定积分在物理中的应用 精品教案

使用时间： 班级： 小组： 姓名：1 1.7.2定积分在物理中的应用【学习目标】：1.知道定积分的几何意义及微积分的基本定理.2．掌握利用定积分求变速直线运动的路程、变力做功等物理问题。

【学习重点】：定积分的概念及几何意义 【学习难点】：定积分的基本性质及运算的应用 【学习方法】：分组讨论学习法、探究式. 【导学问题】： 基础过关：问题1：作变速直线运动的物体所经过的路程S ，等于其速度函数)0)()((≥=t v t v v 在时间区间[]b a ,上的定积分即S=问题2：如果物体在变力()F x 的作用下作直线运动，并且物体沿着与()F x 相同的方向从x=a 移动到x=b(a<b)，那么变力()F x 所做的功为W=_______________；思考：若()0v t ≤，则从时刻t=a 到时刻t=b 所经过的路程s 是多少？能力提升：例1．一辆汽车的速度时间的函数关系为：（单位：).(),/(s t s m v ）3,010;()30,1040;1.590,4060.t t v t t t t ≤≤⎧⎪=≤≤⎨⎪-+≤≤⎩求：（1）汽车前s 10行驶的路程；（2）汽车前40s 行驶的路程；（3）汽车在这min 1行驶的路程.练习1：一动点P 沿x 轴运动，在时间t 时的速度为2()82v t t t =- （速度的正方向与x 轴正方向一致），P 从原点出发，当t=6时， 求：（1）点P 离开原点的位移 （2）点P 离开原点的路程创新拓展：例2．在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置lm 处，求克服弹力所作的功.练习2：一物体在力()34F x x =+（x 的单位：m,F 的单位：N ）的作用下，沿与F 相同的方向，从x=0处运动到x=4处，求力F 所做的功使用时间： 班级： 小组： 姓名：21.7.2定积分在物理中的应用达标检测基础过关：1、 设物体以速度2()3(/)v t t t m s =+作直线运动，则它在0~4s 内所走的路程为 （ ）m A 70. m B 72. m C 75. m D 80.2、质点由坐标原点出发时开始计时，沿x 轴运动，其加速度()a t =2t ，当初速度(0)0v =时，质点出发后6s 所走的路程为 （ ）12.A 54.B 72.C 96.D3、如果1N 能拉弹簧1cm ，若将弹簧拉长6cm ，所耗费的功为（ ） J A 18.0. J B 26.0. J C 12.0. J D 28.0.4、设列车从A 点以速度()24 1.2(/)v t t m s =-开始拉闸减速，则拉闸后行驶105m 所需时间为 （ ）s A 5. s B 10. s C 20. s D 35.5、一物体沿直线以23v t =+（t 单位：s,v 单位：m/s ）的速度运动，则该物体从t=3到t=5行进的路程为6、做变速直线运动的物体的速度2()4v t t =-，则它在第2秒内的位移是7、将一弹簧压缩x 厘米，需要4x 牛顿的力，将它从自然长度压缩5厘米，外力作的功是 能力提升： 8、物体A 以速度231v t =+在一直线上运动，在此直线上与物体A 出发的同时，物体B 在A 的正前方5m处以10v t =的速度与A 同向运动，两物体何时相遇？相遇地与A 的出发地的距离是多少？（单位：:/v m s ；:t s ）创新拓展：9、一列火车在平直的铁轨上行驶，由于遇到紧急情况，火车以速度tt t v ++-=1555)(（单位：s m /）紧急刹车至停止.求 （1）从开始紧急刹车至火车完全停止所经过的时间； （2）紧急刹车后火车运行的路程.1.7.2定积分在物理中的应用达标检测基础过关：1、 设物体以速度2()3(/)v t t t m s =+作直线运动，则它在0~4s 内所走的路程为 （ ）m A 70. m B 72. m C 75. m D 80.2、质点由坐标原点出发时开始计时，沿x 轴运动，其加速度()a t =2t ，当初速度(0)0v =时，质点出发后6s 所走的路程为 （ ）12.A 54.B 72.C 96.D3、如果1N 能拉弹簧1cm ，若将弹簧拉长6cm ，所耗费的功为（ ） J A 18.0. J B 26.0. J C 12.0. J D 28.0.4、设列车从A 点以速度()24 1.2(/)v t t m s =-开始拉闸减速，则拉闸后行驶105m 所需时间为 （ ）s A 5. s B 10. s C 20. s D 35.5、一物体沿直线以23v t =+（t 单位：s,v 单位：m/s ）的速度运动，则该物体从t=3到t=5行进的路程为6、做变速直线运动的物体的速度2()4v t t =-，则它在第2秒内的位移是7、将一弹簧压缩x 厘米，需要4x 牛顿的力，将它从自然长度压缩5厘米，外力作的功是能力提升： 8、物体A 以速度231v t =+在一直线上运动，在此直线上与物体A 出发的同时，物体B 在A 的正前方5m处以10v t =的速度与A 同向运动，两物体何时相遇？相遇地与A 的出发地的距离是多少？（单位：:/v m s ；:t s ）创新拓展：9、一列火车在平直的铁轨上行驶，由于遇到紧急情况，火车以速度tt t v ++-=1555)(（单位：s m /）紧急刹车至停止.求 （1）从开始紧急刹车至火车完全停止所经过的时间； （2）紧急刹车后火车运行的路程.。

1.7. 定积分在物理中的应用-人教A版选修2-2教案一、教学目标1.理解定积分的物理意义和计算方法。

2.掌握定积分用于求曲线下的面积、质量和质心等物理量的计算方法。

3.了解矩形法和梯形法的计算公式和误差估计方法。

二、教学重点和难点1.掌握定积分在物理中的应用。

2.熟练掌握定积分的计算方法。

3.理解矩形法和梯形法的误差估计方法。

三、教学过程3.1、导入新课1.引入物理学中的几何概念——曲线下的面积。

2.提问：如何求出曲线下的面积？3.引导学生思考定积分的概念及其物理意义。

3.2、讲解定积分的物理意义和计算方法1.定积分的物理意义：用于求曲线下的面积、质量和质心等物理量。

2.定积分的计算方法：用不定积分求解，再进行积分区间的计算。

3.3、定积分在物理中的应用3.3.1、曲线下的面积1.定义曲线下的面积。

2.推导计算公式。

3.3.2、质量1.定义质量。

2.推导计算公式。

3.3.3、质心1.定义质心。

2.推导计算公式。

3.4、矩形法和梯形法的计算公式和误差估计方法1.介绍矩形法和梯形法的计算公式。

2.推导误差估计公式。

3.5、课堂练习1.做一些简单的例题，让学生熟悉定积分的计算方法和应用。

2.分组让学生自主练习，并交流答案。

四、教学反思1.本节课通过引入几何概念引导学生认识定积分的物理意义，从而引入了定积分的计算方法和应用。

2.教师在给出定积分的物理意义时应该注意符合学生所学习过的课程，从而让学生更好地理解和接受。

3.我们还需更多的时间让学生练习和思考，以便更好的理解和掌握定积分。

1.7.2 定积分在物理中的应用教学目标1、 体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）.2、 能熟练利用定积分求变速直线运动的路程.会用定积分求变力所做的功. 教学重难点 定积分求体积以及在物理中应用.教学过程：复习1、求曲边梯形的思想方法是什么？2、定积分的几何意义是什么？3、微积分基本定理是什么？新课讲解定积分在物理中应用1.求变速直线运动的路程我们知道，作变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v =v (t ) ( v (t ) ≥0) 在时间区间[a ,b ]上的定积分，即()d ba s v t t =⎰.例 1：一辆汽车的速度一时间曲线如图所示．求汽车在这1 min 行驶的路程．解：由速度一时间曲线可知：3,010,()30,10401.590,4060.t t v t t t t ≤≤⎧⎪=≤≤⎨⎪-+≤≤⎩因此汽车在这 1 min 行驶的路程是：104060010403d [30d ( 1.590)d s t t t t t =++-+⎰⎰⎰ 210402*********|30|(90)|1350(m)24t t t t =++-+=答：汽车在这 1 min 行驶的路程是 1350m .2．变力作功一物体在恒力F （单位：N ）的作用下做直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向移（单位：m)，则力F 所作的功为W =Fs .探究：如果物体在变力 F (x ）的作用下做直线运动，并且物体沿着与 F (x ) 相同的方向从x =a 移动到x =b (a <b ) ，那么如何计算变力F (x ）所作的功W 呢？与求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程一样，可以用“四步曲”解决变力作功问题．可以得到()d ba W F x x =⎰.例2：如图，在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置l m 处，求克服弹力所作的功．解：在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧所需的力 F （x ）与弹簧拉伸（或压缩）的长度 x 成正比，即 F （x ）= kx ,其中常数 k 是比例系数．由变力作功公式，得到220011|()22l l W kxdx x kl J ===⎰ 答：克服弹力所作的功为212kl J . 例3：A 、B 两站相距7.2km ，一辆电车从A 站B 开往站，电车开出t s 后到达途中C 点，这一段的速度为1.2t (m/s)，到C 点的速度为24m/s ，从C 点到B 点前的D 点以等速行驶，从D 点开始刹车，经ts 后，速度为（24-1.2t ）m/s ，在B 点恰好停车，试求（1）A 、C 间的距离；（2）B 、D 间的距离；（3）电车从A 站到B 站所需的时间.【解析】作变速直线运动的物体所经过的路程s ,等于其速度函数v =v (t )(v (t )≥0)在时间区间[a ,b ]上的定积分,即()d ba S v t t ⎰＝.解：（1）设A 到C 的时间为t 1则1.2t =24, t 1=20(s),则AC ＝20220001.20.6|240(m)tdt t ==⎰.（2）设D 到B 的时间为t 21则24-1.2t 2=0, t 21=20(s),则DB ＝202200024 1.2d 0.6|240(m)t t t ==⎰（－）.（3）CD =7200-2⨯240=6720(m),则从C 到D 的时间为280(s),则所求时间为20+280+20=320（s ）课堂小结根据定积分的定义，定积分既有几何背景，又有物理背景，进而定积分与这些知识有着天然的联系.譬如：求几何图形的面积，求路程、平均速度、电荷量、电压、功、质量等.上述种种尽管形式相异，然而所采用的思想方法均是：化曲为直，以不变代变，逼近，从某个角度而言充分展现了数学思想方法的高度抽象性及应用的广泛性。

1.7.2 定积分在物理中的应用一、教学目标：1. 了解定积分的几何意义及微积分的基本定理.2．掌握利用定积分求变速直线运动的路程、变力做功等物理问题。

二、教学重点与难点：1. 定积分的概念及几何意义2. 定积分的基本性质及运算的应用三教学过程：（一）练习1．曲线y = x 2 + 2x 直线x = – 1，x = 1及x 轴所围成图形的面积为（ B ）．A ．38B ． 2C ．34D ．32 2．曲线y = cos x 3(0)2x π≤≤与两个坐标轴所围成图形的面积为（ D ）A ．4B ．2C ．52 D ．33．求抛物线y 2 = x 与x – 2y – 3 = 0所围成的图形的面积．解：如图：由2230y x x y ⎧=⎨--=⎩得A （1，– 1），B （9，3）． 选择x 作积分变量，则所求面积为（二）新课变速直线运动的路程1．物本做变速度直线运动经过的路程s ，等于其速度函数v = v (t ) (v (t )≥0 )在时间区间[a ，b ]上的 定积分 ，即⎰=ba dt t v s )(．2．质点直线运动瞬时速度的变化为v (t ) = – 3sin t ，则 t 1 = 3至t 2 = 5时间内的位移是()dt t ⎰-53sin 3．（只列式子） 3．变速直线运动的物体的速度v (t ) = 5 – t 2，初始位置v (0) = 1，前2s 所走过的路程为 325 ． 例1．教材P58面例3。

练习：P59面1。

变力作功1．如果物体沿恒力F (x )相同的方向移动，那么从位置x = a 到x = b 变力所做的功W = F （b —a ）．2．如果物体沿与变力F (x )相同的方向移动，那么从位置x = a 到x = b 变力所做的功W =⎰b a dx x F )(．例2．教材例4。

练习：1．教材P59面练习22．一物体在力F (x ) =10(02)34(2)x x x ≤≤⎧⎨+>⎩（单位：N ）的作用下沿与力F (x )做功为（ B ） A ．44J B ．46J C ．48J D ．50J3．证明：把质量为m （单位kg ）的物体从地球的表面升高h （单位：m ）处所做的功W = G ·()Mmh k k h +，其中G 是地球引力常数，M 是地球的质量，k 是地球的半径．证明：根据万有引力定律，知道对于两个距离为r ，质量分别为m 1、m 2的质点，它们之间的引力f 为f =G ·122m m r ，其中G 为引力常数． 则当质量为m 物体距离地面高度为x （0≤x ≤h ）时，地心对它有引力f (x ) = G ·2()Mm k x +故该物体从地面升到h 处所做的功为0()h W f x =⎰d x =20()h Mm G k x ⋅+⎰·d x = GMm 201()h k x +⎰ d (k + 1) = GMm 01()|h k x -+ （三）、作业《习案》作业二十。

1.7.2 定积分在物理中的应用教课建议1.教材剖析,指引学生解决变力所做的功等一些简单的物本小节主假如经过举例复习变速直线运动的行程理问题 .要点是应用定积分解决变速直线运动的行程和变力做功等问题,使学生在解决问题的过程中体验定积分的价值 .难点是将物理问题化归为定积分的问题.2.主要问题及教课建议(1)变速直线运动的行程问题.建议教师用发问的方式让学生思虑、议论 ,使学生进一步从“数形联合”的角度理解定积分的观点并解决问题 .(2)变力做功的问题 .,自己推导出变力做功的公式,进一步体验用建议教师指引学生类比求变速直线运动行程的过程定积分解决问题的思想方法 .备选习题1.已知物体从水平川面做竖直上抛运动的速度—时间曲线如图 ,求物体 :(1)距离水平川面的最大值 ;(2)从 t= 0(s)到 t= 6(s)的位移 ;(3)从 t= 0(s)到 t= 6(s)的行程 .解:(1) 设速度—时间函数式为v(t)=v 0+at ,将点 (0 ,40),(6,-20)的坐标分别代入,得 v0= 40,a=- 10,因此 v(t)= 40-10t.令 v(t) =0? 40-10t= 0? t= 4,物体从 0 s 运动到距离水平川面的最大值为2(2)由上述可知 ,物体在 0~6 s 内的位移为s= (40-10t)dt= (40t-5t2)= 60(m) .(3)由上述可知,物体在 0~6 s 内的行程为s=|40-10t|dt=(40-10t)dt-(40-10t)dt=(40 t-5t 2)-(40t- 5t2)=80+ 20= 100(m) .2.如下图,一物体沿斜面在拉力 F 的作用下由 A 经 B,C 运动到 D,此中 AB= 5 m,BC= 4 m,CD= 3 m,变力 F= 在 AB 段运动时动方向同样 ,求物体由F 与运动方向成30°角 ,在A 运动到 D 所做的功 .BC 段运动时 F 与运动方向成45°角 ,在CD段F与运解: 在 AB 段运动时 F 在运动方向上的分力 F 1=F cos 30 .°在 BC 段运动时 F 在运动方向上的分力 F 2=F cos 45 .°由变力做功公式得W= cos 30 dx+° cos 45 dx+° 20dx= (x+ 20 )dx+ (x+20)dx+ 20dx=+ 20x=×108+ 20×3= (N ·m).。

1. 7.2定積分在物理中的應用課前預習學案【預習目標】能熟練利用定積分求變速直線運動的路程.會用定積分求變力所做的功.【預習內容】一、知識要點：作變速直線運動的物體在時間區間[]b a ,上所經過的路程S ，等於其速度函數)0)()((≥=t v t v v 在時間區間[]b a ,上的 ，即 .例1已知一輛汽車的速度——時間的函數關係為：（單位：).(),/(s t s m v ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+-≤≤≤≤=.6040,905.1;4010,30;100,103)(2t t t t t t v求（1）汽車s 10行駛的路程；（2）汽車s 50行駛的路程；（3）汽車min 1行駛的路程.變式1：變速直線運動的物體速度為,1)(2t t v -=初始位置為,10=x 求它在前s 2內所走的路程及s 2末所在的位置.二、要點：如果物體在變力)(x F 的作用下做直線運動，並且物體沿著與)(x F 相同方向從a x =移動到),(b a b x <=則變力)(x F 所作的功W = .例2 在彈性限度內，將一彈簧從平衡位置拉到離平衡位置lm 處，求克服彈力所作的功.變式2：一物體在變力25)(x x F -=作用下，沿與)(x F 成︒30方向作直線運動，則由1=x 運動到2=x 時)(x F 作的功為 .課內探究學案一、學習目標：1. 瞭解定積分的幾何意義及微積分的基本定理.2．掌握利用定積分求變速直線運動的路程、變力做功等物理問題。

二、學習重點與難點： 1. 定積分的概念及幾何意義2. 定積分的基本性質及運算的應用三、學習過程(一)變速直線運動的路程1．物本做變速度直線運動經過的路程s ，等於其速度函數v = v (t ) (v (t )≥0 )在時間區間[a ，b ]上的 定積分 ，即⎰=ba dt t v s )(．2．質點直線運動瞬時速度的變化為v (t ) = – 3sin t ，則 t 1 = 3至t 2 = 5時間內的位移是()dt t ⎰-53sin 3．（只列式子） 3．變速直線運動的物體的速度v (t ) = 5 – t 2，初始位置v (0) = 1，前2s 所走過的路程為 325 ． 例1．教材P58面例3。

导数及其应用一、教学目标：知识与技能：1、进一步理导数的概念，掌握导数在研究函数单调性及极值和最值中的应用，完善学生对数的认识。

2、理解导数和定积分中体现的数学思想“以直代曲”；过程与方法：通过复习归纳常见题型，帮助学生形成解题模块。

提高解决复数问题的能力。

情感、态度与价值：让学生探索、发现数学知识和掌握数学知识的内在规律的过程中不，不断获得成功积累愉快的体验，不断增进学习数学的兴趣，同时还通过探索这一活动培养学生善于和他人合作的精神.二、教学重点、难点重点：掌握导数的概念及应用，提升问题分析解决能力；难点：通过复习提高学生总结知识的能力和习惯。

三、教学模式与教法、学法教学模式：本课采用“探究——发现”教学模式．四、教学过程教学流程教师活动学生活动设计意图环节一： 1. 知识框图：问题1：你能用自己的方法，对本章学习的知识做一梳理总结吗？引进知识框图，帮助学生提高对知识的总结归纳能力。

.环节二： 2.概念辨析，完善认知1）导数1．对于导数的定义，必须明白定义中包含的基本内容和Δx→0的方式，导数是函数的增量Δy与帮助学生提高对知自变量的增量Δx 的比ΔyΔx的极限，即lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0 f x0＋Δx －f x0Δx.函数y ＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．2）.几种常见函数的导数公式3）．判断函数的单调性(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间；(2)注意在某一区间内f ′(x )＞0(或f ′(x )＜0)是函数f (x )在该区间上为增(或减)函数的充分条件． 4）．利用导数研究函数的极值要注意(1)连续函数f (x )在其定义域上的极值点可能不止一个，也可能没有极值点，函数的极大值与极小值没有必然的大小联系，函数的一个极小值也不一定比它的一个极大值小．(2)可导函数的极值点一定是导数为零的点，但函数的导数为零的点，不一定是该函数的极值点．因此导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件，其充要条件是加上这点两侧的导数异号． 5）求函数的最大值与最小值 求函数最值的步骤一般地，求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上最大值与最小值的步骤如下：①求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值；②将函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 6）．定积分的概念 定积分的思想就是无限分割、以直代曲、求和、 2．定积分的性质通过对形成的知识框图，进一步完善其中的知识要点。

定积分在物理中的应用【教学目标】1．能利用定积分解决物理中的变速直线运动的路程、变力做功问题．2．通过定积分在物理中的应用，学会用数学工具解决物理问题，进一步体会定积分的价值． 【教法指导】本节学习重点：能利用定积分解决物理中的变速直线运动的路程、变力做功问题． 本节学习难点：学会用数学工具解决物理问题，进一步体会定积分的价值． 【教学过程】 ☆探索新知☆探究点一 变速直线运动的路程思考 变速直线运动的路程和位移相同吗？例1 一辆汽车的速度－时间曲线如图所示．求汽车在这1 min 行驶的路程．解 由速度－时间曲线可知：v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧3t ， 0≤t ≤10，30， 10≤t ≤40，－1.5t ＋90， 40≤t ≤60.因此汽车在这1 min 行驶的路程是：s ＝ʃ1003t d t ＋ʃ401030d t ＋ʃ6040(－1.5t ＋90)d t＝32t 2|100＋30t |4010＋(－34t 2＋90t )|6040 ＝1 350 (m)．答 汽车在这1 min 行驶的路程是1 350 m.反思与感悟 (1)用定积分解决变速直线运动的位移和路程问题时，将物理问题转化为数学问题是关键． (2)路程是位移的绝对值之和，因此在求路程时，要先判断速度在区间内是否恒正，若符号不定，应求出使速度恒正或恒负的区间，然后分别计算，否则会出现计算失误．跟踪训练1 一质点在直线上从时刻t ＝0(s)开始以速度v (t )＝t 2－4t ＋3(m/s)运动．求： (1)在时刻t ＝4时，该点的位置； (2)在时刻t ＝4时，该点运动的路程．解 (1)由ʃ4(t 2－4t ＋3)d t ＝(t 33－2t 2＋3t )|40＝43知，在时刻t ＝4时，该质点离出发点43m.(2)由v (t )＝t 2－4t ＋3>0， 得t ∈(0,1)∪(3,4)．这说明t ∈(1,3)时质点运动方向与t ∈(0,1)∪(3,4)时运动方向相反． 故s ＝ʃ40|t 2－4t ＋3|d t＝ʃ10(t 2－4t ＋3)d t ＋ʃ31(4t －t 2－3)d t ＋ʃ43(t 2－4t ＋3)d t ＝4. 即在时刻t ＝4时，该质点运动的路程为4 m. 探究点二 变力做功问题思考 恒力F 沿与F 相同的方向移动了s ，力F 做的功为W ＝Fs ，那么变力做功问题怎样解决呢？例2 如图所示，一物体沿斜面在拉力F 的作用下由A 经B 、C 运动到D ，其中AB ＝50 m ，BC ＝40 m ，CD ＝30 m ，变力F ＝⎩⎪⎨⎪⎧14x ＋5 0≤x ≤9020 90<x ≤120(单位：N)，在AB 段运动时F 与运动方向成30°角，在BC 段运动时F 与运动方向成45°角，在CD 段运动时F 与运动方向相同，求物体由A 运动到D 所做的功．(3≈1.732，2≈1.414，精确到1 J)解 在AB 段运动时F 在运动方向上的分力F 1＝F cos 30°，在BC 段运动时F 在运动方向上的分力F 2＝F cos 45°.由变力做功公式得：W ＝ʃ500⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋5cos 30°d x ＋ʃ9050⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋5cos 45°d x ＋600＝38⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋20x |500＋28⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋20x |9050＋600 ＝1 12543＋4502＋600≈1 723 (J). 所以物体由A 运动到D 变力F 所做的功为1 723 J. 反思与感悟 解决变力做功注意以下两个方面：(1)首先要将变力用其方向上的位移表示出来，这是关键的一步． (2)根据变力做功的公式将其转化为求定积分的问题．跟踪训练2 设有一长25 cm 的弹簧，若加以100 N 的力，则弹簧伸长到30 cm ，求使弹簧由25 cm 伸长到40 cm 所做的功．答 使弹簧由25 cm 伸长到40 cm 所做的功为22.5 J. ☆课堂提高☆1．一物体沿直线以v ＝3t ＋2(t 单位：s ，v 单位：m/s)的速度运动，则该物体在 3～6 s 间的运动路程为( )．A ．46 mB ．46.5 mC ．87 mD ．47 m 【答案】 B 【解析】 s ＝⎰63(3t ＋2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 2＋2t ⎪⎪⎪63＝(54＋12)－⎝ ⎛⎭⎪⎫272＋6＝46.5(m)．2.从空中自由下落的物体，在第一秒时刻恰经过电视塔顶，在第二秒时刻物体落地，已知自由落体的运动速度为v ＝gt (g 为常数)，则电视塔高为( ) A.52g B.72g C.32g D ．2g【答案】 C【解析】 h ＝ʃ21gt d t ＝12gt 2|21＝32g .3．一物体从A 处向B 处运动，速度为1.4t m/s(t 为运动的时间)，到B 处时的速度为35 m/s ，则AB 间的距离为( ) A ．120 m B ．437.5 m C ．360 m D ．480 m【答案】 B【解析】 从A 处到B 处所用时间为25 s.所以|AB |＝ʃ2501.4t d t ＝0.7t 2|250＝437.5 (m)．4．如果1 N 的力使弹簧伸长1 cm ，在弹性限度内，为了将弹簧拉长10 cm ，拉力所做的功为( ) A ．0.5 J B ．1 J C ．50 J D ．100 J【答案】 A5．A 、B 两站相距7.2 k m ，一辆电车从A 站开往B 站，电车开出t s 后到达途中C 点，这一段速度为1.2 t (m/s)，到C 点速度达24 m/s ，从C 点到B 站前的D 点以等速行驶，从D 点开始刹车，经t s 后，速度为(24－1.2 t )m/s ，在B 点恰好停车，试求： (1)A 、C 间的距离； (2)B 、D 间的距离；(3)电车从A 站到B 站所需的时间．【解析】 (1)设A 到C 经过t 1 s ，由1.2t 1＝24得t 1＝20(s)， ∴AC ＝⎰201.2t d t ＝0.6 t 2⎪⎪⎪20＝240(m)．(2)设从D ―→B 经过t 2s ， 由24－1.2 t 2＝0得t 2＝20(s)， ∴DB ＝∫200(24－1.2t )d t ＝240(m)． (3)CD ＝7 200－2×240＝6 720(m)． 从C 到D 的时间为t 3＝6 72024＝280(s)．于是所求时间为20＋280＋20＝320(s)．6．一物体按规律x ＝bt 3作直线运动，其中x 为时间t 内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方，试求物体由x ＝0运动到x ＝a 时，阻力所做的功．【解析】 物体的速度v ＝x ′(t )＝(bt 3)′＝3bt 2，媒质的阻力F 阻＝kv 2＝k ·(3bt 2)2＝9kb 2t 4(其中k 为比例常数，k >0)．当x ＝0时，t ＝0；当x ＝a 时，t ＝(a b )13.所以阻力所做的功为W 阻＝ʃa0F 阻d x ＝13()0a b ⎰kv 2·v d t＝13()0ab ⎰9kb 2t 4·3bt 2d t ＝13()0a b ⎰27kb 3t 6d t ＝277kb 3t 7|13()0a b ＝277k 23b ·73a .故物体由x ＝0运动到x ＝a 时，阻力所做的功为277k 23b ·73a .。

第五章 第六节 定积分在物理学上的应用教学目的：理解和掌握用定积分的元素法，解决物理上的实际问题 功，水压力和引力教学重点：如何将物理问题抽象成数学问题教学难点：元素法的正确运用教学内容：一、变力沿直线所作的功例1 半径为r 的球沉入水中，球的上部与水面相切，球的比重为 1 ，现将这球从水中取出，需作多少功? 解：建立如图所示的坐标系将高为r 的球缺取出水面，所需的力F x ()为：F x G F ()=-浮 其中：G rg =⋅⋅4313π是球的重力，F 浮表示将球缺取出之后，仍浸在水中的另一部分球缺所受的浮力。

由球缺公式 )3(2x r x V -⋅=π 有g x r x r F ⋅⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅-⋅=1)3(3423ππ浮 从而 )]2,0[()3()(2r x g x r x x F ∈-⋅=π十分明显，F x ()表示取出水面的球缺的重力。

即：仅有重力作功，而浮力并未作功，且这是一个变力。

从水中将球取出所作的功等于变力F x ()从0改变至2r 时所作的功。

取x 为积分变量，则x r ∈[,]02，对于[,]02r 上的任一小区间[,]x x dx +，变力F x ()从0到x dx +这段距离内所作的功。

g x r x dx x F dW )3()(2-⋅==π这就是功元素，并且功为g r x x rg dx xr gx W rr4204320234123)3(⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-⎰=ππππ另解 建立如图所示的坐标系取x 为积分变量， 则 x r ∈[,]02，在 [,]02r 上任取一个小区间[,]x x dx +，则此小区间对应于球体上的一块小薄片，此薄片的体积为π(())rr x dx 222--由于球的比重为 1 ， 故此薄片质量约为dm r r x dx =--⋅π[()]221将此薄片取出水面所作的功应等于克服薄片重力所作的功，而将此薄片取出水面需移动距离为 x 。