定积分在力学上的简单应用教案

1.7.2定积分在物理中的应用学习目标：体会定积分的基本思想，会用定积分解决变速直线运动的路程及变力所做的功等简单的物理问题。

自主学习过程：一、复习与思考：1、以速度v ＝v (t)作变速直线运动的物体，在a ≤t≤b 时段内行驶的路程s 等于什么？2、除了变速运动的路程问题之外，哪些物理问题还可以用定积分的知识解决？二、知识学习：（认真体会下列内容）1、位移路程的计算:路程是位移的绝对值之和，从时刻t =a 到时刻t =b 所经过的路程s 和位移's 分别为：（1）若)(t v ≥0，则⎰=b adt t v s )(；⎰=b a dt t v s )('。

（2）若)(t v ≤0，则⎰-=b adt t v s )(；⎰=b a dt t v s )('。

（3）若在区间[a ,c ]上)(t v ≥0，在区间[c ,b ]上)(t v <0，则⎰⎰-=b c c adt t v dt t v s )()(， '()ba s v t dt =⎰。

2、求变力作功的方法：（1）求变力作功时，要根据物理学的实际意义，求出变力)(x F 的表达式，这是求功的关键；（2）由功的物理意义知，物体在变力)(x F 的作用下，沿力)(x F 的方向做直线运动，使物体从a x =移到b x =(a <b )。

因此，求功之前还应该求出位移起始位置与终止位置。

（3）根据变力作功公式⎰=b ax x F w )(即可求出变力)(x F 所作的功。

三、例题分析例1：有一动点P 沿x 轴运动，在时间t 的速度为228)(t t t v -=(速度的正方向与x 轴正方向一致)。

求：（1）P 从原点出发，当t =3时，P 离开原点的路程；（2）当t =5时，点P 的位置；（3）从t =0到t =5，点P 经过的路程；（4）P 从原点出发，经过时间t 后，又回到原点的t 值。

例2：如图所示，一物体沿斜面在拉力F 的作用下由A 经B 、C 运动到D ，其中AB=50m ，BC=40m ，CD=30m ，变力F =⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤+)90(,20)900(,541x x x (其中x 为距离，单位：m ，变力F 单位：N)。

定积分的简单应用教学目标：1、 进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法；2、 让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理；3、 初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法，以及利用定积分求一些简单的旋转体的体积；4、 体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）。

教学重点：几种曲边梯形面积的求法。

教学难点：定积分求体积以及在物理中应用。

教学过程： 一、问题情境1、求曲边梯形的思想方法是什么？2、定积分的几何意义是什么？3、微积分基本定理是什么？ 二、数学应用（一）利用定积分求平面图形的面积 例1、求曲线],[sin 320π∈=x x y 与直线,,320π==x x x 轴所围成的图形面积。

答案： 2332320=-=⎰ππo x xdx S |cos sin ＝ 变式引申：1、求直线32+=x y 与抛物线2x y =所围成的图形面积。

答案：33233323132231=-+=--⎰|))x x x dx x x S （－＋（＝ 2、求由抛物线342-+-=x x y 及其在点M （0，－3和N （3，0 略解：42+-=x y / ，切线方程分别为34-=x y 62+-=x y ，则所求图形的面积为49346234342233232＝＝dx x x x dx x x x S )]()[()]()[(-+--+-+-+---⎰⎰3、求曲线x y 2log =与曲线)(log x y -=42以及x 轴所围成的图形面积。

略解：所求图形的面积为dy dy y f y g S y ⎰⎰⨯-=-11224)()()(【＝e e y y 210224224log |)log -=⨯-=（4、在曲线)0(2≥=x x y 上的某点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围成的面积为121.试求：切点A 的坐标以及切线方程.略解：如图由题可设切点坐标为),200x x （为2002x x x y -=，切线与x 轴的交点坐标为),(020x，则由题可知有121220200220200-+=⎰⎰x x dx x S x x x ( 10=∴x ，所以切点坐标与切线方程分别为12),1,1(A -=x y总结：1、定积分的几何意义是：a x x f y b a ==与直线上的曲线在区间)(],[、x b x 以及=轴所围成的图形的面积的代数和，即轴下方轴上方－x x ba S S dx x f =⎰)(.因此求一些曲边图形的面积要可以利用定积分的几何意义以及微积分基本定理，但要特别注意图形面积与定积分不一定相等，如函数］［０　π2,sin ∈=x x y 的图像与x 轴围成的图形的面积为4,而其定积分为0.2、求曲边梯形面积的方法与步骤：（1） 画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；（2） 对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限； （3） 确定被积函数；（4） 求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和。

教案图4.1图AB的很慢，有的根本听不懂，基于这些特点，结合教学内容，我以板书教学为主，多媒体教学为辅，把概念较强的课本知识直观化、形象化，引导学生探索性学习。

六、教学方法：根据对学生的学情分析，本次课主要采用案例教学法，问题驱动教学法，讲与练互相结合，以教师的引导和讲解为主，同时充分调动学生学习的主动性和思考问题的积极性。

七、教学手段：传统教学与多媒体资源相结合。

八、教学时数：1课时。

九、教学过程：1、由两个实际例子引出定积分的概念.定积分是积分学的另一个重要的基本概念，和导数概念一样，它也是在解决各种实际问题中逐渐形成并发展起来的，现已成为解决许多实际问题的有力工具．本节将首先从实际问题出发引出定积分的概念，并介绍定积分的几何意义．例1 求曲边梯形的面积．初等数学可以计算多边形、圆形和扇形等规则图形的面积，但对于较复杂的曲线所围成的图形(图4.1)的面积计算则无能为力．如图所示，我们总可以用若干互相垂直的直线将图形分割成如阴影部分所示的基本图形，它是由两条平行线段，一条与之垂直的线段，以及一条曲线弧所围成，这样的图形称为曲边梯形．特别地，当平行线之一缩为一点时，称为曲边三角形．那么，为什么要研究曲边梯形呢？因为求任何曲线围成的几何图形的面积，都可归结为求若干个曲边梯形的面积的代数和. 现把问题归结如下：求由直线0,,===y b x a x 和连续曲线)(x f y =(()0)f x ≥所围成的曲边梯形AabB (图4.2)的面积S ．如果曲边梯形的高不变,即C y =(常数),则根据矩形面积公式 面积=底⨯高)n .2)n , 作积分和∑==∆ni i i x 12ξ)12n +. n λ→∞⇔概念?。

定积分在力学上的简单应用教案目的要求1．会用定积分求变速直线运动的路程及变力作的功．2．理解路程公式及变力作功公式中的条件、关键字．3．学会用数学工具解决物理问题，体现定积分的价值．内容分析1．这节课的主要内容是用定积分求变速直线运动的路程及变力作的功，学生在前面已经学了定积分的运算和性质，因此在运算方面学生是轻车熟路，不存在难点．2．学生以前所学的路程问题只涉及匀速直线运动和匀变速直线运动的路程，作功问题也只涉及常力作功，而本节研究的是加速度为变量的非匀变速直线运动的路程及变力作功问题，它是高中物理中的路程及作功问题的继续和发展，所以本节重点是路程公式及变力作功公式和它们的应用．3．在公式的应用过程中，学生往往容易忽略公式中的关键字、词或条件．如路程公式中有一隐含条件v(t)≥0，当v(t)≤0时计算出来的已不是路程，在此要让学生借助物理知识(路程是代数和)推导出当v(t)≤0 先判定v(t)的正负，然后再利用区间的可加性进行计算．4．从路程公式中引导学生去思考并得出位移的计算公式：从t＝a 5．在变力作功这个公式中，要帮助学生找到关键字“沿着与F相同的方向”，当物体沿着与力相反方向时作的是负功；当力F与位移方向有夹角时将力F分解；另外F(x)是关于x的函数，而不是对t或其他变量的函数．6．由于本节知识是在高三学生有了良好的物理基础上来学习的，所以教学上采用了学生自主学习的方法，即通过学生自己阅读、自己练习，然后配了一错误解答让他们去辨析，最后教师总结．另外，教学中还要时刻回忆一些物理知识，让学生懂得数理的联系非常紧密，二者相辅相成．教学过程1．复习引入回忆1：瞬时速度概念：若物体的运动规律是s＝s(t)，则物体在时刻t的瞬时速度v即是s＝s(t)在t处的导数．思考1：v(t)对时间t求[0，t]上的定积分是否等于路程？思考2：以上两种运动的速度对时间求定积分即为s，那么对一般的变速直线运动所经过的路程能用定积分来计算吗？2．路程问题(1)请学生阅读教科书4.5节路程公式及例1，并尝试着找出公式中的条件．(2)练习同节“练习1”．[(1)、(2)目的是让学生自主接受公式、熟悉公式并应用公式．](3)辨析正误．题：作变速直线运动的物体的速度为v(t)＝1－t2，初始位置为x0＝1，求它在前2秒内所走过的路程及2秒末所在位置．学生思考议论片刻，再给出3点提示：a．公式中的条件是v(t)≥0．b．路程、位移在物理学中是标量还是失量？c．A从讲台走到教室后又回到讲台，他所走过的路程和位移分别是多少？讨论、点拨之后师生共同归纳出结论．(前面内容3、4)说明：学生学新教科书都有一个体会，就是：一看就懂，一做就错．究其原因就是看例题只是单纯地套公式，没有理解实质．选此题的目的就是让学生在辨析、思考中找到挖掘隐含条件、关键字的方法，以提高自学能力．3．作功问题(1)请物理科代表讲解弹簧的平衡位置、伸长(压缩)量、弹性限度、胡克定律等知识．(目的：让学生积极主动参与进来，而不是教师机械灌输．)(2)学生阅读教科书4.5节变力作功公式及例题2，并找出关键字．(3)练习本节练习2．(4)例题：物体按规律x＝4t2(米)作直线运动，设介质的阻力与速度成正比，且速度等于10(米/秒)时阻力为2(牛)，求物体从x＝0到x＝2阻力所做的功．分析：变力作功公式中，F(x)是用x表示的，而此题中只有x对t 的关系式，故首先将F表示出来．依题意得：F＝kv，但这不是x的函数，应将v用x表示．另外，此题F是与物体运动方向相反的，说明：例题2及练习2都明显给出了F与x的关系，此例题没有明显的关系，量也比较多，通过此例题帮助学生理解并能表示出F(x)的关系式．4．反馈训练(1)变速直线运动的物体的速度为v(t)，初始t＝0时所在位置为s0，秒末它所在的位置为则当t1[ ](2)列车以速度72km/h行驶．当制动时列车获得加速度a＝－0.4m/s2，问列车应在进站前多少时候，以及离车站多远处开始制动？(3)一台打桩机将一木桩打入地下，每次打击所作的功相等，土壤对木桩的阻力与木桩进入土壤的深度成正比，第一次打击将木桩打入1米深，求第二次打入的深度．5．归纳小结再现两个公式，重申易错之处．布置作业教科书习题4.5第1、2、3题．。

定积分在几何中的简单应用教学设计04344《定积分在几何中的简单应用》教学设计成师生互动的教学氛围。

六教学过程师生活动设计意图（一）课前准备：复习定积分的概念、定积分的计算、定积分的几何意义.（二）情景引入：展示精美的大桥油画，讲述古代数学家的故事及伟大发现：拱形的面积【课件展示】课题：定积分在几何中的简单应用油画图片问：桥拱的面积如何求解呢？答：……【学生活动】本环节安排学生讨论，自主发现解决问题方向——定积分跟面积的关系，（三）新课讲授：【热身训练】练习１．计算«Skip Record If...»２．计算«Skip RecordIf...»【学生活动】思考口答【课件展示】定积分表示的几何图形、练习答案.«Skip Record If...» «Skip Record If...»【热身训练】练习３．用定积分表示阴影部分面积培养学生复习的学习习惯。

激发学生们的求知欲和探索欲，设下悬念，以激发学生的探索激情，为后面作开启性的铺垫。

复习定积分的几何意义yxππy教学过程【教师简单点评】探索到的结论一定可行吗？这就需要通过实践来检验。

【例题实践】例１．计算由曲线«Skip Record If...»与«Skip Record If...»所围图形的面积．【师生活动】探究解法的过程.1.找到图形----画图得到曲边形.2.曲边形面积解法----转化为曲边梯形，做出辅助线.3.定积分表示曲边梯形面积----确定积分区间、被积函数.4.计算定积分.【板书】根据师生探究的思路板书重要分析过程.【课件展示】解答过程解：作出草图，所求面积为图中阴影部分的面积.解方程组«Skip Record If...»得到交点横坐标为«Skip Record If...»及«Skip Record If...»«Skip Record If...» «Skip Record If...»曲边梯形OABC «Skip Record If...»曲边梯形OABD «Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»【例题实践】例２．计算由«Skip Record If...»与«Skip Record If...»所围图形的面积.【师生活动】讨论探究解法的过程通过探究，发现并掌握数学学科研究的基本过程与方法巩固了学生的作图能力，在寻找曲边梯形的过程中提高了学生的想象能力。

定积分的应用教案第一章：定积分的概念1.1 引入定积分的概念解释定积分是求曲线下的面积的方法强调定积分是极限的概念1.2 定积分的几何意义利用图形解释定积分表示曲线下的面积探讨定积分与区间的关系1.3 定积分的性质介绍定积分的四则运算讲解定积分的奇偶性第二章：定积分的计算方法2.1 定积分的标准公式介绍定积分的标准公式强调积分常数的存在2.2 定积分的换元法讲解定积分的换元法步骤举例说明换元法的应用2.3 定积分的分部积分法介绍定积分的分部积分法探讨分部积分法的应用第三章：定积分在几何中的应用3.1 求曲线的弧长利用定积分求曲线的弧长强调弧长公式的应用3.2 求曲面的面积引入曲面的面积概念利用定积分求曲面的面积3.3 求旋转体的体积介绍旋转体的体积公式利用定积分求旋转体的体积第四章：定积分在物理中的应用4.1 定积分在力学中的应用利用定积分求物体的质心利用定积分求物体的转动惯量4.2 定积分在电磁学中的应用利用定积分求电场强度利用定积分求磁场强度第五章：定积分在经济学中的应用5.1 定积分在优化问题中的应用利用定积分求最大值和最小值问题强调优化问题的实际意义5.2 定积分在概率论中的应用利用定积分求概率密度函数的积分5.3 定积分在评价问题中的应用利用定积分求函数的最大值和最小值问题强调定积分在评价问题中的作用第六章：定积分在生物学中的应用6.1 定积分在生长模型中的应用引入生长模型，如细胞的分裂利用定积分描述生物体的生长过程6.2 定积分在药物动力学中的应用介绍药物在体内的浓度变化利用定积分求药物的动力学参数第七章：定积分在工程学中的应用7.1 定积分在力学工程中的应用利用定积分计算结构的受力情况探讨定积分在材料力学中的应用7.2 定积分在热力学中的应用利用定积分求解热传导方程强调定积分在热力学中的重要性第八章：定积分在计算机科学中的应用8.1 定积分在图像处理中的应用介绍图像处理中的边缘检测利用定积分计算图像的边缘利用定积分计算曲线的长度强调定积分在图形学中的作用第九章：定积分的数值计算9.1 梯形法则介绍梯形法则及其原理利用梯形法则进行定积分的数值计算9.2 辛普森法则介绍辛普森法则及其适用条件利用辛普森法则进行定积分的数值计算9.3 数值计算方法的比较比较梯形法则和辛普森法则的优缺点强调选择合适的数值计算方法的重要性第十章：定积分在实际问题中的应用10.1 定积分在资源管理中的应用利用定积分计算资源的总量探讨定积分在资源管理中的分配问题10.2 定积分在环境保护中的应用利用定积分计算污染物的浓度强调定积分在环境保护中的作用10.3 定积分在其他领域的应用探讨定积分在人口学、社会学等领域的应用强调定积分在解决实际问题中的重要性重点和难点解析重点一：定积分的概念与几何意义定积分是微积分中的一个重要概念，它表示的是曲线下的面积。

1. 7.2定積分在物理中的應用課前預習學案【預習目標】能熟練利用定積分求變速直線運動的路程.會用定積分求變力所做的功.【預習內容】一、知識要點：作變速直線運動的物體在時間區間[]b a ,上所經過的路程S ，等於其速度函數)0)()((≥=t v t v v 在時間區間[]b a ,上的 ，即 .例1已知一輛汽車的速度——時間的函數關係為：（單位：).(),/(s t s m v ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+-≤≤≤≤=.6040,905.1;4010,30;100,103)(2t t t t t t v求（1）汽車s 10行駛的路程；（2）汽車s 50行駛的路程；（3）汽車min 1行駛的路程.變式1：變速直線運動的物體速度為,1)(2t t v -=初始位置為,10=x 求它在前s 2內所走的路程及s 2末所在的位置.二、要點：如果物體在變力)(x F 的作用下做直線運動，並且物體沿著與)(x F 相同方向從a x =移動到),(b a b x <=則變力)(x F 所作的功W = .例2 在彈性限度內，將一彈簧從平衡位置拉到離平衡位置lm 處，求克服彈力所作的功.變式2：一物體在變力25)(x x F -=作用下，沿與)(x F 成︒30方向作直線運動，則由1=x 運動到2=x 時)(x F 作的功為 .課內探究學案一、學習目標：1. 瞭解定積分的幾何意義及微積分的基本定理.2．掌握利用定積分求變速直線運動的路程、變力做功等物理問題。

二、學習重點與難點： 1. 定積分的概念及幾何意義2. 定積分的基本性質及運算的應用三、學習過程(一)變速直線運動的路程1．物本做變速度直線運動經過的路程s ，等於其速度函數v = v (t ) (v (t )≥0 )在時間區間[a ，b ]上的 定積分 ，即⎰=ba dt t v s )(．2．質點直線運動瞬時速度的變化為v (t ) = – 3sin t ，則 t 1 = 3至t 2 = 5時間內的位移是()dt t ⎰-53sin 3．（只列式子） 3．變速直線運動的物體的速度v (t ) = 5 – t 2，初始位置v (0) = 1，前2s 所走過的路程為 325 ． 例1．教材P58面例3。