平面立体与曲面立体相交

2、求相贯线上的贯穿点。
3、先判断可见性，依次
连接贯穿点。
4、补全棱线。
例5：补全带孔三棱柱的水平投影，求作侧面投影。
空间分析
d' a' b'
c'
1、三个截平面相交，在三棱 d" 柱体内形成三条交线。
2、三个截平面与三棱柱形成
a"
b" 前、后 两部分截交线，且截交
(c")
线均在棱柱表面，其水平投影
7
(3) 立体相对位置不同，相贯线形状不一样：
两圆柱轴 线斜交
两圆柱轴线 偏交
8
图例：
全贯
互贯
平×曲
柱柱正交
柱柱正交(等径) 孔孔正交
柱柱偏交
柱穿锥
锥穿柱
球柱偏交
球柱正交 9
二、 平面体与平面体 相交
10
相贯及相贯线的概念
相贯：两立体相交。
相贯线：两立体相交，
其表面的交线。
相贯线
11
平面立体相贯种类及 相贯线的特点
(11’) 1’ 2’ 3’
(31’)
(41’) 4’
11
41 31
1
3
11” 1” (31”) (3”)
41”
2” 4”
解题步骤： 1、分析两立体的 空间关系，确定相 贯线的已知投影。
2、从已知投影出发，确定相贯 线上的贯穿点。
3、先判断可见性，再连接贯穿点。
2 4
例2：已知三棱锥上穿有三棱柱孔洞，求作相贯线。
(41’) 4’
11
(41) 31
1
3
2 (4)
11” 1” (31”) (3”)

相贯线
相交
辅助平面
交点
XIDIAN UNIVERSITY
辅助平面与立体B的截交线
2 辅助平面法
工程图学与计算机绘图
K N M 1、辅助平面法的实质
求辅助平面分别截两立体所得截交线的交点
2、辅助平面的选取原则
使辅助平面分别截两立体所得截交线的形状 最简单（非直线即圆）
XIDIAN UNIVERSITY
XIDIAN UNIVERSITY
5 多体相贯-求相贯线
工程图学与计算机绘图
●
● ● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
XIDIAN UNIVERSITY
例：补全水平投影。
5 多体相贯-求相贯线
工程图学与计算机绘图
XIDIAN UNIVERSITY
例：补全正面投影。
工程图学与计算机绘图
作 业
4-6 4-11 4-12 4-13 4-14 4-15
空间分析： 四棱柱的四个棱面分别与 投影分析：
XIDIAN UNIVERSITY
工程图学与计算机绘图
4.2 平面立体与曲面立体相交
XIDIAN UNIVERSITY
工程图学与计算机绘图
4.2 曲面立体相交
1. 利用积聚性法
2. 辅助平面法
3. 影响相贯线形状的因素 4. 相贯线的特殊情况
5. 多体相贯
2. 辅助平面法
3. 影响相贯线形状的因素 4. 相贯线的特殊情况
5. 多体相贯
XIDIAN UNIVERSITY
3 影响相贯线形状的因素-两立体形状
工程图学与计算机绘图

5’’
6’’
(8) 11 10 (9)
1 (7)
3 (5) (6) 2
图3-13
附：题 4:
求圆锥被截切后的水平投影和侧面投影。 求圆锥被截切后的水平投影和侧面投影
分析: 分析 截平面过锥顶,截交线 截平面过锥顶 截交线 为三角形. 为三角形面截切后的正面投影。 求圆锥被正平面截切后的正面投影。
附：题1:
补画左视图。 补画左视图。
例5：求左视图
虚实分界点
图3-11
附：题2:
补画左视图。 补画左视图。
●
●
●
●
图3-12
附：题 3:
补画左视图。 补画左视图。
3’ (10)’ 2’ (11)’ 11’’ (10)’’ 3’’ 2’’
1’
1’’
7’
(8)’ 6’ (9)’ 5’
8’’
9’’
7’’
能 是 直 线 或 椭 圆 。 但 是 截 交 线 的 投 影 可 能 是 圆 ， 也 可 平 面 截 圆 球 体 ， 其 截 交 线 都 是 圆 ， 当截平面为 平面时， 平面时，其 面投影 圆 当截平面为投影面平行面时，截交线（ 当截平面为投影面平行面时，截交线（圆） 在该投影面上的投影反映实形， 在该投影面上的投影反映实形，其余两 面投影积聚为直线段； 面投影积聚为直线段； 当截平面为投影面的垂直面时，截交线在该 当截平面为投影面的垂直面时， 投影面上的投影积聚为直线段， 投影面上的投影积聚为直线段，其余两面 圆； 投影为 圆；
表3-1
截平 面的 位置 形 状 立 体 图 与轴线倾斜 与轴线垂直 过锥顶 与所有素线 相 交 椭圆 平行于一条 素 线 抛物线加 直线段 与轴线平行 双曲线加 直线段

3、补出视图中所缺的线。
由已知的三视图投影，可 分析出空间物体的形状。
基本 体为轴心 线正交的
圆柱体
被 公 切
两直径相
的
等的圆柱
球
体公切于
一个球。
空间分析：：
椭圆曲线
被公切的球
椭圆曲线在Ｖ面投影积聚为一直线
例８－９：求圆柱穿孔后（方孔和圆孔
在轴4心、求线圆上柱穿相孔交后）的水的平水投平影及投侧影面及投影侧。面投 影。
二、利用辅助面法求作相贯线
圆柱和圆锥两轴心线 正交，两表面相交的共 有线（相贯线）。
空间曲线
辅助平面 直素线
空间分析：
三面共点 水平圆
辅 助 平 面 法
例8-7：求圆柱与圆锥的相贯线
扩展分析： 空间曲线
三、两曲面立体相贯线特殊情况 两曲面立体的相贯线，在一般情况
下是封闭的空间曲线；但在某些特殊情 况下，相贯线可能是平面曲（圆或者椭 圆）或直线。如果此时两曲面立体对投 影面恰又处于特殊位置，则它们的相贯 线在该投影面上的投影就具有一定的特 点和规律。了解和掌握这些特点和规律 有助于判断和绘制相贯线的投影，并可 以简化作图过程。
题目：补画第三视图
空间分析：四个简单形体的分割
题目：补画第三视图。 绘制底板
题目：补画第三视图。 绘制托架
题目：补画第三视图。 绘制圆筒
题目：补画第三视图 绘制支撑板
题目：补画第三视图 完成补画第三视图
小结
该题是用形体分析法读图和画图的典型题 目, 即将组合体假想分成若干基本形体,然后 一个一个形体分析,想象出简单形体的形状和 彼此之间的位置及组合关系.看图和画图的步 骤是:
１.平面立体与平面立体相交
２.平面立体与曲面立体相交

立体与立体相交
1
提纲
一、 概 述 二、 平面体与平面体相贯 三、 平面体与回转体相贯 四、 回转体与回转体相贯
2
一、概述
相贯 ： 两立体相交称为相贯 相贯体 : 参与相贯的立体叫做相贯体 相贯线：相交两立体表面的交线叫做相贯线
相贯体
相贯线
3
1、相贯线的性质
1)表面性—相贯线位于两相交立体的表面。 2)共有性—相贯线是两相交立体表面的共有线和分界 线，线上所有点都是两相交立体表面的共有点。是求 相贯线投影的作图依据。 3)封闭性—由于立体的表面是封闭的，因此相贯线一 般是封闭的空间折线或空间曲线。
18
例3：已知三棱锥与三棱柱相交，求作相贯线。
3’ a’ 1’ s’
2
6’ 5’
c’
4’
解题步骤： 1、分析两立体的空间关系， 根据积聚性，确定相贯线的 已知投影。
b’
a
2、求相贯线上的贯穿点。
3
3、先判断可见性，依次连接
1 s
(6) (5) (4)
贯穿点。
b
2
c
19
例3：已知三棱锥与三棱柱相交，求作相贯线。
4
圆柱面
相贯线实例
相贯线
球面
5
2、相贯线的形状
相贯线的形状取决于两立体的形状、大小及两立 体的相对位置。
(1) 立体形状不同，相贯线形状不一样：
平面立体相贯: 空间折线
平面立体与曲面立体 相贯：多段平面曲线
曲面立体相贯： 空间曲线
6
(2) 立体大小不同，相贯线形状不一样：
直径不同的 两圆柱
直径相同的 两圆柱
与棱面积聚线重合，同时三个
截平面之间还有三条交线。

求平面立体与曲面的交 线实质为求截交线问题
过程： (1)求棱柱的棱面与圆 柱的交线—ⅠⅡ、ⅢⅣ 直线段，ⅠⅢ、ⅡⅣ圆 弧段 (2)由于两立体叠加， 重叠处无转向轮廓线 (3)可见性判别
52
第三节 立体与立体相交
二、平面立体与曲面为圆柱与四 棱柱外-内相贯 过程： (1)求棱柱的棱面与圆 柱的交线—ⅠⅡ、ⅢⅣ 直线段，ⅠⅤ Ⅲ、 ⅡⅥ Ⅳ圆弧段 (2)由于切割，相交处 无转向轮廓线 (3)可见性判别，不可见 轮廓线画虚线
30
第二节 平面与立体相交 二、平面与曲面立体相交
作图： • 标出Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、 Ⅴ各点的正面投影， 其中Ⅳ为椭圆弧上一 般位置点，Ⅲ、Ⅴ为 椭圆弧最前、最高点 • 求各点的水平投影 • 依次连接成直线和光 滑曲线 • 由正面投影可知圆柱 水平投影的转向轮廓 线在Ⅰ至Ⅲ段被切掉， 故这段转向线在水平 投影上不应画出
41
三通管
盖
弯管
旋塞体 具有相贯线的零件的实例：
第三节 立体与立体相交
一、圆柱与圆柱垂直相交 二、圆柱与四棱柱相交
基本 题16-2 题16-3
圆筒穿孔1 题16-4
圆筒穿孔2 矩形凸台
两圆筒正交3 圆柱矩形孔
圆筒矩形孔
题16-5
42
具有相贯线的零件的实例：
第三节 立体与立体相交 一、两曲面立体相交（圆柱与圆柱）
26
第二节 平面与立体相交
二、平面与曲面立体相交
例题
【题1】圆柱体被两 个平面截切
27
第二节 平面与立体相交
二、平面与曲面立体相交
例题
【题2】圆柱体被两 个平面截切
28
第二节 平面与立体相交 二、平面与曲面立体相交
例题

2）确定截交线H面投影与轮廓线的交点5、6。由于两点Ⅴ、Ⅵ在球面平行于Ｈ 面的转向圆上，由5＇、（6＇）即可求出H面投影5、6，如图b所示。
3）根据长轴34和短轴12画出椭圆，并检查5、6是否在椭圆上，如图c所示。
水平面截切圆球，截交线 在俯视图上为部分圆弧，在 左视图上积聚为直线。
两个侧平面截切圆球，截交 线在左视图上为部分圆弧，在 俯视图上积聚为直线。
4(3) 1(2)
8” 5” 6”
7”
4” 1” 3” 2”
Ⅷ
Ⅶ
内外圆柱面上最 前、最后的素线 没有被截切，仍 完整
Ⅴ
Ⅵ
Ⅳ Ⅲ
Ⅰ
Ⅱ
作图： 标记截交线的顶点；
求侧平面的水平投影；
求直线ⅠⅡ、ⅢⅣ、ⅤⅥ和 ⅦⅧ 的侧面投影；
求圆弧及水平面的侧面投影；
完成作图。
例：求正垂面截切圆柱的 截交线
（2）画基本体的三视图。
(3)画两面角的E、F平 面投影。
（4）画“V”形槽的两侧 垂面G、H投影（交线AB、 AC的投影），并加深三视 图。
二、平面与曲面立体相交—曲面切割体视图
截平面截切立体所产生的表面交线称为截交线
平面截回转体所得到的截交线形状取决于： 回转体表面形状 截平面与回转体的相对位置。
（2）画基本体的三视图。
(3)画侧垂面E的投影。
（4）画中间槽的F、G、H 平面投影，并加深三视图。
例2：画出如图所示平面切割体的三视图
主要作图步骤：
（1）分析形体：长方体切去了左 前角和左上角，产生铅垂面E和正 垂面F（交线AB为倾斜线）。
（2）画基本体的三视 图。
(3)画画铅垂面E的投影。
例4：补画出视图中所缺的图线

图4-7 辅助平面法作图原理
例：求作如图所示部分球体与圆锥台的相贯线。
(1) 空间分析及投影分析：
部分球体为 1／4 球前后对称地切去两块而成，圆锥台的轴 线垂直于水平面但不通过球心，其相贯线为前后对称的封闭空 间曲线。因为球与锥台的各投影都没有积聚性 , 故需用辅助平 面法求作相贯线。
(2) 作图：
② 作一般位置点。 在点I、III的高度范围 内 , 选取水平面 R 为辅助平 面,平面R与球及圆锥台的截 交线分别是以r2、r3为半径 的圆弧, 它们的交点Ⅴ、Ⅵ 就是相贯线上的点。先求出 水 平 投 影 5 、 6, 然 后 找 到 5′、 6′和 5" 、 6", 如图 (d)所示。
③ 依次光滑连接各点的 投影, 并判别可见性, 完 成相贯线的投影。最后 注意，圆锥台左视轮廓 素线画到2"、4"两点， 球体左视轮廓素线上有 一段虚线, 如图 (e)所示。
① 辅助平面法的实质， 是求辅助平面分别截两立 体所得截交线的交点。
② 辅助平面位置选取的原则，是使辅助平面分别 截两立体所得截交线的形状最简单(直线和圆)，以便用 工具作图。
例：求轴线正交的水平圆柱与直立圆锥的相贯线。
解题步骤：
1'
4' 3'
1"
PV1 PV2
PV3
2" y y
4" PW1
PW2
g"(h")
c"
y
d e a g c h f b
y
2、利用辅助平面法求相贯线
作图原理 ：
如图，为了求作部分球 体与圆锥台相交的表面共有 点，假想用一平面P （称为 辅助平面）截切两立体。平 面P 与部分球体的截交线为 一个圆LA，平面P 与圆锥台 的截交线也为一个圆LB。 LA 与LB的交点K1和K2 即为辅助 平面P、球体和圆锥台三个表 面的共有点，因此也是相贯 线上的点。 这种利用三面共点的原 理求相贯线上的点的方法叫 做辅助平面法。

［例4-7］ 画出图4-14(a)所示组合体的投影图。
第4章 相贯线 图4-14 多个立体相交
第4章 相贯线
解 (1) 空间分析：本例有三个圆柱A、B、C相交。圆 柱A、B同轴且轴线为侧垂线；轴线为铅垂线的圆柱C与圆柱 A、B垂直相交；圆柱B的底面与圆柱C相交。A、C的相贯线 和B、C的相贯线都是空间曲线，而圆柱B的底面和圆柱C的 截交线是两条直线段。
由以上几例可知，立体上的相贯线有三种情况，即两立 体外表面的相贯线、内表面的相贯线以及外表面与内表面的 相贯线。
第4章 相贯线 图4-5 圆柱钻圆孔
第4章 相贯线 图4-6 圆筒钻圆孔
第4章 相贯线
二、辅助平面法 1. 作图原理 图4-7所示为部分球体与圆锥台相交，为了作出其共有 点，假想用一个平面P(称为辅助平面)截切它们。平面P与球 面的截交线是一个圆LA，与锥台的截交线也是一个圆LB。LA 与LB的交点K1、K2是辅助平面P、球体表面、锥台表面三个 面的共有点，因此也是相贯线上的点。这种用三面共点的原 理求相贯线上的点的方法叫做辅助平面法。
从这个例子中我们应该掌握辅助平面法的两个要点： ① 辅助平面法的实质是求辅助平面分别截两立体所得 截交线的交点。
第4章 相贯线
② 辅助平面位置选取的原则是使辅助平面分别截两立 体所得截交线投影的形状最简单(直线和圆)，以便用工具作 图。
［例4-6］ 求轴线正交的水平圆柱与直立圆锥的相贯 线，如图4-9(a)所示。
(2) 作图： ① 先作特殊点。相贯线上的特殊点主要是轮廓素线上 的点和极限位置点。从侧面投影可知，相贯线上最高、最低、 最前、最后四点依次为Ⅰ、Ⅲ、Ⅱ、Ⅳ点，其水平投影也是 已知的。利用点的投影规律，由已知投影1、2、3、4和1''、 2''、3''、4''，求得1'、2'、3'、4'，如图4-4(a)所示。

先 求 连面求 三 线和三 棱 。侧棱 柱 注面柱 左 意投的 右 判影水看 平 两 别出棱 个 交，面 侧 线三对 面 的棱三 与 可柱棱 三 见的锥三 各 棱 性条棱 锥 。棱面 的线的 交都交 线穿线 。过。棱 通锥过，三所棱以柱两上立棱体 面是作全水贯平的面。P其，交 P线面是与两三条棱封锥闭各折 个线棱。面前的面交一线条分是 别空与间三折棱线锥，的是底三 面棱三柱角与形三的棱三锥条的 边前平面行两。个棱面的 交线；后面一条 是平面折线，是 三棱柱与三棱锥 后棱面的交线。
外表面和内表面相交
a
84 返回
两回转体表面相交
两立体相交叫作相贯，其表面产生的交线叫做相贯线。
相贯线的性质
相贯线一般为光滑封闭的空间曲线，它是两回转体表 面的共有线。求相贯线的实质就是求两曲面立体表面的共 有点。
作图方法
利用投影的积聚性直接表取点。
★找特殊点 ★补充中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓线的
投影
擦除多余作图线后的结果
例 已知圆锥被正平面所截，求截交线的正面投影
上一级
[例二]:求圆锥被截切后的截交线，并完成三视图。 QV
PV
擦除多余作图线后的结果
平面与球面相交
[例题] 切割平面为水平面时,圆球的截交线
[例题] 求圆球的截交线
正面投影和侧面投 影是两个相等的矩形， 矩形的高度等于圆柱的 高度，宽度等于圆柱的 直径（回转轴的投影用 细点画线来表示） 。
圆柱体的投影分析（回转轴垂直于H面）
正面投影的左、右边 线分别是圆柱最左、最右 的两条轮廓素线的投影， 这两条素线把圆柱分为前、 后两半，他们在W面上的 投影与回转轴的投影重合。
第4章 立体及平面与立体相交
4.1 平面立体的投影 4.2 曲面立体的投影 4.3 平面与平面立体相交 4.4 平面与曲面立体相交

1-1剖面图
1
1
a
56
8、画出1-1、2-2、3-3断面图。
12
3
1
2
3
1-1
2-2
3-3
a
57
9、画出1-1、2-2、3-3、4-4断面图。
1
1
2
2
1-1
2-2
3
3
3-3
4-4
4
4
a
58
10、在燕尾形屋顶的车站站台模型的平面图中，画出 钢筋混凝土屋顶结构的梁板的重合断面图。
a
59
11、画出1-1、2-2、3-3断面图。
补充习题及答案
a
1
补充习题及答案
一、平面与平面立体相交—求截交线 1、作正五边形与正垂面的截交线。
a
2
2、作具有燕尾槽的四棱柱与铅垂面P的截交线。
a
3
3、作三棱锥被正垂面P截切后的水平投影和侧面投影。
a
4
4、作具有三棱柱孔和左上方切口的正六棱柱的水平投 影，并补全它的侧面投影。
a
5
5、补绘形体被切后的H、W投影。
1
1
2
a
52
4、在所给位置画出1-1旋转剖面图，并在平面图中标 出剖切符号。
1-1剖面图(展开）
1 1
1
a
53
5、画出1-1、2-2剖面图。
2 1
1-1剖面图
2-2剖面图
1
1
1
2
a
54
6、将V面投影改画成全剖面图。（画在右边）
a
55
7、将立体的V面投影改画成半剖面图，并标注。
（画在右边给定位置）
a

2
•
一 平面立体与曲面立体相交交线分析
平面立体与曲面立体相交的表面交线。 1 交线分析 平面立体与曲面立体相交的表面交线。 是平面立体的各棱面与曲面立体相交的各截交线的 组合。 组合。 2 求相贯线的方法 求平面立体与曲面立体的相贯线 ，就是求平面立体各棱面与曲面立体的截交线以及 平面立体各棱线与曲面立体表面的交点。 平面立体各棱线与曲面立体表面的交点。 3 判别相贯线可见的面上的交线是可见的。
2"
12
5 3
4
3
例题2 例题2
1' 4' 5' 3' 2'
求圆柱与三棱锥相交的交线
4" 1" 5" 解题步骤 1 分析 交线的水平 投影为已知， 投影为已知 ， 侧面投 影为矩形、 3" 影为矩形 、 椭圆和直 线的组合； 线的组合； 2 求出截交线上的特 殊点Ⅰ 殊点Ⅰ、 Ⅱ 、 Ⅲ 、 Ⅳ； 求一般点Ⅴ 3 求一般点Ⅴ； 顺次地连接各点， 4 顺次地连接各点 ， 作出截交线， 作出截交线 ， 并且判 别可见性； 别可见性； 5 整理轮廓线。 4
5.3 平面体与曲面体相交
1
两立体表面的交线——相贯线 相贯线 两立体表面的交线
• 1. 2. • 相贯线的性质： 相贯线的性质： 共有性：是两立体表面的共有线； 共有性：是两立体表面的共有线； 封闭性：一般是封闭的空间曲线。 封闭性：一般是封闭的空间曲线。 相贯线的形状： 相贯线的形状： 取决于相交两立体的形状、相对位置和大小。 取决于相交两立体的形状、相对位置和大小。 相贯线的求法： 相贯线的求法： 棱线法、棱面法、辅助平面法、 棱线法、棱面法、辅助平面法、辅助 球面法