上海市闵行区七宝中学2019-2020学年高一下学期期中数学试卷 (含解析)

2019-2020学年上海中学高一（下）期中数学试卷试题数：21.满分：01.（填空题.3分）已知点A（2.-1）在角α的终边上.则sinα=___ ．2.（填空题.3分）函数y=sin（πx+2）的最小正周期是___ ．3.（填空题.3分）设扇形半径为2cm.圆心角的弧度数为2.则扇形的面积为___ ．4.（填空题.3分）已知函数f（x）=sinx（x∈[0.π]）和函数g（x）= 12tanx的图象交于A.B.C三点.则△ABC的面积为___ ．5.（填空题.3分）在平面直角坐标系xOy中.角α与角β均以Ox为始边.它们的终边关于y轴对称.若sinα= 13.则cos（α-β）=___ ．6.（填空题.3分）已知sin（x- π4）= 35.则sin2x的值为 ___ ．7.（填空题.3分）设x.y∈（0.π）.且满足sin2x−cos2x+cos2xcos2y−sin2xsin2ysin(x+y)=1 .则x-y=___ ．8.（填空题.3分）我国古代数学家秦九韶在《数学九章》中记述了“三斜求积术”.用现代式子表示即为：在△ABC中.∠A.∠B.∠C所对的边长分别为a.b.c.则△ABC的面积S=√1 4[(ab)2−(a2+b2−c22)2]．根据此公式若acosB+（b+3c）cosA=0.且a2-b2-c2=2.则△ABC的面积为___ ．9.（填空题.3分）若函数f(x)=2sin(2x+π6)+a−1(a∈R)在区间[0，π2]上有两个不同的零点x1.x2.则x1+x2-a的取值范围是___ ．10.（填空题.3分）已知函数f(α)=m−sinαcosα在(0，π2)上单调递减.则实数m的取值范围是___ ．11.（单选题.3分）已知cosα=k.k∈R.α∈（π2.π）.则sin（π+α）=（）A.- √1−k2B. √1−k2C.± √1−k2D.-k12.（单选题.3分）对任意的锐角α.β.下列不等关系中正确的是（）A.sin（α+β）＞sinα+sinβB.sin（α+β）＞cosα+cosβC.cos（α+β）＜sinα+sinβD.cos（α+β）＜cosα+cosβ13.（单选题.3分）设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A.ω.φ是常数.A＞0.ω＞0.|φ|＜π2）.为了得到f（x）的图象.则只需将g（x）=cos2x的图象（）A.向右平移π12个单位B.向右平移π6个单位C.向左平移π12个单位D.向左平移π6个单位14.（单选题.3分）若函数f（x）=sin（2x- π3）与 g（x）=cosx-sinx都在区间（a.b）（0＜a ＜b＜π）上单调递减.则b-a的最大值为（）A. π6B. π3C. π2D. 5π1215.（单选题.3分）已知α.β为锐角且α+β＞π2，x∈R，f(x)=(cosαsinβ)|x|+(cosβsinα)|x|.下列说法正确的是（）A.f（x）在定义域上为递增函数B.f（x）在定义域上为递减函数C.f（x）在（-∞.0]上为增函数.在（0.+∞）上为减函数D.f（x）在（-∞.0]上为减函数.在（0.+∞）上为增函数16.（单选题.3分）在△ABC中.a.b.c分别为角A.B.C的对边的长.若a2+b2=2020c2.则2tanA•tanBtanC(tanA+tanB)的值为（）A.1B.2018C.2019D.202017.（问答题.0分）化简：f(α)=sin(−α)cos(π+α)cos(π2−α)cos(π−α)sin(2π+α)tan(π+α)．18.（问答题.0分）已知函数f(x)=√3cos2x−sin2x．（1）用五点法作出f（x）在一个周期内的图象.并写出f（x）的值域.最小正周期.对称轴方程（只需写出答案即可）；（2）将f（x）的图象向左平移一个π4单位得到函数y=g（x）的图象.求y=g（x）的单调递增区间．19.（问答题.0分）如图.矩形ABCD中.E.F两点分别在边AB.BC上.∠DEF=90°.设∠ADE=α.∠EDF=β．（1）试用该图中提供的信息证明两角和的余弦公式；（2）若x∈(0，π4)，y∈(π4，3π4) .且sin（3π4+x）= 513.cos（π4-y）= 45.求cos（x-y）的值．20.（问答题.0分）某公司要在一条笔直的道路边安装路灯.要求灯柱AB与地面垂直.灯杆BC 与灯柱AB所在的平面与道路垂直.路灯C采用锥形灯罩.射出的光线与平面ABC的部分截面如图中阴影部分所示．已知∠ABC= 23π.∠ACD= π3.路宽AD=24米．设∠BAC=θ (π12≤θ≤π6)．（1）求灯柱AB的高h（用θ表示）；（2）此公司应该如何设置θ的值才能使制造路灯灯柱AB与灯杆BC所用材料的总长度最小？最小值为多少？（结果精确到0.01米）21.（问答题.0分）设函数f（x）=5cosθsinx-5sin（x-θ）+（4tanθ-3）sinx-5sinθ为偶函数．（1）求tanθ的值；（2）若f（x）的最小值为-6.求f（x）的最大值及此时x的取值；（3）在（2）的条件下.设函数g(x)=λf(ωx)−f(ωx+π2) .其中λ＞0.ω＞0．已知y=g（x）在x=π6处取得最小值并且点(2π3，3−3λ)是其图象的一个对称中心.试求λ+ω的最小值．2019-2020学年上海中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：21.满分：01.（填空题.3分）已知点A（2.-1）在角α的终边上.则sinα=___ ．【正确答案】：[1]- √55【解析】：根据三角函数的坐标法定义.直接计算即可．【解答】：解：设O为坐标原点.因为A（2.-1）．由已知得|OA|=√22+(−1)2=√5 .∴ sinα=−1|OA|=−√55．故答案为：−√55．【点评】：本题考查三角函数的坐标法定义.以及学生的运算能力.属于基础题．2.（填空题.3分）函数y=sin（πx+2）的最小正周期是___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：由题意利用正弦函数的周期性.得出结论．【解答】：解：函数y=sin（πx+2）的最小正周期是2ππ=2.故答案为：2．【点评】：本题主要考查正弦函数的周期性.属于基础题．3.（填空题.3分）设扇形半径为2cm.圆心角的弧度数为2.则扇形的面积为___ ．【正确答案】：[1]4cm2【解析】：由已知利用扇形的面积公式即可计算得解．【解答】：解：由已知可得：半径r为2cm.圆心角α的弧度数为2.则扇形的面积S= 12 r2α= 12×22×2 =4cm2．故答案为：4cm2．【点评】：本题主要考查了扇形的面积公式的应用.属于基础题．4.（填空题.3分）已知函数f（x）=sinx（x∈[0.π]）和函数g（x）= 12tanx的图象交于A.B.C 三点.则△ABC的面积为___ ．【正确答案】：[1] √3π4【解析】：画出两个函数的图象.求出三个点的坐标.然后求解三角形面积．【解答】：解：函数f（x）=sinx（x∈[0.π]）和函数g（x）= 12tanx的图象.可得A（0.0）.B（π.0）.令sinx= 12 tanx.解得C（π3. √32）.所以S△ABC= 12× π×√32= √3π4．故答案为：√3π4．【点评】：本题考查三角函数的图象以及三角形的面积的求法.考查转化思想以及计算能力．5.（填空题.3分）在平面直角坐标系xOy中.角α与角β均以Ox为始边.它们的终边关于y轴对称.若sinα= 13.则cos（α-β）=___ ．【正确答案】：[1]- 79【解析】：方法一：根据教的对称得到sinα=sinβ= 13.cosα=-cosβ.以及两角差的余弦公式即可求出方法二：分α在第一象限.或第二象限.根据同角的三角函数的关系以及两角差的余弦公式即可求出【解答】：解：方法一：∵角α与角β均以Ox为始边.它们的终边关于y轴对称.∴sinα=sinβ= 13.cosα=-cosβ.∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=-cos2α+sin2α=2sin2α-1= 29 -1=- 79方法二：∵sinα= 13.当α在第一象限时.cosα=2√23. ∵α.β角的终边关于y 轴对称.∴β在第二象限时.sinβ=sinα= 13.cosβ=-cosα=- 2√23. ∴cos （α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=- 2√23 × 2√23 + 13 × 13 =- 79：∵sinα= 13 .当α在第二象限时.cosα=-2√23. ∵α.β角的终边关于y 轴对称.∴β在第一象限时.sinβ=sinα= 13 .cosβ=-cosα= 2√23. ∴cos （α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=- 2√23 × 2√23 + 13 × 13 =- 79综上所述cos （α-β）=- 79 ．方法三：∵α.β角的终边关于y 轴对称. ∴α+β=π+2kπ.k∈Z .∴cos （α-β）=cos （α-（π+2kπ-α））=cos （2α-π）=-cos2α=2sin²α-1=2×（ 13 ）²-1=- 79． 故答案为：- 79 ．【点评】：本题考查了两角差的余弦公式.以及同角的三角函数的关系.需要分类讨论.属于基础题6.（填空题.3分）已知sin （x- π4 ）= 35 .则sin2x 的值为 ___ ． 【正确答案】：[1] 725【解析】：利用二倍角的正弦可求得 sin 2(x −π4) = 1−sin2x 2 = 925.从而可得sin2x 的值．【解答】：解：∵sin （x- π4 ）= 35. ∴ sin 2(x −π4) = 1−cos[2(x−π4)]2 = 1−sin2x 2 = 925. ∴1-sin2x= 1825. ∴sin2x= 725 ． 故答案为： 725 ．【点评】：本题考查二倍角的正弦.考查诱导公式的应用.考查转化思想与运算能力.属于中档题．7.（填空题.3分）设x.y∈（0.π）.且满足sin2x−cos2x+cos2xcos2y−sin2xsin2ysin(x+y)=1 .则x-y=___ ．【正确答案】：[1] π2【解析】：结合已知条件.利用和差角公式.平方关系化简可得sin（x-y）=1.进而得到答案．【解答】：解：∵x.y∈（0.π）.且-π＜x-y＜π.∴ sin2x−cos2x+cos2xcos2y−sin2xsin2ysin(x+y)=1⇒sin2x(1−sin2y)+cos2x(cos2y−1)sin(x+y)=1⇒sin2xcos2y−cos2xsin2ysin(x+y)=(sinxcosy+cosxsiny)(sinxcosy−cosxsiny)sin(x+y)=1⇒sin(x+y)sin(x−y)sin(x+y)=sin(x−y)=1⇒x−y=π2（由于-π＜x-y＜π）.故答案为：π2．【点评】：本题主要考查三角函数的化简求值.考查和差角公式以及同角三角函数基本关系的运用.考查运算能力.属于基础题．8.（填空题.3分）我国古代数学家秦九韶在《数学九章》中记述了“三斜求积术”.用现代式子表示即为：在△ABC中.∠A.∠B.∠C所对的边长分别为a.b.c.则△ABC的面积S=√1 4[(ab)2−(a2+b2−c22)2]．根据此公式若acosB+（b+3c）cosA=0.且a2-b2-c2=2.则△ABC的面积为___ ．【正确答案】：[1] √2【解析】：直接利用三角函数关系式的恒等变换和余弦定理的应用求出结果．【解答】：解：由于acosB+（b+3c）cosA=0.整理得：acosB+bcosA=-3ccosA.故是sinAcosB+cosAsinB=-3sinCcosA.即sin（A+B）=sinC=-3sinCcosA.故：cosA=−13．由余弦定理得：b2+c2-a2=2bccosA=-2.整理得bc=3.所以：S=√14[(bc)2−(b2+c2−a22)2]=√2．故答案为：√2【点评】：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换.余弦定理的应用.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于基础题型．9.（填空题.3分）若函数f(x)=2sin(2x+π6)+a−1(a∈R)在区间[0，π2]上有两个不同的零点x1.x2.则x1+x2-a的取值范围是___ ．【正确答案】：[1] [π3，π3+1)【解析】：由题意将问题转化为y=2sin(2x+π6)与y=1-a在区间[0，π2]上有两个不同的交点的问题.作出两个函数的图象.可求解．【解答】：解：若函数f(x)=2sin(2x+π6)+a−1(a∈R)在区间[0，π2]上有两个不同的零点x1.x2.即2sin(2x+π6)=1−a在区间[0，π2]上有两个不同的零点x1.x2.也就是y=2sin(2x+π6)与y=1-a区间[0，π2]上有两个不同的交点.横坐标分别为x1.x2.数形结合可知. x1+x22=π6，1−a∈[1，2) .∴ x1+x2=π3，−a∈[0，1)∴ x1+x2−a∈[π3，π3+1)．故答案为：[π3，π3+1)．【点评】：本题考查三角函数的图象与性质.以及利用数形结合思想解决问题的能力.同时考查了学生的运算能力.属于中档题．10.（填空题.3分）已知函数f(α)=m−sinαcosα在(0，π2)上单调递减.则实数m的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（-∞.1]【解析】：根据题意.任取0＜α＜β＜π2.由函数单调性的定义分析可得f（α）-f（β）=m(cosβ−cosα)−sin(α−β)cosαcosβ＞0 .据此变形可得m＜1+tanα2tanβ2tanα2+tanβ2.分析1+tanα2tanβ2tanα2+tanβ2的最小值.即可得答案．【解答】：解：根据题意.任取0＜α＜β＜π2.若函数f(α)=m−sinαcosα在(0，π2)上单调递减.则有f（α）-f（β）＞0.即f（α）-f（β）=m(cosβ−cosα)−sin(α−β)cosαcosβ＞0则有m•2sinα+β2•sinα−β2＞2sinα−β2cosα−β2可得m＜cosα−β2sinα+β2=cosα2cosβ2+sinα2sinβ2sinα2cosβ2+cosα2sinβ2=1+tanα2tanβ2tanα2+tanβ2.又由0＜α＜β＜π2 .则0＜α2＜β2＜π4，0＜tanα2＜tanβ2＜1从而1+tanα2tanβ2−(tanα2+tanβ2)=(1−tanα2)(1−tanβ2)＞0 .变形可得1+tanα2tanβ2tanα2+tanβ2＞1 .必有m≤1.即m的取值范围为（-∞.1]；故答案为（-∞.1]．【点评】：本题函数的单调性的性质.涉及三角函数的恒等变形以及和差公式的应用.属于基础题11.（单选题.3分）已知cosα=k.k∈R.α∈（π2.π）.则sin（π+α）=（）A.- √1−k2B. √1−k2C.± √1−k2D.-k【正确答案】：A【解析】：由已知及同角三角函数基本关系的运用可求sinα.从而由诱导公式即可得解．【解答】：解：∵cosα=k.k∈R.α∈（π2.π）.∴sinα= √1−cos2α = √1−k2 .∴sin（π+α）=-sinα=- √1−k2．故选：A．【点评】：本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用.运用诱导公式化简求值.属于基本知识的考查．12.（单选题.3分）对任意的锐角α.β.下列不等关系中正确的是（）A.sin（α+β）＞sinα+sinβB.sin（α+β）＞cosα+cosβC.cos（α+β）＜sinα+sinβD.cos（α+β）＜cosα+cosβ【正确答案】：D【解析】：对于A.B中的α.β可以分别令为30°.60°验证即可.对于C中的α.β可以令他们都等于15°.验证即可.对于D我们可以用放缩法给出证明cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ＜cosα×1+cosβ×1=cosα+cosβ【解答】：解：对于AB中的α.β可以分别令为30°.60°则知道A.B均不成立对于C中的α.β可以令他们都等于15°.则知道C不成立cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ＜cosα×1+cosβ×1=cosα+cosβ故选：D．【点评】：本题考查了两角和与差的正余弦公式.同时也考查了放缩法对命题的证明.属于基础题．13.（单选题.3分）设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A.ω.φ是常数.A＞0.ω＞0.|φ|＜π）.为了2得到f（x）的图象.则只需将g（x）=cos2x的图象（）个单位A.向右平移π12个单位B.向右平移π6C.向左平移π个单位12个单位D.向左平移π6【正确答案】：A【解析】：由函数的图象的顶点坐标求出A.由周期求出ω.由五点法作图求出φ的值.可得f（x）的解析式.再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律.得出结论．【解答】：解：利用函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A.ω.φ是常数.A＞0.ω＞0.|φ|＜π2）的图象.可得A=1. 14•2πω= π3- π12.∴ω=2．再根据五点法作图.可得2× π12+φ= π2.∴φ= π3.故f（x）=sin（2x+ π3）．将g（x）=cos2x=sin（2x+ π2）的图象向右平移π12个单位.可得y=sin（2x- π6 + π2）=sin（2x+ π3）=f（x）的图象.故选：A．【点评】：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式.由函数的图象的顶点坐标求出A.由周期求出ω.由五点法作图求出φ的值.函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律.属于基础题．14.（单选题.3分）若函数f（x）=sin（2x- π3）与 g（x）=cosx-sinx都在区间（a.b）（0＜a ＜b＜π）上单调递减.则b-a的最大值为（）A. π6B. π3C. π2D. 5π12【正确答案】：B【解析】：求出函数f（x）、g（x）在（0.π）上的单调递减区间.从而求得b-a的最大值．【解答】：解：函数f（x）=sin（2x- π3）在（0. 5π12）上单调递增.在（5π12 . 11π12）上单调递减.在（11π12.π）上单调递减；函数g（x）=cosx-sinx= √2 cos（x+ π4）在（0. 3π4）上单调递减.在（3π4.π）上单调递增；∴f（x）、g（x）都在区间（5π12 . 3π4）上单调递减.∴b-a的最大值为3π4 - 5π12= π3．故选：B．【点评】：本题考查了三角函数在某一区间上的单调性问题.是中档题．15.（单选题.3分）已知α.β为锐角且α+β＞π2，x∈R，f(x)=(cosαsinβ)|x|+(cosβsinα)|x|.下列说法正确的是（）A.f（x）在定义域上为递增函数B.f（x）在定义域上为递减函数C.f（x）在（-∞.0]上为增函数.在（0.+∞）上为减函数D.f（x）在（-∞.0]上为减函数.在（0.+∞）上为增函数【正确答案】：C【解析】：先利用α.β为锐角且α+β＞π2结合三角函数的单调性得出cosαsinβ. cosβsinα的取值范围.再对x的值分类讨论.结合指数函数的单调性即可得出答案．【解答】：解：∵α.β为锐角且α+β＞π2 .∴ π2＞α＞π2-β＞0.∴cosα＜cos（π2 -β）.sinα＞sin（π2-β）.即0＜cosα＜sinβ.sinα＞cosβ＞0.∴0＜cosαsinβ＜1.0＜cosβsinα＜1．∴在（-∞.0]上. f(x)=(cosαsinβ)−x+(cosβsinα)−x为增函数.在（0.+∞）上. f(x)=(cosαsinβ)x+(cosβsinα)x为减函数．故选：C．【点评】：本题主要考查了指数函数的单调性与特殊点.考查了三角函数的性质.属于基础题．16.（单选题.3分）在△ABC中.a.b.c分别为角A.B.C的对边的长.若a2+b2=2020c2.则2tanA•tanBtanC(tanA+tanB)的值为（）A.1B.2018C.2019D.2020【正确答案】：C【解析】：直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理余弦定理的应用求出结果．【解答】：解：由于△ABC中.a.b.c分别为角A.B.C的对边的长.若a2+b2=2020c2.所以a2+b2-c2=2019c2.则：2tanA•tanBtanC(tanA+tanB)=2sinAcosAsinBcosBsinCcosC(sinAcosA+sinBcosB).= 2sinAsinBcosCsinC(sinAcosB+cosAsinB)=2sinAsinBcosCsin2C.= 2abcosCc2=a2+b2−c2c2=2019故选：C．【点评】：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换.正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于基础题型．17.（问答题.0分）化简：f(α)=sin(−α)cos(π+α)cos(π2−α)cos(π−α)sin(2π+α)tan(π+α)．【正确答案】：【解析】：利用诱导公式化简要求的式子.再利用同角三角函数的基本关系化简到最简形式．【解答】：解：f(α)=sin(−α)cos(π+α)cos(π2−α)cos(π−α)sin(2π+α)tan(π+α)= (−sinα)(−cosα)sinα(−cosα)sinαtanα=−cosα．【点评】：本题考查同角三角函数的基本关系.诱导公式的应用.要特别注意公式中的符号．18.（问答题.0分）已知函数f(x)=√3cos2x−sin2x．（1）用五点法作出f（x）在一个周期内的图象.并写出f（x）的值域.最小正周期.对称轴方程（只需写出答案即可）；（2）将f（x）的图象向左平移一个π4单位得到函数y=g（x）的图象.求y=g（x）的单调递增区间．【正确答案】：【解析】：（1）用五点作图法即可作出函数在一个周期上的图象.利用余弦函数的性质即可求解其值域.最小正周期.对称轴方程．（2）由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律和正弦函数的图象和性质即可求解y=g （x）的单调递增区间．【解答】：解：（1）f(x)=√3cos2x−sin2x =2cos（2x+ π6）.列表如下：2x+ π6π2π3π22πx - π12π65π122π311π12y 2 -2 2 作图：可得：f（x）的值域为[-2.2].最小正周期为π.对称轴方程为x=kπ2−π12，k∈Z．（2）将f（x）=2cos（2x+ π6）的图象向左平移一个π4单位得到函数y=g（x）=2cos（2x+ π2+ π6）=-2sin（2x+ π6）的图象.令2kπ+ π2≤2x+ π6≤2kπ+ 3π2.k∈Z.解得kπ+ π6≤x≤kπ+ 2π3.k∈Z.可得函数的单调递增区间为：[kπ+π6，kπ+2π3]，k∈Z．【点评】：本题主要考查用五点法作函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期上的图象.y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律.考查正弦函数的性质.属于基础题．19.（问答题.0分）如图.矩形ABCD中.E.F两点分别在边AB.BC上.∠DEF=90°.设∠ADE=α.∠EDF=β．（1）试用该图中提供的信息证明两角和的余弦公式；（2）若x∈(0，π4)，y∈(π4，3π4) .且sin（3π4+x）= 513.cos（π4-y）= 45.求cos（x-y）的值．【正确答案】：【解析】：（1）根据题意利用直角三角形的边角关系.即可证明cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ；（2）利用三角恒等变换化简求值即可．【解答】：解：（1）由已知∠ADE=∠BEF=α.所以cos（α+β）=cos∠DFC= CFDF = BC−BFDF= ADDE• DEDF- BFEF• EFDF=cosαcosβ-sinαsinβ；（2）由已知3π4+x∈(3π4，π)，π4−y∈(−π2，0) .从而cos(3π4+x)=−√1−sin2(3π4+x)=−1213.sin(π4−y)=−√1−cos2(π4−y)=−35.所以cos(x−y)=−cos(x−y+π)=−cos[(3π4+x)+(π4−y)]= sin(3π4+x)sin(π4−y)−cos(3π4+x)cos(π4−y)=513•(−35)−(−1213)•45=3365．【点评】：本题考查了直角三角形边角关系应用问题.也考查了三角函数化简求值问题.是中档题．20.（问答题.0分）某公司要在一条笔直的道路边安装路灯.要求灯柱AB与地面垂直.灯杆BC 与灯柱AB所在的平面与道路垂直.路灯C采用锥形灯罩.射出的光线与平面ABC的部分截面如图中阴影部分所示．已知∠ABC= 23π.∠ACD= π3.路宽AD=24米．设∠BAC=θ (π12≤θ≤π6)．（1）求灯柱AB的高h（用θ表示）；（2）此公司应该如何设置θ的值才能使制造路灯灯柱AB与灯杆BC所用材料的总长度最小？最小值为多少？（结果精确到0.01米）【正确答案】：【解析】：（1）在△ACD中与在△ABC中.分别利用正弦定理即可得出；（2）△ABC中.利用正弦定理可得：BC.再利用和差公式即可得出．【解答】：解：（1）在△ACD中. ∠CDA=θ+π6.由ADsin∠ACD =ACsin∠CDA.得AC=AD•sin∠CDAsin∠ACD=16√3sin(θ+π6) .在△ABC中. ∠ACB=π3−θ .由ABsin∠ACB =ACsin∠ABC.得ℎ=AC•sin∠ACBsin∠ABC=32sin(θ+π6)sin(π3−θ)(π12≤θ≤π6)．（2）△ABC中.由BCsin∠BAC =ACsin∠ABC.得BC=AC•sin∠BACsin∠ABC=32sin(θ+π6)sinθ .∴ AB+BC=32sin(θ+π6)sin(π3−θ)+32sin(θ+π6)sinθ = 16sin2θ+8√3 .∵ π12≤θ≤π6.∴ π6≤2θ≤π3.∴当θ=π12时.AB+BC取得最小值8+8√3≈21.86．故制造路灯灯柱AB与灯杆BC所用材料的总长度最小.最小值约为21.86米．【点评】：本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式、三角函数求值.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．21.（问答题.0分）设函数f（x）=5cosθsinx-5sin（x-θ）+（4tanθ-3）sinx-5sinθ为偶函数．（1）求tanθ的值；（2）若f（x）的最小值为-6.求f（x）的最大值及此时x的取值；（3）在（2）的条件下.设函数g(x)=λf(ωx)−f(ωx+π2) .其中λ＞0.ω＞0．已知y=g（x）在x=π6处取得最小值并且点(2π3，3−3λ)是其图象的一个对称中心.试求λ+ω的最小值．【正确答案】：【解析】：（1）利用三角函数关系式的恒等变换和函数的性质的应用求出结果．（2）利用函数的关系式的变换和三角函数的性质的应用求出结果．（3）利用分类讨论思想的应用和关系式的变换的应用求出参数的值．【解答】：解：（1）f（x）=5cosxsinθ+（4tanθ-3）sinx-5sinθ.f（x）是偶函数. ∴（4ta nθ-3）sinx=0对一切x∈R恒成立.∴ tanθ=34（2）f（x）=5sinθ（cosx-1）.其最小值为-6.此时sinθ=35，cosx=−1 .∴f（x）=3（cosx-1）.从而f（x）的最大值为0.此时x的取值为x=2kπ.k∈Z；（3）g(x)=λf(ωx)−f(ωx+π2)=3λcosωx−3λ−3cos(ωx+π2)+3=3λcosωx-3λ+3sinωx+3由g（x）在x=π6处取最小值.知g（x）的图象关于x=π6对称.有g(−π3)=g(2π3)=3−3λ故3λcos(−ωπ3)+3sin(−ωπ3)=0 .且3λcos2ωπ3+3sin2ωπ3=0 .从而λ=tanωπ3=−tan2ωπ3=tan(kπ−2ωπ3) .则ωπ3=kπ−2ωπ3.即ω=k（k∈Z）又ω＞0.则ω是正整数.∵λ＞0.ω是正整数.∴ ω=3l−2(l∈N∗)，λ=√3 .当ω=1时. g(x)=3√3cosx+3sinx+3−3√3显然.g（x）在x=π6处有最大值.而不是最小值.矛盾．当ω=4时. g(x)=3√3cos4x+3sin4x+3−3√3 .显然.g（x）在x=π6处有最大值.而不是最小值.矛盾．当ω=7时. g(x)=3√3cos7x+3sin7x+3−3√3 .显然.g（x）g（x）在x=π6处有最小值.且y=g（x）的图象关于点(2π3，3−3√3)中心对称.∴λ+ω的最小值为√3+7．【点评】：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换.正弦型函数的性质的应用.分类讨论思想的应用.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于基础题型．。

2018-2019学年上海市七宝中学高一下学期期中数学试题一、单选题 1．“22x ππ⎡⎥∈-⎤⎢⎣⎦，”是“()sin arcsin x x =”的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分条件又非必要条件【答案】B【解析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可． 【详解】arcsin y x =的定义域为[1-，1]， sin(arcsin )[1x x x ∴=⇔∈-，1]，[2x π∈-，]2π推不出[1x ∈-，1]，[1x ∈-，1][2x π⇒∈-，]2π，∴ “[2x π∈-，]2π是“sin(arcsin)x =”的必要非充分条件．故选：B ． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查反三角函数，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．2．将函数πsin 12y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上的点π,4P t ⎛⎫⎪⎝⎭向左平移(0)s s >个单位,得到点P '，若P '位于函数sin2y x =的图象上，则A ．12t s =，的最小值为π6B ．2t s =的最小值为π6C ．12t s =，的最小值为π12D ．2t s=的最小值为π12 【答案】A 【解析】【详解】 由题意得ππ1sin 4122t ⎛⎫=-=⎪⎝⎭,排除B,D;平移后π1,42P s ⎛⎫- ⎪⎝⎭',而P '位于函数sin2y x =的图象上,所以1πsin2cos224s s ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭,而0s >,则s 的最小值为π6,排除C.故选A.3．若方程212cos sin 0x x a --+=有实数解，则实数a 的取值范围是（ ）A.98⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦， B.928⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，C.908⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D.918⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 【答案】B【解析】把方程化为22cos sin 1a x x =+-，利用三角函数即可求出a 的取值范围． 【详解】方程212cos sin 0x x a --+=可化为22cos sin 1a x x =+-，则22192sin sin 12(sin )48a x x x =-++=--+，由sin [1x ∈-，1]，∴21(sin )[04x -∈，25]16， 2192(sin )[248x ∴--+∈-，9]8，即实数a 的取值范围是[2-，9]8．故选：B ． 【点睛】本题主要考查了三角函数的性质与应用问题，是基础题．4．如图，在△ABC 中，BC=，a AC=b ，AB=c ，O 是△ABC 的外心，OD ⊥BC 于D ，OE ⊥AC 于E ，OF ⊥AB 于F ，则OD:OE:OF 等于（ ）A.::a b cB.cos :cos :cos A B CC.sin :sin :sin A B CD.111::a b c【答案】B【解析】作出ABC ∆的外接圆，连接OA 、OB 、OC ，由垂径定理和圆周角定理可得12B AOC AOE ∠=∠=∠，同理可知A BOD ∠=∠、C AOF ∠=∠，若设O 的半径为R ，可用R 分别表示出OD 、OE 、OF ，进而可得到它们的比例关系． 【详解】如图，连接OA 、OB 、OC ；22BOC BAC BOD ∠=∠=∠， BAC BOD ∴∠=∠；同理可得：BOF BCA ∠=∠，AOE ABC ∠=∠； 设O 的半径为R ，则：cos cos OD R BOD R A =∠=∠， cos cos OE R AOE R B =∠=∠， cos cos OF R BOF R C =∠=∠，故::cos :cos :cos OD OE OF A B C =∠∠∠， 故选：B ．【点睛】此题主要考查了三角形的外接圆、圆周角定理及垂径定理的综合应用，解题的关键是能够作出已知三角形的外接圆，难度中等．二、填空题5．函数()12sin 4y x =-的最小正周期是________. 【答案】2π 【解析】根据三角函数的周期公式求解即可. 【详解】函数12sin(4)y x =-，所以函数()f x 的周期22||42T πππω===. 故答案为：2π． 【点睛】本题主要考查三角函数周期的求法，是基本知识的考查． 6．函数cos 2y x =的对称轴方程是________.【答案】,2k x k Z π=∈ 【解析】根据余弦函数cos y x =的对称轴方程x k π=，k Z ∈，运用整体法可得cos 2y x =的对称轴方程．【详解】 cos2y x =，令2x k =π，k Z ∈，则,2k x k Z π=∈， cos2y x ∴=的对称轴方程为：,2k x k Z π=∈．故答案为：,2k x k Z π=∈． 【点睛】本题考查了余弦型函数图象的对称轴的求法，考查了整体思想，属基础题．7．在平面直角坐标系中，已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线3y x =上，则sin2θ=_______. 【答案】35【解析】利用任意角的三角函数的定义求得tan θ，再利用同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，求得sin 2θ的值. 【详解】角θ的顶点在平面直角坐标系xOy 原点O ，始边为x 轴正半轴，终边在直线3y x =上，tan 3θ∴=2222sin cos 2tan 63sin 21105sin cos tan θθθθθθθ∴====++，故答案为：35． 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，属于基础题．8．若锐角αβ、满足()35cos cos 513ααβ=+=-，，则cos β=______. 【答案】3365【解析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin()αβ+，sin α的值，利用两角差的余弦公式即可计算得解． 【详解】αQ 、β为锐角，(0,)αβπ∴+∈，5cos()13αβ+=-，3cos 5α=，12sin()13αβ∴+==，4sin 5α=，5312433cos cos[()]cos()cos sin()sin ()13513565βαβααβααβα∴=+-=+++=-⨯+⨯=． 故答案为：3365． 【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题． 9．函数2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调递减区间为________. 【答案】511,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【解析】由题意利用正弦函数的单调性，求得该函数的单调减区间． 【详解】对于函数2sin(2)3y x π=-，令3222232k x k πππππ+-+剟，k Z ∈, 求得5111212k x k ππππ++剟， 可得它的单调递减区间为5[12k ππ+，11]12k ππ+，k Z ∈， 故答案为：5[12k ππ+，11]12k ππ+，k Z ∈． 【点睛】本题主要考查正弦函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．10．已知2sin 5x =-3()2x ππ<<，则x =________（用反正弦表示） 【答案】2arcsin 5π+【解析】【详解】 由于2arcsin5表示[]22ππ-，上正弦值等于25的一个锐角，由2sin 5x =- 3()2x ππ<<，则2arcsin 5x π=+，故答案为2arcsin 5π+.点睛：本题考查反三角函数的运用，解题的关键理解反三角函数的定义，用正确的形式表示出符号条件的角，本题重点是理解反三角函数定义，难点是表示出符合条件的角.11．方程sin x x _______.【答案】7212x k ππ=+或132,12x k k Z ππ=+∈【解析】利用三角恒等变换化方程为sin()32x π-=，求出方程的解即可．【详解】方程sin x x =12(sin )2x x ∴=sin()3x π∴-=， 解得234x k πππ-=+或3234x k πππ-=+，k Z ∈； 即7212x k ππ=+或132,12x k k Z ππ=+∈ 故答案为：7212x k ππ=+或132,12x k k Z ππ=+∈ 【点睛】本题考查了三角函数的化简与三角方程的应用问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，是基础题．12．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，且224S (a b)c =+-，则cosC =______． 【答案】0【解析】由三角形面积公式和余弦定理可将224S (a b)c =+-化为2absinC 2abcosC 2ab =+，进而可求出结果.【详解】因为1S ab 2sinC =，余弦定理222c a b 2abcosC =+-，又224S (a b)c =+-，所以有2absinC 2abcosC 2ab =+，即sinC cosC 1-=C 14π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 因此C 244k πππ-=+或()3C 2k Z 44k πππ-=+∈，所以C 22k ππ=+或()C 2k Z k ππ=+∈，因为C 三角形内角，所以C 2π=，故cosC 0=.故答案为0 【点睛】本题主要考查解三角形，熟记余弦定理和三角形面积公式即可求出结果，属于常考题型. 13．若将函数()cos()8f x x πω=-（0>ω）的图像向左平移12π个单位后，所得图像对应的函数为偶函数，则ω的最小值是________ 【答案】32【解析】由三角函数图象的平移变换得：g()cos()128x x ωππω=+-，因为g()x 为偶函数，所以=,128k k Z ωπππ-∈，由(0)>ω，所以ω的最小值为32，得解．【详解】解答：解：将函数()cos()(0)8f x x πωω=->的图象向左平移12π个单位后，所得图象对应的函数为g()cos ()+cos(+),128128x x x ππωππωω⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦因为g()x 为偶函数， 所以3=,12,1282k k Z k k Z ωπππω-∈∴=+∈， 由0>ω， 所以ω的最小值为32， 故答案为：32． 【点睛】本题考查了三角函数图象的平移变换及函数的奇偶性，属中档题．14．已知函数()()()()()sin 2cos 2sin 2cos 222x x x x f x ππππ+-=+，对任意x R ∈，都有不等式()()()12f x f x f x ≤≤恒成立，则21x x -的最小值为_________. 【答案】38【解析】先化简函数的解析式，再作出函数一个周期的图象，由三角函数的性质，确定21||x x -的最小值为相邻最小值与最大值处横坐标差的绝对值，即可得解．【详解】由22cos 2()cos 22cos 2sin x sin x xf x x sin x x ππππππ≥⎧=⎨<⎩，所以函数在一个周期的图象如图所示，因为对任意x ∈R ，都有不等式12()()()f x f x f x 剟恒成立， 即当1x x =时，函数()y f x =取最小值，当2x x =时，函数()y f x =取最大值， 则21||x x -的最小值为513848-=. 故答案为：38．【点睛】本题考查考查三角函数的图象和性质，确定21||x x -的最小值为相邻最小值与最大值处横坐标差的绝对值是关键，属于中档题． 15．已知函数()()()1sin 20192019x xx f x x R π-=∈+，下别列命题: ①函数()f x 是奇函数； ②函数()f x 在区间[]22ππ-，上共有13个零点； ③函数()f x 在区间()01，上单调递增；④函数()f x 的图像是轴对称图像。

七宝中学高一下期中数学试卷，‘中正确的是①了⑴的一个周期为-2";②"的图像关于”-苔对称;、填空题若cosa 二一吏,贝ij cos2a2 1. 2. 已知 Sillx = G、 ,则COSZ =已知｛a,J 是等比数列，首项为3,公比为!，则前4项的和为2020.54. 若 Van a = 3 ,贝I] sin 2^等差数列｛%｝的前力项和为S… ,山二1 ,则S6. 2/7已知扇形的圆心角为半径为5,则扇形的面积为在数列｛%｝中，缶=5,命1=2”(心N*),则数列｛%｝的通项％ =7.8. 我国南宋著名数学家泰九韶发现了从三角形三边求三角形而积的、、三斜公式、•，设内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,面积为S,则“三斜求积“公式为( 7 ?■ ?Q ・ +c -/r，若c 2sinA = 4sinC,I3 =-，则用••三斜求积”公式求得△ ABC的而积为[-71 '、9 -函数 y = sin 2x + — 的图像向右平移生个单位后与函数的图像重合，则下列结论10.已知函数f(z) = 3sina: + 4cos 匸冬,工2司0/],则/(^)-/(^2)的最大值是H.在锐角△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别为Q,b,c ,若尸+")_。

由)=成=1 ,则 0 — b 的取值范围为12.已知数列｛%｝满足％=4,% =2%|+2”3,2,心^),若不等式2〃2_〃_3v (5-幻％对任意心N*恒成立，则实数4的取值范围是③J? 6 '71 5 兀、 12?12;是孑3)的一个零点；④八工)在-詩行 单调递减二、选择题13.函数，= TT T：2血芸,工eR 的最小正周期为()6A. 12B. 6C.—12D 弋14.已知f e e Z ,下列各组角中，终边相同的是()A. 2成与成 B . 2k7T + 7F 与 4眾 ± 7T C.m ：与2咔— k7T . t 71 D. ——与如土一2 215.已知函数f(z) = J3sing + cosg(s>0)在［0,硏上有两个零点，则co 的取值范围为11 17、 H 17> ‘5'5 8AA. t 6 ' 6 丿B ・ 6 ' 6丿C.D.16. 有一个三人报数游戏：首先A 报数字1,然后13报下两个数字2,3,接下来C 报下三个 数字4,5,6,然后轮到A 报卜四个数字7,8,9,10 ,依次循环，直到报岀10000 ,则A 报出的 第2020个数字为()A. 5979B. 5980C. 5981D.以上都不对三、解答题17. 在△ABC 中，三个内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c , Ra 2+c 2-b 2= ac . (1) 求 B;(2) 若Q + C = 6,三角形的而积S MH (、=20,求18.已知S〃为｛气｝的前〃项和，｛如｝是等比数列旦各项均为正数，且S =-n2+-n9b]=29h1+b.=-11 2 2 ~ ' 2(1)求0｝和也｝的通项公式;(2)记寸…,求数列｛弟的前71项和二.19-如图'学校门口有一块扇形空地OMN,已知半径为常数R—MON*,现由于防疫期冋，学校要在其中圈出一块矩形场地ABCIJ作为体温检测室使用，其中点在弧MN上,且线段AB平行于线段MN .(1)当点A为弧MN的一个三等分点,求矩形ABCD的面积;(2)设ZAOB = G ,当A在何处时，矩形ABCD的面积最大？最大值为多少?20.设正项数列｛七｝的前〃项和为S〃，首项为1, q为非零正常数，数列(lg(aj｝是公差为Igq的等差数列.(1)求数列｛&｝的通项公式;(2)求证：数列［計j是递增数列;(3)是否存在正常数c,使得｛lg(c-Sj｝为等差数列？若存在，求出c的值和此时q的取值范围；若不存在，说明理由.21.数列｛%｝满足"zQ,q=%+%w+Q"2(Q&"l/EN*),旦。

2019-2020学年上海市七宝中学高一下学期期中数学试题一、单选题 1．函数2sin 6xy π=，x ∈R 的最小正周期是（ ） A ．12 B ．6C ．12πD ．6π 【答案】A【解析】直接应用正弦型函数的最小正周期公式进行求解即可. 【详解】函数2sin6xy π=的最小正周期为：2126T ππ==.故选：A 【点睛】本题考查了正弦型函数最小正周期公式的应用，属于基础题. 2．已知k ∈Z ，下列各组角中，终边相同的是（ ） A ．2k π与k π B ．2k ππ+与4k ππ±C ．6k ππ+与26k ππ±D ．2k π与2k ππ±【答案】B【解析】利用终边相同的角的概念，对选项进行分析即可解得. 【详解】A 不是终边相同的角，2k π终边在x 轴的正半轴上，k π终边在x 轴轴上；B 是终边相同的角；C 不是终边相同的角 6k ππ+终边落在直线y x=上， 26k ππ±终边落在,03y x x =≥,0y x x =≥两条射线上； D 不是终边相同的角，2k π终边落在坐标轴上，2k ππ±终边落在y 轴上.故选：B 【点睛】本题考查了终边相同的角的概念，属于简单题目，解题时可以应用排除法，对k 取值进行比较验证.3．已知函数()()3sin cos 0f x x x ωωω=+>在[]0,π上由两个零点，则ω的取值范围为（ ） A ．1117,66⎛⎫⎪⎝⎭B ．1117,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．58,33⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．58,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】先化简()π3sin cos 2sin 6f x x x x ωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，再令t =π6x ω+，求出t范围，根据2sin y t =在t ∈[,]66ππωπ+上有两个零点，作图分析，求得ω的取值范围. 【详解】()π3sin cos 2sin 6f x x x x ωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由[0,]x π∈，又0>ω，则可令t =π[,]666x ππωωπ+∈+， 又函数2sin y t =在t ∈[,]66ππωπ+上有两个零点，作图分析：则236πωπππ≤+<，解得ω∈1117,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 故选：B. 【点睛】本题考查了辅助角公式，换元法的运用，三角函数的图象与性质，属于中档题. 4．有一个三人报数游戏：首先A 报数字1，然后B 报两个数字2、3，接下来C 报三个数字4、5、6，然后轮到A 报四个数字7、8、9、10，依次循环，直到报出10000，则A 报出的第2020个数字为（ ） A ．5979 B ．5980C ．5981D ．以上都不对【答案】B【解析】首先分析出A 第n 次报数的个数，得到A 第n 次报完数后总共报数的个数，计算出A 是第0n 次报数中会报到第2020个数字，再计算当A 第0n 次报数时，3人总的报数次数m ，再推算出此时报数的最后一个数m S ，再推出A 报出的第2020个数字. 【详解】由题可得A 第n *()n N ∈次报数的个数为32n -，则A 第n 次报完数后总共报数的个数为[1(32)](31)22n n n n n T +--==，再代入正整数n ，使2020,n T n ≥的最小值为37，得372035T =， 而A 第37次报时，3人总共报数为3631109⨯+=次， 当A 第109次报完数3人总的报数个数为109(1091)12310959952m S +=++++==，即A 报出的第2035个数字为5995， 故A 报出的第2020个数字为5980. 故选：B. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和前n 项和公式，主要考查了学生的观察分析能力，逻辑推理能力，难度较大.二、填空题5．若cos α=，则cos2=α______. 【答案】12【解析】直接使用二倍角余弦公式代入求值即可.. 【详解】因为cos α=， 所以221cos 22cos 12()122αα=-=⨯--=. 故答案为：12【点睛】本题考查了二倍角余弦公式的应用，考查了代入思想，考查了数学运算能力. 6．已知1sin 3x =，,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos x =______.【答案】3-【解析】根据三角函数的符号以及三角函数的基本关系式，即可求解. 【详解】 因为,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，可得cos 0x <，根据三角函数的基本关系式，可得cos 3x ==-.故答案为：3-. 【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式的化简、求值，其中解答中熟记三角函数的基本关系式，以及三角函数的符号是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 7．已知{}n a 是等比数列，首项是3，公比是12，则前4项和为______. 【答案】458【解析】由等比数列的求和公式求解即可. 【详解】由等比数列的求和公式得4413[1()]115452=6(1)611616812S -=-=⨯=-. 故答案为：458. 【点睛】本题主要考查等比数列的求和，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 8．若tan 3θ=，则sin 2θ=__________. 【答案】35【解析】 由正弦函数的倍角公式和三角函数的基本关系式，得22222222sin cos 2sin cos 2tan cos sin 22sin cos cos sin cos sin 1tan cos θθθθθθθθθθθθθθθ====+++， 又因为tan 3θ=，则222tan 2331tan 135θθ⨯==++，即3sin 25θ=. 9．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，41a =，则7S =______. 【答案】7【解析】利用等差数列前n 项和公式和等差中项的性质，即可求出7s . 【详解】 解：()1747727722a a a S +⨯⨯===.故答案为：7. 【点睛】本题考查等差数列前n 项和公式和等差中项的性质，属于基础题. 10．已知扇形的圆心角为23π，半径为5，则扇形的面积为______. 【答案】253π【解析】利用弧长公式先求解弧长，再利用扇形的面积公式求解. 【详解】因为扇形的圆心角为23π，半径为5，所以扇形的弧长210533l ππ=⨯=，所以面积11102552233S lr ππ==⨯⨯=. 故答案为：253π. 【点睛】本题主要考查扇形的弧长公式与面积公式，侧重考查数学运算的核心素养，属于基础题..11．在数列{}n a 中，2a 5=，()nn 1n a a 2n N*+-=∈，则数列{}n a 的通项n a =______．【答案】n 21+【解析】由递推关系累加求和即可求解. 【详解】由题意可得：n 1n n 1n 2n 1n 221a a 2a a 2a a 2-----⎧-=⎪-=⎪⎨⋯⎪⎪-=⎩，利用累加法， 得：()n 1nn 1221a a 2221---==--，1a 3=，于是：nn a 21=+．故答案为n 21+ 【点睛】本题考查利用累加法求数列通项公式，是基础题.12．我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，面积为S ，则“三斜公式”为S =若2sin 4sin c A C =，3B π=，则用“三斜公式”求得ABC ∆的面积为__________．【解析】由已知利用正弦定理可求ac 的值，可求a 2+c 2﹣b 2＝4，代入“三斜求积”公式即可计算得解． 【详解】根据正弦定理：由a 2sin C ＝4sin A ，可得：ac ＝4， 由余弦定理可得，b 2= a 2+c 2﹣2accos3π，可得：a 2+c 2﹣b 2＝4，可得：S ===．【点睛】本题主要考查了正余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题． 13．函数sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移3π个单位后与函数()f x 的图象重合，则下列结论正确的是______.①()f x 的一个周期为2π-； ②()f x 的图象关于712x π=-对称； ③76x π=是()f x 的一个零点； ④()f x 在5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减；【答案】①②③【解析】先由图像的平移变换推导出()f x 的解析式，再分析函数的周期、零点、对称性、单调性，判断是否正确． 【详解】解：函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π3个单位后与函数()f x 的图象重合，()sin 2sin 2333f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，()f x ∴的一个周期为2π-，故①正确； ()y f x =的对称轴满足：232x k ππ-=π+，k Z ∈， ∴当2k =-时，()y f x =的图象关于7πx 12=-对称，故②正确； 由()sin 203f x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，23x k ππ-=得26k x ππ=+， 76x π∴=是()f x 的一个零点，故③正确； 当5,1212x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，2,322x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， ()f x ∴在5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，故④错误． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查三角函数的平移变换、三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．14．已知函数()3sin 4cos f x x x =+，[]12,0,x x ∈π，则()()12f x f x -的最大值是________． 【答案】9【解析】先将函数()f x 转化成正弦函数的形式，然后结合正弦函数的图象判断出函数()f x 在区间[]0,π上的最大值和最小值，从而得出结果．【详解】由题意可得：()()343sin 4cos 5sin cos 5sin 55f x x x x x x ϕ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，其中4sin 5ϕ=，3cos 5ϕ=，且0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． 由[0,]x π∈，[,]x ϕϕπϕ+∈+，3,2ππϕπ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭， 4()5sin()5sin 545min f x πϕϕ∴=+=-=-⨯=-，()5sin 52max f x π==， 当12,[0,]x x π∈时，()()()12()5)49(max min f x f x f x f x -=-=--=． 故答案为：9 【点睛】本题考查了三角函数的恒等变化，以及正弦函数图象的性质，正弦函数的最值，把函数化简()()5sin f x x ϕ=+是解题的关键，属于中档题．15．在锐角ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是,,a b c ，若()21a b b +=，1c =b -的取值范围是______.【答案】(【解析】根据()21a b b +=，结合余弦定理可得6C π=，再根据正弦定理将b -化简成关于A 的三角函数表达式，再根据锐角ABC 求得A 的取值范围，结合三角函数的性质求解值域即可. 【详解】因为()21a b b +=，1c =，故222c a b =+.所以222cos 2a b c C ab +-===.又锐角ABC ，故6C π=. 由正弦定理，12sin sin sin sin 6a b c A B C π====，)52sin 2sin 6b A B A A π⎤⎛⎫-=-=-- ⎪⎥⎝⎭⎦112cos2sin cos2sin22226A A A A A Aπ⎫⎛⎫⎛⎫=--=-=-⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎭⎝⎭.又锐角ABC，故262AAππππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<--<⎪⎩，解得32Aππ<<，即663Aπππ<-<.(2sin6b Aπ⎛⎫-=-∈⎪⎝⎭.故答案为：(【点睛】本题主要考查了正余弦定理在解三角形中的应用、边角互化求取值范围的问题，需要将所给的边的表达式利用正弦定理转换为角的表达式，同时结合角度的范围求解.属于中档题.16．已知数列{}n a满足14a=，()*1222,nn na a n n N-=+≥∈，若不等式()2235nn n aλ--<-对任意*n N∈恒成立，则实数λ的取值范围是______.【答案】37(,)8-∞【解析】由数列递推公式，求得(1)2nna n=+⋅，把不等式()2235nn n aλ--<-对任意*n N∈恒成立，转化为2352nnλ-<-对任意*n N∈恒成立，设()232nnf n-=，求得()f n的单调性与最值，即可求解.【详解】由题意，数列{}n a满足14a=，()*1222,nn na a n n N-=+≥∈，则11122n nn na a--=+（常数），所以数列2nna⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1422=为首项，以1为公差的等差数列，所以2(1)112nnan n=+-⨯=+，整理得(1)2nna n=+⋅，不等式()2235nn n aλ--<-对任意*n N∈恒成立，即223235(1)22n nn n nnλ---->=+⋅对任意*n N∈恒成立，即2352nn λ-<-对任意*n N ∈恒成立， 设()232n n f n -=，则()()112(1)323251222n n n n n n f n f n +++---++-=-=， 当1,2n =时，()()10f n f n +->，此时数列为递增数列；当3,n n N +≥∈时，()()10f n f n +-<，此时数列为递减数列，又由()()132,348f f ==，所以337588λ<-=，即实数λ的取值范围是37(,)8-∞. 故答案为：37(,)8-∞. 【点睛】本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式，以及恒成立问题的求解和数列的单调性的判定及应用，着重考查转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.三、解答题17．在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222a c b ac +-=． （1）求B ；（2）若6a c +=，三角形的面积ABC S ∆=b ．【答案】（1）3B π=；（2）b =【解析】(1)由余弦定理222cos 2a c b B ac+-=，已知222a c b ac +-=即可求B ；(2)根据1sin 2ABC S ac B ∆=，可得ac ，已知6a c +=、222a c b ac +-=即可求b 【详解】(1)由余弦定理知：222cos 2a c b B ac+-=，而222a c b ac +-=∴1cos 2B =，而(0,)B π∈，故3B π=(2)由1sin 2ABC S ac B ∆==，有8ac =，且6a c +=∵222a c b ac +-=知：22()3362412b a c ac =+-=-=∴b =【点睛】本题考查了余弦定理，及三角形面积公式；根据余弦定理边角关系求角，由三角形面积公式求两边之积，结合已知求出第三边，属于简单题18．已知n S 为{}n a 的前n 项和，{}n b 是等比数列且各项均为正数，且23122n S n n =+，12b =，2332b b +=． （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【答案】（1）31n a n =-，212n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）235202n n n T -+=-． 【解析】(1)由11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，再合并1n =、2n ≥即可得{}n a 通项公式；由已知条件及等比数列通项公式求公比q ，即可得{}n b 的通项公式；(2)由114[3()()]22n n n n n c a b n =⋅=⋅-，分别求出113(),()22n nn n k n h =⋅=的前n 项和，即可得数列{}n c 的前n 项和n T 【详解】(1)当1n =时，1131222a S ==+= 当2n ≥时，131(21)3122n n n a S S n n -=-=-+=- 而13112a =⨯-=∴31n a n =-*(1,)n n N ≥∈{}n b 是等比数列且各项均为正数，令公比为q (0)q >∵12b =，2332b b += ∴232()2q q +=，解得12q =∴21()2n n b -=*(1,)n n N ≥∈(2) 记1114(31)()4[3()()]222nnnn n n c a b n n =⋅=-=⋅-若令113(),()22nnn n k n h =⋅=数列{}n k 的前n 项和为n K ，则23111112()3()...()32222n n K n =⨯+⨯+⨯++⨯① ∴2341111111()2()3()...(1)()()622222n n n K n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯② 故，①-②得：234111111111()()()...()()1(2)()62222222n n n n K n n ++=+++++-⨯=-+⋅ 数列{}n h 的前n 项和为n H ，则11()2nn H =-综上，有211354[63(2)()1()]20222nnn n n T n -+=-+-+=- 【点睛】本题考查了已知前n 项和求通项公式、等比公式法求通项公式，以及应用分组求和、错位相减法求前n 项和，进而合并各组的和19．如图，学校门口有一块扇形空地OMN ，已知半径为常数R ，2MON π∠=，现由于防疫期间，学校要在其中圈出一块矩形场地ABCD 作为体温检测室使用，其中点A 、B 在弧MN 上，且线段AB 平行于线段MN ．（1）当点A 为弧MN 的一个三等分点，求矩形ABCD 的面积；（2）设AOB θ∠=，当A 在何处时，矩形ABCD 的面积最大？最大值为多少？ 【答案】（1）231S -=；（2）点A 在弧的四等分点处时，2max (21)S R =． 【解析】(1)补全四分之一圆，由圆的中心对称性，结合相应辅助线及余弦定理确定AB 、BC 与半径R 的数量关系，即可求面积；(2)应用(1)的思路，结合余弦定理及辅助角公式得到关于θ的三角函数形式，由函数的最大值即可得矩形ABCD 的面积最大值 【详解】(1) 由线段AB 平行于线段MN ，A 为弧MN 的一个三等分点，知：AB 所对的圆心角为30°，由余弦定理有222(1cos30)AB R =-︒，即622AB R -=而DC AB = 将扇形所在的圆O 补全，延长AD 、BC 分别交⊙O 于E 、F ，延长MO 、NO 分别交DE 、CF 于G 、H ，并连接OF 、OB ，如下图示可知：由圆的对称性，有DCHG 为正方形，2BF CHAD BC -==且150BOF ∠=︒ ∴222(1cos150)BF R =-︒，即62BF R +=，故2AD BC R == ∴231ABCD S AB BC R -=⋅=(2) AOB θ∠=时，222(1cos )AB R θ=-；此时，BOF πθ∠=-，即222(1cos )BF R θ=+∴2(1cos 1cos )AD BC R θθ==+-，(0,)2πθ∈∴2[2)1]4ABCD S AB BC R πθ=⋅=+-当且仅当sin()14πθ+=，4πθ=时，即A 在弧的四等分点处，矩形ABCD 的面积最大，2max (21)S R = 【点睛】本题考查了余弦定理及辅助角公式，其中将扇形所在圆补全，应用圆的对称性找到相关线段的数量关系，并结合余弦定理求边长，进而得到面积；利用辅助角公式得到关于已知角的三角函数，面积的最值转化为函数的最值20．设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项为1，q 为非零正常数，数列{lg()}n a 是公差为lg q 的等差数列． （1）求数列{}n S 的通项公式；（2）求证：数列1{}nn S S +是递增数列； （3）是否存在正常数c ，使得{lg()}n c S -为等差数列？若存在，求出c 的值和此时q 的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】（1）11011nn n q S q q q q =⎧⎪=-⎨>≠⎪-⎩且；（2）证明见详解；（3）当1q ≥时，不存在正常数c ，使得{lg()}n c S -为等差数列；当01q <<时，存在正常数c ，使得{lg()}n c S -为等差数列，此时11c q=-． 【解析】（1）由等差数列的通项公式，结合对数的运算性质求出数列{}n a 的通项公式，最后根据q 是否为1，进行分类讨论，结合等比数列前n 项和公式进行求解即可. （2）结合（1）写出数列的通项公式，利用作差法比较，结合指数列函数的单调性进行证明即可.（3）假设存在正常数c ，使得{lg()}n c S -为等差数列，根据等差数列的通项公式，结合对数的运算性质进行求解即可. 【详解】（1）因为数列{lg()}n a 是公差为lg q 的等差数列， 所以1lg()lg (1)lg (1)lg n a a n q n q =+-=-， 所以1n n a q-=.当1q =时，1n S na n ==，当1q ≠且0q >时，11n n q S q-=-，所以,11,011n n n q S q q q q =⎧⎪=-⎨>≠⎪-⎩且，（2）由（1）知，当1q ≠且0q >时，11nn q S q -=-，设1n n n S b S += ， 所以数列1{}n n S S +的通项公式为：111111111nn n n n n n q Sq qb q S q q+++---===---， 11122121221111()()()()111111111(1)(((1))())n n n n n n n n n n n n n n n q q q q q q q q q q q q q q b b +++++++++++------=----------==，当1q >时，1nq > ，11n q+>，21n q+>，2(1)0q ->，所以221(1)0(1)(1)n n n q q q q ++->--. 当01q <<时, 1n q < ，11n q +<，21n q+<，2(1)0q ->，所以221(1)0(1)(1)n n n q q q q ++->--. 即10n n b b +->，所以1n n b b +>， 因此数列1{}nn S S +是递增数列. （3）假设存在正常数c ，使得{lg()}n c S -为等差数列,所以1lg()lg()1nn n q C c S c q -=-=--，数列{}n C 是等差数列， 即1lg(1)C c =-，221lg()lg(1)1q C c c q q -=-=---， 3231lg()lg(1)1q C c c q q q -=-=----，22(1)(1)(1)c q c c q q --=----，解得：11c q=-，因此0c >，所以 01q <<. 此时11lg lg 111n nn q q C q q q ⎛⎫-=-= ⎪---⎝⎭， 因为11lg lg lg 11n nn n q q C C q q q++-=-=--， 所以数列{}n C 是等差数列.因此存在正常数11c q=-，使得{lg()}n c S -为等差数列，且01q <<. 【点睛】本题考查了等差数列、等比数列的定义和通项公式，考查了等比数列前n 项和公式，指数函数单调性的应用，作差法比较证明数列的单调性，对数的运算性质，属于难题.21．数列{}n a 满足1212n n n n n n a a a a a a ++++=++()*11,n n a a n N +≠∈，且11a =，22a =.规定的{}n a 通项公式只能用()sin A x c ωϕ++0,0,2A πωϕ⎛⎫≠>< ⎪⎝⎭的形式表示. （1）求3a 的值；（2）证明3为数列{}n a 的一个周期，并用正整数k 表示ω； （3）求{}n a 的通项公式.【答案】（1）33a =（2）证明见解析；()*2N 3k k πω=∈.（3）22333n a n ππ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭ 【解析】（1）代入1n =计算即可.（2）分别令n ＝1，2，3，即可证明，根据周期公式即可求出. （3）分别由a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，可得1＝A sin （23π+φ）+c ，2＝﹣A sin （3π+φ）+c ，3＝A sin φ+c ，解得即可求出 【详解】解：（1）当a 1＝1，a 2＝2，a 1a 2a 3＝a 1+a 2+a 3，解得a 3＝3； （2）当n ＝2时，6a 4＝2+3+a 4，解得a 4＝1， 当n ＝3时，3a 5＝1+3+a 5，解得a 5＝2， …，可得a n +3＝a n ，当a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3； 故3为数列{a n }的一个周期， 则2k πω＝3，k ∈N ，则()*2N 3k k πω=∈； （3）由（2）可得a n ＝A sin （23πn +φ）+c ，则1＝A sin （23π+φ）+c ，2＝﹣A sin （3π+φ）+c ，3＝A sin φ+c ，即1＝A φ﹣A •12sin φ+c ，①2＝﹣A φ﹣A •12sin φ+c ，②由①+②，可得3＝﹣A sin φ+2c ， ∴c ＝2，A sin φ＝1，①﹣②，可得﹣1＝A φ，则tan φ ∵|φ|＜2π， ∴φ＝﹣3π，∴A ＝﹣3，故22333n a n ππ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了数列的递推公式和三角函数的解析式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．。

七宝中学2018-2019学年度第二学期高一年级期中考试数学试卷一、填空题1.函数()12sin 4y x =-的最小正周期是________. 【答案】2π 【解析】 【分析】根据三角函数的周期公式求解即可. 【详解】函数12sin(4)y x =-， 所以函数()f x 的周期22||42T πππω===. 故答案为：2π． 【点睛】本题主要考查三角函数周期的求法，是基本知识的考查． 2.函数cos 2y x =的对称轴方程是________. 【答案】,2k x k Z π=∈ 【解析】 【分析】根据余弦函数cos y x =的对称轴方程x k π=，k Z ∈，运用整体法可得cos 2y x =的对称轴方程． 【详解】cos2y x =，令2x k =π，k Z ∈，则,2k x k Z π=∈， cos2y x ∴=的对称轴方程为：,2k x k Z π=∈．故答案为：,2k x k Z π=∈． 【点睛】本题考查了余弦型函数图象的对称轴的求法，考查了整体思想，属基础题．3.在平面直角坐标系中，已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线3y x =上，则sin2θ=_______.【答案】35【解析】利用任意角的三角函数的定义求得tan θ，再利用同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，求得sin 2θ的值. 【详解】角θ的顶点在平面直角坐标系xOy 原点O ，始边为x 轴正半轴，终边在直线3y x =上，tan 3θ∴=2222sin cos 2tan 63sin 21105sin cos tan θθθθθθθ∴====++， 故答案为：35． 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，属于基础题．4.若锐角αβ、满足()35cos cos 513ααβ=+=-，，则cos β=______. 【答案】3365【解析】 【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin()αβ+，sin α的值，利用两角差的余弦公式即可计算得解． 【详解】αQ 、β为锐角，(0,)αβπ∴+∈，5cos()13αβ+=-，3cos 5α=，12sin()13αβ∴+==，4sin 5α=，5312433cos cos[()]cos()cos sin()sin ()13513565βαβααβααβα∴=+-=+++=-⨯+⨯=． 故答案为：3365． 【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题． 5.函数2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调递减区间为________. 【答案】511,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【解析】由题意利用正弦函数的单调性，求得该函数的单调减区间． 【详解】对于函数2sin(2)3y x π=-，令3222232k x k πππππ+-+剟，k Z ∈, 求得5111212k x k ππππ++剟， 可得它的单调递减区间为5[12k ππ+，11]12k ππ+，k Z ∈， 故答案为：5[12k ππ+，11]12k ππ+，k Z ∈． 【点睛】本题主要考查正弦函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．6.已知2sin 5x =-3()2x ππ<<，则x =________（用反正弦表示） 【答案】2arcsin 5π+【解析】由于2a r c s i n 5表示[]22ππ-，上正弦值等于25的一个锐角，由2sin 5x =- 3()2x ππ<<，则2a r c s i n 5x π=+，故答案为2arcsin 5π+.点睛：本题考查反三角函数的运用，解题的关键理解反三角函数的定义，用正确的形式表示出符号条件的角，本题重点是理解反三角函数定义，难点表示出符合条件的角，反三角函数在新教材省份已经不是高中数学学习内容；本题是一个知道三角函数值及角的取值范围，求角的问题，由于本题中所涉及的角不是一个特殊角，故需要用反三角函数表示出答案. 7.方程sin x x =_______. 【答案】7212x k ππ=+或132,12x k k Z ππ=+∈ 【解析】 分析】利用三角恒等变换化方程为sin()3x π-，求出方程的解即可．【详解】方程sin x x =12(sin )2x x ∴=sin()3x π∴-=，解得234x k πππ-=+或3234x k πππ-=+，k Z ∈； 即7212x k ππ=+或132,12x k k Z ππ=+∈ 故答案为：7212x k ππ=+或132,12x k k Z ππ=+∈ 【点睛】本题考查了三角函数的化简与三角方程的应用问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，是基础题．8.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，且224S (a b)c =+-，则cosC =______． 【答案】0 【解析】 【分析】由三角形面积公式和余弦定理可将224S (a b)c =+-化为2absinC 2abcosC 2ab =+，进而可求出结果. 【详解】因为1S ab 2sinC =，余弦定理222c a b 2abcosC =+-，又224S (a b)c =+-， 所以有2absinC 2abcosC 2ab =+，即sinC cosC 1-=2C 14π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 因此C 244k πππ-=+或()3C 2k Z 44k πππ-=+∈，所以C 22k ππ=+或()C 2k Z k ππ=+∈， 因为C 三角形内角，所以C 2π=，故cosC 0=.故答案为0【点睛】本题主要考查解三角形，熟记余弦定理和三角形面积公式即可求出结果，属于常考题型. 9.若将函数()cos()8f x x πω=-（0>ω）的图像向左平移12π个单位后，所得图像对应的函数为偶函数，则ω的最小值是________ 【答案】32【解析】 【分析】由三角函数图象的平移变换得：g()cos()128x x ωππω=+-，因为g()x 为偶函数，所以=,128k k Z ωπππ-∈，由(0)>ω，所以ω的最小值为32，得解． 【详解】解答：解：将函数()cos()(0)8f x x πωω=->的图象向左平移12π个单位后，所得图象对应的函数为g()cos ()+cos(+),128128x x x ππωππωω⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦因为g()x 为偶函数， 所以3=,12,1282k k Z k k Z ωπππω-∈∴=+∈， 由0>ω， 所以ω的最小值为32， 故答案为：32． 【点睛】本题考查了三角函数图象的平移变换及函数的奇偶性，属中档题． 10.已知函数()()()()()sin 2cos 2sin 2cos 222x x x x f x ππππ+-=+，对任意x R ∈，都有不等式()()()12f x f x f x ≤≤恒成立，则21x x -的最小值为_________.【答案】38【解析】 【分析】先化简函数的解析式，再作出函数一个周期的图象，由三角函数的性质，确定21||x x -的最小值为相邻最小值与最大值处横坐标差的绝对值，即可得解．【详解】由22cos 2()cos 22cos 2sin x sin x x f x x sin x x ππππππ≥⎧=⎨<⎩， 所以函数在一个周期的图象如图所示，因为对任意x ∈R ，都有不等式12()()()f x f x f x 剟恒成立，即当1x x =时，函数()y f x =取最小值，当2x x =时，函数()y f x =取最大值， 则21||x x -的最小值为513848-=. 故答案为：38．【点睛】本题考查考查三角函数的图象和性质，确定21||x x -的最小值为相邻最小值与最大值处横坐标差的绝对值是关键，属于中档题． 11.已知函数()()()1sin 20192019xxx f x x R π-=∈+，下别列命题: ①函数()f x 是奇函数； ②函数()f x 在区间[]22ππ-，上共有13个零点； ③函数()f x 在区间()01，上单调递增；④函数()f x 的图像是轴对称图像。

2019学年第二学期高一期末考试数学试卷考生注意：1.本试卷共4页，21道试题，满分150分.考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂写在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.3.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、班级、学号.一、填空题（本大题共12题，满分54分）只要求直接填写结果，第1~6题每个空格填对得4分，第7~12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.1. 计算|520|lim2n n n→∞-=________.【答案】52【解析】 【分析】利用|520|lim 2n n n →∞-=20|5|lim 2n n →∞-及基本极限可得所求的极限值. 【详解】|520|lim 2n n n →∞-=20|5|lim 2n n →∞-|50|522-==， 故答案为：52.【点睛】本题考查极限的计算，注意利用基本极限如1lim 0n n→∞=、1lim 02n n →∞=等来帮助计算，本题属于基础题.2. 已知等比数列{}n a 公比为2q ，则1593711a a a a a a ++=++________.【答案】14【解析】 【分析】利用等比数列的性质可得所求的值.【详解】因为2223175119,,a a q a a q a a q ===，故15923711114a a a a a a q ++==++， 故答案为：14【点睛】一般地，如果{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，则有性质：（1）m n mna q a -=； （2）若,,,*,m n p q N m n p q ∈+=+，则m n p q a a a a =；（3）公比1q ≠时，则有nn S A Bq =+，其中,A B 为常数且0A B +=；（4）232,,,n n n n n S S S S S -- 为等比数列（0n S ≠ ）且公比为n q .3. 用数学归纳法证明：()12*111,1n na a a a a n N a+-++++=≠∈-，在验证1n =时，等式左边为________. 【答案】1a + 【解析】 【分析】将1n =代入左边的式子，即可得出结果. 【详解】当1n =时，等式左边为1a +. 故答案为：1a +.【点睛】本题主要考查数学归纳法，属于基础题型.4. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若24S =，39S =，则4S =________. 【答案】16 【解析】 【分析】先设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题中条件，列出方程求出首项和公差，再由求和公式， 即可得出结果. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为24S =，39S =，所以1124339a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，所以414641216S a d =+=+=. 故答案为：16.【点睛】本题主要考查等差数列前n 项和的基本量运算，熟记公式即可，属于基础题型.5. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，cos()n a n π=，()*n N ∈，则2020S =________.【答案】0 【解析】 【分析】根据题意，先确定数列{}n a 的周期，再由分组求和，即可得出结果.【详解】由cos()n a n π=得()()2cos 2cos n n a n n a πππ+=+==， 所以数列{}n a 以2为周期，又1cos 1a π==-，2cos 21a π==， 所以()20201210100S a a =⨯+=. 故答案为：0.【点睛】本题主要考查求数列的和，根据数列的周期性，以及分组求和的方法即可求解，属于基础题型. 6. 方程1sin 4x =在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的解为x =________. 【答案】1arcsin 4π- 【解析】 【分析】根据反三角函数的定义以及诱导公式可求得方程1sin 4x =在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的解.【详解】1arcsin 0,42π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则1arcsin ,42πππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，且111sin arcsin sin arcsin 444π⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此，方程1sin 4x =在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的解为1arcsin 4=-x π. 故答案为：1arcsin4π-. 【点睛】本题考查三角方程的解，考查反三角的应用，属于基础题.7. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()2*2,n S n n n Nλ=-++∈，若{}na 为递减数列，则实数λ的取值范围是________. 【答案】(2,)-+∞ 【解析】 【分析】根据n S 求出1,123,2n n a n n λ+=⎧=⎨-+≥⎩，再由数列是减数列，得到12a a >，进而可求出结果.【详解】因为数列{}n a 的前n 项和为n S ，()2*2,n S n n n Nλ=-++∈，所以()()()()1222121232n n n a S n n S n n n n λλ-⎡⎤==-++---+-+=-+≥⎣⎦-，又11121a S λλ==-++=+， 则1,123,2n n a n n λ+=⎧=⎨-+≥⎩，因为2n ≥时，数列{}n a 显然是减数列，为使*n N ∈时，{}n a 为递减数列，只需12a a >，即11λ+>-，所以2λ>-. 故答案为：(2,)-+∞【点睛】本题主要考查由数列的增减性求参数，考查由数列的前n 项和求通项公式，属于常考题型. 8. 已知()()2cos 2f x x ϕ=+，,22ππϕ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，将()f x 的图像向右平移6π个单位得到()g x 的图像，若()()0g x g x -+=，则ϕ=________.【答案】6π- 【解析】 【分析】先由题意，得到()2cos 23g x x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再由函数奇偶性，根据题中条件，即可得出结果. 【详解】将()()2cos 2f x x ϕ=+的图像向右平移6π个单位得到()g x 的图像， 所以()2cos 23g x x πϕ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，又()()0g x g x -+=，所以()g x 为奇函数， 因此只需32k ππϕπ-+=+，k Z ∈，则56k πϕπ=+，k Z ∈， 又,22ππϕ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，所以6πϕ=-.故答案为：6π-. 【点睛】本题主要考查由三角函数的奇偶性求参数，考查三角函数的平移原则，属于基础题型. 9. 已知数列{}n a 中，11a =，11(1)n n a a n n-=+-，()*2,n n N ≥∈，若n a a ≤对任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是________. 【答案】2a ≥ 【解析】 【分析】利用累加法求出{}n a 的通项，再利用通项求出n a 的范围，从而可求实数a 的取值范围. 【详解】211111212a a a =+=+-⨯， 3221112323a a a =+=+-⨯，()1111111n n n a a a n nn n --=+=+---，所以111-=-n a a n 即12n a n=-，其中2n ≥. 而1n a =也符合该式，从而12n a n=-，1n ≥.故12n a ≤<恒成立，故2a ≥. 故答案为：2a ≥.【点睛】本题考查数列通项以及数列的有界性，注意根据递推关系的特征选择合适的求通项的方法，本题属于中档题.10. ，为数列{}n x 的几何平均数，若{}n a 是等比数列，512a -=，它的前11项的几何平均数为52，若在前11项中抽去一项，剩下10项的几何平均数为42，则被抽去的项是第________项. 【答案】11【解析】【分析】设等比数列{}n a的公比为q，根据题意求出公比，得到11a，再由题中条件，即可确定被抽取的项.【详解】设等比数列{}n a的公比为q，由题意，151213112aa a a=，则15512312aa a a=，根据等比数列的性质可得，()11116551232a a a aa==，解得562a=，又512a-=，所以510612aqa==，则22q=，所以1052015111222a a q-==⋅=，又在前11项中抽去一项，剩下10项的几何平均数为42，所以剩下10项的乘积为()1044022=，而1055401231122aaa aa==，所以被抽去的是第11项.故答案为：11.【点睛】本题主要考查等比数列的运算，熟记等比数列的性质即可，属于常考题型.11. 如图1，线段AB的长度为1，在线段AB上取两点C，D，使得14AC DB AB==，以CD为一边，在线段AB上方作一个正六边形，然后去掉线段CD，得图2中的图形；对图2中的最上方线段EF作同样的操作，得图3中的图形；以此类推，能够得到以下一系列图形记第n个图形（图1为第1个图形）中所有线段长的和为n S，则lim nnS→∞=________.【答案】5【解析】【分析】记第n个图形最上层部分边长为n a，则可得112n na-=，则可求出nS，从而可求出其极限.【详解】记第n个图形最上层部分边长为n a，则11a=，212a=，314a=，依次类推可得112n n a -=， 故232111114441444222n n n S a a a -=++++=+⋅+⋅++⋅， ∴142lim 15112n n S →∞⋅=+=-.故答案为：5.【点睛】本题考查数列极限的计算以及归纳推理，注意无穷递缩等比数列{}n a 的和为11a qq-，其中q 为公比且1q <，本题属于基础题.12. 本学期我们学习了一种求抛物线2yx 与x 轴和直线1x =所围“曲边三角形”面积的方法，即将区间[0,1]分割成n 个小区间，求每个小区间上矩形的面积，再求和的极限.类比上述方法，试求222222222(1)2(21)2lim 2sin 2sin 2sin 2sin cos cos cos cos 844448888n n n n n n n n n n n nn n πππππππππ→∞⎡⎤--⎛⎫+++++++++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦________. 【答案】4π 【解析】 【分析】先画出2sin y x =的图象，再根据和式的几何意义可得所求的极限. 【详解】211sin cos222y x x ==-+，关于1,42π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，其在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象如图所示：将区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π分为n 段，每段矩形面积为211111cos 2sin 424244k k n n n n ππππ⎡⎤⎛⎫⋅-⨯+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，11k =，2，...，n ， 将区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦分为2n 段，每段矩形面积为 22222111cos2sin cos 42228282888k k k n n n n n n ππππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅--+=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 其中21k =，...，2n ， 原式即求11cos222y x =-+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上与x 轴和2x π=所围图形面积，利用割补法易知面积为1224ππ⨯=. 故答案为：4π. 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上填选项，选对得5分，否则一律得零分.13. 已知数列{}n a 是等比数列，则下列数列中：①{}3n a ；②{}2na ；③12n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，等比数列的个数是（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的定义可得①③中的数列为等比数列，从而可得正确的选项.【详解】设{}n a 的公比为q ，则3331n n a q a -=，112112n n a q a -=，故{}3n a 、12n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭均为等比数列. 取2nn a =，2n a n b =，则31212324,216,2256a aa b b b ======，此时32124,16b b b b ==，3212b b b b ≠，故{}2n a 不是等比数列， 故选：C.【点睛】本题考查等比数列的判断，一般根据等比数列的定义去判断，本题属于基础题.14. 在ABC 中，“tan tan A B >”是“sin sin A B >”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】 【分析】根据充分条件与必要条件概念，以及正弦定理与三角形的性质，即可判定出结果. 【详解】在ABC 中，若6A π=，23B π=，则tan A =，tan B =tan tan A B >；三角形中大边对大角，此时A B <，所以a b <，根据正弦定理得到sin sin A B <， 所以由“tan tan A B >”不能推出“sin sin A B >”；若sin sin A B >，根据正弦定理，得到a b >，根据三角形中大边对大角得A B >，若A 钝角，则tan 0A <，不能推出tan tan A B >；综上，“tan tan A B >”是“sin sin A B >”的既不充分也不必要条件. 故选：D.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的概念，涉及正弦定理，属于基础题型. 15. 在等差数列{}n a 中，n S 是n a 的前n 项和，满足200S <，210S >，则有限项数列11S a ，22S a ，…，2020S a ，2121S a 中，最大项和最小项分别为（ ） A.2121S a ；2020S a B.2121S a ；1111S a C.1100S a ；1111S a D.1100S a ；2020S a 【答案】C 【解析】 【分析】先判断出10110,0a a ><，从而得到10S 最小，结合前者得到给定新数列中的最大项和最小项. 【详解】因为{}n a 为等差数列，故()20101110S a a =+，211121S a =， 故10110a a +<，110a >，故100a <，公差0d >，10910S S S <<<<，101120210,0S S S S <<<<>，而121011210a a a a a <<<<<<<，故10910S S S ->->>->，1120210,0S S S ->>->>，121011210,0a a a a a ->>>><<<由不等式性质可得10122122100S S S S a a a a ----<<<<<----即101221221001S S S S a a a a <=<<<< 同理2011121112200S S S a a a -->>>->，故2011121112200S S Sa a a <<<<， 而20212021212121011S a S S a a a +<==+<， 故11S a ，22S a ，…，2020S a ，2121S a 中最大项和最小项分别为1100S a ；1111S a . 故选：C. 【点睛】，本题考查等差数列的性质、数列的最大项、最小项等，注意把数列的前n 和的符号转化为中间项的符号，另外注意不等式性质的正确使用，本题属于难题.16. 数列{}n a 满足11a =，110n n n n ka a a a +++-=，k 为常数，则下列说法中：①数列{}n a 可能是常数列；②1k =时，1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列；③若31a a >，则(1,0)k ∈-；④当0k >时，数列{}n a 递减，正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个C. 3个D. 4个【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，令0k =，即可判定{}n a 为常数列，即①正确；1k =时，原式可化为1111n na a +=+，进而可判断②正确；根据递推式求出3a ，由31a a >得出不等式求解，即可判定③正确；先求出4a ，归纳得到1211n n n a k k k --=++++，由题中条件，得到1n n a a +>，即可判定④正确.【详解】①由110n n n n ka a a a +++-=得1nn na a k a +=+，当0k =时，*11,n a n N +=∈，因为11a =，故{}n a 为常数列；故①正确；②当1k =时，由110n n n n a a a a +++-=得1111n n a a +=+，所以1111n na a 为常数；因此数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列；故②正确；③由110n n n n ka a a a +++-=得1n n n a a k a +=+，因为11a =，所以211a k =+，则32111111k a k k k k+==++++，若31a a >，则2111k k >++，解得(1,0)k ∈-；故③正确； ④由③得3432311a a k a k k k ==++++，归纳得1211n n n a k k k --=++++，故1211n n nk k k a --=++++，当0k >，有1110n na a +>>， 所以1n n a a +>，即{}n a 递减. 故①②③④都正确. 故选：D.【点睛】本题主要考查由递推公式判定数列的相关结论，考查等差数列的概念，考查数列的增减性，涉及一元二次不等式的解法，属于常考题型.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17. 已知函数()24sin cos f x x x x a =++的最大为2.（1）求a 的值，并求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 在[]0,π上的单调递增区间.【答案】（1）2a =--，最小正周期为π；（2）单调递增区间为0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和7,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】（1）先根据二倍角公式和辅助角公式将原式化简整理，得到()4sin 23f x x a π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，根据函数最值，即可求出a ，再由正弦函数的周期，即可求出周期；（2）先由正弦函数的单调递增区间列出不等式求解，得出函数的单调递增区间，再由给定区间，即可得出结果.【详解】（1）()24sin cos 2sin 2f x x x x a x x a =++=++4sin 23x a π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以()4f x a ≤+，因为函数2()4sin cos f x x x x a =++的最大为2，所以42a +=，解得2a =--； 所以()4sin 223f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，因此最小正周期为22T ππ==； （2）由222232k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈得5,,1212x k k k Z ππππ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦， 所以()f x 的单调递增区间为5;,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦， 又[]0,x π∈，取0,1k =，得()f x 在[]0,π上的单调递增区间为0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和7,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查由正弦型函数的最值求参数，考查求正弦型函数的最小正周期，以及正弦型函数的单调区间，涉及二倍角公式以及辅助角公式，属于常考题型.18. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c sin (2cos )0C c A -+=， （1）求角A 的大小；（2）若a =ABC ，求sin sin B C +的值.【答案】（1）23A π=；（2.【分析】(1)sin sin (2cos )0A C C A -+=，cos 2A A -=，即可求A 的大小；(2)由已知条件，根据三角形面积公式有4bc =，由余弦定理用b ，c 表示cos A 进而得到2216b c +=，即可得b c +，再由正弦定理即可求出sin sin B C +的值【详解】（1sin sin (2cos )0A C C A -+=而sin 0C ≠cos 2A A -=，sin 16A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭又(0,)A π∈ ∴62A ππ-=，故23A π=（2）由题意知：1sin 2ABC S bc A ∆==∴4bc =，而a =由余弦定理，22222201cos 282b c a b c A bc +-+-===-故2216b c +=，又222()2b c b c bc +=++∴b c +==∴sinsin sin ()22b c A B C b c R R a +=+=+==【点睛】本题考查了正余弦定理的应用，根据正弦定理的边角互化并结合辅助角公式求角的大小，应用三角形面积公式、余弦定理求两边的和，再由正弦定理角化边的应用求三角函数值19. 随着众多创新品牌的兴起，近年来，奶茶作为大众化饮品受到广泛欢迎. 2019年，小李投资50万元，准备在某三线城市开一家知名奶茶品牌的加盟店，已知第一年（2020年1月1日至2020年12月31日）的运营成本为12万元，加上维护和人工费用，每年的运营成本较上一年增加3万元，每年的年销售额为40万元.（年利润=年销售额-年运营成本，本题年份取正整数） （1）求最多开店多少年能保持盈利（不考虑投资金）；（2）记开店n 年的总利润为()f n （须考虑投资金），年平均利润为()f n n，小李打算在年平均利润达最大值的年份，用累计到当年年末总利润的14对奶茶店进行装修以吸引更多顾客，求装修的费用？【答案】（1）最多开店10年能保持盈利；（2）装修费为18.25万元. 【解析】 【分析】（1）由题意可知，每年的运营成本、运用利润成等差数列，设第n 年的年运营成本为n a ，年利润为n b ，求出当0n b >成立时的最大自然数n ；（2）利用等差数列的前n 项和公式求出前n 年的总利润()f n 的表达式，得到年平均利润()f n n，分析年平均利润取得最大值时n 的值，然后求出装修费用. 【详解】见解析（1）设第n 年的年运营成本为n a ，年利润为n b ， 则123(1)39n a n n =+-=+则40(39)331n b n n =-+=-+，当3310n b n =-+>时，解得3110.333n <≈. 故最多开店10年能保持盈利 （2）2(28331)359()5050222n n f n n n -+=-=-+-，()3505922f n n n n =--+，当 5.8n =≈时取得最大值，又*n N ∈， 故当5n =时，(5)125f =，当6n =时，(6)731266f =>， 故第6年年平均利润最大， 装修费用为:1(6)18.254f =万元. 【点睛】本题考查数列的实际应用问题，考查数列的函数特性，难度一般.解答时，从题目条件得出实际问题数列的通项公式是关键.20. 已知数列{}n a 满足1a t =，111n na a +=+，数列{}n a 可以是无穷数列，也可以是有穷数列，如取1t =时，可得无穷数列：1，2，32，53，...；取12t =-时，可得有穷数列：12-，1-，0.（1）若50a =，求t 的值；（2）若12n a <<对任意2n ≥，*n N ∈恒成立.求实数t 的取值范围； （3）设数列{}n b 满足11b =-，()*111n n b n N b +=-∈，求证：t 取数列{}n b 中的任何一个数，都可以得到一个有穷数列{}n a . 【答案】（1）35t =-；（2）1t >；（3）证明见解析.【解析】 【分析】（1）根据题意，得到111n n a a +=-，逐项计算，求出1a ，即可得出结果；（2）根据()*122,n a n n N<<≥∈，得出131122n na a +<=+<，因此只需212a <<即可，由题中条件，求出2a ，得出不等式求解，即可得出结果； （3）由题意，得到111n n b b +=+，设1k a t b ==，()*k N ∈，逐项计算，得出10k a +=，即可证明结论成立.【详解】（1）由111n n a a +=+得111n n a a +=-， ∴41101a ==--，311112a ==---，2121312a ==---，1132513t a ===---； （2）若()*122,n a n n N <<≥∈，则1112n a <<，131122n na a +<=+<， 即112n a +<<，故只要212a <<即可， 因为1a t =，所以21t a t +=，∴112t t+<<，解得1t >； （3）由111n n b b +=-得111n n b b +=+，设1k a t b ==，()*k N ∈，则2111k ka b b -=+=32111k k a b b --=+=，12111k a b b =+==-，11101k a +=+=-， 故{}n a 有1k +项，为有穷数列.即t 取数列{}n b 中的任何一个数，都可以得到一个有穷数列{}n a .【点睛】本题主要考查由递推公式求数列中的项，考查由数列不等式恒成立求参数的问题，考查有穷数列的证明，属于常考题型.21. 已知数列{}n a 的首项12a =，n S 为前n 项和，若数列{}n a 满足：对任意正整数n ，k ，当n k >时，()2n k n k n k S S S S +-+=+总成立，则称数列{}n a 是“()D k 数列”.（1）若{}n a 是公比为3的等比数列，试判断{}n a 是否为“(2)D 数列”，说明理由； （2）若{}n a 是公差为d 的等差数列，且是“(3)D 数列”，求实数d 的值； （3）若数列{}n a 既是“(2)D 数列”，又是“(3)D 数列”，求数列{}n a 的通项公式. 【答案】（1）{}n a 不是“(2)D 数列”；答案见解析；（2）4d =；（3）()*42n a n n N =-∈.【解析】 【分析】（1）根据定义可判断{}n a 不是“(2)D 数列”.（2）根据{}n a 为“(3)D 数列”可得()3332n n n S S S S +-+=+总成立，从而得到213332n n a a S +--=，故可计算4d =.（3）根据数列{}n a 是“(2)D 数列”和“(3)D 数列”可得3112n n n a a a +-++=和4212n n n a a a +-++=，从而可得5个与{}n a 相关的子数列，通过它们的公差关系可得{}n a 满足奇数项、偶数项为公差相同的等差数列，结合()51322S S S S +=+可得该公差及2a ，从而可得{}n a 的通项.【详解】（1）12a =，3q =，∴31nn S =-，假设n S 是“(2)D 数列”，则有()222S 2n n n S S S +-+=+，当3n =时，551312244S S +=-+=，而()()323222313168S S +=⨯-+-=()51322S S S S +≠+，故{}n a 不是“(2)D 数列”（2）设2(1)2n a n d dn d =+-=+-，因为{}n a 为“(3)D 数列”，故对任意3n >，()3332n n n S S S S +-+=+， 则3332n n n n S S S S S +---+=，即()1231232n n n n n n a a a a a a S +++--++-++= ∴213332n n a a S +--=，即(222)3922d d ++⨯=⨯，解得4d =（3）由数列{}n a 是“(2)D 数列”， 对任意2n >，()()222311222n n n n n n S S S S S S S S +-+-+⎧+=+⎪⎨+=+⎪⎩①②，②-①，3112n n n a a a +-++=又{}n a 是“(3)D 数列”，对任意3n >，()()333421322n n n n n n S S S S S S S S +-+-+⎧+=+⎪⎨+=+⎪⎩③④，④-③，4212n n n a a a +-++=，由3112n n n a a a +-++=可得 ①13579,,,,,a a a a a 为等差数列，其公差为1d ； ②246810,,,,,a a a a a 为等差数列，其公差为2d ；由4212n n n a a a +-++=可得 ③1471013,,,,,a a a a a 为等差数列，其公差为1d '； ④2581114,,,,,a a a a a 为等差数列，其公差为2d '； ⑤3691215,,,,,a a a a a 为等差数列，其公差为3d '；由①得7113a a d -=，由②得10423a a d -=， 而由③可得7110412a a a a d '-=-=，故12123d d d '==. 设12d d d ==，则()2121n a n d -=+-，()221n a a n d =+- 在①中令3n =，()51322S S S S +=+，即()()()()2222222222222a d a d d a d a ++++++++=+++++， 整理得到：22a d =-. 由③得41132d a a d '-==，故2322d a d +-=，故28,6d a ==，故()()21218864212n a n n n -=+-=-=--，()2618422n a n n =+-=⨯-，故()*42n a n n N =-∈.【点睛】本题考查新定义背景下的与等差数列相关的数学问题，对于给定的数列是否满足新定义，只需按定义检验即可，对于若干子数列为等差数列，要证明整个数列为等差数列，需证明子数列的公差满足一定的条件且前若干项也满足一定的条件，本题属于困难题.。

七宝中学高一期中数学试卷2019.04一. 填空题1. 函数12sin(4)y x =-的最小正周期是2. 函数cos2y x =的对称轴方程是3. 在平面直角坐标系中，已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直 线3y x =上，则sin2θ=4. 若锐角α、β满足3cos 5α=，5cos()13αβ+=-，则cos β= 5. 函数2sin(2)3y x π=-的单调递减区间为6. 已知2sin 5x =-（32x ππ<<），则x = （用反正弦表示）7. 方程sin x x =的解是8. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，面积为S ，且224()S a b c =+-， 则cos C = 9. 若将函数()cos()8f x x πω=-（0ω>）的图像向左平移12π个单位后，所得图像对应的 函数为偶函数，则ω的最小值是 10. 已知函数sin(2)cos(2)sin(2)cos(2)()||22x x x x f x ππππ+-=+，对任意x ∈R ，都有不等式12()()()f x f x f x ≤≤恒成立，则21||x x -的最小值为 11. 已知函数1sin()()20192019x xx f x π-=+（x ∈R ），下列命题：① 函数()f x 是奇函数；② 函数()f x 在区间[2,2]ππ-上共有13个零点； ③ 函数()f x 在区间(0,1)上单调递增； ④ 函数()f x 的图像是轴对称图形.其中真命题有 （填所有真命题的序号） 12. 已知k 是正整数，且12019k ≤≤，则满足方程sin1sin2sin sin1sin2sin k k ︒+︒+⋅⋅⋅+︒=︒⋅︒⋅⋅⋅︒的k 有 个二. 选择题13. “[,]22x ππ∈-”是“sin(arcsin )x x =”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分条件又非必要条件 14. 将函数sin()12y x π=-图像上的点(,)4P t π向左平移s （0s >）个单位，得到点P '，若 P '位于函数sin 2y x =的图像上，则（ ）A. 12t =，s 的最小值为6πB. t =，s 的最小值为6πC. 12t =，s 的最小值为12πD. 2t =，s 的最小值为12π15. 若方程212cos sin 0x x a --+=有实数解，则实数a 的取值范围（ ） A. 9(,]8-∞ B. 9[2,]8- C. 9[0,]8 D. 9[1,]8- 16. 如图，在△ABC 中，BC a =，AC b =，AB c =，O 是△ABC 的外心，OD BC ⊥于D ，OE AC ⊥于E ， OF AB ⊥于F ，则::OD OE OF 等于（ ）A. ::a b cB. cos :cos :cos A B CC. sin :sin :sin A B CD. 111::a b c三. 解答题17. 已知7cos(23)25θπ-=，且θ是第四象限角； （1）求cos θ和sin θ的值；（2）求3cos()sin()22tan [cos()1]tan()cos()ππθθθπθπθθ--++---的值.18. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知2a b -=，4c =，sin 2sin A B =. （1）求△ABC 的面积S ；（2）求sin(2)A B -的值.19. 已知函数()2sin 2f x x x =-. （1）求()y f x =的最小正周期和对称中心；（2）将()f x 的图像向左移α（0α>）个单位得函数()y g x =的图像，若(0,)2πα∈，()y g x =的一条对称轴为12x π=，求()y g x =，[0,]2x π∈的值域.20. 如题所示：扇形ABC 是一块半径为2千米，圆心角为60°的风景区，P 点在弧BC 上，现欲在风景区中规划三条商业街道PQ 、QR 、RP ，要求街道PQ 与AB 垂直，街道PR 与AC 垂直，直线PQ 表示第三条街道.（1）如果P 位于弧BC 的中点，求三条街道的总长度；（2）由于环境的原因，三条街道PQ 、PR 、QR 每年能产生的经济效益分别为每千米300万元，200万元及400万元，问：这三条街道每年能产生的经济总效益最高为多少？（精确到1万元）21. 给出集合{()|(2)(1)(),}M f x f x f x f x x =+=+-∈R . （1）若()sin3xg x π=，求证：函数()g x M ∈；（2）由（1）可知，()sin3xg x π=是周期函数且是奇函数，于是张三同学得出两个命题：命题甲：集合M 中的元素都是周期函数；命题乙：集合M 中的元素都是奇函数，请对此给 出判断，如果正确，请证明；如果不正确，请举出反例；（3）设P 为常数，且0P ≠，x ∈R ，求()sin h x px M =∈的充要条件并给出证明.参考答案一. 填空题 1.2π2. 2k x π=，k ∈Z3. 354. 33655. 511[,]1212k k ππππ++，k ∈Z6. 2arcsin 3π+7. 7212x k ππ=+或13212x k ππ=+，k ∈Z 8. 0 9. 3210. 38 11.②④ 12. 11二. 选择题13. B 14. A 15. B 16. B三. 解答题 17.（1）4cos 5θ=，3sin 5θ=-；（2）38.18.（1；（2）32.19.（1）T π=，(,0)122k ππ+，k ∈Z ；（2）[-.20.（1）2+；（2）1222万元.21.（1）略；（2）甲真命题，周期为6，乙假命题，如cos3xy π=；（3）略.。

2019-2020学年上海市闵行区七宝中学高一第二学期期中数学试卷一、填空题（共12小题）.1．若cosα＝﹣，则cos2α＝．2．已知sinα＝，α∈（，π），则cosα＝．3．已知{a n}是等比数列，首项为3，公比为，则前4项的和为．4．若tanα＝3，则sin2α＝．5．等差数列{a n}的前n项和为S n，a4＝1，则S7＝．6．已知扇形的圆心角为，半径为5，则扇形的面积S＝．7．在数列{a n}中，a2＝5，a n+1﹣a n＝2n（n∈N*），则数列{a n}的通项a n＝．8．我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC 内角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S，则“三斜求积”公式为S＝，若c2sin A＝4sin C，B＝，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为．9．函数的图象向右平移个单位后与函数f（x）的图象重合，则下列结论中正确的是．①f（x）的一个周期为﹣2π；②f（x）的图象关于x＝﹣对称；③x＝是f（x）的一个零点；④f（x）在单调递减．10．已知函数f（x）＝3sin x+4cos x，x1，x2∈[0，π]，则f（x1）﹣f（x2）的最大值是．11．在锐角△ABC中，内角A，B，C对的边分别为a，b，c．若a2+b（b﹣a）＝1，c ＝1，则a﹣b的取值范围为．12．已知数列{a n}满足a1＝4，a n＝2a n﹣1+2n（n≥2，n∈N*），若不等式2n2﹣n﹣3＜（5﹣λ）a n对任意n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围是．二.选择题13．函数y＝2sin，x∈R的最小正周期为（）A．12B．6C．D．14．已知k∈Z，下列各组角中，终边相同的是（）A．2kπ与kπB．2kπ+π与4kπ±πC．kπ+与2kπ±D．与kπ±15．已知函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0）在[0，π]上有两个零点，则ω的取值范围为（）A．（，）B．[，）C．（，）D．[）16．有一个三人报数游戏：首先A报数字1，然后B报下两个数字2，3，接下来C报下三个数字4，5，6，然后轮到A报下四个数字7，8，9，10，依次循环，直到报出10000，则A报出的第2020个数字为（）A．5979B．5980C．5981D．以上都不对三.解答题17．在△ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a2+c2﹣b2＝ac．（1）求B；（2）若a+c＝6，三角形的面积S△ABC＝2，求b．18．已知S n为{a n}的前n项和，{b n}是等比数列且各项均为正数，且S n＝n，b1＝2，b2+b3＝．（1）求{a n}和{b n}的通项公式；（2）记c n＝a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n．19．如图，有一块扇形草地OMN，已知半径为R，∠MON＝，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用，其中点A、B在弧上，且线段AB平行于线段MN．（1）若点A为弧的一个三等分点，求矩形ABCD的面积S；（2）设∠AOB＝θ，求A在上何处时，矩形ABCD的面积S最大？最大值为多少？20．设正项数列{a n}的前n项和为S n，首项为1，q为非零正常数，数列{lg（a n）}是公差为lgq的等差数列．（1）求数列{S n}的通项公式；（2）求证：数列是递增数列；（3）是否存在正常数c，使得{lg（c﹣S n）}为等差数列？若存在，求出c的值和此时q 的取值范围；若不存在，说明理由．21．数列{a n}满足a n a n+1a n+2＝a n+a n+1+a n+2（a n a n+1≠1，n∈N*），且a1＝1，a2＝2，若a n＝A sin（ωx+φ）+c（A≠0，ω＞0，|φ|＜）的形式表示．（1）求a3的值；（2）证明3为数列{a n}的一个周期，并用正整数k表示ω；（3）求{a n}的通项公式．参考答案一.填空题（共12小题）.1．若cosα＝﹣，则cos2α＝．【分析】由已知利用二倍角的余弦函数公式即可计算求值得解．解：∵cosα＝﹣，∴cos2α＝2cos2α﹣1＝2×﹣1＝．故答案为：．2．已知sinα＝，α∈（，π），则cosα＝﹣．【分析】由sinα的值，及α的范围，判断出cosα为负数，利用同角三角函数间基本关系求出cosα的值即可．解：∵sinα＝，α∈（，π），∴cosα＜0，则cosα＝﹣＝﹣，故答案为：﹣3．已知{a n}是等比数列，首项为3，公比为，则前4项的和为．【分析】利用等比数列前n项和公式能求出等比数列前4项的和．解：{a n}是等比数列，首项为3，公比为，则前4项的和为S4＝＝．故答案为：．4．若tanα＝3，则sin2α＝．【分析】利用同角三角函数的基本关系以及二倍角的正弦公式，把要求的式子化为，把已知条件代入运算求得结果．解：∵tanα＝3，∴sin2α＝2sinαcosα＝＝＝＝．故答案为：．5．等差数列{a n}的前n项和为S n，a4＝1，则S7＝7．【分析】先由等差数列的性质可得a1+a7＝2a4，再根据等差数列的求和公式代入即可．解：根据题意，等差数列{a n}中，a1+a7＝2a4，则S7＝×7＝7a4＝7，故答案为7．6．已知扇形的圆心角为，半径为5，则扇形的面积S＝．【分析】利用S＝，即可求得结论．解：∵扇形的圆心角为，半径为5，∴S＝＝＝故答案为：7．在数列{a n}中，a2＝5，a n+1﹣a n＝2n（n∈N*），则数列{a n}的通项a n＝2n+1．【分析】直接利用递推关系式和累加法求出数列的通项公式．解：由题意可得：，利用累加法，得：，a1＝3，于是：．故答案为：2n+18．我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S，则“三斜求积”公式为S＝，若c2sin A＝4sin C，B＝，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为．【分析】根据已知利用正弦定理可得ac＝4，根据余弦定理可得a2+c2﹣b2＝4，利用三斜公式即可求解．解：根据正弦定理，由c2sin A＝4sin C，得ac＝4，则由B＝，得：a2+c2﹣b2＝4，则△ABC的面积S＝＝．故答案为：．9．函数的图象向右平移个单位后与函数f（x）的图象重合，则下列结论中正确的是①②③．①f（x）的一个周期为﹣2π；②f（x）的图象关于x＝﹣对称；③x＝是f（x）的一个零点；④f（x）在单调递减．【分析】推导出f（x）＝sin[2（x﹣）+]＝sin（2x﹣），由此能求出结果．解：∵函数y＝sin（2x+）的图象向右平移个单位后与函数f（x）的图象重合，∴f（x）＝sin[2（x﹣）+]＝sin（2x﹣），∴f（x）的一个周期为﹣2π，故①正确；y＝f（x）的对称轴满足：2x﹣＝kπ+，k∈Z，∴当k＝﹣2时，y＝f（x）的图象关于x＝﹣对称，故②正确；由f（x）＝sin（2x﹣）＝0，得x＝+，∴x＝是f（x）的一个零点，故③正确；当x∈（﹣，）时，2x﹣∈（﹣，），∴f（x）在（﹣，）上单调递增，故④错误．故答案为：①②③．10．已知函数f（x）＝3sin x+4cos x，x1，x2∈[0，π]，则f（x1）﹣f（x2）的最大值是9．【分析】本题先将函数f（x）转化成正弦函数的形式，然后结合正弦函数的图象判断出函数f（x）在区间[0，π]上的最大值和最小值，从而得出结果．解：由题意，可知：f（x）＝3sin x+4cos x＝5•（sin x+cos x）＝5sin（x+θ），其中sinθ＝，cosθ＝．∵sinθ＝，可知sin＝，∴对于函数f（x）＝5sin（x+θ），可知：sin x向左平移θ个单位得到sin（x+θ），再将sin（x+θ）的图象沿y轴伸长到原来的5倍得到5sin（x+θ）．由题意，可知求f（x1）﹣f（x2）的最大值就是求函数f（x）＝5sin（x+θ）在区间[0，π]上的最大值与最小值之差．又函数f（x）＝5sin（x+θ）在区间[0，π]上的图象如下：由图象可知，在区间[0，π]上，当x＝时，f（x）取最大值5，当x＝π时，f（x）取最小值5sin（π+θ）＝﹣5sinθ＝﹣4．∴在区间[0，π]上，f（x1）﹣f（x2）的最大值是5﹣（﹣4）＝9．故答案为：9．11．在锐角△ABC中，内角A，B，C对的边分别为a，b，c．若a2+b（b﹣a）＝1，c ＝1，则a﹣b的取值范围为（1，）．【分析】先根据余弦定理求得角C，结合正弦定理把a﹣b转化为2（sin A﹣sin B），再结合AB之间的关系求出角A的范围，与正弦函数相结合即可求得结论．解：因为在锐角△ABC中，内角A，B，C对的边分别为a，b，c．∵a2+b（b﹣a）＝1，c＝1⇒a2+b2﹣ab＝c2⇒2cos C＝⇒cos C＝⇒C＝30°，∴＝＝＝＝2；∴a＝2sin A，b＝2sin B；∴a﹣b＝2（sin A﹣sin B）＝2[sin A﹣sin（150°﹣A）]＝2[sin A﹣（cos A+sin A）]＝2（sin A﹣cos A）＝2sin（A﹣30°）；∵0°＜A＜90°，0°＜B＜90°，A+B＝150°；∴60°＜A＜90°；∴30°＜A﹣30°＜60°⇒2sin（A﹣30°）∈（1，）；故a﹣b∈（1，）；故答案为：（1，）．12．已知数列{a n}满足a1＝4，a n＝2a n﹣1+2n（n≥2，n∈N*），若不等式2n2﹣n﹣3＜（5﹣λ）a n对任意n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围是．【分析】首先利用构造新数列法的应用求出数列的通项公式，进一步利用函数的恒成立问题的应用和函数的导数的应用求出结果．解：数列{a n}满足a1＝4，a n＝2a n﹣1+2n（n≥2，n∈N*），则：（常数），所以数列{}是以为首项，1为公差的等差数列．所以，整理得，不等式2n2﹣n﹣3＜（5﹣λ）a n对任意n∈N*恒成立，所以＝，所以对任意的n∈N*恒成立，所以设f（n）＝，故，当n＝1，2时，f′（n）＞0，当n≥3时，f′（n）＜0，所以f（2）＝，f（3）＝．所以．故答案为：（﹣）．二.选择题13．函数y＝2sin，x∈R的最小正周期为（）A．12B．6C．D．【分析】由题意利用函数y＝A sin（ωx+φ）的周期为，得出结论．解：函数y＝2sin，x∈R的最小正周期为＝12，故选：A．14．已知k∈Z，下列各组角中，终边相同的是（）A．2kπ与kπB．2kπ+π与4kπ±πC．kπ+与2kπ±D．与kπ±【分析】分别写出选项中所表示的终边所在的角的集合，逐一核对即可．解：2kπ（k∈Z）表示终边在x轴非负半轴上的角的集合，kπ（k∈Z）表示终边在x轴上的角的集合，两组角终边不同；2kπ+π与4kπ±π（k∈Z）都表示终边在x轴非正半轴上的角的集合，两组角终边相同；kπ+（k∈Z）表示终边与和终边相同的角的集合，2kπ±（k∈Z）表示终边与和﹣终边相同的角的集合，两组角终边不同；（k∈Z）表示终边在坐标轴上的角的集合，kπ±（k∈Z）表示终边在y轴上的角的集合，两组角终边不同；故选：B．15．已知函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0）在[0，π]上有两个零点，则ω的取值范围为（）A．（，）B．[，）C．（，）D．[）【分析】利用辅助角公式化积，由x的范围得到∈[，]，再由函数f（x）在[0，π]上有两个零点，可得2π≤ωπ+＜3π，由此求得ω的取值范围．解：f（x）＝sinωx+cosωx＝，∵x∈[0，π]，∴∈[，]，要使函数f（x）在[0，π]上有两个零点，则2π≤ωπ+＜3π，解得：≤ω＜．∴ω的取值范围为[，）．故选：B．16．有一个三人报数游戏：首先A报数字1，然后B报下两个数字2，3，接下来C报下三个数字4，5，6，然后轮到A报下四个数字7，8，9，10，依次循环，直到报出10000，则A报出的第2020个数字为（）A．5979B．5980C．5981D．以上都不对【分析】首先分析出A第n次报数的个数为3n﹣2，进一步求出3人以公报的次数，进一步利用前n项和公式的应用求出结果．解：由题意可得：A第n次报数的个数为3n﹣2，则A第n次报完数后共报的个数为．再代入正整数n，使得T n≥2020，解得：n的最小值为37，得T37＝2035．而A第37次报时，3人总共报了36×3+1＝109次，当A第109次报完数3人总的报数个数为．即A报出的第2035个数字为5995，故A报出的第2020个数字为5980．故选：B．三.解答题17．在△ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a2+c2﹣b2＝ac．（1）求B；（2）若a+c＝6，三角形的面积S△ABC＝2，求b．【分析】（1）由已知结合余弦定理可求cos B，进而可求B；（2）由已知结合三角形的面积公式可求ac，进而可求．解：（1）因为a2+c2﹣b2＝ac．由余弦定理可得，cos B＝＝，因为B为三角形的内角，所以；（2）∵a+c＝6，三角形的面积S△ABC＝＝＝2，∴ac＝8，∵a2+c2﹣b2＝ac，∴（a+c）2﹣b2＝3ac，∴36﹣b2＝24，∴b＝218．已知S n为{a n}的前n项和，{b n}是等比数列且各项均为正数，且S n＝n，b1＝2，b2+b3＝．（1）求{a n}和{b n}的通项公式；（2）记c n＝a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n．【分析】（1）先由a n＝S n﹣S n﹣1求得a n，再检验n＝1时是否适合，从而求得a n．设等比数列{b n}的公比为q，由题意列出q的方程，求得q，进而求得b n；（2）由（1）求得c n，再利用错位相减法求其前n项和T n．解：（1）∵S n＝n，∴当n≥2时，有a n＝S n﹣S n﹣1＝n﹣＝3n﹣1，又当n＝1时，有S1＝＝2＝a1也适合，∴a n＝3n ﹣1．设等比数列{b n}的公比为q，由题意得：，解得q＝，故；（2）由（1）得c n＝（3n﹣1）•（）n﹣2，∴T n＝2×（）﹣1+5×（）0+8×（）1+…+（3n﹣1）×（）n﹣2①，又＝2×（）0+5×（）1+8×（）2+…+（3n﹣1）×（）n﹣1②，由①﹣②得：＝4+3[1++（）2+…+（）n﹣2]﹣（3n﹣1）×（）n﹣1＝4+3×+（1﹣3n）×（）n﹣1＝10﹣（3n+5）•（）n﹣1∴．19．如图，有一块扇形草地OMN，已知半径为R，∠MON＝，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用，其中点A、B在弧上，且线段AB平行于线段MN．（1）若点A为弧的一个三等分点，求矩形ABCD的面积S；（2）设∠AOB＝θ，求A在上何处时，矩形ABCD的面积S最大？最大值为多少？【分析】（1）作OH⊥AB于点H，交线段CD于点E，连接OA、OB，求出AB，EH，可得矩形ABCD的面积S；（2）设∠AOB＝θ（0＜θ＜），求出AB，EH，可得矩形ABCD的面积S，再求最大值．解：（1）如图，作OH⊥AB于点H，交线段CD于点E，连接OA、OB，∴∠AOB＝，∴AB＝2R sin，OH＝R cos，OE＝DE＝AB＝R sin，∴EH＝OH﹣OE＝R（cos﹣sin），S＝AB•EH＝2R2（sin cos﹣sin2）＝，（2）设∠AOB＝θ（0＜θ＜），则AB＝2R sin，OH＝R cos，oe＝AB＝R cos，OE＝AB＝R sin，∴EH＝OH﹣OE＝R（cos﹣sin），S＝AB•EH＝R2（2sin cos﹣2sin2）＝R2（sinθ+cosθ﹣1）＝R2[sin（θ+）﹣1]，∵0＜θ＜，∴＜θ+＜，∴θ+＝即θ＝时，S max＝（﹣1）R2，此时A在弧MN的四等分点处．答：当A在弧MN的四等分点处时，S max＝（﹣1）R2．20．设正项数列{a n}的前n项和为S n，首项为1，q为非零正常数，数列{lg（a n）}是公差为lgq的等差数列．（1）求数列{S n}的通项公式；（2）求证：数列是递增数列；（3）是否存在正常数c，使得{lg（c﹣S n）}为等差数列？若存在，求出c的值和此时q 的取值范围；若不存在，说明理由．【分析】（1）根据题意得a1＝1，根据题意可得lg（a n）＝lg（a1）+（n﹣1）lgq＝lg1+（n﹣1）lgq＝lgq n﹣1，即a n＝q n﹣1，分当q＝1时，当q≠1时，两种情况写出S n（2）当q＝1时，S n＝n，＝1﹣随着n的增大而增大，当q＞0，q≠1时，﹣＝﹣＝＜0，可得数列是递增数列；（3）假设存在正常数c使得{lg（c﹣S n）}为等差数列，若{lg（c﹣S n）}为等差数列，可得q≠1，lg（c﹣+）＝lg＝nlgq﹣lg（1﹣q）为等差数列，即可求出c＝（0＜q＜1）．解：（1）根据题意得a1＝1，因为数列{lg（a n）}是公差为lgq的等差数列，所以lg（a n）＝lg（a1）+（n﹣1）lgq＝lg1+（n﹣1）lgq＝lgq n﹣1，所以a n＝q n﹣1，当q＝1时，S n＝n，当q≠1时，S n＝＝，所以．（2）证明：当q＝1时，S n＝n，所以＝＝1﹣随着n的增大而增大，当q＞0，q≠1时，S n＝，＝，由﹣＝﹣＝＜0，可得数列是递增数列；（3）假设存在正常数c使得{lg（c﹣S n）}为等差数列，当q＝1时，S n＝n，q≠1，S n＝，{lg（c﹣S n）}为等差数列，可得q≠1，lg（c﹣+）＝lg＝nlgq﹣lg（1﹣q）为等差数列，则有c＝（0＜q＜1）．21．数列{a n}满足a n a n+1a n+2＝a n+a n+1+a n+2（a n a n+1≠1，n∈N*），且a1＝1，a2＝2，若a n＝A sin（ωx+φ）+c（A≠0，ω＞0，|φ|＜）的形式表示．（1）求a3的值；（2）证明3为数列{a n}的一个周期，并用正整数k表示ω；（3）求{a n}的通项公式．【分析】（1）代值计算即可，（2）分别令n＝1，2，3，即可证明，根据周期公式即可求出，（3）分别由a1＝1，a2＝2，a3＝3，可得1＝A sin（+φ）+c，2＝﹣A sin（+φ）+c，3＝A sinφ+c，解得即可求出．解：（1）当a1＝1，a2＝2，a1a2a3＝a1+a2+a3，解得a3＝3；（2）当n＝2时，6a4＝2+3+a4，解得a4＝1，当n＝3时，3a5＝1+3+a5，解得a5＝2，…，可得a n+3＝a n，当a1＝1，a2＝2，a3＝3；故3为数列{a n}的一个周期，则＝3，k∈N*，则；（3）由（2）可得a n＝A sin（n+φ）+c，则1＝A sin（+φ）+c，2＝﹣A sin（+φ）+c，3＝A sinφ+c，即1＝A•cosφ﹣A•sinφ+c，①2＝﹣A•cosφ﹣A•sinφ+c，②由①+②，可得3＝﹣A sinφ+2c，∴c＝2，A sinφ＝1，①﹣②，可得﹣1＝A•cosφ，则tanφ＝﹣，∵|φ|＜，∴φ＝﹣，∴A＝﹣，故．。

七宝中学高一下期中数学试卷2020.5一、填空题1．若cos α=，则cos2α= ． 2．已知1sin ,,32x x ππ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则cos x = ．3．已知{}n a 是等比数列，首项为3，公比为12，则前4项的和为 ． 4．若tan 3α=，则sin2α= ．5．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，41a =，则7S = ． 6．已知扇形的圆心角为23π，半径为5，则扇形的面积为 ． 7．在数列{}n a 中，()215,2n n n a a a n *+=-=∈N ，则数列{}n a 的通项n a = ． 8．我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设A BC △内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为S =若2sin 4sin ,3c A C B π==，则用“三斜求积”公式求得A BC △的面积为 ．9．函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移3π个单位后与函数()f x 的图像重合，则下列结论中正确的是 ．①()f x 的一个周期为2π-；②()f x 的图像关于712x π=-对称； ③76x π=是()f x 的一个零点；④()f x 在5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减 10．已知函数[]12()3sin 4cos ,,0,f x x x x x π=+∈，则()()12f x f x -的最大值是 ．11．在锐角A BC △中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()21,1a b b c +==，则b -的取值范围为 ．12．已知数列{}n a 满足()114,222,n n n a a a n n *-==+∈N ≥，若不等式()2235n n n a λ--<-对任意n *∈N 恒成立，则实数λ的取值范围是 ．二、选择题 13．函数2sin,6xy x π=∈R 的最小正周期为（ ）A ．12B ．6C ．12π D ．6π 14．已知k ∈Z ，下列各组角中，终边相同的是（ ）A ．2k π与k πB ．2k ππ+与4k ππ±C ．6k ππ+与26k ππ±D ．2k π与2k ππ±15．已知函数()()cos 0f x x x ωωω=+>在[]0,π上有两个零点，则ω的取值范围为（ ）A ．1117,66⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1117,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．58,33⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．58,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭16．有一个三人报数游戏：首先A 报数字1，然后B 报下两个数字2,3，接下来C 报下三个数字4,5,6，然后轮到A 报下四个数字7,8,9,10，依次循环，直到报出10000，则A 报出的第2020个数字为（ ）A ．5979B ．5980C ．5981D ．以上都不对三、解答题17．在A BC △中，三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且222a c b ac +-=． （1）求B ；（2）若6a c +=，三角形的面积A BC S =△b ．18．已知n S 为{}n a 的前n 项和，{}n b 是等比数列且各项均为正数，且2123313,2,222n S n n b b b =+=+=．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T ．19．如图，学校门口有一块扇形空地OMN ，已知半径为常数R ，2M ON π∠=，现由于防疫期间，学校要在其中圈出一块矩形场地ABCD 作为体温检测室使用，其中点,A B 在弧M N 上，且线段AB 平行于线段M N ．（1）当点A 为弧M N 的一个三等分点，求矩形ABCD 的面积；（2）设AOB θ∠=，当A 在何处时，矩形ABCD 的面积最大？最大值为多少？20．设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项为1，q 为非零正常数，数列(){}lg n a 是公差为lg q 的等差数列．（1）求数列{}n S 的通项公式； （2）求证：数列1n n S S +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列；（3）是否存在正常数c ，使得(){}lg n c S -为等差数列？若存在，求出c 的值和此时q 的取值范围；若不存在，说明理由．21．数列{}n a 满足()121211,n n n n n n n n a a a a a a a a n *+++++=++≠∈N ，且121,2a a ==．若()sin 0,0,2n a A n c A πωϕωϕ⎛⎫=++≠>< ⎪⎝⎭．（1）求3a 的值；（2）证明3为数列{}n a 的一个周期，并用正整数k 表示ω； （3）求{}n a 的通项公式．参考答案一、填空题1．12 2． 3．458 4．355．7 6．253π 7．21n +8 9．①②③ 10．9 11．( 12．37,8⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【第10题解析】()5sin()f x x ϕ=+，其中4arctan 3ϕ=，当[0,]x π∈时，()[4,5]f x ∈-， 12max [()()]5(4)9f x f x -=--=．【第11题解析】由题意及余弦定理，可知222222cos c a b a b ab C =+=+-，∴cos C =6C π=，再由正弦定理知2sin sin sin a b c A B C===，∴2sin ,2sin a A b B ==， 2sin 2sin()cos 2sin6b A B A A C A A A π⎛⎫-=-=-+=-=- ⎪⎝⎭，由A BC △为锐角三角形及6C π=，可得0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且50,62B A ππ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，∴,32A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,663A πππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，1sin 62A π⎛⎛⎫-∈ ⎪ ⎝⎭⎝⎭(b -∈ 【第12题解析】111222122n n n n n n n na a a a ---÷=+−−−→=+，∴2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为2，公差为1的等差数列，∴()12nn a n =+⋅，分离参数，得()223512n n n n λ--<-+⋅，记()()22312nn n g n n --=+⋅，分析单调性可知（可借助计算器的表格功能研究），()()max 338g n g ==，∴358λ->，378λ<．二、选择题13．A 14．B 15．B 16．B【第15题解析】()2sin()6f x x πω=+，令6t x πω=+，,66t πππω⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，0sin 0()y t t k k π=⇒=⇒=∈Z ，要满足题意，则{},()66t t k k πππωπ⎡⎤+=∈⎢⎥⎣⎦Z I 有且仅有两个元素，∴236πππωπ+<≤，解得1117,66ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，选B ．【第16题解析】由题意，A 依次所报的数字的个数为1、4、7、……，构成数列32n a n =-， 记其前n 项和为n S ，则232n n n S -=，3619262020S =<，3720352020S =>，前n 次报数完毕后，最末的那个数字为(1)2n n +，当前108次报数完毕时，最末的那个数字为5886，此时A 累计报数1926个，第109次报数由A 完成，5886(20201926)5980+-=即为所求，选B ．三、解答题17．（1）∵222a c b ac +-= ∴2221cos 22a cb B ac +-==由()0,B π∈可得3B π=．（2）由（1）知3B π=，则1sin 2A BC S acB ==V 8ac = 又6a c +=，()22222cos 312b a c ac B a c ac =+-=+-=解得b =18．（1）由题意当1n =时，1131222a S ==+=； 当2n ≥时，()()221313111312222n n n a S S n n n n n -⎛⎫⎡⎤=-=+--+-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；所以31n a n =-设{}n b 的公比为q ，则211132,2b b q b q =+=，解得12q =或32q =-（舍去） 所以1211222n n n b --⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（2）由（1）得2312n n n c --=，则1012258312222n n n T ---=++++L 两边同乘12，得012112583122222n n n T --=++++L 上面两式相减，得101211112333316311022222222n n n n n n n T -------=++++-=--L所以235202n n n T -+=-19．（1）作OH AB ⊥于点H ，交线段CD 于点E ，连接,OA OB则6A OB π∠=，∴2sin,cos1212A B R OH R ππ==1sin 212OE DE A B R π===∴cos sin 1212EH OH OE R ππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭∴2222sin cos 2sin 121212S A B EH R πππ⎛⎫=⋅=-=⎪⎝⎭（2）由AOB θ∠=得2sin ,cos 22A B R OH R θθ==1sin 22OE DE A B R θ===∴cos sin 22EH OH OE R θθ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭∴()22222sin cos 2sin sin cos 112224S A B EH R R R θθθπθθθ⎤⎛⎫⎛⎫=⋅=-=+-=+- ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦∵0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴3,444πππθ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭∴当42ππθ+=即4πθ=时，)2max 1S R =，此时A 在弧M N 的四等分点处．20．（1）由数列(){}lg n a 是公差为lg q 的等差数列得1lg lg lg n n a a q +-=，n *∈N解得10n na q a +=>，又11a =，所以1n n a q -=，11011nn n q S q q q q =⎧⎪=-⎨>≠⎪-⎩且（2）当1q =时，111,11n n S n n S n n *+==-∈++N ，显然是递增数列； 当01q q >≠且时，1111n n n n S q S q ++-=-，从而有12121212111(1)11(1)(1)n n n n n n n n n n n S S q q q q S S q q q q ++++++++----=-=---- 当01q <<时，上式为正；当1q >时，上式为正 所以121,n n n n S Sn S S *+++>∈N ，即是递增数列． （3）若存在正常数c ，使得(){}lg n c S -为等差数列， 则()()()21lg lg 2lg n n n c S c S c S ++-+-=-对n *∈N 恒成立 即()()()2210n n n c S c S c S ++----=对n *∈N 恒成立，且0n c S ->当1q =时，()()()()()()22212110n n n c S c S c S c n c n c n ++----=------=-<，故上述不等式不成立，即不存在正常数c ，使得(){}lg n c S -为等差数列；当1q ≠时，由于 ()()()()221221111111110n n n n n n n c S c S c S q q q c c c q q q q c q ++++----⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=---- ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭=---=⎡⎤⎣⎦，要使等式成立，只有()11=0c q --，即101c q=>-，由此得01q <<，此时n c S -=01n q q >-． 故存在正常数c ，使得(){}lg n c S -为等差数列．综上可知，当1q ≥时，不存在正常数c ，使得(){}lg n c S -为等差数列；当01q <<时，存在正常数c ，使得(){}lg n c S -为等差数列． 21．（1）由题意，令1n =得123123a a a a a a =++ 又121,2a a ==，所以33a =（2）由1212n n n n n n a a a a a a ++++=++可得123123n n n n n n a a a a a a ++++++=++两式相减，()3123n n n n n n a a a a a a ++++-=-，那么3n n a a +=，则3为数列{}n a 的一个周期 所以()()sin 3sin A n c A n c ωϕωϕ+++=++⎡⎤⎣⎦即()()sin 3sin n n ωωϕωϕ++=+⎡⎤⎣⎦对n *∈N 恒成立所以()2323k k k πωπω*=⇒=∈N （3）因为2sin 3n k a A n c πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭过点()1,1、()2,2、()3,3，所以()2,2为2sin 3n k a A n c πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的一个对称中心，因此2c =当()31k m m =+∈N 时，2sin 23n a A n πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭则有122sin 2134sin 223a A a A πϕπϕ⎧⎛⎫=++= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=++= ⎪⎪⎝⎭⎩解得3A πϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩； 当()32k m m =+∈N 时，4sin 23n a A n πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭则有124sin 2138sin 223a A a A πϕπϕ⎧⎛⎫=++= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=++= ⎪⎪⎝⎭⎩解得3A πϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩； 当()3k m m =∈N 时，sin 2n a A ϕ=+ 则有12sin 21sin 22a A a A ϕϕ=+=⎧⎨=+=⎩此方程无解；综上：2233n a n ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭或4233n a n ππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭。

2019-2020学年上海中学高一下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共6小题，共18.0分）1.若sin(π+α)=√53且α∈(−π2,0)，则cos(π−α)=()A. −23B. −√53C. 23D. ±232.若sinαsinβ=1，则cos(α+β)=()A. 1B. −1C. 0D. 0或−13.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式是()A. f(x)=2sin(2x+π3)B. f(x)=2sin(x+π3)C. f(x)=2sin(2x+π6)D. f(x)=2sin(x+π6)4.函数f(x)=cos(π6−x)的单调递减区间是()A. [2kπ+π6,2kπ+7π6]，k∈Z B. [2kπ−5π6,2kπ+π6]，k∈ZC. [2kπ+7π6,2kπ+13π6]，k∈Z D. [2kπ,2kπ+π]，k∈Z5.求满足2x(2sinx−√3)≥0，x∈(0,2π)的角α的集合()A. (0,π3) B. [π3,2π3] C. [π3,π2] D. [π2,2π3]6.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且ctanC=√3acosB+√3bcosA，若c=√7,a=2，则b的值为()A. 3B. 1C. 2D. √2二、单空题（本大题共10小题，共30.0分）7.点P是角α的终边上的一点，且P(3,−4)，则sinα−cosα=______ ．8.函数y=3sin(π2x+3)的最小正周期为________。

9.在单位圆中，面积等于1的扇形所对的圆心角的弧度数为____．10.已知(x0,0)是函数f(x)=3sin(x+π6)图象的一个对称中心，则tan(5π+x0)=．11.已知α，β∈(0,π2)，sin(α−β)=35，cosβ=1213，则sinα=______．12.已知，则的值为_________．13.若，则的值为__________．14.在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若b2+c2=4a2，则cos A的最小值为______．15.函数y=2sin(3x+π3)在区间[−π6,π3]上的最小值为__________．16.函数y=x+5x−a在(−1,+∞)上是单调递减函数，则实数a的取值范围是____．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.已知α为第三象限角，f(α)=sin(α−π2)cos(3π2+α)tan(π−α)tan(−α−π)sin(−α−π)．(1)化简f(α)；(2)若f(α)=45，求tanα18.设函数的最小正周期为．(1)若f(α2+3π8)=2425，且α∈(−π2,π2)，求tanα的值．(2)“五点法”画出函数y=f(x)在区间[0,π]上的简图．(3)y=f(x)的图象经过怎样的图象变换，可以得到y=sinx的图象．y=f(x)→ _____________ →y=sinx19.已知sinα=23，α∈(π2,π)，cosβ=−35，β∈(π,3π2)，求sin(α+β)的值．20.如图所示，在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100米后到达点B，又从点B 测得斜度为45°，建筑物的高CD为50米．求此山对于地平面的倾斜角θ的余弦值．21.已知函数f(x)=2√3sin(x+π4)cos(x+π4)+sin2x+a的最大值为1．(1)求实数a的值;(2)若将f(x)的图象向左平移π6个单位，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0,π2]上的最小值．【答案与解析】1.答案：A解析：解：∵sin(π+α)=√53，∴sinα=−√53，且α∈(−π2,0)，∴cosα=√1−sin 2α=23，则cos(π−α)=−cosα=−23． 故选：A ．已知等式利用诱导公式化简求出sinα的值，根据α的范围，利用同角三角函数间基本关系求出cosα的值，所求式子利用诱导公式化简后将cosα的值代入计算即可求出值． 此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．2.答案：B解析：解：由sinαsinβ=1，得cosαcosβ=0， ∴cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ=−1． 故选：B ．由sinαsinβ=1，得cosαcosβ=0，利用两角和的余弦函数公式可得答案． 本题考查两角和与差的余弦公式，考查学生的运算能力，属基础题．3.答案：B解析：本题主要考查由函数y =Asin(ωx +φ)的部分图象求解析式，属于基础题．由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由f (76π)=−2结合0<φ<π2求出φ的值． 解：由函数过点(2π3,0)，(7π6,−2) 可得A =2，14T =π2ω=7π6−2π3=π2则ω=1，即f (x )=2sin (x +φ)，又f(76π)=−2，即sin(76π+φ)=−1，所以76π+φ=32π+2kπ(k∈Z)，又0<φ<π2，所以φ=π3，所以函数f(x)=2sin(x+π3)．故选B．4.答案：A解析：本题考查了余弦函数的单调性，属于基础题．先根据余弦函数的单调性判断出单调递减时x−π6的范围，进而求得x的范围，求得函数的单调递减区间．解：对于函数，∵y=cosx的单调减区间为[2kπ,2kπ+π]，k∈Z，∴2kπ≤x−π6≤2kπ+π，k∈Z，解得2kπ+π6≤x≤2kπ+7π6，k∈Z，故函数f(x)的单调减区间为[2kπ+π6,2kπ+7π6]，k∈Z故选A．5.答案：B解析：解：∵满足2x(2sinx−√3)≥0，2x>0．∴sinx≥√32，∵x∈(0,2π)，∴π3≤x≤2π3，故选：B．满足2x(2sinx−√3)≥0，化为sinx≥√32，由于x∈(0,2π)，利用正弦函数的单调性即可得出．本题考查了指数函数的单调性、正弦函数的单调性，属于基础题．6.答案：A解析：本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sinCtanC =√3sinC ，结合sinC ≠0，可求得tanC =√3，结合范围C ∈(0,π)，可求C ，进而根据余弦定理b 2−2b −3=0，解方程可求b 的值． 解：∵ctanC =√3acosB +√3bcosA ，∴由正弦定理可得：sinCtanC =√3(sinAcosB +sinBcosA)=√3sin(A +B)=√3sinC ， ∵sinC ≠0， ∴可得tanC =√3， ∵C ∈(0,π)， ∴C =π3， ∵c =√7，a =2，∴由余弦定理c 2=a 2+b 2−2abcosC ，可得7=4+b 2−2×2×b ×12，可得b 2−2b −3=0， ∴解得b =3，或b =−1(负值舍去)． 故选A ．7.答案：−73解析：解：∵|OP|=√32+(−4)2=5， ∴sinα=−45，cosα=35． ∴sinα−cosα=−45−35=−75．故答案为：−75．利用三角函数的定义即可得出．本题考查了三角函数的定义，属于基础题．8.答案：4解析：本题考查三角函数的周期公式．依题意，最小正周期为2ππ2=4，即可得到结果．解：因为y=3sin(π2x+3)，所以最小正周期为2ππ2=4，故答案为4．9.答案：2解析：本题考查了扇形的面积公式应用问题，根据扇形的面积公式，计算该扇形的圆心角弧度数即可，是基础题．解：由题意可知扇形的半径为r=1，面积为S=1，则S=12α⋅r2=12α=1，α=2，∴该扇形的圆心角α的弧度数是2．故答案为2．10.答案：−√33解析：本题主要考查正弦函数的图像及性质和正切的诱导公式及周期，属于基础题．首先根据正弦函数的图像和性质求出x0，然后利用诱导公式求正切即可．解：因为(x0,0)是函数f(x)=3sin(x+π6)图象的一个对称中心，所以x0+π6=kπ(k∈Z)，即x0=kπ−π6(k∈Z)，所以tan(5π+x0)=tanx0=tan(kπ−π6)=−tanπ6=−√33．11.答案：5665解析：解：α，β∈(0,π2)，sin(α−β)=35，cosβ=1213，可得cos(α−β)=√1−sin2(α−β)=45，sinβ=√1−cos2β=513，sinα=sin(α−β+β)=sin(α−β)cosβ+cos(α−β)sinα=35×1213+45×513=5665．故答案为：5665．利用同角三角函数基本关系式以及两角和与差的正弦函数化简求解即可．本题考查同角三角函数基本关系式以及两角和与差的三角函数，考查计算能力．12.答案：78解析：题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．由诱导公式，二倍角的余弦函数公式化简所求，结合已知即可计算求值．解：，，∴sin2x=cos(π2−2x)=1−2sin2(π4−x)=78．故答案为78.13.答案：解析：，则14.答案：34解析：本题考查了余弦定理和基本不等式的应用问题，是基础题．利用余弦定理和基本不等式，即可求得cos A的最小值．解：△ABC中，b2+c2=4a2，则a2=14(b2+c2)，由余弦定理得，cosA=b2+c2−a22bc=b2+c2−14(b2+c2)2bc=3(b2+c2)8bc ≥3×2bc8bc=34，当且仅当b=c时取等号，∴cosA的最小值为34．故答案为：34．15.答案：−√3解析：因为x∈[−π6,π3]，所以3x+π3∈[−π6,4π3]，所以当3x+π3=4π3时，函数y=2sin(3x+π3)有最小值−√3...16.答案：(−5,−1]解析：本题以分式函数为例，考查了函数的单调性的判断与证明，属于基础题.题中的分式函数与反比例函数有关，因此用反比例函数的图象研究比较恰当．根据题意，将题中的函数分离常数，变形为y=1+a+5x−a ，进而研究反比例函数y=a+5x在区间(0,+∞)上是一个单调减的函数，从而得出实数a的取值范围．解：函数y=x+5x−a =1+a+5x−a函数的图象可由函数y=a+5x的图象先向右平移a个单位，再向上平移1个单位而得，∵函数在(−1,+∞)上单调递减，∴{a +5>0a ≤−1，可得−5<a ≤−1， 故答案为(−5,−1]．17.答案：解：(1)由f(α)=sin(α−π2)cos(3π2+α)tan(π−α)tan(−α−π)sin(−α−π)=−cosαsinα⋅(−tanα)−tanα⋅sinα=−cosα． (2)∵f(α)=45，即cosα=−45，α为第三象限角，那么：sinα=−√1−cos 2α=−35可得tanα=sinαcosα=34．解析：(1)根据诱导公式化简可得f(α)；(2)利用同角三角函数关系式即可得解．本题主要考察了同角三角函数关系式和诱导公式的应用，属于基本知识的考查．18.答案：解：(1)∵函数的最小正周期为， ∴2πω=π，∴ ω=2.可知f(x)=sin(2x −3π4) ， 由f(α2+3π8)=2425得：sinα=2425， ∵−π2<α<π2， ∴cosα=725，∴tanα=247.(2)由(1)知f(x)=sin(2x −3π4)，于是有： x 0 π8 5π8π y −√22−1 0 1 0 −√22描点，连线，函数y =f(x)在区间[0,π]上的图象如下：(3)把y =f(x)=sin(2x −3π4)图象上点的横坐标变为原来的2倍， 可得函数y =sin(x −3π4)的图象； 再把图象向左平移3π4个单位长度，可得函数y =sinx 的图象.解析：本题主要考查正弦函数的性质，用五点法作函数y =Asin(ωx +φ)在一个周期上的简图，函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于中档题．(1)由周期可得：f(x)=sin(2x −3π4)，然后利用已知结合α的取值范围求解．(2)用五点法作函数y =Asin(ωx +φ)在一个周期上的简图．(3)根据函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，可得结论．19.答案：解：∵sinα=23，α∈(π2,π)，cosβ=−35，β∈(π,3π2)，∴cosα=−√1−sin 2α=−√53，sinβ=−√1−cos 2β=−45， ∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=23×(−35)+(−√53)×(−45)=4√5−615． 解析：由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα，sinβ的值，进而利用两角和的正弦函数公式即可计算得解sin(α+β)的值．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想和计算能力，属于基础题．20.答案：解：在△ABC 中，∠BAC =15°，AB =100米，∠ACB =45°−15°=30°. (3分)根据正弦定理有100sin30∘=BC sin15∘，∴BC =100sin15°sin30∘. (6分)又在△BCD 中，∵CD =50，BC =100sin15°sin30∘，∠CBD =45°，∠CDB =90°+θ，根据正弦定理有50sin45∘=100sin15°sin30∘sin(90∘+θ).(10分)解得cosθ=√3−1(12分)解析：在△ABC中，根据正弦定理求出BC，在△BCD中，推出∠CDB=90°+θ，通过正弦定理转化求解即可．本题考查正弦定理的实际应用，解三角形的方法，考查计算能力．21.答案：解：(1)∵函数f(x)=2√3sin(x+π4)cos(x+π4)+sin2x+a=√3cos2x+sin2x+a=2sin(2x+π3)+a≤2+a=1，∴a=−1；(2)将f(x)的图象向左平移π6个单位，得到函数g(x)的图象，∴g(x)=f(x+π6 )=2sin[2(x+π6)+π3]−1=2sin(2x+2π3)−1．当x∈[0,π2]时，2x+2π3∈[2π3,5π3]，故当2x+2π3=3π2时，sin (2x+2π3)=−1，函数g(x)取得最小值为−2−1=−3．解析：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图像和性质，属于中档题．(1)由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式为函数f(x)=2sin(2x+π3)+a，可得a=−1．(2)根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，可得g(x)=2sin(2x+2π3)−1.再根据x∈[0,π2]，利用正弦函数的图像和性质求得函数g(x)的最小值．。

2020-2021学年上海市闵行区七宝中学高一(下)期中数学复习卷一、单选题（本大题共4小题，共20.0分）1.已知α为三角形的一个内角，且sinα+cosα=15,则tanα=()A. −34B. −43C. −34或−43D. ±432.在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，若a=b=√33c，则∠A，∠B，∠C的度数之比为()A. 1：1：5B. 1：1：4C. 1：1：3D. 1：1：23.12.已知函数对任意实数都有且，则实数的值等于()A. −1B.C. 5或1D. −5或−14.将函数后得到函数()A. B. C. D.二、单空题（本大题共12小题，共54.0分）5.若sinθ=35且sin2θ<0，则tanθ=______．6.《九章算术》是我国古代数学经典名著，其中有这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有−圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该木材，锯口深一寸，锯道长−尺．问这块圆柱形木材的直径是多少？现有长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分).已知弦AR =1尺，弓形高CD =1寸，估算该木材镶嵌在墙体中的体积约为______立方寸．(结果保留整数) 注：l 丈=10尺=100寸，π≈3.14，sin22.5°≈513．7. tan π12=______．8. sin(α+π4)=513，则cos(π4−α)的值为______ ．9. 已知P 为曲线C ：{x =3cosθy =4sinθ(θ为参数，0≤θ≤π)上一点，O 为坐标原点，若直线OP 的倾斜角为π4，则P 点的坐标为______．10. 在△ABC 中，a =2，b =√7，c =3，那么角B 等于______ ．11. 设a =√1−cos50°2 , b =2tan13°1+tan 213∘ , c =12cos6°−√32sin6°，将a ，b ，c 用“<”号连接起来为______． 12. 下列命题正确的是 (填上你认为正确的所有命题的代号) ______ ．①函数y =−sin(kπ+x)，(k ∈Z)是奇函数； ②函数y =2sin(2x +π3)的图象关于点(π12,0)对称； ③若α、β是第一象限的角，且α>β，则sinα>sinβ ④△ABC 中，cosA >cosB 等价转化为A <B ．13. 函数f(x)=√x 2−2x −3的单调减区间是______．14. 方程sinx +√3cosx =1在闭区间[0,2π]上的所有解的和等于______ ．15. (1)设x ，y 满足约束条件{x +3y ≤3x −y ≤1y ≥0则z =x +y 的取值范围是 ．(2)设θ为第二象限角，若tan(θ+π4)=12，则sin θ+cos θ= ．(3)在区间[0,2]上随机地取一个数x ，则事件“−1≤log 12(x +12)≤1”发生的概率为 ．(4)已知函数f (x )=x 3−2x +e x −e −x ，其中e 是自然对数的底数，若f (a −1)+f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是 ．16. 设函数f(x)=sin(πx +π4)时，若x ∈(2020,a)时，f(x)存在零点和极值点，则整数a 的最小值为______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17. (1)已知tan(π4+α)=2.求sin2α+cos 2α的值；(2)已知A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)是以坐标原点O 为圆心的单位圆上的两点，劣弧AB ⏜所对的圆心角为α，若sinα+cosα=717，求x 1x 2+y 1y 2的值．18. 已知α，β为锐角，cosα=35，cos(α+β)=−√55． (Ⅰ)求sin2α的值； (Ⅱ)tan(α−β)的值．19. (本题满分13分)如图，某巡逻艇在处发现北偏东相距海里的处有一艘走私船，正沿东偏南的方向以海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以海里/小时的速度沿着正东方向直线追去，小时后，巡逻艇到达处，走私船到达处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以海里/小时的速度沿着直线追击．(Ⅰ)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里⋅(Ⅱ)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船⋅20.△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知m⃗⃗⃗ =(sinA−sinB,sin(A+B))，n⃗=(a−c,a+b)，且m⃗⃗⃗ //n⃗，(Ⅰ)若a=3c，且△ABC的面积S=3√3，求b；(Ⅱ)求2sin2A+cos(A−C)的范围．21.已知函数f(x)=sin(2x+π3).求函数f(x)的对称轴，并求函数f(x)在区间[0,π2]内的值域．【答案与解析】1.答案：B解析：解：∵sinα+cosα=15，且sin2α+cos2α=1，∴(sinα+cosα)2=sin2α+cos2α+2sinαcosα=1+sin2α=125，∴sin2α=2sinαcosα=−2425<0，即cosα<0，∴90°<α<135°，又sin2α=2tanα1+tan2α，∴2tanα1+tan2α=−2425，即(4tanα+3)(3tanα+4)=0，解得：tanα=−34(舍去)或tanα=−43，则tanα=−43．故选：B．把已知的等式左右两边平方，再利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简，求出sin2α的值，再利用万能公式sin2α=2tanα1+tan2α列出关于tanα的方程，求出方程的解即可得到tanα的值．此题考查了同角三角函数间的基本关系，二倍角的正弦函数公式，以及万能公式，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．2.答案：B解析：解：假设c=3，可求a=b=√3，由余弦定理可得：cosC=a 2+b2−c22ab=2×√3×√3=−12，可求C=120°，A=B=30°，所以：A：B：C=1：1：4．故选：B．设c=3，可求a=b=√3，由余弦定理可得cosC=−12，可求C=120°，A=B=30°，从而得解．本题主要考查了余弦定理中的求角公式的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．3.答案：D解析：本题考查的是三角函数的最值问题以及函数的周期性。

2021学年七宝中学高一第二学期期中数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分）只要求直接填写结果，第1~6题每个空格填对得4分，第7~12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.1.函数sin(2)1y x =-+的严格单调递增区间为_____________.2.函数sin 2cos 26y x x π=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的最小正周期是_________.3.若cos cos 2θθθ-可化为2sin(2),θϕπϕπ+-<<，则ϕ=_______.4.已知向量(2,1),10,a a b a b =⋅=+=，则b = ________.5.在ABC 中，已知,3,23A AB AC π===，则ABC 的外接圆半径R =________.6.已知(1,2),(3,4)a b =-=，则a 在b 方向上的投影为_____________.7.在ABC 中，cos sin A B >，则ABC 的形状为____________.8.函数sin 2cos 2y x a x =+的图像关于直线6x π=-对称，则实数a 的值为__________．9.在△ABC 中，2C π∠=，2AC BC ==，M 为AC 的中点，P 在线段AB 上，则MP CP ⋅ 的最小值为________10.已知两个函数32(),()(1)1,01x f x g x a x a x -==-+≠-的图象相交于,A B 两点，若动点P 满足||2PA PB += ，则||OP(O 为坐标原点)的最小值为________.11.对于函数2()2sin f x x x =，有以下4个结论：①函数()y f x =的图象是中心对称图形；②任取x ∈R ，()2f x x ≤恒成立；③函数()y f x =的图象与x 轴有无穷多个交点，且任意两相邻交点的距离相等；④函数()y f x =与直线2y x =的图象有无穷多个交点，且任意两相邻交点间的距离相等.其中正确的结论序号为_______________.12.非零向量,,a b c 满足()()0c a c b -⋅-= ，则||||||a b a b c ++-的最小值为_______.二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上填选项，选对得5分，否则一律得零分.13.已知m R ∈，则ma mb = 是a b =的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件14.若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，给出下列四个函数：1()cos f x x x =+，2()f x x =+，3()cos sin f x x x =-，4()sin f x x =，则“同形”函数是（）A.1()f x 与2()f x B.2()f x 与4()f x C.2()f x 与3()f x D.1()f x 与4()f x 15.在ABC 中，已知30,18A b =︒=，设(0)a x x =>以下说法错误的是（）A.若ABC 有两解，(9,18)x ∈B.若ABC 有唯一解，[18,)x ∈+∞C.若ABC 无解，(0,9)x ∈ D.当10x =，ABC 外接圆半径为1016.若O 是ABC 外接圆圆心， A B C 、、是ABC 的内角，若cos cos 2sin sin B C AB AC mAO C B+= ，则实数m 的值为（）A.1B.sin AC.cos AD.tan A三、解答题（本大题共有5题，满分76分，解答下列各题必须写出必要的步骤，答题务必写在答题纸上规定位置）17.已知两个不平行的向量 a b、的夹角为θ，且||1 ||4a b == ，.（1）若2a b + 与3+a kb平行，求k 的值；（2）若,3x R πθ=∈，当||xa b - 的最小时，求向量b 与xa b - 的夹角.19.已知(sin ,cos ) (cos sin 2cos )a x xb x x x =-=--,,，函数()(),R f x a a b x =⋅+∈ .（1）求函数()y f x =的最小正周期及对称轴方程；（2）将函数()y f x =按照c 的方向平移后得到的函数是奇函数，求||c 最小时的c .21.某市为表彰在脱贫攻坚工作中做出突出贡献的先进单位，制作了一批奖杯，奖杯的剖面图形如图所示，其中扇形OAB 的半径为10，60,,PBA QAB AQ QP PB OM QP ∠=∠=︒==⊥交QP 于M ，交AB 于C ，且OC AB ⊥，设AOC θ∠=，（1）用θ表示OM 的长度；（2）若按此方案设计，工艺制造厂发现，当OM 最长时，该奖杯比较美观的长度以及θ的大小．22.如图所示：点O 是ABC 所在平面上一点，并且满足()AO mAB nAC m n R =+∈、，已知6260AB AC BAC ==∠= ，，.（1）若实数13m n ==，求证：O 是ABC 的重心；（2）若O 是ABC 的外心，求m n 、的值；（3）如果O 是BAC ∠的平分线上某点，则当3m n+达到最小值时，求||AO .24.已知函数()sin()(0 0)f x x ωϕωϕπ=+><<,的最小正周期为π，且直线2x π=-是其图象的一条对称轴.将函数()y f x =的图象向右平移4π个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍所得的图象对应函数记作()y g x =，令函数()()()F x f x g x λ=+.（1）求函数()y g x =的函数解析式；（2）求函数()y F x =的最大值及相对应的x 的值；（3）若函数()()()F x f x g x λ=+在(0,)n π内恰有2021个零点，其中常数R λ∈，,1n N n ∈≥，求常数λ与n 的值.2021学年七宝中学高一第二学期期中数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分）只要求直接填写结果，第1~6题每个空格填对得4分，第7~12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.1.函数sin(2)1y x =-+的严格单调递增区间为_____________.【1题答案】【答案】3[,](Z)44k k k ππππ++∈【解析】【分析】根据正弦型函数的单调性进行求解即可.【详解】当3222(Z)22k x k k ππππ+≤≤+∈时，即3(Z)44k x k k ππππ+≤≤+∈时，函数单调递增，所以函数sin(2)1y x =-+的严格单调递增区间为3[,](Z)44k k k ππππ++∈，故答案为：3[,](Z)44k k k ππππ++∈2.函数sin 2cos 26y x x π=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的最小正周期是_________.【2题答案】【答案】π【解析】【分析】利用两角和差的正弦公式将函数化简，再结合正弦函数的性质计算可得；【详解】解：sin 2cos 26y x x π=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭sin 2coscos 2sin cos 266x x x ππ=-+12cos 2cos 222x x x =-+31sin 2cos 222x x =+sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以函数的最小正周期22T ππ==故答案为：π．3.若cos cos 2θθθ-可化为2sin(2),θϕπϕπ+-<<，则ϕ=_______.【3题答案】【答案】6π-【解析】【分析】根据二倍角公式、辅助角公式进行求解即可.【详解】1cos cos 22cos 2sin 2cos 2)22θθθθθθθ-=-=-，令3cos ,21sin ,2ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，因为πϕπ-<<，所以由3cos ,62561,sin ,662πϕϕπϕππϕϕ⎧⎧=±=⎪⎪⎪⎪⇒⇒=-⎨⎨⎪⎪=--=-⎪⎪⎩⎩，即31cos cos 22cos 2sin 2cos 2)2sin(2226πθθθθθθθθ-=-=-=-，故答案为：6π-4.已知向量(2,1),10,a a b a b =⋅=+=，则b = ________.【4题答案】【答案】5【解析】【分析】由a b += ，得到22250a a b b +⋅+= ，结合题意，即可求解.【详解】由题意，向量(),2,110a a b =⋅= ，可得25a = ，又由a b += ，则22222521050a b a a b b b +=+⋅+=+⨯+= ，可得225b = ，所以5b = .故答案为：55.在ABC 中，已知,3,23A AB AC π===，则ABC 的外接圆半径R =________.【5题答案】【答案】3【解析】【分析】运用余弦定理和正弦定理进行求解即可.【详解】由余弦定理可知：2222cos BC AB AC AB AC A BC =+-⋅⋅⇒=，根据正弦定理可得ABC的外接圆半径11212sin 23BC R A =⋅=⨯，故答案为：2136.已知(1,2),(3,4)a b =-=，则a 在b 方向上的投影为_____________.【6题答案】【答案】1-【解析】【分析】根据平面向量几何意义进行求解即可.【详解】因为cos ,a b a b a b ⋅〈〉==-⋅所以a 在b方向上的投影为cos ,(1a a b ⋅〈〉=-=- ，故答案为：1-7.在ABC 中，cos sin A B >，则ABC 的形状为____________.【7题答案】【答案】钝角三角形【解析】【分析】根据正弦函数、余弦函数的性质，结合诱导公式进行求解即可.【详解】在ABC 中，因为cos sin 0A B >>，所以(0,2A π∈，当(0,2B π∈时，由cos sin cos cos()222A B A B A B A B πππ>⇒>-⇒<-⇒+<22C C πππ⇒-<⇒>，此时ABC 是钝角三角形；当2B π=时，cos 1A >显然不成立；当(,)2B ππ∈时，cos sin sin()cos()2222A B B B A B B A B A πππππ>=-=-⇒<-⇒->⇒>+，所以B 为锐角，此时ABC 是钝角三角形，综上所述：ABC 是钝角三角形，故答案为：钝角三角形8.函数sin 2cos 2y x a x =+的图像关于直线6x π=-对称，则实数a 的值为__________．【8题答案】【答案】33-【解析】【分析】由条件可得31sin cos 3322a a ππ⎛⎫⎛⎫-+-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解出即可.【详解】因为函数sin 2cos 2y x a x =+的图像关于直线6x π=-对称所以31sin cos 3322a a ππ⎛⎫⎛⎫-+-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简可得2310a ++=，解得a =故答案为：33-9.在△ABC 中，2C π∠=，2AC BC ==，M 为AC 的中点，P 在线段AB 上，则MP CP ⋅ 的最小值为________【9题答案】【答案】78【解析】【分析】以线段AB 的中点为坐标原点，线段AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，直接利用数量积的坐标运算求最值即可.【详解】如图：以线段AB 的中点为坐标原点，线段AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则(,,0,22M C ⎛ ⎪⎝⎭，设(),0P x，x ≤≤，则(22222,112222MP CP x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，当24x =时，()2min714248MP CP⎛⎫⋅=-⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭故答案为：78.10.已知两个函数32(),()(1)1,01x f x g x a x a x -==-+≠-的图象相交于,A B 两点，若动点P 满足||2PA PB += ，则||OP(O 为坐标原点)的最小值为________.【10题答案】【答案】1-##1-+【解析】【分析】根据两个函数的对称性，结合圆的性质进行求解即可.【详解】因为1212(1)(1)21111x x f x f x x x +---++-=+=+---，所以函数2()1x f x x -=-关于点(1,1)C 对称，因为33(1)(1)(11)1(11)12g x g x a x a x ++-=+-++--+=，所以函数3()(1)1g x a x =-+也关于点(1,1)C 对称，因为两个函数32(),()(1)1,01x f x g x a x a x -==-+≠-的图象相交于,A B 两点，所以,A B 两点关于点(1,1)C 对称，即(1,1)C 是线段AB 的中点，由||2221PA PB PC PC +=⇒=⇒=，所以动点P 是以(1,1)C 为圆心，1为半径的圆，min ||111OP OC =-=-=-，1-.11.对于函数2()2sin f x x x =，有以下4个结论：①函数()y f x =的图象是中心对称图形；②任取x ∈R ，()2f x x ≤恒成立；③函数()y f x =的图象与x 轴有无穷多个交点，且任意两相邻交点的距离相等；④函数()y f x =与直线2y x =的图象有无穷多个交点，且任意两相邻交点间的距离相等.其中正确的结论序号为_______________.【11题答案】【答案】①③【解析】【分析】根据函数的奇偶性、正弦函数的性质，结合特例法逐一判断即可.【详解】①：因为2()2sin ()f x x x f x -=-=-，所以该函数是奇函数，它的图象关于原点对称，是中心对称图形，因此本结论正确；②：因为21sin 10>>，所以2(1)2sin 12f -=->-，因此(1)2f -≤-不成立，所以本结论不正确；③：令()0y f x ==，即22sin 00x x x =⇒=，或sin 0x =，当0x =，显然成立，当sin 0x =时，(Z)x n n π=∈，显然函数()y f x =的图象与x 轴有无穷多个交点，且任意两相邻交点的距离相等，因此本结论正确；④：2()2sin 20f x x x x x ==⇒=，或2sin 1x =，当0x =，显然成立，当2sin 1x =时，(Z)2x k k ππ=+∈，022ππ-=，322πππ-=，显然任意两相邻交点间的距离相等不正确，因此本结论不正确；故答案为：①③12.非零向量,,a b c 满足()()0c a c b -⋅-= ，则||||||a b a b c ++-的最小值为_______.【12题答案】【答案】2【解析】【分析】根据向量三角式，结合一元二次不等式解集的性质进行求解即可.【详解】由22()()0()00c a c b c a b c a b c a b c a b -⋅-=⇒-+⋅+⋅=⇒-+⋅+⋅≤，因此有2a b a bc ++-≤==，于是有||||2||a b a b c ++-≥ ，故答案为：2【点睛】关键点睛：应用a b a b ⋅≤⋅是解题的关键.二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上填选项，选对得5分，否则一律得零分.13.已知m R ∈，则ma mb = 是a b =的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【13题答案】【答案】B 【解析】【分析】根据共线向量的性质和向量数乘的性质，结合充分性和必要性的定义进行判断即可.【详解】当0m =时，显然0ma mb == 成立，但是a b =不一定成立，当a b =成立时，显然ma mb = 成立，因此ma mb = 是a b =的必要非充分条件，故选：B14.若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，给出下列四个函数：1()cos f x x x =+，2()f x x =+，3()cos sin f x x x =-，4()sin f x x =，则“同形”函数是（）A.1()f x 与2()f x B.2()f x 与4()f x C.2()f x 与3()f x D.1()f x 与4()f x 【14题答案】【答案】C 【解析】【分析】根据辅助角公式，结合正弦型函数图象的平移性质逐一判断即可.【详解】1()cos 2sin()6f x x x x π=+=+，35()cos sin )4f x x x x π=-=-，因为正弦型函数的图象经过若干次平移后，振幅不改变，所以只有2()f x 与3()f x 的振幅相同，故只有这两个函数是“同形”函数，故选：C15.在ABC 中，已知30,18A b =︒=，设(0)a x x =>以下说法错误的是（）A.若ABC 有两解，(9,18)x ∈B.若ABC 有唯一解，[18,)x ∈+∞C.若ABC 无解，(0,9)x ∈D.当10x =，ABC 外接圆半径为10【15题答案】【答案】B【解析】【分析】首先计算sin b A ⋅，再根据正弦定理判断三角形解的个数的公式，即可判断选项.【详解】1sin 301892b ⋅=⨯= ，若ABC 有两解，则918<<a ，即(9,18)x ∈，故A 正确；若ABC 有唯一解，则sin 309a b =⋅= ，或18a >，即9x =或18x >，故B 错误；若ABC 无解，则09a <<，即(0,9)x ∈，故C 正确；当10x =时，根据正弦定理102201sin 2a R A ===，得10R =，故D 正确.故选：B16.若O 是ABC 外接圆圆心， A B C 、、是ABC 的内角，若cos cos 2sin sin B C AB AC mAO C B+= ，则实数m 的值为（）A.1B.sin AC.cos AD.tan A【16题答案】【答案】B【解析】【分析】根据三角形外心的性质、正弦定理、两角和的余弦公式，结合平面向量数量积的运算性质和定义进行求解即可.【详解】设AB 的中点为D ， A B C 、、所对的边为 a b c 、、，因为O 是ABC 外接圆圆心，所以⊥DO AB ，于是有2211()22AO AB AD DO AB AB DO AB c ⋅=+⋅=+⋅= ，由2cos cos cos cos 22sin sin sin sin B C B C AB AC mAO AB AC AB mAO AB C B C B +=⇒+⋅=⋅ 22cos cos cos cos cos cos sin sin sin sin B C B C b c b c A mc A m C B C B c ⇒+⋅⋅=⇒+⋅⋅=cos cos sin cos sin sin sin B C B A m C B C ⇒+⋅⋅=cos cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin sin sin B C A C A C A C A m A C C C-++⇒=+=，故选：B【点睛】关键点睛：对已知向量等式同时乘以AB是解题的关键.三、解答题（本大题共有5题，满分76分，解答下列各题必须写出必要的步骤，答题务必写在答题纸上规定位置）17.已知两个不平行的向量 a b 、的夹角为θ，且||1 ||4a b == ，.（1）若2a b + 与3+a kb 平行，求k 的值；（2）若,3x R πθ=∈，当||xa b - 的最小时，求向量b 与xa b - 的夹角.【17题答案】【答案】（1）6；（2）3arccos3π-.【解析】【分析】（1）根据平行向量的性质进行求解即可；（2）根据平面向量模的运算公式，结合平面向量夹角公式进行求解即可.【小问1详解】因为2a b + 与3+a kb 平行，所以2(3+)23+a b a kb a b a k b λλλ+=⇒+= ，因为向量 a b、是两个不平行的向量，所以有113326k k λλλ⎧==⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=⎩，所以k 的值6；【小问2详解】||xa b -== 当2x =时，||xa b -=，221(2)2214482b a b a b b ⋅-=⋅-=⨯⨯⨯-=- ，向量b 与2a b -的夹角的余弦值为：(2)332b a b b a b ⋅-==-⋅- ，所以向量b 与2a b - 的夹角为3arccos 3π-.19.已知(sin ,cos ) (cos sin 2cos )a x x b x x x =-=-- ,,，函数()(),R f x a a b x =⋅+∈ .（1）求函数()y f x =的最小正周期及对称轴方程；（2）将函数()y f x =按照c 的方向平移后得到的函数是奇函数，求||c 最小时的c .【19题答案】【答案】（1）函数()y f x =的最小正周期为π，该函数的对称轴为(Z)28k x k ππ=-∈；（2）,28c π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ .【解析】【分析】（1）根据平面向量数量积和加法的坐标表示公式，结合辅助角公式、余弦型函数的最小正周期公式、对称轴方程进行求解即可.（2）根据正弦型函数图象的平移性质、奇偶性，结合平面向量模的公式进行求解即可.【小问1详解】因为(sin ,cos ),(cos ,sin 2cos )a x x b x x x =-=--，所以(sin cos ,sin 3cos )a b x x x x +=-- ，而(sin ,cos )a x x =- ，所以221cos2()()sin sin cos sin cos 3cos 2sin 212x f x a a b x x x x x x x +=⋅+=--+=⋅-+ ，即())24f x x π=++，函数()y f x =的最小正周期为：22ππ=，令2(Z)(Z)428k x k k x k ππππ+=∈⇒=-∈，即该函数的对称轴为(Z)28k x k ππ=-∈；【小问2详解】设00(,)c x y = ，将函数()y f x =按照c 的方向平移后得到的函数是00()()y g x f x x y ==-+，而())24f x x π=++，所以00()224g x x x y π=-+++，因为00()224g x x x y π=-+++奇函数，所以有000(Z)2(Z)28422(0)0m x m x m m y g πππππ⎧⎧=--∈-+=+∈⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=-=⎩⎩，即||c = 因为m ∈Z ，所以当0m =时，||c 有最小值，即,28c π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.21.某市为表彰在脱贫攻坚工作中做出突出贡献的先进单位，制作了一批奖杯，奖杯的剖面图形如图所示，其中扇形OAB 的半径为10，60,,PBA QAB AQ QP PB OM QP ∠=∠=︒==⊥交QP 于M ，交AB 于C ，且OC AB ⊥，设AOC θ∠=，（1）用θ表示OM 的长度；（2）若按此方案设计，工艺制造厂发现，当OM 最长时，该奖杯比较美观的长度以及θ的大小．【21题答案】【答案】（1）10cos OM θθ=+；（2）arccos7θ=，【解析】【分析】（1）利用直角三角形的性质求出AB ，OC 的长度，设AQ QP BP x ===，作⊥QE AB 交AB 于E ，PF AB ⊥交AB 于F ，利用图形求出10sin x θ=，进而可以求解；（2）利用（1）的结论以及三角函数的性质即可求解．【详解】解：（1）20sin θ=AB ，10cos OC θ=，设AQ QP BP x ===，作⊥QE AB 交AB 于E ，PF AB ⊥交AB 于F ，∵60PBA QAB ∠=∠=︒，∴12AE BF x ==，32CM PF x ==，EF QP x ==，∴2AB x =，则20sin 2AB x θ==，即10sin x θ=，310cos 10cos2OM OC CM x θθθ=+=+=+；（2）10cos )OM θθθϕ=+=+，其中cosϕ=sin ϕ=，当sin()1θϕ+=，27cos cos()cos()cos sin()sin sin 7θθϕϕθϕϕθϕϕϕ=+-=+++==，因此，当arccos7θ=时，OM 最长为22.如图所示：点O 是ABC 所在平面上一点，并且满足()AO mAB nAC m n R =+∈、，已知6260AB AC BAC ==∠= ，，.（1）若实数13m n ==，求证：O 是ABC 的重心；（2）若O 是ABC 的外心，求m n 、的值；（3）如果O 是BAC ∠的平分线上某点，则当3m n +达到最小值时，求||AO .【22题答案】【答案】（1）证明过程见解析；（2）15,39m n =-=；（3）.【解析】【分析】（1）运用平面向量加法的几何意义，结合共线向量的性质和三角形重心的性质进行证明即可；（2）根据三角形外心的性质，结合平面向量数量积的运算性质和定义进行求解即可；（3）根据三角形内心的性质，结合平面向量数量积的运算性质和定义进行求解即可.【小问1详解】当实数13m n ==时，设BC 的中点为D ，由1111()()23333AO AB AC AO AO OB AO OC AO OB OC OD =+⇒=+++⇒=+= ，即2AO OD = ，所以O 是ABC 的重心；【小问2详解】设BA 的中点为E ，显然BA OE ⊥，2211()1822AO AB AE EO AB AB EO AB AB ⋅=+⋅=+⋅== ，由21183662632AO mAB nAC AO AB mAB nAC AB m n m n =+⇒⋅=+⋅⇒=+⋅⨯⨯⇒+= ，设AC 的中点为F ，显然CA OF ⊥，2211()222AO AC AF FC AC AC FO AC AC ⋅=+⋅=+⋅== ，由2126243212AO mAB nAC AO AC mAB AC nAC m n m n =+⇒⋅=⋅+⇒=⋅⨯⨯+⇒+= ，即6315,32139m n m n m n +=⎧⇒=-=⎨+=⎩；【小问3详解】因为O 是BAC ∠的平分线上某点，所以()()(0)62AB AC AB AC AO AB ACλλλ=+=+> ，所以由11,62AO mAB nAC m n λλ=+⇒== ，由31626m n λλ+=+≥，当且仅当166λλ=时取等号，即6λ=时取等号，所以3AO AB AC AO =+⇒==，AO ⇒= .【点睛】关键点睛：运用三角形重心、外心、内心的性质是解题的关键.24.已知函数()sin()(0 0)f x x ωϕωϕπ=+><<,的最小正周期为π，且直线2x π=-是其图象的一条对称轴.将函数()y f x =的图象向右平移4π个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍所得的图象对应函数记作()y g x =，令函数()()()F x f x g x λ=+.（1）求函数()y g x =的函数解析式；（2）求函数()y F x =的最大值及相对应的x 的值；（3）若函数()()()F x f x g x λ=+在(0,)n π内恰有2021个零点，其中常数R λ∈，,1n N n ∈≥，求常数λ与n 的值.【24题答案】【答案】（1）()sin y g x x ==；（2）答案见解析；（3）1,1347n λ=-=.【解析】【分析】（1）根据正弦型函数的最小正周期公式和对称轴方程，结合正弦型函数图象的变换性质进行求解即可；（2）根据二倍角的余弦公式，根据二次函数的性质分类讨论进行求解即可；（3）利用换元法，结合正弦函数的性质和一元二次方程根的分布分类讨论进行求解即可.【小问1详解】因为函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的最小正周期为π，所以有22ππωω=⇒=，即()sin(2)f x x ϕ=+，又因为直线2x π=-是()sin(2)f x x ϕ=+图象的一条对称轴，所以有32()(Z)(Z)222k k k k πππϕπϕπ⨯-+=+∈⇒=+∈，因为0ϕπ<<，所以令1k =-，则2ϕπ=，即()sin(2)cos 22f x x x π=+=，因为函数()y f x =的图象向右平移4π个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍所得的图象对应函数记作()y g x =，所以()sin y g x x ==；【小问2详解】2()()()cos 2sin 12sin sin F x f x g x x x x xλλλ=+=+=-+22()2(sin )148F x x λλ⇒=--++，当114λ-≤≤时，即44λ-≤≤时，2max ()18F x λ=+，此时sin 4x λ=，即2arcsin (Z)4x k k λπ=+∈或2arcsin (Z)4x k k λππ=+-∈；当14λ>时，即4λ>时，max ()121F x λλ=-+=-，此时sin 1x =，即2(Z)2x k k ππ=+∈；当14λ<-时，即4<-λ时，max ()121F x λλ=--=--，此时sin 1x =-，即32(Z)2x k k ππ=+∈，综上所述：当44λ-≤≤时，2max()18F x λ=+，此时2arcsin (Z)4x k k λπ=+∈或2arcsin (Z)4x k k λππ=+-∈；当4λ>时，max ()121F x λλ=-+=-，此时2(Z)2x k k ππ=+∈；当4<-λ时，max()121F x λλ=--=--，此时32(Z)2x k k ππ=+∈；【小问3详解】2()()()cos 2sin 12sin sin 0F x f x g x x x x x λλλ=+=+=-+=，设sin ,[1,1]x t t =∈-，则22120210t t t t λλ-+=⇒--=，该方程的判别式280λ∆=+>，所以该方程有实根，设为12,t t ，12102t t =-<，显然两根为异号，若1201,01t t <<<<时，则方程12sin ,sin x t x t ==在(0,)n π内都有偶数个根，所以方程212sin sin 0x x λ-+=有偶数个根，不符合题意；若11t =，则212t =-，此时1λ=，当(0,2)x π∈时，1sin x t =只有一个根，2sin x t =有两个根，所以212sin sin 0x x λ-+=有三个根，由于202136732=⨯+，所以212sin sin 0x x λ-+=在(0,1346)x π∈内有36732019⨯=个根，由于方程1sin x t =在(1346,1347)x ππ∈内只有一个根，2sin x t =没有实根，所以方程212sin sin 0x x λ-+=在(0,1347)x π∈时有2020个实根，不符合题意；若11t =-，则212t =，此时1λ=-，当(0,2)x π∈时，1sin x t =只有一个根，2sin x t =有两个根，所以212sin sin 0x x λ-+=有三个根，由于202136732=⨯+，所以212sin sin 0x x λ-+=在(0,1346)x π∈内有36732019⨯=个根，由于方程1sin x t =在(1346,1347)x ππ∈内没有实根根，2sin x t =有两个实根，所以方程212sin sin 0x x λ-+=在(0,1347)x π∈时有2021个实根，符合题意；若两个根有一个绝对值大于1，则另一个根绝对值大于零且小于1，有偶数个根，不符合题意，综上所述：1,1347n λ=-=.【点睛】关键点睛：利用换元法，根据一元二次方程实根的分布结合正弦函数的性质分类讨论是解题的关键.。

2019-2020学年上海市奉贤区高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.已知A是三角形ABC的内角，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2.若是第二象限角，，则A. B. C. D.3.如图为函数的图象，其中m、n为常数，则下列结论正确的是A. ，B. ，C. ，D. ，4.不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.已知扇形的周长是6cm，面积是，则扇形的中心角的弧度数是______．6.函数的值域为______．7.已知，则______；______．8.已知，，那么______ ．9.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则角A的大小为______．10.设，且，______．11.已知，则的值为______．12.设是函数的反函数，若，则的值为______．13.在中，a，b，c分别为A、B、C的对边，如果a，b，c成等差数列，，的面积为，那么b为______．14.已知，则的值为______．15.设为第四象限的角，若，则______．16.给出下列四个命题：函数为奇函数的充要条件是；函数的反函数是；若函数的值域是R，则或；若函数是偶函数，则函数的图象关于直线对称其中所有正确命题的序号是______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.已知，求的值．18.已知且，求函数的最大值和最小值．19.某动物园要为刚入园的小动物建造一间两面靠墙的三角形露天活动室，地面形状如图所示，已知已有两面墙的夹角为，墙AB的长度为6米，已有两面墙的可利用长度足够大，记．若，求的周长结果精确到米；为了使小动物能健康成长，要求所建的三角形露天活动室面积的面积尽可能大，问当为何值时，该活动室面积最大？并求出最大面积．20.已知，是R上的奇函数．求a的值；求的反函数；对任意的解不等式．21.已知定义在实数集R上的函数，把方程称为函数的特征方程，特征方程的两个实根、称为的特征根．讨论函数的奇偶性，并说明理由；把函数，的最大值记作、最小值记作，令，若恒成立，求的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：是三角形ABC的内角，若，则，此时成立，即充分性成立．若，则或，当，，即必要性不成立，故“”是“”充分不必要条件，故选：A．根据三角函数的公式，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据三角函数的关系式是解决本题的关键．2.答案：C解析：解：是第二象限角，是第一或三象限角，，，．故选：C．先确定是第一或三象限角，再利用同角三角函数的基本关系求得，利用二倍角公式求得的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式的应用，属于中档题．3.答案：D解析：解：当时，，由图形易知．又函数是减函数，故选D．故选：D．由图中特殊位置：时函数的值是负值，可得m的取值范围，再根据对数函数的性质即可．本题主要考查知识点：对数与对数函数的图象，属于基础题．4.答案：C解析：解：，不等式在上恒成立，且．解得，故选：C．由于以及题中的条件可得且，由此求得实数a的取值范围．本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，对数函数的定义域，复合函数的单调性规律，属于中档题．5.答案：1或4解析：解：设扇形的中心角为，半径为r．则，，解得，；，．故答案为：1或4．利用弧长公式、扇形面积计算公式即可得出．本题考查了弧长公式、扇形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.答案：解析：解：因为，所以，，即函数的值域为．故答案为：．根据指数函数与对数函数的性质即可求解．本题主要考查了利用指数与对数函数的性质求解函数的值域，属于基础试题．7.答案：x x解析：解：，，，．故答案为：x，x．因为，所以，代入即可．本题考查函数的解析式的求法，考查反函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.答案：解析：解：由，，则．故答案为：．把所求的式子中的角变为，然后利用两角差的正切函数公式化简后，把已知的和的值代入即可求出值．此题考查学生灵活运用两角差的正切函数公式化简求值，是一道基础题．学生做题时应注意角度的灵活变换．9.答案：解析：【分析】本题考查了同角平方关系及正弦定理在求三角形中的应用，解题时要注意大边对大角的应用，是易错题．由，平方可求sin2B，进而可求B，然后利用正弦定理可求sin A，进而可求A．【解答】解：由，两边平方可得，，即，，，又，，在中，由正弦定理得：，解得，又，，．故答案为：．10.答案：解析：【分析】先解出a，b，再代入方程利用换底公式及对数运算性质化简即可得到m的等式，求m．考查指对转化，对数的运算性质，求两对数式的倒数和，若两真数相同，常用换底公式转化为同底的对数求和．【解答】解：，，，由换底公式得，，，．故应填．11.答案：解析：解：，．故答案为：．由已知利用诱导公式，二倍角的余弦函数公式即可计算求解．本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．12.答案：3解析：解：由题意可得反函数为，故由，可得，故，故答案为3．由题意可得反函数为，再由，可得，由此求得的值．本题主要考查求反函数的方法，求函数的值，属于基础题．13.答案：解析：解：在中，如果a，b，c成等差数列，则，．，，所以，，由余弦定理得，，，故答案为：．由题意利用等差数列的性质，余弦定理、三角形的面积公式，求得b的值．本题主要考查等差数列的性质，余弦定理、三角形的面积公式，属于基础题．14.答案：解析：【分析】把已知条件利用两角和的正切函数公式和特殊角的三角函数值化简求得，然后把所求的式子利用二倍角的正弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简后，把的值代入即可求出值．本题的解题思路是根据已知得到正切值得到所求的式子要化为关于正切的关系式．考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系、两角和的正切函数公式和特殊角的三角函数值化简求值．【解答】解：由，得，解得．所以．故答案为：15.答案：解析：解：，，整理得：，解得：或，是第四象限角，，，，则．故答案为：将已知等式左边的分子中的角变形为，利用两角和与差的正弦函数公式化简，再利用二倍角的正弦函数公式化简，约分后再利用二倍角的余弦函数公式化简，得到关于的方程，求出方程的解得到的值，再利用同角三角函数间的基本关系求出的值，进而求出的值，最后利用二倍角的正切函数公式化简所求的式子后，将的值代入即可求出值．此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及二倍角的正切函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．16.答案：解析：解：，均为奇函数，故函数为奇函数的充要条件是，故成立；由，知，，x，y互换，得函数的反函数是，故成立；若函数的值域是R，则的图象与x轴有交点，即，故或，故成立；是偶函数，它的图象关于y轴对称．是由向左平移1个单位得到．故：关于对称，故不成立．故答案为：．由，均为奇函数，知函数为奇函数的充要条件是；由，知，，x，y互换，得函数的反函数是；根据对数函数的值域为R，则为值域的子集，将问题转化为二次函数问题后，可判断的真假；是偶函数，它的图象关于y轴对称．是由向左平移1个单位得到，故可判断的真假．本题考查的知识点是充要条件，反函数的定义，函数的奇偶性，函数的值域，掌握函数的三要素及三大性质是解答函数类问题的关键．17.答案：解：，为第一或第二象限角．当是第一象限角时，，．当是第二象限角时，，原式．解析：根据的值大于0，判断的范围为第一或第二象限角，分象限，利用同角三角函数间的基本关系求出的值，然后把所求的式子利用诱导公式化简后，把和的值分别代入即可求出值．此题是一道基础题，要求学生灵活运用同角三角函数间的关系及诱导公式化简求值，值得让学生注意的是根据正弦值判断角度的范围．18.答案：解：且，可得，函数，设，则设，当，即时，函数取得最小值，且为；当时，即时，函数取得最大值，且为2．解析：由条件可得，运用对数的运算性质可得，设，可得t的二次函数，配方可得对称轴，由二次函数的最值，即可得到所求最值．本题考查对数函数的图象和性质，考查换元法和二次函数的最值求法，考查运算能力，属于中档题．19.答案：解：在中，由正弦定理可得，，的周长为米在中，由余弦定理：，，，即，，此时，为等边三角形，，．解析：在中，由正弦定理可得AC，BC，即可求的周长；利用余弦定理列出关系式，将c，cos C的值代入并利用基本不等式求出ab的最大值，利用三角形的面积公式求出面积的最大值，以及此时的值．此题考查了正弦定理、余弦定理，基本不等式的应用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．20.答案：解：由题知，得，此时，即为奇函数．，得，．，，，当时，原不等式的解集，当时，原不等式的解集．解析：由题知奇函数在R上有定义，故图象过原点，所以，解得；令，依据反函数的定义解出的反函数的表达式．由知由此知两边底数一致，故可以用相关函数的单调性进行转化．本题考点是反函数，考查反函数解析式的求法以及解对数不等式，反函数的求法用反函数的定义，解对数不等式要根据对数的单调性进行转化．21.答案：解：当时，，此时，函数为奇函数，当时，函数为非奇非偶函数．证明是增函数，，，，则，，，即，，，即，即，故函数在是递增的，则恒成立，，，．解析：根据函数奇偶性的定义即可讨论函数的奇偶性；根据函数单调性的定义先判断函数的单调性，将不等式恒成立进行转化，利用参数分离法即可得到结论．本题主要考查函数奇偶性的判断以及函数最值的求解，利用条件判断函数的单调性是解决本题的关键．第11页，共11页。

2020-2021学年上海市闵行区七宝中学高一（下）期中数学试卷一、单项选择题（本大题共4小题，共20.0分）1. 在△ABC 中，内角A 、B 满足sin2A =sin2B ，则△ABC 的形状是( )A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形2. 赵爽是我国古代数学家、天文学家.约公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方程”，亦称“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如图是一张弦图，已知大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，若直角三角形较小的锐角为α，则tan(α+π4)的值为( ) A. 7 B. −7 C. 4 D. 93. 在△ABC 中，已知A =30°，b =18，设a =x(x >0).以下说法错误的是( )A. 若△ABC 有两解，x ∈(9,18)B. 若△ABC 有唯一解，x ∈[18,+∞)C. 若△ABC 无解，x ∈(0,9)D. 当x =10，△ABC 外接圆半径为104. 已知α，β≠kπ，k ∈Z ，则“sin(α+β)=sinα+sinβ”是“α+β=2nπ，n ∈Z ”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件二、填空题（本大题共12小题，共48.0分） 5. 已知角α的终边经过点P(2,−3)，则cotα的值是______ ．6. 函数y =sin(πx −13)的最小正周期为______ ．7. 已知sinα=45，且α是第二象限角，那么tanα的值是______．8. 已知tanθ=2，则sin(π2−θ)+cos(2π−θ)cos(3π2−θ)−sin(π−θ)= ______ ．9. 若α，β为锐角，且sinα=17，cosβ=√32，则cos(α+β)= ______ ． 10. 方程sinx −√3cosx =√2在[0,2π]上的解组成的集合为______ ．11. 已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sinA =2sinC ，a 2+c 2−ac =b 2，则∠C = ______ ．12. 函数y =cos(x 2−π6)，x ∈[−2π,2π]的严格递增区间是______ ．13. 函数y =cos(2x +φ)的图象向右平移π2个单位长度后与函数y =sin(2x +2π3)的图象重合，则|φ|的最小值为______ ． 14. 在等腰直角三角形ABC 中，∠C =π2，CA =CB =2，M 是CB 中点，点D 是AC上的点，若sin∠BDM =13，则CD = ______ ．15. 设△ABC 的内角A 、B 、C 满足6cosC =a b +b a ，则cotA +cotB 的最小值为______ ．16. 在平面直角坐标系中，已知点A(−1,0)，B(1,0)，若对于y 轴上的任意5个不同的点P 1，P 2，P 3，P 4，P 5，总存在两个不同的点P i ，P j (i,j ∈{1,2，…，5}，使得|sin∠AP i B −sin∠APjB|≤λ，则λ的最小值为______ ．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17. (1)证明：sin 4α+cos 4α=1−12sin 22α．(2)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a =csinB ，b =4√3，C =120°，求△ABC 的面积S ．18. 已知tanα=13，tan(α+β)=12，且α，β是锐角．(1)求tanβ的值；(2)求2α+β的值．19.某市为表彰在脱贫攻坚工作中做出突出贡献的先进单位，制作了一批奖杯，奖杯的剖面图形如图所示，其中扇形OAB的半径为10，∠PBA=∠QAB=60°，AQ=QP=PB，OM、OP交QP于M，交AB于C，且OC⊥AB，设∠AOC=θ，(1)用表示OM的长度；(2)若按此方案设计，工艺制造厂发现，当OM最长时，该奖杯比较美观的长度以及θ的大小．20.已知函数y=f(x)，其中f(x)=tan(ωx+π3)，ω>0．(1)若ω=2，求函数y=f(x)的最小正周期以及函数图象的对称中心；(2)若函数y=f(x)在[0,π]上严格递增，求ω的取值范围；(3)若函数y=f(x)在[a,b](a，b∈R且a<b)满足：方程f(x)=√3在[a,b]上至少存在2021个根，且在所有满足上述条件的[a,b]中，b−a的最小值不小于2021，求ω的取值范围．21.如图，在平面直角坐标系中锐角α，β的终边分别与单位圆交于A、B两点，角α+β的终边与单位圆交于C点，过点A、B、C分别作x轴的垂线，垂足分别为M、N、P．(1)如果|AM|=35，|ON|=513，求cos(α−β)的值；(2)求证：线段MA，NB，PC能构成一个三角形；(3)探究第(2)小题中的三角形的外接圆面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】解：法1：∵sin2A=sin2B，∴sin2A−sin2B=cos(A+B)sin(A−B)=0，∴cos(A+B)=0或sin(A−B)=0，∴A+B=90°或A=B，则△ABC一定是直角三角形或等腰三角形．法2：∵sin2A=sin2B，且A和B为三角形的内角，∴2A=2B或2A+2B=180°，即A=B或A+B=90°，则△ABC一定是等腰或直角三角形．故选：D．解法1：利用题设等式，根据和差化积公式整理求得cos(A+B)=0或sin(A−B)=0，推断出A+B=90°或A=B，即可判断出三角形的形状．解法2：由两角的正弦值相等及A和B为三角形的内角，得到两角2A和2B相等或互补，即A与B相等或互余，进而确定出三角形的形状．此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有：正弦、余弦函数的图象与性质，积化和差公式，以及等腰三角形的判定，解题的关键是挖掘题设信息，借助三角函数的基本公式和基本性质找到边与边或角与角之间的关系．2.【答案】A【解析】解：根据图形的特点，设四个全等的直角三角形的一条直角边为x，另一条为x+1，所以x2+(x+1)2=52，解得x=3，所以x+1=4，所以tanα=34，故tan(α+π4)=tanα+tanπ41−tanαtanπ4=34+11−34=7．故选：A．直接利用三角函数的关系式的恒等变换，和角的正切的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数的关系式的恒等变换，和角的正切的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：在△ABC中，A=30°，b=18，设a=x(x>0)，可得bsinA=9，对于A，bsinA<x<b有两解，即9<x<18，故正确；对于B，当x=bsinA或x≥b，△ABC只有一解，可得x=9或x≥18，故错误；对于C，当x<bsinA=9，且x>0，△ABC无解，故正确；=20，可得R=10，故正确．对于D，当x=10，a=10，设外接圆半径为R，则2R=asinA故选：B．由题意利用正弦定理即可判断得解．本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：∵sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=sinα+sinβ，∴必有cosα=1且cosβ=1，即α=2kπ，k∈Z且β=2mπ，m∈Z，则α+β=2(k+m)π=2nπ，n∈Z，即充分性成立，若α+β=2nπ，n∈Z，则β=2nπ−α，n∈Z，则sin(α+β)=sin2nπ=0，sinα+sinβ=sinα+sin(2nπ−α)=sinα−sinα=0，即sin(α+β)=sinα+sinβ成立，即必要性成立，则“sin(α+β)=sinα+sinβ”是“α+β=2nπ，n∈Z”的充要条件，故选：C．根据三角函数运算公式，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角函数的运算公式是解决本题的关键，是基础题．5.【答案】−23【解析】解：∵角α的终边经过点P(2,−3)，则cotα=2−3=−23，故答案为：−23．由题意利用任意角的三角函数的定义，计算求得结果．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．6.【答案】2【解析】解：∵y =sin(πx −13)，∴由三角函数的周期性及其求法可得最小正周期T =2ππ=2．故答案为：2．由三角函数的周期性及其求法直接求值．本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，属于基本知识的考查．7.【答案】−43【解析】解：∵α是第二象限角∴cosα=−√1−1625=−35 ∴tanα=sinαcosα=−43故答案为：−43先利用α所在的象限判断出cosα的正负，然后利用同角三角函数的基本关系，根据sinα的值求得cosα的值，进而求得tanα．本题主要考查了同角三角函数的基本关系．注重了对学生基础知识的掌握．8.【答案】−12【解析】解：因为tanθ=2，所以sin(π2−θ)+cos(2π−θ)cos(3π2−θ)−sin(π−θ)=cosθ+cosθ−sinθ−sinθ=−1tanθ=−12．故答案为：−12．由已知利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简即可求解．本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．9.【答案】1114【解析】解：若α，β为锐角，且sinα=17，cosβ=√32， 则cosα=√1−sin 2α=4√37， sinβ=√1−cos 2β=12．所以cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ=√32×4√37−12×17=1114．故答案为：1114．直接利用同角三角函数关系式的变换和和角的余弦的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，和角的余弦的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．10.【答案】{7π12,13π12}【解析】解：sinx −√3cosx =√2，可得sin(x −π3)=√22， 所以x −π3=π4，x −π3=3π4， 解得x =7π12或x =13π12． 故答案为：{7π12,13π12}.利用两角和与差的三角函数化简方程锐角求解即可．本题考查两角和与差的三角函数，三角方程的解法，是基础题．11.【答案】π6【解析】解：△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA=2sinC，可得a=2c，代入a2+c2−ac=b2，可得b=√3c，所以cosC=a2+b2−c22ab =2222×2c×√3c=√32，因为C是三角形内角，所以C=π6．故答案为：π6．利用正弦定理求出a，c关系，结合已知条件，推出b，c关系，然后利用余弦定理求解C即可．本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．12.【答案】[−5π3,π3 ]【解析】解：函数y=cos(x2−π6)，令−π+2kπ≤x2−π6≤2kπ(k∈Z)，整理得−5π3+4kπ≤x≤4kπ+π3(k∈Z)，由于x∈[−2π,2π]，当k=0时，−5π3≤x≤π3．所以函数的单调递增区间为：[−5π3,π3 ].故答案为：[−5π3,π3 ].直接利用余弦型函数性质的应用求出函数的单调递增区间．本题考查的知识要点：余弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．13.【答案】5π6【解析】解：函数y=cos(2x+φ)的图象向右平移π2个单位长度后得到f(x)=cos(2x−π+φ)=−cos(2x+φ)=sin(2x+φ+3π2)由于与函数y=sin(2x+2π3)的图象重合，所以φ+3π2=2kπ+π3，整理得：φ=2kπ−7π6，所以|φ|的最小值为5π6．故答案为：5π6．直接利用三角函数关系式的恒等变换，函数的图象的平移变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，函数的图象的平移变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．14.【答案】√2【解析】解：设DC=x，则DM=√x2+1，DB=√x2+4，故在△BDM中，BMsin∠BDM =DMsinB，可得1sin∠BDM =√x2+1⋅√x2+4x，可得sin∠BDM=√x2+1⋅√x2+4=13，可得x=√2，即CD=√2．故答案为：√2．设DC=x，由勾股定理可得DM=√x2+1，DB=√x2+4，从而在△BDM中，由正弦定理可得sin∠BDM=x√x2+1⋅√x2+4=13，解得x的值，即可得解CD的值．本题主要考查了勾股定理，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．15.【答案】√2【解析】解：因为6cosC=ab +ba，所以cosC=16⋅a2+b2ab≥13，可得C∈(0,arccos13]，另一方面，cosC=16⋅a2+b2ab=a2+b2−c22ab，可得a2+b2=32c2，所以cotA +cotB =cosA sinA +cosB sinB =sinC sinAsinB =c 2absinC =1sinC ⋅2(a 2+b 2)3ab =23sinC ⋅6cosC =4cotC ≥4cot(arccos 13)=√2，当且仅当C =arccos 13，A =B 时取得最小值√2．故答案为：√2．由已知利用基本不等式可得cosC =16⋅a 2+b 2ab ≥13，利用余弦函数的性质可得C ∈(0,arccos 13]，又由余弦定理可得a 2+b 2=32c 2，利用同角三角函数基本关系式，三角函数的性质可得cotA +cotB =4cotC ≥4cot(arccos 13)=√2，即可得解．本题主要考查了基本不等式，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和函数思想，属于中档题．16.【答案】14【解析】解：因为∠AP i B ∈(0,π]，所以sin∠AP i B ∈[0,1]，i ∈{1,2，…，5}，若λ<14，取点P i 使得sin∠AP 1B =0，sin∠AP 2B =1+λ5，sin∠AP 3B =2(1+λ)5，sin∠AP 4B =3(1+λ)5，sin∠AP 5B =1，则对任意的两个点P i ，P j ，都有|sin∠AP i B −sin∠AP j B|>λ，当λ=14时，把区间[0,1]分成[0,14),[14,24),[24,34),[34,1]这4个区间，则P 1，P 2，P 3，P 4，P 5中必有两个点P i ，P j ，使得sin∠AP i B ，sin∠AP j B 落在同一区间中，故|sin∠AP i B −sin∠AP j B|≤14，所以λ≥14，则λ的最小值为14．故答案为：14．先确定sin∠AP i B 的范围，研究当λ<14时，可得|sin∠AP i B −sin∠AP j B|>λ，当λ=14时，可得|sin∠AP i B −sin∠AP j B|≤14，从而得到λ的取值范围，即可得到答案． 本题考查了推理论证能力、应用意识以及创新意识，考查逻辑推理的核心素养，属于中档题． 17.【答案】解：(1)证明：(sin 2α+cos 2α)2−2sin 2αcos 2α=1−2sin 2αcos 2α=1−(√2sinαcosα)2=1−(√22sin2α)2=1−12sin 22α，故原命题成立；(2)∵a=csinB，∴sinA=sinCsinB=√32sinB，又asinA =bsinB，则a=bsinAsinB=b⋅√32sinBsinB=√32b，且b=4√3，故a=6，△ABC的面积S=12absinC=18．【解析】(1)根据三角恒等变换证明即可；(2)根据正弦定理以及三角形的面积公式即可．本题考查了三角恒等变换，考查正弦定理以及三角形面积公式，是中档题．18.【答案】解：(1)∵tanα=13，tan(α+β)=12，∴tanβ=tan[(α+β)−α]=tan(α+β)−tanα1+tan(α+β)tanα=12−131+12×13=17；(2)∵tanα=13，tan(α+β)=12，∴tan(2α+β)=tan[(α+β)+α]=tan(α+β)+tanα1−tan(α+β)tanα=12+131−12×13=1，∵α，β是锐角，即0<α<π2，0<β<π2，∴0<α+β<π，又tan(α+β)=12，∵0<α+β<π2，则0<2α+β<π，∴2α+β=π4．【解析】(1)利用tanβ=tan[(α+β)−α]，展开两角差的正切求解；(2)利用tan(2α+β)=tan[(α+β)+α]，展开两角和的正切求得tan(2α+β)，由已知求得2α+β的范围，则答案可求．本题考查两角和与差的正切，考查由三角函数值求角，考查运算求解能力，是基础题．19.【答案】解：(1)在直角三角形AOC中，OA=10，∠AOC=θ，则OC=10cosθ，ac=10sinθ，所以AB=20sinθ，设AQ=QP=BP=x，作QE⊥AB交AB于E，PF⊥AB交AB于F，因为∠PBA=∠QAB=60°，所以AE=BF=12x，CM=PF=√32x，EF=QP=x，所以AB=2x，则AB=20sinθ=2x，即x=10sinθ，所以OM=OC+CM=10cosθ+√32x=10cosθ+5√3sinθ；(2)OM=10cosθ+5√3sinθ=5√7sin(θ+φ)，其中cosφ=√3√7，sinφ=√7，则当sin(θ+φ)=1，cosθ=cos(θ+φ−φ)=cos(θ+φ)cosφ+sin(θ+φ)sinφ=sinφ=2√77，因此当θ=arccos2√77时，OM最长为5√7．【解析】(1)利用直角三角形的性质求出AB，OC的长度，设AQ=QP=BP=x，作QE⊥AB交AB于E，PF⊥AB交AB于F，利用图形求出x=10sinθ，进而可以求解；(2)利用(1)的结论以及三角函数的性质即可求解．本题考查了函数的实际应用，涉及到三角函数的性质，考查了学生的运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)由于f(x)=tan(ωx+π3)，ω>0，ω=2，∴f(x)=tan(2x+π3)的最小正周期为π2，令2x+π3=kπ2，求得x=kπ4−π6，k∈Z，故f(x)的图象的对称中心为(kπ4−π6,0)，k∈Z．(2)若函数y=f(x)在[0,π]上严格递增，则ω×π+π3<π2，求得ω<16，即ω的范围为(0,16).(3)方程f(x)=√3在[a,b]上至少存在2021个根，故当x∈[a,b]时，tan(ωx+π3)=√3至少有2021个根，即ωx+π3=kπ+π3，k∈Z，至少有2021个根，即当x∈[a,b]时，x=kπω至少有2021个根．且在所有满足上述条件的[a,b]中，b−a的最小值不小于2021，故b−a至少包含2020个周期，即b−a≥2020⋅πω≥2021，∴ω∈(0,20202021⋅π].【解析】(1)由题意利用正切函数的周期性和对称性，得出结论．(2)由题意利用正切函数的单调性，求得ω的范围．(3)由题意利用正切函数的周期性和零点，正切函数的图象，求得ω的范围．本题主要考查正切函数的图象和性质，属于中档题．21.【答案】解：(1)由题意可得sinα=35，cosβ=513，由于α，β均为锐角，所以sinβ=1213，cosα=45，则cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ=45×513+35×1213=5665；(2)证明：MA =sinα，NB =sinβ，PC =sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ<sinα⋅1+sinβ⋅1=sinα+sinβ，所以MA +NB >PC ，MA =sinα=sin[(α+β)−β]=sin(α+β)cosβ−cos(α+β)sinβ<sin(α+β)+sinβ，所以NB +PC >MA ，同理：MA +PC >NB ，所以MA ，NB ，PC 作为三边的长能构成一个三角形．(3)三角形的外接圆的面积是定值，证明如下：设(2)中的三角形为△A′B′C′中，角A′，B′，C′所对的边长为sinα，sinβ，sin(α+β)，由余弦定理可得，cosC′=sin 2α+sin 2β−sin 2(α+β)2sinαsinβ=sin 2α+sin 2β−(sinαcosβ)2−(cosαsinβ)22sinαsinβ−cosαcosβ =sinαsinβ−cosαcosβ=−cos(α+β)，∵α，β∈(0,12π)，∴α+β∈(0,π)，∴sinC′=sin(α+β)，设外接圆的半径为r ，则由正弦定理可得2R =B′C′sinA′=sin(α+β)sin(α+β)=1，∴R =12， ∴外接圆的面积S =π4．【解析】(1)运用同角的平方关系和任意角的三角函数的定义，结合两角差的余弦公式，计算即可得到所求；(2)要证明MA ，NB ，PC 能构成一个三角形，只需证明两边之和大于第三边即可；(3)设线段MA ，NB ，PC 构成的三角形为△A′B′C′，利用余弦定理求出cosC′，从而求出sinC′，再利用正弦定理求出三角形的外接圆的半径，即可判断．本题考查三角函数的求值，考查了三角函数的定义、和差角公式、正弦定理等知识在求解三角形中的应，解题中要注意公式的灵活应用，属于中档题．。