E
08-圆有关的证明题专项练习
1、如图，△ABC内接于⊙O，AD是的边BC上的高，AE是⊙O的直径，连BE.
（1）求证：△ABE∽△ADC；
（2）若AB=2BE=4DC=8，求△ADC的面积.
2、如图，AE是△ABC外接圆⊙O的直径，AD是△ABC的边BC上的高，
EF⊥BC，F为垂足。
（1）求证：BF=CD
（2）若CD=1，AD=3，BD=6，求⊙O的直径。
5、如图，AB是⊙O的直径，D是AB上一点，D是弧BC的
中点，AD、BC交于点E，CF⊥AB于F，CF交AD于G。
（1）求证：AD =2CF；
（2）若AD=，BC =，求⊙O的半径
3
46
2
6、如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，E为AB延长线上一点，CE交⊙O于
F 。
（1）求证：BF 平分∠DFE ；
（2）若EF=DF=4，BE=5，CH=3，求⊙O 的半径
7、如图，Rt △ABC 内接于⊙O ，D 为弧AC 的中点，DH ⊥AB 于点H ，延长BC 、HD 交于点E 。
（1）求证：AC=2DH ；
（2）连接AE ，若DH=2，BC=3，求tan ∠AEB 的值
8、在Rt △ABC 中，∠ACB=90º，D 是AB 边上一点，以BD 为直径的⊙O 与边AC 相切于点E ，连结DE 并延长，与BC 的延长线交于点F ．（1）求证：BD=BF ；
（2）若BC=6，AD=4，求。
ECF S
A
9、如图，⊙O 中， 直径DE⊥弦AB 于H 点，C 为圆上一动点，AC 与DE 相交于点F 。
(1)求证△AOG∽△FAO 。
(2)若OA=4，OF=8，H 点为OD 的中点，求。
CGF S A 10、如图，在⊙O 中，弦AB 、CD 相交于AB 的中点E ，连接AD 并延长至F 点，使DF=AD,连接BC 、BF 。
（1）、求证：△CBE ∽△AFB 。
（2）、若∠C=30º，∠
,
1 求.
ABF S A 11、如图，△ABC 内接于⊙O，AB 是直径，D 为弧AC 的中点，连接BD ，交AC 于G,过D 作DE⊥AB 于E 点，交⊙O 于H 点，交AC 于F 点。
（1）、求证:FD=FG
(2)、若
AF·FC=32,ED=6
，求。
ADF
S A
12、如图：△AFC 中∠FAC=90°，以AF 上一点O 为圆心，OA 为半径作圆交FC 于D ，交CF 的延长线于点B 。
⑴求证：△CDA ∽△CAB
⑵过A 作AE ∥CD 交⊙O 于E ，DE 交AF 于M ，若CD=FD=2BF=4。
求A M 的长。
13、如图，AE 是△ABC 外接圆⊙O 的直径，且AB=BC ，过C 点作CD ⊥AE 于D ，延长CD 交AB 于F
（1）求证：AC=CF ；
（2）若CF=2，BF=3，求的值.
ACB C 14、如图，AE 是△ABC 外接圆⊙O 的直径， BC ∥AE ，过C 点作CD ⊥AE 于D ，延长
CD 交AB 于F
（1）求证：△ACF ～△ABC ；
（2）若CF=2DF=2，AD=4，求⊙O 的直径
.
E
A
E
A
15、如图，AE 是△ABC 外接圆⊙O 的直径，若B 、C 在AE 的同一侧，过C 点作CD ⊥AE 于D ，延长CD 交AB 于F 。
（1）求证：∠ACF=∠B ；
（2）若点B 为弧CE 的中点，CD=AD=，求的值.
33ACB S 16、如下图，AB 、CD 为⊙O 两弦，且AB=CD ，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，求证：∠AMN=∠CNM
17、已知：如图，∠AOB=900，D 、C 将三等分，弦AB 与半径OD 、OC 交于点F 、E ，⌒
AB 求证：AE=DC=BF 。
E
A
18、如图，⊙O 中两条不平行弦
AB
和
CD 的中点M ，N.且AB ＝CD ， 求证：∠AMN＝∠CNM
19、如图，四边形ABCD 内接于⊙O，∠ADC＝90°，B 是弧AC 的中点，AD ＝20，CD ＝15,求AB 、BD 的长。
20、（2009义乌）如图，AB 是⊙O 的的直径，BC AB 于点B ，连接OC 交⊙O 于点E ，弦
⊥AD//OC,弦DF AB 于点G 。
⊥ （1）求证：点E 是的中点；A BD
（2）求证：CD 是⊙O 的切线；
（3）若，⊙O 的半径为5，求DF 的长。
4
sin 5
BAD ∠=
21、（2009宁波）已知：如图，⊙O 的直径AB 与弦CD 相交于Ｅ，弧BC ＝弧BD ，⊙O 的切线BF 与弦AD 的延长线相交于点F ．(1)求证:CD∥BF．
(2)连结BC,若⊙O 的半径为4,cos∠BCD=
,求线段AD 、CD 的长．3
4
22、（2009温州）如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4．0为BC 边上一点，以0为圆心，OB 为半径作半圆与BC 边和AB 边分别交于点D 、点E ，连结DE 。
(1)当BD=3时，求线段DE 的长；
(2)过点E 作半圆O 的切线，当切线与AC 边相交时，设交点为F ．
求证：△FAE 是等腰三角形．
23、（2009德州）如图，⊙O 的直径AB =4，C 为圆周上一点，AC =2，
过点C 作⊙O 的切线l ，过点B 作l 的垂线BD ，垂足为D ，BD 与⊙O 交于点
E ．
(1) 求∠AEC 的度数；
（2）求证：四边形OBEC 是菱形．
24、(2009台州)如图，等腰中，，
OAB ∆OB OA =以点为圆心作圆与底边相切于点．
O AB C 求证：．
BC AC =25、（2009泸州）如图11，在△ABC 中，AB=BC ，以AB 为直径的⊙O 与AC 交于点D ，过D 作DF⊥BC，交AB 的延长线于E ，垂足为F ．(1)求证：直线DE 是⊙O 的切线；(2)当AB=5，AC=8时，求cosE 的值．
（第19
题）
图P B
C
E
A
①①
①①
26、(2009成都)已知A 、D 是一段圆弧上的两点，且在直线的同侧，分别过这两点作的l l 垂线，垂足为B 、C ，E 是BC 上一动点，连结AD 、AE 、DE ，且∠AED=90°。
（1）如图①，如果AB=6,BC=16,且BE:CE=1:3，求AD 的长。
（2）如图②，若点E 恰为这段圆弧的圆心，则线段AB 、BC 、CD 之间有怎样的等量关系？
请写出你的结论并予以证明。
再探究：当A 、D 分别在直线两侧且AB≠CD，而其余条件不l 变时，线段AB 、BC 、CD 之间又有怎样的等量关系？请直接写出结论，不必证明。
27、（2009烟台）如图，AB ，BC 分别是O ⊙的直径和弦，点D 为A BC
上一点，弦DE 交O ⊙于点E ，交AB 于点F ，交BC 于点G ，
过点C 的切线交ED 的延长线于H ，且HC HG =，连接BH ，交O ⊙于点M ，连接MD ME ，．
求证：（1）DE AB ⊥；（1）
HMD MHE MEH ∠=∠+∠．
28、（2009丽水）如图,已知在等腰△ABC 中,∠
A =∠
B =30°,过点
C 作C
D ⊥AC 交AB 于点D .
(1)尺规作图：过A ，D ，C 三点作⊙O（只要求作出图形，
保留痕迹，不要求写作法）；
（第24题图）
C
(2)求证：BC 是过A ，D ，C 三点的圆的切线；
(3)若过A ，D ，C 三点的圆的半径为,则线段BC 上是否存在一点P ，使得以
3P ，D ，B 为顶点的三角形与△BCO 相似.若存在，求出DP 的长；若不存在，请说明理由.
29、（2009遂宁）如图，以BC 为直径的⊙O 交△CFB 的边CF 于点A ，BM 平分∠ABC 交AC 于
点M ，AD⊥BC 于点D ，AD 交BM 于点N ，ME⊥BC 于点E ，AB 2=AF·AC ，cos∠ABD=5
3，AD=12．
⑴求证：△ANM≌△ENM；⑵求证：FB 是⊙O 的切线；
⑶证明四边形AMEN 是菱形，并求该菱形的面积S ．
30、（2009仙桃）)如图，AB 为⊙O 的直径，D 是⊙O 上的一点，过O 点作AB 的垂线交AD 于点E ，交BD 的延长线于点C ，F 为CE 上一点，且FD ＝FE ．
(1)请探究FD 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
(2)若⊙O 的半径为2
，BD ＝，求BC 的长．
3A
B
C D E
F
O
B 31、(2009成都)如图，Rt△ABC内接于⊙O，AC=BC，∠BAC的平分线AD与⊙0交于点D，
与BC交于点E，延长BD，与AC的延长线交于点F，连结CD，G是CD的中点，连结0G．
(1)判断0G与CD的位置关系，写出你的结论并证明；
(2)求证：AE=BF；（3）若，求⊙O的面积。
3(2
OG DE
⋅=-
32、（08山东枣庄23题）23．(本题满分10分)已知：如图，在半径为4的⊙O中，AB，CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC．连结DE，DE= .
(1) 求证：；
AM MB EM MC
⋅=⋅
(2) 求EM的长；
（3）求sin∠EOB的值.
33、（08江西省卷）22．如图，是的内接三角形，点是优弧上一点（点
ABC
△O
A C AB
不与重合），设，．
C A B
，OABα
∠=Cβ
∠=
（1）当时，求的度数；
35
α= β
（2）猜想与之间的关系，并给予证明．
αβ
A B
34、（08广东茂名22题）22.（本题满分10分）
如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，且AB =AC ，点D 在弧BC 上运动，过点D 作DE ∥BC ，DE 交AB
的延长线于点E ，连结AD 、BD ．
（1）求证：∠ADB =∠E ；（3分）
（2）当点D 运动到什么位置时，DE 是⊙O 的切线？请说明理由．（3分）（3）当AB =5，BC =6时，求⊙O 的半径．（4分）
35、（08四川泸州）19．如图6，在气象站台A 的正西方向的B 处有一台风中心，240km 该台风中心以每小时的速度沿北偏东的BD 方向移动，在距离台风中心
20km o
60内的地方都要受到其影响。
130km ⑴台风中心在移动过程中，与气象台A 的最短距离是多少？
多长？
E
C A
（第22题图）
36、（08四川南充）19．如图，已知O A 的直径AB 垂直于弦CD 于点E ，过C 点作
CG AD ∥交AB 的延长线于点G ，连接CO 并延长交AD 于点F ，且CF AD ⊥．
（1）试问：CG 是O A 的切线吗？说明理由；
（2）请证明：E 是OB 的中点；（3）若8AB =，求CD 的长．
37、（08四川自贡）24．如图，A 、B 为⊙O 上的点，AC 是弦，CD 是⊙O 的切线，C 为切点，AD⊥CD 于点D 。
若AC 为∠BAD 的平分线。
求证：（1）AB 为⊙O 的直径
（2）AC 2＝AB·AD
38、 已知：如图，点P 在⊙O 外，PC 是⊙O 的切线，C 为切点，直线PO 与⊙O 相交于点A 、B 。
（1）试探求∠BCP 与∠P 的数量关系； （2）若∠A＝30°，则PB 与PA 有什么数量关系？
（3）∠A 可能等于45°吗？若∠A＝45°，则过点C 的切线与AB 有怎样的位置关系？ （4）若∠A＞45°，则过点C 的切线与直线AB 的交点P 的位置将在哪里？
A
D
F E O
C
B
G
（第19题图）。
