圆有关的证明题专项练习
1、如图，△ABC 内接于⊙O，AD 是的边BC 上的高，AE 是⊙O 的直径，连BE. （1）求证：△ABE∽△ADC；
（2）若AB=2BE=4DC=8，求△ADC 的面积.
C
2、如图，AE 是△ABC 外接圆⊙O 的直径，AD 是△ABC 的边BC 上的高，
EF⊥BC，F 为垂足。
（1）求证：BF=CD
（2）若CD=1，AD=3，BD=6，求⊙O 的直径。
5、如图，AB 是⊙O 的直径，D 是AB 上一点，C 是弧AD 的中
点，AD、BC 交于点E，CF⊥AB 于F，CF 交AD 于G。
（1）求证：CG=EG=AG
(2) 求证：AD=2CF
（2）若AD= 4 3 ，AC=4，求⊙O 的半径B
A O
E
D
6、如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于点H，E 为AB 延长线上一点，CE 交⊙O 于F。
（1）求证：BF 平分∠DFE；
（2）若EF=DF=4，BE=5，CH=3，求⊙O 的半径
7、如图，Rt△ABC 内接于⊙O，D 为弧AC 的中点，
DH⊥AB 于点H，延长BC、HD 交于点E。
（1）求证：AC=2DH；
（2）连接AE，若DH=2，BC=3，求tan∠AEB 的值
8、在Rt△ABC 中，∠ACB=90o，D 是AB 边上一点，以 BD 为直径的⊙O 与边 AC 相切于点E，
连结 DE 并延长，与 BC 的延长线交于点F．
（1）求证：BD=BF；
（2）若BC=6，AD=4，求S ECF 。
9、如图，⊙O 中，直径DE⊥弦AB 于H 点，C 为圆上一动点，AC 与DE 相交于点 F。
(1)求证△AOG∽△FAO。
(2)若OA=4，OF=8，H 点为OD 的中点，求S CGF 。
10、如图，在⊙O 中，弦AB、CD 相交于AB 的中点E，
连接AD 并延长至 F 点，使DF=AD,连接BC、BF。
（1）、求证：△CBE∽△AFB。
（2）、若∠C=30o，∠CEB=45o,CE= 3 1,
求S ABF .
11、如图，△ABC 内接于⊙O，AB 是直径，D 为弧 AC
的中点，连接 BD，交 AC 于G,过 D 作DE⊥AB于E 点，
交⊙Ｏ于H 点，交 AC 于F 点。
（1）、求证:FD=FG
(2)、若AF·FC=32,ED=6，求S ADF 。
D
F O
B
F D
O
12、如图：△AFC 中∠FAC=90°，以AF 上一点O 为圆心，OA 为半径作圆交FC
于D ，交CF 的延长线于点B 。
⑴求证：△CDA ∽△CAB
⑵过A 作AE ∥CD 交⊙O 于E ，DE 交AF 于M ，若CD=FD=2BF=4。
求A M 的长。
13、如图，AE 是△ABC 外接圆⊙O 的直径，且AB=BC ，过 C 点作CD ⊥AE 于D ，延长
CD 交AB 于 F
（1）求证：AC=CF ；（2）若CF=2，BF=3，求
C
ACB 的值
.
A
E
C
14、如图，AE 是△ABC 外接圆⊙O 的直径，BC ∥AE ，过 C 点作CD ⊥AE 于D ，延长CD
交AB 于 F
（1）求证：△ACF ～△ABC ；
（2）若CF=2DF=2，AD=4，求⊙O 的直径.
A
E
C B
D
O F
B
C
B
A
M
N
O
D
15、如图，AE 是△ABC 外接圆⊙O 的直径，若B 、C 在AE 的同一侧，过 C 点作CD ⊥AE
于D ，延长CD 交AB 于F 。
（1）求证：∠ACF=∠B ；（2）若点B 为弧CE 的中点，CD=
AD= ，求S ACB 的值.
A
E
C
16、如下图，AB 、CD 为⊙O 两弦，且AB=CD ，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，求证：∠AMN=∠CNM
⌒
17、已知：如图，∠AOB=90 ，D 、C 将
AB 三等分，弦AB 与半径OD 、OC 交于点F 、E ，
求证：AE=DC=BF 。
O
A
C D
33 E
F
B
418、如图，⊙Ｏ中两条不平行弦AB 和CD 的中点M ，N.且AB ＝CD ，求证：∠AMN ＝∠CNM
19、如图，四边形 ABCD 内接于⊙O ，∠ADC ＝90°，B 是弧 AC 的中点，AD ＝20，CD ＝15,求AB 、BD 的长。
20、如图，AB 是⊙Ｏ的的直径，BC AB 于点B ，连接 OC 交⊙O 于点E ，弦 AD//OC,弦 DF AB
于点 G 。
（1）求证：点 E 是B D 的中点；（2）求证：CD 是⊙Ｏ的切线；（3）若sin
BAD
，⊙Ｏ的半径为5，求DF 的长。
5
21、已知：如图，⊙O 的直径 AB 与弦 CD 相交于Ｅ，弧 BC ＝弧 BD ，⊙Ｏ的切线 BF 与弦 AD 的延长线相交于点F ．
(1)求证:CD ∥BF
．3(2)连结 BC,若⊙Ｏ的半径为4,cos ∠BCD=
4
,求线段 AD 、CD 的长．
O A C
B D
C
E
l A
O
C E
22、如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4．0 为BC 边上一点，以 0 为圆心，OB 为半径作半圆与 BC 边和AB 边分别交于点D 、点 E ，连结 DE 。
(1)当BD=3 时，求线段 DE 的长；
(2)过点 E 作半圆O 的切线，当切线与 AC 边相交时，设交点为
F ．求证：△FAE 是等腰三角形．
23、如图，⊙O 的直径AB =4，C 为圆周上一点，AC =2，
过点C 作⊙O 的切线l ，过点B 作l 的垂线BD ，垂足为D ，BD 与⊙O 交于点E ．
(1)求∠AEC 的度数；
B
（2）求证：四边形
OBEC 是菱形．
（第19 题图）
24、如图，等腰
OAB 中，OA OB ，
以点O 为圆心作圆与底边
AB 相切于点
C ．求证：AC BC ．
（第19 题）
25、如图 11，在△ABC 中，AB=BC ，以 AB 为直径的⊙O 与AC 交于点 D ，过 D 作DF ⊥BC ，交AB 的延长线于 E ，垂足为F ． (1)求证：直线 DE 是⊙Ｏ的切线；
(2)当AB=5，AC=8 时，求 cosE 的值．
图
A
P
B
（图
Ｏ
Ａ
Ｃ
Ｂ
D
A
D
A
26、已知 A 、D 是一段圆弧上的两点，且在直线
l 的同侧，分别过这两点作l 的垂线，垂足为B 、
C ，E 是BC 上一动点，连结 A
D 、A
E 、DE ，且∠AED=90°。
（1）如图①，如果 AB=6,BC=16,且 BE:CE=1:3，求 AD 的长。
（2）如图②，若点 E 恰为这段圆弧的圆心，则线段 AB 、BC 、CD 之间有怎样的等量关系？
请
写出你的结论并予以证明。
再探究：当 A 、D 分别在直线
l 两侧且AB
≠CD ，而其余条件不变时，线段 AB 、BC 、CD 之间又有怎样的等量关系？请直接写出结论，不必证明。
B
E
图①
C l
B E
图②
C l
27、如图，AB ，BC 分别是⊙O 的直径和弦，点D 为B C 上一点，弦DE 交⊙O 于点E ，交AB
H
于点F ，交BC 于点G ，过点C 的切线交ED 的延长线于H ，且
HC HG ，连接BH ，
D 交⊙O 于点M ，连接MD ，
ME ．求证：（1）DE AB ；（1）HMD MHE MEH ．
C G M A
O F
B
E
（第24 题图）
C F
D E
O
28、如图,已知在等腰△ABC 中,∠A =∠B =30°,过点C 作CD ⊥AC 交AB 于点D .
(1)尺规作图：过
A ，D ，C 三点作⊙O （只要求作出图形，
保留痕迹，不要求写作法）；
C
(2)求证：BC
是过A ，D ，C 三点的圆的切线；(3)若过
A ，D
，C 三点的圆的半径为,则线段BC
上是否存在一点A
D
B
P ，使得以P ，D ，B 为顶点的三角形与△BCO 相似.若存在，求出DP
的长；若不存在，请说明理由
.
(第23 题)
29、如图，以 BC 为直径的⊙O 交△CFB 的边 CF 于点 A ，BM 平分∠ABC 交 AC 于点 M ，AD ⊥BC 于点 D ，AD 交BM 于点N ，ME ⊥BC 于点E ，AB 2
=AF ·AC ，cos ∠ABD=3 ，AD=12．
5
⑴求证：△ANM ≌△ENM ；⑵求证：FB 是⊙O 的切线；
⑶证明四边形 AMEN 是菱形，并求该菱形的面积
S ．
30、)如图，AB 为⊙O 的直径，D 是⊙O 上的一点，过O 点作AB 的垂线交AD 于点E ，交BD 的延长线于点C ，F 为CE 上一点，且FD ＝FE ．
(1)请探究FD 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(2)若⊙O 的半径为2，BD ＝
，求
BC
的长． A
B
( 第21 题
33
F
C
G D
E
O
15 O
A
B
31、如图，Rt △ABC 内接于⊙O ，AC=BC ，∠BAC 的平分线 AD 与⊙0 交于点 D ，与 BC 交于点 E ，延长 BD ，与 AC 的延长线交于点 F ，连结 CD ，G 是CD 的中点，连结 0G ．
(1)判断 0G 与 CD 的位置关系，写出你的结论并证明；(2)求证：AE=BF ；（3）若OG DE
3(22)，求⊙Ｏ的面积。
A
B 32、 (本题满分 10 分)已知：如图，在半径为 4 的⊙O 中，AB ，CD 是两条直径，M 为OB 的中点，CM 的延长线交⊙O 于点E ，且EM ＞M
C ．连结DE ，DE = .
(1)求证：AM MB EM MC ；E
(2)求EM 的长；
D
（3）求sin ∠EOB
的值. A M
B
O
C
33、．如图，△ABC 是O 的内接三角形，点 C 是优弧AB 上一点（点C 不与A ，B 重合），
设
OAB
，
C
．（1）当 35时，求
的度数；
C
（2）猜想
与
之间的关系，并给予证明．
B O
D
北
D
C
60o
B
A
东
图6
34（本题满分 10 分）
如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，且AB =AC ，点D 在弧BC 上运动，过点 D 作DE ∥BC ，DE 交AB
的延长线于点E ，连结AD 、BD ． A
（1）求证：∠ADB =∠E ；（3 分）
（2）当点D 运动到什么位置时，DE 是⊙O 的切线？请说明理由．（ 3 分）
（3）当
AB =5，BC =6 时，求⊙O 的半径．（4 分）
C E
（第22 题图）
35如图6，在气象站台A 的正西方向240km 的B 处有一台风中心，该台风中心以每小时
20km
的速度沿北偏东
60o
的 BD 方向移动，在距离台风中心
130km 内的地方都要受到其影响。
⑴台风中心在移动过程中，与气象台 A 的最短距离是多少？
⑵台风中心在移动过程中，气象台将受台风的影响，求台风影响气象台的实践会持续多长？
36如图，已知O 的直径AB 垂直于弦CD 于点E ，过C 点作CG ∥AD 交AB 的延长线于点G ，连接
CO 并延长交AD 于点F ，且CF AD ．
（1）试问：CG 是O 的切线吗？说明理由；A （2）请证明： E 是OB 的中点；（3）若AB 8 ，求CD 的长．
（第19 题图）
O
F
C
E B
D
G
37如图，A、B 为⊙Ｏ上的点，AC 是弦，CD 是⊙Ｏ的切线，C 为切点，AD⊥CD于点D。
若 AC 为∠BAD的平分线。
求证：（1）AB 为⊙Ｏ的直径
（2）AC2＝AB·AD
38、已知：如图，点 P 在⊙Ｏ外，PC 是⊙O 的切线，C 为切点，直线 PO 与⊙O 相交于点A、B。
（1）试探求∠BCP 与∠Ｐ的数量关系；
（2）若∠A＝30°，则 PB 与PA 有什么数量关系？
（3）∠Ａ可能等于 45°吗？若∠A＝45°，则过点 C 的切线与 AB 有怎样的位置关系？
（4）若∠A＞45°，则过点 C 的切线与直线 AB 的交点 P 的位置将在哪里？。
