平面SAB 所成角为α，则sin α的最大值为________．解析：以AB 的中点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设SA ＝AB ＝4，则M(0，－1，3)，C(x，y,0)，如图所示，由对称性不妨设x＞0，y＜0且x2＋y2＝4，则MC→＝(x，y＋1，－3)，易知平面SAB的一个法向量为m＝(1,0,0)，所以sinα＝MC→·m|MC→|×|m|＝xx2＋(y＋1)2＋3＝12×⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－(y＋4)－12y＋4＋8≤4－23＝3－1，当且仅当y＝23－4时等号成立．综上，sinα的最大值为3－1.答案：3－1。

2020高考数学（理）考前题型增分特训选填题 “12选择＋4填空”专项1时间：45分钟 满分：80分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{x |x 2＋x －2＜0}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |1＜x ＜2} B ．{x |－2＜x ＜1} C ．{x |0＜x ＜1}D ．{x |－2＜x ＜2}解析：∵A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{x |x 2＋x －2＜0}＝{x |－2＜x ＜1}，∴A ∩B ＝{x |0＜x ＜1}，故选C.答案：C2．若复数z 满足(1＋z )(1＋i)＝1＋2i ，i 是虚数单位，则|z |＝( ) A.22B.12C.2D.3解析：因为(1＋z )(1＋i)＝1＋2i ， 所以z ＝1＋2i 1＋i－1＝(1＋2i )(1－i )(1＋i )(1－i )－1＝3＋i 2－1＝1＋i 2，所以|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＝22，故选A. 答案：A3．已知a ＝log 0.92019，b ＝20190.9，c ＝0.92019，则( ) A ．a ＜c ＜b B ．a ＜b ＜c C ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a解析：因为a ＝log 0.92019<log 0.91＝0，b ＝20190.9>20190＝1,0<c ＝0.92019<0.90＝1，所以a<c<b，故选A.答案：A4．如图是2019年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图，给出下列4个结论：①深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高；②深圳和厦门往返机票的平均价格同去年相比有所下降；③平均价格从高到低位于前三位的城市为北京，深圳，广州；④平均价格的涨幅从高到低位于前三位的城市为天津，西安，上海．其中正确结论的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4解析：变化幅度看折线图，越接近零轴者变化幅度越小，位于零轴下方者表明价格下跌；平均价格看条形图，条形图越高平均价格越高，所以结论①②③都正确，结论④错误，故选C.答案：C5．函数y＝4cos2xx2＋π的部分图象大致是( )解析：由题意，因为f(x)＝4cos2xx2＋π，所以f(－x)＝4cos(－2x)(－x)2＋π＝f(x)，所以函数f(x)＝4cos2xx2＋π是偶函数，其图象关于y轴对称，排除选项D；又因为当x＝0时，y＝4π，排除选项A；令x＝1，则y＝4cos2π＋1，则y＜0，故选C.答案：C6．若(1－ax＋x2)4的展开式中x5的系数为－56，则实数a的值为( ) A．－2 B．2C．3 D．4解析：解法一：(1－ax＋x2)4＝[(1－ax)＋x2]4，故展开式中x5项为C34C33(－ax)3x2＋C24C12(－ax)(x2)2＝(－4a3－12a)x5，所以－4a3－12a＝－56，解得a＝2.解法二：若a＝－2，则x5的系数不可能为负数，所以排除选项A；选项B中，若a＝2，则(1－ax＋x2)4＝(1－x)8，则x5的系数为C58×(－1)5＝－56，符合题意，故选B.答案：B7．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且(a＋b)⊥(3a－2b)，则a与b的夹角为( )A.34πB.23πC.π3 D.π4 解析：由题意，得(a ＋b )·(3a －2b )＝3a 2＋a ·b －2b 2＝0，则3＋a ·b －4＝0，∴a ·b ＝1，则cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝11×2＝22，所以a 与b 的夹角为π4，故选D.答案：D8．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知3b sin A －a cos B＝2b －c ，则A ＝( )A.π6 B.π4 C.π3 D.2π3解析：由3b sin A －a cos B ＝2b －c 及正弦定理可得，3sin B ·sin A －sin A cos B ＝2sin B －sin C ＝2sin B －sin(A ＋B )＝2sin B －sin A cos B －cos A sin B ，所以3sin B sin A ＝2sin B －cos A sin B .因为sin B ≠0，所以3sin A ＋cos A ＝2，即sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫A ＋π6＝1，又A ∈(0，π)，所以A ＝π3.答案：C9．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 4＝4，S 5＝15，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n ·a n ＋1的前2 019项和为( )A.2 0182 019B.2 0182 020C.2 0192 020D.2 0172 019解析：设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 4＝4，S 5＝15，∴a 1＋3d ＝4,5a 1＋5×42d＝15，联立解得a 1＝d ＝1，∴a n ＝1＋n －1＝n ，∴1a n a n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1的前2019项和S ＝1－12＋12－13＋…＋12019－12020＝1－12020＝20192020，故选C. 答案：C10．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的焦点分别为F 1，F 2，点A ，B 在椭圆上，AB ⊥F 1F 2于F 2，|AB |＝4，|F 1F 2|＝23，则椭圆方程为( )A.x 23＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 29＋y 26＝1 D.x 222＋y 29＝1 解析：椭圆x 2a2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的焦点分别为F 1，F 2，点A ，B 在椭圆上，AB ⊥F 1F 2于F 2，|AB |＝4，|F 1F 2|＝23，可得c ＝3，2b 2a＝4，c 2＝a 2－b 2，解得a ＝3，b ＝6，则所求椭圆方程为x 29＋y 26＝1，故选C.答案：C11．已知f (x )＝4cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π3，则下列说法中错误的是( )A ．函数f (x )的最小正周期为πB ．函数f (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π6，π12上单调递减C ．函数f (x )的图象可以由函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍得到D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫7π12，1是函数f (x )图象的一个对称中心 解析：f (x )＝4cos x cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π3＝2cos 2x －3sin2x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3＋1，所以T＝2π2＝π，A 正确；当x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π6，π12时，2x ＋π3∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2，因为t ＝2x ＋π3在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π6，π12为增函数，y ＝2cos t ＋1在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2上为减函数，故f (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π6，π12上为减函数，B正确；函数f (x )的图象可以由函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍再向上平移1个单位得到，C 错误；令2x ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，当k ＝1时，x ＝7π12，故⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫7π12，1为f (x )图象的一个对称中心，D 正确，故选C.答案：C12．已知三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，且∠BAC ＝π3，AC ＝2AB ，PA＝1，BC ＝3，则该三棱锥的外接球的体积等于( )A.1313π6B.33π2C.513π6D.53π2解析：如图，设△ABC 外接圆的圆心为O 1，半径为r ，则2r ＝BC sin π3＝23，r＝3.由题意知球心O 在过O 1且与平面ABC 垂直的直线HO 1上， 令HO 1＝PA ＝1，OO 1＝d ，则OH ＝1－d . 设球半径为R ，则在Rt △OO 1B 中有R 2＝d 2＋r 2，① 在Rt △OHP 中有R 2＝(1－d )2＋r 2，② 由①②两式得d ＝12，所以R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＋(3)2＝134，R ＝132， 所以该三棱锥的外接球的体积为V ＝43πR 3＝43×π×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1323＝1313π6，故选A.答案：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数f (x )＝a e x ＋b (a ，b ∈R )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则a －b ＝________.解析：由f (x )＝a e x ＋b ，得f ′(x )＝a e x ，因为函数f (x )在点(0，f (0))处的切线方程是y ＝2x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝1＝a ＋b f ′(0)＝2＝a解得a ＝2，b ＝－1，得a －b ＝3.答案：314．已知{a n }是等比数列，前n 项和为 S n .若a 3－a 2＝4，a 4＝16，则S 3的值为________．解析：设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 3－a 2＝a 1q 2－a 1q ＝4，a 4＝a 1q 3＝16，解得a 1＝2，q ＝2，所以S 3＝a 1(1－q 3)1－q＝2(1－23)1－2＝14.答案：1415．在一场对抗赛中，A ，B 两人争夺冠军，若比赛采用“五局三胜制”，A 每局获胜的概率均为23，且各局比赛相互独立，则A 在第一局失利的情况下，经过五局比赛最终获得冠军的概率是________．解析：第1局A 失利为事实，经过5局A 获胜，第2,3,4局A 胜2局，B 胜1局，5局比赛最终获得冠军的概率是C 13×13×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫232×23＝827. 答案：82716．已知直线x －3y ＝0与中心在原点的双曲线C 交于A ，B 两点，F 是C的右焦点，若FA→·FB →＝0，则C 的离心率为________．解析：因为直线x －3y ＝0经过原点，所以直线与双曲线的交点A 、B 关于原点对称，所以OA ＝OB ，即O 是AB 的中点，由FA→·FB →＝0，得FA ⊥FB ，OF ＝OB ＝c ，直线x －3y ＝0的斜率为33，所以∠BOF ＝30°，则x B ＝c ·cos30°＝32c ，y B ＝c ·sin30°＝12c ，将点B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3c 2，c 2代入双曲线得⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3c 22a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫c 22b 2＝1，即3c 24a 2－c 24b2＝1，因为c 2＝a 2＋b 2，得4a 4＋3c 4－8a 2c 2＝0，即(2a 2－c 2)(2a 2－3c 2)＝0，整理得2a 2－c 2＝0或2a 2－3c 2＝0.因为e ＞1，所以e ＝2.答案： 2。

2020高考数学模拟试题（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合，则A∩B＝（）A．{x|﹣3≤x≤1}B．{x|0≤x≤1}C．{x|﹣3≤x＜1}D．{x|﹣1≤x≤0} 2．设复数z＝，则|z|＝（）A．B．C．D．3．在等差数列{a n}中，若a3＝5，S4＝24，则a9＝（）A．﹣5B．﹣7C．﹣9D．﹣114．已知幂函数f（x）＝xα的图象经过点（3，5），且a＝（）α，b＝，c＝logα，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a5．为了贯彻落实党中央精准扶贫决策，某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制如图，其中各项统计不重复．若该市老年低收入家庭共有900户，则下列说法错误的是（）A．该市总有15000 户低收入家庭B．在该市从业人员中，低收入家庭共有1800 户C．在该市无业人员中，低收入家庭有4350 户D．在该市大于18 岁在读学生中，低收入家庭有800 户6．平面内不共线的三点O，A，B，满足||＝1，||＝2，点C为线段AB的中点，若||＝，则∠AOB＝（）A．B．C．D．7．（1+2x﹣）8的展开式中x2y2项的系数是（）A．420B．﹣420C．1680D．﹣16808．我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍薨．如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和6，高为2，则该刍童的体积为（）A．B．C．27D．189．函数f（x）＝6|sin x|﹣的图象大致为（）A．B．C．D．10．太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗……，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为A＝{（x，y）}，设点（x，y）∈A，则z＝x+2y的取值范围是（）A．[﹣2﹣，2]B．[﹣2，2]C．[﹣2，2+]D．[﹣4，2+] 11．关于函数f（x）＝|cos x|+cos|2x|有下列四个结论：①f（x）是偶函数；②π是f（x）的最小正周期；③f（x）在[π，π]上单调递增；④f（x）的值域为[﹣2，2]．上述结论中，正确的个数为（）A．1B．2C．3D．412．已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推，若该数列前n项和N 满足：①N＞80②N是2的整数次幂，则满足条件的最小的n为（）A．21B．91C．95D．101二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．椭圆＝1的离心率是．14．设某总体是由编号为01，02，……，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体编号为．1818 0792 4544 1716 5809 7983 8617第1行6206 7650 0310 5523 6405 0526 6238第2行15．已知点A（0，1），抛物线C：y2＝ax（a＞0）的焦点为F，连接FA，与抛物线C相交于点M，延长FA，与抛物线C的准线相交于点N，若|FM|：|MN|＝1：2，则实数a的值为．16．已知四棱锥S﹣ABCD的底面为矩形，SA⊥底面ABCD，点E在线段BC上，以AD为直径的圆过点E．若SA＝AB＝3，则△SED面积的最小值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每道试题考试必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（a﹣b）2＝c2﹣ab．（1）求角C；（2）若4c cos（A+）+b sin C＝0，且a＝1，求△ABC的面积．18．如图，在三棱锥P﹣ABC中，AC＝BC，AB＝2BC，D为线段AB上一点，且AD＝3DB，PD⊥平面ABC，PA与平面ABC所成的角为45°．（1）求证：平面PAB⊥平面PCD；（2）求二面角P﹣AC﹣D的平面角的余弦值．19．已知椭圆C：+y2＝1，不与坐标轴垂直的直线l与椭圆C相交于M，N两点．（1）若线段MN的中点坐标为（1，），求直线l的方程；（2）若直线l过点P（p，0），点Q（q，0）满足k QM+k QN＝0，求pq的值．20．某机构组织的家庭教育活动上有一个游戏，每次由一个小孩与其一位家长参与，测试家长对小孩饮食习惯的了解程度．在每一轮游戏中，主持人给出A，B，C，D四种食物，要求小孩根据自己的喜爱程度对其排序，然后由家长猜测小孩的排序结果．设小孩对四种食物排除的序号依次为x A x B x C x D，家长猜测的序号依次为y A y B y C y D，其中x A x B x C x D和y A y B y C y D都是1，2，3，4四个数字的一种排列．定义随机变量X＝（x A﹣y A）2+（x B﹣y B）2+（x C﹣y C）2+（x D﹣y D）2，用X来衡量家长对小孩饮食习惯的了解程度．（1）若参与游戏的家长对小孩的饮食习惯完全不了解．（ⅰ）求他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率；（ⅱ）求X的分布列（简要说明方法，不用写出详细计算过程）；（2）若有一组小孩和家长进行来三轮游戏，三轮的结果都满足X＜4，请判断这位家长对小孩饮食习惯是否了解，说明理由．21．已知函数f（x）＝ln（ax+b）﹣x（a，b∈R，ab≠0）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）≤0恒成立，求e a（b﹣1）的最大值．四、（二）选考题：请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（m为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）＝1．（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；（2）已知点M（2，0），若直线l与曲线C相交于P、Q两点，求的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知x，y，z均为正数．（1）若xy＜1，证明：|x+z|⋅|y+z|＞4xyz；（2）若＝，求2xy⋅2yz⋅2xz的最小值．参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合，则A∩B＝（）A．{x|﹣3≤x≤1}B．{x|0≤x≤1}C．{x|﹣3≤x＜1}D．{x|﹣1≤x≤0}【解答】解：解一元二次不等式x2+2x﹣3≤0得：﹣3≤x≤1，即A＝{x|﹣3≤x≤1}，解根式不等式＜2得：0≤x＜4，即B＝{x|0≤x＜4}，即A∩B＝，故选：B．2．设复数z＝，则|z|＝（）A．B．C．D．【解答】解：z＝＝＝＝﹣﹣i，则|z|＝＝＝＝，故选：D．3．在等差数列{a n}中，若a3＝5，S4＝24，则a9＝（）A．﹣5B．﹣7C．﹣9D．﹣11【解答】解：数列{a n}为等差数列，设首项为a1，公差为d，∵a3＝5，S4＝24，∴a1+2d＝5，4a1+d＝24，联立解得a1＝9，d＝﹣2，则a9＝9﹣2×8＝﹣7．故选：B．4．已知幂函数f（x）＝xα的图象经过点（3，5），且a＝（）α，b＝，c＝logα，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a【解答】解：∵幂函数f（x）＝xα的图象经过点（3，5），∴3α＝5，∴α＝log35∈（1，2），∴0＜a＝（）α＜1，b＝＞1，c＝logα＜logα1＝0，∴c＜a＜b．故选：A．5．为了贯彻落实党中央精准扶贫决策，某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制如图，其中各项统计不重复．若该市老年低收入家庭共有900户，则下列说法错误的是（）A．该市总有15000 户低收入家庭B．在该市从业人员中，低收入家庭共有1800 户C．在该市无业人员中，低收入家庭有4350 户D．在该市大于18 岁在读学生中，低收入家庭有800 户【解答】解：由题意知，该市老年低收入家庭共有900户，所占比例为6%，则该市总有低收入家庭900÷6%＝15000（户），A正确；该市从业人员中，低收入家庭共有15000×12%＝1800（户），B正确；该市无业人员中，低收入家庭有15000×29%%＝4350（户），C正确；该市大于18 岁在读学生中，低收入家庭有15000×4%＝600（户），D错误．故选：D．6．平面内不共线的三点O，A，B，满足||＝1，||＝2，点C为线段AB的中点，若||＝，则∠AOB＝（）A．B．C．D．【解答】解：延长OC到E，使得CE＝OC＝，连AE，BE，则四边形OAEB为平行四边形，∴BE＝1，∴cos∠OBE＝＝，∴∠OBE＝，∴∠AOB＝π﹣∠OBE＝π﹣＝．故选：C．7．（1+2x﹣）8的展开式中x2y2项的系数是（）A．420B．﹣420C．1680D．﹣1680【解答】解：（1+2x﹣）8的展表示8个因式（1+2x﹣）的乘积，故其中有2个因式取2x，有2个因式取﹣，其余的4个因式都取1，可得含x2y2的项．故展开式中x2y2项的系数是•22•••＝420，故选：A．8．我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍薨．如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和6，高为2，则该刍童的体积为（）A．B．C．27D．18【解答】解：原图为正四棱台，两底的长分别为2和6，高为2，该刍薨的体积为，故选：B．9．函数f（x）＝6|sin x|﹣的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：f（﹣x）＝f（x），则f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，排除C，f（π）＝1﹣＜0，排除B，f（）＝6﹣≈6﹣＞4，排除D，故选：A．10．太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗……，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为A＝{（x，y）}，设点（x，y）∈A，则z＝x+2y的取值范围是（）A．[﹣2﹣，2]B．[﹣2，2]C．[﹣2，2+]D．[﹣4，2+]【解答】解：如图，作直线x+2y＝0，当直线上移与圆x2+（y﹣1）2＝1相切时，z＝x+2y 取最大值，此时，圆心（0，1）到直线z＝x+2y的距离等于1，即，解得z的最大值为：2+，当下移与圆x2+y2＝4相切时，x+2y取最小值，同理，即z的最小值为：﹣2，所以z∈．故选：C．11．关于函数f（x）＝|cos x|+cos|2x|有下列四个结论：①f（x）是偶函数；②π是f（x）的最小正周期；③f（x）在[π，π]上单调递增；④f（x）的值域为[﹣2，2]．上述结论中，正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：f（x）＝|cos x|+cos|2x|＝|cos x|+2cos2|x|﹣1，由cos|x|＝cos x，可得f（x）＝|cos x|+2cos2x﹣1＝2|cos x|2+|cos x|﹣1，由f（﹣x）＝2|cos（﹣x）|2+|cos（﹣x）|﹣1＝f（x），则f（x）为偶函数，故①正确；可令t＝|cos x|，可得g（t）＝2t2+t﹣1，由y＝|cos x|的最小正周期π，可得f（x）的最小正周期为π，故②正确；由y＝cos x在[﹣，0]递增，在[0，]递减，可得f（x）在[，π]递增，在[π，]递减，故③错误；由t∈[0，1]，g（t）＝2（t+）2﹣，可得g（t）在[0，1]递增，则g（t）的值域为[﹣1，2]，故④错误．故选：B．12．已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推，若该数列前n项和N 满足：①N＞80②N是2的整数次幂，则满足条件的最小的n为（）A．21B．91C．95D．101【解答】解：依题意，因为N满足条件①N＞80②N是2的整数次幂，所以S n＝N＝2k，（k∈N*，且k≥7）如图：第m行各项的和为2m﹣1，前m行之和＝（21﹣1）+（22﹣1）+……+（2m﹣1）＝（2+22+23+……+2m）﹣m＝2m+1﹣m﹣2，设满足条件的n在第m+1行，则前m行之和为2m+1﹣m﹣2≤2m+1，故N＝2m+1，则m+2＝1+2+4+……+2s，则满足条件的m的最小值为13，且N为第14行的第4项．所以n＝+4＝95．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．椭圆＝1的离心率是．【解答】解：由椭圆的标准方程可知，a＝2，b＝，∴c＝＝1∴e＝＝．故答案为：．14．设某总体是由编号为01，02，……，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体编号为06．1818 0792 4544 1716 5809 7983 8617第1行6206 7650 0310 5523 6405 0526 6238第2行【解答】解：由题意依次选取的样本编号为：18，07，17，16，09，（17重复，舍去）06；所以选出来的第6个个体编号为06．故答案为：06．15．已知点A（0，1），抛物线C：y2＝ax（a＞0）的焦点为F，连接FA，与抛物线C相交于点M，延长FA，与抛物线C的准线相交于点N，若|FM|：|MN|＝1：2，则实数a的值为．【解答】解：抛物线C：y2＝ax（a＞0）的焦点为F（，0），准线方程为x＝﹣，可得直线AF的方程为y＝1﹣x，设M（x1，y1），N（﹣，y2），可得y2＝1﹣•（﹣）＝2，由|FM|：|MN|＝1：2，可得＝，可得y1＝，代入直线方程可得x1＝，代入抛物线方程可得＝a•，可得a＝．故答案为：．16．已知四棱锥S﹣ABCD的底面为矩形，SA⊥底面ABCD，点E在线段BC上，以AD为直径的圆过点E．若SA＝AB＝3，则△SED面积的最小值为．【解答】解：设BE＝x，EC＝y，则BC＝AD＝x+y，∵SA⊥平面ABCD，ED⊂平面ABCD，∴SA⊥ED，∵AE⊥ED，SA∩AE＝A，∴ED⊥平面SAE，∴ED⊥SE，由题意得AE＝，ED＝，在Rt△AED中，AE2+ED2＝AD2，∴x2+3+y2+3＝（x+y）2，化简，得xy＝3，在Rt△SED中，SE＝，ED＝＝，∴S△SED＝＝，∵3x2+≥2＝36，当且仅当x＝，时，等号成立，∴＝．∴△SED面积的最小值为．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每道试题考试必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（a﹣b）2＝c2﹣ab．（1）求角C；（2）若4c cos（A+）+b sin C＝0，且a＝1，求△ABC的面积．【解答】（1）由（a﹣b）2＝c2﹣ab，得a2+b2﹣c2＝ab，所以由余弦定理，得，又因为C∈（0，π），所以；（2）由，得，得﹣4c sin A+b sin C＝0，由正弦定理，得4ca＝bc．因为c≠0，所以4a＝b，又因a＝1，所以b＝4，所以△ABC的面积．18．如图，在三棱锥P﹣ABC中，AC＝BC，AB＝2BC，D为线段AB上一点，且AD＝3DB，PD⊥平面ABC，PA与平面ABC所成的角为45°．（1）求证：平面PAB⊥平面PCD；（2）求二面角P﹣AC﹣D的平面角的余弦值．【解答】解：（1）证明：∵AC＝BC，AB＝2BC，∴，∴AB2＝AC2+BC2，∴AC⊥BC，在Rt△ABC中，由AC＝BC，得∠CAB＝30°，设BD＝1，由AD＝3BD，得AD＝3，BC＝2，AC＝2，在△ACD中，由余弦定理得CD2＝AD2+AC2﹣2AD•AC cos30°＝3，∴CD＝，∴CD2+AD2＝AC2，∴CD⊥AD，∵PD⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，∴PD⊥CD，又PD∩AD＝D，∴CD⊥平面PAB，又CD⊂平面PCD，∴平面PAB⊥平面PCD．（2）解：∵PD⊥平面ABC，∴PA与平面ABC所成角为∠PAD，即∠PAD＝45°，∴△PAD为等腰直角三角形，PD＝AD，由（1）得PD＝AD＝3，以D为坐标原点，分别以DC，DB，DP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），C（，0，0），A（0，﹣3，0），P（0，0，3），＝（0，﹣3，﹣3），＝（），则＝＝（0，0，3）是平面ACD的一个法向量，设平面PAC的一个法向量＝（x，y，z），则，取x＝，得＝（，﹣1，1），设二面角P﹣AC﹣D的平面角为θ，则cosθ＝＝，∴二面角P﹣AC﹣D的平面角的余弦值为．19．已知椭圆C：+y2＝1，不与坐标轴垂直的直线l与椭圆C相交于M，N两点．（1）若线段MN的中点坐标为（1，），求直线l的方程；（2）若直线l过点P（p，0），点Q（q，0）满足k QM+k QN＝0，求pq的值．【解答】解：（1）设M（x1，y1），N（x2，y2），则，两式相减，可得，①由题意可知x1+x2＝2，y1+y2＝1，代入①可得直线MN的斜率k＝＝﹣，所以直线MN的方程y﹣＝﹣（x﹣1），即x+2y﹣2＝0，所以直线MN的方程x+2y﹣2＝0；（2）由题意可知设直线MN的方程y＝k（x﹣p），M（x1，y1），N（x2，y2），联立，整理得（1+4k2）x2﹣8k2px+4k2p2﹣4＝0，则x1+x2＝，，x1x2＝，由k QM+k QN＝0，则+＝0，即y1（x2﹣q）+y2（x1﹣q）＝0，∴k（x1﹣p）（x2﹣q）+k（x2﹣p）（x1﹣q）＝0，化简得2x1x2﹣（p+q）（x1+x2）+2pq ＝0，∴﹣﹣+2pq＝0，化简得：2pq﹣8＝0，∴pq＝4．20．某机构组织的家庭教育活动上有一个游戏，每次由一个小孩与其一位家长参与，测试家长对小孩饮食习惯的了解程度．在每一轮游戏中，主持人给出A，B，C，D四种食物，要求小孩根据自己的喜爱程度对其排序，然后由家长猜测小孩的排序结果．设小孩对四种食物排除的序号依次为x A x B x C x D，家长猜测的序号依次为y A y B y C y D，其中x A x B x C x D和y A y B y C y D都是1，2，3，4四个数字的一种排列．定义随机变量X＝（x A﹣y A）2+（x B﹣y B）2+（x C﹣y C）2+（x D﹣y D）2，用X来衡量家长对小孩饮食习惯的了解程度．（1）若参与游戏的家长对小孩的饮食习惯完全不了解．（ⅰ）求他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率；（ⅱ）求X的分布列（简要说明方法，不用写出详细计算过程）；（2）若有一组小孩和家长进行来三轮游戏，三轮的结果都满足X＜4，请判断这位家长对小孩饮食习惯是否了解，说明理由．【解答】解：（1）（i）若家长对小孩子的饮食习惯完全不了解，则家长对小孩的排序是随意猜测的，先考虑小孩的排序为x A，x B，x C，x D为1234的情况，家长的排序有＝24种等可能结果，其中满足“家长的排序与对应位置的数字完全不同”的情况有9种，分别为：2143，2341，2413，3142，3412，3421，4123，4312，4321，∴家长的排序与对应位置的数字完全不同的概率P＝．基小孩对四种食物的排序是其他情况，只需将角标A，B，C，D按照小孩的顺序调整即可，假设小孩的排序x A，x B，x C，x D为1423的情况，四种食物按1234的排列为ACDB，再研究y A y B y C y D的情况即可，其实这样处理后与第一种情况的计算结果是一致的，∴他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率为．（ii）根据（i）的分析，同样只考虑小孩排序为1234的情况，家长的排序一共有24种情况，列出所有情况，分别计算每种情况下的x的值，X的分布列如下表：X02468101214161820 P（2）这位家长对小孩的饮食习惯比较了解．理由如下：假设家长对小孩的饮食习惯完全不了解，由（1）可知，在一轮游戏中，P（X＜4）＝P（X＝0）+P（X＝2）＝，三轮游戏结果都满足“X＜4”的概率为（）3＝，这个结果发生的可能性很小，∴这位家长对小孩饮食习惯比较了解．21．已知函数f（x）＝ln（ax+b）﹣x（a，b∈R，ab≠0）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）≤0恒成立，求e a（b﹣1）的最大值．【解答】解：（1）①当a＞0时，则f（x）的定义域为（﹣，+∞），＝，由f′（x）＝0，得x＝1﹣＞﹣，所以f（x）在（﹣，1﹣）单调递增，在（1﹣，+∞）单调递减，②当a＜0时，则f（x）的定义域为（﹣∞，﹣），由f′（x）＝0得x＝1﹣＞﹣，所以f（x）在（﹣∞，﹣）单调递减，（也可由符合函数单调性得出）．（2）由（1）知：当a＜0时，取x0＜且x0＜0时，f（x0）＞ln（a×+b）﹣x0＞0，与题意不合，当a＞0时，f（x）max＝f（1﹣）＝lna﹣1+≤0，即b﹣1≤a﹣alna﹣1，所以e a（b﹣1）≤（a﹣alna﹣1）e a，令h（x）＝（x﹣xlnx﹣1）e x，则h′（x）＝（x﹣xlnx﹣lnx﹣1）e x，令u（x）＝x﹣xlnx﹣lnx﹣1，则u′（x）＝﹣lnx﹣，则u″（x）＝，u′（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．则u′（x）max＝u′（1）＜0，从而u（x）在（0，+∞）单调递减，又因为u（1）＝0．所以当x∈（0，1）时，u（x）＞0，即h′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，u（x）＜0，即h′（x）＜0，则h（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，所以h（x）max＝h（1）＝0．四、（二）选考题：请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（m为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）＝1．（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；（2）已知点M（2，0），若直线l与曲线C相交于P、Q两点，求的值．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（m为参数），两式相加得到m，进一步转换为．直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）＝1，转换为直角坐标方程为．（2）将直线的方程转换为参数方程为（t为参数），代入得到（t1和t2为P、Q对应的参数），所以，，所以＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知x，y，z均为正数．（1）若xy＜1，证明：|x+z|⋅|y+z|＞4xyz；（2）若＝，求2xy⋅2yz⋅2xz的最小值．【解答】解：（1）证明：∵x，y，z均为正数，∴|x+z|⋅|y+z|＝（x+z）（y+z）≥＝，当且仅当x＝y＝z时取等号．又∵0＜xy＜1，∴，∴|x+z|⋅|y+z|＞4xyz；（2）∵＝，∴．∵，，，当且仅当x＝y＝z＝1时取等号，∴，∴xy+yz+xz≥3，∴2xy⋅2yz⋅2xz＝2xy+yz+xz≥8，∴2xy⋅2yz⋅2xz的最小值为8．。