第8课时变化率与导数

变化率与导数、导数的运算课前双击巩固1.变化率与导数 (1)平均变化率: 概念 对于函数y=f (x ),f(x 2)-f(x 1)x 2-x 1=Δy Δx 叫作函数y=f (x )从x 1到x 2的 变化率几何 意义 函数y=f (x )图像上两点(x 1,f (x 1)),(x 2,f (x 2))连线的物理 意义 若函数y=f (x )表示变速运动的质点的运动方程,则ΔyΔx 就是该质点在[x 1,x 2]上的 速度(2)导数:概念点x 0处 limΔx→0ΔyΔx =limΔx→0f(x 0+Δx)−f(x 0)Δx,我们称它为函数y=f (x )在 处的导数,记为f'(x 0)或y'|x=x 0,即f'(x 0)=limΔx→0ΔyΔx= lim Δx→0f(x 0+Δx)−f(x 0)Δx区间 (a ,b )当x ∈(a ,b )时,f'(x )=lim Δx→0ΔyΔx =lim Δx→0 叫作函数在区间(a ,b )内的导数几何 意义 函数y=f (x )在点x=x 0处的导数f'(x 0)就是函数图像在该点处切线的 .曲线y=f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线方程是物理 意义 函数y=f (x )表示变速运动的质点的运动方程,则函数在x=x 0处的导数就是质点在x=x时的 速度,在(a ,b )内的导数就是质点在(a ,b )内的 方程2.导数的运算 常用 导数 公式原函数导函数特例或推广常数函数 C'=0(C 为常数)幂函数(x n)'= (n ∈Z )1x'=-1x 2三角函数(sin x)'=,(cos x)'=偶(奇)函数的导数是奇(偶)函数,周期函数的导数是周期函数指数函数(a x)'=(a>0且a≠1) (e x)'=e x对数函数(log a x)'=(a>0且a≠1)(ln x)'=1x,(ln|x|)'=1x四则运算法则加减[f(x)±g(x)]'=(∑i=1nf i(x))'=∑i=1nf'i(x)乘法[f(x)·g(x)]'=[Cf(x)]'=Cf'(x) 除法f(x)g(x)'=(g(x)≠0)1g(x)'=-g′(x)[g(x)]2复合函数导数复合函数y=f[g(x)]的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数之间具有关系y'x=,这个关系用语言表达就是“y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积”题组一常识题1.[教材改编]向气球中充入空气,当气球中空气的体积V(单位:L)从1 L增加到2 L时,气球半径r(单位:dm)的平均变化率约为.2.[教材改编]已知将1吨水净化到纯净度为x %时所需费用(单位:元)为c(x)=5284100−x(80<x<100),当净化到纯净度为98 %时费用的瞬时变化率为.3.[教材改编] y=sin(πx+φ)的导数是y'=.4.[教材改编]曲线y=xe x-1在点(1,1)处切线的斜率等于.题组二常错题◆索引:平均变化率与导数的区别;求导时不能掌握复合函数的求导法则致错;混淆f'(x 0)与[f (x 0)]',f'(ax+b )与[f (ax+b )]'的区别.5.函数f (x )=x 2在区间[1,2]上的平均变化率为 ,在x=2处的导数为 .6.已知函数y=sin 2x ,则y'= .7.已知f (x )=x 2+3xf'(2),则f (2)= .8.已知f (x )=x 3,则f'(2x+3)= ,[f (2x+3)]'= .课堂考点探究探究点一 导数的运算1(1)函数f (x )的导函数为f'(x ),且满足关系式f (x )=x 2+3xf'(2)-ln x ,则f'(2)的值为( )A.74 B.-74 C.94 D.-94(2)已知f (x )=-sin x2(1−2cos 2x4),则f'(π3)= .[总结反思] (1)对于复杂函数的求导,首先应利用代数、三角恒等变换等变形规则对函数解析式进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错.(2)利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,不要与求导的乘法公式混淆. 式题 (1)函数y=sinx x 的导数为y'= .(2)已知f (x )=(x+1)(x+2)(x+a ),若f'(-1)=2,则f'(1)= . 探究点二 导数的几何意义考向1 求切线方程2 函数f (x )=e x·sin x 的图像在点(0,f (0))处的切线方程是 .[总结反思] (1)曲线y=f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线方程为y-f (x 0)=f'(x 0)(x-x 0);(2)求解曲线切线问题的关键是求切点的横坐标,在使用切点横坐标求切线方程时应注意其取值范围;(3)注意过某点的切线和曲线上某点处的切线的区别. 考向2 求切点坐标3设a∈R,函数f(x)=e x+a·e-x的导函数是f'(x),且f'(x)是奇函数.若曲线y=f(x)的一条切线的斜率是32,则切点的横坐标为( )A.ln 2B.-ln 2C.ln22 D.-ln22[总结反思] f'(x)=k(k为切线斜率)的解即为切点的横坐标.考向3求参数的值4已知曲线C在动点P(a,a2+2a)与动点Q(b,b2+2b)(a<b<0)处的切线互相垂直,则b-a的最小值为( )A.1B.2C.√2D.-√2[总结反思](1)利用导数的几何意义求参数的基本方法:利用切点的坐标、切线的斜率、切线方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组),进而求出参数的值或取值范围.(2)注意:①曲线上横坐标的取值范围;②切点既在切线上又在曲线上.强化演练1.【考向1】已知函数f(x)=xln x,若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,则直线l的方程为( )A.x+y-1=0B.x-y-1=0C.x+y+1=0D.x-y+1=02.【考向3】直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(1,3),则2a+b的值等于( )A.2B.-1C.1D.-23.【考向2】已知在平面直角坐标系中,f(x)=aln x+x的图像在x=a处的切线过原点,则a=( )A.1B.eC.1eD.04.【考向2】若曲线y=xln x在点P处的切线平行于直线2x-y+1=0,则点P的坐标是.5.【考向1】函数f(x)=xe x的图像在点P(1,e)处的切线与坐标轴围成的三角形面积为.。

y =
lim
x0
f
(x x) x
f
(x)
=
lim
x0
4(
x
x) x
4
x
= lim 4 = 4. x0
(2x)=2. (3x)=3. (4x)=4.
y y=4x y=3x
4 y=2x 3 2
o1 x
练习: (课本13, 14页 “探究”)
1. 在同一平面直角坐标系中, 画出函数 y=2x,
y=3x, y=4x 的图象, 并根据导数定义, 求它们的导数.
导数的运算法则(第二课时)
几个常用函数的导数
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1. 常数函数, 正比例函数, 反比例函数, 幂函数等的导数各是多少?
2. 以上函数的导数与图象、函数性质各 有什么关系?
问题1. 上一课时我们学习了导函数, 你能求出以
下函数的导函数吗? 其几何意义和物理意义如何?
(1) y=c (c为常数);
y=x2y o
(3) y=x2;
(4)
y
=
1 x
;
(5) y = x.
(3) y=x2,
y
x
= = =
lim
x0
lim
x0
lim
x0
y x
= lim x0
f
(x x) x
f
(
(x x)2 x2
x x2 2x(x) (x)2 x2
x
x)
几何意义: 当 x<0 时, 切线的斜率为 负, 且逐渐增大;
4. 若 f(x)=cos x, 则 f (x)= sin x;
5. 若 f(x)=ax, 则 f (x)=ax lna;

变化率的“视觉化”， %越大，曲线y = f(x)在区间［X 1, X 2］上越“陡峭”，反之亦然 平均变化率的几何意义是函数曲线上过两点的割线的斜率，若函数 则fx2― fx1X 2 — X 1知识点二瞬时速度与瞬时变化率 把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.做直线运动的物体，它的运动规律可以用函数s = s(t)描述，设 A 为时间改变量，在t o + A t 这段时间内，物体的位移 (即位置)改变量是A s = s(t o ^ At) — s(t 0)，那么位移改变量 A s 与时间改变量A t 的比就是这段时间内物体的平均速度s s t o + A t — s t oV ，即 V = A t = A t1.1.1 变化率问题1.1.2导数的概念［学习目标］1•理解函数平均变化率、瞬时变化率的概念 .2.掌握函数平均变化率的求法 3掌握导数的概念，会用导 数的定义求简单函数在某点处的导数 . 知识梳理自主学习知识点一函数的平均变化率 1•平均变化率的概念 设函数y = f(x), X 1, X 2是其定义域内不同的两个点，那么函数的变化率可用式子f X2 — f X1我们把这个式子称 X 2 — X 1 为函数y = f(x)从X 1到X 2的平均变化率，习惯上用 A x 表示X 2 — X 1，即A x = X 2— X 1，可把A x 看作是相对于X 1的一个 “增量”，可用 X 1+ A x 代替X 2；类似地，A y = f(X 2)— f(X 1).于是，平均变化率可以表示为A y A2•求平均变化率 求函数y = f(x)在［*, x 2］上平均变化率的步骤如下: (1)求自变量的增量 A x = X 2— X 1 ； ⑵求函数值的增量 A y = f(x 2)- f(x 1); ⑶求平均变化率A x X 2 — X 1 A y f X 2 — f X 1 f X 1 + A x — f X 1 A x 思考 (1)如何正确理解 A x , A y? (2)平均变化率的几何意义是什么？ 答案(1) A 是一个整体符号，而不是 △与X 相乘，其值可取正值、负值，但 时0 ；A y 也是一个整体符号，若 A x=X 1 — x 2，贝U A y = f(X 1)— f(X 2)，而不是 A y = f(X 2)— f(X 1), A y 可为正数、负数，亦可取零(2)如图所示: y = f(x)在区间［X 1, X 2］上的平均变化率 “数量化”，曲线陡峭程度是平均 y = f(x)图象上有两点 A(X 1, f(X 1)) , B(X 2, f(X 2)),物理学里，我们学习过非匀速直线运动的物体在某一时刻 t o 的速度，即t o 时刻的瞬时速度，用 v 表示，物体在t o 时刻的瞬时速度 v 就是运动物体在t o 到t o +A t 这段时间内的平均变化率 s+弓+_在A t T 0时的极限，即v = limA ss t o + A t — s t o 一 一△t = ym o 石 •瞬时速度就是位移函数对时间的瞬时变化率 .思考(1)瞬时变化率的实质是什么？(2)平均速度与瞬时速度的区别与联系是什么？ 答案⑴其实质是当平均变化率中自变量的改变量趋于 o 时的值，它是刻画函数值在某处变化的快慢 •⑵①区别：平均变化率刻画函数值在区间［X 1, X 2］上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在 x o 点处变化的快慢；②联系：当A X 趋于o 时，平均变化率A y 趋于一个常数，这个常数即为函数在 x o 处的瞬时变化率，它是一个固定值 • 知识点三导数的概念函数y = f(x)在x = x o 处的导数一般地，函数y = f(x)在x = xo 处的瞬时变化率是 |im o 多=妁。

问题二：高台跳水
在高台跳水运动中，运动 员相对于水面的高度h(单位： m)与起跳后的时间t(单位：s) 存在函数关系
h(t) 4.9t 2 6.5t 10
V 如果用运动员在某段时间内的平均速度
描述其运动状态，那么：
(1)在0t0.5 这段时间里，V = h(0.5) h(0) 4.05(m / s)
微积分的创立
到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些 问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大 约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候 直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题 是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大 值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成 的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相 当大的物体作用于另一物体上的引力。
0.5 0
(2)在1t2 这段时间里， V = h(2) h(1) -8.2(m / s)
21
人教A版高中数学选修22变化率与导数 PPT课 件
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探究
计算运动员在
0 t 65 49
这段时间
里的平均速度，并思考以下问题：
(1)运动员在这段时间是静止的吗？
lim x0 x x0 lim
x
x 0
x
x0 x( x0 x x0 )
lim
1
1
x0 x0 x x0 2 x0
例3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果在第 x h时, 原油的温 度为 y=f (x) = x2–7x+15 (0≤x≤8) . 计算第2h与第6h时, 原 油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.

§1.1
1 2
变化率 谁创立了导数 与导数
导数是在怎样的背景之下产生的 呢
背景
十七与十八世纪的数学家们常把自己的数学活动跟各种 不同自然领域（物理、化学、力学、技术）中的研究活动联 系起来，并由实际需要提出了许多数学问题。历史上，导数
概念产生于以下两个实际问题的研究。第一：求曲线的切线
问题，这是一个非常古老的问题，可以追溯到希腊著名的科 学家阿基米德（Archimedes，287-212B．C）；第二：求非 均速运动的速度，它最早由开普勒(kepler:1571-1630)，伽 利略（Galileo:1564—1642），牛顿(Newton:1642-1727)等 提出来．
y
f (x2)
f f ( x2 ) f ( x1 ) 表示函数f(x) 的图像上 x x2 x1 的两点( x1 , f ( x1 )), ( x2 , f ( x2 ))连线的斜率.
f (x1)

x2 – x1 x1 x2
y = f (x)
f (x 2) – f (x1)
4）物体从3s到3 ts的平均速度 v s(3 t ) s(3) 30 5t (m / s)
(3 t ) 3
平均速度 v 近似地刻画了在某一时间段内物体运动的快慢. 如何精确地刻画物体在某一时刻的速度呢?
物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。
即如何求物体在t=3s的瞬时速度呢？
t 0
10t0
定义:
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
f ( x0 Δx) f ( x0 ) y lim lim x 0 x x 0 x 称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f ( x0 )

vth02时2,在tt2,2h22t这段时间内4.9t2t 13.1t
vth022时,在2h22ttt,2这段时间内4.9t21t 3.1t
vh(2)h(2t)4.9t21.13t 2(2t) t h(2t)h(2) 4.9t21.13t
v (2t)2 t
△t<0时，在[2+△t,2]这段时间内 △t>0时，在[2+△t,2]这段时间内 …… ……
气球的平r均 221r膨 1胀 0.16d率m/L为 .
r(V2 ) r(V1) V2 V1
思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?
问题2：
通过函数关系：
h(t)=4.9t2+6.5t+10
如何计算运动员在 [0,0.5]和[１,２]这 两段时间内的平均 速度？
在0t0.5这段时间, 里在1t2这段时间, 里
微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：
1. 已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速 度与加速度等;
2. 求曲线的切线; 3. 求已知函数的最大值与最小值; 4. 求长度、面积、体积和重心等。
01
导数是微积分的核心概念之一.它是研究函数增减、变化快慢、最
大（小）值等问题最一般、最有效的工具。
△t<0时，在[2+△t,2]这段时间内
△t>0时，在[2+△t,2]这段时间内
vh(2 )h(2 t)4 .9 t2 1.1 3 t
2(2 t)
t
vh (2 t)h (2 )4 .9 t2 1.1 3 t
(2 t)2
t
4 .9 t 1.1 3
4 .9 t 1.1 3

导数的概念
一般地, 函数 y＝f(x) 在点x＝x0处的瞬时变 化率是
f ( x0 + Dx ) f ( x 0 ) Dy lim lim Dx 0 D x Dx 0 Dx
我们称它为函数 y ＝ f (x)在点x＝x0处的导数， 记为 f '(x0)或 y'| x＝x0 ,即
f ( x0 + Dx ) f ( x0 ) Dy f ( x0 ) lim lim Dx 0 Dx Dx 0 Dx
Dx 0
曲线在点(x0 , f(x0))处的切线的方程为： y－f (x0) ＝ f '(x0)(x－x0)
例2 求曲线y＝f(x)＝x2＋1在点P(1,2)处的 切线方程.
解：
y
△y
因此,切线方程为
y－2＝2(x－1),
P △x
即 y ＝ 2x.
O
1
x
【总结提升】 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出切点P的坐标；
变化率与导数
平均变化率
我们把式子
f ( x2 ) f ( x1 ) 称为函数 x2 x1
y＝f (x)从x1到 x2的平均变化率.
令△x ＝ x2－x1 , △ y ＝ f (x2) －f (x1) ,则
△y f ( x 2 ) f ( x1 ) ＝ △x x 2 x1
平均变化率
例题分析
例2 将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各 种不同产品, 需要对原油进冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度(单位: oC) 为 f(x)＝x2－7x＋15 (0≤x≤8). 计算第2h 与低6h时原油温度的瞬时变化 率，并说明它们的意义。
解:

个性化教学辅导教案1、已知函数，则函数的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．2．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式()()0f x f x x--<的解集为( )A ．(－1,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1)解析：选D 因为f (x )为奇函数，所以不等式f x－f －x x <0可化为f xx<0，即xf (x )<0，f (x )的大致图象如图所示．所以xf (x )<0的解集为(－1,0)∪(0,1)．3、函数f (x )＝x －cos x 在[0，＋∞)内 ( )．A ．没有零点B ．有且仅有一个零点C ．有且仅有两个零点D ．有无穷多个零点解析 令f (x )＝0，得x ＝cos x ，在同一坐标系内画出两个函数y ＝x 与y ＝cos x 的图象如图所示，由图象知，两个函数只有一个交点，从而方程x ＝cos x 只有一个解． ∪函数f (x )只有一个零点． 答案 B4、设f (x )＝ln x ＋x －2，则函数f (x )的零点所在的区间为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)答案 B解析 ∪f (1)＝ln 1＋1－2＝－1<0，f (2)＝ln 2>0， ∪f (1)·f (2)<0，∪函数f (x )＝ln x ＋x －2的图象是连续的， ∪f (x )的零点所在的区间是(1,2)．1．(教材改编)若f (x )＝x ·e x ，则f ′(1)等于( ) A ．0 B ．e C ．2e D ．e 2 答案 C解析 f ′(x )＝e x ＋x ·e x ，∴f ′(1)＝2e.2．如图所示为函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图象，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图象可能是( )答案 D解析 由y ＝f ′(x )的图象知y ＝f ′(x )在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y ＝f (x )的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A ，C.又由图象知y ＝f ′(x )与y ＝g ′(x )的图象在x ＝x 0处相交，说明y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象在x ＝x 0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D.3.设函数f (x )的导数为f ′(x )，且f (x )＝f ′(π2)sin x ＋cos x ，则f ′(π4)＝ .答案 －2解析 因为f (x )＝f ′(π2)sin x ＋cos x ，所以f ′(x )＝f ′(π2)cos x －sin x ，所以f ′(π2)＝f ′(π2)cos π2－sin π2，即f ′(π2)＝－1，所以f (x )＝－sin x ＋cos x .f ′(x )＝－cos x －sin x .故f ′(π4)＝－cos π4－sin π4＝－ 2.4．曲线y ＝－5e x ＋3在点(0，－2)处的切线方程是 ． 答案 5x ＋y ＋2＝0解析 因为y ′|x ＝0＝－5e 0＝－5，所以曲线在点(0，－2)处的切线方程为y －(－2)＝－5(x －0)，即5x ＋y ＋2＝0.学科分析：从近五年的考查情况来看,本讲一直是高考的热点,主要考查导数的运算、求导法则以及导数的几何意义.导数的运算一般不单独考查,而是在考查导数的应用时与单调性、极值与最值综合考查,导数的几何意义最常见的是求切线方程和已知切线方程求参数值,常以选择题、填空题的形式出现,有时也出现在解答题的第一问,难度中等. 学生分析：1、学习风格（动觉型、视觉型、听觉型）2、知识点分析： （1）导数的概念与运算 （2）导数的几何意义【精准突破一】学习目标：导数的概念与运算 目标分解：∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.故选B.1、f (x )＝x (2 016＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 017，则x 0等于( ) A ．e 2 B ．1 C ．ln 2D ．E答案 B 解析 f ′(x )＝2 016＋ln x ＋x ×1x ＝2 017＋ln x ，故由f ′(x 0)＝2 017，得2 017＋ln x 0＝2 017，则ln x 0＝0，解得x 0＝1.2、若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( ) A ．－1 B ．－2 C ．2D ．0答案 B f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，∵f ′(x )为奇函数且f ′(1)＝2，∴f ′(－1)＝－2. 3、已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1 D.124、(2016·昆明模拟)设曲线y ＝1＋cos x sin x 在点(π2，1)处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a 等于( )A ．－1 B.12 C ．－2 D ．2答案 3、A 4、A解析 3、设切点的横坐标为x 0，∵曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，∴y ′＝x 2－3x ，即x 02－3x 0＝12，解得x 0＝3或x 0＝－2(舍去，不符合题意)， 即切点的横坐标为3.4、∵y ′＝－1－cos xsin 2x ，π2|1.x y ∴'＝＝－由条件知1a＝－1，∴a ＝－1.5、若存在过点O (0,0)的直线l 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 和y ＝x 2＋a 都相切，求a 的值．解 易知点O (0,0)在曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 上． (1)当O (0,0)是切点时，由y ′＝3x 2－6x ＋2，得y ′|x ＝0＝2，即直线l 的斜率为2，故直线l 的方程为y ＝2x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y ＝x 2＋a ，得x 2－2x ＋a ＝0， 依题意Δ＝4－4a ＝0，得a ＝1.(2)当O (0,0)不是切点时，设直线l 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 相切于点P (x 0，y 0)，则y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，0|x x k y '＝＝＝3x 20－6x 0＋2，① 又k ＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，②联立①②，得x 0＝32(x 0＝0舍去)，所以k ＝－14，故直线l 的方程为y ＝－14x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14x ，y ＝x 2＋a ，得x 2＋14x ＋a ＝0，依题意，Δ＝116－4a ＝0，得a ＝164.综上，a ＝1或a ＝164.【查漏补缺】1．若f (x )＝2xf ′(1)＋x 2，则f ′(0)等于( ) A ．2 B ．0 C ．－2 D ．－4 答案 D解析 f ′(x )＝2f ′(1)＋2x ，令x ＝1，则f ′(1)＝2f ′(1)＋2，得f ′(1)＝－2， 所以f ′(0)＝2f ′(1)＋0＝－4.2．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－3t 2＋8t ，那么速度为零的时刻是( )A ．1秒B ．1秒末和2秒末C ．4秒末D ．2秒末和4秒末答案 D解析 s ′(t )＝t 2－6t ＋8，由导数的定义知v ＝s ′(t )， 令s ′(t )＝0，得t ＝2或4，即2秒末和4秒末的速度为零．3．若直线y ＝x 是曲线y ＝x 3－3x 2＋px 的切线，则实数p 的值为( ) A ．1 B ．2 C.134 D ．1或134答案 D解析 ∵y ′＝3x 2－6x ＋p ，设切点为P (x 0，y 0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x 20－6x 0＋p ＝1，x 30－3x 20＋px 0＝x 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，p ＝1或⎩⎨⎧x 0＝32，p ＝134.4.(2017·郑州质检)已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)等于( )A ．－1B ．0C ．2D ．4 答案 B解析 由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13.∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )， ∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)， 又由题图可知f (3)＝1， ∴g ′(3)＝1＋3×(－13)＝0.5．已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为( ) A ．e B ．－e C.1e D ．－1e答案 C解析 y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，且y ′＝1x ，设切点为(x 0，ln x 0)，则001|x x y x '＝＝， 切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，即x ＋1x －a ＝0有解，∴a ＝x ＋1x≥2.【举一反三】1、(2016·泉州模拟)函数y ＝e x 的切线方程为y ＝mx ，则m ＝ .2、已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 等于( ) A ．－1 B ．－3 C ．－4 D ．－2 答案 1、e 2、D解析 1、设切点坐标为P (x 0，y 0)，由y ′＝e x ， 得00|e xx x y ＝＝，从而切线方程为000e e ()x xy x x －＝－， 又切线过定点(0,0)，从而000e e ()xxx －＝－， 解得x 0＝1，则m ＝e. 2、∵f ′(x )＝1x，∴直线l 的斜率k ＝f ′(1)＝1.又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1. g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m <0， 于是解得m ＝－2.故选D.3、如图，点A (2,1)，B (3,0)，E (x,0)(x ≥0)，过点E 作OB 的垂线l .记△AOB 在直线l 左侧部分的面积为S ，则函数S ＝f (x )的图象为下图中的( )3、答案 D解析 函数的定义域为[0，＋∞)，当x ∈[0,2]时，在单位长度变化量Δx 内面积变化量ΔS 大于0且越来越大，即斜率f ′(x )在[0,2]内大于0且越来越大，因此，函数S ＝f (x )的图象是上升的且图象是下凸的；当x ∈(2,3)时，在单位长度变化量Δx 内面积变化量ΔS 大于0且越来越小，即斜率f ′(x )在(2,3)内大于0且越来越小，因此，函数S ＝f (x )的图象是上升的且图象是上凸的；当x ∈[3，＋∞)时，在单位长度变化量Δx 内面积变化量ΔS 为0，即斜率f ′(x )在[3，＋∞)内为常数0，此时，函数图象为平行于x 轴的射线．【方法技巧】导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)． (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k .(3)若求过点P (x 0，y 0)的切线方程，可设切点为(x 1，y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝f (x 1)，y 0－y 1＝f ′(x 1)(x 0－x 1)求解即可．(4)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢．1、若函数f （x ）=e x •sinx ，则f'（0）= 。

导数的概念及其运算一、课程标准1.了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵．2.通过函数图象直观地理解导数的几何意义．3.能根据导数定义，求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x的导数．4.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数. 二、基础知识回顾 1. 导数的概念设函数y ＝f(x)在区间(a ，b)上有定义，且x 0∈(a ，b)，若Δx 无限趋近于0时，比值Δy Δx ＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx无限趋近于一个常数A ，则称f(x)在x ＝x 0处可导，并称该常数A 为函数f(x)在x ＝x 0处的导数，记作f′(x 0)． 若函数y ＝f(x)在区间(a ，b)内任意一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着x 的变化而变化，因而是自变量x 的函数，该函数称作f(x)的导函数，记作f′(x)． 2. 导数的几何意义函数y ＝f(x)在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f(x)在点P(x 0，f(x 0))处的切线的斜率，过点P 的切线方程为y －y 0＝f′(x 0)(x －x 0)． 3. 基本初等函数的导数公式续表4. 导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有： (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）＝f′（x ）g （x ）－f （x ）g′（x ）g 2（x ）(g(x)≠0)．5. 复合函数的求导法则(1)一般地，对于两个函数y ＝f(u)和u ＝g(x)，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f(u)和u ＝g(x)的复合函数，记作y ＝f(g(x))．(2)复合函数y ＝f(g(x))的导数和函数y ＝f(u)，u ＝g(x)的导数间的关系为y′x ＝y′u ·u′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 三、自主热身、归纳总结1、知函数f (x )＝xx ＋2，则函数在x ＝－1处的切线方程是( )A.2x －y ＋1＝0B.x －2y ＋2＝0C.2x －y －1＝0D.x ＋2y －2＝02、 函数f(x)＝2x ＋cos x 在点(π2，f(π2))处的切线方程为( )A . 3x －y －π2＝0B . x －y ＋π2＝0C . 3x －y －3π2＝0D . x －y －π2＝03、 设M 为曲线C ：y ＝2x 2＋3x ＋3上的点，且曲线C 在点M 处切线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎭⎫3π4，π，则点M 横坐标的取值范围为(D )A . [)－1，＋∞B . ⎝⎛⎭⎫－∞，－34C . ⎝⎛⎦⎤－1，－34D . ⎣⎡⎭⎫－1，－34 4、.设f(x)＝x ln x ，若f′(x 0)＝0，则x 0等于(A ) A . 1e B . e C . e 2 D . 1 5、(多选)下列求导数运算正确的有( ) A ．(sin x )′＝cos x B.⎝⎛⎭⎫1x ′＝1x 2 C ．(log 3x )′＝13ln xD ．(ln x )′＝1x6．(多选)已知函数f (x )及其导函数f ′(x )，若存在x 0使得f (x 0)＝f ′(x 0)，则称x 0是f (x )的一个“巧值点”．下列选项中有“巧值点”的函数是( ) A ．f (x )＝x 2 B ．f (x )＝e －x C ．f (x )＝ln xD ．f (x )＝tan x7、已知曲线f(x)＝x sin x ＋1在点(π2，f(π2))处的切线与直线ax －y ＋1＝0互相垂直，那么实数a 的值为____．8、在高台跳水运动中，t s 时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，则运动员的速度v ＝________ m/s ，加速度a ＝________ m/s 2.9、(2019南通、泰州一调） 若曲线y ＝x ln x 在x ＝1与x ＝t 处的切线互相垂直，则正数t 的值为________． 10、(2019常州期末） 已知函数f(x)＝bx ＋ln x ，其中b ∈R .若过原点且斜率为k 的直线与曲线y ＝f (x )相切，则k －b 的值为________．11、(2019苏州期末） 曲线y ＝x ＋2e x 在x ＝0处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为________．四、例题选讲考点一、基本函数的导数 例1、求下列函数的导数． (1)y ＝x 2sin x ； (2)y ＝ln x ＋1x ；(3)y ＝cos x e x .变式、求下列函数的导数： (1)f (x )＝x 2＋xex ；(2)f (x )＝x 3＋2x －x 2ln x －1x 2；(3)y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2.变式2、已知f(x)＝ln 2x－12x＋1，则f′(x)＝________.方法总结：求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导．注意以下几点：连乘形式则先展开化为多项式形式，再求导；三角形式，先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；分式形式，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；复合函数，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元考点二求导数的切线方程例2、(1)已知曲线S：y＝－23x3＋x2＋4x及点P(0，0)，那么过点P的曲线S的切线方程为____．(2)已知函数f(x)＝x ln x，过点A(－1e2，0)作函数y＝f(x)图像的切线，那么切线的方程为____．变式1、已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)若直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－14x＋3垂直，求切点坐标与切线方程．方法总结：利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点：(1)函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标． (2)切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点．(3)曲线y ＝f(x)“在”点P(x 0，y 0)处的切线与“过”点P(x 0，y 0)的切线的区别：曲线y ＝f(x)在点P(x 0，y 0)处的切线是指点P 为切点，若切线斜率存在，切线斜率为k ＝f′(x 0)，是唯一的一条切线；曲线y ＝f(x)过点P(x 0，y 0)的切线，是指切线经过点P ，点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．考点三、与切线有关的参数问题例3、(2019常州期末） 若直线kx －y －k ＝0与曲线y ＝e x (e 是自然对数的底数)相切，则实数k ＝________．变式1、（2017苏州一调）若直线2y x b =+为曲线e x y x =+的一条切线，则实数b 的值是 ．变式2、(2016苏州暑假测试） 已知函数f (x )＝x －1＋1e x ，若直线l ：y ＝kx －1与曲线y ＝f (x )相切，则实数k＝________.变式3、(2018常州期末） 已知函数f(x)＝bx ＋ln x ，其中b ∈R.若过原点且斜率为k 的直线与曲线y ＝f (x )相切，则k －b 的值为________．变式4、若函数32()f x x ax bx =++为奇函数，其图象的一条切线方程为3y x =-b 的值为 ．方法总结：1．利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．2．求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点(1)注意曲线上横坐标的取值范围； (2)谨记切点既在切线上又在曲线上．五、优化提升与真题演练1、（2019·全国Ⅱ高考(文)）曲线y ＝2sin x ＋cos x 在点(π，－1)处的切线方程为(C ) A . x －y －π－1＝0 B . 2x －y －2π－1＝0 C . 2x ＋y －2π＋1＝0 D . x ＋y －π＋1＝02、(2019·全国卷Ⅱ)已知曲线y ＝a e x ＋x ln x 在点(1，a e)处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则( ) A ．a ＝e ，b ＝－1 B ．a ＝e ，b ＝1 C ．a ＝e －1，b ＝1D ．a ＝e －1，b ＝－13、(2019·全国Ⅱ卷)曲线y ＝3(x 2＋x )e x 在点(0，0)处的切线方程为________.4、(2019·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y ＝ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点(－e ，－1)(e 为自然对数的底数)，则点A 的坐标是________.5、(2019苏锡常镇调研（二））已知点P 在曲线C ：212y x =上，曲线C 在点P 处的切线为l ，过点P 且与直线l 垂直的直线与曲线C 的另一交点为Q ，O 为坐标原点，若OP ⊥OQ ，则点P 的纵坐标为 ．6、(2019年江苏卷).在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是_____.7、(2018南京、盐城、连云港二模） 在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线y ＝mx ＋1(m ＞0)在x ＝1处的切线为l ，则点(2，－1) 到直线l 的距离的最大值为________． 参考答案1、知函数f (x )＝xx ＋2，则函数在x ＝－1处的切线方程是( )A.2x －y ＋1＝0B.x －2y ＋2＝0C.2x －y －1＝0D.x ＋2y －2＝0【答案】A【解析】、 由f (x )＝x x ＋2，得f ′(x )＝2（x ＋2）2，又f (－1)＝－1，f ′(－1)＝2.因此函数在x ＝－1处的切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即2x －y ＋1＝0. 2、 函数f(x)＝2x ＋cos x 在点(π2，f(π2))处的切线方程为( )A . 3x －y －π2＝0B . x －y ＋π2＝0C . 3x －y －3π2＝0D . x －y －π2＝0【答案】B .【解析】 f(x)＝2x ＋cos x ，f(π2)＝π，f′(x)＝2－sin x ，f′(π2)＝1，在点(π2，f(π2))处的切线方程为y －π＝x －π2，即为x －y ＋π2＝0.故选B .3、 设M 为曲线C ：y ＝2x 2＋3x ＋3上的点，且曲线C 在点M 处切线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎭⎫3π4，π，则点M 横坐标的取值范围为(D ) A . [)－1，＋∞ B . ⎝⎛⎭⎫－∞，－34 C . ⎝⎛⎦⎤－1，－34 D . ⎣⎡⎭⎫－1，－34 【答案】D【解析】、 由题意y′＝4x ＋3，切线倾斜角的范围是⎣⎡⎭⎫34π，π，则切线的斜率k 的范围是[)－1，0，∴－1≤4x ＋3<0，解得－1≤x<－34. 故选D .4、.设f(x)＝x ln x ，若f′(x 0)＝0，则x 0等于(A ) A . 1e B . e C . e 2 D . 1 【答案】A .【解析】 f′(x)＝ln x ＋1，由f′(x 0)＝0，得ln x 0＋1＝0，∴ln x 0＝－1，即x 0＝1e . 故选A .5、(多选)下列求导数运算正确的有( ) A ．(sin x )′＝cos x B.⎝⎛⎭⎫1x ′＝1x 2 C ．(log 3x )′＝13ln xD ．(ln x )′＝1x【答案】AD【解析】 因为(sin x )′＝cos x ，⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2，(log 3x )′＝1x ln 3，(ln x )′＝1x，所以A 、D 正确． 6．(多选)已知函数f (x )及其导函数f ′(x )，若存在x 0使得f (x 0)＝f ′(x 0)，则称x 0是f (x )的一个“巧值点”．下列选项中有“巧值点”的函数是( ) A ．f (x )＝x 2 B ．f (x )＝e －x C ．f (x )＝ln x D ．f (x )＝tan x【答案】AC【解析】选 若f (x )＝x 2，则f ′(x )＝2x ，令x 2＝2x ，得x ＝0或x ＝2，方程显然有解，故A 符合要求；若f (x )＝e －x ；则f ′(x )＝－e －x ，令e －x ＝－e －x ，此方程无解，故B 不符合要求；若f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝1x ，令ln x ＝1x ，在同一直角坐标系内作出函数y ＝ln x 与y ＝1x 的图象(作图略)，可得两函数的图象有一个交点，所以方程f (x )＝f ′(x )存在实数解，故C 符合要求；若f (x )＝tan x ，则f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＝1cos 2x ，令tan x ＝1cos 2x ，化简得sin x cos x ＝1，变形可得sin 2x ＝2，无解，故D 不符合要求．故选A 、C.7、已知曲线f(x)＝x sin x ＋1在点(π2，f(π2))处的切线与直线ax －y ＋1＝0互相垂直，那么实数a 的值为____．【答案】－1【解析】 f′(x)＝sin x ＋x cos x ，当x ＝π2时， f′(x)＝1，∴a ＝－1.8、在高台跳水运动中，t s 时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，则运动员的速度v ＝________ m/s ，加速度a ＝________ m/s 2. 【答案】－9.8t ＋6.5 －9.8【解析】、v ＝h ′(t )＝－9.8t ＋6.5，a ＝v ′(t )＝－9.8.9、(2019南通、泰州一调） 若曲线y ＝x ln x 在x ＝1与x ＝t 处的切线互相垂直，则正数t 的值为________． 【答案】 e －2【解析】、y′＝ln x ＋1，由题意得(ln 1＋1)·(ln t ＋1)＝－1，所以t ＝e －2.10、(2019常州期末） 已知函数f(x)＝bx ＋ln x ，其中b ∈R .若过原点且斜率为k 的直线与曲线y ＝f (x )相切，则k －b 的值为________． 【答案】 1e【解析】、设直线方程为y ＝kx ，切点为A(x 0，y 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧f （x 0）＝bx 0＋ln x 0＝y 0＝kx 0，f′（x 0）＝b ＋1x 0＝k ，从而有bx 0＋ln x 0＝kx 0＝bx 0＋1，解得x 0＝e ，所以k －b ＝1x 0＝1e.11、(2019苏州期末） 曲线y ＝x ＋2e x 在x ＝0处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为________． 【答案】 23【解析】、由y ＝x ＋2e x ，得y′＝1＋2e x ，切点为(0，2)，切线斜率为3，切线方程为y ＝3x ＋2.切线与坐标轴的交点为A ⎝⎛⎭⎫23，0，B(0，2)，所以S △AOB ＝12·23·2＝23.五、例题选讲考点一、基本函数的导数 例1、求下列函数的导数． (1)y ＝x 2sin x ； (2)y ＝ln x ＋1x ；(3)y ＝cos x ex .【解析】、(1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x . (2)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x ′＝(ln x )′＋⎝⎛⎭⎫1x ′＝1x －1x2. (3)y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x e x ′＝(cos x )′e x－cos x (e x)′(e x )2＝－sin x ＋cos xe x . 变式、求下列函数的导数： (1)f (x )＝x 2＋x ex ；(2)f (x )＝x 3＋2x －x 2ln x －1x 2；(3)y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2. 【解析】、(1)f ′(x )＝（2x ＋1）e x －（x 2＋x ）e x （e x ）2＝1＋x －x 2e x .(2)由已知f (x )＝x －ln x ＋2x －1x 2.∴f ′(x )＝1－1x －2x 2＋2x 3＝x 3－x 2－2x ＋2x 3.(3)∵y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝12x sin(4x ＋π)＝－12x sin 4x ， ∴y ′＝－12sin 4x －12x ·4cos 4x ＝－12sin 4x －2x cos 4x .变式2、已知f (x )＝ln 2x －12x ＋1，则f ′(x )＝________.【答案】44x 2－1. 【解析】、f ′(x )＝⎝⎛⎭⎪⎫ln2x －12x ＋1′＝12x －12x ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x ＋1′ ＝2x ＋12x －1·⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2x －1）′（2x ＋1）－（2x －1）（2x ＋1）′（2x ＋1）2＝44x 2－1.方法总结：求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导．注意以下几点：连乘形式则先展开化为多项式形式，再求导；三角形式，先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；分式形式，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；复合函数，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元 考点二 求导数的切线方程例2、(1)已知曲线S ：y ＝－23x 3＋x 2＋4x 及点P(0，0)，那么过点P 的曲线S 的切线方程为____．(2)已知函数f(x)＝x ln x ，过点A(－1e 2，0)作函数y ＝f(x)图像的切线，那么切线的方程为____．【答案】（1）y ＝4x 或y ＝358x （2）x ＋y ＋1e2＝0【解析】 (1)设过点P 的切线与曲线S 切于点Q(x 0，y 0)，则过点Q 的曲线S 的切线斜率为k ＝ y′|x ＝x 0＝－2x 20＋2x 0＋4，又当x 0≠0时，k PQ ＝y 0x 0， ∴－2x 20＋2x 0＋4＝y 0x 0. ①∵点Q 在曲线S 上，∴y 0＝－23x 30＋x 20＋4x 0.② 将②代入①得－2x 20＋2x 0＋4＝－23x 30＋x 20＋4x 0x 0，化简，得43x 30－x 20＝0，∴x 0＝34或x 0＝0，当x 0＝34时，则k ＝358，过点P 的切线方程为y ＝358x.当x 0＝0时，则k ＝4，过点P 的切线方程为y ＝4x ，故过点P 的曲线S 的切线方程为y ＝4x 或y ＝358x.(2)设切点为T(x 0，y 0)，则k AT ＝f′(x 0)， ∴x 0ln x 0x 0＋1e2＝ln x 0＋1，即e 2x 0＋ln x 0＋1＝0. 设h(x)＝e 2x ＋ln x ＋1，则h′(x)＝e 2＋1x，当x>0时，h′(x)>0，∴h(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，∴h(x)＝0最多只有一个根. 又h ⎝⎛⎭⎫1e 2＝e 2×1e 2＋ln 1e 2＋1＝0， ∴x 0＝1e2.由f′(x 0)＝－1得切线方程是x ＋y ＋1e 2＝0.变式1、已知函数f(x)＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)若直线l 为曲线y ＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标； (3)如果曲线y ＝f(x)的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线方程．【解】 (1)由函数f(x)的解析式可知点(2，－6)在曲线y ＝f(x)上，∴f′(x)＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1， ∴在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f′(2)＝13， ∴切线的方程为y －(－6)＝13(x －2)， 即y ＝13x －32.(2)(方法1)设切点为(x 0，y 0)， 则直线l 的斜率为f′(x 0)＝3x 20＋1，∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16. 又∵直线l 过点(0，0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得x 30＝－8，∴x 0＝－2， ∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26， f′(－2)＝3×(－2)2＋1＝13，故直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)．(方法2)设直线l 的方程为y ＝kx ，切点坐标为(x 0，y 0)，则k ＝y 0－0x 0－0＝x 30＋x 0－16x 0.又∵k ＝f′(x 0)＝3x 20＋1，∴x 30＋x 0－16x 0＝3x 20＋1，解得x 0＝－2， ∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k ＝3×(－2)2＋1＝13，∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)． (3)∵曲线f(x)的某一切线与直线y ＝－x4＋3垂直，∴该切线的斜率k ＝4.设切点的坐标为(x 0，y 0)， 则f′(x 0)＝3x 20＋1＝4，∴x 0＝±1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝－14或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝－18.故切线方程为y －(－14)＝4(x －1)或y －(－18)＝4(x ＋1)，即y ＝4x －18或y ＝4x －14.方法总结：利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点：(1)函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标． (2)切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点．(3)曲线y ＝f(x)“在”点P(x 0，y 0)处的切线与“过”点P(x 0，y 0)的切线的区别：曲线y ＝f(x)在点P(x 0，y 0)处的切线是指点P 为切点，若切线斜率存在，切线斜率为k ＝f′(x 0)，是唯一的一条切线；曲线y ＝f(x)过点P(x 0，y 0)的切线，是指切线经过点P ，点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条． 考点三、与切线有关的参数问题例3、(2019常州期末） 若直线kx －y －k ＝0与曲线y ＝e x (e 是自然对数的底数)相切，则实数k ＝________． 【答案】、 e 2【解析】、设切点A(x 0，e x 0)，由(e x )′＝e x ，得切线方程为y －e x 0＝e x 0(x －x 0)，即y ＝e x 0x ＋(1－x 0)e x 0，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝e x 0，－k ＝（1－x 0）e x 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2，k ＝e 2.变式1、（2017苏州一调）若直线2y x b =+为曲线e x y x =+的一条切线，则实数b 的值是 ． 【答案】、1【解析】、 设切点的横坐标为0x ，由曲线x y e x =+，得1x y e '=+，所以依题意切线的斜率为012xk e =+=，得00x =，所以切点为(0,1)，又因为切线2y x b =+过切点(0,1)，故有120b =⨯+，解得1b =.变式2、(2016苏州暑假测试） 已知函数f (x )＝x －1＋1e x ，若直线l ：y ＝kx －1与曲线y ＝f (x )相切，则实数k＝________. 【答案】、 1－e【解析】、：设切点为(x 0，y 0)．因为f ′(x )＝1－1e x ，则f ′(x 0)＝k ，即1－1e x 0＝k 且kx 0－1＝x 0－1＋1e x 0，所以x 0＝－1，所以k ＝1－1e－1＝1－e.变式3、(2018常州期末） 已知函数f(x)＝bx ＋ln x ，其中b ∈R.若过原点且斜率为k 的直线与曲线y ＝f (x )相切，则k －b 的值为________． 【答案】、 1e【解析】、设直线方程为y ＝kx ，切点为A(x 0，y 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧f （x 0）＝bx 0＋ln x 0＝y 0＝kx 0，f′（x 0）＝b ＋1x 0＝k ，从而有bx 0＋ln x 0＝kx 0＝bx 0＋1，解得x 0＝e ，所以k －b ＝1x 0＝1e.解后反思 因为曲线y ＝ln x 与直线y ＝1e x 相切，所以曲线y ＝bx ＋ln x 与直线y ＝⎝⎛⎭⎫b ＋1e x 相切．所以k ＝b ＋1e ，得k －b ＝1e.作为填空题可这样“秒杀”！ 命题背景 一般地，若曲线y ＝f(x)与直线y ＝kx ＋b 相切，则曲线y ＝f(x)＋k 1x ＋b 1与直线y ＝kx ＋b ＋k 1x ＋b 1也相切．变式4、若函数32()f x x ax bx =++为奇函数，其图象的一条切线方程为3y x =-b 的值为 ． 【答案】3-．【解析】因为f (x )是奇函数，所以a =0，f (x )＝x 3+bx ．设f (x )在点(x 0，y 0)处的切线为：3y x =-30002000333y x bx x by x ⎧=+⎪=+⎨⎪=-⎩，解得b ＝－3 方法总结：1．利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．2．求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点 (1)注意曲线上横坐标的取值范围；(2)谨记切点既在切线上又在曲线上．五、优化提升与真题演练1、（2019·全国Ⅱ高考(文)）曲线y ＝2sin x ＋cos x 在点(π，－1)处的切线方程为(C ) A . x －y －π－1＝0 B . 2x －y －2π－1＝0 C . 2x ＋y －2π＋1＝0 D . x ＋y －π＋1＝0 【答案】C【解析】∵y′＝2cos x －sin x ， ∴y′|x ＝π＝2cosπ－sinπ＝－2，则y ＝2sin x ＋cos x 在点(π，－1)处的切线方程为y －(－1)＝－2(x －π)， 即2x ＋y －2π＋1＝0. 故选C .2、(2019·全国卷Ⅱ)已知曲线y ＝a e x ＋x ln x 在点(1，a e)处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则( ) A ．a ＝e ，b ＝－1 B ．a ＝e ，b ＝1 C ．a ＝e －1，b ＝1 D ．a ＝e －1，b ＝－1【答案】D【解析】 (1)y ′＝a e x ＋ln x ＋1，k ＝y ′|x ＝1＝a e ＋1， ∴ 切线方程为y －a e ＝(a e ＋1)(x －1)， 即y ＝(a e ＋1)x －1.又∵ 切线方程为y ＝2x ＋b ，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a e ＋1＝2，b ＝－1，即a ＝e －1，b ＝－1.故选D. 3、(2019·全国Ⅱ卷)曲线y ＝3(x 2＋x )e x 在点(0，0)处的切线方程为________. 【答案】 y ＝3x【解析】 y ′＝3(2x ＋1)e x ＋3(x 2＋x )e x ＝3e x (x 2＋3x ＋1)，所以曲线在点(0，0)处的切线的斜率k ＝e 0×3＝3，所以所求切线方程为y ＝3x .4、(2019·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y ＝ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点(－e ，－1)(e 为自然对数的底数)，则点A 的坐标是________. 【答案】(e ，1).【解析】 (1)设A (m ，n )，则曲线y ＝ln x 在点A 处的切线方程为y －n ＝1m(x －m ).又切线过点(－e ，－1)，所以有n ＋1＝1m (m ＋e).再由n ＝ln m ，解得m ＝e ，n ＝1. 故点A 的坐标为(e ，1).5、(2019苏锡常镇调研（二））已知点P 在曲线C ：212y x =上，曲线C 在点P 处的切线为l ，过点P 且与直线l 垂直的直线与曲线C 的另一交点为Q ，O 为坐标原点，若OP ⊥OQ ，则点P 的纵坐标为 ．【答案】..1设)21,(2t t P【解析】因为x y ='，所以切线l 的斜率t k =，且0≠t ，则直线)(121:2t x tt y PQ --=-，即12112++-=t x t y令⎪⎩⎪⎨⎧=++-=22211211x y t x t y ，消y 得：02232=--+t t x tx ，设),(11y x Q ，则t t x 21-=+，即t t x 21--=，又因为点Q 在曲线C 上，所以2222112221)2(2121t t t t x y ++=--==，故)2221,2(22tt t t Q ++--因为OQ OP ⊥，所以0=⋅，即0)2221(21)2(222=++⨯+--⨯tt t t t t ，化简得44=t ，则22=t ，所以点P 的纵坐标为.16、(2019年江苏卷).在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是_____. 【答案】4.【解析】当直线0x y +=平移到与曲线4y x x=+相切位置时，切点Q 即为点P 到直线0x y +=的距离最小. 由2411y x'=-=-，得)x =，y =即切点Q ，则切点Q 到直线0x y +=4=，故答案为：4．7、(2018南京、盐城、连云港二模） 在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线y ＝mx ＋1(m ＞0)在x ＝1处的切线为l ，则点(2，－1) 到直线l 的距离的最大值为________． 【答案】 2解法1 由题意，切点坐标为⎝⎛⎭⎫1，m2，因为y′＝－m （x ＋1）2，所以切线l 的斜率k ＝－m4，故切线l 的方程为y －m 2＝－m4(x －1)，即l ：mx ＋4y －3m ＝0，则点(2，－1)到直线l 的距离d ＝|2m －3m －4|m 2＋42＝（m ＋4）2m 2＋16＝1＋8m m 2＋16＝1＋8m ＋16m，又因为m>0，所以m ＋16m ≥2m·16m＝8(当且仅当m ＝4时取等号)，则d≤2，故点(2，－1)到直线l 的距离的最大值为 2. 解法2 由题意，切点坐标为⎝⎛⎭⎫1，m2，因为y′＝－m （x ＋1）2，所以切线l 的斜率k ＝－m4，故切线l 的方程为y －m 2＝－m4(x －1)，则直线l ：m(x －3)＋4y ＝0恒过定点(3，0)，故当直线l 与两点(3，0)，(2，－1)的连线垂直时，点(2，－1)到直线l 的距离的最大，且为 2.。

《导数及其应用》全章复习与巩固【学习目标】1. 导数概念通过具体情境，感受在现实实际和实际生活中存在着大量的变化率问题，体会平均变化率、瞬时变化率和导数的实际意义，理解导数的几何意义2. 导数运算（1）会用导数定义计算一些简单函数的导数；（2）会利用导数公式表求出给定函数的导数；（3）掌握求导的四则运算法则，掌握求复合函数的导数，并会利用导数的运算法则求出函数的导函数3. 体会研究函数的意义（1 ）认识导数对于研究函数的变化规律的作用；（2）会用导数的符号来判断函数的单调性；（3）会利用导数研究函数的极值点和最值点.4•导数在实际问题中的应用（1）进一步体会函数是描述世界变化规律的基本数学模型；（2）联系实际生活和其他学科，进一步体会导数的意义；（3）从实际生活抽象出一些基本的用导数刻画的问题，并加以解决【知识网络】【要点梳理】要点一：导数的概念及几何意义导数的概念：函数y=f（x）在x0点的导数，通常用符号f ‘X。

）表示，定乂为:一山y 「 f (Xo +^X)—f (Xo )f(x0尸lim ——=lim ------- ----------- ----- ---瘵T0也X 2°氐X要点诠释：(1)丄[_^= _j—X L，它表示当自变量x从x°变X i，函数值从 f x°变到 f X1时，.X X—X°. X函数值关于X的平均变化率•当X趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y=f(x)在X°点的导数.(2)导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率•如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率.(3)对于不同的实际问题，平均变化率富于不同的实际意义.如位移运动中，位移S从时间1到t2的平均变化率即为t i到t2这段时间的平均速度.要点诠释：求曲线的切线方程时，抓住切点是解决问题的关键，有切点直接求，无切点则设切点，布列方程组.导数的物理意义：在物理学中，如果物体运动的规律是s=s t ,那么该物体在时刻t0的瞬时速度v就是s=s t在t=t0时的导数，即v=s' t。

提示：在点x=x0处的导数的定义可变形为f′(x0)=
lx im 0f(x0－ 或－ xf )′－ x (xf0)=x0
lim
f
x
f
x0
.
xx0 x－x0
28
【类题·通】
求一个函数y=f(x)在x=x0处的导数的步骤
(1)求函数值的变化量Δy=f(x0+Δx)-f(x0).
(2)求平均变化率 yf(x0x)fx0.
47
(1)求直线l1，l2的方程. (2)求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积.
48
【思维·引】1.设出切点的坐标，利用导数在切点处的 导数值即为切线的斜率求解. 2.(1)利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而求出 两直线的方程；(2)解方程组求出两直线的交点坐标， 利用三角形的面积公式求解.
36
【解析】将x=1代入曲线C的方程得y=1，即切点
P(1，1).
因为f′(1)=
limy＝ lim(1x)313
x x 0
x 0
x
＝ lim3x3(x)2(x)3
x 0
x
=
l
xi[m30 +3Δx+(Δx)2]=3，
37
所以切线方程为y-1=3(x-1)， 即3x-y-2=0.
38
【素养·探】 求曲线在某点处的切线方程通常应用的数学核心素养 是数学运算，一般要根据导数的定义求出函数的导数， 即所求切线的斜率，然后利用直线的点斜式方程求切 线的方程. 本典例中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？
59
2.面积问题三类型 (1)曲线的一条切线与两坐标轴围成的图形的面积.此类 问题，只要求出切线方程与两坐标轴的交点，即可计 算.

导数的应用课程思政典型案例一、案例背景。

在高等数学的教学中，导数的应用是一个非常重要的部分。

它不仅在数学领域有着广泛的应用，而且在工程、物理、经济等多个学科领域都是不可或缺的工具。

但是传统的导数应用教学往往侧重于数学知识的传授和解题技巧的训练，容易让学生觉得枯燥和缺乏实际意义。

所以，我尝试将课程思政融入导数的应用教学中，让学生在学习数学知识的同时，能够提升自己的思想政治素养。

二、思政融入点。

1. 导数与变化率——培养辩证思维。

在讲解导数的定义是函数的变化率时，我给学生举了一个例子。

就像我们生活中的变化无处不在，有好的变化也有不好的变化。

比如说，一个城市的经济发展速度（可以用GDP关于时间的导数来表示），如果导数是正的且较大，说明经济发展迅速，但这时候我们也要辩证地看问题。

快速发展可能会带来一些环境问题，就像一些地方过度开发资源，导致生态环境恶化。

这就告诉同学们，任何事物都是有两面性的，我们在看待变化的时候，既要看到积极的一面，也要看到消极的一面，要学会全面地、辩证地分析问题。

我还会和同学们说：“你们在大学的成长也是这样，学习成绩提高了（类似于知识量关于时间的导数为正）是好事，但是如果只注重成绩，忽略了自己的身心健康或者人际交往能力的培养（这就是变化带来的其他方面的影响），那也不是一个全面的发展。

所以，要像对待导数这个变化率一样，全面考虑各个因素的变化哦。

”这时候同学们往往会露出会心的笑容，感觉数学离自己的生活近了很多。

2. 导数在优化问题中的应用——社会责任与资源合理利用。

当讲到导数在求最值问题中的应用，比如在企业生产中，如何确定成本最低或者利润最高的产量时。

我会引入社会责任这个话题。

我会说：“企业追求利润最大化（通过求利润函数的导数找到极值点来确定最大利润产量）是正常的商业行为，但这不能建立在损害消费者利益或者破坏环境的基础上。

”我给同学们讲了一些不良企业的例子，比如某些企业为了降低成本（通过不合理的压缩原料质量等手段，从导数的角度看，就是改变成本函数的一些变量来影响导数），生产出劣质产品。

授课主题：导数的概念及运算教学目标1.导数的概念(1)通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵.(2)通过函数图象直观地理解导数的几何意义.2.导数的运算(1)能根据导数定义，求函数cy=(c为常数)，xy=，xy1=，xy=，2xy=，3xy=的导数.(2)能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并了解复合函数求导法则，能求简单复合函数的导数.教学内容1．函数的平均变化率：一般地，已知函数()y f x=，x，1x是其定义域内不同的两点，记10x x x∆=-，10y y y∆=-10()()f x f x=-00()()f x x f x=+∆-，则当0x∆≠时，商00()()f x x f x yx x+∆-∆=∆∆称作函数()y f x=在区间00[,]x x x+∆（或00[,]x x x+∆）的平均变化率．注：这里x∆，y∆可为正值，也可为负值．但0x∆≠，y∆可以为0．2．函数的瞬时变化率、函数的导数：设函数()y f x=在x附近有定义，当自变量在x x=附近改变量为x∆时，函数值相应的改变00()()y f x x f x∆=+∆-．如果当x∆趋近于0时，平均变化率00()()f x x f xyx x+∆-∆=∆∆趋近于一个常数l（也就是说平均变化率与某个常数l 的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数l称为函数()f x在点x的瞬时变化率．“当x∆趋近于零时，00()()f x x f xx+∆-∆趋近于常数l”可以用符号“→”记作：“当0x∆→时，00()()f x x f xlx+∆-→∆”，或记作“00()()limxf x x f xlx∆→+∆-=∆”，符号“→”读作“趋近于”．设()f x ，()g x 是可导的，则(()())()()f x g x f x g x '''±=±，即，两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数和（或差）． ⑵函数积的求导法则：设()f x ，()g x 是可导的，则[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+，即，两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数的乘上第二个函数的导数． 由上述法则即可以得出[()]()Cf x Cf x ''=，即，常数与函数之积的导数，等于常数乘以函数的导数． ⑶函数的商的求导法则：设()f x ，()g x 是可导的，()0g x ≠，则2()()()()()()()f x g x f x f x g x g x g x '''⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦． 特别是当()1f x ≡时，有21()()()g x g x g x ''⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦． 7． 复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．题型一 导数的定义及应用 例1、已知函数f (x )＝3x ＋1，则lim Δx →0f (1－Δx )－f (1)Δx的值为( )A ．－13 B.13 C.23 D ．0方法点拨：用定义法． 答案 A解析 由导数定义，lim Δx →0f (1－Δx )－f (1)Δx ＝－lim Δx →0f (1－Δx )－f (1)－Δx＝－f ′(1)，而f ′(1)＝13，故选A.例2、已知f ′(2)＝2，f (2)＝3，则lim x →2f (x )－3x －2＋1的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 方法点拨：用定义法． 答案 C解析 令x －2＝Δx ，x ＝2＋Δx ，则原式变为lim Δx →0f (2＋Δx )－f (2)Δx＋1＝f ′(2)＋1＝3，故选C.方法技巧由定义求导数的方法及解题思路1．导数定义中，x 在x 0处的增量是相对的，可以是Δx ，也可以是2Δx ，解题时要将分子、分母中的增量统一． 2．导数定义lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝f ′(x 0)等价于lim x →x 0f (x )－f (x 0)x －x 0＝f ′(x 0)．3．求函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的求解步骤：【冲关针对训练】用导数的定义求函数y ＝1x在x ＝1处的导数． 解 记f (x )＝1x， 则Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝11＋Δx －1＝1－1＋Δx 1＋Δx ＝(1－1＋Δx )(1＋1＋Δx )1＋Δx (1＋1＋Δx )＝－Δx 1＋Δx (1＋1＋Δx )， Δy Δx ＝－11＋Δx (1＋1＋Δx )， ∴lim Δx →0 ΔyΔx＝lim Δx →0－11＋Δx (1＋1＋Δx )＝－12.∴y ′|x ＝1＝－12.题型二 导数的计算 例3、求下列函数的导数：(1)y ＝(3x 3－4x )(2x ＋1)； (2)y ＝x 2sin x ； (3)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π3－2x ； (4)f (x )＝e－2xsin2x .方法点拨：用公式法．解 (1)解法一：y ＝(3x 3－4x )(2x ＋1)＝6x 4＋3x 3－8x 2－4x ，∴y ′＝24x 3＋9x 2－16x －4.解法二：y ′＝(3x 3－4x )′·(2x ＋1)＋(3x 3－4x )(2x ＋1)′＝(9x 2－4)(2x ＋1)＋(3x 3－4x )·2＝24x 3＋9x 2－16x －4. (2)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x .(3)解法一：f ′(x )＝－sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x ·(－2)＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 解法二：∵f (x )＝cos π3cos2x ＋sin π3sin2x ＝12cos2x ＋32sin2x ，答案 B解析 因为直线y ＝－x ＋m 是曲线y ＝x 2－3ln x 的切线，所以令y ′＝2x －3x ＝－1，得x ＝1或x ＝－32(舍)，即切点为(1,1)，又切点(1,1)在直线y ＝－x ＋m 上，所以m ＝2，故选B. 2．已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程； (3)求斜率为1的曲线的切线方程． 解 (1)∵y ′＝x 2， ∴k ＝y ′|x ＝2＝4，∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为4x －y －4＝0.(2)设曲线与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43，则k ＝y ′|x ＝x 0＝x 20. ∴切线方程为y ＝x 20x －23x 30＋43. 又∵P (2,4)在切线上，所以4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0.x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，(x 0＋1)(x 0－2)2＝0， ∴x 0＝－1，x 0＝2.故所求切线为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0. (3)设切点为(x 0，y 0)，则k ＝x 20＝1， ∴x 0＝±1，故切点为⎝⎛⎭⎫1，53，(－1,1)， ∴所求切线方程为3x －3y ＋2＝0和x －y ＋2＝0. 题型四 导数的几何意义的应用例7、(2017·资阳期末)若对∀x ∈[0，＋∞)，不等式2ax ≤e x －1恒成立，则实数a 的最大值是( )A.12B.14 C ．1 D ．2 方法点拨：数形结合法． 答案 A解析 对∀x ∈[0，＋∞)，不等式2ax ≤e x －1恒成立， 设y ＝2ax ，y ＝e x －1，其中x ≥0；在同一坐标系中画出函数y ＝2ax 和y ＝e x －1的图象如图所示，则y ′＝e x ，令x ＝0，得k ＝e 0＝1， ∴曲线y ＝e x －1过点O (0,0)的切线斜率为k ＝1；根据题意得2a ≤1，解得a ≤12，∴a 的最大值为12.故选A.例8、已知函数f (x )＝x 3＋x 2，数列{x n }(x n >0)的各项满足：曲线y ＝f (x )在(x n ＋1，f (x n ＋1))处的切线与经过(0,0)和(x n ，f (x n ))两点的直线平行．求证：当n ∈N *时，x 2n ＋x n ＝3x 2n ＋1＋2x n ＋1.方法点拨：导数法．证明 y ＝f (x )在(x n ＋1，f (x n ＋1))处的切线斜率为f ′(x n ＋1)＝3x 2n ＋1＋2x n ＋1，经过(0,0)，(x n ，f (x n ))的直线斜率为f (x n )－0x n＝x 3n ＋x 2nx n＝x 2n ＋x n . ∴x 2n ＋x n ＝3x 2n ＋1＋2x n ＋1.方法技巧此类问题注意导数与切线斜率的对应关系k ＝f ′(x 0)，同时应用数形结合思想． 【冲关针对训练】1．P 为曲线y ＝ln x 上的一动点，Q 为直线y ＝x ＋1上的一动点，则|PQ |最小值＝( )A ．0 B.22C. 2 D ．2 答案 C解析 直线与y ＝ln x 相切且与y ＝x ＋1平行时，切点P 到直线y ＝x ＋1的距离|PQ |最小，(ln x )′＝1x ，令1x ＝1得x＝1，故P (1,0)，所以|PQ |min ＝22＝ 2.故选C. 2．如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为( )A ．y ＝12x 3－12x 2－xB ．y ＝12x 3＋12x 2－3xC ．y ＝14x 3－xD ．y ＝14x 3＋12x 2－2x答案 A解析 由题意可知，该三次函数满足以下条件：过点(0,0)，(2,0)，在(0,0)处的切线方程为y ＝－x ，在(2,0)处的切线方程为y ＝3x －6.以此对选项进行检验．A 选项，y ＝12x 3－12x 2－x ，显然过两个定点，又y ′＝32x 2－x －1，则y ′|x ＝0＝－1，y ′|x ＝2＝3，故条件都满足，故选A.1．(2016·山东高考)若函数y ＝f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y ＝f (x )具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝ln xC ．y ＝e xD ．y ＝x 3 答案 A解析 设函数y ＝f (x )图象上的两点分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，且x 1≠x 2，则由题意知只需函数y ＝f (x )满足f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1即可．y ＝f (x )＝sin x 的导函数为f ′(x )＝cos x ，则f ′(0)·f ′(π)＝－1，故函数y ＝sin x 具有T 性质；y ＝f (x )＝ln x 的导函数为f ′(x )＝1x ，则f ′(x 1)·f ′(x 2)＝1x 1x 2>0，故函数y ＝ln x 不具有T 性质；y ＝f (x )＝e x 的导函数为f ′(x )＝e x ，则f ′(x 1)·f ′(x 2)＝e x 1＋x 2>0，故函数y ＝e x 不具有T 性质；y ＝f (x )＝x 3的导函数为f ′(x )＝3x 2，则f ′(x 1)·f ′(x 2)＝9x 21x 22≥0，故函数y ＝x 3不具有T 性质．故选A.2．(2018·济南模拟)已知函数f (x )＝2f (2－x )－x 2＋5x －5，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为( )A ．y ＝xB ．y ＝－2x ＋3C ．y ＝－3x ＋4D ．y ＝x －2答案 A解析 ∵f (x )＝2f (2－x )－x 2＋5x －5， ∴f ′(x )＝－2f ′(2－x )－2x ＋5.令x ＝1，则f (1)＝2f (1)－1＋5－5，∴f (1)＝1. f ′(1)＝－2f ′(1)－2＋5，∴f ′(1)＝1. ∴切线方程为y ＝x .故选A.3．(2016·全国卷Ⅱ)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln (x ＋1)的切线，则b ＝________.答案 1－ln 2解析 直线y ＝kx ＋b 与曲线y ＝ln x ＋2，y ＝ln (x ＋1)均相切，设切点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由y ＝ln x ＋2得y ′＝1x ，由y ＝ln (x ＋1)得y ′＝1x ＋1，∴k ＝1x 1＝1x 2＋1，∴x 1＝1k ，x 2＝1k －1，∴y 1＝－ln k ＋2，y 2＝－ln k .即A ⎝⎛⎭⎫1k ，－ln k ＋2，B ⎝⎛⎭⎫1k －1，－ln k ， ∵A 、B 在直线y ＝kx ＋b 上，∴⎩⎨⎧2－ln k ＝k ·1k＋b ，－ln k ＝k ·⎝⎛⎭⎫1k －1＋b ⇒⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1－ln 2，k ＝2. 4．(2014·江西高考)若曲线y ＝e －x 上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．答案 (－ln 2,2) 解析一、选择题1．曲线y ＝lg x 在x ＝1处的切线的斜率是( )A.1ln 10 B ．ln 10 C ．ln e D.1ln e 答案 A 解析 因为y ′＝1x ·ln 10，所以y ′|x ＝1＝1ln 10，即切线的斜率为1ln 10.故选A. 2．(2017·潼南县校级模拟)如图，是函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )的图象，则下面判断正确的是( )A ．在区间(－2,1)上f (x )是增函数B ．在(1,3)上f (x )是减函数C ．在(4,5)上f (x )是增函数D ．当x ＝4时，f (x )取极大值 答案 C解析 由于f ′(x )≥0⇒函数f (x )单调递增；f ′(x )≤0⇒函数f (x )单调递减，观察f ′(x )的图象可知， 当x ∈(－2,1)时，函数先递减，后递增，故A 错误； 当x ∈(1,3)时，函数先增后减，故B 错误； 当x ∈(4,5)时函数递增，故C 正确；由函数的图象可知函数在4处取得函数的极小值，故D 错误．故选C.3．(2018·上城区模拟)函数f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，则f (x )的函数图象可能是( )答案 B解析 由图可得－1<f ′(x )<1，切线的斜率k ∈(－1,1)且在R 上切线的斜率的变化先慢后快又变慢． ∴结合选项可知选项B 符合．4．(2018·昆明调研)若曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m )处有公切线，则a ＋b ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2 答案 C解析 依题意得f ′(x )＝－a sin x ，g ′(x )＝2x ＋b ，于是有f ′(0)＝g ′(0)，即－a sin0＝2×0＋b ，则b ＝0，又m ＝f (0)＝g (0)，即m ＝a ＝1，因此a ＋b ＝1，选C.5．(2018·山东烟台期末)若点P 是函数y ＝e x －e －x －3x ⎝⎛⎭⎫－12≤x ≤12图象上任意一点，且在点P 处切线的倾斜角为α，则α的最小值是( )A.5π6B.3π4C.π4D.π6 答案 B解析 由导数的几何意义，k ＝y ′＝e x ＋e －x －3≥2e x ·e －x －3＝－1，当且仅当x ＝0时等号成立．即tan α≥－1，α∈[0，π)，又∵tan α<0，所以α的最小值为3π4，故选B.6．(2017·山西名校联考)若函数f (x )的导函数的图象关于y 轴对称，则f (x )的解析式可能为( )A ．f (x )＝3cos xB ．f (x )＝x 3＋x 2C ．f (x )＝1＋sin2xD ．f (x )＝e x ＋x答案 C解析 A 选项中，f ′(x )＝－3sin x ，其图象不关于y 轴对称，排除A ；B 选项中，f ′(x )＝3x 2＋2x ，其图象的对称轴为x ＝－13，排除B ；C 选项中，f ′(x )＝2cos2x ，其图象关于y 轴对称；D 选项中，f ′(x )＝e x ＋1，其图象不关于y 轴对称．故选C.7．(2018·河南郑州质检二)已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4 答案 B解析 由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13.∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0.故选B. 8．(2017·辽宁五校联考)已知f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋6，则f (x )在点P (－1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于( )A ．4B ．5 C.254 D.132答案 C解析 ∵f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋6，∴f ′(x )＝3x 2－4x ＋1，∴f ′(－1)＝8，切线方程为y －2＝8(x ＋1)，即8x －y ＋10＝0，令x ＝0，得y ＝10，令y ＝0，得x ＝－54，∴所求面积S ＝12×54×10＝254.故选C.9．(2017·青山区月考)函数y ＝f (x )的图象过原点且它的导函数y ＝f ′(x )的图象是如图所示的一条直线，y ＝f (x )的图象的顶点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 C解析 由导函数的图象和y ＝f (x )的图象过原点，设f (x )＝ax 2＋bx ，所以f ′(x )＝2ax ＋b ， 由图得a >0，b >0，则－b2a <0，4ac －b 24a ＝－b 24a <0，则函数f (x )＝ax 2＋bx图象的顶点⎝⎛⎭⎫－b 2a ，－b 24a 在第三象限，故选C.10．若存在过点O (0,0)的直线l 与曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 和y ＝x 2＋a 都相切，则a 的值是( )A ．1 B.164 C ．1或164 D ．1或－164答案 C∴f ′(x )＝x 2－3x ＋2，易求得f ′(3)＝2，f (3)＝132.∴f (x )的图象在点(3，f (3))处的切线方程是y －132＝ 2(x －3)，即4x －2y ＋1＝0.(2)令f (x )＝2x ＋m ，即13x 3－32x 2＋2x ＋5＝2x ＋m ， 得13x 3－32x 2＋5＝m ，设g (x )＝13x 3－32x 2＋5， ∵曲线y ＝f (x )与直线y ＝2x ＋m 有三个不同的交点， ∴曲线y ＝g (x )与直线y ＝m 有三个不同的交点， 易得g ′(x )＝x 2－3x ，令g ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝3， 当x <0或x >3时，g ′(x )>0， 当0<x <3时，g ′(x )<0，∴g (x )在(－∞，0)，(3，＋∞)上单调递增，在(0,3)上单调递减， 又g (0)＝5，g (3)＝12，即g (x )极大值＝5，g (x )极小值＝12，∴可画出如图所示的函数g (x ) 的大致图象， ∴实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，5.1．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0的值为( )A ．e 2B ．e C.ln 22 D ．ln 2答案 B解析 由f (x )＝x ln x 得f ′(x )＝ln x ＋1.根据题意知ln x 0＋1＝2，所以ln x 0＝1，因此x 0＝e. 2．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( )A ．－1B ．－2C ．2D ．0 答案 B解析 f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，∵f ′(x )为奇函数且f ′(1)＝2，∴f ′(－1)＝－2.3．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( )A ．4x －y －3＝0B ．x ＋4y －5＝0C ．4x －y ＋3＝0D ．x ＋4y ＋3＝0答案 A解析 ∵f (x )＝x 2＋bx ＋c ＝⎝⎛⎭⎫x ＋b 22－b24＋c ， 由f (x )的图象的顶点在第四象限得－b2>0，∴b <0.又f ′(x )＝2x ＋b ，斜率为正，纵截距为负，故选A.8．已知曲线C ：f (x )＝x 3－ax ＋a ，若过曲线C 外一点A (1,0)引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则a 的值为________． 答案278解析 设切点坐标为(t ，t 3－at ＋a )． 由题意知，f ′(x )＝3x 2－a ， 切线的斜率为k ＝y ′|x ＝t ＝3t 2－a ，① 所以切线方程为y －(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(x －t )．②将点(1,0)代入②式得，－(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(1－t )，解之得，t ＝0或t ＝32.分别将t ＝0和t ＝32代入①式，得k ＝－a 和k ＝274－a ，由题意得它们互为相反数得a ＝278.9．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝3x 2＋2x ·f ′(2)，则f ′(5)＝________.答案 6解析 对f (x )＝3x 2＋2xf ′(2)求导，得f ′(x )＝6x ＋2f ′(2)．令x ＝2，得f ′(2)＝－12. 再令x ＝5，得f ′(5)＝6×5＋2f ′(2)＝6.10．已知函数y ＝f (x )及其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程是__________．答案 x －y －2＝0解析 根据导数的几何意义及图象可知，曲线y ＝f (x )在点P 处的 切线的斜率k ＝f ′(2)＝1，又过点P (2,0)， 所以切线方程为x －y －2＝0.11．若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．答案 [2，＋∞)解析 ∵f (x )＝12x 2－ax ＋ln x ，∴f ′(x )＝x －a ＋1x.∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )存在零点，x ＋1x －a ＝0，∴a ＝x ＋1x ≥2.12．求下列函数的导数．(1)y ＝x n lg x ； (2)y ＝1x ＋2x 2＋1x 3；(3)y ＝sin x xn ；(4)y ＝log a sin x (a >0且a ≠1)．解 (1)y ′＝nx n －1lg x ＋x n ·1x ln 10＝x n －1(n lg x ＋1ln 10)．(2)y ′＝(1x )′＋(2x 2)′＋(1x 3)′＝(x －1)′＋(2x －2)′＋(x －3)′＝－x －2－4x －3－3x －4＝－1x 2－4x 3－3x 4.(3)y ′＝(sin xxn )′＝x n sin x ′－x n ′sin x x 2n ＝x n cos x －nx n －1sin x x 2n ＝x cos x －n sin xx n ＋1. (4)令y ＝log a u ，u ＝sin x ，y ′＝1u log a e·cos x ＝1tan x ·log a e ＝log a etan x .13．已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程．解 (1)∵P (2,4)在曲线y ＝13x 3＋43上，且y ′＝x 2，∴在点P (2,4)处的切线的斜率为y ′|x ＝2＝4.∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率为y ′|x ＝x 0＝x 20. ∴切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20·x －23x 30＋43. ∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43， 即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0， ∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0， ∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2， 故所求的切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0.14．设函数f (x )＝ax －bx，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；。

2
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∴4 s 时物体的瞬时速度为 2＋6×4＝26.
题型2
利用导数的定义求导数
例2 利用导数的定义解下列各题：
1 (1)求函数 f(x)＝ 在 x＝1 处的导数； x＋1 (2)已知函数 f(x)＝ax2＋2x 在 x＝1 处的导数为 6， 求a 的值．
－Δx 1 1 Δy 解析： (1)因为 Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝ － ＝ ， 所以 Δx 2＋Δx 2 22＋Δx 1 Δy 1 ＝－ ，于是 f(x)在 x＝1 处的导数 f′(1)＝Δ lim ＝－ . x→0 Δx 4 22＋Δx
1 2 2． 已知物体做自由落体运动的方程为 s(t)＝ gt ， 若 Δt→0 时， 2 s1＋Δt－s1 无限趋近于 9.8 m/s，则正确的说法是( Δt A．9.8 m/s 是物体在 0～1 s 这段时间内的速度 B．9.8 m/s 是物体在 1 s～(1＋Δt)s 这段时间内的速度 C．9.8 m/s 是物体在 t＝1 s 这一时刻的速度 D．9.8 m/s 是物体从 1 s～(1＋Δt)s 这段时间内的平均速度
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点评：由导数的定义求导数，是求导数的基本方法， 必须严格按以下三个步骤进行： ①求函数的增量 Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； Δy fx0＋Δx－fx0 ②求平均变化率 ＝ ； Δx Δx Δy ③取极限，得导数 f′(x0)＝Δ lim . x→0 Δx
例：设函数 y＝f(x)＝3x2，则 Δy＝f(1＋Δx)－f(1) Δy Δy 2 6Δ x ＋ 3(Δ x ) 6 ＋ 3Δ x ＝________________， ＝______________，Δ lim x→0 Δx Δx
6 6 ＝______________ ；f′(1)＝______________.

度, 写成
lim
t 0
h(2
+
t) t
-
h(2)
.
即
lim
t 0
h(2
+
t) t
-
h(2)
=
-13.1.
2. 瞬时变化率
对于函数的平均变化率
y = f (x2 ) - f (x1) ,
x
x2 - x1
由△x=x2-x1 得 x2=△x+x1,
y = f (x + x1) - f (x1) .
x
x
当△x 很小很小时, △x+x1 就接近于 x1.
我们用符号
lim
x0
表示△x
趋近于零,
用平均变化
率的极限 lim y = lim f (x + x1) - f (x1)
x x0
x0
x
表示函数在 x1 处的瞬时变化率.
3. 导数
一般地, 函数 y=f(x) 在 x=x0 处的瞬时变化率是
lim f (x0 + x) - f (x0 ) = lim y ,
x0
x
x0 x
我们称它为函数 y=f(x) 在 x=x0 处的导数, 记作 f(x0)
或 y |x=x0, 即
f
(x0) =
lim
x0
f
(x0 + x)x
f
(x0) .
问题 1 中, 运动员在时间 t=2 时的瞬时速度就是 求函数 h(x) 在 t=2 时的导数.
导数可以描述任何物体的瞬时变化.
由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方法:
人教A版·高中数学·选修2-2 第一章

(1)y ′＝(x211x)′＝－12x 112--＝－12x 32-＝－2321x (2)y ′＝2 017x ln2 017. (3)y ′＝(ln 3)′＝0. (4)因为y ＝x x 3，所以y ＝x 52， 所以y ′＝(x 52)′＝52x 5-12＝52x 32＝5x x2.类型二 利用导数公式求曲线的切线方程例2、 (1)求过曲线y ＝sin x 上一点P ⎝⎛⎭⎫π6，12且与过这点的切线垂直的直线方程．(2)已知点P (－1,1)，点Q (2,4)是曲线y ＝x 2上的两点，求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程． 【解析】 (1)因为y ＝sin x ，所以y ′＝cos x ，曲线在点P ⎝⎛⎭⎫π6，12处的切线斜率是y ′|x ＝π6＝cos π6＝32. 所以过点P 且与切线垂直的直线的斜率为－23，故所求的直线方程为y －12＝－23⎝⎛⎭⎫x －π6， 即2x ＋ 3y －32－π3＝0.(2)因为y ′＝(x 2)′＝2x ，设切点为M (x 0，y 0)，则y ′|x ＝x 0＝2x 0，又因为直线PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，而切线平行于直线PQ ，所以k ＝2x 0＝1，即x 0＝12，所以切点为M ⎝⎛⎭⎫12，14. 所以所求的切线方程为y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0. 方法归纳(1)利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况①若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数．②如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解． (2)求过点P 与曲线相切的直线方程的三个步骤跟踪训练 2 对于例2(2)改为是否存在与直线PQ 垂直的切线，若有求出切线方程，若没有，说明理由．解析：假设存在与直线PQ 垂直的切线，因为PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，所以与PQ 垂直的切线斜率k ＝－1，设切点为(x 0′，y 0′)，则y ′|x ＝x 0′＝2x 0′，令2x 0′＝－1，则x 0′＝－12，y 0′＝14，切线方程为y －14＝－⎝⎛⎭⎫x ＋12，即4x ＋4y ＋1＝0. |素养提升|1．基本初等函数的导数公式可分为四类第一类为幂函数，y ′＝(x α)′＝αx α－1(注意幂指数α可推广到全体非零实数)；第二类为三角函数，可记为正弦函数的导数为余弦函数，余弦函数的导数为正弦函数的相反数； 第三类为指数函数，y ′＝(a x )′＝a x ln a ，当a ＝e 时，y ＝e x 的导数是指数函数的导数的一个特例；第四类为对数函数，y ′＝(log a x )′＝1x ln a ，也可写为(log a x )′＝1x·log a e ，当a ＝e 时，y ＝ln x 的导数是对数。

f'（x）＝ －sin x
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目录
基本初等函数
f（x）＝ex
f（x）＝ax（a＞0，且a≠1）
f（x）＝ln x
f（x）＝logax（a＞0，且a≠1）
导数
f'（x）＝
ex
f'（x）＝
axln a
f'（x）＝
1

f'（x）＝
1
ln
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⁠
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目录
（2）导数的运算法则
①函数和、差、积、商的导数：若f'（x），g'（x）存在，则有：
（－e，－1）（e为自然对数的底数），则点A的坐标是
.
⁠
答案 （e，1）
目录
THANK . YOU
1），即y＝3x＋3.
答案：y＝3x＋3
目录
｜解题技法｜
求曲线切线方程的步骤
（1）求出函数y＝f（x）在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f（x）在点P（x0，f
（x0））处切线的斜率；
（2）由点斜式方程求得切线方程为y－f（x0）＝f'（x0）·（x－x0）.
提醒 “过”与“在”：曲线y＝f（x）“在点P（x0，y0）处的切线”与“过点
y
(0 +Δ)−(0 )
lim ＝ lim
叫做函数y＝f（x）在x＝x0处的导数，记作f'（x0）或
x
Δ
Δ→0
x→0
Δ
(0 +Δ)−(0 )
y'|=0 ，即f'（x0）＝ lim ＝ lim
；
Δ
Δ
Δ→0
Δ→0
（2）导数的几何意义：函数f（x）在x＝x0处的导数f'（x0）的几何意义是在曲