当前位置：文档之家 › 必修五 余弦定理PPT课件

必修五 余弦定理PPT课件

  • 格式：ppt
  • 大小：1.11 MB
  • 文档页数：18

下载文档原格式

  / 18

合集下载

高中数学必修五北师大版 余弦定理课件(30张)

高中数学必修五北师大版 余弦定理课件(30张)

a c 方法一 由正弦定理sin A＝sin C得： 3 5× 2 csin A 5 3 sin C＝ a ＝ 7 ＝ 14 . 5 3 ∴最大角 A 为 120° ，sin C＝ . 14 a2＋b2－c2 72＋32－52 11 解法二 ∵cos C＝ ＝ ＝ ， 2ab 2×7×3 14 ∴C 为锐角，∴sin C＝ 1－cos C＝
[ 分析 ] 可先由大边对大角，确定出最大的角，再由正、余弦定 理求出最大角及sin C.
[解析] ∵a>c>b，∴A 为最大角．
由余弦定理变形得： b2＋c2－a2 32＋52－72 1 cos A＝ 2bc ＝ ＝－2. 2×3×5 又∵0° <A<180° ，∴A＝120° . 3 ∴sin A＝sin 120° ＝2.
)
2a2 ＝ 2a ＝a＝2.
答案：C
2．在△ABC中，如果sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，那么cos C等
于________．
解析：由条件可设 a＝2t，b＝3t，c＝4t a2＋b2－c2 4t2＋9t2－16t2 1 cos C＝ 2ab ＝ ＝－4. 2×2×3t2
1 答案：－4
1.2 余弦定理
第1课时 余弦定理
பைடு நூலகம்
1.能证明余弦定理，了解并可以从向量方 法、解析方法和三角方法等多种途径证 明余弦定理； 重点：余弦定理的理 解和简单应用．
2.能够应用余弦定理及其推论解三角形； 难点：余弦定理的推 3.了解余弦定理与勾股定理之间的联系， 导及解决简单的三角 知道解三角形问题的几种情形及其基本 解法. 形度量问题.
1 3 3 解法二 由 b<c，B＝30° ，b>csin 30° ＝3 3×2＝ 2 知本题有两解． 1 3 3×2 csin B 3 由正弦定理 sin C＝ ＝ ＝ ， b 3 2 ∴C＝60° 或 120° ， 当 C＝60° 时，A＝90° ， 由勾股定理 a＝ b2＋c2＝ 32＋3 32＝6，

余弦定理(55张PPT)

余弦定理(55张PPT)

进入导航
第一章 1.1 1.1.2
系列丛书
新知初探
1．余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减 去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即
人教A版· 数学· 必修5
进入导航
第一章 1.1 1.1.2
系列丛书
若a，b，c分别是△ABC的顶点A，B，C所对的边 长，则 a2＝__________________ b2＋c2－2bccosA ，
人教A版· 数学· 必修5
进入导航
第一章 1.1 1.1.2
系列丛书
变式训练3
如图所示，在△ABC中，已知BC＝15，
4 3 AB:AC＝7:8，sinB＝ 7 ，求BC边上的高AD的长．
人教A版· 数学· 必修5
进入导航
第一章 1.1 1.1.2
系列丛书
解：在△ABC中，由已知设AB＝7x，AC＝8x， 7x 8x 由正弦定理，得sinC＝sinB， 7xsinB 7 4 3 3 ∴sinC＝ 8x ＝8× 7 ＝ 2 . ∴C＝60° (C＝120° 舍去，由8x>7x，知B也为钝角，不 符合要求)．
(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角 __________________．
人教A版· 数学· 必修5
进入导航
第一章 1.1 1.1.2
系列丛书
思考感悟
1．已知三角形任意两边与一角，借助于正、余弦定理 是否能求出其他元素？
人教A版· 数学· 必修5
进入导航
第一章 1.1 1.1.2
系列丛书
人教A版· 数学· 必修5
进入导航
第一章 1.1 1.1.2
系列丛书
变式训练1
已知在△ABC中，a:b:c＝2: 6:( 3＋1)，

高中数学必修五1.1正弦定理和余弦定理 课件 (共34张PPT)

高中数学必修五1.1正弦定理和余弦定理 课件 (共34张PPT)

两种途径 根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径： (1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角 转换．
双基自测 1．(人教A版教材习题改编)在△ABC中，A＝60° ，B＝75° ，a ＝10，则c等于( A．5 2 10 6 C. 3 )． B．10 2 D．5 6
a 解析 由A＋B＋C＝180° ，知C＝45° ，由正弦定理得： sin A ＝ c 10 c 10 6 sin C，即 3＝ 2.∴c＝ 3 . 2 2 答案 C
sin A cos B 2．在△ABC 中，若 a ＝ b ，则 B 的值为( A．30° 解析 B．45° C．60° D．90°
4． 已知两边和其中一边的对角， 解三角形时， 注意解的情况． 如 已知 a，b，A，则 A 为锐角 图形 A 为钝角或直角
关系 式 解的 个数
a＜b sin A a＝bsin A
bsin A＜a＜ b 两解
a≥b a＞b a≤b
无解
一解
一解 一解 无解
一条规律 在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大， 正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A＞B⇔a＞b⇔sin A ＞sin B. 两类问题 在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一 边，求其它边或角； (2) 已知两边及一边的对角，求其它边或 角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余 弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两 角；(2)已知三边，求各角．
正弦定理和余弦定理
基础梳理 a b c 1．正弦定理：sin A＝sin B＝sin C＝2R，其中 R 是三角形外接 圆的半径．由正弦定理可以变形为： (1)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (2)a＝ 2Rsin A ，b＝ 2Rsin B ，c＝ 2Rsin C ； a b c (3)sin A＝2R，sin B＝2R，sin C＝2R等形式，以解决不同的三 角形问题．

必修五1.1.2余弦定理PPT课件

必修五1.1.2余弦定理PPT课件

A.60 B.45或135
C.120
D30
C
b
aห้องสมุดไป่ตู้
解析：cos C a2 b2 c2
2ab
Ac
B
a2 c2 b2 abcosC ab 1 C 60
2ab 2
三.判断三角形的形状
由推论我们能判断三角形的角的情况C吗?
推论： cos A b2 c2 a2 2bc
b
a
提炼：设a是最长的边，则
2
A 60
cosB a2 c2 b2 ( 6)2 ( 3 1)2 22
2ac
2 6 ( 3 1)
2 2
B 45
C 180 A B 180 60 45 75
变式：
1.在三角形ABC中，若a 3,b 1, c 2,则A 6_0_________
2.在三角形ABC中，a2 c2 b2 ab,则角C的大小为___A_____
例3、在△ABC中，若a 2 b2 c 2，
则△ABC的形状为（ ）
Ａ、钝角三角形 Ｃ、锐角三角形
Ｂ、直角三角形 Ｄ、不能确定
那a2 b2 c2呢?
例 在ABC中, a 1, b 2, c 7, 试判断这个
三 角 形 的 形 状.
90 C 180
cosC 0
a2 b2 c2
千岛湖
情景问题
千岛湖
岛屿A
岛屿B
120°
?
岛屿C
情景问题
千岛湖
在△ABC中，已知AB=5km，BC=3km，
∠B=120o，求 AC
岛B 屿B
A岛屿A
120°
?
岛C 屿C
用正弦定理能否直接求出 AC？

人教版数学必修五1.1.2 余弦定理 课件 (共17张PPT)

人教版数学必修五1.1.2 余弦定理 课件 (共17张PPT)

2tanα 1-tan2α
06:37:52
创设情境 兴趣导入
引例 2009年10月，内蒙古交通设计研究院有限责任公司在设
计丹锡高速赤峰二道井子段（K166+280～K166+570）时,为保护
夏家店文化文物，需要挖掘隧道，勘测人员将隧道口A和B定位在 山的两侧(如图）,在平地上选择适合测量的点C ，如果∠C=60°,
可以证明，上述结论对于任意三角形都成立．于是得到余弦 定理．
06:37:52
动脑思考 探索新知
余弦定理 三角形任何一边的平方等于其它两边的平方和 减去这两边的长与它们的夹角的余弦乘积的2倍. 即 2 2 2 a b c 2bc cos A
b a c 2ac cos B
c a b 2ab cos C
第一章
三角公式及应用
1.2.1 余弦定理
授课班级：14普教 授课教师：郭清山 2016年11月6日
06:37:52
知识积累 复习巩固
1、正弦二倍角公式 sin2α= 2sinαcosα
2、余弦二倍角公式 cos2α-sin2α cos2α= 2cos2α-1 1-2sin2α 3、正切二倍角公式 tan2α=
约为12.12m.
D B
A
06:37:52
归纳总结 理论升华
余弦定理的内容是什么？
a 2 b2 c 2 2bc cos A b2 a 2 c 2 2ac cos B c 2 a 2 b2 2ab cos C
夜半偶句
余弦定理考夹角，两边平方和求好； 减去倍乘抠塞角，三边平方见分晓。
分析 这是已知三角形 ∠A=44°25′， 的三边，求其它元 素的问题，可以直 ∠B=101°32′， 接应用余弦定理变 ∠C=180°-∠A-∠B=34°3′. 形公式1.22． 查表或计算器可得

人教A版高中数学必修5《1.1.2余弦定理》课件 (共22张PPT)

人教A版高中数学必修5《1.1.2余弦定理》课件 (共22张PPT)

Ca
B
[几何法]
在锐角三角形ABC中，已知AB=c,AC=b和A,求a
C
a2 CD2 BD2
(bsin A)2(cbcos A)2
b
a b2sin2Ac2b2cos2A2bccos A
c
b2c22bccos A
A
D
B 同理有：b2 a2c22accos B
c2a2b22abcosC
同样，对于钝角三角形及直角三角形，上面三个
cos
B
a2
c2b2 2ac
327282 237
17
[小结]
（1）余弦定理适用于任何三角形 （2）余弦定理的作用：
a、已知三边，求三个角
b、已知两边及这两边的夹角，求第三边， 进而可求出其它两个角
c、判断三角形的形状
（3）由余弦定理可知：
A90 b2 c2 a2 0 A90 b2 c2 a2 0 A90 b2 c2 a2 0
练习：在三角形ABC中，已知a=7,b=8,cosC=
13 14
,
求最大角的余弦值
分析：求最大角的余弦值，最主要的是判断哪个角 是最大角。由大边对大角，已知两边可求出第三边, 找到最大角。
解：c2 a2 b2 2abcosC 72 82 2781143 9
c3
则有：b是最大边，那么B 是最大角
同理：
a 2 = b 2 + c2 -2 b cco sA
y
b 2 = a 2 + c2 -2 a cco sB
(bcosC,bsinC)
﹚
(0，0)
x
(a,0)
几何法
C
余弦定理作为勾股定理的 推广，考虑借助勾股定理来 b a 证明余弦定理。

必修五1.1.2余弦定理(共14张PPT)

必修五1.1.2余弦定理(共14张PPT)

余弦定理
a b c 2bc cos A
2 2 2
余弦定理推论
b c a cos A 2bc
2 2 2 B
2 2 2
c a b 2ab cosC
2 2 2
a c b cos B 2ac 2 2 2 a b c cosC 2ab
求角1322中在acbaabc?????abccbacos2222???baccabcos2222???cabbaccos2222???余弦定理bcacba2cos222???acbcab2cos222???abcbac2cos222???余弦定理推论bcacba2cos222???acbcab2cos222???abcbac2cos222???余弦定理推论适用范围
余弦定理（二）
学习目标
1、能够从余弦定理得到它的推论；
2、能够应用余弦定理及其推论解三角形； 3、学习解三角形的几种类型。
复习回顾
1、正弦定理： a b c 2R sin A sin B sin C
适用范围： 已知两角一边，解三角形。
2、余弦定理： 2 2 2 a b c 2bc cos A
延伸：在ABC中，a 2, b 2 , c 3 1， 求(1)角A；（2）角B、C。
思考？
我们发现在解三角形的过程中，求某一角有 时既可以用余弦定理，也可以用正弦定理， 两种方案各有什么利弊？
用余弦定理求角时，运算量较大，但角与余弦值是一 一对应的，无需讨论；而用正弦定理求角时，运算量 较少，但角与正弦值在 上不是一一对应，需讨 论解的情况。
2、在 ABC 中， b 3, c 3 3 , B
13,求最小角。
, 求a。

高中数学必修五 2.1余弦定理-课件

高中数学必修五 2.1余弦定理-课件

A≈44°
cosC＝
a2＋b2－c2 2ab ＝0.8071，
C≈36°
∴ B＝180°－(A＋C)≈100°.
第十二页，编辑于星期日：二十三点 五十二分。
2. ΔABC中，a=2，b=2 ，2 C=15°，解此三角形.
解：∵ c 2 a 2 b2 2ab cos C＝8－4 3
∴c＝ 6 2
1.2余弦定理
第一页，编辑于星期日：二十三点 五十二分。
问题提出
在三角形中,已知两边及其夹角,怎么求出此角的对边? 已知三条边,怎么求出它的三个角呢?
第二页，编辑于星期日：二十三点 五十二分。
分析理解
如图,根据向量的数量积,可以得到
a2 BC • BC
(AC AB) • (AC AB)
AC2 2AC • AB AB2 A
解.在△BCD中,BC=1,CD=1,∠BCD=135O.
因为 BD2 BC2 CD2 2BC • CD cos BCD 12 12 211cos135 2 2
所以 BD 1.8 在△ABD中,AB=1, BD 2 2 , AD 3 因为 cos DAB AB2 AD2 BD2
2AB • AD
第十页，编辑于星期日：二十三点 五十二分。
12 ( 3)2 (2 2) 21 3
0.1691 所以 DAB 80
第十一页，编辑于星期日：二十三点 五十二分。
1. 在ABC中，已知a＝7，b＝10， c＝6，求A、B和C.
解：∵
∴
∵
∴
cosA＝
b2＋c2－a2 2bc
＝0.725，
例4：如图,有两条直线AB和CD相交成80O角,交点是O.甲乙两 人同时从点O分别沿OA,OC方向出发,速度分别为4km/h和 4.5km/h.3时后两人相距多远(结果精确到0.1km)?

高中数学必修5优质课件：余弦定理

高中数学必修5优质课件：余弦定理
第八页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
[对点训练]
2．在△ABC，已知 a＝2 2，b＝2 3，C＝15°，解此三角形．
解：c2＝a2＋b2－2abcos C＝(2 2)2＋(2 3)2－2×2 2×2 3 ×cos(45°－30°)＝8－4 3＝( 6－ 2) 2 ∴c＝ 6－ 2. 法一：由余弦定理的推论得
第二十页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
2．在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若c2－2aa2b－b2
＞0，则△ABC( )
A．一定是锐角三角形
B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形
D．是锐角或直角三角形
解析：由c2－2aa2b－b2＞0 得－cos C＞0，
所以 cos C＜0，从而 C 为钝角，因此△ABC 一定是钝角
三角形．
答案：C
第二十一页，编辑于星期日：二十三点 三十九 分。
3．在△ABC 中，角 A，B，C 所对边的长分别为 a，b，c. 若 a＝2，B＝π6，c＝2 3，则 b＝________. 解 析 ： 由 余 弦 定 理 得 b2＝ a2＋ c2 － 2accos B＝ 4＋ 12 － 2×2×2 3× 23＝4，所以 b＝2. 答案：2
第十四页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
[对点训练] 3．已知：在△ABC 中，cos A＝35，a＝4，b＝3，则 c＝________. 解析：A 为 b，c 的夹角，由余弦定理得 a2＝b2＋c2－2bccos A， ∴16＝9＋c2－6×35c， 整理得 5c2－18c－35＝0. 解得 c＝5 或 c＝－75(舍)． 答案：5
[对点训练] 4．在△ABC 中，若 cos A＝ssiinn BC，试判断其形状． 解：由cos A＝ssiinn BC得cos A＝bc，即b2＋2cb2c－a2＝bc， ∴b2＋c2－a2＝2b2，即a2＋b2＝c2， 因此△ABC是以C为直角的直角三角形．
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

c2a2b22 acbo Cs
A
证明：ABACCB
b
c
A•B A B (A C C)• B (A C C)B
A•C A C 2 A•C C B•C BC Ba
B
∴ A B 2 = A C 2 + 2 A C C B c o s ( 1 8 0 0 - C ) + C B 2
∴ c 2=a 2+b 2-2 a b c o s C
5
证明 格式二：逆用公式 ababcos
证明： b2 + c 2 －2 b c ·cos A
2
2
= AC ＋ AB －2· AC ·AB ·cos A
2
2
= AC + AB －2· AC ·AB
C
B
2
=（ AC － AB ）
A
2
= BC
2
同理可证：
= BC
=a2
b2=a2＋ c2－ 2· bc· co Bs
A c
b
D
Ca
B
8
证明：在三角形ABC中，已知AB=c,AC=b和A, 作CD⊥AB，则CD=bsinA,BD=c-bcosA
b A
C
a 2 C D 2 B D 2
(b sinA )2 (c b co sA )2
a b 2 s in 2 A c 2 b 2 c o s 2 A 2 b c c o s A
c2=a2＋ b2－ 2· abcoCs
6
证明
解析法
y
证明：以CB所在的直线为x轴，过C点
垂直于CB的直线为y轴，建立如图所
示的坐标系，则A、B、C三点的坐标
分别为：
x
C (0, 0) B (a , 0) A(bcosC,bsinC)
A 2 B ( b cC o a s )2 ( b sC i n 0 )2
B a CB a C
B aC
c2 = a2+b2 c2 ＞ a2+b2 c2 ＜ a2+b2
勾股定理仍成立吗？ 3
联想 是寻找解题思路的最佳途径
A
c b
c=∣AB∣
B aC
c2=
AB= AC+ CB
=AB AB
AB AB= (AC+CB) (AC+CB)
算一算试试！ 4
证明
向量法
若 ABC为任意三角形，已知角C，BC=a,CA=b,求证：
如：已知b=4,c= ,C=60° 求边a.
14
剖析 剖 析 定 理
（3）已知a、b、c（三边），可
以求什么？
a2=b2+c2-2bccosA b2=a2+c2-2accosB
b2 c2 a2 coAs
2bc coBs a2c2b2
2ac
c2=a2+b2-2abcosC coCsa2b2c2
2ab
1
复习
直角三角形中的边角关系：
A
1、角的关系： A+B+C=180°
c Ba
b 2、边A+的B关=C系=9：0 ° a2+b2=c2
C 3、边ssiinn角BA关== 系——acbc ：==ccoossBA
2
看一看想一想
直角三角形中的边a、
b不变，角C进行变动
AAA AA AA
AA
ccccc cbc bbb bb c b c b
解 : 原 式 s i n 2 7 0 0 s i n 2 5 0 0 2 s i n 7 0 0 s i n 5 0 0 c o s 6 0 0
sin2 600 3
16
4
剖析 剖 析 定 理
问题3：余弦定理在解三角形中的作用
是什么？ （1）已知三边求三个 角；
（2）已知两边和它
cosA = b2 +c2 -a2 2bc
c
b 2 c2 2 b cco sA
D
B 同理有：b 2 a 2 c 2 2 a c c o sB
c 2 a 2 b 2 2 a b c o s C
当然，对于钝角三角形来说，证明 类似，课后 自己完成。
9
归纳 A
余弦定理
a2=b2+c2-2bc·cosA
c b b2=c2+a2-2ca·cosB
A 90 0a 2 b 2 c 2
A 9 0 0 a 2 b 2 c 2
P14例3
A 9 0 0a 2 b 2 c 2 P15练习2,3
15
剖析 剖 析 定 理
（4）能否把式子 a2b2c22bcco As 转化为角的关系式？
分析： 由 正 : 弦 a定 b理 c 2 R siA nsiB nsiC n
B a C c2=a2+b2-2ab·cosC 三角形任何一边的平方
你等于能其用他两文边字平方说的明和减吗去？
这两边与它们夹角的余弦的 积的两倍。
10
归纳 A
变一变乐在其中
a2=b2+c2-2bc·cosA
c b b2=c2+a2-2ca·cosB
B
aC
变形
c2=a2+b2-2ab·cosC
cosA= b2+c2 - a2 2bc
得:a2RsinA b2RsiB nc2RsiC n
代a入 2b2c22bcoAs并化:简得
s2 i A n s2 B i n s2 C i n 2 sB i sn C i c n A os
练 习 : 求 s i n 2 7 0 0 s i n 2 5 0 0 s i n 7 0 0 s i n 5 0 0 的 值 .
cosB= a2 +c2 -b2 2ac
cosC= a2 +b2 -c2 2ab
们的夹角，求第三 a2=b2+c2-2bccosA
边和其他两个角.
b2=a2+c2-2accosB
cosB= c2+a2 - b2 2ca
cosC= a2+b2 - c2 2ab
11
想一想：余弦定理在直角三角
形中是否仍然成立？
cosC=
a2+b2-பைடு நூலகம்2 2ab
C=90°
a2+b2=c2
cosA=
b2+c2-a2 2bc
cosB=
c2+a2-b2 2ca
cosA= —cb cos B= —c
12
b 2 c2 C o 2 a s cb C o a 2 s b 2 s2 i C n
a2b22ac bo Cs
∴ c 2=a 2+b 2-2 a b c o s C
7
C 证明
几何法
余弦定理作为勾股定理的
b
a
推广，考虑借助勾股定理
来证明余弦定理。
Ac
B
当角C为锐角时
A
b
c
C
aD
B
当角C为钝角时
剖析 剖 析 定 理
问题1：勾股定理与余弦定理有何关系？
勾股定理是余弦定理的特例，余弦 定理是勾股定理的推广.
问题2：公式的结构特征怎样？
（1）轮换对称，简洁优美;
（2）每个等式中有同一个三角形中的 四个元素，知三求一.（方程思想）
13
思考：
已知两边及一边的对角时， 我们知道可用正弦定理来解三 角形，想一想能不能用余弦定 理来解这个三角形？