定积分的应用教学设计比赛一等奖

一、800 ln 2(焦耳).
二、25
kc
2
3a
7 3
(其中
k
为比例常数)
.
7
三、14373(千牛) . 四、4 r4 g . 3
五、1 a 2b .
6
六、引力的大小为2km
sin
,方向为
M
指
向圆弧
R2
的中心 .
七、k a4. 2
尤其是怎样在详细问题中取“微元”——微 功、微压力、微引力等。这对于从形式到内容 真正地把握公式是非常必要旳，相反假如仅满 足于套用公式处理某些简朴问题而不求甚解， 那么遇到某些稍有灵活性旳问题，便可能束手 无策，不知怎样下手。
四、平均值和均方根
y
1
b
f ( x)dx
ba a
s
1
b
f 2( x)dx
ba a
有关定积分旳应用阐明三点：
1。选择合适旳坐标系
2。善于根据问题旳性质和要求构造积 分元素，主要是选择好参数，并能正 确地拟定出积分限，
3。详细计算定积分时，要尤其注意和 充分而且谨慎应用对称性及等量关系 以简化定积分旳计算，对此，熟悉区 域或曲线旳形状，对于处理问题是十 分有益旳。
五、小结
dW
F ( x)dx
mgR 2
1 x2
dx
WH
R H
mgR 2
R
1 x2
dx
mgR2( 1 1 ) R RH
为了使火箭脱离地球引力范围，也
就是说要把火箭发射到无穷远处 H
所须作旳功
lim lim w
wH
H
mgR2( 1
H
R
1 ) R H

定积分的简单应用教案一、教学目标：1. 理解定积分的概念及其在实际问题中的应用；2. 掌握定积分的计算方法；3. 能够应用定积分解决简单应用问题。

二、教学内容：1. 定积分的概念及其性质；2. 定积分的计算方法和基本性质；3. 定积分在实际问题中的应用。

三、教学重难点：1. 定积分的概念和计算方法；2. 定积分在实际问题中的应用。

四、教学过程：1. 导入与激发兴趣（5分钟）引导学生回顾不定积分的概念和性质，引发学生对定积分的好奇和兴趣。

2. 定积分的概念和计算方法（20分钟）a. 介绍定积分的概念：定积分是对函数在一定区间上的值进行求和的极限过程，表示函数在这个区间上的总量。

b. 讲解定积分的计算方法：i. 用一组割线逼近曲线下的面积；ii. 分割区间，用矩形逼近曲线下的面积；iii. 讲解Riemann和Darboux定义；iv. 使用不等式判断积分的上限和下限。

3. 定积分的基本性质（15分钟）a. 讲解定积分的线性性质；b. 讲解定积分的区间可加性；c. 引导学生理解定积分的平均值性质。

4. 定积分在实际问题中的应用（30分钟）a. 通过具体的实际问题，引导学生应用定积分解决问题，如：i. 曲线下的面积计算；ii. 曲线长度计算；iii. 物体在一定时间内的位移计算。

b. 引导学生分析问题，确定所给问题可以通过定积分求解。

5. 拓展与巩固（20分钟）通过课堂练习和教师引导，进一步巩固学生对定积分的理解和应用能力。

六、教学评价：1. 课堂练习的完成情况；2. 学生对定积分概念的理解和计算方法的掌握；3. 学生对定积分在实际问题中的应用能力。

七、教学反思：本节课通过引导学生回顾不定积分的概念和性质，引发学生对定积分的兴趣，再结合具体的实际问题进行教学，使学生能够理解定积分的概念和计算方法，并能够应用定积分解决简单的实际问题。

同时，通过课堂练习和教师引导，巩固了学生的学习成果。

综上所述，本节课教学效果较好。

A
b a
f (x) g(x) dx.
第15页
例1.用定积分表示图中四个阴影部分面积
y
f(x)=x2
y
f(x)=x2
y
y f(x)=(x-1)2-1
f(x)=1
0 a x -10 2 x a 0 b x -10 2 x
①
②
③
④
解: （1）在图①中，被积函数f (x) x2在[0，a]
上连续，且f (x) 0,根据定积分的几何意
y
f (x)
dV ( x dx)2 f ( x) x2 f ( x)
2f ( x)dx
b
Vy 2 a x f ( x)dx
x
x x dx
第38页
利用公式,
b
Vy 2 a x f ( x)dx
可知上例中
2a
Vy 2 0 x | f ( x) | dx
2
20 a(t sin t) a(1 cos t)d[a(t sin t)]
o 解 过原点 及点p(h, r) y
P
直线方程y 为 r x
o
h
r
h
x
取积分变量为x，它的变化区间为[0, h]
圆锥体中相应于[0, h]上任一小区间[ x, x dx]的薄片
第33页
的体积近似于底半径为
r h
x
、高为dx
的扁圆柱体的体
积即体积元素
dV
r h
2
x dx
y
o
于是所求圆锥体的体积为
A
1( 0
x
x2 )dx
2 3
3
x2
x3 3
1 0
1. 3

《定积分在几何中的应用——求平面图形的面积》导学案 学习目标：1.理解定积分的几何意义，会将平面图形的面积问题转化为定积分问题；2.会用定积分求简单的曲边图形的面积.学习重点：用定积分求平面图形的面积.学习难点：如何恰当选择积分变量和确定被积函数.学习过程：（一）基础知识回顾1. 定积分的几何意义若)(x f y =与a x =，b x =和x 轴围成的曲边梯形面积为s ，则当0)(≥x f 时，S = ；当0)(≤x f 时，S = .2.微积分的基本定理()()()()a F b F a bx F dx x f b a -==⎰.其中)(x f 是连续函数，且)(x f 是)(x F 的导函数，)(x F 是)(x f 的原函数.（二）课堂探究1.求抛物线2x y =，直线2=x ，0=y 所围成的图形的面积.2.求抛物线12-=x y 与x 轴所围成的图形的面积.3.求抛物线2)(x x g =与直线4)(=x f 所围成的图形的面积.4.求抛物线2)(x x g =与直线2)(+=x x f 所围成的图形的面积.2.请用定积分表示下列不同情形的图形面积.（三）精讲精练例1 计算由曲线x y =，直线2-=x y 以及x 轴围成的图形的面积.（尝试多种方法）变式训练：将曲线绕x 轴旋转，与直线相交于两点，求曲线与直线围成的面积。

归纳小结：求由曲线围成的平面图形面积的解题步骤.（四）当堂小测1.求由曲线3x y =，直线2=x 以及x 轴所围成图形的面积.2.求抛物线12-=x y 和3=y 围成的平面图形的面积.3.求由x y sin =，x y cos =，0=x ，2π=x 所围成的图形面积.。

与两坐标轴和抛物线 y x2 1 所围图形的面积最小.
解 设切点为 ( x0 , y0 ) ,
则切线方程为 y (1 x02 ) 2x0( x x0 ) ，
即 y 2 x0 x x02 1 ，
在两坐标轴的截距为:
x02 1 2 x0
,
x02
1
所以,
AOB
( x02 1)2 4 x0
问要将水全部抽出,外力需做多少功?
解 建立坐标系如图，
功元素为
dW
(
x
2 1
x
2 2
)
dy
1
(
H
y)
(H y)( y y )dy ，
4
W
H
2 (H
y)( 3 y )dy
H
3
.
0
4
16
第15页
例13 将直角边各为a及2a直角三角形薄板垂直地 浸入水中, 斜边朝下, 直角边边长与水面平行(如图), 求薄板所受侧压力．
将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作功相等，问第n
次锤击时又将铁钉击入多少？
P287 5.
解 设木板对铁钉阻力为 f ( x) kx ,
第一次锤击时所作功为
1
k
W1
f ( x)dx ,
0
2
设n次击入总深度为h厘米, 所作总功为
Wn
h f ( x)dx kh2 ,
0
2
第13页
W1
1 0
解 建坐标系如图,
则x轴分力微元为:
m M dx
dFx
其中
G a2 sin
l
x
2
x
sin ，
，

定积分的教案导语：定积分是高中数学中的一项重要内容，属于高中数学必修三的范畴。

定积分的学习可以帮助学生进一步理解函数的性质和几何意义，掌握积分的基本概念和方法。

本教案旨在帮助教师在课堂上设计一堂生动有趣的定积分课，引导学生主动参与学习，提高他们的理解能力和解题能力。

一、教学目标1. 理解定积分的几何意义，掌握定积分的定义。

2. 掌握定积分的计算方法，包括利用定积分计算函数的面积、利用定积分求解函数的平均值等。

3. 运用定积分解决实际问题，培养学生的问题解决能力和应用能力。

二、教学重点1. 定积分的几何意义和定义。

2. 定积分的计算方法。

3. 实际问题的应用。

三、教学难点1. 定积分与函数面积的联系。

2. 定积分的定义和计算方法的理解。

四、教学过程1. 导入新知识（5分钟）教师引导学生回顾曲线的面积计算方法，并提出定积分的问题：如何对曲线下的面积进行准确计算呢？2. 基础知识讲解（15分钟）教师依据课本内容，简要解释定积分的定义和几何意义。

定积分是通过将区间划分为无穷多个小段，然后对每个小段内的面积进行求和来进行计算的。

教师结合示意图，让学生理解定积分的基本概念。

3. 计算方法讲解（20分钟）（1）教师介绍定积分的计算方法。

通过将区间划分为若干个小段，每个小段内取一个点作为代表点，并计算出每个小段的面积，然后将这些小段的面积相加，即可得到定积分的近似值。

随着小段的数量趋于无穷大，定积分的近似值也会趋于准确值。

（2）教师通过例题演示，说明如何利用定积分计算函数的面积和求解函数的平均值。

4. 应用与拓展（25分钟）（1）教师设计实际问题，结合现实生活中的场景，引导学生运用所学知识进行定积分的应用。

例如，计算某段道路上的车流量，或者计算某段曲线下的液体体积等。

（2）教师组织学生分组进行课堂竞赛，让学生通过运用定积分解决问题，提高他们的问题解决能力和团队合作能力。

5. 总结与展望（10分钟）教师对本节课的内容进行总结，并展望下一节课的主题。

2
小结
1．本节课我们做了什么探究活动呢？ 2．定积分解决曲边形面积的步骤有哪些？ 3．这一过程中体会到哪些研究思路及方法呢？
作业
y x
y x2
变式训练
A
y x
将曲线绕x轴旋转，与直线相交
于两点，求曲线与直线围成的
S1
面积。
S2 y x 2
B
交点B1, 1
S S1 S2
10
[
1
(
x )dx]
2
(x 2)dx
3
0
1
9 2
变式训练
A
y x
交点B1,1和A4,2
S2 S1
S1 y x 2
B
S 2S1 S2
b
a [ f (x) g(x)]dx
例题精讲
例题 计算由曲线 y ，x直线
面积.
y以及x 2轴围成图x 形的
解法1 作出y=x-2, y x 的图象如图所示:
解方程组：
y
x
y x2
所以直线y=x-2与 y x 交点为(4，2)
直线y=x-4与x轴的交点为(2，0)
因此，所求图形的面积为一个曲边梯形与一三角形面积之差：
1. 作图象; 2. 求交点,定出积分上、下限; 3. 用定积分表示所求的面积; 4. 用微积分基本定理求定积分.
当堂检测
1、求由曲线y＝x3，直线x=2以及x轴所围成图形的面积．
2、求抛物线y x2 -1和y 3围成的图形面积.
3、求由y sin x, y cos x, x 0, x 所围成的图形面积.
1
4
20 xdx 1 ( x x 2)dx
9 2
拓展训练
思考：将取y为积分变量，把函

定积分的应用教学设计比赛一等奖3.1定积分的应用：平面图形的面积教材分析:《定积分的简单应用》是人教版选修2-2第1章第7节的内容，从题目中可以看出这节教学的要求，就是让学生在充分认识导数与积分的概念、计算、几何意义的基础上，掌握用积分手段解决实际问题的基本思想和方法，从而进一步认识到数学知识的实用价值以及数学在实际应用中的强大生命力。

在整个高中数学体系中，这部分内容也是学生在高等学校进一步学习数学的基础。

教学构思：应用型的课题是培养学生观察分析、发现、概括、推理和探索能力的极好素材，本节课通过创设情景、问题探究、抽象归纳、巩固练习、应用提升等探究性活动，培养学生的数学创新精神和实践能力，使学生们掌握定积分解题的规律，体会数学学科研究的基本过程与方法。

学情分析：知识层面，学生已经学习了定积分的定义，由来及微积分基本定理。

在定积分与曲边梯形面积关系中，许多学生默认相等，这就与定积分本质相违背。

能力层面，学生有一定的推理和探索能力，面对知识点，学生还需有归纳概括的能力。

还需体会数学学科研究的基本过程与方法。

情感层面，学生对数学新内容的学习有相当的兴趣和积极性，但探究问题的能力以及合作交流等方面发展不够均衡，有待加强。

教学理念：以学生发展为主线。

新型的教学方式，新型的呈现方式。

教学目标：知识与技能：1.理解定积分的几何意义，会通过定积分求由两条或多条曲线围成的图形的面积.2.掌握利用定积分求曲边梯形面积的几种常见题型及方法.过程与方法：通过体验解决问题的过程，体现定积分的使用价值，加强观察能力和归纳能力，强化数形结合和化归思想的思维意识，达到将数学和其他学科进行转化融合的目的。

情感态度与价值观：通过教学过程中的观察思考总结，养成自主学习的良好学习习惯，培养数学知识应用于生活的意识。

教学重点：利用定积分求平面图形的面积教学难点：将实际问题化归为定积分的问题。

如何恰当选择积分变量和确定被积函数。

教学方法：问题诱导启发讨论探索结果，直观观察、抽象归纳、总结归纳等方式，采用激发兴趣、主动参与、积极体验、自主探究地学习，形成师生互动的教学氛围。