【全国百强校】上海市七宝中学2019届高三上学期期中考试数学试题

2019届上海市高三上学期期中数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、填空题1. 函数f（x）=4 x ﹣1的反函数f ﹣1 （x）=___________ ．2. 设集合A={5，log 2 （a+3）}，B={a，b}，若A∩B={2}，则A ∪ B=___________ ．3. 若tanα=3，则的值等于___________ ．4. 函数f（x）= 的定义域为___________ ．5. 已知直线l经过点且方向向量为（2，﹣1），则原点O到直线l的距离为___________ ．6. 若自然数n满足C 6 n =20，则行列式 =___________ ．7. 已知关于x的方程（） x = 有一个正根，则实数a的取值范围是___________ ．8. 已知数列，则a 1 +a 2 +a 3 +a 4 +…+a 99 +a100 =___________ ．9. 已知P（x，y）是双曲线 =1上任意一点，F 1 是双曲线的左焦点，O是坐标原点，则的最小值是 ____________________ ．10. 等比数列{a n }首项为sinα，公比为cosα，若（a 1 +a 2 +…+a n ）=﹣，则α= ___________________________________ ．11. 已知下列命题：①若＜0，则与的夹角为钝角；②a，b ∈ C，则“ab ∈ R”是“a，b互为共轭复数”的必要非充分条件；③一个骰子连续投2次，点数和为4的概率为；④若n为正奇数，则6 n + + +…+ 被8除的余数是5，其中正确的序号是___________ ．12. 在一个底面半径为1，高为3的圆柱形容器中放满水，再把容器倾斜倒出水，此时圆柱体的母线与水平面所成角的大小是___________ ．13. 已知数列{a n }、{b n }的通项公式分布为a n =（﹣1） n﹣1 a﹣1，b n =（﹣1）n ，切对于一切的正整数n，恒有a n ＜b n 成立，则实数a的取值范围是_________ ．14. （文）在数列{a n }中，a 1 =2，且对任意大于1的正整数n，点（，）在直线y=x﹣上，则 =___________ ．15. 已知△ ABC 中，若sinA=m，sinB=n，当m、n满足条件___________ 时（只需写出满意的一个条件），cosC具有唯一确定的值．16. （文）已知△ ABC 中，cosA=a，sinB= ，当a满足条件___________ 时，cosC具有唯一确定的值．二、选择题17. 抛物线x 2 =4y的焦点坐标为（）A．（1，0）________ B．（﹣1，0）________ C．（0，1）________ D．（0，﹣1）18. 已知，，若k为满足的整数，则使△ ABC 是直角三角形的k的个数为（）A．7________ B．4________ C．3________ D．219. 已知a 2 +c 2 ﹣ac﹣3=0，则c+2a的最大值是（）A．2 ________ B．2 ________ C．2 ________ D．320. （文）已知a 2 + c 2 ﹣3=0，则c+2a的最大值是（）A．2 ________ B．2 ________ C．2 ________ D．321. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f（x）=被称为狄利克雷函数，其中R为实数集，Q为有理数集，则关于函数f（x）有如下四个命题：①f（f（x））=0；②函数f（x）是偶函数；③任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对任意的x ∈ R恒成立；④存在三个点A（x 1 ，f（x 1 ）），B（x 2 ，f（x 2 ）），C（x 3 ，f（x 3 ）），使得△ ABC 为等边三角形．其中真命题的个数是（）A．1________ B．2________ C．3________ D．4三、解答题22. 已知四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠ ABC=90° ，AD ∥ BC ，SA=AB=BC=2，AD=1，SA ⊥ 底面ABCD．（1）求四棱锥S﹣ABCD的体积；（2）（理）求SC与平面SAB所成角的大小（文）求异面直线SC与AD所成角的大小．23. 已知△ ABC 中，cosB= ，边c=12 ．（1）若函数y=3cos 2 x+sin 2 x﹣2 sinxcosx，当x=C时取得最小值，求变a，b的长；（2）若sin（A﹣B）= ，求sinA的值和边a的长．24. 为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间x（单位：天）变化的函数关系式近似为y= ．若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到净化空气的作用．（1）若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？（2）若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a（1≤a≤4）个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a的最小值（精确到0.1，参考数据：取1.4）．25. 已知数列{a n }的前n项和S n =﹣a n ﹣（） n﹣1 +2（n ∈ N * ），数列{b n }满足b n =2 n •a n（1）求a 1（2）求证数列{b n }是等差数列，并求数列{a n }的通项公式；（3）设c n =log 2 ，数列{ }的前n项和为T n ，求满足T n ＜（n∈ N * ）的n的最大值．26. 已知两个函数f 1 （x）=ln（|x﹣a|+2），f 2 （x）=ln（|x﹣2a+1|+1），a ∈ R．（1）若a=0，求使得f 1 （x）=f 2 （x）的x的值；（2）若|f 1 （x）﹣f 2 （x）|=f 1 （x）﹣f 2 （x）对于任意的实数x ∈ R恒成立，求实数a的取值范围；（3）求函数F（x）= ﹣的值域．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】第25题【答案】第26题【答案】。

上海市七宝中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 设集合,,则( )A BCD2． 函数2(44)x y a a a =-+是指数函数，则的值是（ ） A ．4 B ．1或3 C ．3 D ．13． 已知全集U R =，{|239}x A x =<≤，1{|2}2B y y =<≤，则有（ ） A ．A ØB B ．A B B =C ．()R A B ≠∅ðD ．()R A B R =ð4． 已知集合23111{1,(),,}122i A i i i i -=-+-+（其中为虚数单位），2{1}B x x =<，则A B =（ ） A ．{1}- B ．{1} C ．{1,}2- D ．{}25． 已知全集为R ，且集合}2)1(log |{2<+=x x A ，}012|{>--=x x x B ，则=)(B C A R （ ） A ．)1,1(- B ．]1,1(- C ．]2,1( D ．]2,1[【命题意图】本题考查集合的交集、补集运算，同时也考查了简单对数不等式、分式不等式的解法及数形结合的思想方法，属于容易题.6． 已知变量与正相关，且由观测数据算得样本平均数，，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是( ) ABC D7． 已知实数[]4,0x ∈-，[]0,3y ∈，则点(,)P x y 落在区域00240x y y x y x ≤⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪--≤⎩内的概率为（ ）A ．56B ．12C ．512D ．712【命题意图】本题考查线性规划、几何概型等基础知识，意在考查基本运算能力． 8． 已知()(2)(0)x b g x ax a e a x =-->，若存在0(1,)x ∈+∞，使得00()'()0g x g x +=，则ba的 取值范围是（ ）A ．(1,)-+∞B ．(1,0)- C. (2,)-+∞ D ．(2,0)- 9． 已知是虚数单位，,a b R ∈，则“1a b ==-”是“2()2a bi i +=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．若{}n a 为等差数列，n S 为其前项和，若10a >，0d <，48S S =，则0n S >成立的最大自 然数为（ ）A ．11B ．12C ．13D ．14 11．12,e e 是平面内不共线的两向量，已知12AB e ke =-，123CD e e =-，若,,A B D 三点共线，则的值是（ ）A ．1B ．2C ．-1D ．-212．如图所示，网格纸表示边长为1的正方形，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A．15 B． C．15 D．15【命题意图】本题考查三视图和几何体体积等基础知识，意在考查空间想象能力和基本运算能力．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．要使关于x 的不等式2064x ax ≤++≤恰好只有一个解，则a =_________. 【命题意图】本题考查一元二次不等式等基础知识，意在考查运算求解能力.14．已知圆22240C x y x y m +-++=：，则其圆心坐标是_________，m 的取值范围是________． 【命题意图】本题考查圆的方程等基础知识，意在考查运算求解能力. 15．将曲线1:C 2sin(),04y x πωω=+>向右平移6π个单位后得到曲线2C ，若1C 与2C 关于x 轴对称，则ω的最小值为_________.16．如图，在三棱锥P ABC -中，PA PB PC ==，PA PB ⊥，PA PC ⊥，PBC △为等边三角形，则PC 与平面ABC 所成角的正弦值为______________.【命题意图】本题考查空间直线与平面所成角的概念与计算方法，意在考查学生空间想象能力和计算能力．三、解答题（本大共6小题，共70分。

上海市七宝中学2019届高三数学上学期期中试题（含解析）一。

填空题1.集合的真子集有________个【答案】【解析】【分析】直接写出集合A的真子集即得解.【详解】集合A的真子集有，{0}，｛1}，｛2018},{0，1｝，{0，2018｝,{1,2018｝,所以集合A的真子集个数为7，故答案为：7【点睛】本题主要考查集合的真子集及其个数，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力。

2。

设全集，，，则图中阴影部分所表示的集合是________（用区间表示）【答案】【解析】【分析】先化简集合M和N，再求M∩N,再求即得阴影部分所表示的集合。

【详解】由题得M=｛x|x>2或x〈-2}，N=｛x｜x≥0}，所以M∩N={x｜x＞2},所以。

所以阴影部分所表示的集合为［0，2]。

故答案为：【点睛】本题主要考查韦恩图和集合的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力。

3。

命题“若实数、满足，则或”是________命题（填“真”或“假”)【答案】真【解析】【分析】先考虑其逆否命题“a＞2且b＞3则a+b＞5"的真假，即得原命题的真假。

【详解】由题得原命题的逆否命题为“a＞2且b＞3则a+b＞5”，由不等式同向可加的性质得其逆否命题为真命题，所以原命题是真命题。

故答案为：真【点睛】（1）本题主要考查原命题及其逆否命题，考查命题真假性的判断，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2）互为逆否关系的命题同真同假，即原命题与逆否命题的真假性相同，原命题的逆命题和否命题的真假性相同。

所以，如果某些命题(特别是含有否定概念的命题)的真假性难以判断,一般可以判断它的逆否命题的真假性。

4.某个时钟时针长6，则在本场考试时间内，该时针扫过的面积是________【答案】【解析】【分析】直接利用扇形的面积公式求解。

【详解】由题得该时针扫过的面积为故答案为：【点睛】本题主要考查扇形面积的计算,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.5。

2018-2019学年上海市上海中学高三上学期期中数学试题一、单选题1．设,,a b c 是互不相等的整数，则下列不等式中不恒成立的是（ ） A ．||||||a b a c b c -≤-+- B ．2211a a a a+≥+C ．1||2a b a b-+≥- D ．312a a a a +-+≤+-【答案】C【解析】根据绝对值三角不等式得到A 正确；将不等式变换为2112a a a a ⎛⎫+-≥+ ⎪⎝⎭换元判断正确；取2,3a b ==计算知不成立；变换得到32111a a a a≤+++++，判断正确，得到答案.【详解】A. ||||||a b a c b c -≤-+-，根据绝对值三角不等式知不等式恒成立；B. 2211a a a a +≥+等价于2112a a a a ⎛⎫+-≥+ ⎪⎝⎭，设(][)1,,22,a t t a +=∈-∞-⋃+∞即220t t --≥即()()210t t -+≥，在(][),22,t ∈-∞-+∞恒成立；C. 1||2a b a b-+≥-，取2,3a b ==计算知不满足； D.312a a a a +-+≤+-即321a a a a +-+≤+-即32111a a a a≤+++++ 根据321a a a a +++≥++得证.故选：B 【点睛】本题考查了不等式的判断，利用特殊值法可以快速得到答案，是解题的关键. 2．设A 、B 、C 是三个集合，则“A B A C ⋂=⋂”是“B C =”的（ ）条件. A ．充分非必要 B ．必要非充分C ．充要D ．既非充分又非必要【答案】B【解析】先判断必要性，再取A =∅，排出充分性，判断得到答案.【详解】当B C =时，A B A C ⋂=⋂成立，必要性；当A B A C ⋂=⋂时，取A =∅，BC 为任意集合均满足，不充分. 故选：B 【点睛】本题考查了必要不充分条件，意在考查学生的推断能力.3．函数()f x 的反函数图像向左平移1个单位，得到曲线C ，函数()g x 的图像与曲线C 关于y x =成轴对称，那么()g x =（ ） A ．()1f x +B ．()1f x -C ．()1f x +D ．()1f x -【答案】D【解析】根据平移得到曲线C ：()11f x -+，再根据()g x 是()11f x -+的反函数，计算得到答案.【详解】函数()f x 的反函数为()1fx - ，向左平移一个单位得到曲线C ：()11f x -+函数()g x 的图像与曲线C 关于y x =成轴对称，则()g x 是()11f x -+的反函数即1()()1()()1y f x y f x g x f x +=∴=-∴=- 故选：D 【点睛】本题考查了反函数的计算，意在考查学生对于反函数知识的掌握情况.4．已知函数()y f x =为定义域R 上的奇函数，且在R 上是单调递增函数，函数()(3)g x f x x =-+，数列{}n a 为等差数列，且公差不为0，若()()()12927g a g a g a +++=，则129a a a +++=（ ）A ．18B ．9C ．27D ．81【答案】C【解析】根据题意，由奇函数的性质可得f （﹣x ）+f （x ）＝0，又由g （x ）＝f （x ﹣3）+x 且g （a 1）+g （a 2）+…+g （a 9）＝27，可得f （a 1﹣3）+f （a 2﹣3）+…+f （a 9﹣3）+（a 1+a 2+…+a 9）＝27，结合等差数列的性质可得f （a 1﹣5）＝﹣f （a 9﹣5）＝f （5﹣a 9），进而可得a 1﹣5＝5﹣a 9，即a 1+a 9＝10，进而计算可得答案． 【详解】根据题意，函数y ＝f （x ）为定义域R 上的奇函数， 则有f （﹣x ）+f （x ）＝0， ∵g （x ）＝f （x ﹣3）+x ，∴若g （a 1）+g （a 2）+…+g （a 9）＝27，即f （a 1﹣3）+a 1+f （a 2﹣3）+a 2+…+f （a 9﹣3）+a 9＝27， 即f （a 1﹣3）+f （a 2﹣3）+…+f （a 9﹣3）+（a 1+a 2+…+a 9）＝27， f （a 1﹣3）+f （a 2﹣3）+…+f （a 9﹣3））+（a 1﹣3+a 2﹣3+…+a 9﹣3）＝0， 又由y ＝f （x ）+x 为定义域R 上的奇函数，且在R 上是单调函数， 且（a 1﹣3）+（a 9﹣3）＝（a 2﹣3）+（a 8﹣3）＝…＝2（a 5﹣3）， ∴a 5﹣3＝0，即a 1+a 9＝a 2+a 8＝…＝2a 5＝6， 则a 1+a 2+…+a 9＝9a 5＝27； 故选：C ． 【点睛】本题考查了数列的计算，函数性质的应用，构造函数y ＝f （x ）+x 是解题的关键.二、填空题5．设全集I R =，{}2|3100A x x x =--≥，{}2|40B x x =-≤，则()()I I C A C B ⋃=_________；【答案】(,2)(2,)-∞-⋃-+∞【解析】先计算集合A 得到{}25I C A x x =-<<，再计算集合B 得到{}22I C B x x x =><-或，再计算()()I I C A C B ⋃得到答案. 【详解】{}{}2|3100=|52A x x x x x x =--≥≥≤-或，{}25I C A x x =-<< {}{}2|4022B x x x x =-≤=-≤≤，{}22I C B x x x =><-或()()(,2)(2,)I I C A C B ⋃=-∞-⋃-+∞故答案为：(,2)(2,)-∞-⋃-+∞ 【点睛】本题考查了集合的混合运算，意在考查学生的计算能力. 6．不等式2113x x ->+的解是_________； 【答案】(,3)(4,)-∞-⋃+∞ 【解析】不等式化简得到403x x ->+，计算得到答案. 【详解】2121411004333x x x x x x x --->∴->∴>∴>+++或3x <- 故答案为：(,3)(4,)-∞-⋃+∞ 【点睛】本题考查了解不等式，属于基础题型.7．若指数函数x y a =的定义域和值域都是[]2,4，则a =_________； 【答案】2【解析】讨论1a >和01a <<两种情况，根据函数的单调性计算值域得到答案. 【详解】当1a >时：函数()xy f x a ==单调递增，()2422,(4)42f a f a a ====∴=；当01a <<时：函数()xy f x a ==单调递减，()2424,(4)2f a f a ====，无解.综上所述：2a =故答案为：2 【点睛】本题考查了函数的定义域和值域，分类讨论是一种常用的方法，需要熟练掌握. 8．函数2()4(0)f x x x x =-≤的反函数为_________； 【答案】24(0)x x -+≥【解析】利用函数表达式解得()240x y y =-+≥，得到反函数.【详解】()()22()424(0)240y f x x x x x x y y ==-=--≤∴=-+≥故函数的反函数为1()24(0)f x x x -=-+≥故答案为：24(0)x x -+≥【点睛】本题考查了反函数的计算，忽略掉定义域是容易发生的错误. 9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为3，公差为2的等差数列，若2n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则使得268n n S T +≥成立的n 的最小值为__________. 【答案】5【解析】根据等差数列定义求得数列{}n a 的前n 项和n S ；由1n n n a S S -=-求得数列{}n a 的通项公式，利用2n n b a =求得数列{}n b 的通项公式，进而求得数列{}n b 的前n 项和n T ；依次代入求解即可得到n 的最小值。

七宝中学高三数学试题2019.3.25一、填空题（本大题共有12题，满分54分）．1．已知集合{1,3,},{3,5}==A m B ，且⊆B A ，则实数m 的值是___________． 2．函数()=f x 的定义域是_____________． 3．函数2(2)=≥x y x 的反函数是_______________．4．如果圆锥的底面积为π，母线长为2，那么该圆锥的高为_____________． 5．二项式82⎫⎪⎭x 的展开式中的常数项为_____________．6．已知复数03=+z i （i 为虚数单位），复数z 满足003⋅=+z z z z ，则=z ________． 7．如右图，直三棱柱的主视图是边长为2的正方形，且俯视图为一个等边三角形，则该三棱柱的左视图面积为______________．8．某班从4位男生和3位女生志愿者选出4人参加校运动会的点名签到工作，则选出的志愿者中既有男生又有女生的概率是____________（结果用最简分数表示）．9．已知,r ra b 是平面内两个互相垂直的单位向量，且此平面内另一向量r c 在满足(3)(4)0+⋅-=r r r ra cbc 时，均能使||-≤rr c b k 成立，则k 的最小值是___________．10．已知函数()5sin(2),0,,[0,5]2πθθπ⎛⎤=-∈∈ ⎥⎝⎦f x x x ，若函数()()3=-F x f x 的所有零点依次记为123,,,,L n x x x x ，且1231-<<<⋯<<n n x x x x x ，*∈n N ，若 123218322222π--+++⋯+++=n n n x x x x x x ，则θ=___________． 11．已知函数()(0)2π=≥f x x x ，图像的最高点从左到右依次记为135,,,L P P P 函数()=y f x 图像与轴的交点从左到右依次记为246,,,L P P P ，设 ()()()23122323343441251+++=⋅+⋅+⋅++⋅u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u u u r u u u u u u u u r L nn n n n n S P P P P P P P P P P P P P P P P则lim 1(2)→∞=+-nnn S ______________．俯视图主视图1111112．若数列{}n a 满足221,--=n n a a p p 为常数，2≥n ，则称数列{}n a 为等方差数列，p 为公方差，已知正数等方差数列{}n a 的首项11=a ，且125,,a a a 成等比数列，12≠a a ， 设*12231111|,1100,N +⎧⎫==++⋯+≤≤∈⎨⎬+++⎩⎭n n n n A T T n n a a a a a a ，取A 的非空子集B ，若的元素都是整数，则为“完美子集”，那么集合中的完美子集的个数为___________．二、选择题（每题5分，共20分）13．关于,x y 的二元一次方程组341310+=⎧⎨-=⎩x y x y 的增广矩阵为 （ ）A 3411310-⎛⎫ ⎪-⎝⎭B 3411310⎛⎫ ⎪--⎝⎭C 3411310⎛⎫ ⎪-⎝⎭D 3411310⎛⎫⎪⎝⎭14．若函数(),=∈R y f x x 为非奇非偶函数，则有 （ ） A ．对于任意的0∈x R ，都有()()00-≠f x f x 且()()00-≠-f x f x B ．存在0∈x R ，使()()00-≠f x f x 且()()00-≠-f x f x C ．存在12,∈x x R ，使()()11-≠f x f x 且()()22-≠-f x f x D ．对于任意的0∈x R ，都有()()00-≠f x f x 或()()00-≠-f x f x15．无穷等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，前n 项和为()*∈n S n N ，则“10+>a d ” 是“{}n S 为递增数列”的 （ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件 16、在圆锥PO 中，已知高2=PO ，底面圆半径为4，为母线上一点，根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，下面四个命题，正确的个数为（ ）①圆的面积为4π 37③双曲线两渐近线的夹角为4arcsin5π- 45A 1个B 2个C 3个D 4个 三、解答题：（本大题共有5题，满分76分）17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，已知长方体1111-A BCD A B C D 的棱长12,1,2===A B BC A A ，求： （1）异面直线1BC 与1CD 所成角的大小； （2）点B 到平面1A CD 的距离．1A 118．（本题满分14分）第1小题满分6分，第2小题满分8分． 函数)()lg2=f x x ，其中0>b ．（1）若函数是奇函数，求b 的值；（2）在（1）的条件下，判别函数图像是否存在两点,A B ，使得直线AB 平行于x 轴，说明理由； 19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 如图，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形,,ABCD AB AD 的长分别为,4m ，上部是圆心为O 的劣弧CD ，23π∠=COD 。

2019年上海市闵行区七宝中学高考数学一模试卷一、选择题（本大题共4小题）1.设集合P1={x|x2+ax+1＞0}，P2={x|x2+ax+2＞0}，其中a∈R，下列说法正确的是（）A. 对任意a，P1是P2的子集B. 对任意a，P1不是P2的子集C. 存在a，使得P1不是P2的子集D. 存在a，使得P2是P1的子集【答案】A【解析】【分析】由不等式的性质得：由x2+ax+1＞0，则有x2+ax+2=x2+ax+1+1＞0+1＞0，由x2+ax+2＞0，不能推出x2+ax+1＞0，由集合间的关系得：P1P2，得解．【详解】解：由x2+ax+1＞0，则有x2+ax+2=x2+ax+1+1＞0+1＞0，由x2+ax+2＞0，则有x2+ax+1=x2+ax+2-1＞-1，不能推出x2+ax+1＞0，即P1P2，故选：A．【点睛】本题考查了集合间的关系，不等式的性质，属简单题．2.△ABC中，a2：b2=tan A：tan B，则△ABC一定是（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形【答案】D【解析】【分析】由已知a2：b2=tan A：tan B，利用正弦定理及同角基本关系对式子进行化简，然后结合二倍角公式在进行化简即可判断.【详解】解：∵a2：b2=tan A：tan B，由正弦定理可得，∵sin A sin B≠0∴∴sin A cosA=sin B cosB即sin2A=sin2B∴2A=2B或2A+2B=π∴A=B或A+B=，即三角形为等腰或直角三角形故选：D．【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，正弦定理的应用，式子变形是解题的关键和难点．3.抛物线y=2x2上有一动弦AB，中点为M，且弦AB的长度为3，则点M的纵坐标的最小值为（）A. B. C. D. 1【答案】A【解析】【分析】由题意设，，直线的方程为，代入抛物线方程，写出韦达定理关系式及弦长与点的纵坐标关系式，通过基本不等式确定最小值.【详解】由题意设，，，直线的方程为，联立方程，整理得，，，点M的纵坐标，弦的长度为，即，整理得，即根据基本不等式，，当且仅当，时取等，即，，点的纵坐标的最小值为.故选A.【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系，考查基本不等式在圆锥曲线综合问题中的应用，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用.解决直线与圆锥曲线综合问题基本步骤为：（1）设，即设交点坐标和直线方程，注意考虑直线斜率是否存在;（2）联，即联立直线方程与圆锥曲线，消元;（3）判，即直线与圆锥曲线的位置关系可以通过判别式加以判断;（4）韦，即韦达定理，确定两根与系数的关系.（5）代，即根据已知条件，将所求问题转换到与两点坐标和直线方程相关的问题，进而求解问题.4.已知正数数列{a n}满足a n+1≥2a n+1，且a n＜2n+1对n∈N*恒成立，则a1的范围为（）A. [1，3]B. （1，3）C. （0，3]D. （0，4）【答案】C【解析】【分析】由条件可得1+a n+1≥2（a n+1），设b n=1+a n，（a n＞0，b n＞1），运用累乘法，结合不等式恒成立，即可得到所求范围．【详解】解：正数数列{a n}满足a n+1≥2a n+1，可得1+a n+1≥2（a n+1），设b n=1+a n，（a n＞0，b n＞1）即有b2≥2b1，b3≥2b2，…，b n≥2b n-1，累乘可得b n≥b1•2n-1，可得1+a n≥（1+a1）•2n-1，又a n＜2n+1对n∈N*恒成立，可得1+2n+1＞1+a n≥（1+a1）•2n-1，即有1+2n+1＞（1+a1）•2n-1，可得a1＜3+恒成立，由3+＞3，可得0＜a1≤3．故选：C．【点睛】本题考查数列的递推式，注意累乘法的运用，考查等比数列的通项公式，考查不等式的性质和恒成立思想，属于中档题．二、填空题（本大题共12小题）5.设A={x||x|≤2018，x∈R}，B={x|y=，x∈R}，则A∩B=______．【答案】【解析】【分析】可解出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【详解】解：A={x|-2018≤x≤2018}，B={2019}；∴A∩B=∅．故答案为：∅．【点睛】考查描述法、列举法的定义，绝对值不等式的解法，以及交集的运算6.已知定义域在[-1，1]上的函数y=f（x）的值域为[-2，0]，则函数y=f（cos）的值域是______．【答案】[-2，0]【解析】【分析】可以看出-1，从而对应的函数值，这便得出了该函数的值域．【详解】解：∵cos∈[-1，1]；∴；即y∈[-2，0]；∴该函数的值域为[-2，0]．故答案为：[-2，0]．【点睛】考查函数定义域、值域的概念，本题可换元求值域：令cos=t，-1≤t≤1，从而得出f（t）∈[-2，0]．7.若行列式的展开式的绝对值小于6的解集为（-1，2），则实数a等于______．【答案】4【解析】【分析】推导出|ax-2|＜6的解集为（-1，2），从而-4＜ax＜8解集为（-1，2），由此能求出a的值．【详解】解：∵行列式的展开式的绝对值小于6的解集为（-1，2），∴|ax-2|＜6的解集为（-1，2），∴-6＜ax-2＜6，即-4＜ax＜8解集为（-1，2），解得a=4．故答案为：4．【点睛】本题考查实数值的求法，考查行列式展开法则、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.在（0，2π）内使sin3x＞cos3x成立的x的取值范围是______．【答案】（，）【解析】【分析】设f（x）=sin3x-cos3x，x∈（0，2π），化f（x）=（sin x-cos x）（1+sin2x），判断sin x-cos x ＞0时f（x）＞0，由此求出不等式成立的x的取值范围．【详解】解：由题意，设f（x）=sin3x-cos3x，x∈（0，2π），∴f（x）=（sin x-cos x）（sin2x+sin x cosx+cos2x）=（sin x-cos x）（1+sin2x），又1+sin2x＞0恒成立，∴sin x-cos x＞0，即sin x＞cos x，即＜x＜时，f（x）＞0，∴（0，2π）内使sin3x＞cos3x成立的x的取值范围是（，）．故答案为：（，）．【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了转化应用问题，是中档题．9.在等差数列{a n}中，S7=8，则a4=______．【答案】【解析】【分析】由等差数列的性质及前n项和列式求解．【详解】解：在等差数列{a n}中，由S7=，得．故答案为：．【点睛】本题考查等差数列的前n项和，考查等差数列的性质，是基础题．10.已知f（x+1）=2x-2，那么f-1（2）的值是______．【答案】3【解析】【分析】令t=x+1，将已知等式中的x一律换为t，求出f（t）即得到f（x），然后令f（x）=2x-1-2=2，求出相应的x，即为f-1（2）的值．【详解】解：令t=x+1则x=t-1所以f（t）=2t-1-2所以f（x）=2x-1-2令f（x）=2x-1-2=2，解得x=3∴f-1（2）=3故答案为：3．【点睛】已知f（ax+b）的解析式，求f（x）的解析式，一般用换元的方法或配凑的方法，换元时，注意新变量的范围，同时考查了反函数求值，属于基础题．11.甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念，已知甲、乙相邻，则甲、丙相邻的概率为______．【答案】【解析】【分析】4人排成一排，其中甲、乙相邻的情况有12种，其中甲丙相邻的只有4种，由此能求出甲乙相邻，则甲丙相邻的概率．【详解】解：甲、乙相邻的方法有=12种情况，如果满足甲、丙相邻，则有4种情况，所以所求的概率为P=故答案为：．【点睛】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．12.若P（x，y）是双曲线上的动点，则|x-y|最小值是______．【答案】2【解析】【分析】利用双曲线方程，通过三角代换转化求解x，y，然后求解|x-y|的最小值．【详解】解：P（x，y）是双曲线上的动点，设：x=，y=2tanθ，所以|x-y|=|-2tanθ|=，表达式的几何意义是单位圆上的点与（0，）斜率的2倍，可得：2∈[2，2+2]，故答案为：2【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．13.设点P到平面α的距离为，点Q在平面α上，使得直线PQ与平面α所成角不小于30°且不大于60°，则这样的PQ所构成的区域体积为______．【答案】【解析】【分析】由题意画出图形，分别求出两个圆锥的半径，代入圆锥体积公式作差即可．【详解】解：如图，过P作PO⊥α，则PO=，当∠PQO=60°时，OQ=1，当∠PQO=30°时，OQ=3．∴PQ所构成的区域体积为V=．故答案为：．【点睛】本题考查圆锥体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．14.已知AB为单位圆上弦长为的弦，P为单位圆上的点，若f（λ）=的最小值为m（其中λ∈R），当点P在单位圆上运动时，则m的最大值为______．【答案】【解析】【分析】设λ，根据向量减法的运算法则，转化为点到直线的距离，利用直线和圆相交时的垂径定理结合勾股定理进行求解即可．【详解】解：设λ，则f（λ）===，又C点在直线AB上，要求f（λ）最小值，等价为求出的最小值，显然当CP⊥AB时，CP最小，可得f（λ）的最小值m为点P到AB的距离，∵|AB|=，∴|BC|=，则|OC|=则|CP|=|OP|+|OC|=1+=，即m的最大值为，故答案为：．【点睛】本题考查向量共线定理的运用，以及圆的垂径定理和勾股定理的运用，利用向量的基本运算结合数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．15.已知函数f（a，x）=sin x+cos x随着a，x在定义域内变化时，该函数的最大值为______【答案】【解析】【分析】运用辅助角公式和正弦函数的值域可得f（a，x）≤，再由柯西不等式，计算可得所求最大值．【详解】解：函数f（a，x）=sin x+cos x=sin（x+θ）（θ为辅助角），即有f（a，x）≤（sin（x+θ）=1取得等号），由柯西不等式可得（）2≤（1+1）（a+1-a）=2，当且仅当a=时，取得等号，即有≤，即f（a，x）的最大值为．故答案为：．【点睛】本题考查函数的最值求法，注意运用辅助角公式和正弦函数的值域，以及柯西不等式，考查运算能力，属于中档题．16.已知定义在上的函数f（x）=，设a，b，c为三个互不相同的实数，满足f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围为______．【答案】（81，144）【解析】【分析】先判断函数的性质以及图象的特点，设a＜b＜c，由图象得ab是个定值，利用数形结合的思想去解决即可．【详解】解：作出f（x）的图象如图：当x＞9时，由f（x）=4-=0，得x=16，若a，b，c互不相等，不妨设a＜b＜c，因为f（a）=f（b）=f（c），所以由图象可知0＜a＜3＜b＜9，9＜c＜16，由f（a）=f（b），得1-log3a=log3b-1，即log3a+log3b=2，即log3（ab）=2，则ab=9，所以abc=9c，因为9＜c＜16，所以81＜9c＜144，即81＜abc＜144，所以abc的取值范围是（81，144）．故答案为：（81，144）．【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，利用数形结合得到ab是个常数是解决本题的关键．综合考查学生的推理能力．三、解答题（本大题共5小题）17.在长方体ABCD-A1B1C1D1中（如图），AD=AA1=1，AB=2，点E是棱AB的中点．（1）求异面直线AD1与EC所成角的大小；（2）《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，试问四面体D1CDE是否为鳖臑？并说明理由．【答案】(1) (2)见解析【解析】【分析】（1）取CD中点F，连接AF，则AF∥EC，即∠D1AF为异面直线AD1与EC所成角，解三角形可得△AD1F为等边三角形，从而得到异面直线AD1与EC所成角的大小；（2）证明DE⊥CE，进一步得到D1E⊥CE，可知四面体D1CDE是鳖臑．【详解】解：（1）取CD中点F，连接AF，则AF∥EC，∴∠D1AF为异面直线AD1与EC所成角．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，由AD=AA1=1，AB=2，得∴△AD1F为等边三角形，则．∴异面直线AD1与EC所成角的大小为；（2）连接DE，∵E为AB的中点，∴DE=EC=，又CD=2，∴DE2+CE2=DC2，得DE⊥CE．∵D1D⊥底面DEC，则D1D⊥CE，∴CE⊥平面D1DE，得D1E⊥CE．∴四面体D1CDE的四个面都是直角三角形，故四面体D1CDE是鳖臑．【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中直线与直线，直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．18.设S，T是R的两个非空子集，如果函数y=f（x）满足：①T={f（x）|x∈S}；②对任意x1，x2，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），那么称函数y=f（x）为集合S到集合T的“保序同构函数”．（1）试判断下列函数f（x）=，f（x）=tan（πx-）是否是集合A={x|0＜x＜1}到集合R的保序同构函数；请说明理由．（2）若f（x）=是集合[0，s]到集合[0，t]是保序同构函数，求s和t的最大值．【答案】（1）见解析；（2）s的最大值为1，t的最大值为【解析】【分析】（1）根据集合A={x|0＜x＜1}到集合R的保序同构函数的定义，判断函数是否是单调递增函数即可；（2）利用导数研究函数f（x）=在x≥0上的单调区间，结合保序同构函数的定义进行求解即可．【详解】解：（1）由②知，函数为增函数即可．若f（x）=，当0＜x＜1时，-1＜-x＜0，函数y=为增函数，同时y=为增函数，即f（x）=增函数，满足条件．若f（x）=tan（πx-），当0＜x＜1时，0＜πx＜π，-＜πx-＜，此时函数f（x）为增函数，满足条件．即两个函数都是集合A={x|0＜x＜1}到集合R的保序同构函数．（2）函数f（x）为f′（x）==，当x＞0时，由f′（x）＞0得1-x2＞0得x2＜1，得0＜x＜1，由f′（x）＜0得1-x2＜0得x2＞1，即x＞1，即函数f（x）在[0，1]上是增函数，在[1，+∞）上是减函数，则s的最大值为1，t的最大值为f（1）=．【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，结合新定义保序同构函数转化为判断函数的单调性是解决本题的关键．19.如图，已知一个长方形展览大厅长为20m，宽为16m，展厅入口位于其长边的中间位置，为其正中央有一个圆心为C的圆盘形展台，现欲在展厅一角B点处安装一个监控摄像头对展台与入口进行监控（如图中阴影所示），要求B与圆C在同一水平面上．（1）若圆盘半径为2m，求监控摄像头最小水平摄像视角的正切值；（2）若监控摄像头最大水平摄像视角为60°，求圆盘半径的最大值．（注：水平摄像视角指镜头中心点与水平观察物体边缘的视线的夹角）【答案】(1) 1+ (2) 5-4【解析】【分析】（1）分别求出∠ABC和∠CBE的正切值，利用两角和的正切公式计算；（2）利用两角差的正切公式计算tan∠CBE，再根据正切的定义列方程求出圆的半径．【详解】解：（1）过C作入口所在边的高AC，垂足为A，由题意可知AC=8，AB=10，BC==2，∴tan∠ABC=，过B作圆C的切线BE，切点为E，则CE⊥BE，CE=2，且∠ABE为监控摄像头最小水平摄像视角．∵BE==12，∴tan∠CBE=，∴tan∠ABE=tan（∠ABC+∠CBE）=1+．∴当圆盘半径为2时，监控摄像头最小水平摄像视角的正切值为1+．（2）过B作直线BD，使得∠ABD=60°，过C作CM⊥BD，垂足为M，则∠CBD=60°-∠ABC，∴tan∠CBD=tan（60°-∠ABC）=．设圆盘的最大半径为r，则tan∠CBD=．解得r=5-4．∴圆盘的最大半径为5-4．【点睛】本题考查了函数模型的应用，直线与圆的位置关系，属于中档题．20.已知椭圆C：（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，过F1任作一条与坐标轴都不垂直的直线，与C交于A，B两点，且△ABF2的周长为8．当直线AB的斜率为时，AF2与x轴垂直．（1）求椭圆C的方程（2）若A是该椭圆上位于第一象限的一点，过A作圆x2+y2=b2的切线，切点为P，求|AF1|-|AP|的值；（3）设P（0，m）（m≠±b）为定点，直线l过点P与x轴交于点Q，且与椭圆交于C，D两点，设，，，求λ+μ的值．【答案】（1）=1（2）2（3）【解析】【分析】（1）根据题意4a=8，再根据勾股定理求出c=1，即可求出椭圆方程，（2）由题意，根据直线和圆相切，以及勾股定理可得AF1|=2+x0，|PA|=x0，即可求出|AF1|-|AP|的值（3）根据向量的运算可得λ+μ=2+m（+），再题意直线l的方程为x=y（x+m），代入，由此利用韦达定理结合已知条件，即可求出．【详解】解：（1）∵△ABF2的周长为8，∴4a=8，即a=2，∵tan∠AF1F2=，设|AF2|=3m，则|F1F2|=2c=4m，∴|AF1|=5m，∵|AF1|+|AF2|=2a=4，∴3m+5m=4，∴m=，∴2c=2，∴c=1，∴b2=a2-c2=3，∴椭圆C的方程=1，（2）设A（x0，y0），则=1，（|x0|＜2）∴|AF1|2=（x0+1）2+y02=（x0+4）2，∴|AF1|=2+x0，连接OP，OP，由相切条件知：|PA|2=|OP|2-|OP|2=x02+y02-3=x02+3-x02-3=x02，∴|PA|=x0，∴|AF1|-|AP|=2+x0-x0=2．（3）设C（x1，y1），D（x2，y2），显然可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为x=k（y-m），令y=0，可得x=-km，则Q（-km，0），由，得（x1+km，y1）=λ（x1，y1-m），则y1=λ（y1-m），即λ==1+，，可得（x2+km，y2）=μ（x2，y2-m），即μ=1+将x=k（y-m），代入椭圆=1中（4+3k2）y2-6mk2y+3k2m2-12=0，由韦达定理得y1+y2=，y1y2=，∴λ+μ=2+m（+）=2+m•=2+==．【点睛】本题考查椭圆的求法，考查直线和椭圆的位置关系，韦达定理，考查两数和为定值的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．21.设正项数列{a n}的前n项和为S n，首项为1，q为非零正常数，已知对任意整数n，m，当n＞m时，S n-S m=q m•S n-m恒成立．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）证明数列是递增数列；（3）是否存在正常数c使得{lg（c-S n）}为等差数列？若存在，求出常数c的值；若不存在，说明理由．【答案】（1) a n=q n-1 (2)见证明 (2)见解析【解析】【分析】（1）由已知条件，可令m=n-1，代入结合数列的递推式，即可得到所求通项公式；（2）讨论公比q是否为1，求得S n，以及，由单调性的定义即可得证；（3）假设存在正常数c使得{lg（c-S n）}为等差数列，结合对数的运算性质和等差数列的通项公式，即可得到所求结论．【详解】解：（1）因为对任意正整数n，m，当n＞m时，S n-S m=q m•S n-m总成立，所以n≥2时，令m=n-1，得到S n-S n-1=q n-1•S1，即a n=a1q n-1=q n-1，当n=1时，也成立，所以a n=q n-1，（2）证明：当q=1时，S n=n，=随着n的增大而增大；当q＞0，q≠1时，S n=，，由＜0，可得数列{}是递增数列；（3）假设存在正常数c使得{lg（c-S n）}为等差数列．当q=1时，S n=n，q≠1时，S n=，{lg（c-S n）}为等差数列，可得q≠1，lg（c-+）=lg=n lg q-lg（1-q）为等差数列，即有c=（0＜q＜1），【点睛】本题考查数列的通项和求和的关系，考查等比数列的通项公式和求和公式，以及数列的单调性的判断，考查运算能力，属于中档题．。

2018-2019学年上海市上海中学高三上学期期中数学试题一、单选题1．设,,a b c 是互不相等的整数，则下列不等式中不恒成立的是（ ） A ．||||||a b a c b c -≤-+-B ．2211a a a a+≥+C ．1||2a b a b-+≥- D ≤【答案】C【解析】根据绝对值三角不等式得到A 正确；将不等式变换为2112a a a a ⎛⎫+-≥+ ⎪⎝⎭换元判断正确；取2,3a b ==计算知不成立；≤判断正确，得到答案. 【详解】A. ||||||a b a c b c -≤-+-，根据绝对值三角不等式知不等式恒成立；B. 2211a a a a +≥+等价于2112a a a a ⎛⎫+-≥+ ⎪⎝⎭，设(][)1,,22,a t t a +=∈-∞-⋃+∞ 即220t t --≥即()()210t t -+≥，在(][),22,t ∈-∞-+∞恒成立；C. 1||2a b a b-+≥-，取2,3a b ==计算知不满足；D.≤≤≤≥.故选：B 【点睛】本题考查了不等式的判断，利用特殊值法可以快速得到答案，是解题的关键. 2．设A 、B 、C 是三个集合，则“A B A C ⋂=⋂”是“B C =”的（ ）条件. A ．充分非必要 B ．必要非充分C ．充要D ．既非充分又非必要【答案】B【解析】先判断必要性，再取A =∅，排出充分性，判断得到答案. 【详解】当B C =时，A B A C ⋂=⋂成立，必要性；当A B A C ⋂=⋂时，取A =∅，BC 为任意集合均满足，不充分. 故选：B 【点睛】本题考查了必要不充分条件，意在考查学生的推断能力.3．函数()f x 的反函数图像向左平移1个单位，得到曲线C ，函数()g x 的图像与曲线C 关于y x =成轴对称，那么()g x =（ ）A ．()1f x +B ．()1f x -C ．()1f x +D ．()1f x -【答案】D【解析】根据平移得到曲线C ：()11f x -+，再根据()g x 是()11f x -+的反函数，计算得到答案. 【详解】函数()f x 的反函数为()1fx - ，向左平移一个单位得到曲线C ：()11f x -+函数()g x 的图像与曲线C 关于y x =成轴对称，则()g x 是()11f x -+的反函数即1()()1()()1y f x y f x g x f x +=∴=-∴=- 故选：D 【点睛】本题考查了反函数的计算，意在考查学生对于反函数知识的掌握情况.4．已知函数()y f x =为定义域R 上的奇函数，且在R 上是单调递增函数，函数()(3)g x f x x =-+，数列{}n a 为等差数列，且公差不为0，若()()()12927g a g a g a +++=，则129a a a +++=（ ）A ．18B ．9C ．27D ．81【答案】C【解析】根据题意，由奇函数的性质可得f （﹣x ）+f （x ）＝0，又由g （x ）＝f （x ﹣3）+x 且g （a 1）+g （a 2）+…+g （a 9）＝27，可得f （a 1﹣3）+f （a 2﹣3）+…+f （a 9﹣3）+（a 1+a 2+…+a 9）＝27，结合等差数列的性质可得f （a 1﹣5）＝﹣f （a 9﹣5）＝f （5﹣a 9），进而可得a 1﹣5＝5﹣a 9，即a 1+a 9＝10，进而计算可得答案． 【详解】根据题意，函数y ＝f （x ）为定义域R 上的奇函数， 则有f （﹣x ）+f （x ）＝0， ∵g （x ）＝f （x ﹣3）+x ，∴若g （a 1）+g （a 2）+…+g （a 9）＝27，即f （a 1﹣3）+a 1+f （a 2﹣3）+a 2+…+f （a 9﹣3）+a 9＝27， 即f （a 1﹣3）+f （a 2﹣3）+…+f （a 9﹣3）+（a 1+a 2+…+a 9）＝27， f （a 1﹣3）+f （a 2﹣3）+…+f （a 9﹣3））+（a 1﹣3+a 2﹣3+…+a 9﹣3）＝0， 又由y ＝f （x ）+x 为定义域R 上的奇函数，且在R 上是单调函数， 且（a 1﹣3）+（a 9﹣3）＝（a 2﹣3）+（a 8﹣3）＝…＝2（a 5﹣3）， ∴a 5﹣3＝0，即a 1+a 9＝a 2+a 8＝…＝2a 5＝6， 则a 1+a 2+…+a 9＝9a 5＝27； 故选：C ． 【点睛】本题考查了数列的计算，函数性质的应用，构造函数y ＝f （x ）+x 是解题的关键.二、填空题5．设全集I R =，{}2|3100A x x x =--≥，{}2|40B x x =-≤，则()()I I C A C B ⋃=_________；【答案】(,2)(2,)-∞-⋃-+∞【解析】先计算集合A 得到{}25I C A x x =-<<，再计算集合B 得到{}22I C B x x x =><-或，再计算()()I I C A C B ⋃得到答案.【详解】{}{}2|3100=|52A x x x x x x =--≥≥≤-或，{}25I C A x x =-<< {}{}2|4022B x x x x =-≤=-≤≤，{}22I C B x x x =><-或()()(,2)(2,)I I C A C B ⋃=-∞-⋃-+∞故答案为：(,2)(2,)-∞-⋃-+∞【点睛】本题考查了集合的混合运算，意在考查学生的计算能力. 6．不等式2113x x ->+的解是_________； 【答案】(,3)(4,)-∞-⋃+∞ 【解析】不等式化简得到403x x ->+，计算得到答案. 【详解】2121411004333x x x x x x x --->∴->∴>∴>+++或3x <- 故答案为：(,3)(4,)-∞-⋃+∞ 【点睛】本题考查了解不等式，属于基础题型.7．若指数函数x y a =的定义域和值域都是[]2,4，则a =_________；【解析】讨论1a >和01a <<两种情况，根据函数的单调性计算值域得到答案. 【详解】当1a >时：函数()xy f x a ==单调递增，()2422,(4)4f a f a a ====∴=；当01a <<时：函数()xy f x a ==单调递减，()2424,(4)2f a f a ====，无解.综上所述：a =【点睛】本题考查了函数的定义域和值域，分类讨论是一种常用的方法，需要熟练掌握. 8．函数2()4(0)f x x x x =-≤的反函数为_________；【答案】20)x ≥【解析】利用函数表达式解得)20x y =≥，得到反函数.【详解】())22()424(0)20y f x x x x x x y ==-=--≤∴=≥故函数的反函数为1()20)f x x -=≥故答案为：20)x ≥【点睛】本题考查了反函数的计算，忽略掉定义域是容易发生的错误. 9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为3，公差为2的等差数列，若2n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则使得268n n S T +≥成立的n 的最小值为__________. 【答案】5【解析】根据等差数列定义求得数列{}n a 的前n 项和n S ；由1n n n a S S -=-求得数列{}n a 的通项公式，利用2nn b a =求得数列{}n b 的通项公式，进而求得数列{}n b 的前n项和n T ；依次代入求解即可得到n 的最小值。

2019届上海市七宝中学高三上学期期中考试数学试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题1．“函数()()f x x R ∈存在反函数”是“函数()f x 在R 上为增函数”的 A ． 充分而不必要条件 B ． 必要而不充分条件 C ． 充分必要条件 D ． 既不充分也不必要条件2．若函数f (x )的反函数为f −1(x )，则函数f (x −1)与f −1(x −1)的图象可能是A ．B ．C ．D ．3．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，给出四个命题： （1）若sin2A =sin2B ，则△ABC 为等腰三角形； （2）若sin A =cos B ，则△ABC 为直角三角形； （3）若cos A a=sin B b=cos C c，则△ABC 为等腰直角三角形；（4）若cos(A −B )cos(B −C )cos(C −A )=1，则△ABC 为正三角形； 以上正确命题的个数是A ． 1B ． 2C ． 3D ． 44．f (x )是定义在D 上的函数，且 3∈D ，若f (x )的图像绕原点逆时针旋转π6后与原图像重合，则在以下各项中，f ( 的可能取值只能是A ． 0B ． 1C ． 2D ． 3二、填空题5．集合A ={0,1,2018}的真子集有________个6．设全集U =R ，M ={x |x 2>4}，N ={x |3x ≥1}，则图中阴影部分所表示的集合是________（用区间表示）7．命题“若实数a 、b 满足a +b ≤5，则a ≤2或b ≤3”是________命题（填“真”或“假”） 8．某个时钟时针长6cm ，则在本场考试时间内，该时针扫过的面积是________cm 2 9．函数f (x )=x −log 11−ax x−1是奇函数，则实数a 的值为________10．函数y =x +ax在(1,2)上单调递增，则实数a 的取值范围为________11．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a = 3，c =2，A =π3，则△ABC 的面积为________12．已知函数f (x )=x 3，则f (3x −1)<f (1+x 2)的解集是________13．若关于x 的不等式|2x −a |+x >1在[0,2]上恒成立，则正实数a 的取值范围为________ 14．已知常数a >0，函数f (x )=2x 2x +ax的图像经过点P (p ,65)、Q (q ,−15)，若2p +q =16pq ，则a =________15．已知函数f (x )=−3x 3−3x +3−x −3x +3，若f (3a 2)+f (b 2−1)=6，则a 1+b 2大值是________16．已知函数f (x )= 2−x 1<x ≤212f (2x )0<x ≤1 ，如果函数g (x )=f (x )−k (x −1)恰有三个不同的零点，那么实数k 的取值范围是________三、解答题17．已知锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A 、B 两点，其中A 点坐标(35,45). （1）求1+sin 2αcos 2α的值；此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号（2）若sin(α+β)=−513，求B点坐标.18．如图，某公园有三个警卫室A、B、C有直道相连，AB=2千米，AC=4千米，BC=2千米.（1）保安甲沿CA从警卫室C出发行至点P处，此时PC=1，求PB的直线距离；（2）保安甲沿CA从警卫室C出发前往警卫室A，同时保安乙沿AB从警卫室A出发前往警卫室B，甲的速度为1千米/小时，乙的速度为2千米/小时，若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在公园内的最大通话距离不超过3千米，试问有多长时间两人不能通话？（精确到0.01小时）19．问题：正数a、b满足a+b=1，求1a +2b的最小值.其中一种解法是：1a +2b=(1a+2b)(a+b)=1+ba+2ab+2≥3+22，当且仅当ba=2ab且a+b=1时，即a=2−1且b=2−2时取等号.学习上述解法并解决下列问题：（1）若实数a、b、x、y满足x 2a −y2b=1，试比较a2−b2和(x−y)2的大小，并指明等号成立的条件；（2）利用（1）的结论，求函数f(t)=2t−3−t−2的值域.20．定义区间(m,n)、[m,n]、(m,n]、[m,n)的长度均为n−m，已知不等式76−x≥1的解集为A.（1）求A的长度；（2）函数f(x)=(a 2+a)x−1a x（a∈R，a≠0）的定义域与值域都是[m,n]（n>m），求区间[m,n]的最大长度；（3）关于x的不等式log2x+log2(tx+3t)<2的解集为B，若A∩B的长度为6，求实数t的取值范围.21．已知定义在D上的函数f(x)满足：12[f(x1)+f(x2)]≤f(x1+x22)对任意的实数x1,x2∈D都成立，当且仅当x1=x2时取等号，则称函数f(x)是D上的S函数，已知S函数f(x)具有性质：1 n [f(x1)+f(x2)+⋅⋅⋅+f(x n)]≤f(x1+x2+⋅⋅⋅+x nn)（n∈N∗,n≥2）对任意的实数x i∈D（i∈N∗）都成立，当且仅当x1=x2=⋅⋅⋅=x n时取等号.（1）试判断函数f(x)=log a x（a>0且a≠1）是否是(0,+∞)上的S函数，说明理由；（2）求证：f(x)=sin x是(0,π)上的S函数，并求sin A+sin B+sin C的最大值（其中A、B、C是△ABC三个内角）；（3）若f(x)定义域为R，①f(x)是奇函数，证明：f(x)不是R上的S函数；②f(x)最小正周期为T，证明：f(x)不是R上的S函数.2019届上海市七宝中学高三上学期期中考试数学试题数学 答 案参考答案 1．B【解析】函数()()f x x R ∈存在反函数，至少还有可能函数()f x 在R 上为减函数，充分条件不成立；而必有条件显然成立。

2019年上海市闵行区七宝中学高考数学一模试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.设集合P1={x|x2+ax+1＞0}，P2={x|x2+ax+2＞0}，其中a∈R，下列说法正确的是（）A. 对任意a，P1是P2的子集B. 对任意a，P1不是P2的子集C. 存在a，使得P1不是P2的子集D. 存在a，使得P2是P1的子集【答案】A【解析】解：由x2+ax+1＞0，则有x2+ax+2=x2+ax+1+1＞0+1＞0，由x2+ax+2＞0，则有x2+ax+1=x2+ax+2-1＞-1，不能推出x2+ax+1＞0，即P1⊊P2，故选：A．由不等式的性质得：由x2+ax+1＞0，则有x2+ax+2=x2+ax+1+1＞0+1＞0，由x2+ax+2＞0，不能推出x2+ax+1＞0，由集合间的关系得：P1⊊P2，得解．本题考查了集合间的关系，不等式的性质，属简单题．2.△ABC中，a2：b2=tan A：tan B，则△ABC一定是（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形【答案】D【解析】解：∵a2：b2=tan A：tan B，由正弦定理可得，==∵sin A sin B≠0∴∴sin A cosA=sin B cosB即sin2A=sin2B∴2A=2B或2A+2B=π∴A=B或A+B=，即三角形为等腰或直角三角形故选：D．由已知a2：b2=tan A：tan B，利用正弦定理及同角基本关系对式子进行化简，然后结合二倍角公式在进行化简即可判断本题考查同角三角函数的基本关系，正弦定理的应用，式子变形是解题的关键和难点．3.抛物线y=2x2上有一动弦AB，中点为M，且弦AB的长度为3，则点M的纵坐标的最小值为（）A. B. C. D. 1【答案】A【解析】解：设直线AB的方程为y=kx+b，联立，化为2x2-kx-b=0，由题意可得△=k2+8b＞0．∴x1+x2=，x1x2=-．∵|AB|=×=3，AB中点M的纵坐标=x=+b==．故选：A．设直线AB的方程为y=kx+b，与抛物线方程联立得到△＞0即根与系数的关系，再利用中点坐标公式和基本不等式即可得出．熟练掌握抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为与抛物线方程联立得到△＞0，即根与系数的关系、中点坐标公式和基本不等式等是解题的关键．4.已知正数数列{a n}满足a n+1≥2a n+1，且a n＜2n+1对n∈N*恒成立，则a1的范围为（）A. [1，3]B. （1，3）C. （0，3]D. （0，4）【答案】C【解析】解：正数数列{a n}满足a n+1≥2a n+1，可得1+a n+1≥2（a n+1），设b n=1+a n，（a n＞0，b n＞1）即有b2≥2b1，b3≥2b2，…，b n≥2b n-1，累乘可得b n≥b1•2n-1，可得1+a n≥（1+a1）•2n-1，又a n＜2n+1对n∈N*恒成立，可得1+2n+1＞1+a n≥（1+a1）•2n-1，即有1+2n+1＞（1+a1）•2n-1，可得a1＜3+恒成立，由3+＞3，可得0＜a1≤3．故选：C．由条件可得1+a n+1≥2（a n+1），设b n=1+a n，（a n＞0，b n＞1），运用累乘法，结合不等式恒成立，即可得到所求范围．本题考查数列的递推式，注意累乘法的运用，考查等比数列的通项公式，考查不等式的性质和恒成立思想，属于中档题．二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.设A={x||x|≤2018，x∈R}，B={x|y=，x∈R}，则A∩B=______．【答案】∅【解析】解：A={x|-2018≤x≤2018}，B={2019}；∴A∩B=∅．故答案为：∅．可解出集合A，B，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，绝对值不等式的解法，以及交集的运算．6.已知定义域在[-1，1]上的函数y=f（x）的值域为[-2，0]，则函数y=f（cos）的值域是______．【答案】[-2，0]【解析】解：∵cos∈[-1，1]；∴；即y∈[-2，0]；∴该函数的值域为[-2，0]．故答案为：[-2，0]．可以看出-1，从而对应的函数值，这便得出了该函数的值域．考查函数定义域、值域的概念，本题可换元求值域：令cos=t，-1≤t≤1，从而得出f（t）∈[-2，0]．7.若行列式的展开式的绝对值小于6的解集为（-1，2），则实数a等于______．【答案】4【解析】解：∵行列式的展开式的绝对值小于6的解集为（-1，2），∴|ax-2|＜6的解集为（-1，2），∴-6＜ax-2＜6，即-4＜ax＜8解集为（-1，2），解得a=4．故答案为：4．推导出|ax-2|＜6的解集为（-1，2），从而-4＜ax＜8解集为（-1，2），由此能求出a的值．本题考查实数值的求法，考查行列式展开法则、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.在（0，2π）内使sin3x＞cos3x成立的x的取值范围是______．【答案】（，）【解析】解：由题意，设f（x）=sin3x-cos3x，x∈（0，2π），∴f（x）=（sin x-cos x）（sin2x+sin x cosx+cos2x）=（sin x-cos x）（1+sin2x），又1+sin2x＞0恒成立，∴sin x-cos x＞0，即sin x＞cos x，即＜x＜时，f（x）＞0，∴（0，2π）内使sin3x＞cos3x成立的x的取值范围是（，）．故答案为：（，）．设f（x）=sin3x-cos3x，x∈（0，2π），化f（x）=（sin x-cos x）（1+sin2x），判断sin x-cos x ＞0时（x）＞0，由此求出不等式成立的x的取值范围．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了转化应用问题，是中档题．9.在等差数列{a n}中，S7=8，则a4=______．【答案】【解析】解：在等差数列{a n}中，由S7=，得．故答案为：．由等差数列的性质及前n项和列式求解．本题考查等差数列的前n项和，考查等差数列的性质，是基础题．10.已知f（x+1）=2x-2，那么f-1（2）的值是______．【答案】3【解析】解：令t=x+1则x=t-1所以f（t）=2t-1-2所以f（x）=2x-1-2令f（x）=2x-1-2=2，解得x=3∴f-1（2）=3故答案为：3．令t=x+1，将已知等式中的x一律换为t，求出f（t）即得到f（x），然后令f（x）=2x-1-2=2，求出相应的x，即为f-1（2）的值．已知f（ax+b）的解析式，求f（x）的解析式，一般用换元的方法或配凑的方法，换元时，注意新变量的范围，同时考查了反函数求值，属于基础题．11.甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念，已知甲、乙相邻，则甲、丙相邻的概率为______．【答案】【解析】解：甲、乙相邻的方法有=12种情况，如果满足甲、丙相邻，则有=4种情况，所以所求的概率为P==．故答案为：．4人排成一排，其中甲、乙相邻的情况有12种，其中甲丙相邻的只有4种，由此能求出甲乙相邻，则甲丙相邻的概率．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．12.若P（x，y）是双曲线上的动点，则|x-y|最小值是______．【答案】2【解析】解：P（x，y）是双曲线上的动点，设：x=，y=2tanθ，所以|x-y|=|-2tanθ|==，表达式的几何意义是单位圆上的点与（0，）距离的2倍，可得：∈[2，2+2]，故答案为：22．利用双曲线方程，通过三角代换转化求解x，y，然后求解|x-y|的最小值．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．13.设点P到平面α的距离为，点Q在平面α上，使得直线PQ与平面α所成角不小于30°且不大于60°，则这样的PQ所构成的区域体积为______．【答案】【解析】解：如图，过P作PO⊥α，则PO=，当∠PQO=60°时，OQ=1，当∠PQO=30°时，OQ=3．∴PQ所构成的区域体积为V=．故答案为：．由题意画出图形，分别求出两个圆锥的半径，代入圆锥体积公式作差即可．本题考查圆锥体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．14.已知AB为单位圆上弦长为的弦，P为单位圆上的点，若f（λ）=||的最小值为m（其中λ∈R），当点P在单位圆上运动时，则m的最大值为______．【答案】【解析】解：设λ=，则f（λ）=||=|-|=||，又C点在直线AB上，要求f（λ）最小值，等价为求出||的最小值，显然当CP⊥AB时，CP最小，可得f（λ）的最小值m为点P到AB的距离，∵|AB|=，∴|BC|=，则|OC|===，则|CP|=|OP|+|OC|=1+=，即m的最大值为，故答案为：．设λ=，根据向量减法的运算法则，转化为点到直线的距离，利用直线和圆相交时的垂径定理结合勾股定理进行求解即可．本题考查向量共线定理的运用，以及圆的垂径定理和勾股定理的运用，利用向量的基本运算结合数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．15.已知函数f（a，x）=sin x+cos x随着a，x在定义域内变化时，该函数的最大值为______ 【答案】2【解析】解：函数f（a，x）=sin x+cos x=sin（x+θ）（θ为辅助角），即有f（a，x）≤（sin（x+θ）=1取得等号），由柯西不等式可得（+）2≤（1+1）（a+1-a）=2，当且仅当a=时，取得等号，即有+≤，即f（a，x）的最大值为2．故答案为：2．运用辅助角公式和正弦函数的值域可得f（a，x）≤，再由柯西不等式，计算可得所求最大值．本题考查函数的最值求法，注意运用辅助角公式和正弦函数的值域，以及柯西不等式，考查运算能力，属于中档题．16.已知定义在R+上的函数f（x）=，设a，b，c为三个互不相同的实数，满足，f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围为______．【答案】（81，144）【解析】解：作出f（x）的图象如图：当x＞9时，由f（x）=4-=0，得x=16，若a，b，c互不相等，不妨设a＜b＜c，因为f（a）=f（b）=f（c），所以由图象可知0＜a＜3＜b＜9，9＜c＜16，由f（a）=f（b），得1-log3a=log3b-1，即log3a+log3b=2，即log3（ab）=2，则ab=9，所以abc=9c，因为9＜c＜16，所以81＜9c＜144，即81＜abc＜144，所以abc的取值范围是（81，144）．故答案为：（81，144）．先判断函数的性质以及图象的特点，设a＜b＜c，由图象得ab是个定值，利用数形结合的思想去解决即可．本题主要考查函数与方程的应用，利用数形结合得到ab是个常数是解决本题的关键．综合考查学生的推理能力．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.在长方体ABCD-A1B1C1D1中（如图），AD=AA1=1，AB=2，点E是棱AB的中点．（1）求异面直线AD1与EC所成角的大小；（2）《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，试问四面体D1CDE是否为鳖臑？并说明理由．【答案】解：（1）取CD中点F，连接AF，则AF∥EC，∴∠D1AF为异面直线AD1与EC所成角．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，由AD=AA1=1，AB=2，得，AF=，，∴△AD1F为等边三角形，则．∴异面直线AD1与EC所成角的大小为；（2）连接DE，∵E为AB的中点，∴DE=EC=，又CD=2，∴DE2+CE2=DC2，得DE⊥CE．∵D1D⊥底面DEC，则D1D⊥CE，∴CE⊥平面D1DE，得D1E⊥CE．∴四面体D1CDE的四个面都是直角三角形，故四面体D1CDE是鳖臑．【解析】（1）取CD中点F，连接AF，则AF∥EC，即∠D1AF为异面直线AD1与EC所成角，解三角形可得△AD1F为等边三角形，从而得到异面直线AD1与EC所成角的大小；（2）证明DE⊥CE，进一步得到D1E⊥CE，可知四面体D1CDE是鳖臑．本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中直线与直线，直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．18.设S，T是R的两个非空子集，如果函数y=f（x）满足：①T={f（x）|x∈S}；②对任意x1，x，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），那么称函数y=f（x）为集合S到集合T的“保序2同构函数”．（1）试判断下列函数f（x）=，f（x）=tan（πx-）是否是集合A={x|0＜x＜1}到集合R的保序同构函数；请说明理由．（2）若f（x）=是集合[0，s]到集合[0，t]是保序同构函数，求s和t的最大值．【答案】解：（1）由②知，函数为增函数即可．若f（x）=，当0＜x＜1时，-1＜-x＜0，函数y=为增函数，同时y=-为增函数，即f（x）=为增函数，满足条件．若f（x）=tan（πx-），当0＜x＜1时，0＜πx＜π，-＜πx-＜，此时函数f（x）为增函数，满足条件．即两个函数都是集合A={x|0＜x＜1}到集合R的保序同构函数．（2）函数f（x）为f′（x）==，当x＞0时，由f′（x）＞0得1-x2＞0得x2＜1，得0＜x＜1，由f′（x）＜0得1-x2＜0得x2＞1，即x＞1，即函数f（x）在[0，1]上是增函数，在[1，+∞）上是减函数，则s的最大值为1，t的最大值为f（1）=．【解析】（1）根据集合A={x|0＜x＜1}到集合R的保序同构函数的定义，判断函数是否是单调递增函数即可；（2）利用导数研究函数f（x）=在x≥0上的单调区间，结合保序同构函数的定义进行求解即可．本题主要考查函数与方程的应用，结合新定义保序同构函数转化为判断函数的单调性是解决本题的关键．19.如图，已知一个长方形展览大厅长为20m，宽为16m，展厅入口位于其长边的中间位置，为其正中央有一个圆心为C的圆盘形展台，现欲在展厅一角B点处安装一个监控摄像头对展台与入口进行监控（如图中阴影所示），要求B与圆C在同一水平面上．（1）若圆盘半径为2m，求监控摄像头最小水平摄像视角的正切值；（2）若监控摄像头最大水平摄像视角为60°，求圆盘半径的最大值．（注：水平摄像视角指镜头中心点与水平观察物体边缘的视线的夹角）【答案】解：（1）过C作入口所在边的高AC，垂足为A，由题意可知AC=8，AB=10，BC==2，∴tan∠ABC==，过B作圆C的切线BE，切点为E，则CE⊥BE，CE=2，且∠ABE为监控摄像头最小水平摄像视角．∵BE==12，∴tan∠CBE==，∴tan∠ABE=tan（∠ABC+∠CBE）===1+．∴当圆盘半径为2时，监控摄像头最小水平摄像视角的正切值为1+．（2）过B作直线BD，使得∠ABD=60°，过C作CM⊥BD，垂足为M，则∠CBD=60°-∠ABC，∴tan∠CBD=tan（60°-∠ABC）==．设圆盘的最大半径为r，则tan∠CBD===．解得r=5-4．∴圆盘的最大半径为5-4．【解析】（1）分别求出∠ABC和∠CBE的正切值，利用两角和的正切公式计算；（2）利用两角差的正切公式计算tan∠CBE，再根据正切的定义列方程求出圆的半径．本题考查了函数模型的应用，直线与圆的位置关系，属于中档题．20.已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，过F1任作一条与坐标轴都不垂直的直线，与C交于A，B两点，且△ABF2的周长为8．当直线AB的斜率为时，AF2与x轴垂直．（1）求椭圆C的方程（2）若A是该椭圆上位于第一象限的一点，过A作圆x2+y2=b2的切线，切点为P，求|AF1|-|AP|的值；（3）设P（0，m）（m≠±b）为定点，直线l过点P与x轴交于点Q，且与椭圆交于C，D 两点，设=，=，求λ+μ的值．【答案】解：（1）∵△ABF2的周长为8，∴4a=8，即a=2，∵tan∠AF1F2=，设|AF2|=3m，则|F1F2|=2c=4m，∴|AF1|=5m，∵|AF1|+|AF2|=2a=4，∴3m+5m=4，∴m=，∴2c=2，∴c=1，∴b2=a2-c2=3，∴椭圆C的方程+=1，（2）设A（x0，y0），则+=1，（|x0|＜2）∴|AF1|2=（x0+1）2+y02=（x0+4）2，∴|AF1|=2+x0，连接OP，OP，由相切条件知：|PA|2=|OP|2-|OP|2=x02+y02-3=x02+3-x02-3=x02，∴|PA|=x0，∴|AF1|-|AP|=2+x0-x0=2．（3）设C（x1，y1），D（x2，y2），显然可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为x=k（y-m），令y=0，可得x=-km，则Q（-km，0），由=，得（x1+km，y1）=λ（x1，y1-m），则y1=λ（y1-m），即λ==1+，=，可得（x2+km，y2）=μ（x2，y2-m），即μ=1+将x=k（y-m），代入椭圆+=1中（4+3k2）y2-6mk2y+3k2m2-12=0，由韦达定理得y1+y2=，y1y2=，∴λ+μ=2+m（+）=2+m•=2+m•=2+==．【解析】（1）根据题意4a=8，再根据勾股定理求出c=1，即可求出椭圆方程，（2）由题意，根据直线和圆相切，以及勾股定理可得AF1|=2+x0，|PA|=x0，即可求出|AF1|-|AP|的值（3）根据向量的运算可得λ+μ=2+m（+），再题意直线l的方程为x=y（x+m），代入，由此利用韦达定理结合已知条件，即可求出．本题考查椭圆的求法，考查直线和椭圆的位置关系，韦达定理，考查两数和为定值的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．21.设正项数列{a n}的前n项和为S n，首项为1，q为非零正常数，已知对任意整数n，m，当n＞m时，S n-S m=q m•S n-m恒成立．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）证明数列{}是递增数列；（3）是否存在正常数c使得{lg（c-S n）}为等差数列？若存在，求出常数c的值；若不存在，说明理由．【答案】解：（1）因为对任意正整数n，m，当n＞m时，S n-S m=q m•S n-m总成立，所以n≥2时，令m=n-1，得到S n-S n-1=q n-1•S1，即a n=a1q n-1=q n-1，当n=1时，也成立，所以a n=q n-1，（2）证明：当q=1时，S n=n，==1-随着n的增大而增大；当q＞0，q≠1时，S n=，=，由-=-=＜0，可得数列{}是递增数列；（3）假设存在正常数c使得{lg（c-S n）}为等差数列．当q=1时，S n=n，q≠1时，S n=，{lg（c-S n）}为等差数列，可得q≠1，lg（c-+）=lg=n lg q-lg（1-q）为等差数列，即有c=（0＜q＜1），【解析】（1）由已知条件，可令m=n-1，代入结合数列的递推式，即可得到所求通项公式；（2）讨论公比q是否为1，求得S n，以及，由单调性的定义即可得证；（3）假设存在正常数c使得{lg（c-S n）}为等差数列，结合对数的运算性质和等差数列的通项公式，即可得到所求结论．本题考查数列的通项和求和的关系，考查等比数列的通项公式和求和公式，以及数列的单调性的判断，考查运算能力，属于中档题．。

七宝中学高三数学试题2019.3.25一、填空题（本大题共有12题，满分54分）．1．已知集合，且，则实数的值是___________．{1,3,},{3,5}==A m B ⊆B A m 2．函数的定义域是_____________．()=f x 3．函数的反函数是_______________．2(2)=≥x y x 4．如果圆锥的底面积为，母线长为2，那么该圆锥的高为_____________．π5．二项式的展开式中的常数项为_____________．82⎫-⎪⎭x 6．已知复数（为虚数单位），复数满足，则________．03=+z i i z 003⋅=+z z z z =z 7．如右图，直三棱柱的主视图是边长为2的正方形，且俯视图为一个等边三角形，则该三棱柱的左视图面积为______________．8．某班从4位男生和3位女生志愿者选出4人参加校运动会的点名签到工作，则选出的志愿者中既有男生又有女生的概率是____________（结果用最简分数表示）．9．已知是平面内两个互相垂直的单位向量，且此,a b 平面内另一向量在满足时，均能c (3)(4)0+⋅-=a cbc 使成立，则的最小值是___________．||-≤ c b k k 10．已知函数，若函数的所有零点()5sin(2),0,,[0,5]2πθθπ⎛⎤=-∈∈ ⎥⎝⎦f x x x ()()3=-F x f x 依次记为，且，，若123,,,, n x x x x 1231-<<<⋯<<n n x x x x x *∈n N ，则___________．123218322222π--+++⋯+++=n n n x x x x x x θ=11．已知函数，图像的最高点从左到右依次记为函数()(0)2π=≥f x x x 135,,, P P P 图像与轴的交点从左到右依次记为，设()=y f x 246,,, P P P()()()23122323343441251+++=⋅+⋅+⋅++⋅ nn n n n n S P P P P P P P P P P P P P P P P 则______________．lim1(2)→∞=+-nnn S主主主1A112．若数列满足为常数，，则称数列为等方差数列，为公{}n a 221,--=n n a a p p 2≥n {}n a p 方差，已知正数等方差数列的首项，且成等比数列，，{}n a 11=a 125,,a a a 12≠a a 设，取的非空子集，*12231111|,1100,N +⎧⎫==++⋯+≤≤∈⎨⎬+++⎩⎭n n n n A T T n n a a a a a a A B 若的元素都是整数，则为“完美子集”，那么集合中的完美子集的个数为___________．二、选择题（每题5分，共20分）13．关于的二元一次方程组的增广矩阵为 （ ）,x y 341310+=⎧⎨-=⎩x y x y A B C D3411310-⎛⎫ ⎪-⎝⎭3411310⎛⎫ ⎪--⎝⎭3411310⎛⎫ ⎪-⎝⎭3411310⎛⎫⎪⎝⎭14．若函数为非奇非偶函数，则有 （ ）(),=∈R y f x x A ．对于任意的，都有且0∈x R ()()00-≠f x f x ()()00-≠-f x f x B ．存在，使且0∈x R ()()00-≠f x f x ()()00-≠-f x f x C ．存在，使且12,∈x x R ()()11-≠f x f x ()()22-≠-f x f x D ．对于任意的，都有或0∈x R ()()00-≠f x f x ()()00-≠-f x f x 15．无穷等差数列的首项为，公差为，前项和为，则“”{}n a 1a d n ()*∈n S n N 10+>a d 是“ 为递增数列”的 （ ）{}n S A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件16、在圆锥中，已知高，底面圆半径为4，为母线上一点，根据圆锥曲线的定PO 2=PO 义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，下面四个命题，正确的个数为（）①圆的面积为4π③双曲线两渐近线的夹角为4arcsin5π-A 1个B 2个C 3个D 4个三、解答题：（本大题共有5题，满分76分）17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，已知长方体的棱长，求：1111-ABCD A B C D 12,1,2===AB BC AA （1）异面直线与所成角的大小；1BC 1CD （2）点到平面的距离．B 1ACD1C A 118．（本题满分14分）第1小题满分6分，第2小题满分8分．函数，其中．)()lg2=+f x x 0>b （1）若函数是奇函数，求的值；b （2）在（1）的条件下，判别函数图像是否存在两点，使得直线平行于轴，说,A B AB x 明理由；19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 如图，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形的长分别为，,,ABCD AB AD ,4m 上部是圆心为的劣弧，。

2019-2020学年闵行区七宝中学高三上学期期中数学试卷一. 填空题1. 设集合2{|20}A x x x a =-+=，若3A ∈，则集合A 可用列举法表示为【答案】{3,1}-【解析】由韦达定理可得另一个元素为1-，所以{}3,1-=A2. 关于x 的不等式2420x x -++>的解集为【答案】(6,7)-【解析】760422<<-⇒<--x x x3. 若21()(1)mf x m x +=-是幂函数，则(2)f -=【答案】32-【解析】由题可知()()322,,25-==∴=f x x f m 4. 已知(,)2παπ∈，1sin 3α=，则tan2α=【答案】7- 【解析】724tan 1tan 22tan ,42tan 2-=-=-=αααα 5. 函数sin (3sin 4cos )1y x x x =++（x ∈R ）的最大值为M ，最小正周期为T ，则有序数对(,)M T 为【答案】(5,)π【解析】5.22cos 5.12sin 21cos sin 4sin 32+-=++=x x x x x y π==⇒+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴T M x y ，55.243arctan 2sin 5.2 6. 在等差数列{}n a 中，若519a =，935a =，则10a =【答案】39【解析】39433581941011915=⇒⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+==+=a d a d a a d a a 7. 若函数231()21x x f x x m x ⎧≤=⎨-+>⎩的值域为(,3]-∞，则实数m 的取值范围是 【答案】(2,5]【解析】(]()(]3,2,,1;3,0,1∞-∈-∞-∈>∈≤y m y x y x(](]5,23,02∈∴∈-∴m m ，8. 定义在R 上的奇函数()y f x =，当0x >时，2()lg(33)f x x x =-+，则()f x 在R 上的零点个数为 个【答案】5【解析】()()上奇函数为，或解得R x f x x x y x 21,033log ,02==+-=> ()的零点为x f x 0,2,1,2,1--=∴9. 当集合2{|(8)(1)0,}A x mx m x x =--->∈Z 中的元素个数最少时，实数m 的取值范围是【答案】[4,2]--【解析】由题可知，[]2,4,6818,022--∈-≥+<<+<m mm x m m m 解得，若元素最少则 10. 已知周期为2的偶函数()f x 的定义域为R ，且当[0,1]x ∈时，3()log (32)f x x =-， 则当[2019,2020]x ∈时，()f x 的解析式为【答案】3()log (24037)f x x =-【解析】因为()x f 是偶函数且周期为2，所以[]()()()32log ,0,1+=-=-∈x x f x f x []()()()40372log 2020,2020,2019-=-=∈x x f x f x11. 已知数列{}n a 的通项公式和为(73)2n n n S +=，*n ∈N ，现从前m 项：12,,,m a a a ⋅⋅⋅中 抽出一项（不是1a 也不是m a ），余下各项的算术平均数为40，则抽出的是第 项【答案】6【解析】由题可知()()()14027237,27-=--+=--=m t m m a S n a t m n ()()6,11,,,16211==∈∈+-=t m N t m m m m t 解得且， 12. 已知函数()f x 满足22(1)(1)()()4f x f x f x f x +-++-=，则(1)(2020)f f+的最大值是【答案】4【解析】()()()()()()()x g x g x g x g x f x f x g =+⇒=++-=241,2令()()()()()()()()411202020204101202022=-+-⇒=+=+f f f f g g g g()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()4224,12020212020120202412020120204120202120201202022222≤≤-⇒≤--=++≤=-+-+=-+-+t t t t t f f f f f f f f f f f f f f f f 令 二. 选择题13.“x 是1和4的等比中项”是“2x =”的（ ）【A 】 充分非必要条件【B 】 必要非充分条件【C 】 充要条件【D 】 即非充分也非毕必要条件【答案】B【解析】由题可知，前面不可推出后面，后面可以退出前面，所以是必要非充分14. 若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 6:7:10A B C =，则△ABC （ ）【A 】 一定是钝角三角形【B 】 一定是锐角三角形【C 】 一定是直角三角形【D 】 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形【答案】 A 【解析】由题可知︒>∴<⨯⨯-+==9007621004936cos ,10:7:6::C C c b a 15. 已知函数()f x 为R 上的单调函数，1()f x -是它的反函数，点(2,3)A -和点(2,1)B 均在函数()f x 的图像上，则不等式1|(3)|2x f -<的解集为（ ）【A 】 (0,1)【B 】(1,3)【C 】 (1,1)-【D 】(0,3)【答案】 A【解析】由题可知，()()()()10133132,21,231111<<⇒>>⇒<<-∴=-=----x f f f f x x16. 如图，已知△ABC 的周长为k ，在AB 、AC 上分别取点M 、N ，使MN ∥BC ，且与△ABC 的内切圆相切，则MN 的最大值为（ ）【A 】 6k 【B 】8k 【C 】 9k 【D 】 12k 【答案】B 【解析】⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⇒-=h r a MN h r h BC MN r h BC 212,,内切圆半径为边上的高为设 ()82212221222121212k k a ka k k a k a k k a a MN kahr ah r c b a S ABC =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⇒=++=∆ 三. 解答题17. 已知函数sin ()2x f x =，将函数()y f x =的图像上每个点的纵坐标扩大到原来的2倍， 再将图像上每个点的横坐标缩短到原来的12，然后向左平移6π个 单位，得到()y g x =的图像. （1）当[0,]2x π∈时，求()g x 的值域； （2）已知锐角△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若()23=A f ，4a =， 5b c +=，求△ABC 的面积.【答案】（1）()sin(2)3g x x π=+[0,1；（2）3A π=. 【解析】()1由题可知()2332sin 2362sin 212+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=ππx x x g ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈231,0,34,332,2,0x g x x ππππ()()()43323321321222516cos 23,32,0032sin 232332sin 2222=⋅⋅==⇒⋅--=-+===+∴∈=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⇒=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∆ABC S bc bc bc Abc c b a A A A A A A f ππππππ18. 已知函数()2x f x k =+（k 为常数），(,2)A k -是函数1()y f x -=图像上的点.（1）求实数k 的值及函数1()y f x -=的解析式；（2）将1()y f x -=按向量(2,0)a =r 平移，得到函数()y g x =的图像，若不等式1()f x g m --≤有解，试求实数m 的取值范围.【答案】（1）2k =-，12()log (2)f x x -=+；（2）2()log g x x =，32m ≥. 【解析】()2,421-=-=+=k k k f 由题可知 ()()()()()()()()()()()232322log 22log 2log 2log min log 2log log 22,2log 2log 2,2222222212212≥==⋅≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤-+∴≤-=->+=∴+=->-==--m x x x x x x mx x m x g x f xx g x x x f y x y x f y x 有解19. 大学生王某开网店创业专卖某种文具，他将这种文具以每件2元的价格售出，开始第一个月就达到1万件，此后每个月都比前一个月多售出1.5万件，持续至第10个月，在第11个月出现下降，第11个月出售了13万件，第12个月出售了9万件，第13个月出售了7万件，另据观察，第18个月销量仍比上个月低，而他前十个月每月投入的成本与月份的平方成正比，第4个月成本为8000元，但第11个月起每月成本固定为3万元，现打算用函数2()f x ax bx c =++（0a ≠）或()x f x km n =+（0k ≠，0m >，1m ≠）来模拟销量下降期间的月销量.（1）请判断销量下降期间采用哪个函数模型来模拟销量函数更合理，并写出前20个月销量与月份x 之间的函数关系式；（2）前20个月内，该网店取得的月利润的最高纪录是多少，出现在哪个月？【答案】（1）()x f x km n =+更合理，141.50.5,110()25,11x x x f x x --≤≤⎧⎪=⎨+≥⎪⎩；（2）第10个月，24万.【解析】若()()()()189,27,17,13,9,12,13,11,2=-==++=c b a c bx ax x f 解得带入 ()()()()()()()()()()()()()()()()()()24,1023,111124,1010111,3522101,05.05.05.1205.0,48.0,211,52101,5.05.15210,1718527,13,9,12,13,11,1718max max max 1422141414==∴==≥==≤≤⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤--==∴=⎩⎨⎧≥+≤≤-=∴+=>∴<+=+=>----x g x x g x x x g x x x x x x x g k k k x x x x f x f x f f x f n km x f f f x x x x x 时，时，利润设比例系数为时，符合条件，解得带入若，不和20. 已知{}n a 是公差为d 的等差数列，它的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ， 4224S S =+，219b =，249T =. （1）求公差d 的值；（2）若对任意的*n ∈N ，都有7n S S ≥成立，求1a 的取值范围；（3）若11a =，判别2202012n nS T -=-是否有解，并说明理由. 【答案】（1）1d =；（2）[7,6]--；（3）无解【解析】()()142264111=⇒++=+d d a d a 由题可知 ()67002187-≤≤-⇒⎩⎨⎧≥≤a a a 由题可知()n a b b b n n n =⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴==,3191,31321，设2()12n n f n S T =--，()2322n n n f n +-⋅= 单调递增， (6)2020(7)f f <<，∴不存在正整数n ，使其有解.21. 已知012,,,,n a a a a ⋅⋅⋅为正整数且0121n a a a a >>>⋅⋅⋅>>，将等式123011111(1)(1)(1)(1)2(1)n a a a a a -+-+-+⋅⋅⋅+-=-记为()*式. （1）求函数1()1f x x=-，[2,)x ∈+∞的值域； （2）试判断当1n =时（或2）时，是否存在0a ，1a （或0a ，1a ，2a ）使()*式成立，若存在，写出对应0a ，1a （或0a ，1a ，2a ），若不存在，说明理由；（3）求所有能使()*式成立的i a （0i n ≤≤）所组成的有序实数对012(,,,,)n a a a a ⋅⋅⋅.【答案】（1）1[,1)2；（2）不存在，()3(24,4,3,2)和(60,5,3,2).【解析】()()⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈-=1,21111x x f ()，不存在212211211,121001<+-=⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=a a a a n 时，2=n 2101a a a <<<，210111(1)(1)(1)a a a -<-<-，()*式不成立 所以不存在（3）123011111(1)(1)(1)(1)2(1)2n a a a a a -+-+-+⋅⋅⋅+-=-<，且由第（2）问，3n ≥， ∴3n =，不难讨论出：12323223424++=⨯和12459223560++=⨯，此时有序实数对为 (24,4,3,2)和(60,5,3,2).。